Поперечний вигин сопромат. Чистий вигин. Диференціальні залежності Журавського
Вигином називається вид деформації, при якому викривляється поздовжня вісь бруса. Прямі бруси, що працюють на вигин, називаються балками. Прямим вигином називається вигин, при якому зовнішні сили, що діють на балку, лежать в одній площині (силовій площині), що проходить через поздовжню вісь балки та головну центральну вісь інерції поперечного перерізу.
Вигин називається чистимякщо в будь-якому поперечному перерізі балки виникає тільки один згинальний момент.
Вигин, при якому в поперечному перерізі балки одночасно діють згинальний момент і поперечна силаназивається поперечним. Лінія перетину силової площини та площини поперечного перерізу називається силовою лінією.
Внутрішні силові фактори при згинанні балки.
При плоскому поперечному згинів перерізах балки виникають два внутрішні силові фактори: поперечна сила Q і згинальний момент М. Для їх визначення використовують метод перерізів (див. лекцію 1). Поперечна сила Q в перерізі балки дорівнює сумі алгебри проекцій на площину перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від розрізу.
Правило знаків для поперечних сил Q:
Згинальний момент М у перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів щодо центру тяжкості цього перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по один бік від аналізованого перерізу.
Правило знаків для згинальних моментів M:
Диференційні залежності Журавського.
Між інтенсивністю q розподіленого навантаження, виразами для поперечної сили Q та згинального моменту М встановлені диференціальні залежності:
На основі цих залежностей можна виділити такі загальні закономірностіепюр поперечних сил Q і згинальних моментів М:
Особливості епюр внутрішніх силових факторів при згинанні.
1. На ділянці балки, де немає розподіленого навантаження, епюра Q представлена прямою лінією , паралельній базі епюре, а епюра М - похилої прямої (рис. а).
2. У перерізі, де прикладена зосереджена сила, на епюрі Q має бути стрибок , що дорівнює значенню цієї сили, а на епюрі М - точка перелому (Рис. А).
3. У перерізі, де прикладений зосереджений момент, значення Q не змінюється, а епюра М має стрибок , що дорівнює значенню цього моменту, (рис. 26, б).
4. На ділянці балки з розподіленим навантаженням інтенсивності q епюра Q змінюється за лінійним законом, а епюра М - за параболічним, причому опуклість параболи спрямована назустріч напрямку розподіленого навантаження (Рис. в, г).
5. Якщо в межах характерної ділянки епюра Q перетинає базу епюри, то в перерізі, де Q = 0, момент, що згинає, має екстремальне значення M max або M min (рис. г).
Нормальна напруга при згинанні.
Визначаються за такою формулою:
Моментом опору перерізу вигину називається величина:
Небезпечним перетином при згинанні називається поперечний переріз бруса, в якому виникає максимальна нормальна напруга.
Дотичні напруження при прямому згині.
Визначаються за формулі Журавського для дотичних напруг при прямому вигинібалки:
де S отс - статичний момент поперечної площі відсіченого шару поздовжніх волокон щодо нейтральної лінії.
Розрахунки на міцність при згинанні.
1. При перевірочному розрахунку визначається максимальна розрахункова напруга, яка порівнюється з напругою, що допускається:
2. При проектному розрахунку підбір перерізу бруса проводиться з умови:
3. При визначенні допустимого навантаження допустимий згинальний момент визначається за умови:
Переміщення при згинанні.
Під впливом навантаження при згині вісь балки викривляється. При цьому спостерігається розтягнення волокон на опуклій і стиск - на увігнутій частинах балки. Крім того, відбувається вертикальне переміщення центрів тяжкості поперечних перерізів та їх поворот щодо нейтральної осі. Для характеристики деформації при згинанні використовують такі поняття:
Прогин балки Y- переміщення центру тяжкості поперечного перерізу балки у напрямі, перпендикулярному до її осі.
Прогин вважають позитивним, якщо переміщення центру тяжкості відбувається нагору. Величина прогину змінюється довжиною балки, тобто. y = y(z)
Кут повороту перерізу- Кут θ, на який кожен перетин повертається по відношенню до свого початкового положення. Кут повороту вважають позитивним при повороті перерізу проти перебігу годинникової стрілки. Розмір кута повороту змінюється по довжині балки, будучи функцією θ = θ (z).
Найпоширенішими способами визначення переміщень є метод Мореі правило Верещагіна.
Метод мору.
Порядок визначення переміщень методом Мора:
1. Будується «допоміжна система» та навантажується одиничним навантаженням у точці, де потрібно визначити переміщення. Якщо визначається лінійне переміщення, то його напрямі прикладається одинична сила, щодо кутових переміщень – одиничний момент.
2. Для кожної ділянки системи записуються вирази згинальних моментів М f від прикладеного навантаження і М 1 від одиничного навантаження.
3. По всіх ділянках системи обчислюють і підсумовують інтеграли Мора, отримуючи в результаті переміщення:
4. Якщо обчислене переміщення має позитивний знак, це означає, що його напрямок збігається з напрямком одиничної сили. Негативний знак вказує на те, що дійсне переміщення протилежне до напрямку одиничної сили.
Правило Верещагіна.
Для випадку, коли епюра згинальних моментів від заданого навантаження має довільне, а від одиничного навантаження – прямолінійне обрис, зручно використовувати графоаналітичний спосіб або правило Верещагіна.
де A f - площа епюри згинального моменту М f від заданого навантаження; y c - ордината епюри від одиничного навантаження під центром тяжкості епюри М f; EI x – жорсткість перерізу ділянки балки. Обчислення за цією формулою проводяться по ділянках, на кожному з яких прямолінійна епюра має бути без переломів. Величина (A f * y c) вважається позитивною, якщо обидві епюри розташовуються по одну сторону від балки, негативною, якщо вони розташовуються по різні боки. Позитивний результат перемноження епюр означає, що напрямок переміщення збігається із напрямком одиничної сили (або моменту). Складна епюра М f повинна бути розбита на прості постаті (застосовується так зване "розшарування епюри"), для кожної з яких легко визначити ординату центру тяжкості. У цьому площа кожної фігури множиться на ординату під її центром тяжкості.
Процес проектування сучасних будівель та будівель регулюється величезною кількістю різних будівельних норм та правил. У більшості випадків норми вимагають забезпечення певних характеристик, наприклад, деформації або прогину балок плит перекриття під статичним або динамічним навантаженням. Наприклад, СНиП № 2.09.03-85 визначає для опор та естакад прогин балки не більше ніж у 1/150 довжини прольоту. Для горищних перекриттівцей показник становить уже 1/200, а для міжповерхових балокі того менше – 1/250. Тому одним із обов'язкових етапів проектування є виконання розрахунку балки на прогин.
Способи виконати розрахунок та перевірку на прогин
Причина, через яку СНіПи встановлюють такі драконівські обмеження, проста і очевидна. Чим менша деформація, тим більший запас міцності та гнучкості конструкції. Для прогину менше 0,5% несучий елемент, балка або плита все ще зберігає пружні властивості, що гарантує нормальний перерозподіл зусиль та збереження цілісності всієї конструкції. Зі збільшенням прогину каркас будівлі прогинається, чинить опір, але стоїть, з виходом за межі допустимої величини відбувається розрив зв'язків, і конструкція лавиноподібно втрачає жорсткість і несучу здатність.
- скористатися програмним онлайн-калькулятором, в якому «зашиті» стандартні умови, і не більше;
- Використовувати готові довідкові дані для різних типівта видів балок, для різних опор схем навантажень. Потрібно лише правильно ідентифікувати тип і розмір балки та визначити шуканий прогин;
- Порахувати допустимий прогин руками та своєю головою, більшість проектувальників так і роблять, тоді як контролюючі архітектурні та будівельні інспекції віддають перевагу другому способу розрахунку.
До відома! Щоб реально уявляти, чому важливо знати величину відхилення від початкового становища, варто розуміти, що вимір величини прогину є єдиним доступним і достовірним способом визначити стан балки практично.
Вимірявши, наскільки просіла балка стельового перекриття, можна з 99% впевненістю визначити, чи знаходиться конструкція в аварійному стані, чи ні.
Методика виконання розрахунку прогин
Перш ніж приступати до розрахунку, потрібно буде згадати деякі залежності з теорії опору матеріалів та скласти розрахункову схему. Залежно від того, наскільки правильно виконано схему та враховано умови навантаження, залежатиме точність і правильність розрахунку.
Використовуємо найпростіша модельнавантаженої балки, що зображена на схемі. Найпростішою аналогією балки може бути дерев'яна лінійка, фото.
У нашому випадку балка:
- Має прямокутний переріз S=b*h , довжина частини, що спирається, становить L ;
- Лінійка навантажена силою Q , що проходить через центр тяжкості площини, що згинається, в результаті чого кінці повертаються на невеликий кут θ , з прогином щодо початкового горизонтального положення , рівним f;
- Кінці балки спираються шарнірно і вільно на нерухомих опорах, відповідно не виникає горизонтальної складової реакції, і кінці лінійки можуть переміщатися в довільному напрямку.
Для визначення деформації тіла під навантаженням використовують формулу модуля пружності, який визначається за співвідношенням Е = R/Δ де Е - довідкова величина, R - зусилля, Δ - величина деформації тіла.
Обчислюємо моменти інерції та сил
Для нашого випадку залежність буде мати такий вигляд: Δ = Q/(S·Е) . Для розподіленого вздовж балки навантаження q формула виглядатиме так: Δ = qh/(S Е) .
Далі слідує найбільш важливий момент. Наведена схема Юнг показує прогин балки або деформацію лінійки так, якби її роздавлювали під потужним пресом. У нашому випадку балку згинають, а значить, на кінцях лінійки, щодо центру тяжіння, прикладені два згинальні моменти з різним знаком. Епюра навантаження такої балки наведена нижче.
Щоб перетворити залежність Юнга для згинального моменту, необхідно обидві частини рівності помножити на плече L. Отримуємо Δ*L = Q·L/(b·h·Е).
Якщо уявити, що одна з опор жорстко закріплена, а на другий буде прикладено еквівалентний врівноважуючий момент сил M max = q*L*2/8 відповідно величина деформації балки виражатиметься залежністю Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е). Величину bh 2 /6 називають моментом інерції і позначають W . У результаті виходить Δх = M·х/(W·Е) основна формула розрахунку балки на вигин W=M/E через момент інерції та згинальний момент.
Щоб точно виконати розрахунок прогину, знати згинальний момент і момент інерції. Величину першого можна порахувати, але конкретна формула розрахунку балки на прогин залежатиме від умов контакту з опорами, на яких знаходиться балка, і способу навантаження, відповідно для розподіленого або концентрованого навантаження. Вигинальний момент від розподіленого навантаження вважається за формулою Mmax = q*L 2 /8. Наведені формули справедливі лише розподіленої навантаження. Для випадку, коли тиск на балку сконцентровано у певній точці і часто не збігається з віссю симетрії, формулу розрахунку прогину доводиться виводити за допомогою інтегрального обчислення.
Момент інерції можна уявити, як еквівалент опору балки згинального навантаження. Величину моменту інерції для простої прямокутної балки можна порахувати за нескладною формулою W=b*h 3 /12 де b і h - розміри перерізу балки.
З формули видно, що та сама лінійка чи дошка прямокутного перерізуможе мати зовсім різний момент інерції та величину прогину, якщо покласти її на опори традиційним способом або поставити на ребро. Недарма практично всі елементи кроквяної системидахи виготовляються не із бруса 100х150, а з дошки 50х150.
Реальні перерізи будівельних конструкційможуть мати різні профілі, від квадрата, кола до складних двотаврових або швелерних форм. При цьому визначення моменту інерції та величини прогину вручну, на папірці, для таких випадків стає нетривіальним завданням для непрофесійного будівельника.
Формули для практичного використання
Насправді найчастіше стоїть зворотне завдання - визначити запас міцності перекриттів чи стін для конкретного випадку за відомою величиною прогину. У будівельній справі дуже складно оцінити запас міцності іншими, неруйнівними методами. Нерідко за величиною прогину потрібно виконати розрахунок, оцінити запас міцності будівлі та загальний станнесучих конструкцій. Мало того, за виконаними вимірами визначають, чи є деформація допустимою, згідно з розрахунком, чи будівля знаходиться в аварійному стані.
Порада! У питанні розрахунку граничного станубалки за величиною прогину неоціненну послугу надають вимоги СНіПу. Встановлюючи межу прогину в відносної величини, наприклад, 1/250, будівельні норми суттєво полегшують визначення аварійного стану балки чи плити.
Наприклад, якщо ви маєте намір купувати готову будівлю, яка простояла досить довго на проблемному грунті, незайвим буде перевірити стан перекриття за наявним прогином. Знаючи гранично допустиму норму прогину та довжину балки, можна без жодного розрахунку оцінити, наскільки критичним є стан будови.
Будівельна інспекція при оцінці прогину та оцінці несучої здатності перекриття йде більш складним шляхом:
- Спочатку вимірюється геометрія плити чи балки, фіксується величина прогину;
- За виміряними параметрами визначається сортамент балки, далі за довідником вибирається формула моменту інерції;
- По прогину та моменту інерції визначають момент сили, після чого, знаючи матеріал, можна виконати розрахунок реальних напруг у металевій, бетонній або дерев'яній балці.
Питання - чому так складно, якщо прогин можна отримати, використовуючи для розрахунку формулу для простої балки на шарнірних опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) під розподіленим зусиллям. Достатньо знати довжину прольоту L, висоту профілю, розрахунковий опір R і модуль пружності Е для конкретного матеріалуперекриття.
Порада! Використовуйте у своїх розрахунках існуючі відомчі збірники різних проектних організацій, у яких у стислому вигляді зведені всі необхідні формули визначення та розрахунку граничного навантаженого стану.
Висновок
Аналогічним чином надходить більшість розробників та проектантів серйозних будівель. Програма – це добре, вона допомагає дуже швидко виконати розрахунок прогину та основних параметрів навантаження перекриття, але важливо також надати замовнику документальне підтвердження одержаних результатів у вигляді конкретних послідовних розрахунків на папері.
Вигиномназивається деформація, при якій вісь стрижня та всі його волокна, тобто поздовжні лінії, паралельні осі стрижня, викривляються під дією зовнішніх сил. Найбільш простий випадок вигину виходить тоді, коли зовнішні сили лежатимуть у площині, що проходить через центральну вісь стрижня, і не дадуть проекцій на цю вісь. Такий випадок вигину називають поперечним вигином. Розрізняють плоский вигин та косою.
Плоский вигин– такий випадок, коли вигнута вісь стрижня розташована у тій самій площині, у якій діють зовнішні сили.
Косий (складний) вигин- Такий випадок вигину, коли вигнута вісь стрижня не лежить у площині дії зовнішніх сил.
Працюючий на вигин стрижень зазвичай називають балкою.
При плоскому поперечному згині балок у перерізі із системою координат у0х можуть виникати два внутрішні зусилля – поперечна сила Q у і згинальний момент М х; надалі для них вводяться позначення Qі M.Якщо в перерізі або на ділянці балки поперечна сила відсутня (Q=0), а момент, що згинає, не дорівнює нулю або М – const, то такий згин прийнято називати чистим.
Поперечна силав якому-небудь перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри проекцій на вісь у всіх сил (включаючи опорні реакції), розташованих по один бік (будь-яку) від проведеного перерізу.
Згинальний моменту перерізі балки чисельно дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх сил (включаючи і опорні реакції), розташованих по один бік (будь-яку) від проведеного перерізу щодо центру тяжкості цього перерізу, точніше, щодо осі, що проходить перпендикулярно площині креслення через центр тяжіння проведеного перерізу.
Сила Qпредставляє рівнодіючурозподілених за перерізом внутрішніх дотичних напруг, а момент М– суму моментівнавколо центральної осі перерізу Х внутрішніх нормальних напруг.
Між внутрішніми зусиллями існує диференціальна залежність
яка використовується при побудові та перевірці епюр Q і M.
Оскільки частина волокон балки розтягується, а частина стискається, причому перехід від розтягування до стиснення відбувається плавно, без стрибків, в середній частині балки знаходиться шар, волокна якого тільки викривляються, але не відчувають розтягування, ні стиснення. Такий шар називають нейтральним шаром. Лінія, якою нейтральний шар перетинається з поперечним перерізом балки, називається нейтральна лініяй або нейтральною віссюперерізу. Нейтральні лінії нанизані на вісь балки.
Лінії, проведені на бічній поверхні балки перпендикулярно до осі, залишаються плоскими при згині. Ці дослідні дані дозволяють покласти основою висновків формул гіпотезу плоских перерізів. Згідно з цією гіпотезою перерізу балки плоскі та перпендикулярні до її осі до вигину, залишаються плоскими і виявляються перпендикулярними до вигнутої осі балки при її вигині. Поперечний переріз балки при згинанні спотворюється. За рахунок поперечної деформаціїрозміри поперечного перерізу в стиснутій зоні балки збільшуються, а розтягнутої стискаються.
Допущення висновку формул. Нормальна напруга
1) Виконується гіпотеза плоских перерізів.
2) Поздовжні волокна один на одного не тиснуть і, отже, під дією нормальних напруг лінійні розтягування або стискування працюють.
3) Деформації волокон не залежить від їх положення за шириною перерізу. Отже, і нормальні напруження, змінюючись по висоті перерізу, залишаються по ширині однаковими.
4) Балка має хоча б одну площину симетрії, і всі зовнішні сили лежать у цій площині.
5) Матеріал балки підпорядковується закону Гука, причому модуль пружності при розтягуванні та стисканні однаковий.
6) Співвідношення між розмірами балки такі, що вона працює в умовах плоского вигину без жолоблення або скручування.
При чистому вигинібалки на майданчиках у її перерізі діють тільки нормальні напруження, що визначаються за формулою:
де у - координата довільної точки перерізу, що звітує від нейтральної лінії - головної центральної осі х.
Нормальні напруги при вигині за висотою перерізу розподіляються по лінійному закону. На крайніх волокнах нормальні напруги досягають максимального значення, а центрі тяжкості перерізу дорівнюють нулю.
Характер епюр нормальних напруг для симетричних перерізів щодо нейтральної лінії
Характер епюр нормальних напруг для перерізів, що не мають симетрії щодо нейтральної лінії
Найнебезпечнішими є точки, найбільш віддалені від нейтральної лінії.
Виберемо деякий перетин
Для будь-якої точки перетину назвемо її точкою До, умова міцності балки за нормальними напругами має вигляд:
, де н. - це нейтральна вісь
це осьовий момент опору перерізущодо нейтральної осі. Його розмірність см 3 м 3 . Момент опору характеризує вплив форми та розмірів поперечного перерізу на величину напруги.
Умова міцності за нормальними напругами:
Нормальна напругадорівнює відношенню максимального згинального моменту до осьового моменту опору перерізу щодо нейтральної осі.
Якщо матеріал неоднаково чинить опір розтягуванню і стиску, то необхідно використовувати дві умови міцності: для зони розтягування з напругою на розтягування, що допускається; для зони стиснення з напругою на стиск.
При поперечному згинанні балки на майданчиках у її перерізі діють як нормальні, так і дотичнінапруги.
Розрахунок балки на вигин «вручну», по-дідівськи, дозволяє пізнати один із найважливіших, найкрасивіших, чітко математично вивірених алгоритмів науки опір матеріалів. Використання численних програм на кшталт «ввів вихідні дані...
...- Отримай відповідь» дозволяє сучасному інженеру сьогодні працювати набагато швидше, ніж його попередникам сто, п'ятдесят і навіть двадцять років тому. Однак за такого сучасного підходу інженер змушений повністю довіряти авторам програми і згодом перестає «відчувати фізичний зміст» розрахунків. Але автори програми – це люди, а людям властиво помилятися. Якби це було не так, то не було б численних патчів, релізів, латок практично до будь-якого програмного забезпечення. Тому, на мою думку, будь-який інженер повинен вміти іноді «вручну» перевірити результати розрахунків.
Довідка (шпаргалка, пам'ятка) для розрахунків балок на згин представлена на малюнку.
Давайте на простому життєвому прикладі спробуємо скористатися. Припустимо, я вирішив зробити у квартирі турнік. Визначено місце – коридор завширшки один метр двадцять сантиметрів. На протилежних стінах на необхідній висоті навпроти один одного надійно закріплюю кронштейни, до яких кріпитиметься балка-перекладина – пруток зі сталі Ст3 із зовнішнім діаметром тридцять два міліметри. Чи витримає ця балка моя вага плюс додаткові динамічні навантаження, що виникнуть під час виконання вправ?
Рисуємо схему для розрахунку балки на вигин. Очевидно, що найбільш небезпечною буде схема застосування зовнішнього навантаженняколи я почну підтягуватися, зачепившись однією рукою за середину перекладини.
Вихідні дані:
F1 = 900 н – сила, що діє на балку (моя вага) без урахування динаміки
d = 32 мм – зовнішній діаметр прутка, з якого виготовлена балка
E = 206000 н/мм^2 - модуль пружності матеріалу балки сталі Ст3
[σі] = 250 н/мм^2 — допустима напруга вигину (межа плинності) для матеріалу балки сталі Ст3
Граничні умови:
Мx (0) = 0 н * м - момент у точці z = 0 м (перша опора)
Мx (1,2) = 0 н * м - момент у точці z = 1,2 м (друга опора)
V (0) = 0 мм – прогин у точці z = 0 м (перша опора)
V (1,2) = 0 мм – прогин у точці z = 1,2 м (друга опора)
Розрахунок:
1. Спочатку обчислимо момент інерції Ix і момент опору Wx перерізу балки. Вони нам знадобляться у подальших розрахунках. Для кругового перерізу (яким є переріз прутка):
Ix = (π*d^4)/64 = (3.14*(32/10)^4)/64 = 5,147 см^4
Wx = (π*d^3)/32 = ((3.14*(32/10)^3)/32) = 3,217 см^3
2. Складаємо рівняння рівноваги для обчислення реакцій опор R1 та R2:
Qy = -R1 + F1-R2 = 0
Мx (0) = F1 * (0-b2) -R2 * (0-b3) = 0
З другого рівняння: R2 = F1 * b2 / b3 = 900 * 0.6 / 1.2 = 450 н
З першого рівняння: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 н
3. Знайдемо кут повороту балки у першій опорі при z = 0 із рівняння прогину для другої ділянки:
V (1.2) = V (0)+U (0)*1.2+(-R1*((1.2-b1)^3)/6+F1*((1.2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 рад = 0,44˚
4.
Складаємо рівняння для побудови епюр для першої ділянки (0 Поперечна сила: Qy(z) = -R1 Згинальний момент: М x (z) = -R1 * (z-b1) Кут повороту: Ux(z) = U(0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Прогин: Ви (z) = V (0) + U (0) * z + (-R1 * ((z-b1) ^ 3) / 6) / (E * Ix) z = 0 м: Qy(0) = -R1 = -450 н Ux (0) = U (0) = 0,00764 рад Ви(0) = V(0) = 0 мм z = 0,6 м: Qy (0,6) = -R1 = -450 н Мx (0,6) = -R1 * (0,6-b1) = -450 * (0,6-0) = -270 н * м Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 рад Ви (0,6) = V (0) + U (0) * 0,6 + (-R1 * ((0,6-b1) ^ 3) / 6) / (E * Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 м Балка прогнеться центром на 3 мм під вагою мого тіла. Думаю, це прийнятний прогин. 5.
Пишемо рівняння епюр для другої ділянки (b2 Поперечна сила: Qy(z) = -R1+F1 Згинальний момент: Мx(z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Кут повороту: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Прогин: Ви (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/( E*Ix) z = 1,2 м: Qy (1,2) = -R1 + F1 = -450 +900 = 450 н Мx (1,2) = 0 н * м Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E* Ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0.00764 рад Vy (1,2) = V (1,2) = 0 м 6.
Будуємо епюри, використовуючи дані, отримані вище. 7.
Розраховуємо напруги вигину в найбільш навантаженому перерізі - посередині балки і порівнюємо з допустимою напругою: σі = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 н/мм^2 σі = 84 н/мм^2< [σи] = 250 н/мм^2 За міцністю на вигин розрахунок показав триразовий запас міцності – турнік можна сміливо робити з наявного дроту діаметром тридцять два міліметри та завдовжки тисяча двісті міліметрів. Таким чином, ви тепер легко можете розрахувати балки на вигин «вручну» і порівняти з результатами, отриманими при розрахунку за будь-якою з численних програм, представлених в Мережі. Прошу шановних праць автора ПІДПИСАТИСЯ на анонси статей.
88 коментарів на «Розрахунок балки на вигин - «вручну»!» Ми почнемо з найпростішої нагоди, так званого чистого вигину. Чистий вигин є окремий випадок вигину, при якому в перерізах балки поперечна сила дорівнює нулю. Чистий вигин може мати місце лише в тому випадку, коли власна вага балки настільки мала, що його впливом можна знехтувати. Для балок на двох опорах приклади навантажень, що викликають чистий вигин, представлені на рис. 88. На ділянках цих балок, де Q = 0 і, отже, М = const; має місце чистий вигин. Зусилля в будь-якому перерізі балки при чистому вигині зводяться до пари сил, площина дії якої проходить через вісь балки, а момент постійний. Напруги можуть бути визначені на підставі наступних міркувань. 1. Дотичні складові зусиль за елементарними майданчиками в поперечному перерізі балки не можуть бути приведені до пари сил, площина дії якої перпендикулярна до площини перерізу. Звідси випливає, що згинальне зусилля в перерізі є результатом дії по елементарним майданчикам лише нормальних зусиль, тому при чистому згині і напруги зводяться лише до нормальним. 2. Щоб зусилля елементарними майданчиками звелися лише до пари сил, серед них мають бути як позитивні, так і негативні. Тому мають бути як розтягнуті, і стислі волокна балки. 3. Зважаючи на те, що зусилля в різних перерізах однакові, то і напруги у відповідних точках перерізів однакові. Розглянемо якийсь елемент поблизу поверхні (рис. 89, а). Так як по нижній його грані, що збігається з поверхнею балки, сили не прикладені, то на ній немає і напружень. Тому і на верхній грані елемента немає напруг, так як інакше елемент не знаходився б і рівновазі, роздивляючись сусідній з ним по висоті елемент (рис. 89, б), прийдемо до Такому ж висновку і т. д. Звідси випливає, що по горизонтальних гранях будь-якого елемента напруги відсутні. Розглядаючи елементи, що входять до складу горизонтального шару, починаючи з елемента біля поверхні балки (рис. 90), прийдемо до висновку, що і з бокових вертикальних граней будь-якого елемента напруги відсутні. Таким чином, напружений стан будь-якого елемента (рис. 91,а), а в межі і волокна, має бути представлений так, як це показано на рис. 91,б, тобто воно може бути або осьовим розтягуванням, або осьовим стисненням. 4. У силу симетрії докладання зовнішніх сил перетин по середині довжини балки після деформації повинен залишитися пло- ським і нормальним до осі балки (рис. 92, а). З цієї ж причини і перерізу в чвертях довжини балки теж залишаються плоскими і нормальними до осі балки (рис. 92, б), якщо тільки крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими і нормальними до осі балки. Аналогічний висновок справедливий і для перерізів у восьмих довжинах балки (рис. 92, в) і т. д. Отже, якщо при згинанні крайні перерізи балки залишаються плоскими, то і для будь-якого перерізу справедливим твердження, що воно після деформації залишається плоским і нормальним до осі зігнутої балки. Але в такому випадку очевидно, що зміна подовжень волокон балки по її висоті має відбуватися не тільки безперервно, але і монотонно. Якщо назвати шаром сукупність волокон, що мають однакові подовження, то зі сказаного випливає, що розтягнуті і стислі волокна балки повинні розташовуватися по різні боки від шару, в якому подовження волокон дорівнюють нулю. Будемо називати волокна, подовження яких дорівнюють нулю, нейтральними; шар, що складається з нейтральних волокон, - нейтральним шаром; лінію перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу балки - нейтральною лінією цього перерізу. Тоді на підставі попередніх міркувань можна стверджувати, що при чистому вигині балки в кожному її перерізі є нейтральна лінія, яка ділить цей перетин на дві частини (зони): зону розтягнутих волокон (розтягнуту зону) і зону стиснутих волокон (стиснуту зону ). Відповідно з цим у точках розтягнутої зони перетину повинні діяти нормальні розтягуючі напруги, у точках стиснутої зони - стискаючі напруги, а в точках нейтральної лінії напруги дорівнюють нулю. Таким чином, при чистому згині балки постійного січення: 1) у перерізах діють лише нормальні напруження; 2) весь переріз може бути розбитий на дві частини (зони) - розтягнуту та стиснуту; межею зон є нейтральна лінія перерізу, у точках якої нормальні напруги дорівнюють нулю; 3) будь-який поздовжній елемент балки (у межі будь-яке волокно) піддається осьовому розтягуванню або стиску, так що сусідні волокна один з одним не взаємодіють; 4) якщо крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими та нормальними до осі, то і всі її поперечні перерізи залишаються плоскими та нормальними до осі вигнутої балки. Розглянемо елемент балки, схильної до чистого вигину, заклю- до деформації після деформації де р – радіус кривизни нейтрального волокна. Тому абсолютне подовження відрізка АВ дорівнює та відносне подовження Оскільки згідно з положенням (3) волокно АВ піддається осьовому розтягуванню, то при пружній деформації Звідси видно, що нормальні напруги за висотою балки розподіляються за лінійним законом (рис. 94). Так як рівнодіюча всіх зусиль по всіх елементарних майданчиках перетину повинна дорівнювати нулю, то звідки, підставляючи значення (5.8), знайдемо Але останній інтеграл є статичний момент щодо осі Оу, перпендикулярної до площини дії згинальних зусиль. Внаслідок рівності його нулю ця вісь повинна проходити через центр тяжкості Про перерізу. Таким чином, нейтральна лінія перерізу балки є пряма уу, перпендикулярна до площини дії згинальних зусиль. Її називають нейтральною віссю перерізу балки. Тоді з (5.8) слід, що напруги в точках, що лежать на однаковій відстані від нейтральної осі, однакові. Випадок чистого вигину, при якому згинальні зусилля діють тільки в одній площині, викликаючи вигин тільки в цій площині, є чистим плоским вигином. Якщо названа площина проходить через вісь Oz, то момент елементарних зусиль щодо цієї осі повинен дорівнювати нулю, тобто. Підставляючи сюди значення σ із (5.8), знаходимо Стоячий у лівій частині цієї рівності інтеграл, як відомо, є відцентровим моментом інерції перерізу щодо осей у і z, так що Осі, щодо яких відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю, називають головними осями інерції цього перерізу. Якщо вони, крім того, проходять через центр тяжкості перерізу, їх можна назвати головними центральними осями інерції перерізу. Таким чином, при плоскому чистому згині напрям площини дії згинальних зусиль і нейтральна вісь перерізу є головними центральними осями інерції останнього. Іншими словами, для отримання плоского чистого вигину балки навантаження до неї не може прикладатися довільно: вона повинна зводитися до сил, що діють у площині, яка проходить через одну з головних центральних осей інерції перерізів балки; при цьому інша головна центральна вісь інерції буде нейтральною віссю перерізу. Як відомо, у разі перерізу, симетричного щодо будь-якої осі, вісь симетрії є однією з головних центральних осей його інерції. Отже, у цьому окремому випадку ми явно отримаємо чистий вигин, приклавши відповідні анавантаження в площині, що проходить через поздовжню вісь балки і вісь симетрії її перерізу. Пряма, перпендикулярна до осі симетрії і проходить через центр тяжкості перерізу, є нейтральною віссю цього перерізу. Встановивши положення нейтральної осі, неважко знайти і величину напруги в будь-якій точці перерізу. Справді, оскільки сума моментів елементарних зусиль щодо нейтральної осі уу повинна дорівнювати згинальний момент, то звідки, підставляючи значення з (5.8), знайдемо Оскільки інтеграл і з виразу (5.8) отримаємо Добуток ЕI У називають жорсткістю балки при згинанні. Найбільше розтягує і найбільше по абсолютній величині напруга, що стискає діють в точках перерізу, для яких абсолютна величина z найбільша, тобто в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. При позначеннях, рис. 95 маємо Величину Jy/h1 називають моментом опору перерізу розтягу і позначають Wyр; аналогічно, Jy/h2 називають моментом опору перерізу стиску і позначають Wyc,так що і тому Якщо нейтральна вісь є віссю симетрії перерізу, то h1 = h2 = h/2 і, отже, Wyp = Wyc, так що їх розрізняти немає потреби, і користуються одним позначенням: називаючи W y просто моментом опору перерізу. Отже, у разі перерізу, симетричного щодо нейтральної осі, Всі наведені вище висновки отримані на підставі припущення, що поперечні перерізи балки, при згині залишаються пласкими і нормальними до її осі (гіпотеза плоских перерізів). Як було показано, це припущення справедливе лише у тому випадку, коли крайні (кінцеві) перерізи балки при згинанні залишаються плоскими. З іншого боку, з гіпотези плоских перерізів слід, що елементарні зусилля в таких перерізах повинні розподілятися за лінійним законом. Тому для справедливості отриманої теорії плоского чистого вигину необхідно, щоб згинальні моменти на кінцях балки були прикладені у вигляді елементарних сил, розподілених по висоті перерізу за лінійним законом (рис. 96), що збігається з законом розподілу напруг по висоті перерізу балки. Однак на підставі принципу Сен-Венана можна стверджувати, що зміна способу застосування згинальних моментів на кінцях балки викликає лише місцеві деформації, вплив яких позначиться лише на деякій відстані від цих кінців (приблизно рівному висоті перерізу). Перетини ж, що знаходяться у всій іншій частині довжини балки, залишаться плоскими. Отже, викладена теорія плоского чистого вигину при будь-якому способі застосування згинальних моментів справедлива тільки в межах середньої частини довжини балки, що знаходиться від її кінців на відстанях, приблизно рівних висоті перерізу. Звідси ясно, що ця теорія явно не застосовна, якщо висота перерізу перевищує половину довжини або прольоту балки.Статті з близькою тематикою
Відгуки
Напружений стан балки при чистому вигині
чений між перерізами m - m і n - n, які відстоять одне від іншого на нескінченно малому відстані dx (рис. 93). Внаслідок положення (4) попереднього пункту, перерізу m - m і n - n, що були до деформації паралельними, після вигину, залишаючись плоскими, будуть становити кут dQ і перетинатися по прямій, що проходить через точку С, яка є центром кривизни нейтрального волокна NN. Тоді укладена між ними частина АВ волокна, що знаходиться на відстані z від нейтрального волокна (позитивний напрямок осі z приймаємо у бік випуклості балки при згині), перетвориться після деформації в дугу А "В". Відрізок нейтрального волокна О1О2, перетворившись на дугу О1О2 не змінить своєї довжини, тоді як волокно АВ отримає подовження:
є. моментом інерції перерізу щодо осі уу, то
