Прості види опору. плоский вигин. Розв'язання типових завдань із сопромату Поперечний вигин балки

10.1. Загальні поняттята визначення

Вигин- Це такий вид навантаження, при якому стрижень завантажений моментами в площинах, що проходять через поздовжню вісь стрижня.

Стрижень, що працює на вигин, називається балкою (або брусом). Надалі розглядатимемо прямолінійні балки, поперечний переріз яких має хоча б одну вісь симетрії.

У опорі матеріалів розрізняють вигин плоский, косий та складний.

Плоский вигин- Вигин, при якому всі зусилля, що згинають балку, лежать в одній з площин симетрії балки (в одній з головних площин).

Головними площинами інерції балки називають площини, що проходять через головні осі поперечних перерізів та геометричну вісь балки (вісь x).

Косий вигин- Вигин, при якому навантаження діють в одній площині, що не збігається з головними площинами інерції.

Складний вигин- Вигин, при якому навантаження діють у різних (довільних) площинах.

10.2. Визначення внутрішніх зусиль при згинанні

Розглянемо два характерні випадки вигину: у першому – консольна балка згинається зосередженим моментом Mo; у другому – зосередженою силою F.

Використовуючи метод уявних перерізів та становлячи рівняння рівноваги для відсічених частин балки, визначимо внутрішні зусилля в тому й іншому випадку:

Інші рівняння рівноваги, очевидно, тотожно дорівнюють нулю.

Таким чином, у загальному випадку плоского вигину в перерізі балки із шести внутрішніх зусиль виникає два – згинальний моментМz та поперечна сила Qy (або при згині щодо іншої головної осі – момент, що згинає Мy і поперечна сила Qz).

При цьому, відповідно до двох розглянутих випадків навантаження, плоский вигинможна поділити на чистий та поперечний.

Чистий вигин- Плоский вигин, при якому в перерізах стрижня з шести внутрішніх зусиль виникає тільки одне - згинальний момент (див. перший випадок).

Поперечний вигин- Вигин, при якому в перерізах стрижня крім внутрішнього згинального моменту виникає і поперечна сила (див. другий випадок).

Строго кажучи, до простим видамопору належить лише чистий вигин; поперечний вигин відносять до простих видів опору умовно, тому що в більшості випадків (для досить довгих балок) дією поперечної силипри розрахунках на міцність можна знехтувати.

При визначенні внутрішніх зусиль дотримуватимемося наступного правила знаків:

1) поперечна сила Qy вважається позитивною, якщо вона прагне повернути аналізований елемент балки за годинниковою стрілкою;

2) згинальний момент Мz вважається позитивним, якщо при згинанні елемента балки верхні волокна елемента виявляються стиснутими, а нижні - розтягнутими (правило парасольки).

Таким чином, розв'язання задачі щодо визначення внутрішніх зусиль при вигині будемо вибудовувати за наступним планом: 1) на першому етапі, розглядаючи умови рівноваги конструкції в цілому, визначаємо, якщо це необхідно, невідомі реакції опор (зазначимо, що для консольної балки реакції в закладенні можна і не шукати, якщо розглядати балку з вільного кінця); 2) на другому етапі виділяємо характерні ділянки балки, приймаючи за межі ділянок точки застосування сил, точки зміни форми або розмірів балки, точки закріплення балки; 3) третьому етапі визначаємо внутрішні зусилля в перерізах балки, розглядаючи умови рівноваги елементів балки кожному з ділянок.

10.3. Диференціальні залежності при згинанні

Встановимо деякі взаємозв'язки між внутрішніми зусиллями та зовнішніми навантаженнями при згинанні, а також характерні особливостіепюр Q і M, знання яких полегшить побудову епюр і дозволить контролювати їхню правильність. Для зручності запису позначатимемо: M≡Mz, Q≡Qy.

Виділимо на ділянці балки з довільним навантаженням у місці, де немає зосереджених сил та моментів, малий елемент dx. Так як вся балка знаходиться в рівновазі, то і елемент dx перебуватиме в рівновазі під дією прикладених до нього поперечних сил, згинальних моментів і зовнішнього навантаження. Оскільки Q і M у загальному випадку змінюються вздовж

осі балки, то в перерізах елемента dx виникатимуть поперечні сили Q і Q+dQ, а також моменти, що згинають M і M+dM. З умови рівноваги виділеного елемента отримаємо

Перше із двох записаних рівнянь дає умову

З другого рівняння, нехтуючи доданком q·dx·(dx/2) як нескінченно малою величиною другого порядку, знайдемо

Розглядаючи вирази (10.1) та (10.2) спільно можемо отримати

Співвідношення (10.1), (10.2) та (10.3) називають диференціальними залежностями Д. І. Журавського при згинанні.

Аналіз наведених вище диференціальних залежностейпри згинанні дозволяє встановити деякі особливості (правила) побудови епюр згинальних моментів і поперечних сил: а – на ділянках, де немає розподіленого навантаження q, епюри Q обмежені прямими, паралельними базі, а епюри M – похилими прямими; б – на ділянках, де до балки прикладено розподілене навантаження q, епюри Q обмежені похилими прямими, а епюри M – квадратичними параболами.

При цьому якщо епюру М будуємо «на розтягнутому волокні», то опуклість параболи буде спрямована у напрямку дії q, а екстремум буде розташований в перерізі, де епюра Q перетинає базову лінію; в – у перерізах, де до балки прикладається зосереджена сила на епюрі Q будуть стрибки на величину та у напрямку даної сили, а на епюрі М – перегини, вістрям спрямовані у напрямку дії цієї сили; г – у перерізах, де до балки прикладається зосереджений момент на епюрі Q змін не буде, а на епюрі М – стрибки на величину цього моменту; д - на ділянках, де Q> 0, момент М зростає, а на ділянках, де Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Нормальна напруга при чистому згині прямого бруса

Розглянемо випадок чистого плоского вигину балки та виведемо формулу для визначення нормальних напруг для даного випадку.

Зазначимо, що в теорії пружності можна отримати точну залежність для нормальних напруг при чистому згині, якщо ж вирішувати це завдання методами опору матеріалів необхідно ввести деякі припущення.

Таких гіпотез при вигині три:

а – гіпотеза плоских перерізів (гіпотеза Бернуллі) – перерізи плоскі до деформації залишаються плоскими і після деформації, а лише повертаються щодо деякої лінії, яка називається нейтральною віссю перерізу балки. При цьому волокна балки, що лежать з одного боку від нейтральної осі розтягуватимуться, а з іншого – стискатимуться; волокна, що лежать на нейтральній осі своєї довжини не змінюють;

б – гіпотеза про сталість нормальних напруг – напруги, що діють однаковій відстані y від нейтральної осі, постійні по ширині бруса;

в - гіпотеза про відсутність бічних тисків - сусідні поздовжні волокна не тиснуть один на одного.

Статичний бік завдання

Щоб визначити напруги в поперечних перерізах балки, розглянемо, перш за все, статичну сторону завдання. Застосовуючи метод уявних перерізів та становлячи рівняння рівноваги для відсіченої частини балки, знайдемо внутрішні зусилля при згинанні. Як було показано раніше, єдиним внутрішнім зусиллям, що діє в перерізі бруса при чистому згині, є внутрішній згинальний момент, а отже тут виникнуть пов'язані з ним нормальні напруження.

Зв'язок між внутрішніми зусиллями і нормальними напругами в перерізі балки знайдемо з розгляду напруг на елементарному майданчику dA, виділеного в поперечному перерізі балки A в точці з координатами y і z (вісь y для зручності аналізу спрямована вниз):

Як бачимо, завдання є внутрішньо статично невизначеним, оскільки невідомий характер розподілу нормальних напруг по перерізу. Для розв'язання задачі розглянемо геометричну картину деформацій.

Геометрична сторона завдання

Розглянемо деформацію елемента балки довжиною dx, виділеного з стрижня, що згинається, в довільній точці з координатою x. Враховуючи прийняту раніше гіпотезу плоских перерізів, після вигину перерізу балки повернутись щодо нейтральної осі (н.о.) на кут dϕ, при цьому волокно ab, віддалене від нейтральної осі на відстань y, перетвориться на дугу кола a1b1, а його довжина зміниться на деяку величину. Тут нагадаємо, що довжина волокон, що лежать на нейтральній осі, не змінюється, тому дуга a0b0 (радіус кривизни якої позначимо ρ) має ту ж довжину, що і відрізок a0b0 до деформації a0b0=dx.

Знайдемо відносну лінійну деформацію εx волокна ab вигнутої балки.

Поперечний вигин виходить, коли сила діє на брус у напрямку, поперечному до його довжини.

Розглянемо два варіанти поперечного вигину: перший, балка лежить на двох опорах, причому вантаж розташований на балці в межах між опорами і другий, балка міцно загорнута одним кінцем у стіну, а вантаж знаходиться на вільному кінці балки.

Насамперед з'ясуємо, який вплив на вигин має місце застосування сили. Якщо ми покладемо дошку на дві опори і по ній рухатимемося від опори до середини, то прогин дошки безперервно зростатиме в міру нашого наближення до середини. З цього досвіду можна зробити висновок, що чим ближче до середини буде додана сила, тим більше буде прогин балки. Те саме явище ми спостерігатимемо при досвіді з балкою, заробленою одним кінцем у стіну, при переміщенні вантажу від стіни до кінця балки.

У будівлях і спорудах на балку можуть діяти одночасно кілька сил, і вони можуть переміщатися, як, наприклад, автомобілі на мосту. Визначити вплив цих сил на балку не так просто, як це ми робимо під час розтягування чи стиснення. Залежність виходить не проста і людині без вищої технічної освіти займатися цим питанням складно.

Як було сказано, сила може бути прикладена будь-де балки. Така сила, що має одну точку програми, називається зосередженою.

Якщо сила рівномірно розподілена по всій довжині балки, така сила називається рівномірно-розподіленою.

Наприклад, на балці в одному місці знаходиться мішок з піском вагою 100 кг, це буде зосереджене навантаження (сила), а якщо той же вантаж рівномірно розсипати по всій довжині балки, це буде рівномірно-розподілене навантаження. І в тому і в іншому випадку величина сили дорівнює 100 кг, але спосіб розподілу різний. Залежно від цього і напруга в балці буде різна, а саме, при зосередженій по середині балки навантаженні напруга буде в 2 рази більша, ніж при рівномірно-розподіленому навантаженні.

Нам уже відомо, що чим більше зосереджений вантаж буде наближатися до опори, тим менше буде прогин балки, і тим менша напруга в матеріалі. Отже, якщо балка матиме достатню міцність при розташуванні будь-якого вантажу посередині, то вона, безумовно, витримає цей вантаж, якщо він перебуватиме в будь-якому місці балки.

Далі, дуже цікаво з'ясувати, яка виходить напруга в навантаженій балці, і як вони розподілені. Зробимо такий досвід: візьмемо брус і зробимо на ньому пропив у верхній стороні, а потім навантажимо його. Ми побачимо, що обидві сторони пропилу зблизяться один до одного. З цього досвіду ми укладаємо, що у верхній частині бруса, під впливом навантаження відбувається стиснення.

Якщо ми тепер зробимо пропив у нижній стороні бруса і знову його навантажимо, то побачимо, що краї пропила розійшлися і пропив у нижній частині став дуже широким. З цього ми робимо висновок, що в нижній частині бруса, під впливом навантаження, відбувається розтягування. Отже, у верхній частині бруса або балки під впливом навантаження відбувається стиск, а в нижній - розтяг. Але оскільки це відбувається в одній і тій самій балці одночасно, то очевидно, що десь є місце, в якому розтягування переходить у стискування, і навпаки. Таке місце дійсно є в кожній балці. Цю лінію, чи точніше площину розділу стискування від розтягування, називають нейтральною віссю. У дерев'яній балці прямокутного перерізу вона знаходиться приблизно посередині висоти.

Так як ми тепер знаємо розподіл зусиль в брусі, що знаходиться під вантажем, то нам буде цілком зрозуміло, як іноді випрямляють балку, що сильно погнулася. Для цього її підпирають і у верхній частині балки роблять пропил із забиванням у нього клина з одночасним піддомкрачуванням знизу. Так як у цілій балці, що знаходиться під вантажем, сила розтягування в нижній частині дорівнює силі стиснення у верхній, то при забиванні клинів, очевидно, сила стиснення у верхній частині балки збільшиться, і балка викривиться у зворотний бік, тобто випрямиться.

Далі, не важко переконатися, що при згинанні балки в ній з'являються зусилля, що сколюють. Для цього досвіду візьмемо дві однакові довжини бруса і покладемо один брус на інший. У ненавантаженому стані торці їх збігатимуться, як показано на рис. 4а. Якщо тепер ми їх навантажимо, то станеться прогин брусів, і їх торці будуть розташовані так, як показано на рис. 4б. Ми бачимо, що торці брусів не збігаються і нижній край торця верхнього бруса виступає за лінію верхньої кромки торця нижнього бруса. Очевидно, що по площині зіткнення брусів відбулося зрушення, в результаті якого з'явилося висування кінців одного бруса над іншим. Якби брус був з одного шматка дерева, то очевидно, що жодних змін на кінцях бруса ми не помітили б, але безсумнівно, що в цьому брусі в нейтральній площині були б зусилля, що сколювали, і якби міцність дерева була недостатня, то по кінцях бруса виявилося б розшарування.

Рис. 4. Вигин складеної балки

Після цього досвіду стає цілком зрозумілим влаштування складових балок на шпонках. На рис. 5 показана така балка, що складається з трьох брусків, між якими врубані шпонки. Очевидно, що кінець однієї балки не може зрушити щодо іншої, так як цьому переміщенню перешкоджають шпонки. Чим міцніший зв'язок між шпонками і балками, тим жорсткішим є балка.

Продовжимо попередній досвід. Якщо ми через обидва бруси проведемо на рівній відстані межі олівцем, як показано на рис. 4а, і потім навантажимо бруси, то побачимо, що середня риса на обох брусах залишиться без зміни, а решта зміститься, як показано на рис. 4б. При цьому розбіжність рисок буде тим більше, чим далі вони відстоять від середини. З цього досвіду ми укладаємо, що найбільша сила, що сколює, знаходиться в кінці балок. Ось чому в балках на шпонках слід ставити шпонки частіше до кінців і рідше до середини.

Рис. 5. Складова балка із врубаними шпонками

Отже, всі виконані досліди переконують нас у тому, що у навантаженій балці виникають різні напруги.

Знову вчитимемося на досвіді. Всі знають, що якщо покласти дошку плашмя і навантажити її, то вона помітно прогнеться, а якщо ту ж дошку поставити на ребро і навантажити її тим же навантаженням, то прогин майже не буде помітним. Цей досвід переконує нас у тому, що величина вигину залежить головним чином від висоти балки, а не від ширини. Якщо взяти два квадратні бруси і згуртувати їх шпонками і болтами, так щоб вийшла одна балка висотою в два квадрати, то така балка зможе витримати вантаж вдвічі більше, ніж обидві балки, покладені поруч. При трьох балках вантаж може бути в 4,5 рази більшим і т.д.

З цих дослідів нам ясно, що набагато вигідніше збільшувати висоту балки, ніж її ширину, але, звичайно, до певної межі, тому що при дуже високій та тонкій балці вона зможе вигнутися убік.

Так як балки витісаються або випилюються з колод, то є питання, яке ж відношення має бути між висотою та шириною балки, щоб отримати балку найбільшої міцності. Будівельна механіка дає точну відповідь на це питання, а саме, у висоті має бути 7 будь-яких заходів, а в ширині таких самих точно мір тільки 5. Практично це робиться, таким чином. На торці круглої колоди (рис.6) проводять через центр лінію і ділять її на три рівні частини. Потім із цих точок по накутнику проводять у протилежні сторони лінії до краю торця. Нарешті, ці крайні точки з'єднують з кінцями лінії, проведеної через центр торця, і у нас вийде прямокутник, у якого довга сторона матиме 7 мір, а коротка таких же 5. За цими лініями проводиться тирса або обтеска колоди і виходить найміцніша балка прямокутного перерізу, яку тільки можна зробити з цієї колоди.

Рис. 6. Балка найбільшої міцності, яку можна вирубати з колоди.

Цікаво відзначити, що кругла колода менш міцна щодо вигину, ніж теж колода зі злегка стесаними обаполями з верхньої і нижньої сторони.

На підставі всього вищевикладеного можна зробити висновок, що точне визначення розмірів балок залежить від багатьох обставин: від числа та місця розташування вантажів, від роду навантаження, від способу її розподілу (суцільна або зосереджена), від форми балки, її довжини тощо. всіх цих обставин досить складний і тесляр-практику він недоступний.

При визначенні розмірів балок необхідно, крім міцності, мати на увазі також і прогин балок. Іноді на будівництві теслярі висловлюють подив, чому ставиться така товста балка, можна було б узяти і тонше. Цілком вірно, і більш тонка балка витримає той вантаж, який на ній буде розташований, але коли згодом по підлозі на тонких балках ходитимуть або танцюватимуть, то така підлога гнутиметься, як гойдалка. Для уникнення дуже неприємної хисткості підлоги балки кладуть товщі, ніж це потрібно за умовами міцності. У житлових будинках прогин балок допускається не більше ніж 1/250 прольоту. Якщо, наприклад, проліт 9 м, тобто 900 см, то найбільший прогин має бути не більше 900: 250, що становитиме З,6 см.

На закінчення слід згадати про одне практичне правило для визначення висоти балок у житлових будинках, а саме: висота балки має бути не менше 1/24 довжини балки. Наприклад, якщо довжина балки 8 м (800 см), то висота має бути 800: 24 = 33 см.

Для практичних цілей, крім усього вищевикладеного, слід ознайомитися з таблицями, що додаються, які дадуть можливість, без будь-яких труднощів легко і швидко визначати потрібний розмір балки для випадку рівномірно-розподіленого навантаження. У цих таблицях вказані навантаження на балки прямокутного і круглого перерізу, що допускаються, для різних розмірів балок і для різних прольотів.

Приклад1.У приміщенні з прольотом 8 м є навантаження вагою 2,5 т (2500 кг). Потрібно підібрати балки для цього навантаження. і т.д. Балки потрібно розподілити з відповідним кроком з огляду на те, що крайні балки несуть половину навантаження від балок, розташованих посередині.

Для вантажу, розташованого зосереджено по середині прольоту, величина його повинна бути вдвічі меншою, ніж зазначено в таблиці.

приклад 2.Для прямокутної балки 7 до 5 з 32-сантиметрової колоди при прольоті 6 м можна допустити рівномірно-розподілене навантаження 2632 кг (див. таблицю). Якщо вантаж буде зосереджений посередині балки, можна допустити навантаження лише вдвічі меншу, саме 2632: 2 = 1316 кг. приклад 3.Якого розміру балка з колоди, обтесаної або обпиляної на два канти, витримає зосереджене посередині навантаження 1,6 тонни (1600 кг), при прольоті 8 м?

У завданні дана зосереджена сила, ми знаємо, що ця балка повинна витримувати вдвічі велике рівномірно-розподілене навантаження, тобто 1600×2=3200 кг. Дивимося в таблиці для лафета стовпець для прольоту в 8 м. Найближча до 3200 цифра таблиці 3411 якій цифрі відповідає колода діаметром в 34 см.

Якщо балка закріплена міцно одним кінцем у стіну, то вона може витримати вантаж, зосереджений на її вільному кінці, у 8 разів менший, ніж та ж балка, що лежить на двох опорах і несе рівномірно-розподілене навантаження.

приклад 4.Якого діаметру колода, обтесана або обпиляна на чотири канти, міцно замурована одним кінцем у стіну і має вільний кінець у 3 м, може витримати зосереджений вантаж у 800 кг, прикріплений до її вільного кінця?Якби ця балка лежала, на двох опорах, то вона могла б витримати вантаж у 8 разів більший, тобто 800×8=6400 кг. Дивимося в таблиці для обзольного бруса стовпець для прольоту в 3 м і знаходимо дві найближчі цифри 5644 кг та 6948 кг. Цим цифрам відповідають колоди в 30 і 32 см. Можна взяти колоду в 31 см.

Якщо на балці, закладеній одним кінцем у стіну, навантаження розподілено рівномірно, то така балка може витримати навантаження в 4 рази менше, ніж та ж балка, що лежить на двох опорах.

Приклад 5.Який вантаж може витримати балка прямокутного перерізу, закріплена одним кінцем у стіну, з вільним кінцем довжиною 4 м, навантажена рівномірно-розподіленим навантаженням загальною вагою 600 кг?Якби ця балка лежала на двох опорах, то вона могла б витримати вантаж 4 рази більший, тобто 600 4 = 2400 кг. Дивимося в таблиці для балки 7 до 5 стовпець для прольоту в 4 м. Найближча цифра 2746, якій цифрі відповідає колода 28 см, або брус 23×16 см.

При розрахунках балок може зустрітися таке питання який тиск відчувають опори (стіни або колони) від балки, що лежить на них, з вантажем?

Якщо вантаж розподілений рівномірно по всій балці або зосереджений посередині, обидві опори несуть однакове навантаження.

Якщо вантаж розташований ближче до однієї опори, то ця опора несе більший вантаж ніж інша. Щоб дізнатися який саме, потрібно величину вантажу помножити на відстань до іншої опори і розділити на проліт.

Приклад 6.На балці, довжиною 4 м, розташований вантаж 100 кг, на відстані 1 м від лівої опори і, отже, на відстані 3 м від правої. Потрібно знайти навантаження на ліву опору. Помножуємо 100 на 3 і отримане число ділимо на 4, отримаємо 75. Отже, ліва опора відчуває тиск в 75, а права частина навантаження, що залишилася, тобто 100-75 = 25 кг.

Якщо на балці знаходяться кілька вантажів, то розрахунок потрібно зробити для кожного вантажу окремо, а потім отримані навантаження на одну опору скласти.

Як і в § 17, припустимо, що поперечний переріз стрижня має дві осі симетрії, одна з яких лежить у площині вигину.

У разі поперечного вигину стрижня у поперечному перерізі його виникають дотичні напруги, і при деформації стрижня воно не залишається плоским, як у разі чистого вигину. Однак для суцільного бруса поперечного перерізувпливом дотичних напруг при поперечному згині можна знехтувати і приблизно прийняти, що так само, як і у разі чистого вигину, поперечний переріз стрижня при його деформації залишається плоским. Тоді виведені в § 17 формули для напруги та кривизни залишаються приблизно справедливими. Вони є точними для окремого випадку постійної по довжині стрижня поперечної сили 1102).

На відміну від чистого вигину при поперечному згині, згинальний момент і кривизна не залишаються постійними по довжині стрижня. Основне завдання у разі поперечного вигину - визначення прогинів. Для визначення малих прогинів можна скористатися відомою наближеною залежністю кривизни вигнутого стрижня від прогину 11021. На підставі цієї залежності кривизна вигнутого стрижня х с і прогин V е, що виникли внаслідок повзучості матеріалу, пов'язані співвідношенням х с = = dV

Підставивши у це співвідношення кривизну за формулою (4.16), встановлюємо, що

Інтегрування останнього рівняння дає можливість отримати прогин, що виник унаслідок повзучості матеріалу балки.

Аналізуючи наведене вище рішення задачі про повзучість вигнутого стрижня, можна зробити висновок, що воно повністю еквівалентне рішенню задачі про вигин стрижня з матеріалу, у якого діаграми розтягування-стиснення можуть бути апроксимовані степеневою функцією. Тому визначення прогинів, що виникли через повзучість, у цьому випадку може бути зроблено і за допомогою інтеграла Мора для визначення переміщення стрижнів, виконаних з матеріалу, що не підпорядковується закону Гука y.

Якщо проведемо два суміжні перерізи на ділянці бруса, вільному від навантаження, то поперечна сила в обох перерізах буде однакова, а отже, однаково викривлення перерізів. При цьому будь-який відрізок волокна ab(Мал.10.5) переміститься в нове положення a"b", не зазнавши додаткового подовження, а отже, не змінюючи величину нормальної напруги.

Визначимо дотичні напруги в поперечному перерізі через парні їм напруги, що діють у поздовжньому перерізі бруса.

Виділимо з бруса елемент завдовжки dx(Рис. 10.7 а). Проведемо горизонталь-ний перетин на відстані увід нейтральної осі z, Що розділило елемент на дві частини (рис. 10.7) і розглянемо рівновагу верхньої частини, що має основу

ня шириною b. Відповідно до закону парності дотичних напруг, напруги, що діють у поздовжньому перерізі, рівні напругам, що діють у поперечному перерізі. З огляду на це припущення про те, що дотичні напруги в майданчику bрозподілені рівномірно використовуємо умову ΣХ = 0, отримаємо:

N * - (N * + dN *) +

де: N * - рівнодіюча нормальних сил у лівому поперечному перерізі елемента dx в межах "відсіченої" майданчика А * (рис. 10.7 г):

де: S = - статичний момент "відсіченої" частини поперечного перерізу (заштрихована площа на рис. 10.7 в). Отже, можна записати:

Тоді можна записати:

Ця формула була отримана в XIX столітті російським вченим та інженером Д.І. Журавським і має його ім'я. І хоча ця формула наближена, оскільки усереднює напругу по ширині перерізу, але отримані результати розрахунку за нею непогано узгоджуються з експериментальними даними.

Для того, щоб визначити дотичні напруги в довільній точці перерізу віддаленої на відстані y від осі z слід:

Визначити з епюри величину поперечної сили Q, що у перерізі;

Обчислити момент інерції I z перерізу;

Провести через цю точку площину паралельну площині xzта визначити ширину перерізу b;

Обчислити статичний момент відсіченої площі Щодо головної центральної осі zі підставити знайдені величини формулу Жура-вского.

Визначимо як приклад дотичні напруги в прямокутному поперечному перерізі (рис. 10.6, в). Статичний момент щодо осі zчастини перерізу вище лінії 1-1, на якій визначається напруга запишемо у вигляді:

Він змінюється згідно із законом квадратної параболи. Ширина перерізу вдля прямокутного бруса постійна, то параболічним буде закон зміни дотичних напруг у перерізі (рис.10.6, в). При y =і у = − дотичні напруги дорівнюють нулю, а на нейтральній осі zвони сягають найбільшого значення.

Для балки круглого поперечного перерізу на нейтральній осі маємо.