Na neustálom ohýbaní sa na nich. ohnúť. Predpoklady na odvodenie vzorcov. Normálne stresy

Začíname s najjednoduchším prípadom, takzvaným čistým ohýbaním.

Čisté ohýbanie je špeciálny prípad ohýbania, pri ktorom sa v úsekoch lúča šmyková sila rovná sa nule. K čistému ohybu môže dôjsť len vtedy, keď je vlastná hmotnosť nosníka taká malá, že jej vplyv možno zanedbať. Pre nosníky na dvoch podperách, príklady zaťažení, ktoré spôsobujú sieť

ohyb, znázornený na obr. 88. Na úsekoch týchto nosníkov, kde Q \u003d 0 a teda M \u003d konšt; vyskytuje čistý ohyb.

Sily v ktoromkoľvek úseku lúča s čistým ohybom sú redukované na dvojicu síl, ktorých rovina pôsobenia prechádza osou lúča a moment je konštantný.

Napätia možno určiť na základe nasledujúcich úvah.

1. Dotykové zložky síl na elementárnych plochách v priereze nosníka nemožno redukovať na dvojicu síl, ktorých rovina pôsobenia je kolmá na rovinu rezu. Z toho vyplýva, že ohybová sila v reze je výsledkom pôsobenia na elementárne plochy

iba normálové sily, a preto sa pri čistom ohybe napätia redukujú len na normálne.

2. Aby sa úsilie na elementárnych platformách zredukovalo len na pár síl, musia byť medzi nimi pozitívne aj negatívne. Preto musia existovať napnuté aj stlačené vlákna lúča.

3. Vzhľadom na to, že sily v rôznych rezoch sú rovnaké, napätia v zodpovedajúcich bodoch rezov sú rovnaké.

Zvážte akýkoľvek prvok v blízkosti povrchu (obr. 89, a). Pretože na jeho spodnú stranu, ktorá sa zhoduje s povrchom nosníka, nepôsobia žiadne sily, nie sú na ňom žiadne napätia. Preto na hornej strane prvku nevznikajú žiadne napätia, pretože inak by prvok nebol v rovnováhe.

Rovnaký záver atď. Z toho vyplýva, že pozdĺž vodorovných plôch žiadneho prvku nie sú žiadne napätia. Ak vezmeme do úvahy prvky, ktoré tvoria vodorovnú vrstvu, počnúc prvkom v blízkosti povrchu nosníka (obr. 90), dospejeme k záveru, že pozdĺž bočných zvislých plôch žiadneho prvku nie sú žiadne napätia. Teda stav napätia akéhokoľvek prvku (obr. 91, a), a v limite vlákna, musí byť reprezentovaný tak, ako je znázornené na obr. 91b, t.j. môže to byť buď axiálne napätie alebo axiálna kompresia.

4. Vzhľadom na symetriu pôsobenia vonkajších síl by mal úsek pozdĺž stredu dĺžky nosníka po deformácii zostať plochý a kolmý na os nosníka (obr. 92, a). Z rovnakého dôvodu zostávajú úseky v štvrtinách dĺžky lúča ploché a kolmé na os lúča (obr. 92, b), ak počas deformácie zostanú ploché a kolmé na os lúča iba krajné časti lúča. Podobný záver platí aj pre úseky v osminách dĺžky nosníka (obr. 92, c) atď. Ak teda krajné úseky nosníka zostanú ploché počas ohýbania, potom pre ktorýkoľvek úsek zostane

je spravodlivé povedať, že po deformácii zostáva plochý a kolmý na os zakriveného nosníka. Ale v tomto prípade je zrejmé, že zmena predĺženia vlákien lúča pozdĺž jeho výšky by mala nastať nielen nepretržite, ale aj monotónne. Ak vrstvu nazývame súborom vlákien, ktoré majú rovnaké predĺženia, potom z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že natiahnuté a stlačené vlákna lúča by sa mali nachádzať na opačných stranách vrstvy, v ktorej sú predĺženia vlákna rovné nule. Vlákna, ktorých predĺženie sa rovná nule, budeme nazývať neutrálne; vrstva pozostávajúca z neutrálnych vlákien - neutrálna vrstva; čiara priesečníka neutrálnej vrstvy s rovinou prierezu lúča - neutrálna čiara tohto rezu. Potom, na základe predchádzajúcich úvah, možno tvrdiť, že pri čistom ohybe lúča v každej z jeho sekcií existuje neutrálna čiara, ktorá rozdeľuje túto sekciu na dve časti (zóny): zóna napnutých vlákien (napnutá zóna) a zóna stlačených vlákien (stlačená zóna ). V súlade s tým by normálne ťahové napätia mali pôsobiť v bodoch natiahnutej zóny prierezu, tlakové napätia v bodoch stlačenej zóny a v bodoch neutrálnej čiary sú napätia rovné nule.

Takže s čistým ohybom lúča konštantného prierezu:

1) v sekciách pôsobia iba normálové napätia;

2) celý úsek je možné rozdeliť na dve časti (zóny) - natiahnuté a stlačené; hranica zón je neutrálna čiara rezu, v bodoch ktorej sú normálové napätia rovné nule;

3) ktorýkoľvek pozdĺžny prvok nosníka (v medziach akékoľvek vlákno) je vystavený axiálnemu ťahu alebo stlačeniu, takže susedné vlákna navzájom neinteragujú;

4) ak krajné časti lúča počas deformácie zostanú ploché a kolmé na os, potom všetky jeho prierezy zostanú ploché a kolmé na os zakriveného lúča.

Stav napätia nosníka v čistom ohybe

Uvažujme o prvku lúča, ktorý podlieha čistému ohybu, na záver merané medzi úsekmi m-m a n-n, ktoré sú od seba vzdialené v nekonečne malej vzdialenosti dx (obr. 93). Vzhľadom na ustanovenie (4) predchádzajúceho odseku, rezy m-m a n-n, ktoré boli pred deformáciou rovnobežné, po ohnutí zostali ploché, budú zvierať uhol dQ a pretínajú sa pozdĺž priamky prechádzajúcej bodom C, ktorý je stredom. z neutrálneho vlákna NN. Potom sa časť AB vlákna uzavretá medzi nimi, ktorá sa nachádza vo vzdialenosti z od neutrálneho vlákna (kladný smer osi z je braný smerom ku konvexite lúča pri ohýbaní), sa zmení na oblúk A "B" po Segment neutrálneho vlákna O1O2, ktorý sa zmení na oblúk O1O2, nezmení svoju dĺžku, zatiaľ čo vlákno AB dostane predĺženie:

pred deformáciou

po deformácii

kde p je polomer zakrivenia neutrálneho vlákna.

Preto je absolútna ťažnosť segmentu AB

a predĺženie

Pretože podľa polohy (3) je vlákno AB vystavené axiálnemu napätiu, potom elastickej deformácii

Z toho je vidieť, že normálové napätia pozdĺž výšky nosníka sú rozdelené podľa lineárneho zákona (obr. 94). Pretože rovnaká sila všetkého úsilia na všetkých základných častiach sekcie sa musí rovnať nule

odkiaľ, dosadením hodnoty z (5.8), nájdeme

Ale posledný integrál je statický moment okolo osi Oy, ktorá je kolmá na rovinu pôsobenia ohybových síl.

Táto os musí vzhľadom na svoju rovnosť nule prechádzať ťažiskom O rezu. Neutrálna čiara časti nosníka je teda priamka yy, kolmá na rovinu pôsobenia ohybových síl. Nazýva sa neutrálna os časti lúča. Potom z (5.8) vyplýva, že napätia v bodoch ležiacich v rovnakej vzdialenosti od neutrálnej osi sú rovnaké.

Prípad čistého ohybu, v ktorom ohybové sily pôsobia iba v jednej rovine a spôsobujú ohyb iba v tejto rovine, je čistý rovinný ohyb. Ak menovaná rovina prechádza osou Oz, potom sa moment elementárnych námah vzhľadom na túto os musí rovnať nule, t.j.

Ak tu dosadíme hodnotu σ z (5.8), zistíme

Integrál na ľavej strane tejto rovnosti, ako je známe, je odstredivý moment zotrvačnosti úseku okolo osí y a z, takže

Osi, voči ktorým je odstredivý moment zotrvačnosti úseku rovný nule, sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti tohto úseku. Ak navyše prechádzajú ťažiskom úseku, možno ich nazvať hlavnými stredovými osami zotrvačnosti úseku. Pri plochom čistom ohybe sú teda smer roviny pôsobenia ohybových síl a neutrálna os prierezu hlavnými stredovými osami zotrvačnosti tohto prierezu. Inými slovami, na získanie plochého čistého ohybu nosníka naň nemôže byť ľubovoľne aplikované zaťaženie: musí sa znížiť na sily pôsobiace v rovine, ktorá prechádza jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti sekcií nosníka; v tomto prípade bude ďalšou hlavnou stredovou osou zotrvačnosti neutrálna os úseku.

Ako je známe, v prípade úseku, ktorý je symetrický okolo akejkoľvek osi, je os symetrie jednou z jeho hlavných centrálnych osí zotrvačnosti. V dôsledku toho v tomto konkrétnom prípade určite získame čistý ohyb použitím príslušných zaťažení v rovine prechádzajúcej pozdĺžnou osou nosníka a osou symetrie jeho rezu. Priamka, kolmá na os súmernosti a prechádzajúca ťažiskom úseku, je neutrálnou osou tohto úseku.

Po určení polohy neutrálnej osi nie je ťažké nájsť veľkosť napätia v ktoromkoľvek bode rezu. Pretože súčet momentov elementárnych síl vzhľadom na neutrálnu os yy musí byť rovný ohybovému momentu, potom

odkiaľ, dosadením hodnoty σ z (5.8), zistíme

Keďže integrál je moment zotrvačnosti rezu okolo osi y, potom

a z výrazu (5.8) dostaneme

Súčin EI Y sa nazýva ohybová tuhosť nosníka.

Najväčšie ťahové a najväčšie tlakové napätie v absolútnej hodnote pôsobí v bodoch úseku, pre ktorý je absolútna hodnota z najväčšia, teda v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi. S označeniami, Obr. 95 majú

Hodnota Jy / h1 sa nazýva moment odporu úseku voči natiahnutiu a označuje sa Wyr; podobne sa Jy/h2 nazýva moment odporu úseku proti stlačeniu

a označujú Wyc, tak

a preto

Ak je neutrálna os osou symetrie rezu, potom h1 = h2 = h/2 a následne Wyp = Wyc, takže nie je potrebné rozlišovať medzi nimi a používajú rovnaké označenie:

nazývame W y jednoducho modul rezu. Preto v prípade rezu symetrického podľa neutrálnej osi,

Všetky vyššie uvedené závery sú získané na základe predpokladu, že prierezy nosníka, keď sú ohnuté, zostávajú ploché a kolmé na jeho os (hypotéza plochých sekcií). Ako je znázornené, tento predpoklad platí iba vtedy, ak krajné (koncové) časti nosníka zostanú ploché počas ohýbania. Na druhej strane z hypotézy o plochých úsekoch vyplýva, že elementárne sily v takýchto úsekoch by mali byť rozdelené podľa lineárneho zákona. Preto pre platnosť získanej teórie plochého čistého ohybu je potrebné, aby ohybové momenty na koncoch nosníka boli aplikované vo forme elementárnych síl rozložených po výške prierezu podľa lineárneho zákona (obr. 96), ktorý sa zhoduje so zákonom rozloženia napätia pozdĺž výšky priečnych nosníkov. Na základe Saint-Venantovho princípu však možno tvrdiť, že zmena spôsobu aplikácie ohybových momentov na koncoch nosníka spôsobí len lokálne deformácie, ktorých účinok sa prejaví len v určitej vzdialenosti od týchto konce (približne rovnajúce sa výške úseku). Časti umiestnené vo zvyšku dĺžky nosníka zostanú ploché. V dôsledku toho uvedená teória plochého čistého ohybu s akoukoľvek metódou aplikácie ohybových momentov platí len v strednej časti dĺžky nosníka, umiestnenej vo vzdialenostiach od jeho koncov približne rovnakých ako výška prierezu. Z toho je zrejmé, že táto teória je zjavne nepoužiteľná, ak výška úseku presahuje polovicu dĺžky alebo rozpätia nosníka.

ohnúť



Základné pojmy o ohýbaní

Deformácia ohybom je charakterizovaná stratou priamosti alebo pôvodného tvaru čiarou lúča (jej osou) pri pôsobení vonkajšieho zaťaženia. V tomto prípade, na rozdiel od šmykovej deformácie, čiara lúča plynulo mení svoj tvar.
Je ľahké vidieť, že odolnosť proti ohybu je ovplyvnená nielen plochou prierezu nosníka (nosník, tyč atď.), Ale aj geometrickým tvarom tohto úseku.

Keďže teleso (nosník, nosník atď.) je ohnuté vzhľadom na ľubovoľnú os, odpor v ohybe je ovplyvnený veľkosťou axiálneho momentu zotrvačnosti časti telesa vzhľadom na túto os.
Pre porovnanie, počas torznej deformácie je časť telesa vystavená krúteniu vzhľadom na pól (bod), preto polárny moment zotrvačnosti tejto časti ovplyvňuje torznú odolnosť.

Mnoho konštrukčných prvkov môže pracovať na ohýbaní - nápravy, hriadele, nosníky, ozubenie, páky, tyče atď.

Pri odolnosti materiálov sa uvažuje o niekoľkých typoch ohybov:
- v závislosti od charakteru vonkajšieho zaťaženia pôsobiaceho na nosník rozlišujú čistý ohyb A priečny ohyb ;
- v závislosti od polohy roviny pôsobenia ohybového zaťaženia vzhľadom na os nosníka - rovný zákrut A šikmý ohyb.

Čisté a priečne ohýbanie lúča

Čistý ohyb je typ deformácie, pri ktorej sa v akomkoľvek priereze nosníka vyskytuje iba ohybový moment ( ryža. 2).
K deformácii čistého ohybu dôjde napríklad vtedy, ak na priamy lúč v rovine prechádzajúcej osou pôsobia dve dvojice síl rovnakej veľkosti a opačného znamienka. Potom budú v každej sekcii nosníka pôsobiť iba ohybové momenty.

Ak k ohybu dôjde v dôsledku pôsobenia priečnej sily na tyč ( ryža. 3), potom sa takýto ohyb nazýva priečny. V tomto prípade v každom úseku nosníka pôsobí priečna sila aj ohybový moment (okrem úseku, na ktorý vonkajšie zaťaženie).

Ak má nosník aspoň jednu os symetrie a rovina pôsobenia zaťažení sa s ňou zhoduje, dôjde k priamemu ohybu, ak táto podmienka nie je splnená, dôjde k šikmému ohybu.

Pri štúdiu ohybovej deformácie si v duchu predstavíme, že nosník (nosník) pozostáva z nespočetného množstva pozdĺžnych vlákien rovnobežných s osou.
Aby sme vizualizovali deformáciu priameho ohybu, vykonáme experiment s gumenou tyčou, na ktorej je aplikovaná mriežka pozdĺžnych a priečnych čiar.
Pri vystavení takejto tyče priamemu ohybu si možno všimnúť, že ( ryža. 1):

Priečne čiary zostanú pri deformácii rovné, ale budú sa navzájom otáčať pod uhlom;
- úseky nosníka sa roztiahnu v priečnom smere na konkávnej strane a zúžia na konvexnej strane;
- pozdĺžne priamky budú zakrivené.

Z tejto skúsenosti možno usúdiť, že:

Pre čisté ohýbanie platí hypotéza o plochých úsekoch;
- vlákna ležiace na konvexnej strane sú natiahnuté, na konkávnej strane stlačené a na hranici medzi nimi leží neutrálna vrstva vlákien, ktoré sa len ohýbajú bez zmeny dĺžky.

Za predpokladu, že hypotéza o netlaku vlákien je spravodlivá, možno tvrdiť, že pri čistom ohybe v priereze nosníka vznikajú len normálne ťahové a tlakové napätia, ktoré sú po priereze nerovnomerne rozložené.
Priamka priesečníka neutrálnej vrstvy s rovinou prierezu sa nazýva neutrálna os. Je zrejmé, že normálové napätia na neutrálnej osi sú rovné nule.

Ohybový moment a šmyková sila

Ako je známe z teoretickej mechaniky, podperné reakcie nosníkov sa určujú zostavením a riešením rovníc statickej rovnováhy pre celý nosník. Pri riešení problémov odolnosti materiálov a určovaní súčiniteľov vnútornej sily v prútoch sme brali do úvahy reakcie väzieb spolu s vonkajším zaťažením pôsobiacim na prúty.
Na určenie súčiniteľov vnútornej sily použijeme metódu rezu a nosník znázorníme len jednou čiarou - osou, na ktorú pôsobia aktívne a reaktívne sily (zaťaženia a reakcie väzieb).

Zvážte dva prípady:

1. Na nosník pôsobia dve rovnaké a opačné dvojice síl.
Berúc do úvahy vyváženie časti lúča umiestnenej vľavo alebo vpravo od časti 1-1 (obr. 2), vidíme, že vo všetkých prierezoch existuje iba ohybový moment M a rovný vonkajšiemu momentu. Ide teda o prípad čistého ohýbania.

Ohybový moment je výsledný moment okolo neutrálnej osi vnútorných normálových síl pôsobiacich v priereze nosníka.

Venujme pozornosť tomu, že ohybový moment má rozdielny smer vľavo a vpravo pravé časti trámy. To poukazuje na nevhodnosť pravidla znakov statiky pri určovaní znaku ohybového momentu.

2. Na nosník pôsobia aktívne a reaktívne sily (zaťaženia a reakcie väzieb) kolmé na os. (ryža. 3). Vzhľadom na vyváženie častí nosníka umiestnených vľavo a vpravo vidíme, že ohybový moment M by mal pôsobiť v prierezoch A a šmyková sila Q.
Z toho vyplýva, že v posudzovanom prípade pôsobia v bodoch prierezov nielen normálové napätia zodpovedajúce ohybovému momentu, ale aj tangenciálne napätia zodpovedajúce priečnej sile.

Priečna sila je výslednicou vnútorných tangenciálnych síl v priereze nosníka.

Venujme pozornosť tomu, že šmyková sila má opačný smer pre ľavú a pravú časť nosníka, čo poukazuje na nevhodnosť pravidla statických znakov pri určovaní znamienka šmykovej sily.

Ohyb, pri ktorom v priereze nosníka pôsobí ohybový moment a priečna sila, sa nazýva priečny.



Pre nosník v rovnováhe s pôsobením plochej sústavy síl je algebraický súčet momentov všetkých aktívnych a reaktívnych síl voči ľubovoľnému bodu rovný nule; preto súčet momentov vonkajších síl pôsobiacich na nosník naľavo od rezu sa číselne rovná súčtu momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na nosník napravo od rezu.
teda ohybový moment v reze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov okolo ťažiska rezu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na nosník vpravo alebo vľavo od rezu.

Pre nosník v rovnováhe pri pôsobení rovinnej sústavy síl kolmých na os (t. j. sústavy rovnobežných síl) je algebraický súčet všetkých vonkajších síl nulový; preto súčet vonkajších síl pôsobiacich na nosník naľavo od rezu sa číselne rovná algebraickému súčtu síl pôsobiacich na nosník napravo od rezu.
teda priečna sila v sekcii nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich vpravo alebo vľavo od sekcie.

Keďže pravidlá znakov statiky sú neprijateľné pre stanovenie znakov ohybového momentu a priečnej sily, stanovíme pre ne iné pravidlá značiek, a to: nosník konvexný nahor, potom sa ohybový moment v reze považuje za negatívny ( Obrázok 4a).

Ak súčet vonkajších síl ležiacich na ľavej strane rezu dáva výslednicu smerujúcu nahor, potom sa šmyková sila v reze považuje za pozitívnu, ak výslednica smeruje nadol, potom sa šmyková sila v reze považuje za negatívnu; pre časť lúča umiestnenú napravo od rezu budú znaky priečnej sily opačné ( ryža. 4b). Pomocou týchto pravidiel by sme si mali v duchu predstaviť časť lúča ako pevne upnutú a spojenia ako vyradené a nahradené reakciami.

Ešte raz podotýkame, že na určenie reakcií väzieb sa používajú pravidlá znakov statiky a na určenie znakov ohybového momentu a priečnej sily pravidlá znakov odolnosti materiálov.
Pravidlo znakov pre ohybové momenty sa niekedy nazýva „dažďové pravidlo“, čo znamená, že v prípade vydutia smerom nadol sa vytvorí lievik, v ktorom sa zadržiava dažďová voda (znamienko je kladné) a naopak - ak je pod pôsobenie zaťažení nosník sa oblúkovito ohýba nahor, voda na ňom nemešká (znamienko ohybových momentov je záporné).

Materiály sekcie "Ohýbanie":

Ohyb je typ deformácie, pri ktorej je pozdĺžna os nosníka ohnutá. Priame nosníky pracujúce na ohybe sa nazývajú nosníky. Priamy ohyb je ohyb, v ktorom vonkajšie sily pôsobiace na nosník ležia v rovnakej rovine (silovej rovine) prechádzajúcej pozdĺžnou osou nosníka a hlavnou stredovou osou zotrvačnosti prierezu.

Ohyb sa nazýva čistý, ak sa v ľubovoľnom priereze nosníka vyskytne iba jeden ohybový moment.

Ohyb, pri ktorom v priereze nosníka súčasne pôsobí ohybový moment a priečna sila, sa nazýva priečny. Priesečník roviny sily a roviny prierezu sa nazýva siločiara.

Vnútorné silové faktory pri ohybe nosníka.

Pri plochom priečnom ohybe v prierezoch nosníka vznikajú dva vnútorné silové faktory: priečna sila Q a ohybový moment M. Na ich určenie sa používa metóda rezu (pozri prednášku 1). Priečna sila Q v priereze nosníka sa rovná algebraickému súčtu priemetov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného prierezu do roviny rezu.

Znamenkové pravidlo pre šmykové sily Q:

Ohybový moment M v úseku nosníka sa rovná algebraickému súčtu momentov okolo ťažiska tohto úseku všetkých vonkajších síl pôsobiacich na jednu stranu uvažovaného úseku.

Znamenkové pravidlo pre ohybové momenty M:

Zhuravského diferenciálne závislosti.

Medzi intenzitou q rozloženého zaťaženia sú nastavené výrazy pre priečnu silu Q a ohybový moment M diferenciálne závislosti:

Na základe týchto závislostí je možné rozlíšiť nasledovné všeobecné vzory diagramy priečnych síl Q a ohybových momentov M:

Osobitosti diagramov súčiniteľov vnútornej sily v ohybe.

1. Na úseku nosníka, kde nie je žiadne rozložené zaťaženie, sa zobrazí graf Q priamka , rovnobežne so základňou diagramu a diagram M je naklonená priamka (obr. a).

2. V úseku, kde pôsobí sústredená sila, by na Q diagrame malo byť skok rovná hodnote tejto sily a na diagrame M - bod zlomu (obr. a).

3. V úseku, kde sa uplatňuje sústredený moment, sa hodnota Q nemení a diagram M má skok , ktorá sa rovná hodnote tohto momentu, (obr. 26, b).

4. V úseku lúča s rozloženým zaťažením intenzity q sa diagram Q mení podľa lineárneho zákona a diagram M - podľa parabolického a konvexnosť paraboly smeruje k smeru rozloženého zaťaženia (obr. c, d).

5. Ak v rámci charakteristického úseku diagramu Q pretína základ diagramu, potom v úseku, kde Q = 0, má ohybový moment extrémnu hodnotu M max alebo M min (obr. d).

Normálne ohybové napätia.

Určené podľa vzorca:

Moment odolnosti sekcie proti ohybu je hodnota:

Nebezpečný úsek pri ohýbaní sa nazýva prierez nosníka, v ktorom vzniká maximálne normálové napätie.

Tangenciálne napätia v priamom ohybe.

Určený Zhuravského vzorec pre šmykové napätia pri rovný zákrut nosníky:

kde Sots - statický moment priečnej oblasti odrezanej vrstvy pozdĺžnych vlákien vzhľadom na neutrálnu čiaru.

Výpočty pevnosti v ohybe.

1. o overovací výpočet určí sa maximálne návrhové napätie, ktoré sa porovná s dovoleným napätím:

2. o návrhový výpočet výber časti nosníka sa vykonáva z podmienky:

3. Pri určovaní prípustného zaťaženia sa prípustný ohybový moment určuje z podmienky:

Ohýbacie pohyby.

Pri pôsobení ohybového zaťaženia je os lúča ohnutá. V tomto prípade dochádza k naťahovaniu vlákien na konvexné a stlačenie - na konkávne časti lúča. Okrem toho dochádza k vertikálnemu pohybu ťažísk prierezov a ich rotácii voči neutrálnej osi. Na charakterizáciu deformácie počas ohýbania sa používajú tieto pojmy:

Vychýlenie lúča Y- posunutie ťažiska prierezu nosníka v smere kolmom na jeho os.

Vychýlenie sa považuje za kladné, ak sa ťažisko pohybuje nahor. Veľkosť vychýlenia sa mení po dĺžke lúča, t.j. y=y(z)

Uhol natočenia sekcie- uhol θ, o ktorý je každá sekcia otočená vzhľadom na svoju pôvodnú polohu. Uhol otočenia sa považuje za pozitívny, keď sa časť otáča proti smeru hodinových ručičiek. Hodnota uhla natočenia sa mení pozdĺž dĺžky lúča, pričom je funkciou θ = θ (z).

Najbežnejším spôsobom určenia posunov je metóda mora A Vereščaginovo pravidlo.

Mohrova metóda.

Postup na určenie posunov podľa Mohrovej metódy:

1. "Pomocný systém" je postavený a zaťažený jediným zaťažením v bode, kde sa má určiť posunutie. Ak je určené lineárne posunutie, potom v jeho smere pôsobí jednotková sila, pri určovaní uhlových posunov sa aplikuje jednotkový moment.

2. Pre každý úsek systému sa zaznamenávajú vyjadrenia ohybových momentov M f od pôsobiaceho zaťaženia a M 1 - od jedného zaťaženia.

3. Mohrove integrály sa vypočítajú a spočítajú vo všetkých častiach systému, výsledkom čoho je požadované posunutie:

4. Ak má vypočítaný posun kladné znamienko, znamená to, že jeho smer sa zhoduje so smerom jednotkovej sily. Záporné znamienko znamená, že skutočný posun je opačný ako smer jednotkovej sily.

Vereščaginovo pravidlo.

V prípade, že diagram ohybových momentov z daného zaťaženia má ľubovoľný a z jedného zaťaženia - priamočiary obrys, je vhodné použiť graficko-analytickú metódu alebo Vereshchaginovo pravidlo.

kde A f je plocha diagramu ohybového momentu M f od daného zaťaženia; y c je ordináta diagramu od jedného zaťaženia pod ťažiskom diagramu M f ; EI x - prierezová tuhosť prierezu nosníka. Výpočty podľa tohto vzorca sa robia v častiach, z ktorých každá musí byť priamka bez zlomov. Hodnota (A f *y c) sa považuje za pozitívnu, ak sú oba diagramy umiestnené na rovnakej strane lúča, za zápornú, ak sú umiestnené na opačných stranách. Pozitívny výsledok násobenia diagramov znamená, že smer pohybu sa zhoduje so smerom jednotkovej sily (alebo momentu). Komplexný diagram M f je potrebné rozdeliť na jednoduché obrazce (používa sa tzv. „epure vrstvenie“), pre každý z nich je ľahké určiť súradnicu ťažiska. V tomto prípade sa plocha každého obrázku vynásobí súradnicou pod jeho ťažiskom.

Hypotéza plochých rezov pri ohýbaní možno vysvetliť na príklade: naneste na bočnú plochu nedeformovaného nosníka mriežku pozostávajúcu z pozdĺžnych a priečnych (kolmých na os) priamych čiar. V dôsledku ohybu nosníka nadobudnú pozdĺžne čiary krivočiary tvar, zatiaľ čo priečne čiary zostanú prakticky rovné a kolmé na os ohybu nosníka.

Formulácia hypotézy rovinného rezu: prierezy, ktoré sú ploché a kolmé na os nosníka pred , zostávajú ploché a kolmé na zakrivenú os po jeho deformácii.

Táto okolnosť naznačuje, že kedy hypotéza plochého rezu, ako s a

Okrem hypotézy o plochých rezoch sa predpokladá: pozdĺžne vlákna nosníka sa pri ohýbaní navzájom nestláčajú.

Hypotéza plochých rezov a predpoklad sú tzv Bernoulliho dohad.

Uvažujme o lúči obdĺžnikového prierezu s čistým ohybom (). Vyberieme nosníkový prvok s dĺžkou (obr. 7.8. a). V dôsledku ohýbania sa prierezy lúča otáčajú a vytvárajú uhol. Horné vlákna sú v tlaku a spodné vlákna sú v napätí. Polomer zakrivenia neutrálneho vlákna je označený .

Podmienečne uvažujeme, že vlákna menia svoju dĺžku, pričom zostávajú rovné (obr. 7.8. b). Potom absolútne a relatívne predĺženie vlákna vo vzdialenosti y od neutrálneho vlákna:

Ukážme, že pozdĺžne vlákna, ktoré pri ohýbaní nosníka nie sú ťahané ani stláčané, prechádzajú hlavnou stredovou osou x.

Keďže dĺžka nosníka sa pri ohýbaní nemení, pozdĺžna sila (N) vznikajúca v priereze musí byť nulová. Elementárna pozdĺžna sila.

Vzhľadom na výraz :

Násobiteľ môže byť vyňatý zo znamienka integrálu (nezávisí od integračnej premennej).

Výraz predstavuje prierez lúča vzhľadom na neutrálnu os x. Je nulový, keď neutrálna os prechádza ťažiskom prierezu. V dôsledku toho neutrálna os (nulová čiara) pri ohýbaní lúča prechádza cez ťažisko prierezu.

Je zrejmé: ohybový moment je spojený s normálnymi napätiami, ktoré sa vyskytujú v bodoch prierezu tyče. Elementárny ohybový moment vytvorený elementárnou silou:

,

kde je osový moment zotrvačnosti prierezu okolo neutrálnej osi x a pomer je zakrivenie osi lúča.

Tuhosť nosníky v ohýbaní(čím väčší, tým menší je polomer zakrivenia).

Výsledný vzorec predstavuje Hookov zákon v ohýbaní pre tyč: ohybový moment vyskytujúci sa v priereze je úmerný zakriveniu osi nosníka.

Vyjadrenie zo vzorca Hookovho zákona pre tyč pri ohýbaní polomeru zakrivenia () a dosadzovanie jeho hodnoty do vzorca , získame vzorec pre normálové napätia () v ľubovoľnom bode prierezu nosníka, vzdialenom vo vzdialenosti y od neutrálnej osi x: .

Vo vzorci pre normálové napätia () v ľubovoľnom bode prierezu nosníka by sa mali nahradiť absolútne hodnoty ohybového momentu () a vzdialenosť od bodu k neutrálnej osi (súradnice y). . Či bude napätie v danom bode ťahové alebo tlakové, sa dá ľahko určiť podľa charakteru deformácie nosníka alebo pomocou diagramu ohybových momentov, ktorých súradnice sú vynesené zo strany stlačených vlákien nosníka.

Je to zrejmé zo vzorca: normálové napätia () sa menia pozdĺž výšky prierezu nosníka podľa lineárneho zákona. Na obr. 7.8 je znázornený graf. Najväčšie napätia pri ohybe nosníka sa vyskytujú v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi. Ak je v priereze lúča nakreslená čiara rovnobežná s neutrálnou osou x, potom vo všetkých jej bodoch vznikajú rovnaké normálové napätia.

Jednoduchá analýza diagramy normálneho napätia ukazuje, že keď je lúč ohnutý, materiál umiestnený v blízkosti neutrálnej osi prakticky nefunguje. Preto sa na zníženie hmotnosti nosníka odporúča voliť tvary prierezu, v ktorých je väčšina materiálu odstránená z neutrálnej osi, ako je napríklad I-profil.

Rovný priečny ohyb nastane, keď všetky zaťaženia pôsobia kolmo na os tyče, ležia v rovnakej rovine a navyše rovina ich pôsobenia sa zhoduje s jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti úseku. Priamy priečny ohyb sa týka obyčajný pohľad odpor a je rovinný stresový stav, t.j. dve hlavné napätia sú odlišné od nuly. Pri tomto type deformácie vznikajú vnútorné sily: priečna sila a ohybový moment. Špeciálny prípad priameho priečneho ohybu je čistý ohyb, s takým odporom sú sekcie nákladu, v ktorých mizne priečna sila a ohybový moment je nenulový. V prierezoch tyčí s priamym priečnym ohybom vznikajú normálové a šmykové napätia. Napätia sú funkciou vnútornej sily, v tomto prípade normálové napätia sú funkciou ohybového momentu a tangenciálne napätia sú funkciou priečnej sily. Pre priame priečne ohýbanie sa zavádza niekoľko hypotéz:

1) Prierezy nosníka, ktoré sú pred deformáciou ploché, zostávajú po deformácii ploché a kolmé na neutrálnu vrstvu (hypotéza plochých rezov alebo hypotéza J. Bernoulliho). Táto hypotéza platí pre čistý ohyb a je porušená, keď sa objaví šmyková sila, šmykové napätia a uhlová deformácia.

2) Medzi pozdĺžnymi vrstvami nie je vzájomný tlak (hypotéza o netlaku vlákien). Z tejto hypotézy vyplýva, že pozdĺžne vlákna zažívajú jednoosové napätie alebo stlačenie, preto pri čistom ohybe platí Hookov zákon.

Tyč prechádzajúca ohýbaním sa nazýva lúč. Pri ohýbaní sa jedna časť vlákien natiahne, druhá časť sa stlačí. Vrstva vlákien medzi napnutými a stlačenými vláknami je tzv neutrálna vrstva, prechádza ťažiskom sekcií. Čiara jeho priesečníka s prierezom lúča sa nazýva neutrálna os. Na základe zavedených hypotéz pre čistý ohyb sa získa vzorec na určenie normálových napätí, ktorý sa používa aj pre priamy priečny ohyb. Normálne napätie možno nájsť pomocou lineárneho vzťahu (1), v ktorom je pomer ohybového momentu k osovému momentu zotrvačnosti (
) v určitej sekcii je konštantná hodnota a vzdialenosť ( r) pozdĺž zvislej osi od ťažiska úseku po bod, v ktorom sa určuje napätie, sa mení od 0 do
.

. (1)

Na určenie šmykového napätia pri ohýbaní v roku 1856. Ruský inžinier-staviteľ mostov D.I. Zhuravsky získal závislosť

. (2)

Šmykové napätie v konkrétnom úseku nezávisí od pomeru priečnej sily k osovému momentu zotrvačnosti (
), pretože táto hodnota sa nemení v rámci jedného úseku, ale závisí od pomeru statického momentu plochy odrezaného dielu k šírke prierezu na úrovni odrezaného dielu (
).

Pri priamom priečnom ohybe sú pohyby: vychýlenie (v ) a uhly natočenia (Θ ) . Na ich určenie sa používajú rovnice metódy počiatočných parametrov (3), ktoré sa získajú integráciou diferenciálnej rovnice ohnutej osi nosníka (
).

Tu v 0 , Θ 0 ,M 0 , Q 0 - počiatočné parametre, X – vzdialenosť od začiatku súradníc k úseku, v ktorom je definovaný posun , a je vzdialenosť od začiatku súradníc k miestu aplikácie alebo začiatku zaťaženia.

Výpočet pevnosti a tuhosti sa vykonáva pomocou podmienok pevnosti a tuhosti. Pomocou týchto podmienok možno riešiť overovacie problémy (vykonať overenie splnenia podmienky), určiť veľkosť prierezu, prípadne zvoliť prípustnú hodnotu parametra zaťaženia. Existuje niekoľko podmienok pevnosti, niektoré z nich sú uvedené nižšie. Kondícia sily pre normálny stres vyzerá ako:

, (4)

Tu
– modul prierezu vzhľadom na os z, R – konštrukčná odolnosť pre bežné stresy.

Podmienka pevnosti pre šmykové napätia vyzerá ako:

, (5)

tu je zápis rovnaký ako vo vzorci Žuravského, a R s - návrhová šmyková odolnosť alebo návrhová šmyková odolnosť.

Pevnostný stav podľa tretej pevnostnej hypotézy alebo hypotéza najväčších šmykových napätí môže byť napísaná v tejto forme:

. (6)

Podmienky tuhosti môže byť napísané pre priehyby (v ) A uhly rotácie (Θ ) :

kde platia hodnoty posunutia v hranatých zátvorkách.

Ukážka splnenia individuálnej úlohy č.4 (termín 2-8 týždňov)