На вигин ними постійно. Вигин. Допущення висновку формул. Нормальна напруга

Ми почнемо з найпростішої нагоди, так званого чистого вигину.

Чистий вигин є окремий випадок вигину, при якому в перерізах балки поперечна силадорівнює нулю. Чистий вигин може мати місце лише в тому випадку, коли власна вага балки настільки мала, що його впливом можна знехтувати. Для балок на двох опорах приклади навантажень, що викликають чистий

вигин, представлені на рис. 88. На ділянках цих балок, де Q = 0 і, отже, М = const; має місце чистий вигин.

Зусилля в будь-якому перерізі балки при чистому вигині зводяться до пари сил, площина дії якої проходить через вісь балки, а момент постійний.

Напруги можуть бути визначені на підставі наступних міркувань.

1. Дотичні складові зусиль за елементарними майданчиками в поперечному перерізі балки не можуть бути приведені до пари сил, площина дії якої перпендикулярна до площини перерізу. Звідси випливає, що згинальне зусилля в перерізі є результатом дії по елементарним майданчикам

лише нормальних зусиль, тому при чистому згині і напруги зводяться лише до нормальним.

2. Щоб зусилля елементарними майданчиками звелися лише до пари сил, серед них мають бути як позитивні, так і негативні. Тому мають бути як розтягнуті, і стислі волокна балки.

3. Зважаючи на те, що зусилля в різних перерізах однакові, то і напруги у відповідних точках перерізів однакові.

Розглянемо якийсь елемент поблизу поверхні (рис. 89, а). Так як по нижній його грані, що збігається з поверхнею балки, сили не прикладені, то на ній немає і напружень. Тому і на верхній грані елемента немає напруг, так як інакше елемент не знаходився б і рівновазі, роздивляючись сусідній з ним по висоті елемент (рис. 89, б), прийдемо до

Такому ж висновку і т. д. Звідси випливає, що по горизонтальних гранях будь-якого елемента напруги відсутні. Розглядаючи елементи, що входять до складу горизонтального шару, починаючи з елемента біля поверхні балки (рис. 90), прийдемо до висновку, що і з бокових вертикальних граней будь-якого елемента напруги відсутні. Таким чином, напружений стан будь-якого елемента (рис. 91,а), а в межі і волокна, має бути представлений так, як це показано на рис. 91,б, тобто воно може бути або осьовим розтягуванням, або осьовим стисненням.

4. У силу симетрії докладання зовнішніх сил перетин по середині довжини балки після деформації повинен залишитися пло- ським і нормальним до осі балки (рис. 92, а). З цієї ж причини і перерізу в чвертях довжини балки теж залишаються плоскими і нормальними до осі балки (рис. 92, б), якщо тільки крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими і нормальними до осі балки. Аналогічний висновок справедливий і для перерізів у восьмих довжинах балки (рис. 92, в) і т. д. Отже, якщо при згинанні крайні перерізи балки залишаються плоскими, то і для будь-якого перерізу

справедливим твердження, що воно після деформації залишається плоским і нормальним до осі зігнутої балки. Але в такому випадку очевидно, що зміна подовжень волокон балки по її висоті має відбуватися не тільки безперервно, але і монотонно. Якщо назвати шаром сукупність волокон, що мають однакові подовження, то зі сказаного випливає, що розтягнуті і стислі волокна балки повинні розташовуватися по різні боки від шару, в якому подовження волокон дорівнюють нулю. Будемо називати волокна, подовження яких дорівнюють нулю, нейтральними; шар, що складається з нейтральних волокон, - нейтральним шаром; лінію перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу балки - нейтральною лінією цього перерізу. Тоді на підставі попередніх міркувань можна стверджувати, що при чистому вигині балки в кожному її перерізі є нейтральна лінія, яка ділить цей перетин на дві частини (зони): зону розтягнутих волокон (розтягнуту зону) і зону стиснутих волокон (стиснуту зону ). Відповідно з цим у точках розтягнутої зони перетину повинні діяти нормальні розтягуючі напруги, у точках стиснутої зони - стискаючі напруги, а в точках нейтральної лінії напруги дорівнюють нулю.

Таким чином, при чистому згині балки постійного січення:

1) у перерізах діють лише нормальні напруження;

2) весь переріз може бути розбитий на дві частини (зони) - розтягнуту та стиснуту; межею зон є нейтральна лінія перерізу, у точках якої нормальні напруги дорівнюють нулю;

3) будь-який поздовжній елемент балки (у межі будь-яке волокно) піддається осьовому розтягуванню або стиску, так що сусідні волокна один з одним не взаємодіють;

4) якщо крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими та нормальними до осі, то і всі її поперечні перерізи залишаються плоскими та нормальними до осі вигнутої балки.

Напружений стан балки при чистому вигині

Розглянемо елемент балки, схильної до чистого вигину, заклю- чений між перерізами m - m і n - n, які відстоять одне від іншого на нескінченно малому відстані dx (рис. 93). Внаслідок положення (4) попереднього пункту, перерізу m - m і n - n, що були до деформації паралельними, після вигину, залишаючись плоскими, будуть становити кут dQ і перетинатися по прямій, що проходить через точку С, яка є центром кривизни нейтрального волокна NN. Тоді укладена між ними частина АВ волокна, що знаходиться на відстані z від нейтрального волокна (позитивний напрямок осі z приймаємо у бік випуклості балки при згині), перетвориться після деформації в дугу А "В". Відрізок нейтрального волокна О1О2, перетворившись на дугу О1О2 не змінить своєї довжини, тоді як волокно АВ отримає подовження:

до деформації

після деформації

де р – радіус кривизни нейтрального волокна.

Тому абсолютне подовження відрізка АВ дорівнює

та відносне подовження

Оскільки згідно з положенням (3) волокно АВ піддається осьовому розтягуванню, то при пружній деформації

Звідси видно, що нормальні напруги за висотою балки розподіляються за лінійним законом (рис. 94). Так як рівнодіюча всіх зусиль по всіх елементарних майданчиках перетину повинна дорівнювати нулю, то

звідки, підставляючи значення (5.8), знайдемо

Але останній інтеграл є статичний момент щодо осі Оу, перпендикулярної до площини дії згинальних зусиль.

Внаслідок рівності його нулю ця вісь повинна проходити через центр тяжкості Про перерізу. Таким чином, нейтральна лінія перерізу балки є пряма уу, перпендикулярна до площини дії згинальних зусиль. Її називають нейтральною віссю перерізу балки. Тоді з (5.8) слід, що напруги в точках, що лежать на однаковій відстані від нейтральної осі, однакові.

Випадок чистого вигину, при якому згинальні зусилля діють тільки в одній площині, викликаючи вигин тільки в цій площині, є чистим плоским вигином. Якщо названа площина проходить через вісь Oz, то момент елементарних зусиль щодо цієї осі повинен дорівнювати нулю, тобто.

Підставляючи сюди значення σ (5.8), знаходимо

Стоячий у лівій частині цієї рівності інтеграл, як відомо, є відцентровим моментом інерції перерізу щодо осей у і z, так що

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю, називають головними осями інерції цього перерізу. Якщо вони, крім того, проходять через центр тяжкості перерізу, їх можна назвати головними центральними осями інерції перерізу. Таким чином, при плоскому чистому згині напрям площини дії згинальних зусиль і нейтральна вісь перерізу є головними центральними осями інерції останнього. Іншими словами, для отримання плоского чистого вигину балки навантаження до неї не може прикладатися довільно: вона повинна зводитися до сил, що діють у площині, яка проходить через одну з головних центральних осей інерції перерізів балки; при цьому інша головна центральна вісь інерції буде нейтральною віссю перерізу.

Як відомо, у разі перерізу, симетричного щодо будь-якої осі, вісь симетрії є однією з головних центральних осей його інерції. Отже, у цьому окремому випадку ми явно отримаємо чистий вигин, приклавши відповідні анавантаження в площині, що проходить через поздовжню вісь балки і вісь симетрії її перерізу. Пряма, перпендикулярна до осі симетрії і проходить через центр тяжкості перерізу, є нейтральною віссю цього перерізу.

Встановивши положення нейтральної осі, неважко знайти і величину напруги в будь-якій точці перерізу. Справді, оскільки сума моментів елементарних зусиль щодо нейтральної осі уу повинна дорівнювати згинальний момент, то

звідки, підставляючи значення з (5.8), знайдемо

Оскільки інтеграл є. моментом інерції перерізу щодо осі уу, то

і з виразу (5.8) отримаємо

Добуток ЕI У називають жорсткістю балки при згинанні.

Найбільше розтягує і найбільше по абсолютній величині напруга, що стискає діють в точках перерізу, для яких абсолютна величина z найбільша, тобто в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. При позначеннях, рис. 95 маємо

Величину Jy/h1 називають моментом опору перерізу розтягу і позначають Wyр; аналогічно, Jy/h2 називають моментом опору перерізу стиску

і позначають Wyc,так що

і тому

Якщо нейтральна вісь є віссю симетрії перерізу, то h1 = h2 = h/2 і, отже, Wyp = Wyc, так що їх розрізняти немає потреби, і користуються одним позначенням:

називаючи W y просто моментом опору перерізу. Отже, у разі перерізу, симетричного щодо нейтральної осі,

Всі наведені вище висновки отримані на підставі припущення, що поперечні перерізи балки, при згині залишаються пласкими і нормальними до її осі (гіпотеза плоских перерізів). Як було показано, це припущення справедливе лише у тому випадку, коли крайні (кінцеві) перерізи балки при згинанні залишаються плоскими. З іншого боку, з гіпотези плоских перерізів слід, що елементарні зусилля в таких перерізах повинні розподілятися за лінійним законом. Тому для справедливості отриманої теорії плоского чистого вигину необхідно, щоб згинальні моменти на кінцях балки були прикладені у вигляді елементарних сил, розподілених по висоті перерізу за лінійним законом (рис. 96), що збігається з законом розподілу напруг по висоті перерізу балки. Однак на підставі принципу Сен-Венана можна стверджувати, що зміна способу застосування згинальних моментів на кінцях балки викликає лише місцеві деформації, вплив яких позначиться лише на деякій відстані від цих кінців (приблизно рівному висоті перерізу). Перетини ж, що знаходяться у всій іншій частині довжини балки, залишаться плоскими. Отже, викладена теорія плоского чистого вигину при будь-якому способі застосування згинальних моментів справедлива тільки в межах середньої частини довжини балки, що знаходиться від її кінців на відстанях, приблизно рівних висоті перерізу. Звідси ясно, що ця теорія явно не застосовна, якщо висота перерізу перевищує половину довжини або прольоту балки.

Вигин



Основні поняття про вигин

Деформація вигину характеризується втратою прямолінійності або первісної форми лінією балки (її віссю) при застосуванні зовнішнього навантаження. При цьому, на відміну від деформації зсуву лінія балки змінює свою форму плавно.
Легко переконатися, що на опір згину впливає не тільки площа поперечного перерізу балки (бруса, стрижня і т. д.), але і геометрична форма цього перерізу.

Оскільки вигин тіла (балки, бруса і т. п.) здійснюється щодо будь-якої осі, на опір вигину впливає величина осьового моменту інерції перерізу тіла щодо цієї осі.
Для порівняння - при деформації кручення перетин тіла піддається закручування щодо полюса (точки), тому на опір кручення впливає полярний момент інерції цього перерізу.

На вигин можуть працювати багато елементів конструкцій – осі, вали, балки, зубці зубчастих коліс, важелі, тяги тощо.

У опорі матеріалів розглядають кілька типів згинів:
- залежно від характеру зовнішнього навантаження, що додається до бруса, розрізняють чистий вигині поперечний вигин ;
- в залежності від розташування площини дії згинального навантаження щодо осі бруса - прямий вигині косий вигин.

Чистий та поперечний вигин балки

Чистим вигином називається такий вид деформації, при якому в будь-якому поперечному перерізі бруса виникає тільки згинальний момент ( Рис. 2).
Деформація чистого вигину, наприклад, матиме місце, якщо до прямого бруса в площині, що проходить через вісь, прикласти дві рівні за величиною і протилежні за знаком пари сил. Тоді в кожному перерізі бруса будуть діяти тільки згинальні моменти.

Якщо ж вигин має місце в результаті застосування до бруса поперечної сили ( Рис. 3), то такий вигин називається поперечним. У цьому випадку в кожному перерізі бруса діє і поперечна сила, і момент, що згинає (крім перерізу, до якого прикладена зовнішнє навантаження).

Якщо брус має хоч одну вісь симетрії, і площина дії навантажень збігається з нею, то має місце прямий вигин, якщо ж ця умова не виконується, має місце косий вигин.

При вивченні деформації вигину подумки уявлятимемо собі, що балка (брус) складається з незліченної кількості поздовжніх, паралельних осі волокон.
Щоб наочно уявити деформацію прямого вигину, проведемо досвід із гумовим брусом, на якому нанесена сітка поздовжніх та поперечних ліній.
Піддавши такий брус прямому вигину, можна помітити, що ( Рис. 1):

Поперечні лінії залишаться при деформації прямими, але обернуться під кутом одна одній;
- перерізи бруса розширяться в поперечному напрямку на увігнутій стороні і звузяться на опуклій стороні;
- Поздовжні прямі лінії скривляться.

З цього досвіду можна зробити висновок, що:

При чистому згинанні справедлива гіпотеза плоских перерізів;
- волокна, що лежать на опуклій стороні, розтягуються, на увігнутій стороні – стискаються, а на межі між ними лежить нейтральний шар волокон, які тільки викривляються, не змінюючи своєї довжини.

Вважаючи справедливою гіпотезу про не натискання волокон, можна стверджувати, що при чистому вигині в поперечному перерізі бруса виникають лише нормальні напруження розтягування та стиснення, нерівномірно розподілені за перерізом.
Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу називається нейтральною віссю. Очевидно, що на нейтральній осі нормальні напруги дорівнюють нулю.

Згинальний момент та поперечна сила

Як відомо з теоретичної механіки, опорні реакції балок визначають, складаючи та вирішуючи рівняння рівноваги статики для всієї балки. При вирішенні завдань опору матеріалів і визначенні внутрішніх силових факторів у брусах, ми враховували реакції зв'язків нарівні із зовнішніми навантаженнями, що діють на бруси.
Для визначення внутрішніх силових факторів застосуємо метод перерізів, причому зображати балку будемо лише однією лінією – віссю, до якої прикладені активні та реактивні сили (навантаження та реакції зв'язків).

Розглянемо два випадки:

1. До балки прикладено дві рівні та протилежні за знаком пари сил.
Розглядаючи рівновагу частини балки, розташованої зліва або праворуч від перерізу 1-1 (Рис. 2), бачимо, що у всіх поперечних перерізах виникає тільки згинальний момент М і , рівний зовнішньому моменту. Таким чином, це випадок чистого вигину.

Згинальний момент є результуючим моментом щодо нейтральної осі внутрішніх нормальних сил, що діють у поперечному перерізі балки.

Звернемо увагу на те, що згинальний момент має різний напрямок для лівої та правої частинбалки. Це говорить про непридатність правила знаків статики щодо знака згинального моменту.

2. До балки прикладені активні та реактивні сили (навантаження та реакції зв'язків), перпендикулярні осі (Рис. 3). Розглядаючи рівновагу частин балки, розташованих ліворуч і праворуч, бачимо, що в поперечних перерізах повинні діяти згинальний момент М і і поперечна сила Q.
З цього випливає, що в даному випадку в точках поперечних перерізів діють не тільки нормальні напруги, відповідні згинальний момент, але і дотичні, відповідні поперечній силі.

Поперечна сила є рівнодією внутрішніх дотичних сил у поперечному перерізі балки.

Звернемо увагу на те, що поперечна сила має протилежний напрямок для лівої та правої частин балки, що говорить про непридатність правила знаків статики щодо знака поперечної сили.

Вигин, при якому в поперечному перерізі балки діють згинальний момент і поперечна сила, називається поперечним.



У балки, що знаходиться в рівновазі вод дією плоскої системи сил, сума алгебри моментів всіх активних і реактивних сил відносно будь-якої точки дорівнює нулю; отже, сума моментів зовнішніх сил, що діють на балку лівіше за переріз, чисельно дорівнює сумі моментів усіх зовнішніх сил, що діють на балку правіше за переріз.
Таким чином, згинальний момент у перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри моментів щодо центру тяжкості перерізу всіх зовнішніх сил, що діють на балку праворуч або зліва від перерізу.

У балки, що знаходиться в рівновазі під дією плоскої системи сил, перпендикулярних до осі (тобто системи паралельних сил), алгебраїчна сума всіх зовнішніх сил дорівнює нулю; отже сума зовнішніх сил, що діють на балку лівіше за переріз, чисельно дорівнює алгебраїчній сумі сил, що діють на балку правіше за переріз.
Таким чином, поперечна сила в перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, що діють справа або зліва від перерізу.

Так як правила знаків статики неприйнятні для встановлення знаків згинального моменту та поперечної сили, встановимо для них інші правила знаків, а саме: Якщо зовнішнє навантаження прагне вигнути балку опуклістю вниз, то згинальний момент у перерізі вважається позитивним, і навпаки, якщо зовнішнє навантаження прагне зігнути балку опуклістю вгору, то згинальний момент у перерізі вважається негативним ( рис 4,a).

Якщо сума зовнішніх сил, що лежать ліворуч від перерізу, дає рівнодіючу, спрямовану вгору, то поперечна сила в перерізі вважається позитивною, якщо рівнодіюча спрямована вниз, то поперечна сила в перерізі вважається негативною; для частини балки, розташованої праворуч від перерізу, знаки поперечної сили будуть протилежними ( Рис. 4,b). Користуючись цими правилами, слід подумки уявляти собі перетин балки жорстко защемленим, а зв'язки відкинутими та заміненими реакціями.

Ще раз зазначимо, що з визначення реакцій зв'язків користуються правилами знаків статики, а визначення знаків згинального моменту і поперечної сили – правилами знаків опору матеріалів.
Правило знаків для згинальних моментів іноді називають "правилом дощу", маючи на увазі, що у разі опуклості вниз утворюється лійка, в якій затримується дощова вода (знак позитивний), і навпаки - якщо під дією навантажень балка вигинається дугою вгору, вода на ній не затримується (знак згинальних моментів негативний).

Матеріали розділу "Вигин":

Вигином називається вид деформації, при якому викривляється поздовжня вісь бруса. Прямі бруси, що працюють на вигин, називаються балками. Прямим вигином називається вигин, при якому зовнішні сили, що діють на балку, лежать в одній площині (силовій площині), що проходить через поздовжню вісь балки та головну центральну вісь інерції поперечного перерізу.

Вигин називається чистимякщо в будь-якому поперечному перерізі балки виникає тільки один згинальний момент.

Вигин, при якому в поперечному перерізі балки одночасно діють згинальний момент і поперечна сила, називається поперечним. Лінія перетину силової площини та площини поперечного перерізу називається силовою лінією.

Внутрішні силові фактори при згинанні балки.

При плоскому поперечному згині в перерізах балки виникають два внутрішні силові фактори: поперечна сила Q і згинальний момент М. Для їх визначення використовують метод перерізів (див. лекцію 1). Поперечна сила Q в перерізі балки дорівнює сумі алгебри проекцій на площину перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по одну сторону від розрізу.

Правило знаків для поперечних сил Q:

Згинальний момент М у перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів щодо центру тяжкості цього перерізу всіх зовнішніх сил, що діють по один бік від аналізованого перерізу.

Правило знаків для згинальних моментів M:

Диференційні залежності Журавського.

Між інтенсивністю q розподіленого навантаження, виразами для поперечної сили Q та згинального моменту М встановлені диференціальні залежності:

На основі цих залежностей можна виділити такі загальні закономірностіепюр поперечних сил Q і згинальних моментів М:

Особливості епюр внутрішніх силових факторів при згинанні.

1. На ділянці балки, де немає розподіленого навантаження, епюра Q представлена прямою лінією , паралельній базі епюре, а епюра М - похилої прямої (рис. а).

2. У перерізі, де прикладена зосереджена сила, на епюрі Q має бути стрибок , що дорівнює значенню цієї сили, а на епюрі М - точка перелому (Рис. А).

3. У перерізі, де прикладений зосереджений момент, значення Q не змінюється, а епюра М має стрибок , що дорівнює значенню цього моменту, (рис. 26, б).

4. На ділянці балки з розподіленим навантаженням інтенсивності q епюра Q змінюється за лінійним законом, а епюра М - за параболічним, причому опуклість параболи спрямована назустріч напрямку розподіленого навантаження (Рис. в, г).

5. Якщо в межах характерної ділянки епюра Q перетинає базу епюри, то в перерізі, де Q = 0, момент, що згинає, має екстремальне значення M max або M min (рис. г).

Нормальна напруга при згинанні.

Визначаються за такою формулою:

Моментом опору перерізу вигину називається величина:

Небезпечним перетином при згинанні називається поперечний переріз бруса, в якому виникає максимальна нормальна напруга.

Дотичні напруження при прямому згині.

Визначаються за формулі Журавського для дотичних напруг при прямому вигинібалки:

де S отс - статичний момент поперечної площі відсіченого шару поздовжніх волокон щодо нейтральної лінії.

Розрахунки на міцність при згинанні.

1. При перевірочному розрахунку визначається максимальна розрахункова напруга, яка порівнюється з напругою, що допускається:

2. При проектному розрахунку підбір перерізу бруса проводиться з умови:

3. При визначенні допустимого навантаження допустимий згинальний момент визначається за умови:

Переміщення при згинанні.

Під впливом навантаження при згині вісь балки викривляється. При цьому спостерігається розтягнення волокон на опуклій і стиск - на увігнутій частинах балки. Крім того, відбувається вертикальне переміщення центрів ваги поперечних перерізів та їх поворот щодо нейтральної осі. Для характеристики деформації при згинанні використовують такі поняття:

Прогин балки Y- переміщення центру тяжкості поперечного перерізу балки у напрямі, перпендикулярному до її осі.

Прогин вважають позитивним, якщо переміщення центру тяжкості відбувається нагору. Величина прогину змінюється довжиною балки, тобто. y = y(z)

Кут повороту перерізу- Кут θ, на який кожен перетин повертається по відношенню до свого початкового положення. Кут повороту вважають позитивним при повороті перерізу проти перебігу годинникової стрілки. Розмір кута повороту змінюється по довжині балки, будучи функцією θ = θ (z).

Найпоширенішими способами визначення переміщень є метод Мореі правило Верещагіна.

Метод мору.

Порядок визначення переміщень методом Мора:

1. Будується «допоміжна система» та навантажується одиничним навантаженням у точці, де потрібно визначити переміщення. Якщо визначається лінійне переміщення, то його напрямі прикладається одинична сила, щодо кутових переміщень – одиничний момент.

2. Для кожної ділянки системи записуються вирази згинальних моментів М f від прикладеного навантаження і М 1 від одиничного навантаження.

3. По всіх ділянках системи обчислюють і підсумовують інтеграли Мора, отримуючи в результаті переміщення:

4. Якщо обчислене переміщення має позитивний знак, це означає, що його напрямок збігається з напрямком одиничної сили. Негативний знак вказує на те, що дійсне переміщення протилежне до напрямку одиничної сили.

Правило Верещагіна.

Для випадку, коли епюра згинальних моментів від заданого навантаження має довільне, а від одиничного навантаження – прямолінійне обрис, зручно використовувати графоаналітичний спосіб або правило Верещагіна.

де A f - площа епюри згинального моменту М f від заданого навантаження; y c - ордината епюри від одиничного навантаження під центром тяжкості епюри М f; EI x – жорсткість перерізу ділянки балки. Обчислення за цією формулою проводяться по ділянках, на кожному з яких прямолінійна епюра має бути без переломів. Величина (A f * y c) вважається позитивною, якщо обидві епюри розташовуються по одну сторону від балки, негативною, якщо вони розташовуються по різні боки. Позитивний результат перемноження епюр означає, що напрямок переміщення збігається із напрямком одиничної сили (або моменту). Складна епюра М f повинна бути розбита на прості постаті (застосовується так зване "розшарування епюри"), для кожної з яких легко визначити ординату центру тяжкості. У цьому площа кожної фігури множиться на ординату під її центром тяжкості.

Гіпотезу плоских перерізів при згинанніможна пояснити на прикладі: нанесемо на бічній поверхні недеформованої балки сітку, що складається з поздовжніх та поперечних (перпендикулярних до осі) прямих ліній. В результаті вигину балки поздовжні лінії приймуть криволінійне обрис, а поперечні практично залишаться прямими і перпендикулярними до вигнутої осі балки.

Формулювання гіпотези плоских перерізів: поперечні перерізи, плоскі та перпендикулярні до осі балки до , залишаються плоскими та перпендикулярними до вигнутої осі після її деформації.

Ця обставина свідчить: якщо виконується гіпотеза плоских перерізів, як при і

Крім гіпотези плоских перерізів приймається припущення: поздовжні волокна балки при її згинанні не натискають один на одного.

Гіпотезу плоских перерізів та припущення називають гіпотезою Бернуллі.

Розглянемо балку прямокутного поперечного перерізу, що зазнає чистого вигину (). Виділимо елемент балки завдовжки (рис. 7.8. а). В результаті вигину поперечні перерізи балки повернуться, утворивши кут. Верхні волокна зазнають стиску, а нижні розтягування. Радіус кривизни нейтрального волокна позначимо.

Умовно вважаємо, що волокна змінюють свою довжину, залишаючись у своїй прямими (рис. 7.8. б). Тоді абсолютне та відносне подовження волокна, що віддаляється на відстані y від нейтрального волокна:

Покажемо, що поздовжні волокна, які не випробовують при згинанні балки ні розтягування, ні стискування, проходять через головну центральну вісь x.

Оскільки довжина балки при згинанні не змінюється, поздовжнє зусилля (N), що виникає в поперечному перерізі, має дорівнювати нулю. Елементарне поздовжнє зусилля.

З урахуванням виразу :

Множник можна винести за знак інтеграла (не залежить від змінної інтеграції).

Вираз представляє поперечного перерізу балки щодо нейтральної осі x. Він дорівнює нулю, коли нейтральна вісь проходить через центр тяжіння поперечного перерізу. Отже, нейтральна вісь (нульова лінія) при згинанні балки проходить через центр тяжіння поперечного перерізу.

Очевидно: згинальний момент пов'язаний з нормальними напругами, що виникають у точках поперечного перерізу стрижня. Елементарний згинальний момент, що створюється елементарною силою:

,

де - осьовий момент інерції поперечного перерізу щодо нейтральної осі x, а відношення - кривизна осі балки.

Жорсткість балки при згинанні(Чим більше, тим менше радіус кривизни).

Отримана формула являє собою закон Гука при згині для стрижня: згинальний момент, що виникає в поперечному перерізі, пропорційний кривизні осі балки.

Висловлюючи з формули закону Гука для стрижня при згинанні радіус кривизни () і підставляючи його значення формулу , Отримаємо формулу для нормальних напруг () у довільній точці поперечного перерізу балки, що віддаляється на відстані y від нейтральної осі x : .

У формулу для нормальних напруг () у довільній точці поперечного перерізу балки слід підставляти абсолютні значення згинального моменту () та відстані від точки до нейтральної осі (координати y). Чи напруга в даній точці розтягує або стискає легко встановити за характером деформації балки або по епюрі згинальних моментів, ординати якої відкладаються з боку стиснутих волокон балки.

З формули видно: нормальні напруги () змінюються за висотою поперечного перерізу балки за лінійним законом. На рис. 7.8, показана епюра . Найбільші напруження при згинанні балки виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. Якщо в поперечному перерізі балки провести лінію, паралельну нейтральній осі x, то у всіх її точках виникають однакові нормальні напруги.

Нескладний аналіз епюри нормальних напругпоказує, при згинанні балки матеріал, розташований поблизу нейтральної осі, практично не працює. Тому з метою зниження ваги балки рекомендується вибирати такі форми поперечного перерізу, у яких більша частина матеріалу віддалена від нейтральної осі, як, наприклад, двотаврового профілю.

Прямий поперечний вигинвиникає у випадку, коли всі навантаження прикладені перпендикулярно до осі стрижня, лежать в одній площині і, крім того, площина їх дії збігається з однією з головних центральних осей інерції перерізу. Прямий поперечний згин відноситься до простому виглядуопору і є плоским напруженим станом, тобто. дві головні напруги відмінні від нуля. При такому вигляді деформації виникають внутрішні зусилля: поперечна сила та згинальний момент. Приватним випадком прямого поперечного вигину є чистий вигин, При такому опорі є вантажні ділянки, в межах яких поперечне зусилля звертається в нуль, а згинальний момент відмінний від нуля. У поперечних перерізах стрижнів при прямому поперечному згині виникають нормальні та дотичні напруги. Напруги є функцією від внутрішнього зусилля, у разі нормальні – функцією від згинального моменту, а дотичні - від поперечної сили. При прямому поперечному згині вводяться кілька гіпотез:

1) Поперечні перерізи балки, плоскі до деформації, залишаються плоскими та ортогональними до нейтрального шару після деформації (гіпотеза плоских перерізів або гіпотеза Я. Бернуллі).Ця гіпотеза виконується при чистому згинанні і порушується при виникненні поперечної сили, дотичних напруг, і появою кутової деформації.

2) Взаємний тиск між поздовжніми шарами відсутня (гіпотеза про ненатискання волокон).З цієї гіпотези випливає, що поздовжні волокна зазнають одновісного розтягування або стиснення, отже, при чистому згині справедливий закон Гука.

Стрижень, що зазнає вигину, називають балкою. При згинанні одна частина волокон розтягується, інша частина – стискається. Шар волокон, що знаходиться між розтягнутими та стиснутими волокнами, називають нейтральним шаром, він проходить через центр тяжкості перерізів. Лінію перетину його з поперечним перерізом балки називають нейтральною віссю. На основі введених гіпотез при чистому згині отримано формулу для визначення нормальних напруг, яка застосовується і при прямому поперечному згині. Нормальну напругу можна знайти за допомогою лінійної залежності (1), в якій відношення згинального моменту до осьового моменту інерції (
) у конкретному перерізі є величиною постійною, а відстань ( y) вздовж осі ординат від центру тяжкості перерізу до точки, в якій визначають напругу, змінюється від 0 до
.

. (1)

Для визначення дотичної напруги при згині 1856р. Російським інженером – будівельником мостів Д.І. Журавським було отримано залежність

. (2)

Відносна напруга в конкретному перерізі не залежить від відношення поперечної сили до осьового моменту інерції (
), т.к. ця величина в межах одного перерізу не змінюється, а залежить від відношення статичного моменту площі відсіченої частини до ширини перерізу на рівні відсіченої частини (
).

При прямому поперечному згині виникають переміщення: прогини (v ) та кути поворотів (Θ ) . Для їх визначення використовують рівняння методу початкових параметрів (3), отримані шляхом інтегрування диференціального рівняння вигнутої осі балки (
).

Тут v 0 , Θ 0 ,М 0 , Q 0 - Початкові параметри, x – відстань від початку координат до перерізу, в якому визначається переміщення , a– відстань від початку координат до місця застосування або початку дії навантаження.

Розрахунок на міцність та жорсткість виробляють за допомогою умов міцності та жорсткості. З допомогою цих умов можна вирішувати перевірочні завдання (виконувати перевірку виконання умови), визначати розмір поперечного перерізу чи підбирати допустиме значення параметра навантаження. Умов міцності розрізняють декілька, деякі з них наведені нижче. Умова міцності за нормальними напругамимає вигляд:

, (4)

тут
– момент опору перерізу щодо осі z, R – розрахунковий опірза нормальними напругами.

Умова міцності за дотичною напругоювиглядає як:

, (5)

тут позначення ті самі, що у формулі Журавського, а R s – розрахунковий опір зрізу або розрахунковий опір з дотичних напруг.

Умова міцності з третьої гіпотези міцностіабо гіпотезі найбільшої дотичної напруги можна записати в наступному вигляді:

. (6)

Умови жорсткостіможна записати для прогинів (v ) і кутів повороту (Θ ) :

де значення переміщень у квадратних дужках є допустимими.

Приклад виконання індивідуального завдання №4 (Термін 2-8 тиждень)