Плоский вигин стрижнів. Прямий поперечний згин. Прості види опору. плоский вигин

Плоский поперечний вигинбалок. Внутрішні зусилля при згинанні. Диференційні залежності внутрішніх зусиль. Правила перевірки епюр внутрішніх зусиль при згинанні. Нормальні та дотичні напруги при згині. Розрахунок на міцність за нормальними і дотичними напругами.

10. ПРОСТІ ВИДИ ПРОТИ. ПЛОСКИЙ ВИГИБ

10.1. Загальні поняття та визначення

Вигин - це такий вид навантаження, при якому стрижень завантажений моментами в площинах, що проходять через поздовжню вісь стрижня.

Стрижень, що працює на вигин, називається балкою (або брусом). Надалі розглядатимемо прямолінійні балки, поперечний переріз яких має хоча б одну вісь симетрії.

У опорі матеріалів розрізняють вигин плоский, косий та складний.

Плоский вигин - вигин, при якому всі зусилля, що згинають балку, лежать в одній із площин симетрії балки (в одній з головних площин).

Головними площинами інерції балки називають площини, що проходять через головні осі поперечних перерізів та геометричну вісь балки (вісь x).

Косий вигин - вигин, при якому навантаження діють в одній площині, що не збігається з головними площинами інерції.

Складний вигин - вигин, при якому навантаження діють у різних (довільних) площинах.

10.2. Визначення внутрішніх зусиль при згинанні

Розглянемо два характерні випадки вигину: у першому – консольна балка згинається зосередженим моментом M o ; у другому – зосередженою силою F .

Використовуючи метод уявних перерізів та становлячи рівняння рівноваги для відсічених частин балки, визначимо внутрішні зусилля в тому й іншому випадку:

Інші рівняння рівноваги, очевидно, тотожно дорівнюють нулю.

Таким чином, у загальному випадку плоского вигину в перерізі балки із шести внутрішніх зусиль виникає два – згинальний моментМ z та поперечна сила Q y (або при згині відносно іншої головної осі - момент М, що згинає, і поперечна сила Q z ).

При цьому, відповідно до двох розглянутих випадків навантаження, плоский вигин можна поділити на чистий і поперечний.

Чистий згин - плоский згин, при якому в перерізах стрижня з шести внутрішніх зусиль виникає тільки одне - згинальний момент (див. перший випадок).

Поперечний вигин- Вигин, при якому в перерізах стрижня крім внутрішнього згинального моменту виникає і поперечна сила (див. другий випадок).

Строго кажучи, до найпростіших видів опору належить лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, так як у більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної сили при розрахунках на міцність можна знехтувати.

При визначенні внутрішніх зусиль дотримуватимемося наступного правила знаків:

1) поперечна сила Q y вважається позитивною, якщо вона прагне повернути аналізований елемент балки за годинниковою стрілкою;

2) згинальний моментМ z вважається позитивним, якщо при згинанні елемента балки верхні волокна елемента виявляються стислими, а нижні – розтягнутими (правило парасольки).

Таким чином, розв'язання задачі щодо визначення внутрішніх зусиль при вигині будемо вибудовувати за наступним планом: 1) на першому етапі, розглядаючи умови рівноваги конструкції в цілому, визначаємо, якщо це необхідно, невідомі реакції опор (зазначимо, що для консольної балки реакції в закладенні можна і не шукати, якщо розглядати балку з вільного кінця); 2) на другому етапі виділяємо характерні ділянки балки, приймаючи за межі ділянок точки застосування сил, точки зміни форми або розмірів балки, точки закріплення балки; 3) третьому етапі визначаємо внутрішні зусилля в перерізах балки, розглядаючи умови рівноваги елементів балки кожному з ділянок.

10.3. Диференціальні залежності при згинанні

Встановимо деякі взаємозв'язки між внутрішніми зусиллями та зовнішніми навантаженнями при згинанні, а також характерні особливостіепюр Q і M, знання яких полегшить побудову епюр і дозволить контролювати їхню правильність. Для зручності запису будемо позначати: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Виділимо на ділянці балки з довільним навантаженням у місці, де немає зосереджених сил та моментів, малий елемент dx. Так як вся балка знаходиться в рівновазі, то і елемент dx перебуватиме в рівновазі під дією прикладених до нього поперечних сил, згинальних моментів та зовнішнього навантаження. Оскільки Q і M у загальному випадку змінюються вздовж осі балки, то в перерізах елемента dx виникатимуть поперечні сили Q і Q + dQ, а також згинальні моменти M і M + dM. З умови рівноваги виділеного елемента отримаємо

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM) = 0.

З другого рівняння, нехтуючи доданком q · dx · (dx /2) як нескінченно малою величиною другого порядку, знайдемо

Співвідношення (10.1), (10.2) та (10.3) називаютьдиференціальними залежностями Д. І. Журавського при згинанні.

Аналіз наведених вище диференціальних залежностейпри згині дозволяє встановити деякі особливості (правила) побудови епюр згинальних моментів та поперечних сил:

а – на ділянках, де немає розподіленого навантаження q, епюри Q обмежені прямими, паралельними базі, а епюри M – похилими прямими;

б – на ділянках, де до балки прикладено розподілене навантаження q, епюри Q обмежені похилими прямими, а епюри M – квадратичними параболами. При цьому, якщо епюру М будуємо «на розтягнутому волокні», то опуклість па-

Роболи буде направлена ​​за напрямом дії q а екстремум буде розташований в перерізі, де епюра Q перетинає базову лінію;

в – у перерізах, де до балки прикладається зосереджена сила на епюрі Q будуть стрибки на величину та у напрямку даної сили, а на епюрі М – перегини, вістрям спрямовані у напрямку дії цієї сили; г – у перерізах, де до балки прикладається зосереджений момент на епі-

ре Q змін не буде, а на епюрі М - стрибки на величину цього моменту; д - на ділянках, де Q> 0, момент М зростає, а на ділянках, де Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальна напруга при чистому згині прямого бруса

Розглянемо випадок чистого плоского вигину балки та виведемо формулу для визначення нормальних напруг для даного випадку. Зазначимо, що в теорії пружності можна отримати точну залежність для нормальної напруги при чистому вигині, якщо ж вирішувати це завдання методами опору матеріалів необхідно ввести деякі припущення.

Таких гіпотез при вигині три:

а – гіпотеза плоских перерізів (Гіпотеза Бернуллі)

– перерізи плоскі до деформації залишаються плоскими та після деформації, а лише повертаються щодо деякої лінії, яка називається нейтральною віссю перерізу балки. При цьому волокна балки, що лежать з одного боку від нейтральної осі розтягуватимуться, а з іншого – стискатимуться; волокна, що лежать на нейтральній осі своєї довжини не змінюють;

б - гіпотеза про сталість нормальних напряже-

ній - напруги, що діють на однаковій відстані y від нейтральної осі, постійні по ширині бруса;

в – гіпотеза про відсутність бічних тисків – зі-

сиві поздовжні волокна не тиснуть один на одного.

Чистим вигиномназивається такий вид вигину, при якому має місце дія тільки згинального моменту(Рис. 3.5, а).Подумки проведемо площину перерізу I-I перпендикулярно до поздовжньої осі балки на відстані * від вільного кінця балки, до якого доданий зовнішній момент m z.Здійснимо дії, аналогічні тим, які були виконані нами при визначенні напружень та деформацій під час кручення, а саме:

• 1) складемо рівняння рівноваги подумки відсіченої частини деталі;
• 2) визначимо деформацію матеріалу деталі виходячи з умов сумісності деформацій елементарних обсягів цього перерізу;
• 3) вирішимо рівняння рівноваги та спільності деформацій.

З умови рівноваги відсіченої ділянки балки (рис. 3.5, б)

отримаємо, що момент внутрішніх сил M zдорівнює моменту зовнішніх сил т: М = т.

Мал. 3.5.

Момент внутрішніх сил створюється нормальними напругами o v , спрямованими вздовж осі х. При чистому згині немає зовнішніх сил, тому сума проекцій внутрішніх сил будь-яку координатну вісь дорівнює нулю. На цій підставі запишемо умови рівноваги у вигляді рівностей

де А- Площа поперечного перерізу балки (стрижня).

При чистому вигині зовнішні сили F x , F, F vа також моменти зовнішніх сил т х, т урівні нулю. Тому решта рівнянь рівноваги тотожно дорівнює нулю.

З умови рівноваги при о^О випливає, що

нормальна напруга з ху поперечному перерізі приймають як позитивні, і негативні значення. (Досвід показує, що при згинанні матеріал нижньої сторони бруса на рис. 3.5, арозтягнутий, а верхній - стиснутий.) Отже, у поперечному перерізі при згині є такі елементарні об'єми (перехідного шару від стиснення до розтягування), у яких подовження або стиснення відсутнє. Це - нейтральний шар.Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу називається нейтральною лінією.

Умови сумісності деформацій елементарних обсягів при згинанні формується на основі гіпотези плоских перерізів: плоскі до вигину поперечні перерізибалки (див. рис. 3.5, б)залишаться плоскими та після вигину (рис. 3.6).

В результаті дії зовнішнього моменту брус згинається, а площини перерізів І-І та ІІ-ІІ повертаються один щодо одного на кут dy(Рис. 3.6, б).При чистому вигині деформація всіх перерізів вздовж осі балки однакова, тому радіус р к кривизни нейтрального шару балки вздовж осі х один і той же. Так як dx= р K dip,то кривизна нейтрального шару дорівнює 1/р до = dip / dxта постійна по довжині балки.

Нейтральний шар не деформується, його довжина до та після деформації дорівнює dx.Нижче за цей шар матеріал розтягнутий, вище - стиснутий.

Мал. 3.6.

Значення подовження розтягнутого шару, що знаходиться на відстані від нейтрального, дорівнює ydq.Відносне подовження цього шару:

Таким чином, прийнятої моделі отримано лінійний розподіл деформацій залежно від відстані даного елементарного обсягу до нейтрального шару, тобто. по висоті перерізу балки. Вважаючи, що немає взаємного натискання паралельних шарів матеріалу один на одного (про у = 0, а = 0), запишемо закон Гука для лінійного розтягування:

Згідно (3.13) нормальні напруженняу поперечному перерізі балки розподілені за лінійним законом. Напруга елементарного обсягу матеріалу, найбільш віддаленого від нейтрального шару (рис. 3.6, в), максимально і одно

? Завдання 3.6

Визначити межу пружності сталевого клинка завтовшки / = 4 мм і довжиною / = 80 см, якщо його вигин у півколо не викликає залишкової деформації.

Рішення

Напруга при згинанні o v = Еу/ р к. Приймемо y max = t/ 2і р к = / / до.

Межа пружності має відповідати умові з уп > c v = 1/2 кЕt/1.

Відповідь: про = ] / 2 до 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 МПа; межа плинності цієї сталі а т > 1800 МПа, що перевищує а т самих міцних пружинних сталей. ?

? Завдання 3.7

Визначити мінімальний радіус барабана для намотування стрічки завтовшки / = 0,1 мм нагрівального елемента з нікелевого сплаву, при якому матеріал стрічки не деформується пластично. Модуль Е= 1,6 10 5 МПа, межа пружності про уп = 200 МПа.

Відповідь:мінімальний радіус р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 м. ?

1. При спільному розв'язанні першого рівняння рівноваги (3.12) та рівняння спільності деформацій (3.13) отримаємо

Значення Е/ р до ф 0 і однаково всім елементів dAПлощі інтегрування. Отже, ця рівність задовольняється лише за умови

Цей інтеграл називають статичним моментом площі поперечного перерізу щодо осіz?Який фізичний зміст цього інтегралу?

Візьмемо платівку постійної товщини, але довільного профілю (рис. 3.7). Підвісимо цю платівку в точці Зтак, щоб вона знаходилась у горизонтальному положенні. Позначимо символом питома вага матеріалу пластинки, тоді вага елементарного об'єму площею dAдорівнює dq= у JdA.Оскільки платівка перебуває у стані рівноваги, то з рівності нулю проекцій сил на вісь уотримаємо

де G= у M tA- Вага платівки.

Мал. 3.7.

Сума моментів сил усіх сил щодо осі z, що проходить у будь-якому перерізі пластинки, також дорівнює нулю:

Враховуючи що Y c = G,запишемо

Таким чином, якщо інтеграл виду J xdAпо площі Адорівнює

нулю, то х с = 0. Це означає, що точка З збігається з центром ваги платівки. Отже, з рівності S z = J ydA = 0 при з-

Згинає, що центр тяжіння поперечного перерізу балки знаходиться на нейтральній лінії.

Отже, значення у зпоперечного перерізу балки дорівнює нулю.

• 1. Нейтральна лінія при згинанні проходить через центр тяжіння поперечного перерізу балки.
• 2. Центр тяжкості поперечного перерізу є центром приведення моментів зовнішніх та внутрішніх сил.

Завдання 3.8

Завдання 3.9

2. При сумісному вирішенні другого рівняння рівноваги (3.12) та рівняння спільності деформацій (3.13) отримаємо

Інтеграл J z= J y 2 dAназивається моментом інерції поперечного

перерізу балки (стрижня) щодо осі z,проходить через центр тяжкості поперечного перерізу.

Таким чином, M z = Е J z /р к. Враховуючи, що з х = Її х = Еу/ р до і Е/ р до = а х / у,отримаємо залежність нормальних напруг о хпри вигині:

1. Напруга вигину в даній точці перерізу не залежить від модуля нормальної пружності Е,але залежить від геометричного параметра поперечного перерізу J zта відстані увід цієї точки до центру тяжкості поперечного перерізу.

2. Максимальна напругапри згинанні має місце в елементарних обсягах, найбільш віддалених від нейтральної лінії (див. рис. 3.6, в):

де W z- момент опору поперечного перерізу щодо осі Z-

Умова міцності при чистому вигині аналогічна умові міцності при лінійному розтягуванні:

де [а м | - Допустима напруга при згині.

Очевидно, що внутрішні обсяги матеріалу, особливо поблизу нейтральної осі, практично не навантажені (див. рис. 3.6, в).Це суперечить вимогам мінімізувати матеріаломісткість конструкції. Нижче будуть показані деякі способи подолання цієї суперечності.

Сили, що діють перпендикулярно до осі бруса і розташовані в площині, що проходить через цю вісь, викликають деформацію, яка називається поперечним вигином. Якщо площина дії згаданих сил – головна площина, то має місце прямий (плоский) поперечний згин. В іншому випадку вигин називається косим поперечним. Брус, схильний переважно до вигину, називається балкою 1 .

Фактично поперечний вигин є поєднання чистого згину і зсуву. У зв'язку з викривленням поперечних перерізів через нерівномірність розподілу зсувів по висоті виникає питання про можливість застосування формули нормальної напруги σ х, виведеною для чистого вигинуна підставі гіпотези плоских перерізів.

1 Однопрогонова балка, що має по кінцях відповідно одну циліндричну нерухому опору і одну циліндричну рухому в напрямку осі балки, називається простий. Балка з одним защемленим та іншим вільним кінцем називається консоллю. Проста балка, що має одну або дві частини, що звисають за опору, називається консольної.

Якщо, крім того, перерізи взяті далеко від місць застосування навантаження (на відстані, не меншій за половину висоти перерізу бруса), то можна, як і у разі чистого вигину, вважати, що волокна не чинять тиску один на одного. Отже, кожне волокно відчуває одновісне розтягування чи стиск.

При дії розподіленого навантаження поперечні сили у двох суміжних перерізах відрізнятимуться на величину, рівну qdx. Тому викривлення перерізів також дещо відрізнятимуться. Крім того, волокна будуть чинити тиск один на одного. Ретельне дослідження питання показує, що якщо довжина бруса lдосить велика в порівнянні з його висотою h (l/ h> 5), те й при розподіленому навантаженні зазначені чинники не мають істотного впливу нормальні напруги у поперечному перерізі і тому у практичних розрахунках можуть враховуватися.

а Б В

Мал. 10.5 Мал. 10.6

У перерізах під зосередженими вантажами та поблизу них розподіл σ хвідхиляється від лінійного закону. Це відхилення, що носить місцевий характер і не супроводжується збільшенням найбільшої напруги (у крайніх волокнах), на практиці зазвичай не беруть до уваги.

Таким чином, при поперечному згині (у площині ху) нормальні напруги обчислюються за формулою

σ х= – [М z(x)/I z]y.

Якщо проведемо два суміжні перерізи на ділянці бруса, вільному від навантаження, то поперечна сила в обох перерізах буде однакова, а отже, однаково викривлення перерізів. При цьому будь-який відрізок волокна ab(Мал.10.5) переміститься в нове положення a"b", не зазнавши додаткового подовження, а отже, не змінюючи величину нормальної напруги.

Визначимо дотичні напруги в поперечному перерізі через парні їм напруги, що діють у поздовжньому перерізі бруса.

Виділимо з бруса елемент завдовжки dx(Рис. 10.7 а). Проведемо горизонталь-ний перетин на відстані увід нейтральної осі z, Що розділило елемент на дві частини (рис. 10.7) і розглянемо рівновагу верхньої частини, що має основу

ня шириною b. Відповідно до закону парності дотичних напруг, напруги, що діють у поздовжньому перерізі, рівні напругам, що діють у поперечному перерізі. З огляду на це припущення про те, що дотичні напруги в майданчику bрозподілені рівномірно використовуємо умову ΣХ = 0, отримаємо:

N * - (N * + dN *) +

де: N * - рівнодіюча нормальних сил у лівому поперечному перерізі елемента dx в межах "відсіченої" майданчика А * (рис. 10.7 г):

де: S = - статичний момент "відсіченої" частини поперечного перерізу (заштрихована площа на рис. 10.7 в). Отже, можна записати:

Тоді можна записати:

Ця формула була отримана в XIX столітті російським вченим та інженером Д.І. Журавським і має його ім'я. І хоча ця формула наближена, оскільки усереднює напругу по ширині перерізу, але отримані результати розрахунку за нею непогано узгоджуються з експериментальними даними.

Для того, щоб визначити дотичні напруги в довільній точці перерізу віддаленої на відстані y від осі z слід:

Визначити з епюри величину поперечної сили Q, що у перерізі;

Обчислити момент інерції I z перерізу;

Провести через цю точку площину паралельну площині xzта визначити ширину перерізу b;

Обчислити статичний момент відсіченої площі Щодо головної центральної осі zі підставити знайдені величини формулу Жура-вского.

Визначимо як приклад дотичні напруги в прямокутному поперечному перерізі (рис. 10.6, в). Статичний момент щодо осі zчастини перерізу вище лінії 1-1, на якій визначається напруга запишемо у вигляді:

Він змінюється згідно із законом квадратної параболи. Ширина перерізу вдля прямокутного бруса постійна, то параболічним буде закон зміни дотичних напруг у перерізі (рис.10.6, в). При y =і у = − дотичні напруги дорівнюють нулю, а на нейтральній осі zвони сягають найбільшого значення.

Для балки круглого поперечного перерізу на нейтральній осі маємо.

Вигин



Основні поняття про вигин

Деформація вигину характеризується втратою прямолінійності або первісної форми лінією балки (її віссю) при застосуванні зовнішнього навантаження. При цьому, на відміну від деформації зсуву лінія балки змінює свою форму плавно.
Легко переконатися, що на опір вигину впливає не тільки площа поперечного перерізу балки (бруса, стрижня і т. д.), але і геометрична форма цього перерізу.

Оскільки вигин тіла (балки, бруса і т. п.) здійснюється щодо будь-якої осі, на опір вигину впливає величина осьового моменту інерції перерізу тіла щодо цієї осі.
Для порівняння - при деформації кручення перетин тіла піддається закручування щодо полюса (точки), тому на опір кручення впливає полярний момент інерції цього перерізу.

На вигин можуть працювати багато елементів конструкцій – осі, вали, балки, зубці зубчастих коліс, важелі, тяги тощо.

У опорі матеріалів розглядають кілька типів згинів:
- залежно від характеру зовнішнього навантаження, що додається до бруса, розрізняють чистий вигині поперечний вигин;
- в залежності від розташування площини дії згинального навантаження щодо осі бруса - прямий вигині косий вигин.

Чистий та поперечний вигин балки

Чистим вигином називається такий вид деформації, при якому в будь-якому поперечному перерізі бруса виникає тільки згинальний момент ( Мал. 2).
Деформація чистого вигину, наприклад, матиме місце, якщо до прямого бруса в площині, що проходить через вісь, прикласти дві рівні за величиною і протилежні за знаком пари сил. Тоді в кожному перерізі бруса будуть діяти тільки згинальні моменти.

Якщо ж вигин має місце в результаті застосування до бруса поперечної сили ( Мал. 3), то такий вигин називається поперечним. У цьому випадку в кожному перерізі бруса діє і поперечна сила, і момент, що згинає (крім перерізу, до якого прикладена зовнішнє навантаження).

Якщо брус має хоч одну вісь симетрії, і площина дії навантажень збігається з нею, то має місце прямий вигин, якщо ж ця умова не виконується, має місце косий вигин.

При вивченні деформації вигину подумки уявлятимемо собі, що балка (брус) складається з незліченної кількості поздовжніх, паралельних осі волокон.
Щоб наочно уявити деформацію прямого вигину, проведемо досвід із гумовим брусом, у якому нанесена сітка поздовжніх і поперечних ліній.
Піддавши такий брус прямому вигину, можна помітити, що ( Мал. 1):

Поперечні лінії залишаться при деформації прямими, але обернуться під кутом одна одній;
- перерізи бруса розширяться в поперечному напрямку на увігнутій стороні і звузяться на опуклій стороні;
- Поздовжні прямі лінії скривляться.

З цього досвіду можна зробити висновок, що:

При чистому згинанні справедлива гіпотеза плоских перерізів;
- волокна, що лежать на опуклій стороні, розтягуються, на увігнутій стороні – стискаються, а на межі між ними лежить нейтральний шар волокон, які тільки викривляються, не змінюючи своєї довжини.

Вважаючи справедливою гіпотезу про не натискання волокон, можна стверджувати, що при чистому вигині в поперечному перерізі бруса виникають лише нормальні напруження розтягування та стиснення, нерівномірно розподілені за перерізом.
Лінія перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу називається нейтральною віссю. Очевидно, що на нейтральній осі нормальні напруги дорівнюють нулю.

Згинальний момент та поперечна сила

Як відомо з теоретичної механіки, опорні реакції балок визначають, складаючи та вирішуючи рівняння рівноваги статики для всієї балки. При вирішенні завдань опору матеріалів і визначенні внутрішніх силових факторів у брусах, ми враховували реакції зв'язків нарівні із зовнішніми навантаженнями, що діють на бруси.
Для визначення внутрішніх силових факторів застосуємо метод перерізів, причому зображати балку будемо лише однією лінією – віссю, до якої прикладені активні та реактивні сили (навантаження та реакції зв'язків).

Розглянемо два випадки:

1. До балки прикладено дві рівні та протилежні за знаком пари сил.
Розглядаючи рівновагу частини балки, розташованої зліва або праворуч від перерізу 1-1 (Рис. 2), бачимо, що у всіх поперечних перерізах виникає тільки згинальний момент М і , рівний зовнішньому моменту. Таким чином, це випадок чистого вигину.

Згинальний момент є результуючим моментом щодо нейтральної осі внутрішніх нормальних сил, що діють у поперечному перерізі балки.

Звернемо увагу на те, що згинальний момент має різний напрямок для лівої та правої частинбалки. Це говорить про непридатність правила знаків статики щодо знака згинального моменту.

2. До балки прикладені активні та реактивні сили (навантаження та реакції зв'язків), перпендикулярні осі (Мал. 3). Розглядаючи рівновагу частин балки, розташованих ліворуч і праворуч, бачимо, що в поперечних перерізах повинні діяти згинальний момент М і і поперечна сила Q.
З цього випливає, що в даному випадку в точках поперечних перерізів діють не тільки нормальні напруги, відповідні згинальний момент, але і дотичні, відповідні поперечній силі.

Поперечна сила є рівнодією внутрішніх дотичних сил у поперечному перерізі балки.

Звернемо увагу на те, що поперечна сила має протилежний напрямок для лівої та правої частин балки, що говорить про непридатність правила знаків статики щодо знака поперечної сили.

Вигин, при якому в поперечному перерізі балки діють згинальний момент і поперечна сила, називається поперечним.



У балки, що знаходиться в рівновазі вод дією плоскої системи сил, сума алгебри моментів всіх активних і реактивних сил відносно будь-якої точки дорівнює нулю; отже, сума моментів зовнішніх сил, що діють на балку лівіше за переріз, чисельно дорівнює сумі моментів усіх зовнішніх сил, що діють на балку правіше за переріз.
Таким чином, згинальний момент у перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри моментів щодо центру тяжкості перерізу всіх зовнішніх сил, що діють на балку праворуч або зліва від перерізу.

У балки, що знаходиться в рівновазі під дією плоскої системи сил, перпендикулярних до осі (тобто системи паралельних сил), алгебраїчна сума всіх зовнішніх сил дорівнює нулю; отже сума зовнішніх сил, що діють на балку лівіше за переріз, чисельно дорівнює алгебраїчній сумі сил, що діють на балку правіше за переріз.
Таким чином, поперечна сила в перерізі балки чисельно дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил, що діють справа або зліва від перерізу.

Так як правила знаків статики неприйнятні для встановлення знаків згинального моменту та поперечної сили, встановимо для них інші правила знаків, а саме: Якщо зовнішнє навантаження прагне вигнути балку опуклістю вниз, то згинальний момент у перерізі вважається позитивним, і навпаки, якщо зовнішнє навантаження прагне зігнути балку опуклістю вгору, то згинальний момент у перерізі вважається негативним ( рис 4,a).

Якщо сума зовнішніх сил, що лежать ліворуч від перерізу, дає рівнодіючу, спрямовану вгору, то поперечна сила в перерізі вважається позитивною, якщо рівнодіюча спрямована вниз, то поперечна сила в перерізі вважається негативною; для частини балки, розташованої праворуч від перерізу, знаки поперечної сили будуть протилежними ( Мал. 4,b). Користуючись цими правилами, слід подумки уявляти собі перетин балки жорстко защемленим, а зв'язки відкинутими та заміненими реакціями.

Ще раз зазначимо, що з визначення реакцій зв'язків користуються правилами знаків статики, а визначення знаків згинального моменту і поперечної сили – правилами знаків опору матеріалів.
Правило знаків для згинальних моментів іноді називають "правилом дощу", маючи на увазі, що у разі опуклості вниз утворюється лійка, в якій затримується дощова вода (знак позитивний), і навпаки - якщо під дією навантажень балка вигинається дугою вгору, вода на ній не затримується (знак згинальних моментів негативний).

Матеріали розділу "Вигин":

Ми почнемо з найпростішої нагоди, так званого чистого вигину.

Чистий вигин є окремий випадок вигину, при якому в перерізах балки поперечна сила дорівнює нулю. Чистий вигин може мати місце лише в тому випадку, коли власна вага балки настільки мала, що його впливом можна знехтувати. Для балок на двох опорах приклади навантажень, що викликають чистий

вигин, представлені на рис. 88. На ділянках цих балок, де Q = 0 і, отже, М = const; має місце чистий вигин.

Зусилля в будь-якому перерізі балки при чистому вигині зводяться до пари сил, площина дії якої проходить через вісь балки, а момент постійний.

Напруги можуть бути визначені на підставі наступних міркувань.

1. Дотичні складові зусиль за елементарними майданчиками в поперечному перерізі балки не можуть бути приведені до пари сил, площина дії якої перпендикулярна до площини перерізу. Звідси випливає, що згинальне зусилля в перерізі є результатом дії по елементарним майданчикам

лише нормальних зусиль, тому при чистому згині і напруги зводяться лише до нормальним.

2. Щоб зусилля елементарними майданчиками звелися лише до пари сил, серед них мають бути як позитивні, так і негативні. Тому мають бути як розтягнуті, і стислі волокна балки.

3. Зважаючи на те, що зусилля в різних перерізах однакові, то і напруги у відповідних точках перерізів однакові.

Розглянемо якийсь елемент поблизу поверхні (рис. 89, а). Так як по нижній його грані, що збігається з поверхнею балки, сили не прикладені, то на ній немає і напружень. Тому і на верхній грані елемента немає напруг, так як інакше елемент не знаходився б і рівновазі, роздивляючись сусідній з ним по висоті елемент (рис. 89, б), прийдемо до

Такому ж висновку і т. д. Звідси випливає, що по горизонтальних гранях будь-якого елемента напруги відсутні. Розглядаючи елементи, що входять до складу горизонтального шару, починаючи з елемента біля поверхні балки (рис. 90), прийдемо до висновку, що і з бокових вертикальних граней будь-якого елемента напруги відсутні. Таким чином, напружений стан будь-якого елемента (рис. 91,а), а в межі і волокна, має бути представлений так, як це показано на рис. 91,б, тобто воно може бути або осьовим розтягуванням, або осьовим стисненням.

4. У силу симетрії докладання зовнішніх сил перетин по середині довжини балки після деформації повинен залишитися пло- ським і нормальним до осі балки (рис. 92, а). З цієї ж причини і перерізу в чвертях довжини балки теж залишаються плоскими і нормальними до осі балки (рис. 92, б), якщо тільки крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими і нормальними до осі балки. Аналогічний висновок справедливий і для перерізів у восьмих довжинах балки (рис. 92, в) і т. д. Отже, якщо при згинанні крайні перерізи балки залишаються плоскими, то і для будь-якого перерізу

справедливим твердження, що воно після деформації залишається плоским і нормальним до осі зігнутої балки. Але в такому випадку очевидно, що зміна подовжень волокон балки по її висоті має відбуватися не тільки безперервно, але і монотонно. Якщо назвати шаром сукупність волокон, що мають однакові подовження, то зі сказаного випливає, що розтягнуті і стислі волокна балки повинні розташовуватися по різні боки від шару, в якому подовження волокон дорівнюють нулю. Будемо називати волокна, подовження яких дорівнюють нулю, нейтральними; шар, що складається з нейтральних волокон, - нейтральним шаром; лінію перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу балки - нейтральною лінією цього перерізу. Тоді на підставі попередніх міркувань можна стверджувати, що при чистому вигині балки в кожному її перерізі є нейтральна лінія, яка ділить цей перетин на дві частини (зони): зону розтягнутих волокон (розтягнуту зону) і зону стиснутих волокон (стиснуту зону ). Відповідно з цим у точках розтягнутої зони перетину повинні діяти нормальні розтягуючі напруги, у точках стиснутої зони - стискаючі напруги, а в точках нейтральної лінії напруги дорівнюють нулю.

Таким чином, при чистому згині балки постійного січення:

1) у перерізах діють лише нормальні напруження;

2) весь переріз може бути розбитий на дві частини (зони) - розтягнуту та стиснуту; межею зон є нейтральна лінія перерізу, у точках якої нормальні напруги дорівнюють нулю;

3) будь-який поздовжній елемент балки (у межі будь-яке волокно) піддається осьовому розтягуванню або стиску, так що сусідні волокна один з одним не взаємодіють;

4) якщо крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими та нормальними до осі, то і всі її поперечні перерізи залишаються плоскими та нормальними до осі вигнутої балки.

Напружений стан балки при чистому вигині

Розглянемо елемент балки, схильної до чистого вигину, заклю- чений між перерізами m - m і n - n, які відстоять одне від іншого на нескінченно малому відстані dx (рис. 93). Внаслідок положення (4) попереднього пункту, перерізу m - m і n - n, що були до деформації паралельними, після вигину, залишаючись плоскими, будуть становити кут dQ і перетинатися по прямій, що проходить через точку С, яка є центром кривизни нейтрального волокна NN. Тоді укладена між ними частина АВ волокна, що знаходиться на відстані z від нейтрального волокна (позитивний напрямок осі z приймаємо у бік випуклості балки при згині), перетвориться після деформації в дугу А "В". Відрізок нейтрального волокна О1О2, перетворившись на дугу О1О2 не змінить своєї довжини, тоді як волокно АВ отримає подовження:

до деформації

після деформації

де р – радіус кривизни нейтрального волокна.

Тому абсолютне подовження відрізка АВ дорівнює

та відносне подовження

Оскільки згідно з положенням (3) волокно АВ піддається осьовому розтягуванню, то при пружній деформації

Звідси видно, що нормальні напруги за висотою балки розподіляються за лінійним законом (рис. 94). Так як рівнодіюча всіх зусиль по всіх елементарних майданчиках перетину повинна дорівнювати нулю, то

звідки, підставляючи значення (5.8), знайдемо

Але останній інтеграл є статичний момент щодо осі Оу, перпендикулярної до площини дії згинальних зусиль.

Внаслідок рівності його нулю ця вісь повинна проходити через центр тяжкості Про перерізу. Таким чином, нейтральна лінія перерізу балки є пряма уу, перпендикулярна до площини дії згинальних зусиль. Її називають нейтральною віссю перерізу балки. Тоді з (5.8) слід, що напруги в точках, що лежать на однаковій відстані від нейтральної осі, однакові.

Випадок чистого вигину, при якому згинальні зусилля діють тільки в одній площині, викликаючи вигин тільки в цій площині, є чистим плоским вигином. Якщо названа площина проходить через вісь Oz, то момент елементарних зусиль щодо цієї осі повинен дорівнювати нулю, тобто.

Підставляючи сюди значення σ (5.8), знаходимо

Стоячий у лівій частині цієї рівності інтеграл, як відомо, є відцентровим моментом інерції перерізу щодо осей у і z, так що

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю, називають головними осями інерції цього перерізу. Якщо вони, крім того, проходять через центр тяжкості перерізу, їх можна назвати головними центральними осями інерції перерізу. Таким чином, при плоскому чистому згині напрям площини дії згинальних зусиль і нейтральна вісь перерізу є головними центральними осями інерції останнього. Іншими словами, для отримання плоского чистого вигину балки навантаження до неї не може прикладатися довільно: вона повинна зводитися до сил, що діють у площині, яка проходить через одну з головних центральних осей інерції перерізів балки; при цьому інша головна центральна вісь інерції буде нейтральною віссю перерізу.

Як відомо, у разі перерізу, симетричного щодо будь-якої осі, вісь симетрії є однією з головних центральних осей його інерції. Отже, у цьому окремому випадку ми явно отримаємо чистий вигин, приклавши відповідні анавантаження в площині, що проходить через поздовжню вісь балки і вісь симетрії її перерізу. Пряма, перпендикулярна до осі симетрії і проходить через центр тяжкості перерізу, є нейтральною віссю цього перерізу.

Встановивши положення нейтральної осі, неважко знайти і величину напруги в будь-якій точці перерізу. Справді, оскільки сума моментів елементарних зусиль щодо нейтральної осі уу повинна дорівнювати згинальний момент, то

звідки, підставляючи значення з (5.8), знайдемо

Оскільки інтеграл є. моментом інерції перерізу щодо осі уу, то

і з виразу (5.8) отримаємо

Добуток ЕI У називають жорсткістю балки при згинанні.

Найбільше розтягує і найбільше по абсолютній величині напруга, що стискає діють в точках перерізу, для яких абсолютна величина z найбільша, тобто в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. При позначеннях, рис. 95 маємо

Величину Jy/h1 називають моментом опору перерізу розтягу і позначають Wyр; аналогічно, Jy/h2 називають моментом опору перерізу стиску

і позначають Wyc,так що

і тому

Якщо нейтральна вісь є віссю симетрії перерізу, то h1 = h2 = h/2 і, отже, Wyp = Wyc, так що їх розрізняти немає потреби, і користуються одним позначенням:

називаючи W y просто моментом опору перерізу. Отже, у разі перерізу, симетричного щодо нейтральної осі,

Всі наведені вище висновки отримані на підставі припущення, що поперечні перерізи балки, при згині залишаються пласкими і нормальними до її осі (гіпотеза плоских перерізів). Як було показано, це припущення справедливе лише у тому випадку, коли крайні (кінцеві) перерізи балки при згинанні залишаються плоскими. З іншого боку, з гіпотези плоских перерізів слід, що елементарні зусилля в таких перерізах повинні розподілятися за лінійним законом. Тому для справедливості отриманої теорії плоского чистого вигину необхідно, щоб згинальні моменти на кінцях балки були прикладені у вигляді елементарних сил, розподілених по висоті перерізу за лінійним законом (рис. 96), що збігається з законом розподілу напруг по висоті перерізу балки. Однак на підставі принципу Сен-Венана можна стверджувати, що зміна способу застосування згинальних моментів на кінцях балки викликає лише місцеві деформації, вплив яких позначиться лише на деякій відстані від цих кінців (приблизно рівному висоті перерізу). Перетини ж, що знаходяться у всій іншій частині довжини балки, залишаться плоскими. Отже, викладена теорія плоского чистого вигину при будь-якому способі застосування згинальних моментів справедлива тільки в межах середньої частини довжини балки, що знаходиться від її кінців на відстанях, приблизно рівних висоті перерізу. Звідси ясно, що ця теорія явно не застосовна, якщо висота перерізу перевищує половину довжини або прольоту балки.