Arhive categorie: Îndoire. Curăță curbă. îndoire transversală. Concepte generale Rezistența la încovoiere transversală

Ipoteza secțiunilor plane în timpul îndoirii poate fi explicat cu un exemplu: să aplicăm o grilă formată din linii drepte longitudinale și transversale (perpendiculare pe axă) pe suprafața laterală a unei grinzi neformate. Ca urmare a îndoirii grinzii, liniile longitudinale vor căpăta un contur curbat, în timp ce liniile transversale vor rămâne practic drepte și perpendiculare pe axa curbă a grinzii.

Formularea ipotezei secțiunii plane: secțiunile transversale care sunt plane și perpendiculare pe axa grinzii înainte de , rămân plate și perpendiculare pe axa curbă după deformarea acesteia.

Această împrejurare indică: când este îndeplinită ipoteza secțiunii plane, ca și cu și

Pe lângă ipoteza secțiunilor plate, se acceptă ipoteza: fibrele longitudinale ale grinzii nu se apasă unele pe altele atunci când se îndoaie.

Se numesc ipoteza și ipoteza secțiunii plane ipoteza lui Bernoulli.

Luați în considerare o grindă dreptunghiulară secțiune transversală, experimentând îndoire pură (). Să selectăm un element de grindă cu o lungime (Fig. 7.8. a). Ca urmare a îndoirii, secțiunile transversale ale grinzii se vor roti, formând un unghi. Fibrele superioare suferă compresie, iar fibrele inferioare experimentează tensiune. Notăm raza de curbură a fibrei neutre ca .

În mod convențional, presupunem că fibrele își schimbă lungimea rămânând drepte (Fig. 7.8. b). Apoi alungirile absolute și relative ale fibrei situate la distanța y de fibra neutră:

Să arătăm că fibrele longitudinale, care nu suferă nici tensiune, nici compresie atunci când fasciculul se îndoaie, trec prin axa centrală principală x.

Deoarece lungimea grinzii nu se modifică în timpul îndoirii, forța longitudinală (N) care apare în secțiune transversală trebuie să fie zero. Forță longitudinală elementară.

Având în vedere expresia :

Factorul poate fi scos din semnul integral (nu depinde de variabila de integrare).

Expresia reprezintă secțiunea transversală a fasciculului în jurul axei x neutre. Este zero când axa neutră trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale. În consecință, axa neutră (linia zero) atunci când fasciculul se îndoaie trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

Evident: momentul încovoietor este asociat cu solicitări normale care apar în puncte din secțiunea transversală a tijei. Momentul încovoietor elementar creat de o forță elementară:

unde este momentul de inerție axial al secțiunii transversale față de axa neutră x, iar raportul este curbura axei fasciculului.

Rigiditate grinzi în îndoire(cu cât este mai mare, cu atât raza de curbură este mai mică).

Formula rezultată reprezintă Legea lui Hooke de îndoire pentru o lansetă: Momentul încovoietor care apare în secțiune transversală este proporțional cu curbura axei grinzii.

Exprimarea razei de curbură () din formula legii lui Hooke pentru o tijă în timpul îndoirii și înlocuirea valorii acesteia în formula , obținem o formulă pentru tensiunile normale () într-un punct arbitrar din secțiunea transversală a grinzii, situat la o distanță y de axa neutră x: .

În formula pentru tensiuni normale () într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a grinzii, trebuie înlocuite valorile absolute ale momentului încovoietor () și distanța de la punct la axa neutră (coordonatele y). Dacă efortul într-un punct dat va fi de tracțiune sau de compresiune poate fi determinat cu ușurință de natura deformării grinzii sau de diagrama momentelor încovoietoare ale căror ordonate sunt trasate pe partea fibrelor comprimate ale grinzii.

Din formula este clar: tensiunile normale () se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii transversale a grinzii conform unei legi liniare. În fig. 7.8, prezintă diagrama. Cele mai mari solicitări în timpul îndoirii grinzii apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Dacă în secțiunea transversală a fasciculului este trasată o linie paralelă cu axa neutră x, atunci apar tensiuni normale egale în toate punctele sale.

Analiză simplă diagrame de tensiuni normale arată că atunci când un fascicul se îndoaie, materialul situat în apropierea axei neutre practic nu funcționează. Prin urmare, pentru a reduce greutatea grinzii, se recomandă să alegeți forme de secțiune transversală în care cea mai mare parte a materialului este îndepărtată de pe axa neutră, cum ar fi o secțiune în I.

Vom începe cu cel mai simplu caz, așa-zisul îndoire pură.

Îndoirea pură este un caz special de îndoire în care forța transversală în secțiunile grinzii este zero. Îndoirea pură poate apărea numai atunci când greutatea proprie a grinzii este atât de mică încât influența sa poate fi neglijată. Pentru grinzi pe două suporturi, exemple de sarcini care provoacă pur

îndoire, prezentată în Fig. 88. În secțiuni ale acestor grinzi, unde Q = 0 și, prin urmare, M = const; are loc îndoirea pură.

Forțele din orice secțiune a fasciculului în timpul îndoirii pure sunt reduse la o pereche de forțe, al căror plan de acțiune trece prin axa grinzii, iar momentul este constant.

Tensiunile pot fi determinate pe baza următoarelor considerații.

1. Componentele tangenţiale ale forţelor de-a lungul zonelor elementare din secţiunea transversală a unei grinzi nu pot fi reduse la o pereche de forţe, al căror plan de acţiune este perpendicular pe planul de secţiune. Rezultă că forța de îndoire în secțiune este rezultatul acțiunii de-a lungul zonelor elementare

numai forțe normale și, prin urmare, la încovoiere pură, tensiunile sunt reduse doar la normal.

2. Pentru ca eforturile pe site-urile elementare să se reducă la doar câteva forțe, printre ele trebuie să existe atât pozitive, cât și negative. Prin urmare, atât fibrele de tensiune, cât și cele de compresie ale fasciculului trebuie să existe.

3. Datorită faptului că forțele în secțiuni diferite sunt aceleași, tensiunile în punctele corespunzătoare ale secțiunilor sunt aceleași.

Să luăm în considerare un element din apropierea suprafeței (Fig. 89, a). Deoarece nu sunt aplicate forțe de-a lungul marginii sale inferioare, care coincide cu suprafața grinzii, nu există solicitări asupra acesteia. Prin urmare, nu există solicitări pe marginea superioară a elementului, deoarece altfel elementul nu ar fi în echilibru Considerând elementul adiacent acestuia în înălțime (Fig. 89, b), ajungem la

Aceeași concluzie etc. Rezultă că nu există solicitări de-a lungul marginilor orizontale ale oricărui element. Având în vedere elementele care alcătuiesc stratul orizontal, începând cu elementul din apropierea suprafeței grinzii (Fig. 90), ajungem la concluzia că nu există solicitări de-a lungul marginilor verticale laterale ale vreunui element. Astfel, starea de solicitare a oricărui element (Fig. 91, a), iar la limită, fibrele, trebuie reprezentată așa cum se arată în Fig. 91,b, adică poate fi fie tensiune axială, fie compresie axială.

4. Datorită simetriei aplicării forțelor exterioare, secțiunea de-a lungul mijlocului lungimii grinzii după deformare trebuie să rămână plată și normală față de axa grinzii (Fig. 92, a). Din același motiv, secțiunile în sferturi din lungimea grinzii rămân, de asemenea, plate și normale pe axa grinzii (Fig. 92, b), cu excepția cazului în care secțiunile extreme ale grinzii în timpul deformării rămân plate și normale pe axa grinzii. grinda. O concluzie similară este valabilă pentru secțiuni în optimi din lungimea grinzii (Fig. 92, c), etc. În consecință, dacă în timpul îndoirii secțiunile exterioare ale grinzii rămân plate, atunci pentru orice secțiune rămâne

Este o afirmație corectă că după deformare rămâne plată și normală față de axa grinzii curbe. Dar, în acest caz, este evident că modificarea alungirii fibrelor fasciculului de-a lungul înălțimii sale ar trebui să aibă loc nu numai continuu, ci și monoton. Dacă numim un strat un set de fibre care au aceleași alungiri, atunci din cele spuse rezultă că fibrele întinse și comprimate ale grinzii ar trebui să fie situate pe părțile opuse ale stratului în care alungirile fibrelor sunt egale. la zero. Vom numi fibre ale căror alungiri sunt zero neutre; un strat format din fibre neutre este un strat neutru; linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale al fasciculului - linia neutră a acestei secțiuni. Apoi, pe baza raționamentului anterior, se poate argumenta că la îndoirea pură a unei grinzi, în fiecare secțiune există o linie neutră care împarte această secțiune în două părți (zone): o zonă de fibre întinse (zonă întinsă) și o zonă de fibre întinse. zona de fibre comprimate (zona comprimata). ). În consecință, în punctele zonei întinse a secțiunii ar trebui să acționeze tensiuni normale de întindere, în punctele zonei comprimate - tensiuni de compresiune, iar în punctele liniei neutre tensiunile sunt egale cu zero.

Astfel, cu îndoirea pură a unui fascicul cu secțiune transversală constantă:

1) doar tensiunile normale acţionează în secţiuni;

2) întreaga secțiune poate fi împărțită în două părți (zone) - întinsă și comprimată; limita zonelor este linia de secțiune neutră, în punctele căreia tensiunile normale sunt egale cu zero;

3) orice element longitudinal al grinzii (în limită, orice fibră) este supus unei tensiuni sau compresii axiale, astfel încât fibrele adiacente să nu interacționeze între ele;

4) dacă secțiunile extreme ale grinzii în timpul deformării rămân plate și normale pe axă, atunci toate secțiunile sale transversale rămân plate și normale pe axa grinzii curbe.

Starea de efort a unei grinzi sub încovoiere pură

Să luăm în considerare un element al unui fascicul supus unei îndoiri pure, concluzionând situate între secțiunile m-m și n-n, care sunt distanțate una de alta la o distanță infinitezimală dx (Fig. 93). Datorită poziției (4) din paragraful anterior, secțiunile m- m și n - n, care erau paralele înainte de deformare, după îndoire, rămânând plate, vor forma un unghi dQ și se vor intersecta de-a lungul unei drepte care trece prin punctul C, care este centrul de curbură fibra neutră NN. Apoi partea AB a fibrei închisă între ele, situată la distanța z de fibra neutră (direcția pozitivă a axei z este luată spre convexitatea fasciculului în timpul îndoirii), se va transforma după deformare într-un arc AB. bucată de fibră neutră O1O2, transformată într-un arc, O1O2 nu își va schimba lungimea, în timp ce fibra AB va primi o alungire:

înainte de deformare

după deformare

unde p este raza de curbură a fibrei neutre.

Prin urmare, prelungirea absolută a segmentului AB este egală cu

și alungirea relativă

Deoarece, conform poziției (3), fibra AB este supusă unei tensiuni axiale, atunci în timpul deformării elastice

Aceasta arată că tensiunile normale de-a lungul înălțimii grinzii sunt distribuite conform unei legi liniare (Fig. 94). Deoarece forța egală a tuturor forțelor peste toate ariile elementare de secțiune transversală trebuie să fie egală cu zero, atunci

de unde, înlocuind valoarea din (5.8), aflăm

Dar ultima integrală este un moment static în jurul axei Oy, perpendicular pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere.

Datorită egalității sale cu zero, această axă trebuie să treacă prin centrul de greutate O al secțiunii. Astfel, linia neutră a secțiunii grinzii este o dreaptă y, perpendiculară pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere. Se numește axa neutră a secțiunii fasciculului. Apoi din (5.8) rezultă că tensiunile în puncte situate la aceeași distanță de axa neutră sunt aceleași.

Cazul de încovoiere pură, în care forțele de încovoiere acționează doar într-un singur plan, determinând îndoire doar în acel plan, este îndoirea pură plană. Dacă planul menționat trece prin axa Oz, atunci momentul forțelor elementare în raport cu această axă ar trebui să fie egal cu zero, adică.

Înlocuind aici valoarea lui σ din (5.8), găsim

Integrala din partea stângă a acestei egalități, după cum se știe, este momentul de inerție centrifugal al secțiunii în raport cu axele y și z, deci

Axele în jurul cărora momentul de inerție centrifugal al secțiunii este zero se numesc axele principale de inerție ale acestei secțiuni. Dacă, în plus, trec prin centrul de greutate al secțiunii, atunci ele pot fi numite principalele axe centrale de inerție ale secțiunii. Astfel, la îndoirea plană pură, direcția planului de acțiune al forțelor de încovoiere și axa neutră a secțiunii sunt principalele axe centrale de inerție ale acesteia din urmă. Cu alte cuvinte, pentru a obține o îndoire plată, pură a unei grinzi, nu i se poate aplica în mod arbitrar o sarcină: ea trebuie redusă la forțe care acționează într-un plan care trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunilor grindă; în acest caz, cealaltă axă centrală principală de inerție va fi axa neutră a secțiunii.

După cum se știe, în cazul unei secțiuni care este simetrică față de orice axă, axa de simetrie este una dintre principalele sale axe centrale de inerție. În consecință, în acest caz particular vom obține cu siguranță îndoire pură prin aplicarea unor sarcini adecvate într-un plan care trece prin axa longitudinală a grinzii și axa de simetrie a secțiunii acesteia. O linie dreaptă perpendiculară pe axa de simetrie și care trece prin centrul de greutate al secțiunii este axa neutră a acestei secțiuni.

După ce s-a stabilit poziția axei neutre, nu este dificil să găsești magnitudinea tensiunii în orice punct al secțiunii. De fapt, deoarece suma momentelor forțelor elementare relativ la axa neutră yy trebuie să fie egală cu momentul încovoietor, atunci

de unde, înlocuind valoarea lui σ din (5.8), aflăm

Din moment ce integrala este. momentul de inerție al secțiunii față de axa yy, atunci

iar din expresia (5.8) obţinem

Produsul EI Y se numește rigiditatea la încovoiere a grinzii.

Cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele de compresiune în valoare absolută acționează în punctele secțiunii pentru care valoarea absolută a lui z este cea mai mare, adică în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Cu notația, Fig. 95 avem

Valoarea Jy/h1 se numește momentul de rezistență a secțiunii la întindere și este desemnată Wyr; în mod similar, Jy/h2 se numește momentul de rezistență a secțiunii la compresiune

și indică Wyc, deci

prin urmare

Dacă axa neutră este axa de simetrie a secțiunii, atunci h1 = h2 = h/2 și, prin urmare, Wyp = Wyc, deci nu este nevoie să le distingem și folosesc aceeași notație:

denumind W y pur și simplu momentul de rezistență al secțiunii, în consecință, în cazul unei secțiuni simetrice față de axa neutră,

Toate concluziile de mai sus au fost obținute pe baza ipotezei că secțiunile transversale ale grinzii, atunci când sunt îndoite, rămân plate și normale față de axa acesteia (ipoteza secțiunilor plate). După cum sa arătat, această ipoteză este valabilă numai în cazul în care secțiunile extreme (capete) ale grinzii rămân plate în timpul îndoirii. Pe de altă parte, din ipoteza secțiunilor plane rezultă că forțele elementare din astfel de secțiuni ar trebui distribuite conform unei legi liniare. Prin urmare, pentru validitatea teoriei rezultate a îndoirii pure plane, este necesar ca momentele încovoietoare de la capetele grinzii să fie aplicate sub formă de forțe elementare distribuite de-a lungul înălțimii secțiunii conform unei legi liniare (Fig. 96), care coincide cu legea distribuției tensiunilor de-a lungul înălțimii grinzilor de secțiune. Cu toate acestea, pe baza principiului Saint-Venant, se poate susține că schimbarea metodei de aplicare a momentelor încovoietoare la capetele grinzii va provoca doar deformații locale, a căror influență va afecta doar o anumită distanță de aceste capete (aproximativ egală). până la înălțimea secțiunii). Secțiunile situate pe restul lungimii grinzii vor rămâne plate. În consecință, teoria enunțată a îndoirii plate pure pentru orice metodă de aplicare a momentelor încovoietoare este valabilă numai în partea de mijloc a lungimii grinzii, situată de la capetele acesteia la distanțe aproximativ egale cu înălțimea secțiunii. De aici este clar că această teorie este în mod evident inaplicabilă dacă înălțimea secțiunii depășește jumătate din lungimea sau deschiderea grinzii.

Pentru o grindă cantilever încărcată cu o sarcină distribuită de intensitate kN/m și un moment concentrat de kN m (Fig. 3.12), este necesar să: construiți diagrame ale forțelor tăietoare și momentelor încovoietoare, selectați o grindă de secțiune transversală circulară cu o efort normal admisibil kN/cm2 și verificați rezistența grinzii în funcție de solicitările tangenţiale cu efortul tangenţial admisibil kN/cm2. Dimensiunile grinzii m; m; m.

Schema de calcul pentru problema îndoirii transversale directe

Orez. 3.12

Rezolvarea problemei „încovoiere transversală dreaptă”

Determinarea reacțiilor de sprijin

Reacția orizontală în ansamblu este zero, deoarece sarcinile externe în direcția axei z nu acționează asupra fasciculului.

Alegem direcțiile forțelor reactive rămase care apar în înglobare: vom direcționa reacția verticală, de exemplu, în jos, iar momentul – în sensul acelor de ceasornic. Valorile lor sunt determinate din ecuațiile statice:

Când compunem aceste ecuații, considerăm că momentul este pozitiv când se rotește în sens invers acelor de ceasornic, iar proiecția forței este pozitivă dacă direcția acesteia coincide cu direcția pozitivă a axei y.

Din prima ecuație găsim momentul la sigiliu:

Din a doua ecuație - reacție verticală:

Primit de noi valori pozitive pentru moment și reacția verticală în înglobare indică faptul că le-am ghicit direcțiile.

În conformitate cu natura fixării și încărcării grinzii, împărțim lungimea acesteia în două secțiuni. De-a lungul limitelor fiecăreia dintre aceste secțiuni vom schița patru secțiuni transversale (vezi Fig. 3.12), în care vom folosi metoda secțiunilor (ROZU) pentru a calcula valorile forțelor tăietoare și momentelor încovoietoare.

Secțiunea 1. Să renunțăm mental partea dreapta grinzi. Să înlocuim acțiunea sa pe partea stângă rămasă cu o forță de tăiere și un moment de încovoiere. Pentru confortul calculării valorilor acestora, să acoperim partea dreaptă aruncată a grinzii cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a foii cu secțiunea luată în considerare.

Să ne amintim că forța tăietoare care apare în orice secțiune transversală trebuie să echilibreze toate forțele externe (active și reactive) care acționează asupra părții grinzii care este considerată (adică vizibilă) de noi. Prin urmare, forța de forfecare trebuie să fie egală cu suma algebrică a tuturor forțelor pe care le vedem.

Să prezentăm și regula semnelor pentru forța de forfecare: o forță externă care acționează asupra părții grinzii luate în considerare și care tinde să „roteze” această parte în raport cu secțiunea în sensul acelor de ceasornic determină o forță de forfecare pozitivă în secțiune. O astfel de forță externă este inclusă în suma algebrică pentru definiția cu semnul plus.

În cazul nostru, vedem doar reacția suportului, care rotește partea din fascicul vizibilă pentru noi față de prima secțiune (față de marginea bucății de hârtie) în sens invers acelor de ceasornic. De aceea

kN.

Momentul încovoietor în orice secțiune trebuie să echilibreze momentul creat de forțele exterioare vizibile pentru noi în raport cu secțiunea în cauză. În consecință, este egală cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor care acționează asupra părții grinzii pe care o luăm în considerare, raportată la secțiunea luată în considerare (cu alte cuvinte, raportată la marginea bucății de hârtie). în care sarcina externă, îndoirea părții grinzii luate în considerare cu o direcție convexă în jos, determină un moment încovoietor pozitiv în secțiune. Iar momentul creat de o astfel de încărcare este inclus în suma algebrică pentru determinare cu un semn „plus”.

Vedem două eforturi: reacția și momentul de închidere. Cu toate acestea, pârghia forței în raport cu secțiunea 1 este zero. De aceea

kNm.

Am luat semnul „plus” deoarece momentul reactiv îndoaie partea din fascicul vizibilă pentru noi cu o convexă în jos.

Secțiunea 2. Ca și mai înainte, vom acoperi toată partea dreaptă a grinzii cu o bucată de hârtie. Acum, spre deosebire de prima secțiune, forța are un umăr: m. Prin urmare

kN; kNm.

Secțiunea 3. Închizând partea dreaptă a grinzii, găsim

kN;

Secțiunea 4. Acoperiți partea stângă a grinzii cu o foaie. Apoi

kNm.

Folosind valorile găsite, construim diagrame ale forțelor tăietoare (Fig. 3.12, b) și momentelor încovoietoare (Fig. 3.12, c).

În zonele neîncărcate, diagrama forțelor de forfecare merge paralel cu axa grinzii și sub o sarcină distribuită q - de-a lungul unei linii drepte înclinate în sus. Sub reacția de sprijin din diagramă există un salt în jos cu valoarea acestei reacții, adică cu 40 kN.

În diagrama momentelor încovoietoare vedem o rupere sub reacția de sprijin. Unghiul de îndoire este îndreptat către reacția de sprijin. Sub o sarcină distribuită q, diagrama se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. În secțiunea 6 a diagramei există un extremum, deoarece diagrama forței de forfecare în acest loc trece prin valoarea zero.

Determinați diametrul secțiunii transversale necesar al grinzii

Condiție de forță conform tensiuni normale are forma:

unde este momentul de rezistenţă al grinzii la încovoiere. Pentru o grindă cu secțiune transversală circulară este egală cu:

Cea mai mare valoare absolută a momentului încovoietor apare în a treia secțiune a grinzii: kN cm

Apoi, diametrul fasciculului necesar este determinat de formula

cm.

Acceptăm mm. Apoi

kN/cm2 kN/cm2.

„Supratensiune” este

ceea ce este permis.

Verificăm rezistența grinzii prin cele mai mari solicitări de forfecare

Cele mai mari tensiuni tangențiale care apar în secțiunea transversală a unei grinzi cu secțiune transversală circulară sunt calculate prin formula

unde este aria secțiunii transversale.

Conform diagramei, cea mai mare valoare algebrică a forței tăietoare este egală cu kN. Apoi

kN/cm2 kN/cm2,

adică este satisfăcută și condiția de rezistență pentru tensiuni tangențiale și cu o marjă mare.

Un exemplu de rezolvare a problemei „încovoiere transversală dreaptă” nr. 2

Starea unui exemplu de problemă la îndoirea dreaptă transversală

Pentru o grindă susținută simplu, încărcată cu o sarcină distribuită de intensitate kN/m, forță concentrată kN și moment concentrat kN m (Fig. 3.13), este necesar să se construiască diagrame ale forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare și să se selecteze o grindă de grindă în I. secțiune transversală cu o efort normal admisibil kN/cm2 și efort tangenţial admisibil kN/cm2. Lungimea grinzii m.

Un exemplu de problemă de îndoire dreaptă - diagramă de calcul

Orez. 3.13

Rezolvarea unui exemplu de problemă la îndoirea dreaptă

Determinarea reacțiilor de sprijin

Pentru o grindă dată pur și simplu sprijinită, este necesar să se găsească trei reacții de sprijin: , și . Deoarece asupra grinzii acționează numai sarcini verticale perpendiculare pe axa acesteia, reacția orizontală a suportului articulat fix A este nulă: .

Direcțiile reacțiilor verticale sunt alese arbitrar. Să direcționăm, de exemplu, ambele reacții verticale în sus. Pentru a calcula valorile lor, să creăm două ecuații statice:

Să reamintim că rezultanta sarcinii liniare , distribuită uniform pe o secțiune de lungime l, este egală cu , adică egală cu aria diagramei acestei sarcini și se aplică la centrul de greutate al acesteia. diagramă, adică la mijlocul lungimii.

;

kN.

Sa verificam: .

Reamintim că forțele a căror direcție coincide cu direcția pozitivă a axei y sunt proiectate (proiectate) pe această axă cu semnul plus:

asta e adevarat.

Construim diagrame ale forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare

Împărțim lungimea fasciculului în secțiuni separate. Limitele acestor secțiuni sunt punctele de aplicare a forțelor concentrate (active și/sau reactive), precum și punctele corespunzătoare începutului și sfârșitului sarcinii distribuite. Există trei astfel de secțiuni în problema noastră. De-a lungul limitelor acestor secțiuni, vom schița șase secțiuni transversale, în care vom calcula valorile forțelor tăietoare și ale momentelor încovoietoare (Fig. 3.13, a).

Secțiunea 1. Să aruncăm mental partea dreaptă a fasciculului. Pentru confortul calculării forței de forfecare și a momentului de încovoiere care apar în această secțiune, vom acoperi partea din grinda pe care am aruncat-o cu o bucată de hârtie, aliniind marginea stângă a foii de hârtie cu secțiunea în sine.

Forța de forfecare în secțiunea grinzii este egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe (active și reactive) pe care le vedem. În acest caz, vedem reacția suportului și sarcina liniară q distribuită pe o lungime infinitezimală. Sarcina liniară rezultată este zero. De aceea

kN.

Semnul plus este luat deoarece forța rotește partea din fascicul vizibilă pentru noi față de prima secțiune (marginea unei bucăți de hârtie) în sensul acelor de ceasornic.

Momentul încovoietor în secțiunea grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor tuturor forțelor pe care le vedem în raport cu secțiunea luată în considerare (adică relativ la marginea bucății de hârtie). Vedem reacția suportului și sarcina liniară q distribuite pe o lungime infinitezimală. Cu toate acestea, forța are un efect de pârghie de zero. Sarcina liniară rezultată este, de asemenea, zero. De aceea

Secțiunea 2. Ca și mai înainte, vom acoperi toată partea dreaptă a grinzii cu o bucată de hârtie. Acum vedem reacția și sarcina q acționând asupra unei secțiuni de lungime . Sarcina liniară rezultată este egală cu . Este atașat la mijlocul unei secțiuni de lungime. De aceea

Să ne amintim că atunci când determinăm semnul momentului încovoietor, eliberăm mental partea din grinda pe care o vedem de toate elementele de fixare de susținere reale și ne imaginăm ca și cum ar fi ciupită în secțiunea luată în considerare (adică ne imaginăm mental marginea stângă). a bucăţii de hârtie ca înglobare rigidă).

Secțiunea 3. Să închidem partea dreaptă. Primim

Secțiunea 4. Acoperiți partea dreaptă a grinzii cu o foaie. Apoi

Acum, pentru a verifica corectitudinea calculelor, să acoperim partea stângă a grinzii cu o bucată de hârtie. Vedem forța concentrată P, reacția suportului drept și sarcina liniară q distribuită pe o lungime infinitezimală. Sarcina liniară rezultată este zero. De aceea

kNm.

Adică totul este corect.

Secțiunea 5. Ca și mai înainte, închideți partea stângă a grinzii. Vom avea

kN;

kNm.

Secțiunea 6. Să închidem din nou partea stângă a grinzii. Primim

kN;

Utilizând valorile găsite, construim diagrame ale forțelor tăietoare (Fig. 3.13, b) și momentelor încovoietoare (Fig. 3.13, c).

Ne asigurăm că sub zona descărcată diagrama forțelor de forfecare se desfășoară paralel cu axa grinzii și sub o sarcină distribuită q - de-a lungul unei linii drepte înclinate în jos. Există trei salturi în diagramă: sub reacție - în sus cu 37,5 kN, sub reacție - în sus cu 132,5 kN și sub forța P - în jos cu 50 kN.

În diagrama momentelor încovoietoare vedem rupturi sub forța concentrată P și sub reacțiile de sprijin. Unghiurile de rupere sunt îndreptate spre aceste forțe. Sub o sarcină distribuită de intensitate q, diagrama se modifică de-a lungul unei parabole pătratice, a cărei convexitate este îndreptată spre sarcină. Sub momentul concentrat are loc un salt de 60 kN m, adică prin mărimea momentului însuși. În secțiunea 7 a diagramei există un extremum, deoarece diagrama forței de forfecare pentru această secțiune trece prin valoarea zero (). Să determinăm distanța de la secțiunea 7 până la suportul din stânga.

Sarcină. Construiți diagramele Q și M pentru o grindă static nedeterminată. Să calculăm grinzile folosind formula:

n= Σ R- SH— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

fascicul o singura data este static nedeterminat, ceea ce înseamnă unu a reacţiilor este „extra” necunoscut. Să luăm reacția de sprijin drept necunoscută „în plus”. ÎN — R B.

O grindă determinată static, care se obține dintr-una dată prin îndepărtarea conexiunii „extra”, se numește sistem principal (b).

Acum ar trebui prezentat acest sistem echivalent dat. Pentru a face acest lucru, încărcați sistemul principal datîncărcătură, iar la punct ÎN hai sa aplicam reacție „în plus”. R B(orez. V).

Cu toate acestea pentru echivalenţă acest insuficient, întrucât într-o astfel de grindă punctul ÎN Pot fi misca pe verticala, și într-un fascicul dat (Fig. A ) acest lucru nu se poate întâmpla. Prin urmare adăugăm condiție, Ce abatere t. ÎNîn sistemul principal ar trebui să fie egal cu 0. Deviația t. ÎN este format din deformarea de la sarcina activă Δ F iar din devierea de la reacția „extra” Δ R.

Apoi ne impacam condiție de compatibilitate a mișcărilor:

Δ F + Δ R=0 (1)

Acum rămâne să le calculăm mișcări (deviații).

Se încarcă principal sistem sarcina dată(orez .G) și vom construi diagrama de sarcinăM F (orez. d ).

ÎN T. ÎN Să aplicăm și să construim un ep. (orez. arici ).

Folosind formula lui Simpson determinăm deformare din cauza sarcinii active.

Acum să definim devierea de la acțiunea de reacție „extra”. R B , pentru aceasta încărcăm sistemul principal R B (orez. h ) și construiește o diagramă a momentelor din acțiunea sa DOMNUL (orez. Și ).

Compunem și rezolvăm ecuația (1):

Să construim ep. Q Și M (orez. k, l ).

Construirea unei diagrame Q.

Să construim o diagramă M metodă puncte caracteristice. Punem puncte pe fascicul - acestea sunt punctele de la începutul și sfârșitul fasciculului ( D,A ), moment concentrat ( B ), și, de asemenea, marchează mijlocul unei sarcini distribuite uniform ca punct caracteristic ( K ) este un punct suplimentar pentru construirea unei curbe parabolice.

Determinăm momentele încovoietoare în puncte. Regula semnelor cm. - .

Momentul în ÎN o vom defini astfel. Mai întâi să definim:

Punct LA hai sa intram mijloc zonă cu o sarcină uniform distribuită.

Construirea unei diagrame M . Complot AB – curba parabolica(regula umbrelă), zonă ВD – linie dreaptă înclinată.

Pentru o grindă, determinați reacțiile de sprijin și construiți diagrame ale momentelor încovoietoare ( M) Și forțe tăietoare (Q).

Noi desemnăm suporturi scrisori A Și ÎN și reacții directe de sprijin R A Și R B .

Compilarea ecuații de echilibru.

Examinare

Notează valorile R A Și R B pe schema de proiectare.

2. Construirea unei diagrame forțe tăietoare metodă secțiuni. Aranjam secțiunile pe zone caracteristice(între modificări). Conform firului dimensional - 4 secțiuni, 4 secțiuni.

sec. 1-1 mișcare stânga.

Sectiunea trece prin zona cu sarcină distribuită uniform, marcați dimensiunea z 1 în stânga secțiunii înainte de începerea secțiunii. Lungimea tronsonului este de 2 m. Regula semnelor Pentru Q - cm.

Construim in functie de valoarea gasita diagramăQ.

sec. 2-2 se deplasează pe dreapta.

Secțiunea trece din nou prin zona cu o sarcină distribuită uniform, marcați dimensiunea z 2 la dreapta de la secțiune până la începutul secțiunii. Lungimea tronsonului este de 6 m.

Construirea unei diagrame Q.

sec. 3-3 se deplasează pe dreapta.

sec. 4-4 se deplasează pe dreapta.

Construim diagramăQ.

3. Construcție diagramele M metodă puncte caracteristice.

Punctul caracteristic- un punct care este oarecum vizibil pe fascicul. Acestea sunt punctele A, ÎN, CU, D , și, de asemenea, un punct LA , în care Q=0 Și momentul încovoietor are un extremum. De asemenea, în mijloc consola vom pune un punct suplimentar E, deoarece în această zonă sub o încărcare uniform distribuită diagrama M descris strâmb linie, și este construit cel puțin conform 3 puncte.

Deci, punctele sunt plasate, să începem să determinăm valorile din ele momente de încovoiere. Regula semnelor – vezi.

Site-uri NA, AD – curba parabolica(regula „umbrelă” pentru specialitățile mecanice sau „regula velei” pentru specialitățile de construcții), secțiuni DC, SV – linii drepte înclinate.

Moment la un moment dat D ar trebui determinată atat la stanga cat si la dreapta din punct D . Chiar momentul în aceste expresii Exclus. La punctul D primim Două valori cu diferență prin suma m – salt prin dimensiunea sa.

Acum trebuie să stabilim momentul LA (Q=0). Cu toate acestea, mai întâi definim pozitia punctului LA , desemnând distanța de la acesta până la începutul secțiunii ca necunoscută X .

T. LA aparține al doilea zonă caracteristică, ea ecuația forței tăietoare(Vezi deasupra)

Dar forța tăietoare incl. LA egal cu 0 , A z 2 este necunoscut X .

Obtinem ecuatia:

Acum știind X, să stabilim momentul la punct LA pe drumul cel bun.

Construirea unei diagrame M . Constructia se poate realiza pt mecanic specialități, lăsând deoparte valorile pozitive sus de la linia zero și folosind regula „umbrelă”.

Pentru un proiect dat al unei grinzi cantilever, este necesar să se construiască diagrame ale forței transversale Q și ale momentului încovoietor M și să se efectueze un calcul de proiect prin selectarea unei secțiuni circulare.

Material - lemn, rezistenta de proiectare material R=10MPa, M=14kN m, q=8kN/m

Există două moduri de a construi diagrame într-o grindă în consolă cu o încascare rigidă - modul obișnuit, după ce au determinat anterior reacțiile de sprijin și fără a determina reacțiile de sprijin, dacă luați în considerare secțiunile, mergând de la capătul liber al grinzii și aruncând partea stângă cu încastrarea. Să construim diagrame comun cale.

1. Să definim susține reacțiile.

Sarcina distribuită uniform qînlocuiți cu forța condiționată Q= q·0,84=6,72 kN

Într-o încascare rigidă există trei reacții de sprijin - verticală, orizontală și moment; în cazul nostru, reacția orizontală este 0.

Vom găsi vertical reacție la sol R AȘi moment de sprijin M A din ecuațiile de echilibru.

În primele două secțiuni din dreapta nu există forță tăietoare. La începutul unei secțiuni cu o sarcină uniform distribuită (dreapta) Q=0, în fundal - magnitudinea reacției R A.
3. Pentru a construi, vom compune expresii pentru determinarea lor în secțiuni. Să construim o diagramă de momente pe fibre, de ex. jos.

(diagrama momentelor individuale a fost deja construită mai devreme)

Rezolvăm ecuația (1), reducem cu EI

Nedeterminarea statică dezvăluită, a fost găsită valoarea reacției „extra”. Puteți începe să construiți diagrame ale lui Q și M pentru un fascicul static nedeterminat... Schițăm diagrama dată a fasciculului și indicăm magnitudinea reacției Rb. În acest fascicul, reacțiile în înglobare nu pot fi determinate dacă vă deplasați din dreapta.

Constructie complot Q pentru un fascicul static nedeterminat

Să diagramăm Q.

Construcția diagramei M

Să definim M în punctul extremum - în punctul LA. În primul rând, să stabilim poziția sa. Să notăm distanța până la ea ca necunoscută” X" Apoi

Construim o diagramă a lui M.

Determinarea tensiunilor tăietoare într-o secțiune în I. Să luăm în considerare secțiunea I-beam Sx = 96,9 cm3; Yx=2030 cm4; Q=200 kN

Pentru determinarea efortului de forfecare, se folosește formulă,unde Q este forța tăietoare în secțiune, S x 0 este momentul static al părții de secțiune transversală situată pe o latură a stratului în care se determină tensiunile tangențiale, I x este momentul de inerție al întregului secțiune transversală, b este lățimea secțiunii în locul unde este determinată efortul de forfecare

Să calculăm maxim efort de forfecare:

Să calculăm momentul static pt raft de sus:

Acum să calculăm efort de forfecare:

Construim diagrama tensiunii de forfecare:

Calcule de proiectare si verificare. Pentru o grindă cu diagrame construite ale forțelor interne, selectați o secțiune sub formă de două canale din starea de rezistență la solicitări normale. Verificați rezistența grinzii utilizând condiția de rezistență la forfecare și criteriul rezistenței energetice. Dat:

Să arătăm un fascicul cu construit diagramele Q și M

Conform diagramei momentelor încovoietoare, este periculos secțiunea C, in care M C = M max = 48,3 kNm.

Condiție normală de rezistență la stres căci această grindă are forma σ max =M C /W X ≤σ adm . Este necesar să selectați o secțiune de pe două canale.

Să determinăm valoarea calculată necesară momentul axial de rezistență al secțiunii:

Pentru o secțiune sub formă de două canale, acceptăm conform două canale nr 20a, momentul de inerție al fiecărui canal I x =1670cm 4, Apoi momentul axial de rezistență al întregii secțiuni:

Supratensiune (subtensiune)în punctele periculoase calculăm folosind formula: Apoi obținem sub tensiune:

Acum să verificăm puterea fasciculului pe baza condiţii de rezistenţă pentru solicitări tangenţiale. Conform diagrama forței tăietoare periculos sunt secțiuni pe secțiunea BC și secțiunea D. După cum se poate observa din diagramă, Q max = 48,9 kN.

Condiție de rezistență pentru tensiuni tangenţiale are forma:

Pentru canalul nr. 20 a: momentul static al ariei S x 1 = 95,9 cm 3, momentul de inerție al secțiunii I x 1 = 1670 cm 4, grosimea peretelui d 1 = 5,2 mm, grosimea medie a flanșei t 1 = 9,7 mm , înălțimea canalului h 1 =20 cm, lățimea raftului b 1 =8 cm.

Pentru transversal secțiuni a două canale:

S x = 2S x 1 =2 95,9 = 191,8 cm 3,

I x =2I x 1 =2·1670=3340 cm 4,

b=2d 1 =2·0,52=1,04 cm.

Determinarea valorii efort maxim de forfecare:

τ max =48,9 10 3 191,8 10 −6 /3340 10 −8 1,04 10 −2 =27 MPa.

Așa cum se vede, τ max<τ adm (27MPa<75МПа).

Prin urmare, condiția de rezistență este îndeplinită.

Verificăm rezistența fasciculului în funcție de criteriul energetic.

Din considerație diagramele Q și M urmează că secțiunea C este periculoasă,în care acţionează M C =M max =48,3 kNm și Q C =Q max =48,9 kN.

Să ducem la îndeplinire analiza stării de tensiune în punctele secțiunii C

Să definim tensiuni normale și forfecare la mai multe niveluri (marcate pe diagrama secțiunii)

Nivelul 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

Normală și tangentă Voltaj:

Principal Voltaj:

Nivelul 2−2: y 2-2 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Principalele tensiuni:

Nivelul 3−3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0,97=9,03 cm.

Tensiuni normale și forfecare: