Priečny ohyb pevnostnej rohože. Čistý ohyb. Zhuravského diferenciálne závislosti
Ohyb je typ deformácie, pri ktorej je pozdĺžna os nosníka ohnutá. Priame nosníky pracujúce na ohybe sa nazývajú nosníky. Priamy ohyb je ohyb, v ktorom vonkajšie sily pôsobiace na nosník ležia v jednej rovine (silovej rovine) prechádzajúcej pozdĺžnou osou nosníka a hlavnou stredovou osou zotrvačnosti. prierez.
Ohyb sa nazýva čistý, ak sa v ľubovoľnom priereze nosníka vyskytne iba jeden ohybový moment.
Ohyb, v ktorom vzniká ohybový moment a šmyková sila, sa nazýva priečny. Priesečník roviny sily a roviny prierezu sa nazýva siločiara.
Vnútorné silové faktory pri ohybe nosníka.
Keď plochý priečny ohyb v prierezoch nosníka vznikajú dva vnútorné silové súčinitele: priečna sila Q a ohybový moment M. Na ich určenie sa používa metóda rezu (pozri prednášku 1). Priečna sila Q v priereze nosníka sa rovná algebraickému súčtu priemetov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného prierezu do roviny rezu.
Znamenkové pravidlo pre šmykové sily Q:
Ohybový moment M v úseku nosníka sa rovná algebraickému súčtu momentov okolo ťažiska tohto úseku všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného úseku.
Znamenkové pravidlo pre ohybové momenty M:
Zhuravského diferenciálne závislosti.
Medzi intenzitou q rozloženého zaťaženia, vyjadreniami pre priečnu silu Q a ohybový moment M sú stanovené diferenciálne závislosti:
Na základe týchto závislostí je možné rozlíšiť nasledovné všeobecné vzory diagramy priečnych síl Q a ohybových momentov M:
Osobitosti diagramov súčiniteľov vnútornej sily v ohybe.
1. Na úseku nosníka, kde nie je žiadne rozložené zaťaženie, sa zobrazí graf Q priamka , rovnobežne so základňou diagramu a diagram M je naklonená priamka (obr. a).
2. V úseku, kde pôsobí sústredená sila, by na Q diagrame malo byť skok rovná hodnote tejto sily a na diagrame M - bod zlomu (obr. a).
3. V úseku, kde sa uplatňuje sústredený moment, sa hodnota Q nemení a diagram M má skok , ktorá sa rovná hodnote tohto momentu, (obr. 26, b).
4. V úseku lúča s rozloženým zaťažením intenzity q sa diagram Q mení podľa lineárneho zákona a diagram M - podľa parabolického a konvexnosť paraboly smeruje k smeru rozloženého zaťaženia (obr. c, d).
5. Ak v rámci charakteristického úseku diagramu Q pretína základ diagramu, potom v úseku, kde Q = 0, má ohybový moment extrémnu hodnotu M max alebo M min (obr. d).
Normálne ohybové napätia.
Určené podľa vzorca:
Moment odolnosti sekcie proti ohybu je hodnota:
Nebezpečný úsek pri ohýbaní sa nazýva prierez nosníka, v ktorom vzniká maximálne normálové napätie.
Tangenciálne napätia v priamom ohybe.
Určený Zhuravského vzorec pre šmykové napätia pri rovný zákrut nosníky:
kde Sots - statický moment priečnej oblasti odrezanej vrstvy pozdĺžnych vlákien vzhľadom na neutrálnu čiaru.
Výpočty pevnosti v ohybe.
1. O overovací výpočet určí sa maximálne návrhové napätie, ktoré sa porovná s dovoleným napätím:
2. O návrhový výpočet výber časti nosníka sa vykonáva z podmienky:
3. Pri určovaní prípustného zaťaženia sa prípustný ohybový moment určuje z podmienky:
Ohýbacie pohyby.
Pri pôsobení ohybového zaťaženia je os lúča ohnutá. V tomto prípade dochádza k naťahovaniu vlákien na konvexné a stlačenie - na konkávne časti lúča. Okrem toho dochádza k vertikálnemu pohybu ťažísk prierezov a ich rotácii voči neutrálnej osi. Na charakterizáciu deformácie počas ohýbania sa používajú tieto pojmy:
Vychýlenie lúča Y- posunutie ťažiska prierezu nosníka v smere kolmom na jeho os.
Vychýlenie sa považuje za kladné, ak sa ťažisko pohybuje nahor. Veľkosť vychýlenia sa mení po dĺžke lúča, t.j. y=y(z)
Uhol natočenia sekcie- uhol θ, o ktorý je každá sekcia otočená vzhľadom na svoju pôvodnú polohu. Uhol otočenia sa považuje za pozitívny, keď sa časť otáča proti smeru hodinových ručičiek. Hodnota uhla natočenia sa mení pozdĺž dĺžky lúča, pričom je funkciou θ = θ (z).
Najbežnejším spôsobom určenia posunov je metóda mora a Vereščaginovo pravidlo.
Mohrova metóda.
Postup na určenie posunov podľa Mohrovej metódy:
1. "Pomocný systém" je postavený a zaťažený jediným zaťažením v bode, kde sa má určiť posunutie. Ak je určené lineárne posunutie, potom v jeho smere pôsobí jednotková sila, pri určovaní uhlových posunov sa aplikuje jednotkový moment.
2. Pre každý úsek systému sa zaznamenávajú vyjadrenia ohybových momentov M f od pôsobiaceho zaťaženia a M 1 - od jedného zaťaženia.
3. Mohrove integrály sa vypočítajú a spočítajú vo všetkých častiach systému, výsledkom čoho je požadované posunutie:
4. Ak má vypočítaný posun kladné znamienko, znamená to, že jeho smer sa zhoduje so smerom jednotkovej sily. Záporné znamienko znamená, že skutočný posun je opačný ako smer jednotkovej sily.
Vereščaginovo pravidlo.
V prípade, že diagram ohybových momentov z daného zaťaženia má ľubovoľný a z jedného zaťaženia - priamočiary obrys, je vhodné použiť graficko-analytickú metódu alebo Vereshchaginovo pravidlo.
kde A f je plocha diagramu ohybového momentu M f od daného zaťaženia; y c je ordináta diagramu od jedného zaťaženia pod ťažiskom diagramu M f ; EI x - prierezová tuhosť prierezu nosníka. Výpočty podľa tohto vzorca sa robia v častiach, z ktorých každá musí byť priamka bez zlomov. Hodnota (A f *y c) sa považuje za pozitívnu, ak sú oba diagramy umiestnené na rovnakej strane lúča, za zápornú, ak sú umiestnené na opačných stranách. Pozitívny výsledok násobenia diagramov znamená, že smer pohybu sa zhoduje so smerom jednotkovej sily (alebo momentu). Komplexný diagram M f je potrebné rozdeliť na jednoduché obrazce (používa sa tzv. „epure vrstvenie“), pre každý z nich je ľahké určiť súradnicu ťažiska. V tomto prípade sa plocha každého obrázku vynásobí súradnicou pod jeho ťažiskom.
Proces navrhovania moderných budov a stavieb je regulovaný veľkým množstvom rôznych stavebných predpisov a predpisov. Vo väčšine prípadov normy vyžadujú splnenie určitých charakteristík, ako je deformácia alebo priehyb nosníkov podlahových dosiek pri statickom alebo dynamickom zaťažení. Napríklad SNiP č. 2.09.03-85 definuje vychýlenie nosníka pre podpery a nadjazdy nie viac ako 1/150 dĺžky rozpätia. Pre podkrovné podlahy tento ukazovateľ je už 1/200 a pre medzipodlažné nosníky a ešte menej - 1/250. Preto je jednou z povinných fáz návrhu výpočet priehybu nosníka.
Spôsoby vykonávania výpočtu a testovania priehybu
Dôvod, prečo SNiP stanovujú také drakonické obmedzenia, je jednoduchý a zrejmý. Čím menšia je deformácia, tým väčšia je miera bezpečnosti a pružnosti konštrukcie. Pri priehybe menšom ako 0,5% si nosný prvok, nosník alebo doska stále zachováva elastické vlastnosti, čo zaručuje normálne prerozdelenie síl a zachovanie celistvosti celej konštrukcie. S nárastom priehybu sa rám budovy prehýba, odoláva, ale stojí, pri prekročení hraníc prípustnej hodnoty dochádza k porušeniu väzieb, konštrukcia stráca tuhosť a nosnosť ako lavína.
- Použite softvérovú online kalkulačku, v ktorej sú „chránené“ štandardné podmienky a nič viac;
- Použite hotové referenčné údaje pre rôzne druhy a typy nosníkov, pre rôzne podpery schém zaťaženia. Je potrebné iba správne identifikovať typ a veľkosť lúča a určiť požadovaný priehyb;
- Dovolený priehyb si vypočítajte rukami a hlavou, robí to väčšina projektantov, pričom kontrola architektonických a stavebných inšpekcií uprednostňuje druhý spôsob výpočtu.
Poznámka! Aby sme skutočne pochopili, prečo je také dôležité poznať veľkosť odchýlky od pôvodnej polohy, stojí za to pochopiť, že meranie veľkosti odchýlky je jediným dostupným a spoľahlivým spôsobom, ako v praxi určiť stav lúča.
Meraním, o koľko sa stropný trám prepadol, je možné s 99% istotou určiť, či je konštrukcia v havarijnom stave alebo nie.
Metóda výpočtu priehybu
Pred pokračovaním vo výpočte bude potrebné pripomenúť niektoré závislosti z teórie pevnosti materiálov a zostaviť schému výpočtu. V závislosti od toho, ako správne sa schéma vykoná a zohľadnia sa podmienky zaťaženia, bude závisieť presnosť a správnosť výpočtu.
Používame najjednoduchší model zaťažený nosník znázornený na schéme. Najjednoduchšou analógiou pre trám môže byť drevené pravítko, fotografia.
V našom prípade lúč:
- Má obdĺžnikový prierez S=b*h, dĺžka opornej časti je L;
- Pravítko je zaťažené silou Q prechádzajúcou cez ťažisko roviny ohybu, v dôsledku čoho sa konce otáčajú o malý uhol θ, s vychýlením vzhľadom na počiatočnú horizontálnu polohu. , rovné f;
- Konce nosníka sú sklopné a voľne podopreté na pevných podperách, neexistuje žiadna horizontálna zložka reakcie a konce pravítka sa môžu pohybovať v ľubovoľnom smere.
Na určenie deformácie tela pri zaťažení sa používa vzorec modulu pružnosti, ktorý je určený pomerom E \u003d R / Δ, kde E je referenčná hodnota, R je sila, Δ je hodnota deformácia tela.
Vypočítame momenty zotrvačnosti a sily
V našom prípade bude závislosť vyzerať takto: Δ \u003d Q / (S E) . Pre zaťaženie q rozložené pozdĺž nosníka bude vzorec vyzerať takto: Δ \u003d q h / (S E) .
Nasleduje najdôležitejší bod. Vyššie uvedený diagram Younga ukazuje vychýlenie lúča alebo deformáciu pravítka, ako keby bolo rozdrvené pod silným lisom. V našom prípade je lúč ohnutý, čo znamená, že na koncoch pravítka vzhľadom na ťažisko pôsobia dva ohybové momenty s rôznymi znamienkami. Schéma zaťaženia takéhoto nosníka je uvedená nižšie.
Na prevod Youngovej závislosti pre ohybový moment je potrebné vynásobiť obe strany rovnice ramenom L. Dostaneme Δ*L = Q·L/(b·h·Е) .
Ak si predstavíme, že jedna z podpier je pevne upevnená a na druhú M max \u003d q * L * 2/8 pôsobí ekvivalentný vyvažovací moment síl, veľkosť deformácie lúča bude vyjadrená ako závislosť Δx \u003d M x / ((h / 3) b (h / 2) E). Hodnota b·h 2 /6 sa nazýva moment zotrvačnosti a označuje sa W. V dôsledku toho sa získa Δx = M x / (W E), základný vzorec na výpočet lúča na ohyb W = M / E cez moment zotrvačnosti a ohybový moment.
Na presný výpočet priehybu potrebujete poznať ohybový moment a moment zotrvačnosti. Hodnota prvej sa dá vypočítať, ale konkrétny vzorec na výpočet priehybu nosníka bude závisieť od podmienok kontaktu s podperami, na ktorých je nosník umiestnený, a od spôsobu zaťaženia pre rozložené alebo sústredené zaťaženie. . Ohybový moment z rozloženého zaťaženia sa vypočíta podľa vzorca Mmax \u003d q * L 2 / 8. Vyššie uvedené vzorce platia len pre rozložené zaťaženie. Pre prípad, keď je tlak na nosník sústredený v určitom bode a často sa nezhoduje s osou symetrie, musí byť vzorec na výpočet priehybu odvodený pomocou integrálneho počtu.
Moment zotrvačnosti možno považovať za ekvivalent odolnosti nosníka voči ohybovému zaťaženiu. Moment zotrvačnosti pre jednoduchý pravouhlý nosník možno vypočítať pomocou jednoduchého vzorca W=b*h 3 /12, kde b a h sú rozmery prierezu nosníka.
Vzorec ukazuje, že rovnaké pravítko alebo doska obdĺžnikový rez môže mať úplne iný moment zotrvačnosti a priehybu, ak ho nasadíte na podpery tradičným spôsobom alebo ho položíte na okraj. Nie bez dôvodu, takmer všetky prvky priehradový systém strechy nie sú vyrobené z tyče 100x150, ale z dosky 50x150.
Skutočné úseky stavebné konštrukcie môžu mať rôzne profily, od štvorca, kruhu až po zložité tvary I-lúčov alebo kanálov. Zároveň je určenie momentu zotrvačnosti a veľkosti priehybu ručne, „na papieri“, pre takéto prípady pre neprofesionálneho staviteľa netriviálnou úlohou.
Vzorce na praktické použitie
V praxi sa najčastejšie vyskytuje inverzný problém - určiť hranicu bezpečnosti podláh alebo stien pre konkrétny prípad zo známej hodnoty priehybu. V stavebníctve je veľmi ťažké posúdiť mieru bezpečnosti inými, nedeštruktívnymi metódami. Často je podľa veľkosti priehybu potrebné vykonať výpočet, vyhodnotiť bezpečnostnú rezervu budovy a všeobecný stav nosné konštrukcie. Navyše podľa vykonaných meraní sa zisťuje, či je deformácia podľa výpočtu prípustná, alebo je budova v havarijnom stave.
Poradte! Vo veci výpočtu medzný stav nosníky z hľadiska vychýlenia poskytujú neoceniteľnú službu požiadavkám SNiP. Nastavením limitu vychýlenia na relatívna hodnota, napríklad 1/250, stavebné predpisy značne uľahčujú určenie havarijného stavu nosníka alebo dosky.
Napríklad, ak máte v úmysle kúpiť hotovú stavbu, ktorá dlho stála na problematickej pôde, bolo by užitočné skontrolovať stav podlahy podľa existujúceho priehybu. Pri znalosti maximálnej povolenej rýchlosti priehybu a dĺžky nosníka je možné bez akéhokoľvek výpočtu posúdiť, aký kritický je stav konštrukcie.
Stavebná kontrola pri posudzovaní priehybu a posudzovaní únosnosti podlahy prebieha zložitejšie:
- Spočiatku sa meria geometria dosky alebo nosníka, fixuje sa veľkosť vychýlenia;
- Podľa nameraných parametrov sa určí sortiment lúča, potom sa z referenčnej knihy vyberie vzorec pre moment zotrvačnosti;
- Moment sily sa určuje z priehybu a momentu zotrvačnosti, po ktorých je možné pri znalosti materiálu vypočítať skutočné napätia v kovovom, betónovom alebo drevenom nosníku.
Otázkou je, prečo je to také ťažké, ak možno priehyb získať pomocou vzorca pre jednoduchý nosník na kĺbových podperách f=5/24*R*L 2 /(E*h) pri rozloženom zaťažení. Stačí poznať rozpätie L, výšku profilu, konštrukčná odolnosť R a modul pružnosti E pre špecifický materiál prekrývať.
Poradte! Využite vo svojich výpočtoch existujúce rezortné zbierky rôznych projekčných organizácií, v ktorých sú v komprimovanej forme zhrnuté všetky potrebné vzorce na určenie a výpočet konečného zaťaženia.
Záver
Väčšina developerov a projektantov serióznych budov robí to isté. Program je dobrý, pomáha veľmi rýchlo vypočítať priehyb a hlavné parametre zaťaženia podlahy, ale je tiež dôležité poskytnúť zákazníkovi dokumentárne dôkazy o získaných výsledkoch vo forme konkrétnych sekvenčných výpočtov na papieri.
ohnúť nazývaná deformácia, pri ktorej sa pôsobením vonkajších síl ohýba os tyče a všetky jej vlákna, teda pozdĺžne čiary rovnobežné s osou tyče. Najjednoduchší prípad ohybu sa získa, keď vonkajšie sily ležia v rovine prechádzajúcej stredovou osou tyče a nepremietajú do tejto osi. Takýto prípad ohybu sa nazýva priečny ohyb. Rozlišujte plochý ohyb a šikmý.
plochý ohyb- taký prípad, keď sa ohnutá os tyče nachádza v tej istej rovine, v ktorej pôsobia vonkajšie sily.
Šikmý (komplexný) ohyb- taký prípad ohybu, kedy ohnutá os tyče neleží v rovine pôsobenia vonkajších síl.
Ohýbacia tyč sa bežne označuje ako lúč.
Pri plochom priečnom ohybe nosníkov v reze so súradnicovým systémom y0x môžu vzniknúť dve vnútorné sily - priečna sila Q y a ohybový moment M x; v nasledujúcom uvádzame notáciu Q a M. Ak v reze alebo reze nosníka nie je žiadna priečna sila (Q = 0) a ohybový moment sa nerovná nule alebo M je konštantná, potom sa takýto ohyb bežne nazýva čisté.
Šmyková sila v ktoromkoľvek úseku lúča sa číselne rovná algebraickému súčtu priemetov na os všetkých síl (vrátane podporných reakcií) umiestnených na jednej strane (akejkoľvek) časti.
Ohybový moment v časti nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov všetkých síl (vrátane podporných reakcií) umiestnených na jednej strane (akejkoľvek) časti nakreslenej vzhľadom na ťažisko tejto časti, presnejšie vzhľadom na os prechádzajúci kolmo na rovinu výkresu cez ťažisko nakresleného rezu.
Q-sila predstavuje výsledný rozložené po priereze vnútorného šmykové napätia, a moment M– súčet momentov okolo stredovej osi sekcie X interná normálne stresy.
Medzi vnútornými silami existuje rozdielny vzťah
ktorý sa používa pri konštrukcii a overovaní diagramov Q a M.
Keďže niektoré vlákna lúča sú natiahnuté a niektoré stlačené a prechod z napätia na stlačenie prebieha hladko, bez skokov, v strednej časti lúča je vrstva, ktorej vlákna sa len ohýbajú, ale nepociťujú ani jedno. napätie alebo stlačenie. Takáto vrstva je tzv neutrálna vrstva. Čiara, pozdĺž ktorej sa neutrálna vrstva pretína s prierezom lúča, sa nazýva neutrálna čiara th alebo neutrálna os oddielov. Na osi lúča sú navlečené neutrálne čiary.
Čiary nakreslené na bočnom povrchu lúča kolmo na os zostávajú ploché, keď sú ohnuté. Tieto experimentálne údaje umožňujú založiť závery vzorcov na hypotéze plochých rezov. Podľa tejto hypotézy sú úseky nosníka pred ohnutím ploché a kolmé na jeho os, zostávajú ploché a pri ohýbaní sa stávajú kolmými na ohnutú os nosníka. Prierez nosníka sa pri ohýbaní deformuje. Splatné priečna deformácia rozmery prierezu v stlačenej zóne nosníka sa zväčšujú a v ťahovej zóne sú stlačené.
Predpoklady na odvodenie vzorcov. Normálne stresy
1) Hypotéza plochých rezov je splnená.
2) Pozdĺžne vlákna na seba netlačia, a preto pri pôsobení normálových napätí fungujú lineárne ťahy alebo stlačenia.
3) Deformácie vlákien nezávisia od ich polohy pozdĺž šírky úseku. V dôsledku toho normálové napätia, meniace sa pozdĺž výšky sekcie, zostávajú rovnaké po celej šírke.
4) Nosník má aspoň jednu rovinu súmernosti a všetky vonkajšie sily ležia v tejto rovine.
5) Materiál nosníka sa riadi Hookovým zákonom a modul pružnosti v ťahu a tlaku je rovnaký.
6) Pomery medzi rozmermi nosníka sú také, aby fungoval v podmienkach plochého ohybu bez deformácie alebo krútenia.
O čistý ohyb nosníky na nástupištiach vo svojom úseku pôsobia len normálne stresy, určené podľa vzorca:
kde y je súradnica ľubovoľného bodu rezu, meraná od neutrálnej čiary - hlavnej stredovej osi x.
Normálne ohybové napätia pozdĺž výšky sekcie sú rozdelené na lineárny zákon. Na extrémnych vláknach dosahujú normálové napätia svoju maximálnu hodnotu a v ťažisku sú prierezy rovné nule.
Charakter diagramov normálového napätia pre symetrické rezy vzhľadom na neutrálnu čiaru
Povaha diagramov normálového napätia pre úseky, ktoré nemajú symetriu okolo neutrálnej čiary
Nebezpečné body sú tie, ktoré sú najďalej od neutrálnej čiary.
Vyberme si nejakú sekciu
Pre ktorýkoľvek bod sekcie ho nazvime bod Komu, podmienka pevnosti nosníka pre normálne napätia má tvar:
, kde i.d. - toto je neutrálna os
toto je modul osového prierezu okolo neutrálnej osi. Jeho rozmer je cm 3, m 3. Moment odporu charakterizuje vplyv tvaru a rozmerov prierezu na veľkosť napätí.
Podmienka sily pre normálny stres:
normálne napätie sa rovná pomeru maximálneho ohybového momentu k modulu osového prierezu vzhľadom na neutrálnu os.
Ak materiál nerovnomerne odoláva rozťahovaniu a stláčaniu, potom sa musia použiť dve podmienky pevnosti: pre napínaciu zónu s prípustným ťahovým napätím; pre tlakovú zónu s prípustným tlakovým napätím.
Pri priečnom ohybe pôsobia nosníky na plošinách v jeho reze ako normálne, a dotyčnice Napätie.
Výpočet lúča na ohýbanie "ručne", staromódnym spôsobom, vám umožňuje naučiť sa jeden z najdôležitejších, najkrajších, jasne matematicky overených algoritmov vedy o pevnosti materiálov. Použitie mnohých programov, ako napríklad „zadané počiatočné údaje ...
...– získať odpoveď“ umožňuje dnešnému modernému inžinierovi pracovať oveľa rýchlejšie ako jeho predchodcovia pred sto, päťdesiatimi a dokonca dvadsiatimi rokmi. Pri takomto modernom prístupe je však inžinier nútený plne dôverovať autorom programu a nakoniec prestane „cítiť fyzikálny význam“ výpočtov. Ale autormi programu sú ľudia a ľudia robia chyby. Ak by to tak nebolo, potom by neexistovali početné záplaty, vydania, „záplaty“ pre takmer žiadny softvér. Preto sa mi zdá, že každý inžinier by niekedy mal mať možnosť „ručne“ skontrolovať výsledky výpočtov.
Pomoc (cheat sheet, memo) na výpočet trámov na ohýbanie je znázornená nižšie na obrázku.
Skúsme to použiť na jednoduchom každodennom príklade. Povedzme, že som sa rozhodol urobiť v byte vodorovnú lištu. Miesto je určené - chodba široká jeden meter dvadsať centimetrov. Na protiľahlých stenách v požadovanej výške oproti sebe bezpečne upevňujem konzoly, ku ktorým bude pripevnený nosník - tyč z ocele St3 s vonkajším priemerom tridsaťdva milimetrov. Unesie tento nosník moju váhu plus ďalšie dynamické zaťaženia, ktoré vzniknú počas cvičenia?
Nakreslíme schému na výpočet lúča na ohýbanie. Je zrejmé, že schéma aplikácie bude najnebezpečnejšia. vonkajšie zaťaženie, keď sa začnem ťahať hore, pridržiavajúc sa jednou rukou v strede brvna.
Počiatočné údaje:
F1 \u003d 900 n - sila pôsobiaca na nosník (moja hmotnosť) bez zohľadnenia dynamiky
d \u003d 32 mm - vonkajší priemer tyče, z ktorej je vyrobený lúč
E = 206000 n/mm^2 je modul pružnosti materiálu oceľového nosníka St3
[σi] = 250 n/mm^2 - prípustné ohybové napätia (medza klzu) pre materiál oceľového nosníka St3
Hraničné podmienky:
Мx (0) = 0 n*m – moment v bode z = 0 m (prvá podpora)
Мx (1,2) = 0 n*m – moment v bode z = 1,2 m (druhá podpera)
V (0) = 0 mm - priehyb v bode z = 0 m (prvá podpera)
V (1,2) = 0 mm - priehyb v bode z = 1,2 m (druhá podpera)
Kalkulácia:
1. Najprv vypočítame moment zotrvačnosti Ix a moment odporu Wx prierezu nosníka. Budú sa nám hodiť pri ďalších výpočtoch. Pre kruhovú časť (čo je časť tyče):
Ix = (π*d^4)/64 = (3,14*(32/10)^4)/64 = 5,147 cm^4
Šx = (π*d^3)/32 = ((3,14*(32/10)^3)/32) = 3,217 cm^3
2. Zostavíme rovnovážne rovnice na výpočet reakcií podpier R1 a R2:
Qy = -R1+F1-R2 = 0
Mx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0
Z druhej rovnice: R2 = F1*b2/b3 = 900*0,6/1,2 = 450 n
Z prvej rovnice: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 n
3. Nájdite uhol natočenia nosníka v prvej podpore pri z = 0 z rovnice priehybu pre druhý úsek:
V (1,2) = V (0)+U (0)*1,2+(-R1*((1,2-b1)^3)/6+F1*((1,2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1,2-b1)^3)/6 -F1*((1,2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 rad = 0,44˚
4.
Zostavíme rovnice na zostavenie diagramov pre prvú časť (0 Šmyková sila: Qy (z) = -R1 Ohybový moment: Mx (z) = -R1*(z-b1) Uhol natočenia: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Priehyb: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix) z = 0 m: Qy (0) = -R1 = -450 n Ux(0) = U(0) = 0,00764 rad Vy(0)=V(0)=0 mm z = 0,6 m: Qy (0,6) = -R1 = -450 n Mx (0,6) \u003d -R1 * (0,6-b1) \u003d -450 * (0,6-0) \u003d -270 n * m Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 rad Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 m Lúč sa pod váhou môjho tela prehne v strede o 3 mm. Myslím si, že toto je prijateľná odchýlka. 5.
Napíšeme rovnice diagramu pre druhú časť (b2 Šmyková sila: Qy (z) = -R1+F1 Ohybový moment: Mx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Uhol natočenia: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Priehyb: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/( E*Ix) z = 1,2 m: Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 n Мx (1,2) = 0 n*m Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E* ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0,00764 rad Vy (1,2) = V (1,2) = 0 m 6.
Vytvárame diagramy pomocou údajov získaných vyššie. 7.
Vypočítame ohybové napätia v najviac zaťaženej časti - v strede nosníka a porovnáme s prípustnými napätiami: σi \u003d Mx max / Wx \u003d (270 * 1 000) / (3,217 * 1 000) \u003d 84 n / mm ^ 2 ai = 84 n/mm2< [σи] = 250 н/мм^2 Pokiaľ ide o pevnosť v ohybe, výpočet ukázal trojnásobnú rezervu bezpečnosti - vodorovnú tyč možno bezpečne vyrobiť z existujúcej tyče s priemerom tridsaťdva milimetrov a dĺžkou tisícdvesto milimetrov. Takže teraz môžete jednoducho vypočítať lúč na ohýbanie "ručne" a porovnať s výsledkami získanými pri výpočte pomocou ktoréhokoľvek z mnohých programov prezentovaných na webe. Prosím tých, ktorí REŠPEKTUJÚ prácu autora, aby sa PRIHLÁSILI k oznamovaniu článkov.
88 komentárov k "Výpočet nosníka na ohýbanie - "ručne"!" Začíname s najjednoduchším prípadom, takzvaným čistým ohýbaním. Čisté ohýbanie je špeciálny prípad ohýbania, pri ktorom je priečna sila v sekciách nosníka nulová. K čistému ohybu môže dôjsť len vtedy, keď je vlastná hmotnosť nosníka taká malá, že jej vplyv možno zanedbať. Pre nosníky na dvoch podperách, príklady zaťažení, ktoré spôsobujú sieť ohyb, znázornený na obr. 88. Na úsekoch týchto nosníkov, kde Q \u003d 0 a teda M \u003d konšt; je tam čistý ohyb. Sily v ktoromkoľvek úseku lúča s čistým ohybom sú redukované na dvojicu síl, ktorých rovina pôsobenia prechádza osou lúča a moment je konštantný. Napätia možno určiť na základe nasledujúcich úvah. 1. Dotykové zložky síl na elementárnych plochách v priereze nosníka nemožno redukovať na dvojicu síl, ktorých rovina pôsobenia je kolmá na rovinu rezu. Z toho vyplýva, že ohybová sila v reze je výsledkom pôsobenia na elementárne plochy iba normálové sily, a preto sa pri čistom ohybe napätia redukujú len na normálne. 2. Aby sa úsilie na elementárnych platformách zredukovalo len na pár síl, musia byť medzi nimi pozitívne aj negatívne. Preto musia existovať napnuté aj stlačené vlákna lúča. 3. Vzhľadom na to, že sily v rôznych rezoch sú rovnaké, napätia v zodpovedajúcich bodoch rezov sú rovnaké. Zvážte akýkoľvek prvok v blízkosti povrchu (obr. 89, a). Pretože na jeho spodnú stranu, ktorá sa zhoduje s povrchom nosníka, nepôsobia žiadne sily, nie sú na ňom žiadne napätia. Preto na hornej strane prvku nevznikajú žiadne napätia, pretože inak by prvok nebol v rovnováhe. Rovnaký záver atď. Z toho vyplýva, že pozdĺž vodorovných plôch žiadneho prvku nie sú žiadne napätia. Ak vezmeme do úvahy prvky, ktoré tvoria vodorovnú vrstvu, počnúc prvkom v blízkosti povrchu nosníka (obr. 90), dospejeme k záveru, že pozdĺž bočných zvislých plôch žiadneho prvku nie sú žiadne napätia. Teda stav napätia akéhokoľvek prvku (obr. 91, a), a v limite vlákna, musí byť reprezentovaný tak, ako je znázornené na obr. 91b, t.j. môže to byť buď axiálne napätie alebo axiálna kompresia. 4. Vzhľadom na symetriu pôsobenia vonkajších síl by mal úsek pozdĺž stredu dĺžky nosníka po deformácii zostať plochý a kolmý na os nosníka (obr. 92, a). Z rovnakého dôvodu zostávajú úseky v štvrtinách dĺžky lúča ploché a kolmé na os lúča (obr. 92, b), ak počas deformácie zostanú ploché a kolmé na os lúča iba krajné časti lúča. Podobný záver platí aj pre úseky v osminách dĺžky nosníka (obr. 92, c) atď. Ak teda krajné úseky nosníka zostanú ploché počas ohýbania, potom pre ktorýkoľvek úsek zostane je spravodlivé povedať, že po deformácii zostáva plochý a kolmý na os zakriveného nosníka. Ale v tomto prípade je zrejmé, že zmena predĺženia vlákien lúča pozdĺž jeho výšky by mala nastať nielen nepretržite, ale aj monotónne. Ak vrstvu nazývame súborom vlákien, ktoré majú rovnaké predĺženia, potom z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že natiahnuté a stlačené vlákna lúča by sa mali nachádzať na opačných stranách vrstvy, v ktorej sú predĺženia vlákna rovné nule. Vlákna, ktorých predĺženie sa rovná nule, budeme nazývať neutrálne; vrstva pozostávajúca z neutrálnych vlákien - neutrálna vrstva; čiara priesečníka neutrálnej vrstvy s rovinou prierezu lúča - neutrálna čiara tohto rezu. Potom, na základe predchádzajúcich úvah, možno tvrdiť, že pri čistom ohybe lúča v každej z jeho sekcií existuje neutrálna čiara, ktorá rozdeľuje túto sekciu na dve časti (zóny): zóna napnutých vlákien (napnutá zóna) a zóna stlačených vlákien (stlačená zóna ). V súlade s tým by normálne ťahové napätia mali pôsobiť v bodoch natiahnutej zóny prierezu, tlakové napätia v bodoch stlačenej zóny a v bodoch neutrálnej čiary sú napätia rovné nule. Takže s čistým ohybom lúča konštantného prierezu: 1) v sekciách pôsobia iba normálové napätia; 2) celý úsek je možné rozdeliť na dve časti (zóny) - natiahnuté a stlačené; hranica zón je neutrálna čiara rezu, v bodoch ktorej sú normálové napätia rovné nule; 3) ktorýkoľvek pozdĺžny prvok nosníka (v medziach akékoľvek vlákno) je vystavený axiálnemu ťahu alebo stlačeniu, takže susedné vlákna navzájom neinteragujú; 4) ak krajné časti lúča počas deformácie zostanú ploché a kolmé na os, potom všetky jeho prierezy zostanú ploché a kolmé na os zakriveného lúča. Uvažujme o prvku lúča, ktorý podlieha čistému ohybu, na záver pred deformáciou po deformácii kde p je polomer zakrivenia neutrálneho vlákna. Preto je absolútna ťažnosť segmentu AB a predĺženie Pretože podľa polohy (3) je vlákno AB vystavené axiálnemu napätiu, potom elastickej deformácii Z toho je vidieť, že normálové napätia pozdĺž výšky nosníka sú rozdelené podľa lineárneho zákona (obr. 94). Pretože rovnaká sila všetkého úsilia na všetkých základných častiach sekcie sa musí rovnať nule odkiaľ, dosadením hodnoty z (5.8), nájdeme Ale posledný integrál je statický moment okolo osi Oy, ktorá je kolmá na rovinu pôsobenia ohybových síl. Táto os musí vzhľadom na svoju rovnosť nule prechádzať ťažiskom O rezu. Neutrálna čiara časti nosníka je teda priamka yy, kolmá na rovinu pôsobenia ohybových síl. Nazýva sa neutrálna os časti lúča. Potom z (5.8) vyplýva, že napätia v bodoch ležiacich v rovnakej vzdialenosti od neutrálnej osi sú rovnaké. Prípad čistého ohybu, v ktorom ohybové sily pôsobia iba v jednej rovine a spôsobujú ohyb iba v tejto rovine, je čistý rovinný ohyb. Ak menovaná rovina prechádza osou Oz, potom sa moment elementárnych námah vzhľadom na túto os musí rovnať nule, t.j. Ak tu dosadíme hodnotu σ z (5.8), zistíme Integrál na ľavej strane tejto rovnosti, ako je známe, je odstredivý moment zotrvačnosti úseku okolo osí y a z, takže Osi, voči ktorým je odstredivý moment zotrvačnosti úseku rovný nule, sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti tohto úseku. Ak navyše prechádzajú ťažiskom úseku, možno ich nazvať hlavnými stredovými osami zotrvačnosti úseku. Pri plochom čistom ohybe sú teda smer roviny pôsobenia ohybových síl a neutrálna os prierezu hlavnými stredovými osami zotrvačnosti tohto prierezu. Inými slovami, na získanie plochého čistého ohybu nosníka naň nemôže byť ľubovoľne aplikované zaťaženie: musí sa znížiť na sily pôsobiace v rovine, ktorá prechádza jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti sekcií nosníka; v tomto prípade bude ďalšou hlavnou stredovou osou zotrvačnosti neutrálna os úseku. Ako je známe, v prípade úseku, ktorý je symetrický okolo akejkoľvek osi, je os symetrie jednou z jeho hlavných centrálnych osí zotrvačnosti. Preto v tomto konkrétnom prípade určite získame čistý ohyb aplikovaním príslušných zaťažení v rovine prechádzajúcej pozdĺžnou osou nosníka a osou symetrie jeho rezu. Priamka, kolmá na os súmernosti a prechádzajúca ťažiskom úseku, je neutrálnou osou tohto úseku. Po určení polohy neutrálnej osi nie je ťažké nájsť veľkosť napätia v ktoromkoľvek bode rezu. Pretože súčet momentov elementárnych síl vzhľadom na neutrálnu os yy musí byť rovný ohybovému momentu, potom odkiaľ, dosadením hodnoty σ z (5.8), zistíme Od integrálu a z výrazu (5.8) dostaneme Súčin EI Y sa nazýva ohybová tuhosť nosníka. Najväčšie ťahové a najväčšie tlakové napätie v absolútnej hodnote pôsobí v bodoch úseku, pre ktorý je absolútna hodnota z najväčšia, teda v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi. S označeniami, Obr. 95 majú Hodnota Jy / h1 sa nazýva moment odporu úseku voči natiahnutiu a označuje sa Wyr; podobne sa Jy/h2 nazýva moment odporu úseku proti stlačeniu a označujú Wyc, tak a preto Ak je neutrálna os osou symetrie rezu, potom h1 = h2 = h/2 a následne Wyp = Wyc, takže nie je potrebné rozlišovať medzi nimi a používajú rovnaké označenie: nazývame W y jednoducho modul rezu. Preto v prípade rezu symetrického podľa neutrálnej osi, Všetky vyššie uvedené závery sú získané na základe predpokladu, že prierezy nosníka, keď sú ohnuté, zostávajú ploché a kolmé na jeho os (hypotéza plochých sekcií). Ako je znázornené, tento predpoklad platí iba vtedy, ak krajné (koncové) časti nosníka zostanú ploché počas ohýbania. Na druhej strane z hypotézy o plochých úsekoch vyplýva, že elementárne sily v takýchto úsekoch by mali byť rozdelené podľa lineárneho zákona. Preto pre platnosť získanej teórie plochého čistého ohybu je potrebné, aby ohybové momenty na koncoch nosníka boli aplikované vo forme elementárnych síl rozložených po výške prierezu podľa lineárneho zákona (obr. 96), ktorý sa zhoduje so zákonom rozloženia napätia pozdĺž výšky priečnych nosníkov. Na základe Saint-Venantovho princípu však možno tvrdiť, že zmena spôsobu aplikácie ohybových momentov na koncoch nosníka spôsobí len lokálne deformácie, ktorých účinok sa prejaví len v určitej vzdialenosti od týchto konce (približne rovnajúce sa výške úseku). Časti umiestnené vo zvyšku dĺžky nosníka zostanú ploché. V dôsledku toho uvedená teória plochého čistého ohybu s akoukoľvek metódou aplikácie ohybových momentov platí len v strednej časti dĺžky nosníka, umiestnenej vo vzdialenostiach od jeho koncov približne rovnakých ako výška prierezu. Z toho je zrejmé, že táto teória je zjavne nepoužiteľná, ak výška úseku presahuje polovicu dĺžky alebo rozpätia nosníka.Súvisiace články
Recenzie
Stav napätia nosníka v čistom ohybe
merané medzi úsekmi m-m a n-n, ktoré sú od seba vzdialené v nekonečne malej vzdialenosti dx (obr. 93). Vzhľadom na ustanovenie (4) predchádzajúceho odseku rezy m-m a n-n, ktoré boli pred deformáciou rovnobežné, po ohnutí ostali ploché, budú zvierať uhol dQ a pretínajú sa pozdĺž priamky prechádzajúcej bodom C, ktorý je stredom. z neutrálneho vlákna NN. Potom sa časť AB vlákna uzavretá medzi nimi, ktorá sa nachádza vo vzdialenosti z od neutrálneho vlákna (kladný smer osi z je braný smerom ku konvexite lúča pri ohýbaní), sa zmení na oblúk A "B" po Segment neutrálneho vlákna O1O2, ktorý sa zmení na oblúk O1O2, nezmení svoju dĺžku, zatiaľ čo vlákno AB dostane predĺženie:
je. moment zotrvačnosti rezu okolo osi y, potom
