Archívy kategórie: Bend. Čistý ohyb. Krížový ohyb. Všeobecné pojmy

Hypotéza plochých rezov v ohybe možno vysvetliť na príklade: naneste na bočnú plochu nedeformovaného nosníka mriežku pozostávajúcu z pozdĺžnych a priečnych (kolmých na os) priamych čiar. V dôsledku ohybu nosníka nadobudnú pozdĺžne čiary krivočiary tvar, zatiaľ čo priečne čiary zostanú prakticky rovné a kolmé na os ohybu nosníka.

Formulácia hypotézy rovinného rezu: prierezy, ktoré sú ploché a kolmé na os nosníka pred , zostávajú ploché a kolmé na zakrivenú os po jeho deformácii.

Táto okolnosť naznačuje, že kedy hypotéza plochého rezu, ako s a

Okrem hypotézy o plochých rezoch sa predpokladá: pozdĺžne vlákna nosníka sa pri ohýbaní navzájom nestláčajú.

Hypotéza plochých rezov a predpoklad sú tzv Bernoulliho dohad.

Zvážte obdĺžnikový lúč prierez, zažíva čisté ohýbanie (). Vyberieme nosníkový prvok s dĺžkou (obr. 7.8. a). V dôsledku ohýbania sa prierezy lúča otáčajú a vytvárajú uhol. Horné vlákna sú v tlaku a spodné vlákna sú v napätí. Polomer zakrivenia neutrálneho vlákna je označený .

Podmienečne uvažujeme, že vlákna menia svoju dĺžku, pričom zostávajú rovné (obr. 7.8. b). Potom absolútne a relatívne predĺženie vlákna vo vzdialenosti y od neutrálneho vlákna:

Ukážme, že pozdĺžne vlákna, ktoré pri ohýbaní nosníka nie sú ťahané ani stláčané, prechádzajú hlavnou stredovou osou x.

Keďže dĺžka nosníka sa pri ohýbaní nemení, pozdĺžna sila (N) vznikajúca v priereze musí byť nulová. Elementárna pozdĺžna sila.

Vzhľadom na výraz :

Násobiteľ môže byť vyňatý zo znamienka integrálu (nezávisí od integračnej premennej).

Výraz predstavuje prierez lúča vzhľadom na neutrálnu os x. Je nulový, keď neutrálna os prechádza ťažiskom prierezu. V dôsledku toho neutrálna os (nulová čiara) pri ohýbaní lúča prechádza cez ťažisko prierezu.

Je zrejmé: ohybový moment je spojený s normálnymi napätiami, ktoré sa vyskytujú v bodoch prierezu tyče. Elementárny ohybový moment vytvorený elementárnou silou:

,

kde je osový moment zotrvačnosti prierezu okolo neutrálnej osi x a pomer je zakrivenie osi lúča.

Tuhosť nosníky v ohýbaní(čím väčší, tým menší je polomer zakrivenia).

Výsledný vzorec predstavuje Hookov zákon v ohýbaní pre tyč: ohybový moment vyskytujúci sa v priereze je úmerný zakriveniu osi nosníka.

Vyjadrenie zo vzorca Hookovho zákona pre tyč pri ohýbaní polomeru zakrivenia () a dosadzovanie jeho hodnoty do vzorca , získame vzorec pre normálové napätia () v ľubovoľnom bode prierezu nosníka, vzdialenom vo vzdialenosti y od neutrálnej osi x: .

Vo vzorci pre normálové napätia () v ľubovoľnom bode prierezu nosníka by sa mali nahradiť absolútne hodnoty ohybového momentu () a vzdialenosť od bodu k neutrálnej osi (súradnice y). . Či bude napätie v danom bode ťahové alebo tlakové, sa dá ľahko určiť podľa charakteru deformácie nosníka alebo pomocou diagramu ohybových momentov, ktorých súradnice sú vynesené zo strany stlačených vlákien nosníka.

Je to zrejmé zo vzorca: normálové napätia () sa menia pozdĺž výšky prierezu nosníka podľa lineárneho zákona. Na obr. 7.8 je znázornený graf. Najväčšie napätia pri ohybe nosníka sa vyskytujú v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi. Ak je v priereze lúča nakreslená čiara rovnobežná s neutrálnou osou x, potom vo všetkých jej bodoch vznikajú rovnaké normálové napätia.

Jednoduchá analýza diagramy normálneho napätia ukazuje, že keď je lúč ohnutý, materiál umiestnený v blízkosti neutrálnej osi prakticky nefunguje. Preto sa na zníženie hmotnosti nosníka odporúča voliť tvary prierezu, v ktorých je väčšina materiálu odstránená z neutrálnej osi, ako je napríklad I-profil.

Začneme najjednoduchším prípadom, tzv čisté ohýbanie.

Čisté ohýbanie je špeciálny prípad ohýbania, pri ktorom je priečna sila v sekciách nosníka nulová. K čistému ohybu môže dôjsť len vtedy, keď je vlastná hmotnosť nosníka taká malá, že jej vplyv možno zanedbať. Pre nosníky na dvoch podperách, príklady zaťažení, ktoré spôsobujú sieť

ohyb, znázornený na obr. 88. Na úsekoch týchto nosníkov, kde Q \u003d 0 a teda M \u003d konšt; je tam čistý ohyb.

Sily v ktoromkoľvek úseku lúča s čistým ohybom sú redukované na dvojicu síl, ktorých rovina pôsobenia prechádza osou lúča a moment je konštantný.

Napätia možno určiť na základe nasledujúcich úvah.

1. Dotykové zložky síl na elementárnych plochách v priereze nosníka nemožno redukovať na dvojicu síl, ktorých rovina pôsobenia je kolmá na rovinu rezu. Z toho vyplýva, že ohybová sila v reze je výsledkom pôsobenia na elementárne plochy

iba normálové sily, a preto sa pri čistom ohybe napätia redukujú len na normálne.

2. Aby sa úsilie na elementárnych platformách zredukovalo len na pár síl, musia byť medzi nimi pozitívne aj negatívne. Preto musia existovať napnuté aj stlačené vlákna lúča.

3. Vzhľadom na to, že sily v rôznych rezoch sú rovnaké, napätia v zodpovedajúcich bodoch rezov sú rovnaké.

Zvážte akýkoľvek prvok v blízkosti povrchu (obr. 89, a). Pretože na jeho spodnú stranu, ktorá sa zhoduje s povrchom nosníka, nepôsobia žiadne sily, nie sú na ňom žiadne napätia. Preto na hornej strane prvku nevznikajú žiadne napätia, pretože inak by prvok nebol v rovnováhe.

Rovnaký záver atď. Z toho vyplýva, že pozdĺž vodorovných plôch žiadneho prvku nie sú žiadne napätia. Ak vezmeme do úvahy prvky, ktoré tvoria vodorovnú vrstvu, počnúc prvkom v blízkosti povrchu nosníka (obr. 90), dospejeme k záveru, že pozdĺž bočných zvislých plôch žiadneho prvku nie sú žiadne napätia. Teda stav napätia akéhokoľvek prvku (obr. 91, a), a v limite vlákna, musí byť reprezentovaný tak, ako je znázornené na obr. 91b, t.j. môže to byť buď axiálne napätie alebo axiálna kompresia.

4. Vzhľadom na symetriu pôsobenia vonkajších síl by mal úsek pozdĺž stredu dĺžky nosníka po deformácii zostať plochý a kolmý na os nosníka (obr. 92, a). Z rovnakého dôvodu zostávajú úseky v štvrtinách dĺžky lúča ploché a kolmé na os lúča (obr. 92, b), ak počas deformácie zostanú ploché a kolmé na os lúča iba krajné časti lúča. Podobný záver platí aj pre úseky v osminách dĺžky nosníka (obr. 92, c) atď. Ak teda krajné úseky nosníka zostanú ploché počas ohýbania, potom pre ktorýkoľvek úsek zostane

je spravodlivé povedať, že po deformácii zostáva plochý a kolmý na os zakriveného nosníka. Ale v tomto prípade je zrejmé, že zmena predĺženia vlákien lúča pozdĺž jeho výšky by mala nastať nielen nepretržite, ale aj monotónne. Ak vrstvu nazývame súborom vlákien, ktoré majú rovnaké predĺženia, potom z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že natiahnuté a stlačené vlákna lúča by sa mali nachádzať na opačných stranách vrstvy, v ktorej sú predĺženia vlákna rovné nule. Vlákna, ktorých predĺženie sa rovná nule, budeme nazývať neutrálne; vrstva pozostávajúca z neutrálnych vlákien - neutrálna vrstva; čiara priesečníka neutrálnej vrstvy s rovinou prierezu lúča - neutrálna čiara tohto rezu. Potom, na základe predchádzajúcich úvah, možno tvrdiť, že pri čistom ohybe lúča v každej z jeho sekcií existuje neutrálna čiara, ktorá rozdeľuje túto sekciu na dve časti (zóny): zóna napnutých vlákien (napnutá zóna) a zóna stlačených vlákien (stlačená zóna ). V súlade s tým by normálne ťahové napätia mali pôsobiť v bodoch natiahnutej zóny prierezu, tlakové napätia v bodoch stlačenej zóny a v bodoch neutrálnej čiary sú napätia rovné nule.

Takže s čistým ohybom lúča konštantného prierezu:

1) v sekciách pôsobia iba normálové napätia;

2) celý úsek je možné rozdeliť na dve časti (zóny) - natiahnuté a stlačené; hranica zón je neutrálna čiara rezu, v bodoch ktorej sú normálové napätia rovné nule;

3) ktorýkoľvek pozdĺžny prvok nosníka (v medziach akékoľvek vlákno) je vystavený axiálnemu ťahu alebo stlačeniu, takže susedné vlákna navzájom neinteragujú;

4) ak krajné časti lúča počas deformácie zostanú ploché a kolmé na os, potom všetky jeho prierezy zostanú ploché a kolmé na os zakriveného lúča.

Stav napätia nosníka v čistom ohybe

Uvažujme o prvku lúča, ktorý podlieha čistému ohybu, na záver merané medzi úsekmi m-m a n-n, ktoré sú od seba vzdialené v nekonečne malej vzdialenosti dx (obr. 93). Vzhľadom na ustanovenie (4) predchádzajúceho odseku rezy m-m a n-n, ktoré boli pred deformáciou rovnobežné, po ohnutí ostali ploché, budú zvierať uhol dQ a pretínajú sa pozdĺž priamky prechádzajúcej bodom C, ktorý je stredom. zakrivenia neutrálneho vlákna NN. Potom sa časť AB vlákna uzavretá medzi nimi, ktorá sa nachádza vo vzdialenosti z od neutrálneho vlákna (kladný smer osi z je braný smerom ku konvexite lúča pri ohýbaní), sa zmení na oblúk A "B" po Segment neutrálneho vlákna O1O2, ktorý sa zmení na oblúk O1O2, nezmení svoju dĺžku, zatiaľ čo vlákno AB dostane predĺženie:

pred deformáciou

po deformácii

kde p je polomer zakrivenia neutrálneho vlákna.

Preto je absolútna ťažnosť segmentu AB

a predĺženie

Pretože podľa polohy (3) je vlákno AB vystavené axiálnemu napätiu, potom elastickej deformácii

Z toho je vidieť, že normálové napätia pozdĺž výšky nosníka sú rozdelené podľa lineárneho zákona (obr. 94). Pretože rovnaká sila všetkého úsilia na všetkých základných častiach sekcie sa musí rovnať nule

odkiaľ, dosadením hodnoty z (5.8), nájdeme

Ale posledný integrál je statický moment okolo osi Oy, ktorá je kolmá na rovinu pôsobenia ohybových síl.

Táto os musí vzhľadom na svoju rovnosť nule prechádzať ťažiskom O rezu. Neutrálna čiara časti nosníka je teda priamka yy, kolmá na rovinu pôsobenia ohybových síl. Nazýva sa neutrálna os časti lúča. Potom z (5.8) vyplýva, že napätia v bodoch ležiacich v rovnakej vzdialenosti od neutrálnej osi sú rovnaké.

Prípad čistého ohybu, v ktorom ohybové sily pôsobia iba v jednej rovine a spôsobujú ohyb iba v tejto rovine, je čistý rovinný ohyb. Ak menovaná rovina prechádza osou Oz, potom sa moment elementárnych námah vzhľadom na túto os musí rovnať nule, t.j.

Ak tu dosadíme hodnotu σ z (5.8), zistíme

Integrál na ľavej strane tejto rovnosti, ako je známe, je odstredivý moment zotrvačnosti úseku okolo osí y a z, takže

Osi, voči ktorým je odstredivý moment zotrvačnosti úseku rovný nule, sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti tohto úseku. Ak navyše prechádzajú ťažiskom úseku, možno ich nazvať hlavnými stredovými osami zotrvačnosti úseku. Pri plochom čistom ohybe sú teda smer roviny pôsobenia ohybových síl a neutrálna os prierezu hlavnými stredovými osami zotrvačnosti tohto prierezu. Inými slovami, na získanie plochého čistého ohybu nosníka naň nemôže byť ľubovoľne aplikované zaťaženie: musí sa znížiť na sily pôsobiace v rovine, ktorá prechádza jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti sekcií nosníka; v tomto prípade bude ďalšou hlavnou stredovou osou zotrvačnosti neutrálna os úseku.

Ako je známe, v prípade úseku, ktorý je symetrický okolo akejkoľvek osi, je os symetrie jednou z jeho hlavných centrálnych osí zotrvačnosti. V dôsledku toho v tomto konkrétnom prípade určite získame čistý ohyb použitím príslušných zaťažení v rovine prechádzajúcej pozdĺžnou osou nosníka a osou symetrie jeho rezu. Priamka, kolmá na os súmernosti a prechádzajúca ťažiskom úseku, je neutrálnou osou tohto úseku.

Po určení polohy neutrálnej osi nie je ťažké nájsť veľkosť napätia v ktoromkoľvek bode rezu. Pretože súčet momentov elementárnych síl vzhľadom na neutrálnu os yy musí byť rovný ohybovému momentu, potom

odkiaľ, dosadením hodnoty σ z (5.8), zistíme

Od integrálu je. moment zotrvačnosti rezu okolo osi y, potom

a z výrazu (5.8) dostaneme

Súčin EI Y sa nazýva ohybová tuhosť nosníka.

Najväčšie ťahové a najväčšie tlakové napätie v absolútnej hodnote pôsobí v bodoch úseku, pre ktorý je absolútna hodnota z najväčšia, teda v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi. S označeniami, Obr. 95 majú

Hodnota Jy / h1 sa nazýva moment odporu úseku voči natiahnutiu a označuje sa Wyr; podobne sa Jy/h2 nazýva moment odporu úseku proti stlačeniu

a označujú Wyc, tak

a preto

Ak je neutrálna os osou symetrie rezu, potom h1 = h2 = h/2 a následne Wyp = Wyc, takže nie je potrebné rozlišovať medzi nimi a používajú rovnaké označenie:

nazývame W y jednoducho modul rezu. Preto v prípade rezu symetrického podľa neutrálnej osi,

Všetky vyššie uvedené závery sú získané na základe predpokladu, že prierezy nosníka, keď sú ohnuté, zostávajú ploché a kolmé na jeho os (hypotéza plochých sekcií). Ako je znázornené, tento predpoklad platí iba vtedy, ak krajné (koncové) časti nosníka zostanú ploché počas ohýbania. Na druhej strane z hypotézy o plochých úsekoch vyplýva, že elementárne sily v takýchto úsekoch by mali byť rozdelené podľa lineárneho zákona. Preto pre platnosť získanej teórie plochého čistého ohybu je potrebné, aby ohybové momenty na koncoch nosníka boli aplikované vo forme elementárnych síl rozložených po výške prierezu podľa lineárneho zákona (obr. 96), ktorý sa zhoduje so zákonom rozloženia napätia pozdĺž výšky priečnych nosníkov. Na základe Saint-Venantovho princípu však možno tvrdiť, že zmena spôsobu aplikácie ohybových momentov na koncoch nosníka spôsobí len lokálne deformácie, ktorých účinok sa prejaví len v určitej vzdialenosti od týchto konce (približne rovnajúce sa výške úseku). Časti umiestnené vo zvyšku dĺžky nosníka zostanú ploché. V dôsledku toho uvedená teória plochého čistého ohybu s akoukoľvek metódou aplikácie ohybových momentov platí len v strednej časti dĺžky nosníka, umiestnenej vo vzdialenostiach od jeho koncov približne rovnakých ako výška prierezu. Z toho je zrejmé, že táto teória je zjavne nepoužiteľná, ak výška úseku presahuje polovicu dĺžky alebo rozpätia nosníka.

Pre konzolový nosník zaťažený rozloženým zaťažením o intenzite kN / m a sústredenom momente kN m (obr. 3.12) je potrebné: na zostavenie diagramov šmykových síl a ohybových momentov zvoliť nosník kruhového prierezu pri prípustnom Obr. normálové napätie kN / cm2 a skontrolujte pevnosť nosníka podľa šmykových napätí pri dovolenom šmykovom napätí kN/cm2. Rozmery lúča m; m; m.

Návrhová schéma pre problém priameho priečneho ohybu

Ryža. 3.12

Riešenie problému "priameho priečneho ohybu"

Určenie podporných reakcií

Horizontálna reakcia v kotvení je nulová, pretože vonkajšie zaťaženie v smere osi z na nosník nepôsobí.

Vyberáme smery zostávajúcich reaktívnych síl, ktoré vznikajú v zapustení: nasmerujme vertikálnu reakciu, napríklad dole, a moment - v smere hodinových ručičiek. Ich hodnoty sú určené z rovníc statiky:

Pri zostavovaní týchto rovníc považujeme moment pri otáčaní proti smeru hodinových ručičiek za kladný a priemet sily je kladný, ak sa jeho smer zhoduje s kladným smerom osi y.

Z prvej rovnice nájdeme moment v zakončení:

Z druhej rovnice - vertikálna reakcia:

prijaté nami kladné hodnoty pretože moment a vertikálna reakcia v zakončení naznačujú, že sme uhádli ich smery.

V súlade s charakterom upevnenia a zaťaženia nosníka delíme jeho dĺžku na dve časti. Pozdĺž hraníc každého z týchto rezov načrtneme štyri priečne rezy (pozri obr. 3.12), v ktorých vypočítame hodnoty šmykových síl a ohybových momentov metódou rezov (ROZU).

Časť 1. Mentálne sa zbaviť pravá strana trámy. Jeho pôsobenie na zostávajúcej ľavej strane nahraďme reznou silou a ohybovým momentom. Pre uľahčenie výpočtu ich hodnôt zatvoríme pravú stranu nami vyradeného lúča kusom papiera, pričom ľavý okraj listu zarovnáme s uvažovanou sekciou.

Pripomeňme, že šmyková sila vznikajúca v akomkoľvek priereze musí vyvažovať všetky vonkajšie sily (aktívne a reaktívne), ktoré pôsobia na časť nosníka, ktorú uvažujeme (teda viditeľnú). Preto sa šmyková sila musí rovnať algebraickému súčtu všetkých síl, ktoré vidíme.

Uvádzame aj znamienkové pravidlo pre šmykovú silu: vonkajšia sila pôsobiaca na uvažovanú časť nosníka, ktorá má tendenciu „otáčať“ túto časť vzhľadom na prierez v smere hodinových ručičiek, spôsobuje kladnú šmykovú silu v priereze. Takáto vonkajšia sila je zahrnutá v algebraickom súčte pre definíciu so znamienkom plus.

V našom prípade vidíme len reakciu podpery, ktorá otáča viditeľnú časť lúča vzhľadom na prvý úsek (vzhľadom na okraj papiera) proti smeru hodinových ručičiek. Preto

kN.

Ohybový moment v ľubovoľnom reze musí vyrovnávať moment vytvorený vonkajšími silami, ktoré vidíme vzhľadom na uvažovaný rez. Preto sa rovná algebraickému súčtu momentov všetkých síl, ktoré pôsobia na časť lúča, ktorú uvažujeme, vzhľadom na uvažovaný úsek (inými slovami, vzhľadom na okraj kusu papiera). V čom vonkajšie zaťaženie, ohýbanie uvažovanej časti nosníka s konvexnosťou smerom nadol, spôsobuje kladný ohybový moment v reze. A moment vytvorený takýmto zaťažením je zahrnutý do algebraického súčtu pre definíciu so znamienkom plus.

Vidíme dve snahy: reakciu a moment ukončenia. Avšak rameno sily vzhľadom na sekciu 1 je rovné nule. Preto

kN m

Znamienko plus sme vzali, pretože reaktívny moment ohýba viditeľnú časť lúča s vypuklosťou smerom nadol.

Časť 2. Ako predtým, celú pravú stranu lúča zakryjeme kusom papiera. Teraz, na rozdiel od prvého úseku, sila má rameno: m. Preto

kN; kN m

Časť 3. Zatvorením pravej strany lúča, nájdeme

kN;

Sekcia 4. Zatvorme ľavú stranu lúča listom. Potom

kN m

kN m

.

Na základe zistených hodnôt zostavíme diagramy šmykových síl (obr. 3.12, b) a ohybových momentov (obr. 3.12, c).

Pri nezaťažených úsekoch prebieha diagram šmykových síl rovnobežne s osou nosníka a pri rozloženom zaťažení q pozdĺž naklonenej priamky smerom nahor. Pod podpornou reakciou na diagrame je skok nadol o hodnotu tejto reakcie, teda o 40 kN.

Na diagrame ohybových momentov vidíme zlom pod reakciou podpory. Lomový uhol smeruje k reakcii podpery. Pri rozloženom zaťažení q sa diagram mení pozdĺž kvadratickej paraboly, ktorej konvexnosť smeruje k zaťaženiu. V časti 6 na diagrame je extrém, keďže diagram šmykovej sily v tomto mieste tu prechádza cez nulovú hodnotu.

Určte požadovaný priemer prierezu lúča

Pevnostný stav podľa normálne stresy vyzerá ako:

,

kde je moment odporu lúča v ohybe. Pre lúč s kruhovým prierezom sa rovná:

.

Ohybový moment s najväčšou absolútnou hodnotou sa vyskytuje v tretej časti nosníka: kN cm

Potom je požadovaný priemer lúča určený vzorcom

cm.

Akceptujeme mm. Potom

kN/cm2 kN/cm2.

"Prepätie" je

,

čo je dovolené.

Skontrolujeme pevnosť nosníka na najvyššie tangenciálne napätia

Najvyššie šmykové napätia, ktoré sa vyskytujú v priereze kruhového nosníka, sa vypočítajú podľa vzorca

,

kde je plocha prierezu.

Podľa grafu sa najväčšia algebraická hodnota šmykovej sily rovná kN. Potom

kN/cm2 kN/cm2,

to znamená, že podmienka pevnosti a šmykového napätia je splnená navyše s veľkou rezervou.

Príklad riešenia úlohy "priamy priečny ohyb" č.2

Podmienka príkladu problému pre priamy priečny ohyb

Pre kĺbový nosník zaťažený rozloženým zaťažením o intenzite kN / m, sústredenej sile kN a sústredenom momente kN m (obr. 3.13) je potrebné vykresliť šmykové sily a ohybové momenty a zvoliť prierez I-nosníka. s dovoleným normálovým napätím kN / cm2 a dovoleným šmykovým napätím kN/cm2. Rozpätie lúča m.

Príklad úlohy pre rovný ohyb - návrhová schéma

Ryža. 3.13

Riešenie príkladu úlohy priameho ohybu

Určenie podporných reakcií

Pre daný otočne podoprený nosník je potrebné nájsť tri podperné reakcie: , a . Pretože na nosník, kolmo na jeho os, pôsobí iba zvislé zaťaženie, horizontálna reakcia pevnej sklopnej podpery A sa rovná nule: .

Smery vertikálnych reakcií a sú zvolené ľubovoľne. Nasmerujme napríklad obe vertikálne reakcie smerom nahor. Na výpočet ich hodnôt zostavíme dve rovnice statiky:

Pripomeňme, že výsledné lineárne zaťaženie, rovnomerne rozložené na úseku dĺžky l, sa rovná ploche diagramu tohto zaťaženia a pôsobí v ťažisku tohto diagramu, teda v strede dĺžky.

;

kN.

Kontrolujeme: .

Pripomeňme, že sily, ktorých smer sa zhoduje s kladným smerom osi y, sa premietajú (premietajú) na túto os so znamienkom plus:

to je správne.

Vytvárame diagramy šmykových síl a ohybových momentov

Dĺžku lúča rozdeľujeme na samostatné časti. Hranice týchto oblastí sú miestami pôsobenia sústredených síl (aktívnych a / alebo reaktívnych), ako aj bodmi zodpovedajúcimi začiatku a koncu rozloženého zaťaženia. V našom probléme sú tri takéto oblasti. Pozdĺž hraníc týchto rezov načrtneme šesť prierezov, v ktorých vypočítame hodnoty šmykových síl a ohybových momentov (obr. 3.13, a).

Sekcia 1. Poďme mentálne odhodiť pravú stranu lúča. Pre uľahčenie výpočtu šmykovej sily a ohybového momentu vznikajúceho v tomto reze uzatvoríme časť lúča, ktorú sme vyradili, kusom papiera, pričom zarovnáme ľavý okraj kusu papiera so samotnou časťou.

Šmyková sila v priereze nosníka sa rovná algebraickému súčtu všetkých vonkajších síl (aktívnych a reaktívnych), ktoré vidíme. V tomto prípade vidíme reakciu podpery a lineárneho zaťaženia q, rozložené na nekonečne malej dĺžke. Výsledné lineárne zaťaženie je nulové. Preto

kN.

Znamienko plus sa používa, pretože sila otáča viditeľnú časť lúča vzhľadom na prvú časť (okraj kusu papiera) v smere hodinových ručičiek.

Ohybový moment v reze lúča sa rovná algebraickému súčtu momentov všetkých síl, ktoré vidíme, vo vzťahu k uvažovanému rezu (to znamená vzhľadom na okraj kusu papiera). Vidíme reakciu podpery a lineárneho zaťaženia q, rozložené na nekonečne malej dĺžke. Pákový efekt sily je však nulový. Výsledné lineárne zaťaženie sa tiež rovná nule. Preto

Časť 2. Ako predtým, celú pravú stranu lúča zakryjeme kusom papiera. Teraz vidíme reakciu a zaťaženie q pôsobiace na úsek dĺžky . Výsledné lineárne zaťaženie sa rovná . Je pripevnený v strede časti s dĺžkou . Preto

Pripomeňme si, že pri určovaní znamienka ohybového momentu mentálne uvoľníme časť nosníka, ktorú vidíme zo všetkých skutočných upevnení podpery, a predstavíme si ju, ako keby bola zovretá v uvažovanom úseku (to znamená ľavý okraj kusu nosníka). papier je nami mentálne reprezentovaný ako tuhá pečať).

Časť 3. Zatvorme pravú časť. Získajte

Sekcia 4. Pravú stranu lúča zatvoríme listom. Potom

Teraz, aby sme kontrolovali správnosť výpočtov, pokryjeme ľavú stranu lúča kusom papiera. Vidíme sústredenú silu P, reakciu pravej podpery a lineárne zaťaženie q, rozložené na nekonečne malej dĺžke. Výsledné lineárne zaťaženie je nulové. Preto

kN m

To znamená, že všetko je správne.

Časť 5. Stále zatvorte ľavú stranu lúča. Bude mať

kN;

kN m

Časť 6. Opäť zatvorme ľavú stranu lúča. Získajte

kN;

Na základe zistených hodnôt zostavíme diagramy šmykových síl (obr. 3.13, b) a ohybových momentov (obr. 3.13, c).

Sme presvedčení, že pod nezaťaženým úsekom prebieha diagram šmykových síl rovnobežne s osou nosníka a pri rozloženom zaťažení q - pozdĺž priamky so sklonom nadol. Na diagrame sú tri skoky: pod reakciou - hore o 37,5 kN, pod reakciou - hore o 132,5 kN a pod silou P - dole o 50 kN.

Na diagrame ohybových momentov vidíme zlomy pod sústredenou silou P a pod podpernými reakciami. Lomové uhly smerujú k týmto silám. Pri rozloženom zaťažení intenzity q sa diagram mení pozdĺž kvadratickej paraboly, ktorej konvexnosť smeruje k zaťaženiu. Pod sústredeným momentom je skok 60 kN m, teda o veľkosť samotného momentu. V sekcii 7 na diagrame je extrém, pretože diagram šmykovej sily pre tento úsek prechádza cez nulovú hodnotu (). Určme vzdialenosť od sekcie 7 k ľavej podpere.

Úloha. Zostavte diagramy Q a M pre staticky neurčitý nosník. Trámy vypočítame podľa vzorca:

n= Σ R- W— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Beam raz je staticky neurčitý, čo znamená jeden reakcií je „extra“ neznámy. Za "extra" neznámych vezmeme reakciu podpory IN — R B.

Staticky určitý lúč, ktorý sa získa z daného lúča odstránením "extra" spojenia, sa nazýva hlavný systém. (b).

Teraz by mal byť tento systém predstavený ekvivalent daný. Ak to chcete urobiť, načítajte hlavný systém daný zaťaženie a v bode IN uplatniť „extra“ reakcia R B(ryža. V).

Avšak, pre rovnocennosť toto nedostatočné, keďže v takomto lúči bod IN Možno pohybovať vertikálne a v danom lúči (obr. A ) to sa nemôže stať. Preto pridávame stave, Čo vychýlenie t. IN v hlavnom systéme sa musí rovnať 0. Priehyb t. IN pozostáva z priehyb od pôsobiaceho zaťaženia Δ F a od odchýlka od „extra“ reakcie Δ R.

Potom skladáme podmienka kompatibility výtlaku:

Δ F + Δ R=0 (1)

Teraz ich zostáva vypočítať pohyby (vychýlenie).

Načítava základné systém dané zaťaženie(ryža .G) a stavať diagram nákladuM F (ryža. d ).

IN T. IN aplikovať a zostaviť ep. (ryža. ježko ).

Podľa Simpsonovho vzorca definujeme priehyb zaťaženia.

Teraz definujme vychýlenie z pôsobenia "extra" reakcie R B , na tento účel načítame hlavný systém R B (ryža. h ) a zakreslite momenty z jeho akcie PÁN (ryža. A ).

Zložte a rozhodnite sa rovnica (1):

Poďme stavať ep. Q A M (ryža. do, l ).

Vytvorenie diagramu Q.

Zostavme diagram M metóda charakteristické body. Na lúče usporiadame body - to sú body začiatku a konca lúča ( D,A ), koncentrovaný moment ( B ), a tiež si všimnite ako charakteristický bod stred rovnomerne rozloženého zaťaženia ( K ) je dodatočný bod na zostrojenie parabolickej krivky.

Určte ohybové momenty v bodoch. Pravidlo znamení cm - .

Moment v IN budú definované nasledovne. Najprv si definujme:

bod TO poďme do toho stredná oblasť s rovnomerne rozloženým zaťažením.

Vytvorenie diagramu M . Zápletka AB – parabolická krivka(pravidlo „dáždnika“), zápletka BD – priama šikmá čiara.

Pre nosník určite reakcie podpory a nakreslite diagramy ohybových momentov ( M) A priečne sily (Q).

1. Označujeme podporuje písmená A A IN a riadiť podporné reakcie R A A R B .

Zostavovanie rovnovážne rovnice.

Vyšetrenie

Zapíšte si hodnoty R A A R B na výpočtová schéma.

2. Plotovanie priečne sily metóda oddielov. Oddiely položíme na charakteristické oblasti(medzi zmenami). Podľa rozmerového vlákna - 4 sekcie, 4 sekcie.

sek. 1-1 pohybovať sa vľavo.

Úsek prechádza úsekom s rovnomerne rozložené zaťaženie, všimnite si veľkosť z 1 naľavo od sekcie pred začiatkom úseku. Dĺžka pozemku 2 m. Pravidlo znamení Pre Q - cm.

Staviame na zistenej hodnote diagramQ.

sek. 2-2 pohyb doprava.

Úsek opäť prechádza oblasťou s rovnomerne rozloženým zaťažením, všimnite si veľkosť z 2 vpravo od sekcie na začiatok sekcie. Dĺžka pozemku 6 m.

Vytvorenie diagramu Q.

sek. 3-3 pohyb doprava.

sek. 4-4 pohyb doprava.

staviame diagramQ.

3. Stavebníctvo diagramy M metóda charakteristické body.

charakteristický bod- bod, ktorý je na lúči viditeľný. Toto sú bodky A, IN, S, D , ako aj bod TO , kde Q=0 A ohybový moment má extrém. aj v stredná konzola dať ďalší bod E, keďže v tejto oblasti pri rovnomerne rozloženom zaťažení diagram M popísané nepoctivý linka, a je postavená aspoň podľa 3 bodov.

Takže, body sú umiestnené, pokračujeme v určovaní hodnôt v nich ohybové momenty. Pravidlo znamení - viď..

Pozemky NA, AD – parabolická krivka(„zastrešujúce“ pravidlo pre mechanické špeciality alebo „pravidlo plachty“ pre stavebníctvo), oddiely DC, SW – rovné šikmé čiary.

Moment v určitom bode D by sa malo určiť vľavo aj vpravo z bodu D . Práve ten moment v týchto výrazoch Vylúčené. Na mieste D dostaneme dva hodnoty od rozdiel podľa sumy m – skok na jeho veľkosť.

Teraz musíme určiť moment v bode TO (Q=0). Najprv však definujeme bodová poloha TO , označujúci vzdialenosť od nej k začiatku úseku neznámou X .

T. TO patrí druhý charakteristická oblasť, rovnica šmykovej sily(viď vyššie)

Ale priečna sila v t. TO rovná sa 0 , A z 2 rovná sa neznámy X .

Dostaneme rovnicu:

Teraz vedieť X, určiť moment v určitom bode TO napravo.

Vytvorenie diagramu M . Stavba je realizovateľná pre mechanickýšpeciality, odkladanie kladných hodnôt hore z nulového riadku a pomocou pravidla „dáždnik“.

Pre danú schému konzolového nosníka je potrebné vykresliť diagramy priečnej sily Q a ohybového momentu M, vykonať návrhový výpočet výberom kruhového rezu.

Materiál - drevo, konštrukčná odolnosť materiál R=10MPa, M=14kN m,q=8kN/m

Existujú dva spôsoby, ako zostaviť diagramy v konzolovom nosníku s pevným zabudovaním - obvyklým spôsobom, ktorý predtým určil reakcie podpory, a bez definovania reakcií podpory, ak vezmeme do úvahy sekcie, ktoré idú od voľného konca nosníka a zahodia ľavá strana s vložkou. Poďme zostaviť diagramy obyčajný spôsobom.

1. Definujte podporné reakcie.

Rovnomerne rozložené zaťaženie q nahradiť podmienenú silu Q = q 0,84 = 6,72 kN

V tuhom uložení existujú tri podporné reakcie - vertikálna, horizontálna a momentová, v našom prípade je horizontálna reakcia 0.

Poďme nájsť vertikálne podporná reakcia R A A referenčný moment M A z rovnovážnych rovníc.

V prvých dvoch sekciách vpravo nie je žiadna priečna sila. Na začiatku úseku s rovnomerne rozloženým zaťažením (vpravo) Q = 0, v zadnej časti - veľkosť reakcie R.A.
3. Na zostavenie zostavíme výrazy pre ich definíciu na sekciách. Na vlákna vynesieme momentový diagram, t.j. dole.

(zápletka jednotlivých momentov už bola postavená skôr)

Riešime rovnicu (1), redukujeme o EI

Odhalená statická neurčitosť, zistí sa hodnota reakcie „navyše“. Môžete začať vykresľovať Q a M diagramy pre staticky neurčitý nosník... Načrtneme danú schému nosníka a uvedieme hodnotu reakcie Rb. V tomto lúči sa reakcie v zakončení nedajú určiť, ak idete doprava.

Budovanie pozemky Q pre staticky neurčitý lúč

Zápletka Q.

Sprisahanie M

M definujeme v bode extrému – v bode TO. Najprv definujme jeho polohu. Vzdialenosť k nemu označujeme ako neznámu " X". Potom

Nakreslíme M.

Stanovenie šmykových napätí v I-profile. Zvážte sekciu I-lúč. S x \u003d 96,9 cm 3; Yx = 2030 cm4; Q = 200 kN

Na určenie šmykového napätia sa používa vzorec, kde Q je priečna sila v reze, S x 0 je statický moment časti prierezu umiestnenej na jednej strane vrstvy, v ktorej sú určené šmykové napätia, I x je moment zotrvačnosti celého prierezu. prierez, b je šírka prierezu v mieste, kde sa určuje šmykové napätie

Vypočítať maximálnešmykové napätie:

Vypočítajme statický moment pre Horná polička:

Teraz poďme počítať šmykové napätia:

staviame diagram šmykového napätia:

Návrhové a overovacie výpočty. Pre nosník so zostrojenými diagramami vnútorných síl vyberte z podmienky pevnosti pre normálové napätia rez v tvare dvoch kanálov. Skontrolujte pevnosť nosníka pomocou podmienky pevnosti v šmyku a kritéria energetickej pevnosti. Vzhľadom na to:

Ukážme lúč s konštruovaný pozemky Q a M

Podľa diagramu ohybových momentov je to nebezpečné oddiel C, v ktorom M C \u003d M max \u003d 48,3 kNm.

Kondícia sily pre normálny stres lebo tento lúč má tvar σ max \u003d M C / W X ≤σ adm . Je potrebné vybrať sekciu z dvoch kanálov.

Určite požadovanú vypočítanú hodnotu modul osového prierezu:

Pre sekciu vo forme dvoch kanálov, podľa akcept dva kanály №20a, moment zotrvačnosti každého kanála I x = 1670 cm 4, Potom osový moment odporu celého úseku:

Prepätie (podpätie) na nebezpečných miestach vypočítame podľa vzorca: Potom dostaneme podpätie:

Teraz skontrolujme silu lúča na základe pevnostné podmienky pre šmykové napätia. Podľa diagram šmykových síl nebezpečné sú sekcie v sekcii BC a sekcii D. Ako je možné vidieť z diagramu, Q max \u003d 48,9 kN.

Podmienka pevnosti pre šmykové napätia vyzerá ako:

Pre kanál č. 20 a: statický moment plochy S x 1 \u003d 95,9 cm 3, moment zotrvačnosti sekcie I x 1 \u003d 1670 cm 4, hrúbka steny d 1 \u003d 5,2 mm, priemerná hrúbka police t 1 \u003d 9,7 mm, výška kanála h 1 \u003d 20 cm, šírka police b 1 \u003d 8 cm.

Pre priečne sekcie dvoch kanálov:

S x \u003d 2S x 1 \u003d 2 95,9 \u003d 191,8 cm 3,

I x \u003d 2I x 1 \u003d 2 1670 \u003d 3340 cm 4,

b \u003d 2d 1 \u003d 2 0,52 \u003d 1,04 cm.

Určenie hodnoty maximálne šmykové napätie:

τ max \u003d 48,9 10 3 191,8 10 -6 / 3340 10 -8 1,04 10 -2 \u003d 27 MPa.

Ako je vidieť, τ max<τ adm (27 MPa<75МПа).

teda podmienka pevnosti je splnená.

Pevnosť lúča kontrolujeme podľa energetického kritéria.

Z ohľaduplnosti diagramy Q a M z toho vyplýva oddiel C je nebezpečný, v ktorom MC=Mmax=48,3 kNm a Qc=Qmax=48,9 kN.

Poďme stráviť analýza napätosti v bodoch rezu С

Poďme definovať normálne a šmykové napätie na niekoľkých úrovniach (vyznačené na schéme sekcie)

Úroveň 1-1: y 1-1 = h 1 /2 = 20/2 = 10 cm.

Normálna a dotyčnica Napätie:

Hlavná Napätie:

Úroveň 2-2: y 2-2 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Hlavné stresy:

Úroveň 3-3: y 3-3 \u003d h 1 / 2-t 1 \u003d 20 / 2-0,97 \u003d 9,03 cm.

Normálne a šmykové napätie:

Hlavné stresy:

Extrémne šmykové napätia:

Úroveň 4-4: y 4-4 =0.

(v strede sú normálové napätia rovné nule, tangenciálne napätia sú maximálne, boli zistené pri skúške pevnosti na tangenciálne napätia)

Hlavné stresy:

Extrémne šmykové napätia:

Úroveň 5-5:

Normálne a šmykové napätie:

Hlavné stresy:

Extrémne šmykové napätia:

Úroveň 6-6:

Normálne a šmykové napätie:

Hlavné stresy:

Extrémne šmykové napätia:

Úroveň 7-7:

Normálne a šmykové napätie:

Hlavné stresy:

Extrémne šmykové napätia:

Podľa vykonaných výpočtov diagramy napätia σ, τ, σ 1 , σ 3 , τ max a τ min sú uvedené na obr.

Analýza títo diagram ukazuje, ktorý je v priereze nosníka nebezpečné body sú na úrovni 3-3 (alebo 5-5), v ktorom:

Použitím energetické kritérium pevnosti, dostaneme

Z porovnania ekvivalentných a dovolených napätí vyplýva, že podmienka pevnosti je tiež splnená

(135,3 MPa<150 МПа).

Spojitý nosník je zaťažený vo všetkých poliach. Zostavte diagramy Q a M pre spojitý nosník.

1. Definujte stupeň statickej neistoty nosníky podľa vzorca:

n= Sop -3= 5-3 =2, Kde Sop - počet neznámych reakcií, 3 - počet rovníc statiky. Na vyriešenie tohto lúča je to potrebné dve ďalšie rovnice.

2. Označte čísla podporuje s nulou v poradí ( 0,1,2,3 )

3. Označte čísla rozpätia od prvého v poradí ( v 1, v 2, v 3)

4. Každé rozpätie sa považuje za jednoduchý lúč a zostavte schémy pre každý jednoduchý nosník Q a M.Čo sa týka jednoduchý lúč, budeme označovať s indexom "0“, ktorý odkazuje na nepretržitý lúč, budeme označovať bez tohto indexu. Teda priečna sila a ohybový moment pre jednoduchý lúč.

10.1. Všeobecné pojmy a definície

ohnúť- ide o druh zaťaženia, pri ktorom je tyč zaťažovaná momentmi v rovinách prechádzajúcich pozdĺžnou osou tyče.

Tyč, ktorá pracuje pri ohýbaní, sa nazýva lúč (alebo lúč). V budúcnosti budeme uvažovať o priamych nosníkoch, ktorých prierez má aspoň jednu os symetrie.

V odolnosti materiálov je ohyb plochý, šikmý a zložitý.

plochý ohyb- ohýbanie, pri ktorom všetky sily ohýbajúce nosník ležia v jednej z rovín symetrie nosníka (v jednej z hlavných rovín).

Hlavné roviny zotrvačnosti lúča sú roviny prechádzajúce hlavnými osami priečnych rezov a geometrickou osou lúča (os x).

šikmý ohyb- ohyb, pri ktorom zaťaženia pôsobia v jednej rovine, ktorá sa nezhoduje s hlavnými rovinami zotrvačnosti.

Komplexný ohyb- ohýbanie, pri ktorom zaťaženia pôsobia v rôznych (ľubovoľných) rovinách.

10.2. Stanovenie vnútorných ohybových síl

Uvažujme dva charakteristické prípady ohybu: v prvom prípade je konzolový nosník ohnutý sústredeným momentom Mo; v druhom sústredenou silou F.

Metódou mentálnych rezov a zostavením rovnováh rovnováhy pre odrezané časti nosníka určíme vnútorné sily v oboch prípadoch:

Ostatné rovnice rovnováhy sú zjavne identicky rovné nule.

Vo všeobecnom prípade plochého ohybu v časti nosníka teda zo šiestich vnútorných síl vznikajú dve - ohybový moment Mz a šmyková sila Qy (alebo pri ohybe okolo inej hlavnej osi - ohybový moment My a priečna sila Qz).

V tomto prípade, v súlade s dvoma uvažovanými prípadmi zaťaženia, môže byť ploché ohýbanie rozdelené na čisté a priečne.

Čistý ohyb- plochý ohyb, pri ktorom zo šiestich vnútorných síl vzniká v úsekoch tyče iba jedna - ohybový moment (pozri prvý prípad).

priečny ohyb- ohyb, pri ktorom okrem vnútorného ohybového momentu vzniká v úsekoch tyče aj priečna sila (pozri druhý prípad).

Prísne vzaté, iba čisté ohýbanie patrí k jednoduchým druhom odporu; priečny ohyb odkazujú na jednoduché typy odporu podmienene, pretože vo väčšine prípadov (pre dostatočne dlhé nosníky) možno zanedbať pôsobenie priečnej sily pri výpočtoch pevnosti.

Pri určovaní vnútorných síl sa budeme držať nasledujúceho pravidla znakov:

1) priečna sila Qy sa považuje za pozitívnu, ak má tendenciu otáčať uvažovaný prvok nosníka v smere hodinových ručičiek;

2) ohybový moment Mz sa považuje za kladný, ak pri ohýbaní nosníka sú horné vlákna elementu stlačené a spodné vlákna sú natiahnuté (dáždnikové pravidlo).

Riešenie problému určenia vnútorných síl pri ohybe bude teda postavené podľa nasledujúceho plánu: 1) v prvej fáze, berúc do úvahy rovnovážne podmienky konštrukcie ako celku, určíme, ak je to potrebné, neznáme reakcie podpier (všimnite si, že pre konzolový nosník môžu byť a nie sú nájdené reakcie v osadení, ak uvažujeme nosník z voľného konca); 2) v druhej fáze vyberieme charakteristické úseky nosníka, pričom za hranice úsekov berieme body pôsobenia síl, body zmeny tvaru alebo rozmerov nosníka, body upevnenia nosníka; 3) v tretej fáze určujeme vnútorné sily v sekciách nosníka, pričom berieme do úvahy podmienky rovnováhy pre prvky nosníka v každom z rezov.

10.3. Diferenciálne závislosti v ohybe

Stanovme si niektoré vzťahy medzi vnútornými silami a vonkajšími ohybovými zaťaženiami, ako aj charakteristické znaky Q a M diagramov, ktorých znalosť uľahčí konštrukciu diagramov a umožní vám kontrolovať ich správnosť. Pre uľahčenie zápisu budeme označovať: M≡Mz, Q≡Qy.

Priraďme malý prvok dx v reze nosníka s ľubovoľným zaťažením v mieste, kde nie sú sústredené sily a momenty. Pretože je celý nosník v rovnováhe, prvok dx bude v rovnováhe aj pri pôsobení priečnych síl naň pôsobiacich, ohybových momentov a vonkajšieho zaťaženia. Pretože Q a M sa vo všeobecnosti menia

osi nosníka, potom v rezoch prvku dx budú pôsobiť priečne sily Q a Q + dQ, ako aj ohybové momenty M a M + dM. Z podmienky rovnováhy vybraného prvku získame

Prvá z dvoch napísaných rovníc udáva podmienku

Z druhej rovnice, zanedbajúc člen q dx (dx/2) ako nekonečne malé množstvo druhého rádu, zistíme

Ak vezmeme do úvahy výrazy (10.1) a (10.2) spolu môžeme dostať

Vzťahy (10.1), (10.2) a (10.3) sa nazývajú diferenciálne závislosti D. I. Žuravského v ohýbaní.

Analýza vyššie uvedených diferenciálnych závislostí v ohybe nám umožňuje stanoviť niektoré znaky (pravidlá) na zostavenie diagramov ohybových momentov a šmykových síl: a - v oblastiach, kde nie je rozložené zaťaženie q, sú diagramy Q obmedzené na priamky rovnobežné s základňa a diagramy M sú naklonené priamky; b - v úsekoch, kde na nosník pôsobí rozložené zaťaženie q, sú diagramy Q obmedzené naklonenými priamkami a diagramy M sú obmedzené kvadratickými parabolami.

V tomto prípade, ak postavíme diagram M „na napnutom vlákne“, potom bude konvexnosť paraboly smerovať v smere pôsobenia q a extrém sa bude nachádzať v časti, kde diagram Q pretína základňu. linka; c - v úsekoch, kde na lúč pôsobí sústredená sila, na Q diagrame dôjde k skokom o hodnotu a v smere tejto sily a na M diagrame sú zalomenia, hrot smeruje v smere tohto sila; d - v úsekoch, kde na lúč pôsobí koncentrovaný moment, nedôjde k žiadnym zmenám na Q diagrame a na M diagrame budú skoky o hodnotu tohto momentu; e - v úsekoch, kde Q>0 sa moment M zvyšuje a v úsekoch, kde Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normálne napätia v čistom ohybe priameho nosníka

Uvažujme prípad čistého rovinného ohybu nosníka a odvodíme vzorec na určenie normálových napätí pre tento prípad.

Všimnite si, že v teórii pružnosti je možné získať presnú závislosť pre normálové napätia v čistom ohybe, ale ak tento problém vyriešiť metódami odolnosti materiálov, je potrebné zaviesť určité predpoklady.

Existujú tri takéto hypotézy ohýbania:

a - hypotéza plochých úsekov (Bernoulliho hypotéza) - úseky sú pred deformáciou ploché a po deformácii zostávajú ploché, ale otáčajú sa len okolo určitej priamky, ktorá sa nazýva neutrálna os úseku nosníka. V tomto prípade budú vlákna lúča, ležiace na jednej strane neutrálnej osi, natiahnuté a na druhej strane stlačené; vlákna ležiace na neutrálnej osi nemenia svoju dĺžku;

b - hypotéza o stálosti normálových napätí - napätia pôsobiace v rovnakej vzdialenosti y od neutrálnej osi sú po celej šírke lúča konštantné;

c – hypotéza o absencii laterálnych tlakov – susedné pozdĺžne vlákna na seba netlačia.

Statická stránka problému

Na určenie napätí v prierezoch nosníka zvažujeme predovšetkým statické stránky problému. Aplikovaním metódy mentálnych rezov a zostavením rovníc rovnováhy pre odrezanú časť nosníka zistíme vnútorné sily pri ohybe. Ako bolo uvedené vyššie, jediná vnútorná sila pôsobiaca v reze tyče pri čistom ohybe je vnútorný ohybový moment, čo znamená, že tu vzniknú normálové napätia, ktoré sú s ním spojené.

Vzťah medzi vnútornými silami a normálovými napätiami v priereze nosníka nájdeme tak, že vezmeme do úvahy napätia na elementárnej ploche dA, zvolenej v priereze A nosníka v bode so súradnicami y a z (os y smeruje nadol kvôli zjednodušeniu analýzy):

Ako vidíme, problém je vnútorne staticky neurčitý, pretože povaha rozloženia normálových napätí v priereze nie je známa. Na vyriešenie problému zvážte geometrický vzor deformácií.

Geometrická stránka problému

Uvažujme deformáciu prvku nosníka dĺžky dx vybraného z ohýbacej tyče v ľubovoľnom bode so súradnicou x. Ak vezmeme do úvahy predtým prijatú hypotézu o plochých častiach, po ohnutí časti lúča sa otočí voči neutrálnej osi (n.r.) o uhol dϕ, zatiaľ čo vlákno ab, ktoré je vo vzdialenosti y od neutrálnej osi, sa zmení na kruhový oblúk a1b1 a jeho dĺžka sa o určitú veľkosť zmení. Tu si pripomenieme, že dĺžka vlákien ležiacich na neutrálnej osi sa nemení, a preto má oblúk a0b0 (polomer zakrivenia ktorého označíme ρ) rovnakú dĺžku ako úsečka a0b0 pred deformáciou a0b0=dx.

Nájdite relatívnu lineárnu deformáciu εx vlákna ab zakriveného nosníka.