Закон звуку при розтягуванні та стисканні. Поздовжні та поперечні деформації. Закон Гука Умови міцності. Розрахунок на жорсткість

Відношення абсолютного подовження стрижня до його первісної довжини називається відносним подовженням (-епсілон) або поздовжньою деформацією. Поздовжня деформація – це безрозмірна величина. Формула безрозмірної деформації:

При розтягуванні поздовжня деформація вважається позитивною, а при стисканні негативною.
Поперечні розміри стрижня в результаті деформування також змінюються, при цьому при розтягуванні зменшуються, а при стисканні – збільшуються. Якщо матеріал є ізотропним, його поперечні деформації рівні між собою:
.
Досвідченим шляхом встановлено, що при розтягуванні (стисканні) у межах пружних деформацій відношення поперечної деформації до поздовжньої є постійною для даного матеріалу величиною. Модуль відношення поперечної деформації до поздовжньої, що називається коефіцієнтом Пуассона або коефіцієнтом поперечної деформації, обчислюється за формулою:

Для різних матеріалівкоефіцієнт Пуассона змінюється не більше. Наприклад, для пробки, для каучуку, для сталі, для золота.

Закон Гука
Сила пружності, що виникає в тілі за його деформації, прямо пропорційна величині цієї деформації.
Для тонкого розтягненого стрижня закон Гука має вигляд:

Тут – сила, якою розтягують (стискають) стрижень, – абсолютне подовження (стиснення) стрижня, а – коефіцієнт пружності (або жорсткості).
p align="justify"> Коефіцієнт пружності залежить як від властивостей матеріалу, так і від розмірів стрижня. Можна виділити залежність від розмірів стрижня (площі поперечного перерізу та довжини) явно, записавши коефіцієнт пружності як

Розмір називається модулем пружності першого роду чи модулем Юнга і є механічною характеристикою матеріалу.
Якщо ввести відносне подовження

І нормальна напруга у поперечному перерізі

То закон Гука в відносних одиницяхзапишеться як

У такій формі він справедливий для будь-яких малих обсягів матеріалу.
Також при розрахунку прямих стрижнів застосовують запис закону Гука у відносній формі

Модуль Юнга
Модуль Юнга (модуль пружності) - фізична величина, що характеризує властивості матеріалу чинити опір розтягуванню/стиску при пружній деформації.
Модуль Юнга розраховується так:

Де:
E - модуль пружності,
F - сила,
S - площа поверхні, за якою розподілено дію сили,
l - довжина стрижня, що деформується,
x - модуль зміни довжини стрижня в результаті пружної деформації (виміряного в тих самих одиницях, що і довжина l).
Через модуль Юнга обчислюється швидкість поширення поздовжньої хвилі в тонкому стрижні:

Де – щільність речовини.
Коефіцієнт Пуассона
p align="justify"> Коефіцієнт Пуассона (позначається як або) - абсолютна величина відношення поперечної до поздовжньої відносної деформації зразка матеріалу. Цей коефіцієнт залежить немає від розмірів тіла, як від природи матеріалу, з якого виготовлений зразок.
Рівняння
,
де
- коефіцієнт Пуассона;
- деформація в поперечному напрямку (негативна при осьовому розтягуванні, позитивна при осьовому стисканні);
- Поздовжня деформація (позитивна при осьовому розтягуванні, негативна при осьовому стисканні).

Розглянемо прямий брус постійного перерізу довжиною l, зароблений одним кінцем і навантажений на іншому кінці силою Р, що розтягує (рис. 2.9, а). Під дією сили Р брус подовжується на деяку величину?l, яка називається повним або абсолютним подовженням (абсолютною поздовжньою деформацією).

У будь-яких точках бруса, що розглядається, є однаковий напружений стан, і, отже, лінійні деформації для всіх його точок однакові. Тому значення можна з'ясувати, як ставлення абсолютного подовження?l до початкової довжини бруса l, тобто. . Лінійну деформацію при розтягуванні або стисканні брусів називають зазвичай відносним подовженням, або відносною поздовжньою деформацією, і позначають

Отже,

Відносна поздовжня деформація вимірюється у абстрактних одиницях. Деформацію подовження умовимося вважати позитивною (рис. 2.9 а), а деформацію стиснення - негативною (рис. 2.9 б).

Чим більше величина сили, що розтягує брус, тим більше, за інших рівних умов, подовження бруса; чим більше площапоперечного перерізу бруса, тим подовження бруса менше. Бруси з різних матеріалів подовжуються по-різному. Для випадків, коли напруга в брусі не перевищує межі пропорційності, досвідом встановлена ​​наступна залежність:

Тут N - поздовжня сила поперечних перерізах бруса;

F – площа поперечного перерізу бруса;

Е - коефіцієнт, що залежить від фізичних властивостей матеріалу.

Враховуючи, що нормальну напругу в поперечному перерізі бруса отримуємо

Абсолютне подовження бруса виражається формулою

тобто. абсолютна поздовжня деформація прямо пропорційна поздовжній силі.

Вперше закон про пряму пропорційність між силами та деформаціями сформулював Р. Гук (1660 р.).

Більш загальним є наступне формулювання закону Гука відносна поздовжня деформація прямо пропорційна нормальному напрузі. У такому формулюванні закон Гука використовується не тільки при вивченні розтягування та стиснення брусів, а й в інших розділах курсу.

Величина Е, що входить до формул, називається модулем поздовжньої пружності (скорочено - модулем пружності). Ця величина - фізична стала матеріалу, що характеризує його жорсткість. Чим більше значенняЕ, тим менше, за інших рівних умов, поздовжня деформація.

Твір EF називається жорсткістю поперечного перерізу бруса при розтягуванні та стисканні.

Якщо поперечний розмір бруса до застосування до нього стискаючих сил Р позначити b, а після застосування цих сил b+?b (рис. 9.2), то величина?b позначатиме абсолютну поперечну деформацію бруса. Відношення є відносною поперечною деформацією.

Досвід показує, що при напругах, що не перевищують межі пружності, відносна поперечна деформацією прямо пропорційна відносної поздовжньої деформації е, але має зворотний знак:

Коефіцієнт пропорційності у формулі (2.16) залежить від матеріалу бруса. Він називається коефіцієнтом поперечної деформації, або коефіцієнтом Пуассона, і є відношенням поперечної деформації до поздовжньої, взяте по абсолютній величині, тобто.

p align="justify"> Коефіцієнт Пуассона, поряд з модулем пружності Е, характеризує пружні властивості матеріалу.

Розмір коефіцієнта Пуассона визначається експериментально. Для різних матеріалів вона має значення від нуля (для пробки) до величини, близької до 0,50 (для гуми та парафіну). Для сталі коефіцієнт Пуассона дорівнює 025-030; для інших метало (чавуну, цинку, бронзи, міді) він має значення від 0,23 до 0,36.

Таблиця 2.1. Значення модуля пружності.

Таблиця 2.2. Значення коефіцієнта поперечної деформації (коефіцієнт Пуассона)

Нехай у результаті деформації початкова довжина стрижня lстане рівною. l 1. Зміна довжини

називається абсолютним подовженням стрижня.

Відношення абсолютного подовження стрижня до його первісної довжини називається відносним подовженням (епсілон) або поздовжньою деформацією. Поздовжня деформація – це безрозмірна величина. Формула безрозмірної деформації:

При розтягуванні поздовжня деформація вважається позитивною, а при стисканні негативною.

Поперечні розміри стрижня в результаті деформування також змінюються, при цьому при розтягуванні зменшуються, а при стисканні – збільшуються. Якщо матеріал є ізотропним, його поперечні деформації рівні між собою:

Досвідченим шляхом встановлено, що при розтягуванні (стисканні) у межах пружних деформацій відношення поперечної деформації до поздовжньої є постійною для даного матеріалу величиною. Модуль відношення поперечної деформації до поздовжньої, що називається коефіцієнтом Пуассона або коефіцієнтом поперечної деформації, обчислюється за формулою:

Для різних матеріалів коефіцієнт Пуассона змінюється не більше . Наприклад, для пробки, для каучуку, для сталі, для золота.

Поздовжні та поперечні деформації. Коефіцієнт Пуассона. Закон Гука

При дії сил, що розтягують, по осі бруса довжина його збільшується, а поперечні розміри зменшуються. При дії стискаючих зусиль відбувається протилежне явище. На рис. 6 показаний брус, що розтягується двома силами Р. В результаті розтягування брус подовжився на величину Δ l, яка називається абсолютним подовженням,і отримаємо абсолютне поперечне звуження Δа .

Відношення величини абсолютного подовження та укорочення до початкової довжини або ширини бруса називається відносною деформацією. У цьому випадку відносна деформація називається поздовжньою деформацією, а - відносною поперечною деформацією. Відношення відносної поперечної деформації до відносної поздовжньої деформації називається коефіцієнтом Пуассона: (3.1)

p align="justify"> Коефіцієнт Пуассона для кожного матеріалу як пружна константа визначається дослідним шляхом і знаходиться в межах: ; для сталі.

У межах пружних деформацій встановлено, що нормальна напруга прямо пропорційна відносної поздовжньої деформації. Ця залежність називається законом Гука:

, (3.2)

де Е- Коефіцієнт пропорційності, званий модулем нормальної пружності.

Якщо ми у формулу закону Гука підставимо вираз і , то отримаємо формулу для визначення подовження або укорочення при розтягуванні та стисканні:

, (3.3)

де твір ЕFназивається жорсткістю при розтягуванні, стисканні.

Поздовжні та поперечні деформації. Закон Гука

Мати уявлення про поздовжні та поперечні деформації та їх зв'язок.

Знати закон Гука, залежності та формули для розрахунку напружень та переміщень.

Вміти проводити розрахунки на міцність та жорсткість статично визначних брусів при розтягуванні та стисканні.

Деформації при розтягуванні та стисканні

Розглянемо деформацію бруса під впливом поздовжньої сили F(Рис. 4.13).

Початкові розміри бруса: - Початкова довжина, - Початкова ширина. Брус подовжується на величину Δl; Δ1- Абсолютне подовження. При розтягуванні поперечні розміри зменшуються, Δ а- абсолютне звуження; Δ1 > 0; Δ а 0.

У опорі матеріалів прийнято розраховувати деформації у відносних одиницях: рис.4.13

- відносне подовження;

Відносне звуження.

Між поздовжньою та поперечною деформаціями існує залежність ε′=με, де μ – коефіцієнт поперечної деформації, або коефіцієнт Пуассона – характеристика пластичності матеріалу.

Енциклопедія з машинобудування XXL

Обладнання, матеріалознавство, механіка та.

Деформація поздовжня при розтягуванні (стисненні)

Експериментально встановлено, що співвідношення поперечної деформації ej. до поздовжньої деформації е при розтягуванні (стисканні) до межі пропорційності даного матеріалу - величина постійна. Позначивши абсолютну величину цього відношення (X, отримаємо

Досвідами встановлено, що відносна поперечна деформація ео при розтягуванні (стисканні) становить деяку частину поздовжньої деформації е, тобто.

Відношення поперечної деформації до поздовжньої при розтягуванні (стисканні), взяте іо абсолютної величини.

У попередніх розділах опору матеріалів було розглянуто прості видидеформації бруса - розтягування (стиснення), зсув, кручення, прямий вигин, характерні тим, що в поперечних перерізах бруса виникає лише один внутрішній силовий фактор при розтягуванні (стисненні) - поздовжня сила, при зсуві - поперечна сила, при крученні - момент, що крутить, при чистому прямому вигині- згинальний момент у площині, що проходить через одну з головних центральних осей поперечного перерізу бруса. При прямому поперечному згинівиникає два внутрішніх силових фактора- згинальний момент і поперечна сила, але цей вид деформації бруса відносять до простих, так як при розрахунках на міцність спільний вплив зазначених силових факторів не враховують.

При розтягуванні (стисканні) змінюються також і поперечні розміри. Відношення відносної поперечної деформації е до відносної поздовжньої деформації є фізичною константою матеріалу і називається коефіцієнтом Пуассона V = е / е.

При розтягуванні (стисканні) бруса його поздовжні та поперечні розміри отримують зміни, що характеризуються деформаціями поздовжньої прод (бг) та поперечної (е, е). які пов'язані співвідношенням

Як показує досвід, при розтягуванні (стисканні) бруса його об'єм дещо змінюється при збільшенні довжини бруса на величину Аг кожна сторона його перерізу зменшується на Будемо називати відносною поздовжньою деформацією величину

Поздовжні та поперечні пружні деформації, що виникають при розтягуванні або стисканні, пов'язані один з одним залежністю

Отже, розглянемо брус із ізотропного матеріалу. Гіпотеза плоских перерізів встановлює таку геометрію деформацій при розтягуванні стиску, що всі поздовжні волокна бруса мають однакову деформацію х, незалежно від положення в поперечному перерізі F, тобто.

Експериментальне дослідження об'ємних деформацій проводилося при розтягуванні та стисканні зразків склопластиків при одночасної реєстрації на осцилографі К-12-21 зміни поздовжніх, поперечних деформацій матеріалу та зусилля при навантаженні (на випробувальній машині ЦД-10). Випробування до досягнення максимального навантаження проводилося практично при постійних швидкостяхнавантаження, що забезпечувалося спеціальним регулятором, яким забезпечена машина.

Як показують досліди, відношення поперечної деформації до поздовжньої деформації при розтягуванні або стисканні для даного матеріалу в межах застосування закону Гука є величина постійна. Це відношення, взяте за абсолютною величиною, називається коефіцієнтом поперечної деформації чи коефіцієнтом Пуассона

Тут /р(сж) - поздовжня деформація при розтягуванні (стисненні) /і - поперечна деформація при згинанні I - довжина деформованого бруса Р - площа його поперечного перерізу / - момент Інерції площі поперечного перерізу зразка щодо нейтральної осі - полярний момент інерції Р - прикладене зусилля -момент кручення - коефіцієнт, вчи-

Деформація стрижня при розтягуванні або стисканні полягає у зміні його довжини та поперечного перерізу. Відносні поздовжня та поперечна деформації визначаються відповідно за формулами

Відношення висоти бічних пластин (стінок бака) до ширини в акумуляторах значних габаритів, як правило, більше двох, що дозволяє розраховувати стінки бака за формулами циліндричного вигину пластин. Кришка бака не має жорсткого скріплення зі стінками і не може завадити їх витріщуванню. Нехтуючи впливом дна можна звести розрахунок бака при дії на нього горизонтальних зусиль до розрахунку замкнутої статично невизначеної рамки-смужки, виділеної з бака двома горизонтальними перерізами. Модуль нормальної пружності склопласту порівняно малий, тому конструкції цього матеріалу чутливі до поздовжнього вигину. Межі міцності склопласту при розтягуванні, стисканні та згинанні різні. Зіставлення розрахункових напруг із граничними повинно проводитися для тієї деформації, яка є переважаючою.

Введемо позначення, що використовуються в алгоритмі величини з індексами 1,1-1 відносяться до поточної та попередньої ітерації на тимчасовому етапі т - Ат, т і 2 - відповідно швидкість поздовжньої (осьової) деформації при розтягуванні (i > > 0) та стисненні (2 деформації пов'язані співвідношенням

Залежності (4.21) та (4.31) були перевірені на великій кількості матеріалів та при різних умовахнавантаження. Випробування були проведені при розтягуванні-стиску з частотою близько одного циклу за хвилину та одного циклу за 10 хв у широкому інтервалі температур. Для вимірювань деформацій використовувалися як поздовжні, і поперечні деформометри. При цьому були випробувані суцільні (циліндричні та корсетні) і трубчасті зразки з котельної сталі 22к (при температурах 20-450 С і асиметріях - 1, -0,9 -0,7 і -0,3, крім того, зварні зразки і з надрізом), теплостійкої сталі МС (при температурах 20-550° С та асиметріях -1 -0,9 -0,7 та -0,3), жароміцного нікелевого сплаву ЕІ-437Б (при 700° С), стали 16ГНМА, ЧСН , Х18Н10Т, сталь 45, алюмінієвого сплаву АД-33 (при асиметріях -1 0 -Ь0,5) та ін Всі матеріали випробовувалися в стані поставки.

Коефіцієнт пропорційності Е, зв'язуючий нормальну напругу і поздовжню деформацію, називається модулем пружності при розтягуванні-стискання матеріалу. Цей коефіцієнт має інші назви модуль пружності 1-го роду, модуль Юнга. Модуль пружності Е є однією з найважливіших фізичних постійних, що характеризують здатність матеріалу чинити опір пружному деформуванню. Чим більша ця величина, тим менший розтягується або стискається брус при додатку однієї і тієї ж сили Р.

Якщо вважати, що на рис. 2-20, а вал є провідним, а вали О1 і О2 веденими, то при відключенні роз'єднувача тяги ЛЛ1 і Л1Л2 будуть працювати на стиск, а при включенні - на розтяг. Поки відстані між осями валів О, 0 та О2 невеликі (до 2000 мм), різниця між деформацією тяги при розтягуванні та при стисканні (поздовжній вигин) не позначається на роботі синхронної передачі. У роз'єднувачі на 150 кВ відстань між полюсами 2800 мм, на 330 кВ – 3500 мм, на 750 кВ – 10 000 мм. При таких великих відстанях між центрами валів та значними навантаженнями, які вони повинні передавати, мовляв, d. Така довжина вибирається з міркувань більшої стійкості, так як довгий зразок крім стиснення може відчувати деформацію поздовжнього вигину, про який йтиметься у другій частині курсу. Зразки з будівельних матеріаліввиготовляються у формі куба з розмірами 100 X ЮО X ЮО або 150 X X 150 X 150 мм. При випробуванні на стиск циліндричний зразок набуває спочатку бочкоподібної форми. Якщо він виготовлений з пластичного матеріалу, то подальше навантаження приводить до розплющування зразка, якщо матеріал крихкий, то зразок раптово розтріскується.

У будь-яких точках розглянутого бруса є однаковий напружений стан і, отже, лінійні деформації (див. 1.5) для всіх його однакові. Тому значення можна визначити як відношення абсолютного подовження А/до початкової довжини бруса /, тобто е = А///. Лінійну деформацію при розтягуванні або стисканні бруків називають зазвичай відносним подовженням (чи відносною поздовжньою деформацією) і позначають е.

Дивитися сторінки, де згадується термін Деформація поздовжня при розтягуванні (стисненні) : Технічний довідник залізничника Том 2 (1951) - [c.11]

Поздовжні та поперечні деформації при розтягуванні – стисканні. Закон Гука

При додатку до стрижня навантажень, що розтягують, його початкова довжина / збільшується (рис. 2.8). Позначимо збільшення довжини через А/. Відношення збільшення довжини стрижня до його початкової довжини називається відносним подовженнямабо поздовжньою деформацієюі позначається через г:

Відносне подовження - величина безрозмірна, у деяких випадках її прийнято виражати у відсотках:

При розтягуванні змінюються розміри стрижня у поздовжньому напрямі, а й у поперечному - відбувається звуження стрижня.

Мал. 2.8. Деформація стрижня при розтягуванні

Відношення зміни А арозміру поперечного перерізу для його початкового розміру називається відносним поперечним звуженнямабо поперечною деформацією”.

Досвідченим шляхом встановлено, що між поздовжньою та поперечною деформаціями існує залежність

де р називається коефіцієнтом Пуассоната є постійною величиною для даного матеріалу.

Коефіцієнт Пуассона є, як це видно з наведеної формули, відношення поперечної деформації до поздовжньої:

Для різних матеріалів значення коефіцієнта Пуассона лежать у межах від 0 до 0,5.

У середньому для металів та сплавів коефіцієнт Пуассона приблизно дорівнює 0,3 (табл. 2.1).

Значення коефіцієнта Пуассона

При стиску відбувається зворотна картина, тобто. у поперечному напрямку початкові розміри зменшуються, а поперечному - збільшуються.

Численні досліди показують, що до певних меж навантаження для більшості матеріалів напруги, що виникають при розтягуванні або стисненні стрижня, знаходяться у певній залежності від поздовжньої деформації. Ця залежність зветься закону Гукаякий може бути сформульований наступним чином.

У відомих межах навантаження між поздовжньою деформацією та відповідною нормальною напругою існує прямо пропорційна залежність

Коефіцієнт пропорційності Еназивається модулем поздовжньої пружності.Він має таку ж розмірність, як і напруга, тобто. вимірюється Па, МПа.

Модуль поздовжньої пружності - фізична постійна даного матеріалу, що характеризує здатність матеріалу чинити опір пружним деформаціям. Для цього матеріалу величина модуля пружності коливається у вузьких межах. Так, для сталі різних марок Е=(1,9. 2,15) 105 МПа.

Для найчастіше застосовуваних матеріалів модуль пружності має такі значення МПа (табл. 2.2).

Значення модуля пружності для матеріалів, що найчастіше використовуються

• Моральне та патріотичне вихованняможе стати елементом освітнього процесу Розроблено заходи щодо забезпечення патріотичного та морального виховання дітей та молоді. Відповідний законопроект 1 внесений до Держдуми членом Ради Федерації Сергієм […]
• Як оформити утримання? Питання необхідності оформлення утримання виникають не часто, оскільки більшість утриманців є такими в силу закону, і проблема встановлення факту утримання відпадає сама по собі. Водночас у ряді випадків необхідність оформлення […]
• Термінове оформлення та отримання закордонного паспорта Ніхто не застрахований від ситуації, коли різко виникає необхідність швидко оформити закордонний паспорт у Москві чи будь-якому іншому російському місті. Що робити? Куди звертатись? І скільки обійдеться подібна послуга? Необхідно […]
• Податки у Швеції та перспективи розвитку бізнесу Перш ніж вирушити до Швеції як бізнес-емігранта, не зайвим буде дізнатися більше про податкову систему країни. Податки у Швеції – це складна, і, як сказали б наші співвітчизники, складна система. Деяких вона […]
• Податок на виграш: розмір у 2017 році За попередні роки можна чітко простежити тенденцію, яку дотримуються державні органи влади. Вживаються все більш жорсткі заходи щодо контролю доходів ігрового бізнесу, а також населення, що отримує виграші. Так, у 2014 році […]
• Уточнення позовних вимог Після ухвалення судом позову та навіть у процесі судового розглядупозивач має право заявити уточнення позовних вимог. У порядку уточнень можна вказати нові обставини чи доповнити старі, збільшити чи зменшити суму позову, […]
• Як правильно видаляти програми з комп'ютера? Здавалося б, що складного у видаленні програм із комп'ютера? Але я знаю, що безліч користувачів-початківців мають з цим проблеми. Ось, наприклад, витяг із одного листа, який я отримав: «…У мене до Вас таке запитання: […]
• ЩО ВАЖЛИВО ЗНАТИ ПРО НОВИЙ ЗАКОНОПРОЕКТ ПРО ПЕНСІЇ З 01.01.2002 трудові пенсії призначаються та виплачуються відповідно до Федеральним законом«Про трудові пенсії у Російської Федерації» від 17.12.2001 № 173-ФЗ. При встановленні розміру трудової пенсії згідно з [...]

Розглянемо прямий стрижень постійного поперечного перерізу, що жорстко закріплений зверху. Нехай стрижень має довжину і навантажений силою, що розтягує. F . Від дії цієї сили довжина стрижня збільшується на певну величину Δ (Рис.9.7, а).

При стисканні стрижня такою ж силою F довжина стрижня скоротиться на таку саму величину Δ (Рис.9.7, б).

Величина Δ , Рівна різниці між довжинами стрижня після деформації і до деформації, називається абсолютною лінійною деформацією (подовженням або укороченням) стрижня при його розтягуванні або стисненні.

Відношення абсолютної лінійної деформації Δ до початкової довжини стрижня називається відносною лінійною деформацією і позначається буквою ε або ε x (де індекс x вказує напрямок деформації). При розтягуванні чи стисканні стрижня величину ε просто називають відносною поздовжньою деформацією стрижня. Вона визначається за такою формулою:

Багаторазові дослідження процесу деформування розтягнутого або стисненого стрижня в пружній стадії підтвердили існування прямої пропорційної залежності між нормальною напругою та відносною поздовжньою деформацією. Ця залежність називається законом Гука і має вигляд:

Величина E називається модулем поздовжньої пружності чи модулем першого роду. Вона є постійною фізичною (константою) для кожного виду матеріалу стрижня і характеризує його жорсткість. Чим більша величина E тим менше буде поздовжня деформація стрижня. Величина E вимірюється в тих самих одиницях, що і напруга, тобто в Па , МПа , і тому подібне. Величини модуля пружності містяться у таблицях довідкової та навчальної літератури. Наприклад, величина модуля поздовжньої пружності сталі приймається рівною E = 2∙10 5 МПа , а деревини

E = 0,8 10 5 МПа.

При розрахунку стрижнів на розтяг або стиснення часто виникає необхідність визначення величини абсолютної поздовжньої деформації, якщо відома величина поздовжньої сили, площа поперечного перерізу і матеріал стрижня. З формули (9.8) знайдемо: . Замінимо у цьому виразі ε його значенням із формули (9.9). В результаті отримаємо = . Якщо використовувати формулу нормальної напруги , тоотримаємо остаточну формулу для визначення абсолютної поздовжньої деформації:

Добуток модуля поздовжньої пружності на площу поперечного перерізу стрижня називається його жорсткістюпри розтягуванні чи стисканні.

Аналізуючи формулу (9.10) зробимо суттєвий висновок: абсолютна поздовжня деформація стрижня при розтягуванні (стисненні) прямо пропорційна добутку поздовжньої сили на довжину стрижня і обернено пропорційна його жорсткості.

Зауважимо, що формула (9.10) може бути використана у тому випадку, коли поперечний переріз стрижня та поздовжня сила мають постійні значення по всій його довжині. У випадку, коли стрижень має ступінчасто змінну жорсткість і завантажений по довжині декількома силами, потрібно розділити їх у ділянки і визначити абсолютні деформації кожного їх за формулою (9.10).

Алгебраїчна сума абсолютних деформацій кожної ділянки дорівнюватиме абсолютній деформації всього стрижня, тобто:

Поздовжні деформації стрижня від дії рівномірно розподіленого навантаження вздовж його осі (наприклад, від дії власної ваги) визначається наступною формулою, яку наводимо без доказу:

У разі розтягування або стиснення стрижня, крім поздовжніх деформацій, виникають також поперечні деформації, як абсолютні, так і відносні. Позначимо через b Розмір поперечного перерізу стрижня до деформації. При розтягуванні стрижня силою F цей розмір зменшиться на величину Δb яка є абсолютною поперечною деформацією стрижня. Ця величина має негативний знак. При стисненні, навпаки, абсолютна поперечна деформація матиме позитивний знак (рис. 9.8).

Розглянемо прямий брус постійного перерізу довжиною (рис. 1.5), зароблений одним кінцем і навантажений на іншому кінці силою, що розтягує. Р.Під дією сили Рбрус подовжується на деяку величину , яка називається повним (або абсолютним) подовженням (абсолютною поздовжньою деформацією).

Мал. 1.5. Деформація бруса

У будь-яких точках бруса, що розглядається, є однаковий напружений стан і, отже, лінійні деформації для всіх його точок однакові. Тому значення е можна як ставлення абсолютного подовження до початкової довжини бруса , тобто.

Бруси з різних матеріалів подовжуються по-різному. Для випадків, коли напруга в брусі не перевищує межі пропорційності, досвідом встановлена ​​наступна залежність:

де N-поздовжня сила в поперечних перерізах бруса; F-площа поперечного перерізу бруса; Е-коефіцієнт, що залежить від фізичних властивостей матеріалу.

Враховуючи, що нормальна напруга у поперечному перерізі бруса σ = N/F,отримуємо ε = σ/Е.Звідки σ = εЕ.

Абсолютне подовження бруса виражається формулою

Більш загальним є наступне формулювання закону Гука: відносна поздовжня деформація прямо пропорційна нормальній напрузі. У такому формулюванні закон Гука використовується не тільки при вивченні розтягування та стиснення брусів, а й в інших розділах курсу.

Величина Еназивається модулем пружності першого роду. Це фізична стала матеріалу, що характеризує його жорсткість. Чим більше значення Е,тим менше за інших рівних умов поздовжня деформація. Модуль пружності виявляється у тих самих одиницях, як і напруга, тобто. у паскалях (Па) (сталь Е = 2 * 10 5 МПа, мідь Е= 1*10 5 МПа).

твір EFназивається жорсткістю поперечного перерізу бруса при розтягуванні та стисканні.

Крім поздовжньої деформації при дії на брус стискаючої або сили, що розтягує, спостерігається також поперечна деформація. При стисканні бруса поперечні розміри його збільшуються, а при розтягуванні зменшуються. Якщо поперечний розмір бруса до застосування до нього стискаючих сил Рпозначити В,а після застосування цих сил В - ∆В,то величина ∆Вбуде позначати абсолютну поперечну деформацію бруса.

Відношення є відносною поперечною деформацією.

Досвід показує, що при напругах, що не перевищують межі пружності, відносна поперечна деформація прямо пропорційна відносної поздовжньої деформації, але має зворотний знак:

Коефіцієнт пропорційності залежить від матеріалу бруса. Він називається коефіцієнтом поперечної деформації (або коефіцієнтом Пуассона ) і є відношенням відносної поперечної деформації до поздовжньої, взяте по абсолютній величині, тобто. коефіцієнт Пуассона поряд із модулем пружності Ехарактеризує пружні властивості матеріалу.

Коефіцієнт Пуассон визначається експериментально. Для різних матеріалів він має значення від нуля (для пробки) до величини, близької до 0,50 (для гуми та парафіну). Для сталі коефіцієнт Пуассона дорівнює 0,25...0,30; для ряду інших металів (чавуну, цинку, бронзи, міді) він

має значення від 0,23 до 0,36.

Мал. 1.6. Брус змінного поперечного перерізу

Визначення величини поперечного перерізу стрижня виконується виходячи з умови міцності

де [σ] - напруга, що допускається.

Визначимо поздовжнє переміщення δ акрапки аосі бруса, розтягнутого силою Р(Мал. 1.6).

Воно дорівнює абсолютній деформації частини бруса ad,укладеному між закладенням і перетином, проведеним через точку d,тобто. поздовжня деформація бруса визначається за формулою

Ця формула застосовна лише, коли в межах усієї ділянки довжиною поздовжні сили N і жорсткості EFпоперечних перерізів бруса постійні. У цьому випадку на ділянці abпоздовжня сила Nдорівнює нулю (власну вагу бруса не враховуємо), а на ділянці bdвона дорівнює Р,крім того, площа поперечного перерізу бруса на ділянці асвідрізняється від площі перерізу на ділянці cd.Тому поздовжню деформацію ділянки adслід визначати як суму поздовжніх деформацій трьох ділянок ab, Ьсі cd,для кожного з яких значення Nі EFпостійні по всій його довжині:

Поздовжні сили на ділянках бруса, що розглядаються.

Отже,

Аналогічно можна визначити переміщення будь-яких точок осі бруса, а за їх значеннями побудувати епюру поздовжніх переміщень (епюру δ), тобто. графік, що зображує зміну цих переміщень довжиною осі бруса.

4.2.3. Умови міцності. Розрахунок на твердість.

Під час перевірки напруг площі поперечних перерізів Fі поздовжні сили відомі і розрахунок полягає у обчисленні розрахункових (фактичних) напруг у характерних перерізах елементів. Отриману при цьому найбільшу напругу порівнюють потім із допусканим:

При доборі перерізіввизначають необхідні площі [F]поперечних перерізів елемента (за відомими поздовжніми силами Nі напруги, що допускається [σ]). Прийняті площі перерізів Fповинні задовольняти умову міцності, виражену в наступному вигляді:

При визначенні вантажопідйомностіза відомими значеннями Fі допустимій напрузі [σ] обчислюють допустимі величини [N] поздовжніх сил:

За отриманими значеннями [N] потім визначаються допустимі величини зовнішніх навантажень [P].

Для цього випадку умова міцності має вигляд

Величини нормативних коефіцієнтів запасу міцності встановлюються нормами. Вони залежать від класу конструкції (капітальна, тимчасова і т.п.), терміну її експлуатації, навантаження (статична, циклічна тощо), можливої ​​неоднорідності виготовлення матеріалів (наприклад, бетону), від виду деформації (розтягування, стиснення). , вигин тощо) та інших факторів. У ряді випадків доводиться знижувати коефіцієнт запасу з метою зменшення ваги конструкції, а іноді збільшувати коефіцієнт запасу - при необхідності враховувати знос частин машин, що труться, корозію і загнивання матеріалу.

Величини нормативних коефіцієнтів запасу для різних матеріалів, споруд та навантажень мають у більшості випадків значення: - 2,5...5 та - 1,5...2,5.

Під перевіркою жорсткості елемента конструкції, що знаходиться в стані чистого розтягування - стиснення, розуміється пошук відповіді на питання: чи достатні значення жорстких характеристик елемента (модуля пружності матеріалу Ета площі поперечного перерізу F),щоб максимальне зі всіх значень переміщень точок елемента, викликаних зовнішніми силами, u max не перевищило певного граничного заданого значення [u]. Вважається, що при порушенні нерівності u max< [u] конструкция переходит в предельное состояние.