Rezistența la încovoiere transversală. Curăță curbă. Dependențe diferențiale ale lui Zhuravsky
Îndoirea este un tip de deformare în care axa longitudinală a grinzii este îndoită. Grinzile drepte care se îndoaie se numesc grinzi. Îndoirea directă este o îndoire în care forțele externe care acționează asupra grinzii se află într-un singur plan (planul forței) care trece prin axa longitudinală a grinzii și prin axa centrală principală de inerție. secțiune transversală.
Îndoirea se numește pură, dacă apare un singur moment încovoietor în orice secțiune transversală a grinzii.
Încovoiere, în care un moment încovoietor și un moment încovoietor acționează simultan în secțiunea transversală a grinzii. forta bruta, se numește transversal. Linia de intersecție a planului forței și a planului secțiunii transversale se numește linie de forță.
Factori de forță interni în timpul îndoirii grinzii.
Când plat încovoiere transversalăîn secțiunile grinzii, apar doi factori de forță interni: forța tăietoare Q și momentul încovoietor M. Pentru determinarea acestora se folosește metoda secțiunilor (vezi prelegerea 1). Forța transversală Q în secțiunea grinzii este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe planul de secțiune a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare.
Regula semnului pentru forțele tăietoare Q:
Momentul încovoietor M într-o secțiune a grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor relativ la centrul de greutate al acestei secțiuni a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare.
Regula semnului pentru momentele încovoietoare M:
Dependențe diferențiale ale lui Zhuravsky.
S-au stabilit relații diferențiale între intensitatea q a sarcinii distribuite, expresiile pentru forța transversală Q și momentul încovoietor M:
Pe baza acestor dependențe, se pot distinge următoarele: tipare generale diagrame ale forțelor transversale Q și momentelor încovoietoare M:
Caracteristicile diagramelor factorilor de forță interni în timpul îndoirii.
1. În secțiunea grinzii în care nu există sarcină distribuită, este prezentată diagrama Q linie dreapta , paralel cu baza diagramei, iar diagrama M - o linie dreaptă înclinată (Fig. a).
2. În secțiunea în care se aplică o forță concentrată, Q ar trebui să fie pe diagramă salt , egală cu valoarea acestei forțe, iar pe diagrama M - punctul limita (Fig. a).
3. În secțiunea în care se aplică un moment concentrat, valoarea lui Q nu se modifică, iar diagrama M are salt , egală cu valoarea acestui moment (Fig. 26, b).
4. Într-o secțiune a unui fascicul cu o sarcină distribuită de intensitate q, diagrama Q se modifică conform unei legi liniare, iar diagrama M se modifică conform unei legi parabolice și convexitatea parabolei este îndreptată spre direcția sarcinii distribuite (Fig. c, d).
5. Dacă, în cadrul unei secțiuni caracteristice, diagrama Q intersectează baza diagramei, atunci în secțiunea în care Q = 0, momentul încovoietor are o valoare extremă M max sau M min (Fig. d).
Tensiuni normale de încovoiere.
Determinat prin formula:
Momentul de rezistență al unei secțiuni la încovoiere este mărimea:
Secțiune transversală periculoasă în timpul îndoirii se numește secțiunea transversală a grinzii în care apare solicitarea normală maximă.
Tensiuni de forfecare în timpul îndoirii drepte.
Determinat de formula lui Zhuravsky pentru tensiuni de forfecare la curba dreaptă grinzi:
unde S ots este momentul static al zonei transversale a stratului tăiat de fibre longitudinale în raport cu linia neutră.
Calcule ale rezistenței la încovoiere.
1. La calculul de verificare Tensiunea maximă de proiectare este determinată și comparată cu efortul admisibil:
2. La calcul de proiectare selectarea secțiunii grinzii se face din condiția:
3. La determinarea sarcinii admisibile, momentul încovoietor admisibil este determinat din condiția:
Mișcări de îndoire.
Sub influența sarcinii de încovoiere, axa grinzii se îndoaie. În acest caz, se observă tensiunea fibrelor pe partea convexă și compresia pe partea concavă a fasciculului. În plus, există o mișcare verticală a centrelor de greutate ale secțiunilor transversale și rotația lor față de axa neutră. Pentru a caracteriza deformarea la încovoiere, se folosesc următoarele concepte:
Deviația fasciculului Y- deplasarea centrului de greutate al secțiunii transversale a fasciculului în direcția perpendiculară pe axa acesteia.
Deviația este considerată pozitivă dacă centrul de greutate se mișcă în sus. Cantitatea de deviere variază de-a lungul lungimii fasciculului, adică y = y(z)
Unghiul de rotație al secțiunii- unghiul θ prin care fiecare secțiune se rotește față de poziția inițială. Unghiul de rotație este considerat pozitiv atunci când secțiunea este rotită în sens invers acelor de ceasornic. Mărimea unghiului de rotație variază pe lungimea fasciculului, fiind funcție de θ = θ (z).
Cele mai comune metode de determinare a deplasărilor este metoda MoraȘi regula lui Vereșchagin.
metoda lui Mohr.
Procedura de determinare a deplasărilor folosind metoda lui Mohr:
1. Un „sistem auxiliar” este construit și încărcat cu o sarcină unitară în punctul în care trebuie determinată deplasarea. Dacă se determină deplasarea liniară, atunci se aplică o forță unitară în direcția sa; la determinarea deplasărilor unghiulare, se aplică un moment unitar.
2. Pentru fiecare secțiune a sistemului se notează expresiile pentru momentele încovoietoare M f din sarcina aplicată și M 1 din sarcina unitară.
3. Pe toate secțiunile sistemului, integralele lui Mohr sunt calculate și însumate, rezultând deplasarea dorită:
4. Dacă deplasarea calculată are semn pozitiv, aceasta înseamnă că direcția sa coincide cu direcția forței unitare. Un semn negativ indică faptul că deplasarea reală este opusă direcției forței unității.
regula lui Vereșchagin.
Pentru cazul în care diagrama momentelor încovoietoare de la o sarcină dată are un contur arbitrar, iar dintr-o sarcină unitară - un contur rectiliniu, este convenabil să folosiți metoda grafico-analitică sau regula lui Vereshchagin.
unde A f este aria diagramei momentului încovoietor M f de la o sarcină dată; y c – ordonata diagramei dintr-o unitate de sarcină sub centrul de greutate al diagramei M f; EI x este rigiditatea secțiunii secțiunii grinzii. Calculele folosind această formulă se fac în secțiuni, în fiecare dintre acestea diagrama în linie dreaptă ar trebui să fie fără fracturi. Valoarea (A f *y c) este considerată pozitivă dacă ambele diagrame sunt situate pe aceeași parte a fasciculului, negativă dacă sunt situate pe laturi diferite. Un rezultat pozitiv al înmulțirii diagramelor înseamnă că direcția de mișcare coincide cu direcția unei forțe (sau moment) unitare. O diagramă complexă M f ar trebui împărțită în figuri simple (se folosește așa-numita „stratificare a parcelei”), pentru fiecare dintre acestea fiind ușor de determinat ordonata centrului de greutate. În acest caz, aria fiecărei figuri este înmulțită cu ordonata de sub centrul său de greutate.
Procesul de proiectare al clădirilor și structurilor moderne este reglementat de un număr mare de coduri și reglementări diferite de construcție. În cele mai multe cazuri, standardele cer ca anumite caracteristici să fie asigurate, de exemplu, deformarea sau deformarea grinzilor plăcilor de pardoseală sub sarcină statică sau dinamică. De exemplu, SNiP nr. 2.09.03-85 determină, pentru suporturi și treceri, deformarea grinzii nu este mai mare de 1/150 din lungimea travei. Pentru podele de mansardă această cifră este deja 1/200, iar pentru grinzi între podeași chiar mai puțin - 1/250. Prin urmare, una dintre etapele obligatorii de proiectare este efectuarea unui calcul al deformarii fasciculului.
Modalități de a efectua calcule și teste de deformare
Motivul pentru care SNiP-urile stabilesc astfel de restricții draconice este simplu și evident. Cu cât deformarea este mai mică, cu atât marja de rezistență și flexibilitate a structurii este mai mare. Pentru o deformare mai mică de 0,5%, elementul portant, grinda sau placa își păstrează în continuare proprietăți elastice, ceea ce garantează redistribuirea normală a forțelor și menținerea integrității întregii structuri. Pe măsură ce deformarea crește, cadrul clădirii se îndoaie, rezistă, dar stă în picioare; atunci când valoarea admisă este depășită, legăturile se rup, iar structura își pierde rigiditatea și capacitatea portantă ca o avalanșă.
- Utilizați un calculator software online, în care condițiile standard sunt „conectate” și nimic mai mult;
- Utilizați date de referință gata făcute pentru tipuri variateși tipuri de grinzi, pentru diferite modele de încărcare de susținere. Este necesar doar să se identifice corect tipul și dimensiunea fasciculului și să se determine deformarea dorită;
- Calculați deviația permisă cu mâinile și cu capul; majoritatea designerilor fac acest lucru, în timp ce controlează inspectorii de arhitectură și construcții preferă a doua metodă de calcul.
Pentru informația dumneavoastră! Pentru a înțelege cu adevărat de ce este atât de important să cunoaștem magnitudinea abaterii de la poziția inițială, merită să înțelegeți că măsurarea cantității de deviere este singura modalitate accesibilă și fiabilă de a determina starea fasciculului în practică.
Măsurând cât de mult s-a lăsat grinda tavanului, puteți determina cu o certitudine de 99% dacă structura este în paragină sau nu.
Metoda de realizare a calculelor de deformare
Înainte de a începe calculul, va trebui să vă amintiți unele dependențe din teoria rezistenței materialelor și să întocmiți o diagramă de calcul. În funcție de cât de corect este executată diagrama și de condițiile de încărcare sunt luate în considerare, acuratețea și corectitudinea calculului vor depinde.
Folosim cel mai simplu model grinda încărcată prezentată în diagramă. Cea mai simplă analogie a unei grinzi poate fi o riglă de lemn, fotografie.
În cazul nostru, fasciculul:
- Are o sectiune dreptunghiulara S=b*h, lungimea piesei de sustinere este L;
- Rigla este încărcată cu o forță Q care trece prin centrul de greutate al planului îndoit, în urma căreia capetele se rotesc printr-un unghi mic θ, cu o deviere față de poziția orizontală inițială , egal cu f;
- Capetele grinzii se sprijină cu balamale și liber pe suporturi fixe; în consecință, nu există o componentă orizontală a reacției, iar capetele riglei se pot deplasa în orice direcție.
Pentru a determina deformarea unui corp sub sarcină, utilizați formula modulului elastic, care este determinată de raportul E = R/Δ, unde E este o valoare de referință, R este forța, Δ este cantitatea de deformare a corpului .
Calculați momentele de inerție și forțele
Pentru cazul nostru, dependența va arăta astfel: Δ = Q/(S E) . Pentru o sarcină q distribuită de-a lungul grinzii, formula va arăta astfel: Δ = q h/(S E) .
Ceea ce urmează este cel mai important punct. Diagrama Young de mai sus arată deformarea unei grinzi sau deformarea unei rigle ca și cum ar fi zdrobită sub o presă puternică. În cazul nostru, grinda este îndoită, ceea ce înseamnă că la capetele riglei, în raport cu centrul de greutate, se aplică două momente de încovoiere cu semne diferite. Diagrama de încărcare pentru o astfel de grindă este prezentată mai jos.
Pentru a transforma dependența lui Young pentru momentul încovoietor, este necesar să înmulțim ambele părți ale egalității cu umărul L. Obținem Δ*L = Q·L/(b·h·E) .
Dacă ne imaginăm că unul dintre suporturi este fixat rigid, iar celui de-al doilea se va aplica un moment de echilibrare echivalent al forțelor M max = q*L*2/8, mărimea deformației grinzii va fi exprimată prin dependență. Δх = M x/((h/3) b (h/2) E). Mărimea b h 2 /6 se numește momentul de inerție și se numește W. Rezultatul este Δx = M x / (W E) formula fundamentală pentru calcularea unei grinzi pentru încovoiere W = M / E prin momentul de inerție și momentul încovoietor.
Pentru a calcula cu exactitate deformarea, va trebui să cunoașteți momentul încovoietor și momentul de inerție. Valoarea primului poate fi calculată, dar formula specifică de calcul a unei grinzi pentru deformare va depinde de condițiile de contact cu suporturile pe care se află grinda și, respectiv, de metoda de încărcare pentru o sarcină distribuită sau concentrată. Momentul încovoietor de la o sarcină distribuită se calculează folosind formula Mmax = q*L 2 /8. Formulele date sunt valabile numai pentru o sarcină distribuită. Pentru cazul în care presiunea asupra fasciculului este concentrată într-un anumit punct și adesea nu coincide cu axa de simetrie, formula de calcul a deformarii trebuie să fie derivată folosind calcul integral.
Momentul de inerție poate fi considerat ca echivalentul rezistenței unei grinzi la sarcina de încovoiere. Mărimea momentului de inerție pentru o grindă dreptunghiulară simplă poate fi calculată folosind formula simplă W=b*h 3 /12, unde b și h sunt dimensiunile secțiunii transversale ale grinzii.
Din formulă este clar că aceeași riglă sau tablă secțiune dreptunghiulară poate avea un moment de inerție complet diferit și cantitatea de deformare dacă îl puneți pe suporturi în mod tradițional sau îl puneți pe muchie. Nu e de mirare că aproape toate elementele sistem de căpriori Acoperișurile sunt realizate nu din cherestea de 100x150, ci din scânduri de 50x150.
Secțiuni reale structuri de constructii poate avea o varietate de profile, de la pătrat, cerc până la forme complexe de grinzi în I sau canale. În același timp, determinarea manuală a momentului de inerție și a cantității de deviere, „pe hârtie”, pentru astfel de cazuri devine o sarcină netrivială pentru un constructor neprofesionist.
Formule pentru utilizare practică
În practică, cel mai adesea se confruntă sarcina opusă - de a determina factorul de siguranță al podelelor sau pereților pentru un caz specific pe baza unei valori cunoscute de deformare. În domeniul construcțiilor, este foarte dificil să se evalueze factorul de siguranță folosind alte metode, nedistructive. Adesea, pe baza mărimii deformarii, este necesar să se efectueze un calcul, să se estimeze factorul de siguranță al clădirii și stare generală structuri portante. Mai mult, pe baza măsurătorilor efectuate se determină dacă deformația este acceptabilă, conform calculului, sau dacă clădirea se află în stare de urgență.
Sfat! În materie de calcul stare limită grinzile în ceea ce privește deviația, cerințele SNiP oferă un serviciu de neprețuit. Setarea limitei de deviere la mărime relativă, de exemplu, 1/250, codurile de construcție fac mult mai ușor să se determine starea de urgență a unei grinzi sau plăci.
De exemplu, dacă intenționați să cumpărați o clădire finită care a stat destul de mult timp pe un sol problematic, ar fi util să verificați starea tavanului pe baza deformarii existente. Cunoscând rata maximă de deformare admisă și lungimea grinzii, puteți evalua fără niciun calcul cât de critică este starea structurii.
Inspecția construcției, atunci când se evaluează deformarea și se evaluează capacitatea portantă a unei podele, urmează un traseu mai complicat:
- Inițial se măsoară geometria plăcii sau grinzii și se înregistrează valoarea deformarii;
- Pe baza parametrilor măsurați, se determină sortimentul fasciculului, apoi se selectează formula pentru momentul de inerție folosind cartea de referință;
- Momentul de forta este determinat de deformarea si momentul de inertie, dupa care, cunoscand materialul, se pot calcula tensiunile reale intr-o grinda de metal, beton sau lemn.
Întrebarea este de ce este atât de dificil dacă deformarea poate fi obținută folosind formula de calcul pentru o grindă simplă pe suporturi articulate f=5/24*R*L 2 /(E*h) sub o forță distribuită. Este suficient să cunoașteți lungimea deschiderii L, înălțimea profilului, rezistenta de proiectare R și modulul de elasticitate E pentru material specific plafoane
Sfat! Utilizați în calculele dumneavoastră colecțiile departamentale existente ale diferitelor organizații de proiectare, care conțin toate formulele necesare pentru determinarea și calcularea stării maxime de încărcare într-o formă condensată.
Concluzie
Majoritatea dezvoltatorilor și proiectanților de clădiri serioase acționează într-un mod similar. Programul este bun, ajută la calcularea foarte rapidă a parametrilor de deformare și de încărcare de bază ai pardoselii, dar este și important să se pună la dispoziție clientului dovezi documentare ale rezultatelor obținute sub formă de calcule secvențiale specifice pe hârtie.
Îndoiți se numește deformare în care axa tijei și toate fibrele sale, adică linii longitudinale paralele cu axa tijei, sunt îndoite sub acțiunea forțelor externe. Cel mai simplu caz de îndoire apare atunci când forțele externe se află într-un plan care trece prin axa centrală a tijei și nu produc proiecții pe această axă. Acest tip de îndoire se numește îndoire transversală. Există coturi plate și coturi oblice.
îndoire plată- un astfel de caz cand axa curbata a tijei este situata in acelasi plan in care actioneaza fortele exterioare.
Îndoire oblică (complexă).– un caz de încovoiere când axa îndoită a tijei nu se află în planul de acțiune al forțelor exterioare.
O tijă de îndoire este de obicei numită grindă.
În timpul îndoirii transversale plane a grinzilor într-o secțiune cu sistemul de coordonate y0x, pot apărea două forțe interne - forța transversală Q y și momentul încovoietor M x; în cele ce urmează introducem notaţia pentru ele QȘi M. Dacă nu există o forță transversală într-o secțiune sau secțiune a unei grinzi (Q = 0), iar momentul încovoietor nu este zero sau M este constant, atunci o astfel de îndoire este de obicei numită curat.
Forța lateralăîn orice secțiune a grinzii este numeric egal cu suma algebrică a proiecțiilor pe axa tuturor forțelor (inclusiv reacțiile de susținere) situate pe o parte (oricare) a secțiunii desenate.
Momentul de îndoireîntr-o secțiune de grindă este numeric egală cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor (inclusiv reacțiile de susținere) situate pe o parte (orice) a secțiunii trase în raport cu centrul de greutate al acestei secțiuni, mai precis, în raport cu axa trecând perpendicular pe planul de tragere prin centrul de greutate al secțiunii desenate.
Forța Q este rezultanta distribuite pe secțiunea transversală a interioarelor efort de forfecare, A moment M– suma de momenteîn jurul axei centrale a secțiunii X intern stres normal.
Există o relație diferențială între forțele interne
care este utilizat în construirea și verificarea diagramelor Q și M.
Deoarece unele dintre fibrele fasciculului sunt întinse, iar unele sunt comprimate, iar trecerea de la tensiune la compresie are loc fără sărituri, în partea de mijloc a fasciculului există un strat ale cărui fibre doar se îndoaie, dar nici nu suferă. tensiune sau compresie. Acest strat se numește strat neutru. Se numește linia de-a lungul căreia stratul neutru intersectează secțiunea transversală a fasciculului linie neutră al sau axa neutră secțiuni. Liniile neutre sunt înșirate pe axa fasciculului.
Liniile trasate pe suprafața laterală a fasciculului perpendicular pe axă rămân plate la îndoire. Aceste date experimentale fac posibilă bazarea concluziilor formulelor pe ipoteza secțiunilor plane. Conform acestei ipoteze, secțiunile grinzii sunt plate și perpendiculare pe axa acesteia înainte de a se îndoi, rămân plate și se dovedesc a fi perpendiculare pe axa curbă a grinzii atunci când este îndoită. Secțiunea transversală a fasciculului este distorsionată la îndoire. Din cauza deformare transversală Dimensiunile secțiunii transversale în zona comprimată a grinzii cresc, iar în zona de tensiune se comprimă.
Ipoteze pentru derivarea formulelor. Tensiuni normale
1) Ipoteza secțiunilor plane este îndeplinită.
2) Fibrele longitudinale nu se apasă unele pe altele și, prin urmare, sub influența tensiunilor normale, funcționează tensiunea sau compresia liniară.
3) Deformațiile fibrelor nu depind de poziția lor de-a lungul lățimii secțiunii transversale. În consecință, tensiunile normale, care se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii, rămân aceleași de-a lungul lățimii.
4) Fasciculul are cel puțin un plan de simetrie și toate forțele externe se află în acest plan.
5) Materialul grinzii respectă legea lui Hooke, iar modulul de elasticitate în tensiune și compresie este același.
6) Relația dintre dimensiunile grinzii este de așa natură încât aceasta funcționează în condiții de îndoire plană fără deformare sau răsucire.
La curba pură grinzile pe platforme din secțiunea sa acţionează numai stres normal, determinată de formula:
unde y este coordonata unui punct de secțiune arbitrar, măsurat de la linia neutră - axa centrală principală x.
Tensiunile normale de încovoiere de-a lungul înălțimii secțiunii sunt distribuite peste legea liniară. Pe fibrele cele mai exterioare, tensiunile normale ating valoarea maximă, iar la centrul de greutate al secțiunii sunt egale cu zero.
Natura diagramelor de tensiuni normale pentru secțiuni simetrice în raport cu linia neutră
Natura diagramelor de tensiuni normale pentru secțiuni care nu au simetrie față de linia neutră
Punctele periculoase sunt punctele cele mai îndepărtate de linia neutră.
Să alegem o secțiune
Pentru orice punct al secțiunii, să-l numim punct LA, condiția de rezistență a fasciculului pentru solicitări normale are forma:
, unde n.o. - Acest axa neutră
Acest modulul secțiunii axiale raportat la axa neutră. Dimensiunea sa este cm 3, m 3. Momentul de rezistență caracterizează influența formei și dimensiunilor secțiunii transversale asupra mărimii tensiunilor.
Condiție normală de rezistență la stres:
Tensiune normală este egal cu raportul dintre momentul încovoietor maxim și momentul axial de rezistență al secțiunii față de axa neutră.
Dacă materialul nu rezistă în mod egal la tensiune și compresie, atunci trebuie utilizate două condiții de rezistență: pentru zona de întindere cu efortul de întindere admisibil; pentru o zonă de compresie cu efort de compresiune admisibil.
În timpul îndoirii transversale, grinzile de pe platforme în secțiunea sa transversală acționează ca normal, asa de tangente Voltaj.
Calcularea unui fascicul pentru îndoire „manual”, în mod demodat, vă permite să învățați unul dintre cei mai importanți, frumoși, algoritmi clar verificați matematic din știința rezistenței materialelor. Folosind numeroase programe precum „a introdus datele inițiale...
... – obțineți răspunsul” îi permite inginerului modern de astăzi să lucreze mult mai repede decât predecesorii săi cu o sută, cincizeci și chiar douăzeci de ani în urmă. Cu toate acestea, cu această abordare modernă, inginerul este forțat să aibă încredere completă în autorii programului și, în timp, încetează să „simtă semnificația fizică” a calculelor. Dar autorii programului sunt oameni, iar oamenii tind să facă greșeli. Dacă nu ar fi așa, atunci nu ar exista numeroase patch-uri, versiuni, „patch-uri” pentru aproape orice software. Prin urmare, mi se pare că orice inginer ar trebui să poată verifica uneori „manual” rezultatele calculului.
Ajutorul (cheatsheet, memorandum) pentru calcularea grinzilor pentru îndoire este prezentat mai jos în figură.
Să încercăm să-l folosim folosind un exemplu simplu de zi cu zi. Să presupunem că am decis să fac o bară orizontală în apartamentul meu. A fost stabilită locația - un coridor de un metru și douăzeci de centimetri lățime. Pe pereții opuși, la înălțimea necesară unul față de celălalt, fixez în siguranță consolele de care va fi atașată traversa - o tijă din oțel St3 cu un diametru exterior de treizeci și doi de milimetri. Îmi va suporta această grindă greutatea plus sarcinile dinamice suplimentare care vor apărea în timpul exercițiilor?
Desenăm o diagramă pentru calcularea unui fascicul pentru îndoire. Evident, cea mai periculoasă va fi schema de aplicare sarcina externă, când încep să mă trag în sus, strângând o mână de mijlocul barului.
Date inițiale:
F1 = 900 n – forța care acționează asupra fasciculului (greutatea mea) fără a ține cont de dinamică
d = 32 mm – diametrul exterior al tijei din care este realizată grinda
E = 206000 n/mm^2 - modulul de elasticitate al materialului grinzii de oțel St3
[σi] = 250 n/mm^2 - tensiuni de încovoiere admise (limita de curgere) pentru materialul grinzilor din oțel St3
Condiții de frontieră:
Мx (0) = 0 n*m – momentul în punctul z = 0 m (primul sprijin)
Mx (1,2) = 0 n*m – moment în punctul z = 1,2 m (al doilea sprijin)
V (0) = 0 mm – deformare în punctul z = 0 m (primul sprijin)
V (1,2) = 0 mm – deformare în punctul z = 1,2 m (al doilea sprijin)
Calcul:
1. Mai întâi, să calculăm momentul de inerție Ix și momentul de rezistență Wx al secțiunii grinzii. Ne vor fi de folos în calcule ulterioare. Pentru o secțiune transversală circulară (care este secțiunea transversală a unei tije):
Ix = (π*d^4)/64 = (3,14*(32/10)^4)/64 = 5,147 cm^4
Wx = (π*d^3)/32 = ((3,14*(32/10)^3)/32) = 3,217 cm^3
2. Creăm ecuații de echilibru pentru a calcula reacțiile suporturilor R1 și R2:
Qy = -R1+F1-R2 = 0
Mx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0
Din a doua ecuație: R2 = F1*b2/b3 = 900*0,6/1,2 = 450 n
Din prima ecuație: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 n
3. Să găsim unghiul de rotație al grinzii în primul suport la z = 0 din ecuația de deviere pentru a doua secțiune:
V (1,2) = V (0)+U (0)*1,2+(-R1*((1,2-b1)^3)/6+F1*((1,2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1,2-b1)^3)/6 -F1*((1,2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 rad = 0,44˚
4.
Compunem ecuații pentru construirea diagramelor pentru prima secțiune (0 Forța tăietoare: Qy(z) = -R1 Moment încovoietor: Mx (z) = -R1*(z-b1) Unghi de rotație: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Deviație: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix) z = 0 m: Qy(0) = -R1 = -450 n Ux(0) = U(0) = 0,00764 rad Vy (0) = V (0) = 0 mm z = 0,6 m: Qy(0,6) = -R1 = -450 n Mx (0,6) = -R1*(0,6-b1) = -450*(0,6-0) = -270 n*m Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 rad Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 m Grinda se va îndoi în centru cu 3 mm sub greutatea corpului meu. Cred că aceasta este o abatere acceptabilă. 5.
Scriem ecuațiile diagramei pentru a doua secțiune (b2 Forța laterală: Qy (z) = -R1+F1 Moment încovoietor: Mx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Unghi de rotație: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Deviație: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/( E*Ix) z = 1,2 m: Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 n Mx (1,2) = 0 n*m Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E* Ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0,00764 rad Vy (1,2) = V (1,2) = 0 m 6.
Construim diagrame folosind datele obținute mai sus. 7.
Calculăm tensiunile de încovoiere în secțiunea cea mai încărcată - în mijlocul grinzii și le comparăm cu tensiunile admisibile: σi = Mx max/Wx = (270*1000)/(3,217*1000) = 84 n/mm^2 σi = 84 n/mm^2< [σи] = 250 н/мм^2 În ceea ce privește rezistența la încovoiere, calculul a arătat o marjă de siguranță de trei ori - bara orizontală poate fi realizată în siguranță dintr-o tijă existentă cu un diametru de treizeci și doi de milimetri și o lungime de o mie două sute de milimetri. Astfel, acum puteți calcula cu ușurință un fascicul pentru îndoire „manual” și îl puteți compara cu rezultatele obținute la calcularea utilizând oricare dintre numeroasele programe prezentate pe Internet. Îi rog pe CEI CARE RESPECTĂ munca autorului să SE ABONA la anunțurile articolului.
88 de comentarii la „Calculul grinzilor pentru îndoire - „manual”!” Vom începe cu cel mai simplu caz, așa-numita curba pură. Îndoirea pură este un caz special de îndoire în care forța transversală în secțiunile grinzii este zero. Îndoirea pură poate apărea numai atunci când greutatea proprie a grinzii este atât de mică încât influența sa poate fi neglijată. Pentru grinzi pe două suporturi, exemple de sarcini care provoacă pur îndoire, prezentată în Fig. 88. În secțiuni ale acestor grinzi, unde Q = 0 și, prin urmare, M = const; are loc îndoirea pură. Forțele din orice secțiune a fasciculului în timpul îndoirii pure sunt reduse la o pereche de forțe, al căror plan de acțiune trece prin axa grinzii, iar momentul este constant. Tensiunile pot fi determinate pe baza următoarelor considerații. 1. Componentele tangenţiale ale forţelor de-a lungul zonelor elementare din secţiunea transversală a unei grinzi nu pot fi reduse la o pereche de forţe, al căror plan de acţiune este perpendicular pe planul de secţiune. Rezultă că forța de îndoire în secțiune este rezultatul acțiunii de-a lungul zonelor elementare numai forțe normale și, prin urmare, la încovoiere pură, tensiunile sunt reduse doar la normal. 2. Pentru ca eforturile pe site-urile elementare să se reducă la doar câteva forțe, printre ele trebuie să existe atât pozitive, cât și negative. Prin urmare, atât fibrele de tensiune, cât și cele de compresie ale fasciculului trebuie să existe. 3. Datorită faptului că forțele în secțiuni diferite sunt aceleași, tensiunile în punctele corespunzătoare ale secțiunilor sunt aceleași. Să luăm în considerare un element din apropierea suprafeței (Fig. 89, a). Deoarece nu sunt aplicate forțe de-a lungul marginii sale inferioare, care coincide cu suprafața grinzii, nu există solicitări asupra acesteia. Prin urmare, nu există solicitări pe marginea superioară a elementului, deoarece altfel elementul nu ar fi în echilibru Considerând elementul adiacent acestuia în înălțime (Fig. 89, b), ajungem la Aceeași concluzie etc. Rezultă că nu există solicitări de-a lungul marginilor orizontale ale oricărui element. Având în vedere elementele care alcătuiesc stratul orizontal, începând cu elementul din apropierea suprafeței grinzii (Fig. 90), ajungem la concluzia că nu există solicitări de-a lungul marginilor verticale laterale ale vreunui element. Astfel, starea de solicitare a oricărui element (Fig. 91, a), iar la limită, fibrele, trebuie reprezentată așa cum se arată în Fig. 91,b, adică poate fi fie tensiune axială, fie compresie axială. 4. Datorită simetriei aplicării forțelor exterioare, secțiunea de-a lungul mijlocului lungimii grinzii după deformare trebuie să rămână plată și normală față de axa grinzii (Fig. 92, a). Din același motiv, secțiunile în sferturi din lungimea grinzii rămân, de asemenea, plate și normale pe axa grinzii (Fig. 92, b), cu excepția cazului în care secțiunile extreme ale grinzii în timpul deformării rămân plate și normale pe axa grinzii. grinda. O concluzie similară este valabilă pentru secțiuni în optimi din lungimea grinzii (Fig. 92, c), etc. În consecință, dacă în timpul îndoirii secțiunile exterioare ale grinzii rămân plate, atunci pentru orice secțiune rămâne Este o afirmație corectă că după deformare rămâne plată și normală față de axa grinzii curbe. Dar, în acest caz, este evident că modificarea alungirii fibrelor fasciculului de-a lungul înălțimii sale ar trebui să aibă loc nu numai continuu, ci și monoton. Dacă numim un strat un set de fibre care au aceleași alungiri, atunci din cele spuse rezultă că fibrele întinse și comprimate ale grinzii ar trebui să fie situate pe părțile opuse ale stratului în care alungirile fibrelor sunt egale. la zero. Vom numi fibre ale căror alungiri sunt zero neutre; un strat format din fibre neutre este un strat neutru; linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale al fasciculului - linia neutră a acestei secțiuni. Apoi, pe baza raționamentului anterior, se poate argumenta că la îndoirea pură a unei grinzi, în fiecare secțiune există o linie neutră care împarte această secțiune în două părți (zone): o zonă de fibre întinse (zonă întinsă) și o zonă de fibre întinse. zona de fibre comprimate (zona comprimata). ). În consecință, în punctele zonei întinse a secțiunii ar trebui să acționeze tensiuni normale de întindere, în punctele zonei comprimate - tensiuni de compresiune, iar în punctele liniei neutre tensiunile sunt egale cu zero. Astfel, cu îndoirea pură a unui fascicul cu secțiune transversală constantă: 1) doar tensiunile normale acţionează în secţiuni; 2) întreaga secțiune poate fi împărțită în două părți (zone) - întinsă și comprimată; limita zonelor este linia de secțiune neutră, în punctele căreia tensiunile normale sunt egale cu zero; 3) orice element longitudinal al grinzii (în limită, orice fibră) este supus unei tensiuni sau compresii axiale, astfel încât fibrele adiacente să nu interacționeze între ele; 4) dacă secțiunile extreme ale grinzii în timpul deformării rămân plate și normale pe axă, atunci toate secțiunile sale transversale rămân plate și normale pe axa grinzii curbe. Să luăm în considerare un element al unui fascicul supus unei îndoiri pure, concluzionând înainte de deformare după deformare unde p este raza de curbură a fibrei neutre. Prin urmare, prelungirea absolută a segmentului AB este egală cu și alungirea relativă Deoarece, conform poziției (3), fibra AB este supusă unei tensiuni axiale, atunci în timpul deformării elastice Aceasta arată că tensiunile normale de-a lungul înălțimii grinzii sunt distribuite conform unei legi liniare (Fig. 94). Deoarece forța egală a tuturor forțelor peste toate ariile elementare de secțiune transversală trebuie să fie egală cu zero, atunci de unde, înlocuind valoarea din (5.8), aflăm Dar ultima integrală este un moment static în jurul axei Oy, perpendicular pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere. Datorită egalității sale cu zero, această axă trebuie să treacă prin centrul de greutate O al secțiunii. Astfel, linia neutră a secțiunii grinzii este o dreaptă y, perpendiculară pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere. Se numește axa neutră a secțiunii fasciculului. Apoi din (5.8) rezultă că tensiunile în puncte situate la aceeași distanță de axa neutră sunt aceleași. Cazul de încovoiere pură, în care forțele de încovoiere acționează doar într-un singur plan, determinând îndoire doar în acel plan, este îndoirea pură plană. Dacă planul menționat trece prin axa Oz, atunci momentul forțelor elementare în raport cu această axă ar trebui să fie egal cu zero, adică. Înlocuind aici valoarea lui σ din (5.8), găsim Integrala din partea stângă a acestei egalități, după cum se știe, este momentul de inerție centrifugal al secțiunii în raport cu axele y și z, deci Axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal al secțiunii este zero se numesc axele principale de inerție ale acestei secțiuni. Dacă, în plus, trec prin centrul de greutate al secțiunii, atunci ele pot fi numite principalele axe centrale de inerție ale secțiunii. Astfel, la îndoirea plană pură, direcția planului de acțiune al forțelor de încovoiere și axa neutră a secțiunii sunt principalele axe centrale de inerție ale acesteia din urmă. Cu alte cuvinte, pentru a obține o îndoire plată, pură a unei grinzi, nu i se poate aplica în mod arbitrar o sarcină: ea trebuie redusă la forțe care acționează într-un plan care trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunilor grindă; în acest caz, cealaltă axă centrală principală de inerție va fi axa neutră a secțiunii. După cum se știe, în cazul unei secțiuni care este simetrică față de orice axă, axa de simetrie este una dintre principalele sale axe centrale de inerție. În consecință, în acest caz particular vom obține cu siguranță îndoire pură prin aplicarea unor sarcini adecvate într-un plan care trece prin axa longitudinală a grinzii și axa de simetrie a secțiunii acesteia. O linie dreaptă perpendiculară pe axa de simetrie și care trece prin centrul de greutate al secțiunii este axa neutră a acestei secțiuni. După ce s-a stabilit poziția axei neutre, nu este dificil să găsești magnitudinea tensiunii în orice punct al secțiunii. De fapt, deoarece suma momentelor forțelor elementare relativ la axa neutră yy trebuie să fie egală cu momentul încovoietor, atunci de unde, înlocuind valoarea lui σ din (5.8), aflăm Din moment ce integrala iar din expresia (5.8) obţinem Produsul EI Y se numește rigiditatea la încovoiere a grinzii. Cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele de compresiune în valoare absolută acționează în punctele secțiunii pentru care valoarea absolută a lui z este cea mai mare, adică în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Cu notația, Fig. 95 avem Valoarea Jy/h1 se numește momentul de rezistență a secțiunii la întindere și este desemnată Wyr; în mod similar, Jy/h2 se numește momentul de rezistență a secțiunii la compresiune și indică Wyc, deci prin urmare Dacă axa neutră este axa de simetrie a secțiunii, atunci h1 = h2 = h/2 și, prin urmare, Wyp = Wyc, deci nu este nevoie să le distingem și folosesc aceeași notație: denumind W y pur și simplu momentul de rezistență al secțiunii, în consecință, în cazul unei secțiuni simetrice față de axa neutră, Toate concluziile de mai sus au fost obținute pe baza ipotezei că secțiunile transversale ale grinzii, atunci când sunt îndoite, rămân plate și normale față de axa acesteia (ipoteza secțiunilor plate). După cum sa arătat, această ipoteză este valabilă numai în cazul în care secțiunile extreme (capete) ale grinzii rămân plate în timpul îndoirii. Pe de altă parte, din ipoteza secțiunilor plane rezultă că forțele elementare din astfel de secțiuni ar trebui distribuite conform unei legi liniare. Prin urmare, pentru validitatea teoriei rezultate a îndoirii pure plane, este necesar ca momentele încovoietoare de la capetele grinzii să fie aplicate sub formă de forțe elementare distribuite de-a lungul înălțimii secțiunii conform unei legi liniare (Fig. 96), care coincide cu legea distribuției tensiunilor de-a lungul înălțimii grinzilor de secțiune. Cu toate acestea, pe baza principiului Saint-Venant, se poate susține că schimbarea metodei de aplicare a momentelor încovoietoare la capetele grinzii va provoca doar deformații locale, a căror influență va afecta doar o anumită distanță de aceste capete (aproximativ egală). până la înălțimea secțiunii). Secțiunile situate pe restul lungimii grinzii vor rămâne plate. În consecință, teoria enunțată a îndoirii plate pure pentru orice metodă de aplicare a momentelor încovoietoare este valabilă numai în partea de mijloc a lungimii grinzii, situată de la capetele acesteia la distanțe aproximativ egale cu înălțimea secțiunii. De aici este clar că această teorie este în mod evident inaplicabilă dacă înălțimea secțiunii depășește jumătate din lungimea sau deschiderea grinzii.Articole cu subiecte similare
Recenzii
Starea de efort a unei grinzi sub încovoiere pură
situate între secțiunile m-m și n-n, care sunt distanțate una de alta la o distanță infinitezimală dx (Fig. 93). Datorită poziției (4) din paragraful anterior, secțiunile m- m și n - n, care erau paralele înainte de deformare, după îndoire, rămânând plate, vor forma un unghi dQ și se vor intersecta de-a lungul unei drepte care trece prin punctul C, care este centrul de curbură fibra neutră NN. Apoi partea AB a fibrei închisă între ele, situată la distanța z de fibra neutră (direcția pozitivă a axei z este luată spre convexitatea fasciculului în timpul îndoirii), se va transforma după deformare într-un arc AB. bucată de fibră neutră O1O2, transformată într-un arc, O1O2 nu își va schimba lungimea, în timp ce fibra AB va primi o alungire:
este. momentul de inerție al secțiunii față de axa yy, atunci
