Архів рубрики: Вигин. Чистий вигин. Поперечний вигин. Загальні поняття Поперечний вигин сопромат

Гіпотезу плоских перерізів при згинанніможна пояснити на прикладі: нанесемо на бічній поверхні недеформованої балки сітку, що складається з поздовжніх та поперечних (перпендикулярних до осі) прямих ліній. В результаті вигину балки поздовжні лінії приймуть криволінійне обрис, а поперечні практично залишаться прямими і перпендикулярними до вигнутої осі балки.

Формулювання гіпотези плоских перерізів: поперечні перерізи, плоскі та перпендикулярні до осі балки до , залишаються плоскими та перпендикулярними до вигнутої осі після її деформації.

Ця обставина свідчить: якщо виконується гіпотеза плоских перерізів, як при і

Крім гіпотези плоских перерізів приймається припущення: поздовжні волокна балки при її згинанні не натискають один на одного.

Гіпотезу плоских перерізів та припущення називають гіпотезою Бернуллі.

Розглянемо балку прямокутного поперечного перерізу, що зазнає чистого вигину (). Виділимо елемент балки завдовжки (рис. 7.8. а). В результаті вигину поперечні перерізи балки повернуться, утворивши кут. Верхні волокна зазнають стиску, а нижні розтягування. Радіус кривизни нейтрального волокна позначимо.

Умовно вважаємо, що волокна змінюють свою довжину, залишаючись у своїй прямими (рис. 7.8. б). Тоді абсолютне та відносне подовження волокна, що віддаляється на відстані y від нейтрального волокна:

Покажемо, що поздовжні волокна, які не випробовують при згинанні балки ні розтягування, ні стискування, проходять через головну центральну вісь x.

Оскільки довжина балки при згинанні не змінюється, поздовжнє зусилля (N), що виникає в поперечному перерізі, має дорівнювати нулю. Елементарне поздовжнє зусилля.

З урахуванням виразу :

Множник можна винести за знак інтеграла (не залежить від змінної інтеграції).

Вираз представляє поперечного перерізу балки щодо нейтральної осі x. Він дорівнює нулю, коли нейтральна вісь проходить через центр тяжіння поперечного перерізу. Отже, нейтральна вісь (нульова лінія) при згинанні балки проходить через центр тяжіння поперечного перерізу.

Очевидно: згинальний момент пов'язаний з нормальними напругами, що виникають у точках поперечного перерізу стрижня. Елементарний згинальний момент, що створюється елементарною силою:

де - осьовий момент інерції поперечного перерізу щодо нейтральної осі x, а відношення - кривизна осі балки.

Жорсткість балки при згинанні(Чим більше, тим менше радіус кривизни).

Отримана формула являє собою закон Гука при згині для стрижня: згинальний момент, що виникає в поперечному перерізі, пропорційний кривизні осі балки.

Висловлюючи з формули закону Гука для стрижня при згинанні радіус кривизни () і підставляючи його значення формулу , Отримаємо формулу для нормальних напруг () у довільній точці поперечного перерізу балки, що віддаляється на відстані y від нейтральної осі x : .

У формулу для нормальних напруг () у довільній точці поперечного перерізу балки слід підставляти абсолютні значення згинального моменту () та відстані від точки до нейтральної осі (координати y). Чи напруга в даній точці розтягує або стискає легко встановити за характером деформації балки або по епюрі згинальних моментів, ординати якої відкладаються з боку стиснутих волокон балки.

З формули видно: нормальні напруги () змінюються за висотою поперечного перерізу балки за лінійним законом. На рис. 7.8, показана епюра . Найбільші напруження при згинанні балки виникають у точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. Якщо в поперечному перерізі балки провести лінію, паралельну нейтральній осі x, то у всіх її точках виникають однакові нормальні напруги.

Нескладний аналіз епюри нормальних напругпоказує, при згинанні балки матеріал, розташований поблизу нейтральної осі, практично не працює. Тому з метою зниження ваги балки рекомендується вибирати такі форми поперечного перерізу, у яких більша частина матеріалу віддалена від нейтральної осі, як, наприклад, двотаврового профілю.

Ми почнемо з найпростішого випадку, так званого чистого вигину.

Чистий вигин є окремий випадок вигину, при якому в перерізах балки поперечна сила дорівнює нулю. Чистий вигин може мати місце лише в тому випадку, коли власна вага балки настільки мала, що його впливом можна знехтувати. Для балок на двох опорах приклади навантажень, що викликають чистий

вигин, представлені на рис. 88. На ділянках цих балок, де Q = 0 і, отже, М = const; має місце чистий вигин.

Зусилля в будь-якому перерізі балки при чистому вигині зводяться до пари сил, площина дії якої проходить через вісь балки, а момент постійний.

Напруги можуть бути визначені на підставі наступних міркувань.

1. Дотичні складові зусиль за елементарними майданчиками в поперечному перерізі балки не можуть бути приведені до пари сил, площина дії якої перпендикулярна до площини перерізу. Звідси випливає, що згинальне зусилля в перерізі є результатом дії по елементарним майданчикам

лише нормальних зусиль, тому при чистому згині і напруги зводяться лише до нормальним.

2. Щоб зусилля елементарними майданчиками звелися лише до пари сил, серед них мають бути як позитивні, так і негативні. Тому мають бути як розтягнуті, і стислі волокна балки.

3. Зважаючи на те, що зусилля в різних перерізах однакові, то і напруги у відповідних точках перерізів однакові.

Розглянемо якийсь елемент поблизу поверхні (рис. 89, а). Так як по нижній його грані, що збігається з поверхнею балки, сили не прикладені, то на ній немає і напружень. Тому і на верхній грані елемента немає напруг, так як інакше елемент не знаходився б і рівновазі, роздивляючись сусідній з ним по висоті елемент (рис. 89, б), прийдемо до

Такому ж висновку і т. д. Звідси випливає, що по горизонтальних гранях будь-якого елемента напруги відсутні. Розглядаючи елементи, що входять до складу горизонтального шару, починаючи з елемента біля поверхні балки (рис. 90), прийдемо до висновку, що і з бокових вертикальних граней будь-якого елемента напруги відсутні. Таким чином, напружений стан будь-якого елемента (рис. 91,а), а в межі і волокна, має бути представлений так, як це показано на рис. 91,б, тобто воно може бути або осьовим розтягуванням, або осьовим стисненням.

4. У силу симетрії докладання зовнішніх сил перетин по середині довжини балки після деформації повинен залишитися пло- ським і нормальним до осі балки (рис. 92, а). З цієї ж причини і перерізу в чвертях довжини балки теж залишаються плоскими і нормальними до осі балки (рис. 92, б), якщо тільки крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими і нормальними до осі балки. Аналогічний висновок справедливий і для перерізів у восьмих довжинах балки (рис. 92, в) і т. д. Отже, якщо при згинанні крайні перерізи балки залишаються плоскими, то і для будь-якого перерізу

справедливим твердження, що воно після деформації залишається плоским і нормальним до осі зігнутої балки. Але в такому випадку очевидно, що зміна подовжень волокон балки по її висоті має відбуватися не тільки безперервно, але і монотонно. Якщо назвати шаром сукупність волокон, що мають однакові подовження, то зі сказаного випливає, що розтягнуті і стислі волокна балки повинні розташовуватися по різні боки від шару, в якому подовження волокон дорівнюють нулю. Будемо називати волокна, подовження яких дорівнюють нулю, нейтральними; шар, що складається з нейтральних волокон, - нейтральним шаром; лінію перетину нейтрального шару з площиною поперечного перерізу балки - нейтральною лінією цього перерізу. Тоді на підставі попередніх міркувань можна стверджувати, що при чистому вигині балки в кожному її перерізі є нейтральна лінія, яка ділить цей перетин на дві частини (зони): зону розтягнутих волокон (розтягнуту зону) і зону стиснутих волокон (стиснуту зону ). Відповідно з цим у точках розтягнутої зони перетину повинні діяти нормальні розтягуючі напруги, у точках стиснутої зони - стискаючі напруги, а в точках нейтральної лінії напруги дорівнюють нулю.

Таким чином, при чистому згині балки постійного січення:

1) у перерізах діють лише нормальні напруження;

2) весь переріз може бути розбитий на дві частини (зони) - розтягнуту та стиснуту; межею зон є нейтральна лінія перерізу, у точках якої нормальні напруги дорівнюють нулю;

3) будь-який поздовжній елемент балки (у межі будь-яке волокно) піддається осьовому розтягуванню або стиску, так що сусідні волокна один з одним не взаємодіють;

4) якщо крайні перерізи балки при деформації залишаються плоскими та нормальними до осі, то і всі її поперечні перерізи залишаються плоскими та нормальними до осі вигнутої балки.

Напружений стан балки при чистому вигині

Розглянемо елемент балки, схильної до чистого вигину, заклю- чений між перерізами m - m і n - n, які відстоять одне від іншого на нескінченно малому відстані dx (рис. 93). Внаслідок положення (4) попереднього пункту, перерізу m - m і n - n, що були до деформації паралельними, після вигину, залишаючись плоскими, будуть становити кут dQ і перетинатися по прямій, що проходить через точку С, яка є центром кривизни нейтрального волокна NN. Тоді укладена між ними частина АВ волокна, що знаходиться на відстані z від нейтрального волокна (позитивний напрямок осі z приймаємо у бік випуклості балки при згині), перетвориться після деформації в дугу А "В". Відрізок нейтрального волокна О1О2, перетворившись на дугу О1О2 не змінить своєї довжини, тоді як волокно АВ отримає подовження:

до деформації

після деформації

де р – радіус кривизни нейтрального волокна.

Тому абсолютне подовження відрізка АВ дорівнює

та відносне подовження

Оскільки згідно з положенням (3) волокно АВ піддається осьовому розтягуванню, то при пружній деформації

Звідси видно, що нормальні напруги за висотою балки розподіляються за лінійним законом (рис. 94). Так як рівнодіюча всіх зусиль по всіх елементарних майданчиках перетину повинна дорівнювати нулю, то

звідки, підставляючи значення (5.8), знайдемо

Але останній інтеграл є статичний момент щодо осі Оу, перпендикулярної до площини дії згинальних зусиль.

Внаслідок рівності його нулю ця вісь повинна проходити через центр тяжкості Про перерізу. Таким чином, нейтральна лінія перерізу балки є пряма уу, перпендикулярна до площини дії згинальних зусиль. Її називають нейтральною віссю перерізу балки. Тоді з (5.8) слід, що напруги в точках, що лежать на однаковій відстані від нейтральної осі, однакові.

Випадок чистого вигину, при якому згинальні зусилля діють тільки в одній площині, викликаючи вигин тільки в цій площині, є чистим плоским вигином. Якщо названа площина проходить через вісь Oz, то момент елементарних зусиль щодо цієї осі повинен дорівнювати нулю, тобто.

Підставляючи сюди значення σ (5.8), знаходимо

Стоячий у лівій частині цієї рівності інтеграл, як відомо, є відцентровим моментом інерції перерізу щодо осей у і z, так що

Осі, щодо яких відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю, називають головними осями інерції цього перерізу. Якщо вони, крім того, проходять через центр тяжкості перерізу, їх можна назвати головними центральними осями інерції перерізу. Таким чином, при плоскому чистому згині напрям площини дії згинальних зусиль і нейтральна вісь перерізу є головними центральними осями інерції останнього. Іншими словами, для отримання плоского чистого вигину балки навантаження до неї не може прикладатися довільно: вона повинна зводитися до сил, що діють у площині, яка проходить через одну з головних центральних осей інерції перерізів балки; при цьому інша головна центральна вісь інерції буде нейтральною віссю перерізу.

Як відомо, у разі перерізу, симетричного щодо будь-якої осі, вісь симетрії є однією з головних центральних осей його інерції. Отже, у цьому окремому випадку ми явно отримаємо чистий вигин, приклавши відповідні анавантаження в площині, що проходить через поздовжню вісь балки і вісь симетрії її перерізу. Пряма, перпендикулярна до осі симетрії і проходить через центр тяжкості перерізу, є нейтральною віссю цього перерізу.

Встановивши положення нейтральної осі, неважко знайти і величину напруги в будь-якій точці перерізу. Справді, оскільки сума моментів елементарних зусиль щодо нейтральної осі уу повинна дорівнювати згинальний момент, то

звідки, підставляючи значення з (5.8), знайдемо

Оскільки інтеграл є. моментом інерції перерізу щодо осі уу, то

і з виразу (5.8) отримаємо

Добуток ЕI У називають жорсткістю балки при згинанні.

Найбільше розтягує і найбільше по абсолютній величині напруга, що стискає діють в точках перерізу, для яких абсолютна величина z найбільша, тобто в точках, найбільш віддалених від нейтральної осі. При позначеннях, рис. 95 маємо

Величину Jy/h1 називають моментом опору перерізу розтягу і позначають Wyр; аналогічно, Jy/h2 називають моментом опору перерізу стиску

і позначають Wyc,так що

і тому

Якщо нейтральна вісь є віссю симетрії перерізу, то h1 = h2 = h/2 і, отже, Wyp = Wyc, так що їх розрізняти немає потреби, і користуються одним позначенням:

називаючи W y просто моментом опору перерізу. Отже, у разі перерізу, симетричного щодо нейтральної осі,

Всі наведені вище висновки отримані на підставі припущення, що поперечні перерізи балки, при згині залишаються пласкими і нормальними до її осі (гіпотеза плоских перерізів). Як було показано, це припущення справедливе лише у тому випадку, коли крайні (кінцеві) перерізи балки при згинанні залишаються плоскими. З іншого боку, з гіпотези плоских перерізів слід, що елементарні зусилля в таких перерізах повинні розподілятися за лінійним законом. Тому для справедливості отриманої теорії плоского чистого вигину необхідно, щоб згинальні моменти на кінцях балки були прикладені у вигляді елементарних сил, розподілених по висоті перерізу за лінійним законом (рис. 96), що збігається з законом розподілу напруг по висоті перерізу балки. Однак на підставі принципу Сен-Венана можна стверджувати, що зміна способу застосування згинальних моментів на кінцях балки викликає лише місцеві деформації, вплив яких позначиться лише на деякій відстані від цих кінців (приблизно рівному висоті перерізу). Перетини ж, що знаходяться у всій іншій частині довжини балки, залишаться плоскими. Отже, викладена теорія плоского чистого вигину при будь-якому способі застосування згинальних моментів справедлива тільки в межах середньої частини довжини балки, що знаходиться від її кінців на відстанях, приблизно рівних висоті перерізу. Звідси ясно, що ця теорія явно не застосовна, якщо висота перерізу перевищує половину довжини або прольоту балки.

Для консольної балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН/м і зосередженим моментом кН/м (рис. 3.12), потрібно: побудувати епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів , підібрати балку круглого поперечного перерізу при допустимій нормальній напрузі кН/см2 і перевірити дотичній напруги при допущеній дотичній напрузі кН/см2. Розміри балки м; м; м.

Розрахункова схема для завдання на прямий поперечний вигин

Рис. 3.12

Розв'язання задачі "прямий поперечний вигин"

Визначаємо опорні реакції

Горизонтальна реакція в закладенні дорівнює нулю, оскільки зовнішні навантаження у напрямку осі z на балку не діють.

Вибираємо напрями решти реактивних зусиль, що виникають у закладенні: вертикальну реакцію направимо, наприклад, вниз, а момент – протягом годинної стрілки. Їх значення визначаємо з рівнянь статики:

Складаючи ці рівняння, вважаємо момент позитивним при обертанні проти ходу годинникової стрілки, а проекцію позитивної сили, якщо її напрямок збігається з позитивним напрямом осі y.

З першого рівняння знаходимо момент у закладенні:

З другого рівняння – вертикальну реакцію:

Отримані нами позитивні значеннядля моменту та вертикальної реакції в закладенні свідчать про те, що ми вгадали їх напрями.

Відповідно до характеру закріплення та навантаження балки, розбиваємо її довжину на дві ділянки. По межах кожної з цих ділянок намітимо чотири поперечні перерізи (див. рис. 3.12), в яких ми і будемо методом перерізів (РОЗУ) обчислювати значення сил, що перерізують, і згинальних моментів.

Перетин 1. Відкинемо подумки праву частинубалки. Замінимо її дію на ліву частину , що залишилася , що перерізує силою і згинальним моментом . Для зручності обчислення їх значень закриємо відкинуту нами праву частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка з перерізом, що розглядається.

Нагадаємо, що сила, що перерізує, що виникає в будь-якому поперечному перерізі, повинна врівноважити всі зовнішні сили (активні і реактивні), які діють на частину балки, що розглядається (тобто видиму) нами. Тому сила, що перерізує, повинна дорівнювати алгебраїчній сумі всіх сил, які ми бачимо.

Наведемо і правило знаків для сили, що перерізує: зовнішня сила, що діє на розглянуту частину балки і прагне «повернути» цю частину щодо перерізу по ходу годинної стрілки, викликає в перерізі позитивну перерізуючу силу. Така зовнішня сила входить у суму алгебри для визначення зі знаком «плюс».

У нашому випадку ми бачимо лише реакцію опори, яка обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу (щодо краю аркуша паперу) проти перебігу годинникової стрілки. Тому

кн.

Згинальний момент у будь-якому перерізі повинен урівноважити момент, створюваний видимими нами зовнішніми зусиллями, щодо перерізу, що розглядається. Отже, він дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх зусиль, які діють на частину балки, що розглядається нами, щодо аналізованого перерізу (іншими словами, щодо краю листка паперу). При цьому зовнішнє навантаження, що згинає розглянуту частину балки опуклістю вниз, викликає в перерізі позитивний згинальний момент. І момент, створюваний таким навантаженням, входить в суму алгебри для визначення зі знаком «плюс».

Ми бачимо два зусилля: реакцію та момент у закладенні. Однак у сили плече щодо перерізу 1 дорівнює нулю. Тому

кН·м.

Знак «плюс» нами взятий тому, що реактивний момент згинає видиму частину балки опуклістю вниз.

Перетин 2. Як і раніше, закриватимемо листком паперу всю праву частину балки. Тепер, на відміну першого перетину, у сили з'явилося плече: м. Тому

кН; кН·м.

Перетин 3. Закриваючи праву частину балки, знайдемо

кН;

Перетин 4. Закриємо листком ліву частину балки. Тоді

кН·м.

За знайденими значеннями будуємо епюри сил, що перерізують (рис. 3.12, б) і згинальних моментів (рис. 3.12, в).

Під незавантаженими ділянками епюра сил, що перерізують, йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – по похилій прямій вгору. Під опорною реакцією на епюрі є стрибок вниз величину цієї реакції, тобто на 40 кН.

На епюрі згинальних моментів ми бачимо злам під опорною реакцією. Кут зламу спрямований назустріч реакції опори. Під розподіленим навантаженням q епюра змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. У перерізі 6 на епюрі – екстремум, оскільки епюра сили, що перерізує, в цьому місці проходить тут через нульове значення.

Визначаємо необхідний діаметр поперечного перерізу балки

Умова міцності по нормальним напруженняммає вигляд:

де - момент опору балки при згинанні. Для балки круглого поперечного перерізу він дорівнює:

Найбільший за абсолютним значенням згинальний момент виникає в третьому перерізі балки: кН · див.

Тоді необхідний діаметр балки визначається за формулою

див.

Приймаємо мм. Тоді

кН/см2 кН/см2.

«Перенапруження» складає

що допускається.

Перевіряємо міцність балки за найбільшою дотичною напругою

Найбільші дотичні напруги, що виникають у поперечному перерізі балки круглого перерізу, обчислюються за формулою

де - Площа поперечного перерізу.

Згідно з епюрою, найбільше за величиною алгебри значення перерізуючої сили дорівнює кн. Тоді

кН/см2 кН/см2

тобто умова міцності і з дотичних напруг виконується, причому, з великим запасом.

Приклад розв'язання задачі "прямий поперечний вигин" №2

Умова прикладу завдання на прямий поперечний вигин

Для шарнірно опертої балки, навантаженої розподіленим навантаженням інтенсивністю кН/м, зосередженою силою кН і зосередженим моментом кН·м (рис. 3.13), потрібно побудувати епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів і підібрати балку двотаврового поперечного перерізу при допусканому нормальному допустимій дотичній напрузі кН/см2. Проліт балки м.

Приклад завдання на прямий вигин – розрахункова схема

Рис. 3.13

Розв'язання прикладу задачі на прямий вигин

Визначаємо опорні реакції

Для заданої шарнірно опертої балки необхідно знайти три опорні реакції: , і . Оскільки на балку діють лише вертикальні навантаження, перпендикулярні до осі, горизонтальна реакція нерухомої шарнірної опори A дорівнює нулю: .

Напрямки вертикальних реакцій і вибираємо довільно. Направимо, наприклад, обидві вертикальні реакції вгору. Для обчислення їх значень складемо два рівняння статики:

Нагадаємо, що рівнодіюча погонної навантаження , рівномірно розподіленої на ділянці довжиною l, дорівнює , тобто дорівнює площі епюри цього навантаження і прикладена вона в центрі тяжкості цієї епюри, тобто посередині довжини.

;

кн.

Робимо перевірку: .

Нагадаємо, що сили, напрямок яких збігається з позитивним напрямком осі y, проектуються (проектуються) на цю вісь зі знаком плюс:

тобто вірно.

Будуємо епюри сил, що перерізують, і згинальних моментів

Розбиваємо довжину балки окремі ділянки. Межами цих ділянок є точки докладання зосереджених зусиль (активних та/або реактивних), а також точки, що відповідають початку та закінченню дії розподіленого навантаження. Таких ділянок у нашому завданні виходить три. По межах цих ділянок намітимо шість поперечних перерізів, в яких ми і будемо обчислювати значення сил, що перерізують, і згинальних моментів (рис. 3.13, а).

Перетин 1. Відкинемо подумки праву частину балки. Для зручності обчислення сили, що перерізує, і згинального моменту , що виникають у цьому перерізі, закриємо відкинуту нами частину балки листком паперу, поєднуючи лівий край листка паперу з самим перетином.

Перерізувальна сила в перерізі балки дорівнює сумі алгебри всіх зовнішніх сил (активних і реактивних), які ми бачимо. У разі ми бачимо реакцію опори і погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малої довжині. Рівнодія погонного навантаження дорівнює нулю. Тому

кн.

Знак «плюс» взятий тому, що сила обертає видиму нами частину балки щодо першого перерізу (краю листка паперу) протягом годинної стрілки.

Згинальний момент у перерізі балки дорівнює сумі алгебри моментів всіх зусиль, які ми бачимо, щодо розглянутого перерізу (тобто щодо краю листка паперу). Ми бачимо реакцію опори та погонне навантаження q, розподілене на нескінченно малій довжині. Однак у сили плече дорівнює нулю. Рівнодія погонного навантаження також дорівнює нулю. Тому

Перетин 2. Як і раніше, закриватимемо листком паперу всю праву частину балки. Тепер ми бачимо реакцію та навантаження q, що діє на ділянці завдовжки . Рівнодія погонного навантаження дорівнює. Вона прикладена посередині ділянки завдовжки. Тому

Нагадаємо, що при визначенні знака згинального моменту ми подумки звільняємо видиму нами частину балки від усіх фактичних опорних закріплень і представляємо її як би защемленою в розрізі (тобто лівий край листка паперу нами подумки є жорстким закладенням).

Перетин 3. Закриємо праву частину. Отримаємо

Перетин 4. Закриваємо листком праву частину балки. Тоді

Тепер для контролю правильності обчислень закриємо листком паперу ліву частину балки. Ми бачимо зосереджену силу P, реакцію правої опори та погонну навантаження q, розподілену на нескінченно малу довжину. Рівнодія погонного навантаження дорівнює нулю. Тому

кН·м.

Тобто все правильно.

Перетин 5. Як і раніше, закриємо ліву частину балки. Будемо мати

кН;

кН·м.

Перетин 6. Знову закриємо ліву частину балки. Отримаємо

кН;

За знайденими значеннями будуємо епюри сил, що перерізують (рис. 3.13, б) і згинальних моментів (рис. 3.13, в).

Переконуємося в тому, що під незавантаженою ділянкою епюра сил, що перерізують, йде паралельно осі балки, а під розподіленим навантаженням q – по прямій, що має нахил вниз. На епюрі є три стрибки: під реакцією - на 37,5 кН, під реакцією - на 132,5 кН і під силою P - вниз на 50 кН.

На епюрі згинальних моментів бачимо злами під зосередженою силою P і під опорними реакціями. Кути зламів спрямовані назустріч цим силам. Під розподіленим навантаженням інтенсивністю q епюра змінюється за квадратичною параболою, опуклість якої спрямована назустріч навантаженню. Під зосередженим моментом – стрибок на 60 кН · м, тобто величину самого моменту. У перерізі 7 на епюрі – екстремум, оскільки епюра сили, що перерізує, для цього перерізу проходить через нульове значення (). Визначимо відстань від перерізу 7 до лівої опори.

Завдання. Побудувати епюри Q та M для статично невизначеної балки.Обчислимо балки за формулою:

n= Σ R- Ш— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Балка один разстатично невизначена, значить одназ реакцій є «зайвої» невідомої. За «зайву» невідому приймемо реакцію опори У — R В.

Статично визначна балка, яка виходить із заданим шляхом видалення «зайвого» зв'язку називається основною системою (Б).

Тепер цю систему слід подати еквівалентноїзаданою. Для цього завантажуємо основну систему заданоюнавантаженням, а в точці У докладемо «зайву» реакцію R В(Рис. в).

Однак для еквівалентностіцього недостатньо, оскільки в такій балці точка У може переміщатися по вертикалі, а заданій балці (рис. а ) такого статися не може. Тому додаємо умова, що прогин т. Ув основній системі повинен дорівнювати 0. Прогин т.п. У складається з прогину від чинного навантаження Δ F і от прогину від «зайвої» реакції Δ R.

Тоді складаємо умова спільності переміщень:

Δ F + Δ R=0 (1)

Тепер залишається обчислити ці переміщення (прогини).

Завантажуємо основнусистему заданим навантаженням(Рис .г) і збудуємо вантажну епюруМ F (Рис. д ).

У т. У прикладемо і побудуємо еп. (Рис. е, ж ).

За формулою Сімпсона визначимо прогин від чинного навантаження.

Тепер визначимо прогин від дії «зайвої» реакції R В , для цього завантажуємо основну систему R В (Рис. з ) і будуємо епюру моментів від її дії М R (Рис. і ).

Складаємо та вирішуємо рівняння (1):

Побудуємо еп. Q і М (Рис. до,л ).

Будуємо епюру Q.

Побудуємо епюру М методом характерних точок. Розставляємо крапки на балці - це точки початку і кінця балки ( D,A ), зосередженого моменту ( B ), а також відзначимо як характерну точку середину рівномірно розподіленого навантаження ( K ) - це додаткова точка для побудови параболічної кривої.

Визначаємо згинальні моменти в точках. Правило знаківдив. - .

Момент у т.ч. У визначатимемо так. Спочатку визначимо:

Крапку До візьмемо до серединіділянки з рівномірно розподіленим навантаженням.

Будуємо епюру M . Ділянка АВ – параболічна крива(правило «парасолька»), ділянка ВD – пряма похила лінія.

Для балки визначити опорні реакції та побудувати епюри згинальних моментів ( М) та поперечних сил (Q).

Позначаємо опорилітерами А і У і спрямовуємо опорні реакції R А і R В .

Складаємо рівняння рівноваги.

Перевірка

Записуємо значення R А і R В на розрахункову схему.

2. Побудова епюри поперечних силметодом перерізів. Перетини розставляємо на характерних ділянках(Між змінами). По розмірній нитці – 4 ділянки, 4 перерізи.

січ. 1-1 хід ліворуч.

Перетин проходить дільницею з рівномірно розподіленим навантаженням, відзначаємо розмір z 1 вліво від перерізу до початку ділянки. Довжина ділянки 2м. Правило знаківдля Q - Див.

Будуємо за знайденим значенням епюруQ.

січ. 2-2 хід праворуч.

Перетин знову проходить ділянкою рівномірно розподіленим навантаженням, відзначаємо розмір z 2 праворуч від перерізу до початку ділянки. Довжина ділянки 6м.

Будуємо епюру Q.

січ. 3-3 хід праворуч.

січ. 4-4 хід праворуч.

Будуємо епюруQ.

3. Побудова епюри Мметодом характерних точок.

Характерна точка- Крапка, яка-небудь помітна на балці. Це точки А, У, З, D , а також точка До , в якій Q=0 і згинальний момент має екстремум. також в серединіконсолі поставимо додаткову точку Е, оскільки на цій ділянці під рівномірно розподіленим навантаженням епюру Мописується кривийлінією, а вона будується, як мінімум, по 3 точкам.

Отже, точки розставлені, приступаємо до визначення в них значень згинальних моментів. Правило знаків – див..

Ділянки NA, AD – параболічна крива(правило «парасолька» у механічних спеціальностей або «правило вітрила» у будівельних), ділянки DС, СВ – прямі похилі лінії.

Момент у точці D слід визначати як ліворуч, так і праворучвід крапки D . Сам момент у ці висловлювання не входить. У точці D отримаємо двазначення з різницеюна величину m – стрибокз його величину.

Тепер слід визначити момент у точці До (Q=0). Однак спочатку визначимо положення точки До , позначивши відстань від неї до початку ділянки невідомою х .

Т. До належить другомухарактерною ділянкою, його рівняння для поперечної сили(див. вище)

Але поперечна сила у т.ч. До дорівнює 0 , а z 2 дорівнює невідомому х .

Отримуємо рівняння:

Тепер, знаючи х, визначимо момент у точці До з правого боку.

Будуємо епюру М . Побудову виконаємо для механічнихспеціальностей, відкладаючи позитивні значення вгорувід нульової лінії та використовуючи правило «парасольки».

Для заданої схеми консольної балки потрібно побудувати епюри поперечної сили Q і моменту, що згинає M, виконати проектувальний розрахунок, підібравши круглий переріз.

Матеріал - дерево, розрахунковий опірматеріалу R=10МПа, М=14кН·м,q=8кН/м

Будувати епюри в консольній балці з жорстким закладенням можна двома способами - звичайним, попередньо визначивши опорні реакції, і без визначення опорних реакцій, якщо розглядати ділянки, йдучи від вільного кінця балки і відкидаючи ліву частину із закладенням. Побудуємо епюри звичайнимспособом.

1. Визначимо опорні реакції.

Поступово розподілене навантаження qзамінимо умовною силою Q= q·0,84=6,72 кН

У жорсткому закладенні три опорні реакції — вертикальна, горизонтальна і момент, у разі горизонтальна реакція дорівнює 0.

Знайдемо вертикальнуреакцію опори R Aі опорний момент М Aіз рівнянь рівноваги.

На перших двох ділянках праворуч поперечна сила відсутня. На початку ділянки з рівномірно розподіленим навантаженням (праворуч) Q=0, в затишку - величині реакції R A.
3. Для побудови складемо вирази їх визначення на ділянках. Епюру моментів збудуємо на волокнах, тобто. вниз.

(Епюра поодиноких моментів вже була побудована раніше)

Вирішуємо рівняння (1), скорочуємо на EI

Статична невизначеність розкрита, Значення «зайвої» реакції знайдено. Можна приступати до побудови епюр Q та M для статично невизначеної балки... Замальовуємо задану схему балки та вказуємо величину реакції R b. У цій балці реакції в закладенні можна не визначати, якщо йти ходом праворуч.

Побудова епюри Qдля статично невизначеної балки

Будуємо епюру Q.

Побудова епюри М

Визначимо М у точці екстремуму – у точці До. Спочатку визначимо її становище. Позначимо відстань до неї як невідому. х». Тоді

Будуємо епюру М.

Визначення дотичних напруг у двотавровому перерізі. Розглянемо перетин двотавра. S x = 96,9 см 3; Yх = 2030 см 4; Q=200 кН

Для визначення дотичної напруги застосовується формуладе Q - поперечна сила в перерізі, S x 0 - статичний момент частини поперечного перерізу, розташованої по один бік від шару, в якому визначаються дотичні напруги, I x - момент інерції всього поперечного перерізу, b - ширина перерізу в тому місці, де визначається дотична напруга

Обчислимо максимальнедотична напруга:

Обчислимо статичний момент для верхньої полиці:

Тепер обчислимо дотичні напруги:

Будуємо епюру дотичних напруг:

Проектний та перевірочний розрахунки. Для балки з побудованими епюрами внутрішніх зусиль підібрати перетин у вигляді двох швелерів з умови міцності за нормальними напругами. Перевірити міцність балки, використовуючи умову міцності за дотичною напругою та енергетичний критерій міцності. Дано:

Покажемо балку із побудованими епюрами Q і М

Згідно з епюрою згинальних моментів небезпечним є переріз С,в якому М С = М max = 48,3 кНм.

Умова міцності за нормальними напругамидля даної балки має вигляд max = M C /W X ≤σ adm .Потрібно підібрати перетин із двох швелерів.

Визначимо необхідне розрахункове значення осьового моменту опору перерізу:

Для перерізу у вигляді двох швелерів згідно приймаємо два швелери №20а, момент інерції кожного швелера I x = 1670см 4тоді осьовий момент опору всього перерізу:

Перенапруга (недонапруга)у небезпечних точках порахуємо за формулою: Тоді отримаємо недонапруга:

Тепер перевіримо міцність балки, виходячи з умови міцності щодо дотичних напруг.Згідно епюре поперечних сил небезпечнимиє перерізи на ділянці ВС та переріз D.Як видно з епюри, Q max =48,9 кН.

Умова міцності за дотичною напругоюмає вигляд:

Для швелера №20 а: статичний момент площі S x 1 =95,9 см 3 момент інерції перерізу I x 1 =1670 см 4 товщина стінки d 1 =5,2 мм, середня товщина полиці t 1 =9,7 мм , Висота швелера h 1 = 20 см, ширина полиці b 1 = 8 см.

Для поперечного перерізи з двох швелерів:

S x = 2S x 1 = 2 · 95,9 = 191,8 см 3

I x = 2I x 1 = 2 · 1670 = 3340 см 4

b = 2d 1 = 2 · 0,52 = 1,04 см.

Визначаємо значення максимальної дотичної напруги:

Як видно, τ max<τ adm (27МПа)<75МПа).

Отже, умова міцності виконується.

Перевіряємо міцність балки за енергетичним критерієм.

З розгляду епюр Q і Мвипливає, що небезпечним є переріз,в якому діють M C = M max = 48,3 кНм і Q C = Q max = 48,9 кН.

Проведемо аналіз напруженого стану в точках перерізу

Визначимо нормальні та дотичні напругина кількох рівнях (відзначені на схемі перерізу)

Рівень 1-1: y 1-1 = h 1/2 = 20/2 = 10см.

Нормальні та дотичні напруги:

Головні напруги:

Рівень 2−2: y 2-2 = h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Головні напруження:

Рівень 3−3: y 3-3 = h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03см.

Нормальні та дотичні напруги: