Ploché ohybové tyče. Rovný priečny ohyb. Jednoduché typy odporu. plochý ohyb

Plochý priečny ohyb trámy. Vnútorné ohybové sily. Diferenciálne závislosti vnútorných síl. Pravidlá pre kontrolu diagramov vnútorných síl v ohybe. Normálne a šmykové napätie pri ohybe. Výpočet pevnosti pre normálové a šmykové napätia.

10. JEDNODUCHÉ TYPY ODPORU. PLOCHÝ OHYB

10.1. Všeobecné pojmy a definície

Ohýbanie je druh zaťaženia, pri ktorom je tyč zaťažovaná momentmi v rovinách prechádzajúcich pozdĺžnou osou tyče.

Tyč, ktorá pracuje pri ohýbaní, sa nazýva nosník (alebo tyč). V budúcnosti budeme uvažovať o priamych nosníkoch, ktorých prierez má aspoň jednu os symetrie.

V odolnosti materiálov je ohyb plochý, šikmý a zložitý.

Ploché ohýbanie je ohyb, pri ktorom všetky sily ohýbajúce nosník ležia v jednej z rovín symetrie nosníka (v jednej z hlavných rovín).

Hlavné roviny zotrvačnosti lúča sú roviny prechádzajúce hlavnými osami priečnych rezov a geometrickou osou lúča (os x).

Šikmý ohyb je ohyb, v ktorom zaťaženia pôsobia v jednej rovine, ktorá sa nezhoduje s hlavnými rovinami zotrvačnosti.

Komplexný ohyb je ohyb, pri ktorom zaťaženia pôsobia v rôznych (ľubovoľných) rovinách.

10.2. Stanovenie vnútorných ohybových síl

Uvažujme dva charakteristické prípady ohybu: v prvom prípade je konzolový nosník ohnutý sústredeným momentom M o; v druhom sústredenou silou F.

Metódou mentálnych rezov a zostavením rovnováh rovnováhy pre odrezané časti nosníka určíme vnútorné sily v oboch prípadoch:

Ostatné rovnovážne rovnice sú zjavne identicky rovné nule.

Vo všeobecnom prípade plochého ohybu v časti nosníka teda zo šiestich vnútorných síl vznikajú dve - ohybový moment M z a šmyková sila Q y (alebo pri ohybe okolo inej hlavnej osi - ohybový moment M y a priečna sila Q z ).

V tomto prípade, v súlade s dvoma uvažovanými prípadmi zaťaženia, môže byť ploché ohýbanie rozdelené na čisté a priečne.

Čistý ohyb je plochý ohyb, pri ktorom zo šiestich vnútorných síl vzniká v úsekoch tyče iba jedna - ohybový moment (pozri prvý prípad).

priečny ohyb- ohyb, pri ktorom okrem vnútorného ohybového momentu vzniká v úsekoch tyče aj priečna sila (pozri druhý prípad).

Prísne vzaté, iba čisté ohýbanie patrí k jednoduchým druhom odporu; priečny ohyb sa podmienečne označuje ako jednoduché typy odporu, pretože vo väčšine prípadov (pre dostatočne dlhé nosníky) možno pri výpočtoch pevnosti zanedbať pôsobenie priečnej sily.

Pri určovaní vnútorných síl sa budeme držať nasledujúceho pravidla znakov:

1) priečna sila Q y sa považuje za pozitívnu, ak má tendenciu otáčať uvažovaný prvok nosníka v smere hodinových ručičiek;

2) ohybový moment Mz sa považuje za kladné, ak pri ohýbaní lúčového prvku sú horné vlákna prvku stlačené a spodné vlákna sú natiahnuté (dáždnikové pravidlo).

Riešenie problému určenia vnútorných síl pri ohybe bude teda postavené podľa nasledujúceho plánu: 1) v prvej fáze, berúc do úvahy rovnovážne podmienky konštrukcie ako celku, určíme, ak je to potrebné, neznáme reakcie podpier (všimnite si, že pre konzolový nosník môžu byť a nie sú nájdené reakcie v osadení, ak uvažujeme nosník z voľného konca); 2) v druhej fáze vyberieme charakteristické úseky nosníka, pričom za hranice úsekov berieme body pôsobenia síl, body zmeny tvaru alebo rozmerov nosníka, body upevnenia nosníka; 3) v tretej fáze určujeme vnútorné sily v sekciách nosníka, pričom berieme do úvahy podmienky rovnováhy pre prvky nosníka v každom z rezov.

10.3. Diferenciálne závislosti v ohybe

Stanovme niektoré vzťahy medzi vnútornými silami a vonkajšími zaťaženiami v ohybe, ako aj vlastnosti diagramy Q a M , ktorých znalosť uľahčí konštrukciu diagramov a umožní vám kontrolovať ich správnosť. Pre uľahčenie zápisu budeme označovať: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Priraďme malý prvok dx v reze nosníka s ľubovoľným zaťažením v mieste, kde nie sú sústredené sily a momenty. Pretože je celý nosník v rovnováhe, prvok dx bude v rovnováhe aj pri pôsobení priečnych síl naň pôsobiacich, ohybových momentov a vonkajšieho zaťaženia. Pretože Q a M sa vo všeobecnosti menia pozdĺž osi nosníka, potom v úsekoch prvku dx budú pôsobiť priečne sily Q a Q + dQ , ako aj ohybové momenty M a M + dM . Z podmienky rovnováhy vybraného prvku získame

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ Mo = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Z druhej rovnice, zanedbajúc člen q dx (dx /2) ako nekonečne malé množstvo druhého rádu, zistíme

Vyvolajú sa vzťahy (10.1), (10.2) a (10.3). diferenciálne závislosti D. I. Zhuravského v ohybe.

Analýza vyššie uvedeného diferenciálne závislosti v ohýbaní vám umožňuje stanoviť niektoré funkcie (pravidlá) na vytváranie diagramov ohybových momentov a šmykových síl:

a - v oblastiach, kde nie je rozložené zaťaženie q, diagramy Q sú obmedzené na priamky rovnobežné so základňou a diagramy M - šikmé priame čiary;

b - v oblastiach, kde na nosník pôsobí rozložené zaťaženie q, sú diagramy Q obmedzené naklonenými priamkami a diagramy M sú obmedzené kvadratickými parabolami. Súčasne, ak postavíme diagram M „na napnutom vlákne“, potom konvexnosť pa-

práca bude smerovať v smere pôsobenia q a extrém sa bude nachádzať v úseku, kde dej Q pretína základnú čiaru;

c - v úsekoch, kde na lúč pôsobí sústredená sila, na Q diagrame dôjde k skokom o hodnotu a v smere tejto sily a na M diagrame sú zalomenia, hrot smeruje v smere tohto sila; d - v úsekoch, kde na lúč na pozemku pôsobí sústredený moment

v re Q nenastanú žiadne zmeny a na diagrame M budú skoky o hodnotu tohto momentu; e - v oblastiach, kde Q > 0, sa moment M zvyšuje a v oblastiach, kde Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normálne napätia v čistom ohybe priameho nosníka

Uvažujme prípad čistého rovinného ohybu nosníka a odvodíme vzorec na určenie normálových napätí pre tento prípad. Všimnite si, že v teórii pružnosti je možné získať presnú závislosť pre normálové napätia v čistom ohybe, ale ak je tento problém vyriešený metódami odolnosti materiálov, je potrebné zaviesť určité predpoklady.

Existujú tri takéto hypotézy ohýbania:

a – hypotéza plochého rezu (Bernoulliho hypotéza)

- ploché úseky pred deformáciou zostávajú po deformácii ploché, ale otáčajú sa iba voči určitej priamke, ktorá sa nazýva neutrálna os prierezu nosníka. V tomto prípade budú vlákna lúča, ležiace na jednej strane neutrálnej osi, natiahnuté a na druhej strane stlačené; vlákna ležiace na neutrálnej osi nemenia svoju dĺžku;

b - hypotéza o stálosti normálových napätí

nii - napätia pôsobiace v rovnakej vzdialenosti y od neutrálnej osi sú konštantné po celej šírke lúča;

c – hypotéza o absencii bočných tlakov –

sivé pozdĺžne vlákna na seba netlačia.

Čistý ohyb nazývaný tento typ ohýbania, v ktorom prebieha akcia iba ohybový moment(Obr. 3.5, a). V duchu nakreslíme rovinu rezu I-I kolmú na pozdĺžnu os lúča vo vzdialenosti * od voľného konca lúča, na ktorý pôsobí vonkajší moment mz . Vykonajte činnosti podobné tým, ktoré sme vykonali pri určovaní napätí a deformácií počas krútenia, a to:

• 1) zostavte rovnovážne rovnice mentálne odrezanej časti dielu;
• 2) určíme deformáciu materiálu súčiastky na základe podmienok pre kompatibilitu deformácií elementárnych objemov daného prierezu;
• 3) vyriešiť rovnice rovnováhy a kompatibility deformácií.

Z podmienky rovnováhy rezu lúča (obr. 3.5, Obr. b)

dostaneme, že moment vnútorných síl Mz rovná momentu vonkajších síl t: M = t.

Ryža. 3.5.

Moment vnútorných síl vytvárajú normálové napätia o v smerujúce pozdĺž osi x. Pri čistom ohybe neexistujú žiadne vonkajšie sily, takže súčet priemetov vnútorných síl na ľubovoľnú súradnicovú os je nulový. Na tomto základe zapíšeme podmienky rovnováhy vo forme rovnosti

kde ALE- plocha prierezu nosníka (tyče).

V čistom ohybe, vonkajšie sily F x, F, F v ako aj momenty vonkajších síl t x, t y sa rovnajú nule. Preto sú ostatné rovnice rovnováhy identicky rovné nule.

Z podmienky rovnováhy pre o > 0 vyplýva, že

normálne napätie s x v priereze nadobúdajú kladné aj záporné hodnoty. (Skúsenosti ukazujú, že pri ohýbaní sa materiál spodnej strany nosníka na obr. 3.5, resp. a natiahnutá a horná je stlačená.) Následne sú v priereze pri ohýbaní také elementárne objemy (prechodovej vrstvy z kompresie do napätia), v ktorých nedochádza k predĺženiu ani stlačeniu. to - neutrálna vrstva. Priamka priesečníka neutrálnej vrstvy s rovinou prierezu sa nazýva neutrálna čiara.

Podmienky pre kompatibilitu deformácií elementárnych objemov pri ohýbaní sa vytvárajú na základe hypotézy plochých profilov: ploché pred ohybom prierezy nosníky (pozri obr. 3.5, b) zostane plochý aj po ohnutí (obr. 3.6).

V dôsledku pôsobenia vonkajšieho momentu sa lúč ohýba a roviny rezov I-I a II-II sa navzájom otáčajú o uhol D Y(Obr. 3.6, b). Pri čistom ohýbaní je deformácia všetkých úsekov pozdĺž osi lúča rovnaká, preto je polomer pk zakrivenia neutrálnej vrstvy lúča pozdĺž osi x rovnaký. Pretože dx= p k dip, potom sa zakrivenie neutrálnej vrstvy rovná 1 / p k = dip / dx a je konštantná po celej dĺžke lúča.

Neutrálna vrstva sa nedeformuje, jej dĺžka pred a po deformácii je rovná dx. Pod touto vrstvou je materiál natiahnutý, nad ním stlačený.

Ryža. 3.6.

Hodnota predĺženia napnutej vrstvy, ktorá sa nachádza vo vzdialenosti y od neutrálnej vrstvy, sa rovná ydq Relatívne predĺženie tejto vrstvy:

V prevzatom modeli sa teda získa lineárna distribúcia deformácií v závislosti od vzdialenosti daného elementárneho objemu od neutrálnej vrstvy, t.j. pozdĺž výšky časti nosníka. Za predpokladu, že nedochádza k vzájomnému stláčaniu rovnobežných vrstiev materiálu na seba (o y \u003d 0, a, \u003d 0), píšeme Hookov zákon pre lineárne napätie:

Podľa (3.13) normálne stresy v priereze sú nosníky rozdelené podľa lineárneho zákona. Napätie elementárneho objemu materiálu, najvzdialenejšieho od neutrálnej vrstvy (obr. 3.6, Obr. v), maximálne a rovné

? Úloha 3.6

Určte medzu pružnosti oceľovej čepele s hrúbkou / = 4 mm a dĺžkou / = 80 cm, ak jej ohyb do polkruhu nespôsobí trvalú deformáciu.

Riešenie

Ohybové napätie o v = EÚ/ p k. Vezmime si y max = t/ 2i p k = / / do.

Limit pružnosti musí zodpovedať podmienke s yn > c v = 1/2 kE t/1.

Odpoveď: asi = ] / 2 až 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; medza klzu tejto ocele je m > 1800 MPa, čo prevyšuje m najsilnejších pružinových ocelí. ?

? Úloha 3.7

Určte minimálny polomer bubna na navíjanie pásky s hrúbkou / = 0,1 mm vyhrievacieho telesa zo zliatiny niklu, pri ktorej sa materiál pásky plasticky nedeformuje. modul E= 1,6 10 5 MPa, medza pružnosti o yn = 200 MPa.

odpoveď: minimálny polomer р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-1011 0,110-3 / (200106) = = 0,04 m.?

1. Spoločným riešením prvej rovnice rovnováhy (3.12) a rovnice kompatibility deformácie (3.13) získame

Význam E/ r k f 0 a rovnaké pre všetky prvky dA oblasť integrácie. Preto je táto rovnosť splnená iba pod podmienkou

Tento integrál sa nazýva statický moment plochy prierezu okolo osiz? Aký je fyzikálny význam tohto integrálu?

Vezmime si platňu konštantnej hrúbky /, ale ľubovoľného profilu (obr. 3.7). Zaveste tento tanier na bod OD tak, aby bol vo vodorovnej polohe. Symbolom y m označujeme mernú hmotnosť materiálu dosky, potom hmotnosť elementárneho objemu s plochou dA rovná sa dq= y JdA. Keďže doska je v rovnovážnom stave, potom od rovnosti k nule priemetov síl na os pri dostaneme

kde G= y MtA- hmotnosť dosky.

Ryža. 3.7.

Súčet momentov síl všetkých síl okolo osi z prechod v ktorejkoľvek časti dosky sa tiež rovná nule:

Vzhľadom na to Y c = g, zapísať

Ak teda integrál tvaru J xdA podľa oblasti ALE rovná sa

nula teda x c = 0. To znamená, že bod C sa zhoduje s ťažiskom platne. Preto z rovnosti Sz = J ydA= 0 pri

ohyb vyplýva, že ťažisko prierezu lúča je na neutrálnej čiare.

Preto hodnota u s prierez lúča je nulový.

• 1. Neutrálna čiara pri ohýbaní prechádza ťažiskom prierezu nosníka.
• 2. Ťažisko prierezu je ťažisko redukcie momentov vonkajších a vnútorných síl.

Úloha 3.8

Úloha 3.9

2. Spoločným riešením druhej rovnice rovnováhy (3.12) a rovnice kompatibility deformácie (3.13) získame

Integrálne Jz= J y2dA volal moment zotrvačnosti priečnika

časť nosníka (tyče) vzhľadom na os z, prechádzajúci ťažiskom prierezu.

Touto cestou, M z \u003d E J z / p k. Vzhľadom na to c x = Ee x = Ey/ p k a E/ p k = a x / y, získame závislosť normálových napätí oh pri ohýbaní:

1. Napätie v ohybe v danom bode rezu nezávisí od modulu normálnej pružnosti E, ale závisí od geometrického parametra prierezu Jz a vzdialenosť pri od tohto bodu do ťažiska prierezu.

2. Maximálne napätie pri ohýbaní prebieha v elementárnych objemoch, najvzdialenejších od neutrálnej čiary (pozri obr. 3.6, v):

kde Wz- moment odporu prierezu okolo osi Z-

Podmienka pevnosti v čistom ohybe je podobná podmienke pevnosti v lineárnom ťahu:

kde [a m | - prípustné napätie v ohybe.

Je zrejmé, že vnútorné objemy materiálu, najmä v blízkosti neutrálnej osi, nie sú prakticky zaťažené (pozri obr. 3.6, v). To je v rozpore s požiadavkou minimalizovať spotrebu materiálu konštrukcie. Niektoré spôsoby prekonania tohto rozporu budú uvedené nižšie.

Sily pôsobiace kolmo na os lúča a umiestnené v rovine prechádzajúcej touto osou spôsobujú deformáciu tzv. priečny ohyb. Ak je rovina pôsobenia spomínaných síl – hlavná rovina, potom je priamy (plochý) priečny ohyb. V opačnom prípade sa ohyb nazýva šikmý priečny. Lúč, ktorý je prevažne vystavený ohybu, sa nazýva lúč 1 .

V podstate priečne ohýbanie je kombináciou čistého ohýbania a šmyku. V súvislosti so zakrivením prierezov v dôsledku nerovnomerného rozloženia šmykov po výške vyvstáva otázka možnosti aplikácie normálneho vzorca napätia σ X odvodené pre čisté ohýbanie na základe hypotézy plochých rezov.

1 Jednopoľový nosník, ktorý má na koncoch jednu valcovú pevnú podperu a jednu valcovú pohyblivú v smere osi nosníka, sa nazýva jednoduché. Lúč s jedným pevným koncom a druhým voľným koncom sa nazýva konzoly. Nazýva sa jednoduchý nosník, ktorý má jednu alebo dve časti visiace nad podperou konzoly.

Ak sú navyše úseky odobraté ďaleko od miest pôsobenia zaťaženia (vo vzdialenosti nie menšej ako polovica výšky úseku nosníka), potom, ako v prípade čistého ohýbania, možno predpokladať, že vlákna na seba nevyvíjajú tlak. To znamená, že každé vlákno zažíva jednoosové napätie alebo stlačenie.

Pri pôsobení rozloženého zaťaženia sa priečne sily v dvoch susedných úsekoch budú líšiť o hodnotu rovnajúcu sa qdx. Preto bude zakrivenie sekcií tiež trochu iné. Okrem toho budú vlákna na seba vyvíjať tlak. Starostlivé štúdium problematiky ukazuje, že ak je dĺžka lúča l pomerne veľký v porovnaní s jeho výškou h (l/ h> 5), potom ani pri rozloženom zaťažení tieto faktory nemajú významný vplyv na normálové napätia v priereze, a preto sa v praktických výpočtoch nemusia brať do úvahy.

a B C

Ryža. 10,5 Obr. 10.6

V úsekoch pod sústredeným zaťažením a v ich blízkosti je rozloženie σ X sa odchyľuje od lineárneho zákona. Táto odchýlka, ktorá má lokálny charakter a nie je sprevádzaná nárastom najväčších napätí (v extrémnych vláknach), sa v praxi väčšinou neberie do úvahy.

Teda s priečnym ohybom (v rovine hu) normálové napätia sa vypočítajú podľa vzorca

σ X= – [Mz(X)/Iz]r.

Ak nakreslíme dve susedné časti na časť tyče, ktorá je nezaťažená, potom bude priečna sila v oboch častiach rovnaká, čo znamená, že zakrivenie častí bude rovnaké. V tomto prípade akýkoľvek kúsok vlákna ab(Obr.10.5) sa presunie do novej polohy a"b" bez toho, aby sa podrobil dodatočnému predĺženiu, a teda bez zmeny veľkosti normálneho napätia.

Určme šmykové napätia v priereze prostredníctvom ich párových napätí pôsobiacich v pozdĺžnom reze nosníka.

Vyberte z lišty prvok s dĺžkou dx(obr. 10.7 a). Nakreslíme vodorovný rez na diaľku pri od neutrálnej osi z, pričom prvok rozdelíme na dve časti (obr. 10.7) a zvážime vyváženie hornej časti, ktorá má základ

šírka b. V súlade so zákonom o párovaní šmykových napätí sa napätia pôsobiace v pozdĺžnom reze rovnajú napätiam pôsobiacim v priereze. S ohľadom na to, za predpokladu, že šmykové napätia v mieste b rovnomerne rozložené, použijeme podmienku ΣX = 0, dostaneme:

N*- (N*+dN*)+

kde: N * - výslednica normálových síl σ v ľavom priereze prvku dx v rámci „odrezanej“ oblasti A * (obr. 10.7 d):

kde: S \u003d - statický moment „odrezanej“ časti prierezu (tieňovaná oblasť na obr. 10.7 c). Preto môžeme napísať:

Potom môžete napísať:

Tento vzorec získal v 19. storočí ruský vedec a inžinier D.I. Žuravského a nesie jeho meno. A hoci je tento vzorec približný, keďže priemeruje napätie po šírke prierezu, výsledky výpočtov získané pomocou neho sú v dobrej zhode s experimentálnymi údajmi.

Aby bolo možné určiť šmykové napätia v ľubovoľnom bode úseku vo vzdialenosti y od osi z, mali by sme:

Určte z diagramu veľkosť priečnej sily Q pôsobiacej v reze;

Vypočítajte moment zotrvačnosti I z celého úseku;

Nakreslite cez tento bod rovinu rovnobežnú s rovinou xz a určiť šírku sekcie b;

Vypočítajte statický moment oblasti rozhrania S vzhľadom na hlavnú stredovú os z a dosaďte nájdené hodnoty do Zhuravského vzorca.

Definujme ako príklad šmykové napätia v obdĺžnikovom priereze (obr. 10.6, c). Statický moment okolo osi zčasti rezu nad čiarou 1-1, na ktorých sa určuje napätie, zapíšeme v tvare:

Mení sa podľa zákona štvorcovej paraboly. Šírka sekcie v pre pravouhlý nosník je konštantný, potom zákon zmeny šmykových napätí v reze bude tiež parabolický (obr. 10.6, c). Pre y = a y = − sú tangenciálne napätia rovné nule a na neutrálnej osi z dosiahnu svoj najvyšší bod.

Pre nosník s kruhovým prierezom na neutrálnej osi máme

ohnúť



Základné pojmy o ohýbaní

Deformácia ohybom je charakterizovaná stratou priamosti alebo pôvodného tvaru čiarou lúča (jej osou) pri pôsobení vonkajšieho zaťaženia. V tomto prípade, na rozdiel od šmykovej deformácie, čiara lúča plynulo mení svoj tvar.
Je ľahké vidieť, že odolnosť voči ohybu je ovplyvnená nielen plochou prierezu nosníka (nosník, tyč atď.), Ale aj geometrickým tvarom tohto úseku.

Keďže teleso (nosník, nosník atď.) je ohnuté vzhľadom na ľubovoľnú os, odpor v ohybe je ovplyvnený veľkosťou axiálneho momentu zotrvačnosti časti telesa vzhľadom na túto os.
Pre porovnanie, počas torznej deformácie je časť telesa vystavená krúteniu vzhľadom na pól (bod), preto polárny moment zotrvačnosti tejto časti ovplyvňuje torznú odolnosť.

Mnoho konštrukčných prvkov môže pracovať na ohýbaní - nápravy, hriadele, nosníky, ozubenie, páky, tyče atď.

Pri odolnosti materiálov sa uvažuje o niekoľkých typoch ohybov:
- v závislosti od charakteru vonkajšieho zaťaženia pôsobiaceho na nosník rozlišujú čistý ohyb a priečny ohyb;
- v závislosti od polohy roviny pôsobenia ohybového zaťaženia vzhľadom na os nosníka - rovný zákrut a šikmý ohyb.

Čisté a priečne ohýbanie lúča

Čistý ohyb je typ deformácie, pri ktorej sa v akomkoľvek priereze nosníka vyskytuje iba ohybový moment ( ryža. 2).
K deformácii čistého ohybu dôjde napríklad vtedy, ak na priamy lúč v rovine prechádzajúcej osou pôsobia dve dvojice síl rovnakej veľkosti a opačného znamienka. Potom budú v každej sekcii nosníka pôsobiť iba ohybové momenty.

Ak k ohybu dôjde v dôsledku pôsobenia priečnej sily na tyč ( ryža. 3), potom sa takýto ohyb nazýva priečny. V tomto prípade v každom úseku nosníka pôsobí priečna sila aj ohybový moment (okrem úseku, na ktorý vonkajšie zaťaženie).

Ak má nosník aspoň jednu os symetrie a rovina pôsobenia zaťažení sa s ňou zhoduje, dôjde k priamemu ohybu, ak táto podmienka nie je splnená, dôjde k šikmému ohybu.

Pri štúdiu ohybovej deformácie si v duchu predstavíme, že nosník (nosník) pozostáva z nespočetného množstva pozdĺžnych vlákien rovnobežných s osou.
Aby sme vizualizovali deformáciu priameho ohybu, vykonáme experiment s gumenou tyčou, na ktorej je aplikovaná mriežka pozdĺžnych a priečnych čiar.
Pri vystavení takejto tyče priamemu ohybu si možno všimnúť, že ( ryža. jeden):

Priečne čiary zostanú pri deformácii rovné, ale budú sa navzájom otáčať pod uhlom;
- úseky nosníka sa roztiahnu v priečnom smere na konkávnej strane a zúžia na konvexnej strane;
- pozdĺžne priamky budú zakrivené.

Z tejto skúsenosti možno usúdiť, že:

Pre čisté ohýbanie platí hypotéza o plochých úsekoch;
- vlákna ležiace na konvexnej strane sú natiahnuté, na konkávnej strane stlačené a na hranici medzi nimi leží neutrálna vrstva vlákien, ktoré sa len ohýbajú bez zmeny dĺžky.

Za predpokladu, že hypotéza o netlaku vlákien je spravodlivá, možno tvrdiť, že pri čistom ohybe v priereze nosníka vznikajú len normálne ťahové a tlakové napätia, ktoré sú po priereze nerovnomerne rozložené.
Priamka priesečníka neutrálnej vrstvy s rovinou prierezu sa nazýva neutrálna os. Je zrejmé, že normálové napätia na neutrálnej osi sú rovné nule.

Ohybový moment a šmyková sila

Ako je známe z teoretickej mechaniky, podperné reakcie nosníkov sa určujú zostavením a riešením rovníc statickej rovnováhy pre celý nosník. Pri riešení problémov odolnosti materiálov a určovaní súčiniteľov vnútornej sily v prútoch sme brali do úvahy reakcie väzieb spolu s vonkajším zaťažením pôsobiacim na prúty.
Na určenie súčiniteľov vnútornej sily použijeme metódu rezu a nosník znázorníme len jednou čiarou - osou, na ktorú pôsobia aktívne a reaktívne sily (zaťaženia a reakcie väzieb).

Zvážte dva prípady:

1. Na nosník pôsobia dve rovnaké a opačné dvojice síl.
Berúc do úvahy vyváženie časti lúča umiestnenej vľavo alebo vpravo od časti 1-1 (obr. 2), vidíme, že vo všetkých prierezoch existuje iba ohybový moment M a rovný vonkajšiemu momentu. Ide teda o prípad čistého ohýbania.

Ohybový moment je výsledný moment okolo neutrálnej osi vnútorných normálových síl pôsobiacich v priereze nosníka.

Venujme pozornosť tomu, že ohybový moment má rozdielny smer vľavo a vpravo pravé časti trámy. To poukazuje na nevhodnosť pravidla znakov statiky pri určovaní znaku ohybového momentu.

2. Na nosník pôsobia aktívne a reaktívne sily (zaťaženia a reakcie väzieb) kolmé na os. (ryža. 3). Vzhľadom na vyváženie častí nosníka umiestnených vľavo a vpravo vidíme, že ohybový moment M by mal pôsobiť v prierezoch a a šmyková sila Q.
Z toho vyplýva, že v posudzovanom prípade pôsobia v bodoch prierezov nielen normálové napätia zodpovedajúce ohybovému momentu, ale aj tangenciálne napätia zodpovedajúce priečnej sile.

Priečna sila je výslednicou vnútorných tangenciálnych síl v priereze nosníka.

Venujme pozornosť tomu, že šmyková sila má opačný smer pre ľavú a pravú časť nosníka, čo poukazuje na nevhodnosť pravidla statických znakov pri určovaní znamienka šmykovej sily.

Ohyb, pri ktorom v priereze nosníka pôsobí ohybový moment a priečna sila, sa nazýva priečny.



Pre nosník v rovnováhe s pôsobením plochej sústavy síl je algebraický súčet momentov všetkých aktívnych a reaktívnych síl voči ľubovoľnému bodu rovný nule; preto súčet momentov vonkajších síl pôsobiacich na nosník naľavo od rezu sa číselne rovná súčtu momentov všetkých vonkajších síl pôsobiacich na nosník napravo od rezu.
Touto cestou, ohybový moment v reze nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu momentov okolo ťažiska rezu všetkých vonkajších síl pôsobiacich na nosník vpravo alebo vľavo od rezu.

Pre nosník v rovnováhe pri pôsobení rovinnej sústavy síl kolmých na os (t. j. sústavy rovnobežných síl) je algebraický súčet všetkých vonkajších síl nulový; preto súčet vonkajších síl pôsobiacich na nosník naľavo od rezu sa číselne rovná algebraickému súčtu síl pôsobiacich na nosník napravo od rezu.
Touto cestou, priečna sila v sekcii nosníka sa číselne rovná algebraickému súčtu všetkých vonkajších síl pôsobiacich vpravo alebo vľavo od sekcie.

Keďže pravidlá znakov statiky sú neprijateľné pre stanovenie znakov ohybového momentu a priečnej sily, stanovíme pre ne iné pravidlá značiek, a to: nosník konvexný nahor, potom sa ohybový moment v reze považuje za negatívny ( Obrázok 4a).

Ak súčet vonkajších síl ležiacich na ľavej strane rezu dáva výslednicu smerujúcu nahor, potom sa šmyková sila v reze považuje za pozitívnu, ak výslednica smeruje nadol, potom sa šmyková sila v reze považuje za negatívnu; pre časť lúča umiestnenú napravo od rezu budú znaky priečnej sily opačné ( ryža. 4b). Pomocou týchto pravidiel by sme si mali v duchu predstaviť časť lúča ako pevne upnutú a spojenia ako vyradené a nahradené reakciami.

Ešte raz podotýkame, že na určenie reakcií väzieb sa používajú pravidlá znakov statiky a na určenie znakov ohybového momentu a priečnej sily pravidlá znakov odolnosti materiálov.
Pravidlo znakov pre ohybové momenty sa niekedy nazýva „dažďové pravidlo“, čo znamená, že v prípade vydutia smerom nadol sa vytvorí lievik, v ktorom sa zadržiava dažďová voda (znamienko je kladné) a naopak - ak je pod pôsobenie zaťažení nosník sa oblúkovito ohýba nahor, voda na ňom nemešká (znamienko ohybových momentov je záporné).

Materiály sekcie "Ohýbanie":

Začíname s najjednoduchším prípadom, takzvaným čistým ohýbaním.

Čisté ohýbanie je špeciálny prípad ohýbania, pri ktorom je priečna sila v sekciách nosníka nulová. K čistému ohybu môže dôjsť len vtedy, keď je vlastná hmotnosť nosníka taká malá, že jej vplyv možno zanedbať. Pre nosníky na dvoch podperách, príklady zaťažení, ktoré spôsobujú sieť

ohyb, znázornený na obr. 88. Na úsekoch týchto nosníkov, kde Q \u003d 0 a teda M \u003d konšt; je tam čistý ohyb.

Sily v ktoromkoľvek úseku lúča s čistým ohybom sú redukované na dvojicu síl, ktorých rovina pôsobenia prechádza osou lúča a moment je konštantný.

Napätia možno určiť na základe nasledujúcich úvah.

1. Dotykové zložky síl na elementárnych plochách v priereze nosníka nemožno redukovať na dvojicu síl, ktorých rovina pôsobenia je kolmá na rovinu rezu. Z toho vyplýva, že ohybová sila v reze je výsledkom pôsobenia na elementárne plochy

iba normálové sily, a preto sa pri čistom ohybe napätia redukujú len na normálne.

2. Aby sa úsilie na elementárnych platformách zredukovalo len na pár síl, musia byť medzi nimi pozitívne aj negatívne. Preto musia existovať napnuté aj stlačené vlákna lúča.

3. Vzhľadom na to, že sily v rôznych rezoch sú rovnaké, napätia v zodpovedajúcich bodoch rezov sú rovnaké.

Zvážte akýkoľvek prvok v blízkosti povrchu (obr. 89, a). Pretože na jeho spodnú stranu, ktorá sa zhoduje s povrchom nosníka, nepôsobia žiadne sily, nie sú na ňom žiadne napätia. Preto na hornej strane prvku nevznikajú žiadne napätia, pretože inak by prvok nebol v rovnováhe.

Rovnaký záver atď. Z toho vyplýva, že pozdĺž vodorovných plôch žiadneho prvku nie sú žiadne napätia. Ak vezmeme do úvahy prvky, ktoré tvoria vodorovnú vrstvu, počnúc prvkom v blízkosti povrchu nosníka (obr. 90), dospejeme k záveru, že pozdĺž bočných zvislých plôch žiadneho prvku nie sú žiadne napätia. Teda stav napätia akéhokoľvek prvku (obr. 91, a), a v limite vlákna, musí byť reprezentovaný tak, ako je znázornené na obr. 91b, t.j. môže to byť buď axiálne napätie alebo axiálna kompresia.

4. Vzhľadom na symetriu pôsobenia vonkajších síl by mal úsek pozdĺž stredu dĺžky nosníka po deformácii zostať plochý a kolmý na os nosníka (obr. 92, a). Z rovnakého dôvodu zostávajú úseky v štvrtinách dĺžky lúča ploché a kolmé na os lúča (obr. 92, b), ak počas deformácie zostanú ploché a kolmé na os lúča iba krajné časti lúča. Podobný záver platí aj pre úseky v osminách dĺžky nosníka (obr. 92, c) atď. Ak teda krajné úseky nosníka zostanú ploché počas ohýbania, potom pre ktorýkoľvek úsek zostane

je spravodlivé povedať, že po deformácii zostáva plochý a kolmý na os zakriveného nosníka. Ale v tomto prípade je zrejmé, že zmena predĺženia vlákien lúča pozdĺž jeho výšky by mala nastať nielen nepretržite, ale aj monotónne. Ak vrstvu nazývame súborom vlákien, ktoré majú rovnaké predĺženia, potom z toho, čo bolo povedané, vyplýva, že natiahnuté a stlačené vlákna lúča by sa mali nachádzať na opačných stranách vrstvy, v ktorej sú predĺženia vlákna rovné nule. Vlákna, ktorých predĺženie sa rovná nule, budeme nazývať neutrálne; vrstva pozostávajúca z neutrálnych vlákien - neutrálna vrstva; čiara priesečníka neutrálnej vrstvy s rovinou prierezu lúča - neutrálna čiara tohto rezu. Potom, na základe predchádzajúcich úvah, možno tvrdiť, že pri čistom ohybe lúča v každej z jeho sekcií existuje neutrálna čiara, ktorá rozdeľuje túto sekciu na dve časti (zóny): zóna napnutých vlákien (napnutá zóna) a zóna stlačených vlákien (stlačená zóna ). V súlade s tým by normálne ťahové napätia mali pôsobiť v bodoch natiahnutej zóny prierezu, tlakové napätia v bodoch stlačenej zóny a v bodoch neutrálnej čiary sú napätia rovné nule.

Takže s čistým ohybom lúča konštantného prierezu:

1) v sekciách pôsobia iba normálové napätia;

2) celý úsek je možné rozdeliť na dve časti (zóny) - natiahnuté a stlačené; hranica zón je neutrálna čiara rezu, v bodoch ktorej sú normálové napätia rovné nule;

3) ktorýkoľvek pozdĺžny prvok nosníka (v medziach akékoľvek vlákno) je vystavený axiálnemu ťahu alebo stlačeniu, takže susedné vlákna navzájom neinteragujú;

4) ak krajné časti lúča počas deformácie zostanú ploché a kolmé na os, potom všetky jeho prierezy zostanú ploché a kolmé na os zakriveného lúča.

Stav napätia nosníka v čistom ohybe

Uvažujme o prvku lúča, ktorý podlieha čistému ohybu, na záver merané medzi úsekmi m-m a n-n, ktoré sú od seba vzdialené v nekonečne malej vzdialenosti dx (obr. 93). Vzhľadom na ustanovenie (4) predchádzajúceho odseku rezy m-m a n-n, ktoré boli pred deformáciou rovnobežné, po ohnutí ostali ploché, budú zvierať uhol dQ a pretínajú sa pozdĺž priamky prechádzajúcej bodom C, ktorý je stredom. zakrivenia neutrálneho vlákna NN. Potom sa časť AB vlákna uzavretá medzi nimi, ktorá sa nachádza vo vzdialenosti z od neutrálneho vlákna (kladný smer osi z je braný smerom ku konvexite lúča pri ohýbaní), sa zmení na oblúk A "B" po Segment neutrálneho vlákna O1O2, ktorý sa zmení na oblúk O1O2, nezmení svoju dĺžku, zatiaľ čo vlákno AB dostane predĺženie:

pred deformáciou

po deformácii

kde p je polomer zakrivenia neutrálneho vlákna.

Preto je absolútna ťažnosť segmentu AB

a predĺženie

Pretože podľa polohy (3) je vlákno AB vystavené axiálnemu napätiu, potom elastickej deformácii

Z toho je vidieť, že normálové napätia pozdĺž výšky nosníka sú rozdelené podľa lineárneho zákona (obr. 94). Pretože rovnaká sila všetkého úsilia na všetkých základných častiach sekcie sa musí rovnať nule

odkiaľ, dosadením hodnoty z (5.8), nájdeme

Ale posledný integrál je statický moment okolo osi Oy, ktorá je kolmá na rovinu pôsobenia ohybových síl.

Táto os musí vzhľadom na svoju rovnosť nule prechádzať ťažiskom O rezu. Neutrálna čiara časti nosníka je teda priamka yy, kolmá na rovinu pôsobenia ohybových síl. Nazýva sa neutrálna os časti lúča. Potom z (5.8) vyplýva, že napätia v bodoch ležiacich v rovnakej vzdialenosti od neutrálnej osi sú rovnaké.

Prípad čistého ohybu, v ktorom ohybové sily pôsobia iba v jednej rovine a spôsobujú ohyb iba v tejto rovine, je čistý rovinný ohyb. Ak menovaná rovina prechádza osou Oz, potom sa moment elementárnych námah vzhľadom na túto os musí rovnať nule, t.j.

Ak tu dosadíme hodnotu σ z (5.8), zistíme

Integrál na ľavej strane tejto rovnosti, ako je známe, je odstredivý moment zotrvačnosti úseku okolo osí y a z, takže

Osi, voči ktorým je odstredivý moment zotrvačnosti úseku rovný nule, sa nazývajú hlavné osi zotrvačnosti tohto úseku. Ak navyše prechádzajú ťažiskom úseku, možno ich nazvať hlavnými stredovými osami zotrvačnosti úseku. Pri plochom čistom ohybe sú teda smer roviny pôsobenia ohybových síl a neutrálna os prierezu hlavnými stredovými osami zotrvačnosti tohto prierezu. Inými slovami, na získanie plochého čistého ohybu nosníka naň nemôže byť ľubovoľne aplikované zaťaženie: musí sa znížiť na sily pôsobiace v rovine, ktorá prechádza jednou z hlavných centrálnych osí zotrvačnosti sekcií nosníka; v tomto prípade bude ďalšou hlavnou stredovou osou zotrvačnosti neutrálna os úseku.

Ako je známe, v prípade úseku, ktorý je symetrický okolo akejkoľvek osi, je os symetrie jednou z jeho hlavných centrálnych osí zotrvačnosti. V dôsledku toho v tomto konkrétnom prípade určite získame čistý ohyb použitím príslušných zaťažení v rovine prechádzajúcej pozdĺžnou osou nosníka a osou symetrie jeho rezu. Priamka, kolmá na os súmernosti a prechádzajúca ťažiskom úseku, je neutrálnou osou tohto úseku.

Po určení polohy neutrálnej osi nie je ťažké nájsť veľkosť napätia v ktoromkoľvek bode rezu. Pretože súčet momentov elementárnych síl vzhľadom na neutrálnu os yy musí byť rovný ohybovému momentu, potom

odkiaľ, dosadením hodnoty σ z (5.8), zistíme

Keďže integrál je moment zotrvačnosti rezu okolo osi y, potom

a z výrazu (5.8) dostaneme

Súčin EI Y sa nazýva ohybová tuhosť nosníka.

Najväčšie ťahové a najväčšie tlakové napätie v absolútnej hodnote pôsobí v bodoch úseku, pre ktorý je absolútna hodnota z najväčšia, teda v bodoch najvzdialenejších od neutrálnej osi. S označeniami, Obr. 95 majú

Hodnota Jy / h1 sa nazýva moment odporu úseku voči natiahnutiu a označuje sa Wyr; podobne sa Jy/h2 nazýva moment odporu úseku proti stlačeniu

a označujú Wyc, tak

a preto

Ak je neutrálna os osou symetrie rezu, potom h1 = h2 = h/2 a následne Wyp = Wyc, takže nie je potrebné rozlišovať medzi nimi a používajú rovnaké označenie:

nazývame W y jednoducho modul rezu. Preto v prípade rezu symetrického podľa neutrálnej osi,

Všetky vyššie uvedené závery sú získané na základe predpokladu, že prierezy nosníka, keď sú ohnuté, zostávajú ploché a kolmé na jeho os (hypotéza plochých sekcií). Ako je znázornené, tento predpoklad platí iba vtedy, ak krajné (koncové) časti nosníka zostanú ploché počas ohýbania. Na druhej strane z hypotézy o plochých úsekoch vyplýva, že elementárne sily v takýchto úsekoch by mali byť rozdelené podľa lineárneho zákona. Preto pre platnosť získanej teórie plochého čistého ohybu je potrebné, aby ohybové momenty na koncoch nosníka boli aplikované vo forme elementárnych síl rozložených po výške prierezu podľa lineárneho zákona (obr. 96), ktorý sa zhoduje so zákonom rozloženia napätia pozdĺž výšky priečnych nosníkov. Na základe Saint-Venantovho princípu však možno tvrdiť, že zmena spôsobu aplikácie ohybových momentov na koncoch nosníka spôsobí len lokálne deformácie, ktorých účinok sa prejaví len v určitej vzdialenosti od týchto konce (približne rovnajúce sa výške úseku). Časti umiestnené vo zvyšku dĺžky nosníka zostanú ploché. V dôsledku toho uvedená teória plochého čistého ohybu s akoukoľvek metódou aplikácie ohybových momentov platí len v strednej časti dĺžky nosníka, umiestnenej vo vzdialenostiach od jeho koncov približne rovnakých ako výška prierezu. Z toho je zrejmé, že táto teória je zjavne nepoužiteľná, ak výška úseku presahuje polovicu dĺžky alebo rozpätia nosníka.