Визначити максимальну напругу у перерізі бруса формула. У поперечних перерізах бруса. Знаходження небезпечного перерізу. Дотичні напруги в поперечному перерізі балки. Формула Журавського

При розтягуванні (стиснення) бруса в його поперечних перерізахвиникають тільки нормальні напруги.Рівночинна відповідних елементарних сил, dA - поздовжня сила N -може бути знайдена за допомогою методу перерізів. Для того, щоб мати можливість визначити нормальні напруженняпри відомому значенні поздовжньої сили необхідно встановити закон нх розподілу по поперечному перерізу бруса.

Це завдання вирішується на основі протези плоских перерізів(гіпотези Я. Бернуллі),яка говорить:

перерізи бруса, плоскі та нормальні до його осі до деформації, залишаються плоскими та нормальними до осі та при деформації.

При розтягуванні бруса (виготовленого, наприклад, длябільшої наочності досвіду з гуми), на поверхні якогонанесена система продольнь1х і поперечних рисок (рис. 2.7,а), можна переконатися, що ризики залишаються прямолінійними та взаємно перпендикулярними, змінюються лише

де А – площа поперечного перерізу бруса. Опускаючи індекс z, остаточно отримуємо

Для нормальних напруг приймають те правило знаків, що й для поздовжніх сил, тобто. при розтягуванні вважають напружена позитивними.

Фактично розподіл напруг у перерізах бруса, що примикають до місця застосування зовнішніх сил, залежить від способу застосування навантаження і може бути нерівномірним. Експериментальні та теоретичні дослідження показують, що це порушення рівномірності розподілу напруг носить місцевий характер.У перерізах бруса, що віддаляються від місця навантаження на відстані приблизно рівному найбільшому з поперечних розмірів бруса, розподіл напруг можна вважати практично рівномірним (рис. 2.9).

Розглянуте становище є окремим випадком принципу Сен-Венана,який можна сформулювати наступним чином:

розподіл напруг істотно залежить від способу застосування зовнішніх сил лише поблизу місця навантаження.

У частинах, досить віддалених від місця застосування сил, розподіл напруг практично залежить тільки від статичного еквівалента цих сил, а не від способу їх застосування.

Таким чином, застосовуючи принцип Сен-Венанаі відволікаючись від питання про місцеві напруги, маємо можливість (як у цій, так і в наступних розділах курсу) не цікавитися конкретними способами застосування зовнішніх сил.

У місцях різкої зміни форми та розмірів поперечного перерізу бруса також виникають місцеві напруги. Це явище називають концентрацією напруг,яку в цьому розділі не враховуватимемо.

У тих випадках, коли нормальна напруга в різних поперечних перерізах бруса неоднакова, доцільно показувати закон їх зміни по довжині бруса у вигляді графіка - епюри нормальних напруг.

Примір 2.3. Для бруса зі ступінчасто-змінним поперечним перерізом (рис. 2.10,а) побудувати епюри поздовжніх сил інормальних напруг.

Рішення.Розбиваємо брус на ділянки, починаючи від вільного гінця. Межами ділянок є місця застосування зовнішніх сил і зміни розмірів поперечного перерізу, тобто брус має п'ять ділянок. При побудові лише епюри Nварто було б розбити брус лише на три ділянки.

Застосовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжні сили поперечних перерізах бруса і будуємо відповідну епюру (рис. 2.10,6). Побудова епюри І принципово нічим не відрізняється від розглянутого в прикладі 2.1, тому подробиці цієї побудови опускаємо.

Нормальну напругу обчислимо за формулою (2.1), підставляючи значення сил у ньютонах, а площ – у квадратних метрах.

У межах кожної з ділянок напруги постійні, тобто. е.епюра даному ділянці - пряма, паралельна осі абсцис (рис. 2.10, в). Для розрахунків на міцність інтерес становлять насамперед ті перерізи, у яких виникають найбільші напруження. Істотно, що у розглянутому разі де вони збігаються з тими перерізами, де поздовжні сили максимальні.

У тих випадках, коли перетин бруса по всій довжині постійно, епюра аподібна до епюрі Nі відрізняється від неї лише масштабом, тому, природно, має сенс побудова лише однієї із зазначених епюр.

Якщо при прямому або косому згині в поперечному перерізі бруса діє тільки згинальний момент, то є чистий прямий або чистий косий вигин. Якщо в поперечному перерізідіє також і поперечна сила, тобто поперечний прямий або поперечний косий вигин. Якщо згинальний момент є єдиним внутрішнім силовим фактором, такий згин називається чистим(Рис.6.2). За наявності поперечної сили вигин називається поперечним. Строго кажучи, до простим видамопору належить лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, тому що в більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати. Дивіться умову міцності за плоского вигину.ри розрахунку балки на вигин однієї з найважливіших є завдання визначення її міцності. Плоский вигин називається поперечним, якщо в поперечних перерізах балки виникає два внутрішніх силових фактора: М - згинальний момент і Q - поперечна сила, і чистим, якщо виникає тільки М. У поперечному згині силова площина проходить через вісь симетрії балки, що є однією з головних осей інерції перерізу.

При згинанні балки одні шари її розтягуються, інші стискаються. Між ними знаходиться нейтральний шар, який лише викривляється, не змінюючи своєї довжини. Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу збігається з другою головною віссю інерції та називається нейтральною лінією (нейтральною віссю).

Від дії згинального моменту в поперечних перерізах балки виникають нормальні напруги, що визначаються за формулою

де М - згинальний момент у аналізованому перерізі;

I – момент інерції поперечного перерізу балки щодо нейтральної осі;

у – відстань від нейтральної осі до точки, де визначається напруги.

Як видно з формули (8.1), нормальні напруги в перерізі балки по її висоті лінійні, досягаючи максимального значення найбільш віддалених точках від нейтрального шару.

де W – момент опору поперечного перерізу балки щодо нейтральної осі.

27.Дотичні напруги в поперечному перерізі балки. Формула Журавський.

Формула Журавського дозволяє визначити дотичні напруги при згинанні, що виникають у точках поперечного перерізу балки, що знаходяться на відстані від нейтральної осіx.

ВИСНОВОК ФОРМУЛИ ЖУРАВСЬКОГО

Виріжемо з балки прямокутного поперечного перерізу (рис. 7.10 а) елемент довжиною і додатковим поздовжнім перерізом розсічемо на дві частини (рис. 7.10 б).

Розглянемо рівновагу верхньої частини: через відмінність згинальних моментів виникають різні стискаючі напруги. Щоб ця частина балки знаходилася в рівновазі () у її поздовжньому перерізі, повинна виникнути дотична сила. Рівняння рівноваги частини балки:

де інтегрування ведеться тільки по відсіченій частині площі поперечного перерізу балки (на рис. 7.10, заштрихована), - Статичний момент інерції відсіченої (заштрихованої) частини площі поперечного перерізу щодо нейтральної осі x.

Припустимо: дотичні напруги (), що виникають у поздовжньому перерізі балки, рівномірно розподілені за її шириною () у місці перерізу:

Отримаємо вираз для дотичних напруг:

, а тоді формула дотичних напруг (), що виникають в точках поперечного перерізу балки, що знаходяться на відстані y від нейтральної осі x:

Формула Журавського

Формула Журавського отримано 1855 р. Д.І. Журавським, тож носить його ім'я.

Поздовжня сила N, що виникає в поперечному перерізі бруса, являє собою рівнодіючу внутрішніх нормальних сил, розподілених за площею поперечного перерізу, і пов'язана з нормальними напругами залежністю, що виникають у цьому перерізі (4.1):

тут - нормальна напруга у довільній точці поперечного перерізу, що належить елементарному майданчику - площа поперечного перерізу бруса.

Твір є елементарною внутрішньою силою, що припадає на майданчик dF.

Величину поздовжньої сили N у кожному окремому випадку легко можна визначити за допомогою методу перерізів, як показано в попередньому параграфі. Для знаходження величин напруг а в кожній точці поперечного перерізу бруса треба знати закон їх розподілу по цьому перерізу.

Закон розподілу нормальних напруг у поперечному перерізі бруса зображується зазвичай графіком, що показує зміну їх за висотою або шириною поперечного перерізу. Такий графік називають епюрою нормальних напруг (епюрою а).

Вираз (1.2) може бути задоволений при нескінченно великій кількості видів епюр напруги а (наприклад, при епюрах а, зображених на рис. 4.2). Тому для з'ясування закону розподілу нормальних напруг у поперечних перерізах бруса необхідно провести експеримент.

Проведемо на бічній поверхні бруса до його навантаження лінії, перпендикулярні до осі бруса (рис. 5.2). Кожну таку лінію можна розглядати як слід поверхні поперечного перерізу бруса. При навантаженні бруса осьової силою Р ці лінії, як показує досвід, залишаються прямими і паралельними між собою (їх положення після навантаження бруса показано на рис. 5.2 штриховими лініями). Це дозволяє вважати, що поперечні перерізи бруса, плоскі до навантаження, залишаються плоскими і при дії навантаження. Такий досвід підтверджує гіпотезу плоских перерізів (гіпотезу Бернуллі), сформульовану наприкінці § 6.1.

Уявимо подумки брус, що складається з незліченної безлічі волокон, паралельних його осі.

Два будь-які поперечні перерізи при розтягуванні бруса залишаються плоскими і паралельними між собою, але віддаляються один від одного на деяку величину; таку ж величину подовжується кожне волокно. Оскільки однаковим подовженням відповідають однакові напруги, те й напруги в поперечних перерізах всіх волокон (а отже, і в усіх точках поперечного перерізу бруса) рівні між собою.

Це дозволяє у виразі (1.2) винести величину за знак інтеграла. Таким чином,

Отже, в поперечних перерізах бруса при центральному, розтягуванні або стиску виникають рівномірно розподілені нормальні напруги, рівні відношенню поздовжньої сили до площі поперечного перерізу.

За наявності ослаблень деяких перерізів бруса (наприклад, отворами для заклепок), визначаючи напруги в цих перерізах, слід враховувати фактичну площу ослабленого перерізу рівну повній площі зменшеної на величину площі ослаблення

Для наочного зображення зміни нормальних напруг у поперечних перерізах стрижня (за його довжиною) будується епюра нормальних напруг. Осі цієї епюри є відрізок прямої, рівний довжині стрижня і паралельний його осі. При стрижні постійного перерізу епюра нормальних напруг має такий самий вигляд, як і епюра поздовжніх сил (вона відрізняється від неї лише прийнятим масштабом). При стрижні змінного перерізу вигляд цих двох епюр різний; зокрема, для стрижня зі ступінчастим законом зміни поперечних перерізів епюру нормальних напруг має стрибки не тільки в перерізах, в яких прикладені зосереджені осьові навантаження (де має стрибки епюра поздовжніх сил), а й у місцях зміни розмірів поперечних перерізів. Побудова епюри розподілу нормальних напруг за довжиною стрижня розглянуто на прикладі 1.2.

Розглянемо тепер напруги в похилих перерізах бруса.

Позначимо кут між похилим перерізом і поперечним перерізом (рис. 6.2, а). Кут а умовимося вважати позитивним, коли поперечний переріз для поєднання з похилим перетином треба повернути на цей кут проти годинникової стрілки.

Як відомо, подовження всіх волокон, паралельних осі бруса, за його розтягуванні чи стисканні однакові. Це дозволяє припускати, що напруги р у всіх точках похилого (як і поперечного) перерізу однакові.

Розглянемо нижню частину бруса, відтяту перетином (рис. 6.2, б). З умов її рівноваги випливає, що напруги паралельні осі бруса і спрямовані в бік, протилежний силі Р, а внутрішня сила, що діє в перерізі, дорівнює Р. Тут - площа похилого перерізу рівна (де - площа поперечного перерізу бруса).

Отже,

де - нормальна напруга в поперечних перерізах бруса.

Розкладемо напругу на дві складові напруги: нормальне перпендикулярне до площини перерізу та дотичне та, паралельне цій площині (рис. 6.2, в).

Значення і та отримаємо з виразів

Нормальна напруга вважається зазвичай позитивною при розтягуванні та негативною при стисканні. Відносна напруга позитивно, якщо зображує його вектор прагне обертати тіло щодо будь-якої точки С, що лежить на внутрішній нормалі до перерізу, за годинниковою стрілкою. На рис. 6.2, показано позитивне дотичне напруга та, а на рис. 6.2 г - негативне.

З формули (6.2) випливає, що нормальні напруги мають значення від (при до нуля (при а). Таким чином, найбільші (за абсолютною величиною) нормальні напруги виникають у поперечних перерізах бруса. Тому розрахунок міцності розтягнутого або стисненого бруса проводиться за нормальними напругами у його поперечних перерізах.

Косимназивають такий вид вигину, при якому всі зовнішні навантаження, Що викликають вигин, діють в одній силовій площині, що не збігається з жодною з головних площин.

Розглянемо брус, затиснутий одним кінцем і завантажений на вільному кінці силою F(Рис. 11.3).

Рис. 11.3. Розрахункова схема до косого вигину

Зовнішня сила Fприкладена під кутом до осі y.Розкладемо силу Fна складові, що лежать у основних площинах бруса, тоді:

Згинальні моменти у довільному перерізі, взятому на відстані zвід вільного кінця, будуть рівні:

Таким чином, у кожному перерізі бруса одночасно діють два згинальні моменти, які створюють вигин у головних площинах. Тому косий згин можна розглядати як окремий випадок просторового згину.

Нормальні напруги в поперечному перерізі бруса при косому згині визначаються за формулою

Для знаходження найбільших розтягуючих і стискаючих нормальних напруг при косому згині необхідно вибрати небезпечний переріз бруса.

Якщо згинальні моменти | М х| та | М у| досягають наї великих значеньу деякому перерізі, це і є небезпечне перетин. Таким чином,

До небезпечних перерізів відносяться також перерізи, де згинальні моменти | М х| та | М у| одночасно досягають чималих значень. Тому при косому згині може бути кілька небезпечних перерізів.

У загальному випадку, коли - Несиметричний переріз, тобто нейтральна вісь не перпендикулярна силовій площині. Для симетричних перерізів косий вигин неможливий.

11.3. Положення нейтральної осі та небезпечних точок

у поперечному перерізі. Умова міцності при косому вигині.

Визначення розмірів поперечного перерізу.

Переміщення при косому вигині

Положення нейтральної осі при косому згині визначається за формулою

де кут нахилу нейтральної осі до осі х;

Кут нахилу силової площини до осі у(Рис. 11.3).

У небезпечному перерізі бруса (у закладенні, рис. 11.3) напруги в кутових точках визначаються за формулами:

При косому згині, як і при просторовому, нейтральна вісь ділить перетин бруса на дві зони - зону розтягування та зону стиснення. Для прямокутного перерізуці зони показані на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Схема перерізу защемленого бруса при косому вигині

Для визначення екстремальних напруг, що розтягують і стискають, необхідно провести дотичні до перерізу в зонах розтягування і стиску, паралельні нейтральній осі (рис. 11.4).

Найбільш віддалені від нейтральної осі точки торкання Аі З– небезпечні точки в зонах стиснення та розтягування відповідно.

Для пластичних матеріалів, коли розрахункові опориматеріалу бруса при розтягуванні та стисканні рівні між собою, тобто [ σ р] = = [σ c] = [σ ], в небезпечному перерізі визначається і умову міцності можна подати у вигляді

Для симетричних перерізів (прямокутник, двотавровий переріз) умова міцності має такий вигляд:

З умови міцності випливає три види розрахунків:

Перевірочний;

Проектувальний – визначення геометричних розмірів перерізу;

Визначення несучої здатності бруса (навантаження, що допускається).

Якщо відоме співвідношення між сторонами поперечного перерізу, наприклад, для прямокутника h = 2b, то з умови міцності защемленого бруса можна визначити параметри bі hнаступним чином:

або

остаточно.

Аналогічно визначаються параметри будь-якого перерізу. Повне переміщення перерізу бруса при косому згині з урахуванням принципу незалежності впливу сил визначається, як геометрична сума переміщень в основних площинах.

Визначимо рух вільного кінця бруса. Скористаємося способом Верещагіна. Вертикальне переміщення знаходимо перемноженням епюр (рис. 11.5) за формулою

Аналогічно визначимо горизонтальне переміщення:

Тоді повне переміщення визначимо за формулою

Рис. 11.5. Схема визначення повного переміщення

при косому вигині

Напрямок повного переміщення визначається кутом β (рис. 11.6):

Отримана формула ідентична формулі визначення положення нейтральної осі перерізу бруса. Це дозволяє дійти невтішного висновку, що , т. е. напрям прогину перпендикулярно нейтральній осі. Отже, площина прогинів не збігається із площиною навантаження.

Рис. 11.6. Схема визначення площини прогину

при косому вигині

Кут відхилення площини прогину від головної осі yбуде тим більшим, чим більшим буде рух. Тому для бруса з пружним перетином, у якого ставлення J x/J yвелике, косий вигин небезпечний, так як викликає великі прогини та напруги в площині найменшої жорсткості. Для бруса, у якого J x= J yсумарний прогин лежить у силовій площині і косий вигин неможливий.

11.4. Нецентроване розтягування та стиск бруса. Нормальні

напруги в поперечних перерізах бруса

Позацентровим розтягуванням (стиском) називається такий вид деформації, при якому сила, що розтягує (стискає) паралельна поздовжній осі бруса, але точка її застосування не збігається з центром тяжіння поперечного перерізу.

Такий тип завдань часто застосовується у будівництві при розрахунку колон будівель. Розглянемо позацентрове стиск бруса. Позначимо координати точки докладання сили Fчерез х Fі у F ,а головні осі поперечного перерізу – через х та у.Ось zнаправимо таким чином, щоб координати х Fі у Fбули позитивними (рис. 11.7 а)

Якщо перенести силу Fпаралельно самій собі з точки Зв центр тяжкості перерізу, то позацентрове стиск можна представити як суму трьох простих деформацій: стискування та вигину у двох площинах (рис. 11.7, б). При цьому маємо:

Напруги у довільній точці перерізу при позацентровому стисканні, що лежить у першому квадранті, з координатами x та yможна знайти виходячи з принципу незалежності дії сил:

квадрати радіусів інерції перерізу, то

де xі y- Координати точки перерізу, в якій визначається напруга.

При визначенні напруги необхідно враховувати знаки координат як точки докладання зовнішньої сили, так і точки, де визначається напруга.

Рис. 11.7. Схема бруса при позацентровому стисканні

У разі позацентрового розтягування бруса в отриманій формулі слід замінити знак мінус на знак плюс.

Розтягування (стиск)- це вид навантаження бруса, при якому в його поперечних перерізах виникає тільки один внутрішній силовий фактор - поздовжня сила N.

При розтягуванні та стисканні зовнішні сили прикладені вздовж поздовжньої осі z (рисунок 109).

Малюнок 109

Застосовуючи метод перерізів, можна визначити величину ВСФ – поздовжню силу N при простому навантаженні.

Внутрішні сили (напруги), що виникають у довільному поперечному перерізі при розтягуванні (стисненні), визначаються за допомогою гіпотези плоских перерізів Бернуллі:

Перетин бруса, плоске та перпендикулярне осі до навантаження, залишається таким же і при навантаженні.

Звідси випливає, що волокна бруса (рисунок 110) подовжуються однакові величини. Значить внутрішні сили (тобто напруги), що діють кожне волокно будуть однакові і розподілені по перерізу рівномірно.

Малюнок 110

Так як N - рівнодіюча внутрішніх сил, то N = σ · А, згачить нормальні напруги σ при розтягуванні та стисканні визначаються за формулою:

[Н/мм 2 = МПа], (72)

де А – площа поперечного перерізу.

Приклад 24.Два стрижні: круглого перерізу діаметром d = 4 мм і квадратного перерізу зі стороною 5 мм розтягуються однаковою силою F = 1000 Н. Який із стрижнів більше навантажений?

Дано: d = 4 мм; а = 5 мм; F = 1000 н.

Визначити: σ 1 та σ 2 – у стрижнях 1 та 2.

Рішення:

При розтягуванні поздовжня сила у стрижнях N = F = 1000 Н.

Площі поперечних перерізів стрижнів:

; .

Нормальна напруга в поперечних перерізах стрижнів:

, .

Оскільки 1 > 2 , то перший стрижень круглого перерізу навантажений більше.

Приклад 25.Трос, звитий з 80 зволікань діаметром 2 мм розтягується силою 5 кН. Визначити напругу у поперечному перерізі.

Дано:до = 80; d = 2 мм; F = 5 кН.

Визначити: σ.

Рішення:

N = F = 5 кН, ,

тоді .

Тут А 1 – площа перерізу однієї тяганини.

Примітка: перетин троса - не коло!

2.2.2 Епюри поздовжніх сил N та нормальних напруг σ по довжині бруса

Для розрахунків на міцність і жорсткість складно навантаженого бруса при розтягуванні та стисканні необхідно знати значення N та σ у різних поперечних перерізах.

Для цього будуються епюри: епюра N та епюра σ.

Епюра– це графік зміни поздовжньої сили N та нормальних напруг σ по довжині бруса.

Поздовжня сила Nу довільному поперечному перерізі бруса дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, прикладених до частини, що залишилася, тобто. по один бік від перерізу

Зовнішні сили F, що розтягують брус і направлені у бік перерізу, вважаються позитивними.

Порядок побудови епюр N та σ

1 Поперечними перерізами розбиваємо брус на ділянки, межами яких є:

а) перерізи на кінцях бруса;

б) де докладено сили F;

в) де змінюється площа перерізу А.

2 Нумеруємо ділянки, починаючи з

вільного кінця.

3 Для кожної ділянки, використовуючи метод

перерізів визначаємо поздовжню силу N

і будуємо у масштабі епюру N.

4 Визначаємо нормальну напругу σ

на кожній ділянці і будуємо в

масштабі епюру σ.

Приклад 26.Побудувати епюри N і σ за довжиною ступінчастого бруса (рисунок 111).

Дано: F1 = 10 кН; F2 = 35 кН; А 1 = 1 см 2; А 2 = 2 см2.

Рішення:

1) Розбиваємо брус на ділянки, межами яких є: перерізи на кінцях бруса, де прикладені зовнішні сили F, де змінюється площа перерізу А – всього вийшло 4 ділянки.

2) Нумеруємо ділянки, починаючи з вільного кінця:

з I по IV. Малюнок 111

3) Для кожної ділянки, використовуючи метод перерізів, визначаємо поздовжню силу N.

Поздовжня сила N дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, прикладених до частини бруса, що залишилася . Причому зовнішні сили F, що розтягують брус, вважаються позитивними.

Таблиця 13

4) Будуємо в масштабі епюру N. Масштаб вказуємо тільки позитивними величинами N, на епюрі знак "плюс" або "мінус" (розтяг або стиснення) вказується в кружечку в прямокутнику епюри. Позитивні величини N відкладаються вище від нульової осі епюри, негативні – нижче від осі.

5) Перевірка (усна):У перерізах, де прикладені зовнішні сили F, на епюрі N будуть вертикальні стрибки, рівні за величиною цих сил.

6) Визначаємо нормальні напруги в перерізах кожної ділянки:

; ;

; .

Будуємо у масштабі епюру σ.

7) Перевірка:Знаки N та σ однакові.

Подумай і відповідай на запитання

1) не можна; 2) можна.

53 Чи залежить напруги при розтягуванні (стисканні) стрижнів від форми їх поперечного перерізу (квадрат, прямокутник, коло та ін.)?

1) залежать; 2) не залежать.

54 Чи залежить величина напруги у поперечному перерізі від матеріалу, з якого виготовлений стрижень?

1) залежить; 2) не залежить.

55 Які точки поперечного перерізу круглого стрижня навантажені більше за розтягнення?

1) на осі бруса; 2) лежить на поверхні кола;

3) у всіх точках перерізу напруги однакові.

56 Стрижні зі сталі та дерева з рівною площею поперечного перерізу розтягуються однаковими силами. Чи будуть рівні напруги, що виникають у стрижнях?

1) у сталевому напруження більше;

2) у дерев'яному напругу більше;

3) у стрижнях виникнуть рівні напруги.

57 Для бруса (рисунок 112) побудувати епюри N та σ, якщо F 1 = 2 кН; F2 = 5 кН; А 1 = 1,2 см 2; А 2 = 1,4 см2.