La aplecarea asupra lor constant. îndoi. Ipoteze pentru derivarea formulelor. Tensiuni normale

Începem cu cel mai simplu caz, așa-numita curbare pură.

Îndoirea pură este un caz special de îndoire, în care în secțiuni ale grinzii forta bruta este egal cu zero. Îndoirea pură poate avea loc numai atunci când greutatea proprie a grinzii este atât de mică încât influența sa poate fi neglijată. Pentru grinzi pe două suporturi, exemple de sarcini care provoacă plasă

îndoire, prezentată în fig. 88. Pe secțiuni ale acestor grinzi, unde Q \u003d 0 și, prin urmare, M \u003d const; are loc curba pură.

Forțele din orice secțiune a grinzii cu încovoiere pură sunt reduse la o pereche de forțe, al căror plan de acțiune trece prin axa grinzii, iar momentul este constant.

Tensiunile pot fi determinate pe baza următoarelor considerații.

1. Componentele tangențiale ale forțelor pe zonele elementare din secțiunea transversală a grinzii nu pot fi reduse la o pereche de forțe, al căror plan de acțiune este perpendicular pe planul secțiunii. Rezultă că forța de îndoire în secțiune este rezultatul acțiunii asupra zonelor elementare

numai forțe normale și, prin urmare, la încovoiere pură, tensiunile se reduc doar la cele normale.

2. Pentru ca eforturile pe platformele elementare să se reducă la doar câteva forțe, între ele trebuie să existe atât pozitive, cât și negative. Prin urmare, trebuie să existe atât fibre de fascicul tensionate, cât și comprimate.

3. Datorită faptului că forțele în secțiuni diferite sunt aceleași, tensiunile în punctele corespunzătoare ale secțiunilor sunt aceleași.

Luați în considerare orice element din apropierea suprafeței (Fig. 89, a). Deoarece nu sunt aplicate forțe de-a lungul feței sale inferioare, care coincide cu suprafața grinzii, nici nu există solicitări asupra acesteia. Prin urmare, nu există solicitări pe fața superioară a elementului, deoarece altfel elementul nu ar fi în echilibru.Considerând elementul adiacent acestuia în înălțime (Fig. 89, b), ajungem la

Aceeași concluzie etc. Rezultă că nu există solicitări de-a lungul fețelor orizontale ale oricărui element. Având în vedere elementele care alcătuiesc stratul orizontal, începând cu elementul din apropierea suprafeței grinzii (Fig. 90), ajungem la concluzia că nu există solicitări de-a lungul fețelor verticale laterale ale vreunui element. Astfel, starea de solicitare a oricărui element (Fig. 91, a), și în limita fibrei, trebuie reprezentată așa cum se arată în Fig. 91b, adică poate fi fie tensiune axială, fie compresie axială.

4. Datorită simetriei aplicării forțelor externe, secțiunea de-a lungul mijlocului lungimii grinzii după deformare trebuie să rămână plată și normală față de axa grinzii (Fig. 92, a). Din același motiv, secțiunile în sferturi din lungimea grinzii rămân, de asemenea, plate și normale pe axa grinzii (Fig. 92, b), dacă numai secțiunile extreme ale grinzii rămân plate și normale pe axa grinzii în timpul deformării. O concluzie similară este valabilă și pentru secțiuni în optimi din lungimea grinzii (Fig. 92, c), etc. Prin urmare, dacă secțiunile extreme ale grinzii rămân plate în timpul îndoirii, atunci pentru orice secțiune rămâne

este corect să spunem că după deformare rămâne plată și normală față de axa grinzii curbe. Dar, în acest caz, este evident că modificarea alungirii fibrelor fasciculului de-a lungul înălțimii sale ar trebui să aibă loc nu numai continuu, ci și monoton. Dacă numim un strat un set de fibre având aceleași alungiri, atunci din cele spuse rezultă că fibrele întinse și comprimate ale grinzii ar trebui să fie situate pe laturile opuse ale stratului în care alungirile fibrelor sunt egale cu zero. Vom numi neutre fibrele ale căror alungiri sunt egale cu zero; un strat format din fibre neutre - un strat neutru; linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale a fasciculului - linia neutră a acestei secțiuni. Apoi, pe baza considerațiilor anterioare, se poate argumenta că, cu o îndoire pură a grinzii în fiecare dintre secțiunile sale, există o linie neutră care împarte această secțiune în două părți (zone): zona fibrelor întinse (zona tensionată) și zona fibrelor comprimate (zona comprimată). În consecință, tensiunile normale de întindere ar trebui să acționeze în punctele zonei întinse a secțiunii transversale, tensiunile de compresiune în punctele zonei comprimate, iar în punctele liniei neutre tensiunile sunt egale cu zero.

Astfel, cu o îndoire pură a unui fascicul cu secțiune transversală constantă:

1) doar tensiunile normale acţionează în secţiuni;

2) întreaga secțiune poate fi împărțită în două părți (zone) - întinsă și comprimată; limita zonelor este linia neutră a secțiunii, în punctele căreia tensiunile normale sunt egale cu zero;

3) orice element longitudinal al grinzii (în limită, orice fibră) este supus unei tensiuni sau compresii axiale, astfel încât fibrele adiacente să nu interacționeze între ele;

4) dacă secțiunile extreme ale grinzii în timpul deformării rămân plate și normale pe axă, atunci toate secțiunile sale transversale rămân plate și normale pe axa grinzii curbe.

Starea de tensiune a unei grinzi în încovoiere pură

Luați în considerare un element al unui fascicul supus unei îndoiri pure, concluzionând măsurată între secțiunile m-m și n-n, care sunt distanțate una de alta la o distanță infinit de mică dx (Fig. 93). Datorită prevederii (4) din paragraful anterior, secțiunile m-m și n-n, care erau paralele înainte de deformare, după îndoire, rămânând plate, vor forma un unghi dQ și se vor intersecta de-a lungul unei drepte care trece prin punctul C, care este centrul. de curbură fibra neutră NN. Apoi partea fibrei AB închisă între ele, situată la distanța z de fibra neutră (direcția pozitivă a axei z este luată spre convexitatea fasciculului în timpul îndoirii), se va transforma într-un arc A „B” după deformare.Un segment al fibrei neutre O1O2, transformându-se într-un arc O1O2, nu își va schimba lungimea, în timp ce fibra AB va primi o alungire:

înainte de deformare

după deformare

unde p este raza de curbură a fibrei neutre.

Prin urmare, alungirea absolută a segmentului AB este

si alungirea

Întrucât, conform poziţiei (3), fibra AB este supusă unei tensiuni axiale, apoi cu deformare elastică

Din aceasta se poate observa că tensiunile normale de-a lungul înălțimii grinzii sunt distribuite după o lege liniară (Fig. 94). Deoarece forța egală a tuturor eforturilor asupra tuturor secțiunilor elementare ale secțiunii trebuie să fie egală cu zero, atunci

de unde, înlocuind valoarea din (5.8), aflăm

Dar ultima integrală este un moment static în jurul axei Oy, care este perpendiculară pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere.

Datorită egalității sale cu zero, această axă trebuie să treacă prin centrul de greutate O al secțiunii. Astfel, linia neutră a secțiunii grinzii este o dreaptă yy, perpendiculară pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere. Se numește axa neutră a secțiunii fasciculului. Apoi din (5.8) rezultă că tensiunile în puncte situate la aceeași distanță de axa neutră sunt aceleași.

Cazul de încovoiere pură, în care forțele de încovoiere acționează doar într-un singur plan, provocând îndoirea numai în acel plan, este o încovoiere pură plană. Dacă planul numit trece prin axa Oz, atunci momentul eforturilor elementare în raport cu această axă trebuie să fie egal cu zero, adică.

Înlocuind aici valoarea lui σ din (5.8), găsim

Integrala din partea stângă a acestei egalități, după cum se știe, este momentul de inerție centrifugal al secțiunii în jurul axelor y și z, astfel încât

Axele față de care momentul de inerție centrifugal al secțiunii este egal cu zero se numesc axele principale de inerție ale acestei secțiuni. Dacă, în plus, trec prin centrul de greutate al secțiunii, atunci ele pot fi numite principalele axe centrale de inerție ale secțiunii. Astfel, cu o încovoiere plată pură, direcția planului de acțiune al forțelor de încovoiere și axa neutră a secțiunii sunt principalele axe centrale de inerție ale acesteia din urmă. Cu alte cuvinte, pentru a obține o îndoire plană pură a unei grinzi, nu i se poate aplica în mod arbitrar o sarcină: ea trebuie redusă la forțe care acționează într-un plan care trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunilor grinzii; în acest caz, cealaltă axă centrală principală de inerție va fi axa neutră a secțiunii.

După cum se știe, în cazul unei secțiuni care este simetrică față de orice axă, axa de simetrie este una dintre principalele sale axe centrale de inerție. Prin urmare, în acest caz particular, vom obține cu siguranță o încovoiere pură prin aplicarea analoadelor corespunzătoare în planul care trece prin axa longitudinală a grinzii și axa de simetrie a secțiunii sale. Linia dreaptă, perpendiculară pe axa de simetrie și care trece prin centrul de greutate al secțiunii, este axa neutră a acestei secțiuni.

După ce s-a stabilit poziția axei neutre, nu este dificil să găsești magnitudinea tensiunii în orice punct al secțiunii. Într-adevăr, deoarece suma momentelor forțelor elementare în raport cu axa neutră yy trebuie să fie egală cu momentul încovoietor, atunci

de unde, înlocuind valoarea lui σ din (5.8), aflăm

Întrucât integrala este momentul de inerție al secțiunii în jurul axei y, atunci

iar din expresia (5.8) obţinem

Produsul EI Y se numește rigiditatea la încovoiere a grinzii.

Cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele de compresiune în valoare absolută acționează în punctele secțiunii pentru care valoarea absolută a lui z este cea mai mare, adică în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Cu denumirile, Fig. 95 au

Valoarea lui Jy / h1 se numește momentul de rezistență a secțiunii la întindere și se notează cu Wyr; în mod similar, Jy/h2 se numește momentul de rezistență a secțiunii la compresiune

și indică Wyc, deci

prin urmare

Dacă axa neutră este axa de simetrie a secțiunii, atunci h1 = h2 = h/2 și, în consecință, Wyp = Wyc, deci nu este nevoie să facem distincție între ele și folosesc aceeași denumire:

denumind W y pur și simplu modulul secțiunii.De aceea, în cazul unei secțiuni simetrice față de axa neutră,

Toate concluziile de mai sus sunt obținute pe baza ipotezei că secțiunile transversale ale grinzii, atunci când sunt îndoite, rămân plate și normale față de axa acesteia (ipoteza secțiunilor plate). După cum se arată, această ipoteză este valabilă numai dacă secțiunile extreme (de capăt) ale grinzii rămân plate în timpul îndoirii. Pe de altă parte, din ipoteza secțiunilor plane rezultă că forțele elementare din astfel de secțiuni ar trebui distribuite conform unei legi liniare. Prin urmare, pentru validitatea teoriei obținute a încovoierii pure plane, este necesar ca momentele încovoietoare de la capetele grinzii să fie aplicate sub formă de forțe elementare distribuite de-a lungul înălțimii secțiunii conform unei legi liniare (Fig. 96), care coincide cu legea distribuției tensiunilor de-a lungul înălțimii grinzilor de secțiune. Cu toate acestea, pe baza principiului Saint-Venant, se poate susține că o modificare a metodei de aplicare a momentelor încovoietoare la capetele grinzii va provoca doar deformații locale, al căror efect va afecta doar la o anumită distanță de acestea. capete (aproximativ egale cu înălțimea secțiunii). Secțiunile situate în restul lungimii grinzii vor rămâne plate. În consecință, teoria enunțată a îndoirii plane pure, cu orice metodă de aplicare a momentelor încovoietoare, este valabilă numai în partea de mijloc a lungimii grinzii, situată la distanțe față de capetele acesteia aproximativ egale cu înălțimea secțiunii. Din aceasta rezultă clar că această teorie este în mod evident inaplicabilă dacă înălțimea secțiunii depășește jumătate din lungimea sau deschiderea grinzii.

îndoi



Concepte de bază despre îndoire

Deformarea la încovoiere este caracterizată prin pierderea dreptății sau a formei originale de către linia fasciculului (axa acesteia) atunci când se aplică o sarcină externă. În acest caz, spre deosebire de deformarea prin forfecare, linia fasciculului își schimbă fără probleme forma.
Este ușor de observat că rezistența la îndoire este afectată nu numai de aria secțiunii transversale a grinzii (grindă, tijă etc.), ci și de forma geometrică a acestei secțiuni.

Deoarece corpul (grindă, grindă etc.) este îndoit față de orice axă, rezistența la încovoiere este afectată de mărimea momentului de inerție axial al secțiunii corpului față de această axă.
Pentru comparație, în timpul deformării prin torsiune, secțiunea corpului este supusă răsucirii față de pol (punct), prin urmare, momentul polar de inerție al acestei secțiuni afectează rezistența la torsiune.

Multe elemente structurale pot lucra la îndoire - axe, arbori, grinzi, dinți angrenaj, pârghii, tije etc.

În rezistența materialelor, sunt luate în considerare mai multe tipuri de îndoire:
- în funcție de natura sarcinii exterioare aplicate grinzii, se disting curba purăși îndoire transversală ;
- în funcție de locația planului de acțiune al sarcinii de încovoiere față de axa grinzii - curba dreaptăși îndoire oblică.

Îndoirea fasciculului pur și transversal

O îndoire pură este un tip de deformare în care apare doar un moment încovoietor în orice secțiune transversală a grinzii ( orez. 2).
Deformarea îndoirii pure va avea loc, de exemplu, dacă două perechi de forțe egale ca mărime și cu semn opus sunt aplicate unui fascicul drept într-un plan care trece prin axă. Atunci numai momentele încovoietoare vor acționa în fiecare secțiune a grinzii.

Dacă îndoirea are loc ca urmare a aplicării unei forțe transversale barei ( orez. 3), atunci o astfel de îndoire se numește transversală. În acest caz, în fiecare secțiune a grinzii, acționează atât forța transversală, cât și momentul încovoietor (cu excepția secțiunii la care sarcina externă).

Dacă grinda are cel puțin o axă de simetrie, iar planul de acțiune al sarcinilor coincide cu aceasta, atunci are loc îndoirea directă, dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci are loc îndoirea oblică.

Când studiem deformația la încovoiere, ne vom imagina mental că o grindă (grindă) constă dintr-un număr nenumărat de fibre longitudinale paralele cu axa.
Pentru a vizualiza deformarea unei coturi directe, vom efectua un experiment cu o bară de cauciuc, pe care se aplică o grilă de linii longitudinale și transversale.
Supunând o astfel de bară la o îndoire directă, se poate observa că ( orez. unu):

Liniile transversale vor rămâne drepte atunci când sunt deformate, dar se vor întoarce în unghi unele față de altele;
- secțiunile grinzii se vor extinde pe direcția transversală pe latura concavă și se vor îngusta pe partea convexă;
- liniile drepte longitudinale vor fi curbate.

Din această experiență se poate concluziona că:

Pentru curbarea pură este valabilă ipoteza secțiunilor plane;
- fibrele situate pe partea convexă sunt întinse, pe partea concavă sunt comprimate, iar la limita dintre ele se întinde un strat neutru de fibre care doar se îndoaie fără a-și schimba lungimea.

Presupunând că ipoteza nepresiunii fibrelor este corectă, se poate argumenta că la îndoirea pură în secțiunea transversală a grinzii apar doar tensiuni normale de tracțiune și compresiune, care sunt distribuite neuniform pe secțiune.
Se numește linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale axa neutră. Este evident că tensiunile normale pe axa neutră sunt egale cu zero.

Momentul încovoietor și forța tăietoare

După cum se știe din mecanica teoretică, reacțiile de sprijin ale grinzilor sunt determinate prin compilarea și rezolvarea ecuațiilor de echilibru static pentru întregul fascicul. La rezolvarea problemelor de rezistență a materialelor și la determinarea factorilor de forță interni în bare, am luat în considerare reacțiile legăturilor împreună cu sarcinile externe care acționează asupra barelor.
Pentru a determina factorii de forță interni, folosim metoda secțiunii și vom reprezenta fasciculul cu o singură linie - axa la care se aplică forțele active și reactive (sarcini și reacții ale legăturilor).

Luați în considerare două cazuri:

1. Două perechi de forțe egale și opuse sunt aplicate grinzii.
Având în vedere echilibrul părții din grinda situată în stânga sau în dreapta secțiunii 1-1 (Fig. 2), vedem că în toate secțiunile transversale există doar un moment încovoietor M și egal cu momentul exterior. Astfel, acesta este un caz de îndoire pură.

Momentul încovoietor este momentul rezultat în jurul axei neutre a forțelor normale interne care acționează în secțiunea transversală a grinzii.

Să fim atenți la faptul că momentul încovoietor are o direcție diferită pentru stânga și dreapta părțile potrivite grinzi. Aceasta indică inadecvarea regulii semnelor statiei în determinarea semnului momentului încovoietor.

2. Forțe active și reactive (sarcini și reacții ale legăturilor) perpendiculare pe ax sunt aplicate fasciculului (orez. 3). Având în vedere echilibrul pieselor grinzii situate în stânga și în dreapta, vedem că momentul încovoietor M ar trebui să acționeze în secțiuni transversale. și și forța tăietoare Q.
Din aceasta rezultă că, în cazul în cauză, în punctele secţiunilor transversale acţionează nu numai solicitări normale corespunzătoare momentului încovoietor, ci şi solicitări tangenţiale corespunzătoare forţei transversale.

Forța transversală este rezultanta forțelor tangențiale interne în secțiunea transversală a grinzii.

Să acordăm atenție faptului că forța tăietoare are direcția opusă pentru părțile din stânga și din dreapta ale grinzii, ceea ce indică inadecvarea regulii semnelor statice la determinarea semnului forței tăietoare.

Încovoierea, în care un moment încovoietor și o forță transversală acționează în secțiunea transversală a grinzii, se numește transversală.



Pentru o grindă aflată în echilibru cu acțiunea unui sistem plat de forțe, suma algebrică a momentelor tuturor forțelor active și reactive relativ la orice punct este egală cu zero; prin urmare, suma momentelor forțelor exterioare care acționează asupra grinzii din stânga secțiunii este numeric egală cu suma momentelor tuturor forțelor externe care acționează asupra grinzii din dreapta secțiunii.
Prin urmare, momentul încovoietor în secțiunea grinzii este numeric egal cu suma algebrică a momentelor în jurul centrului de greutate al secțiunii tuturor forțelor externe care acționează asupra grinzii la dreapta sau la stânga secțiunii.

Pentru o grindă aflată în echilibru sub acțiunea unui sistem plan de forțe perpendicular pe axă (adică, un sistem de forțe paralele), suma algebrică a tuturor forțelor externe este zero; prin urmare, suma forțelor exterioare care acționează asupra grinzii din stânga secțiunii este numeric egală cu suma algebrică a forțelor care acționează asupra grinzii din dreapta secțiunii.
Prin urmare, forța transversală în secțiunea grinzii este numeric egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează la dreapta sau la stânga secțiunii.

Deoarece regulile semnelor de statică sunt inacceptabile pentru stabilirea semnelor momentului încovoietor și al forței transversale, vom stabili alte reguli de semne pentru ele, și anume: fasciculul convex în sus, atunci momentul încovoietor în secțiune este considerat negativ ( Figura 4a).

Dacă suma forțelor externe situate pe partea stângă a secțiunii dă o rezultantă îndreptată în sus, atunci forța tăietoare în secțiune este considerată pozitivă, dacă rezultanta este îndreptată în jos, atunci forța tăietoare în secțiune este considerată negativă; pentru partea din grinda situată în dreapta secțiunii, semnele forței transversale vor fi opuse ( orez. 4b). Folosind aceste reguli, ar trebui să ne imaginăm mental secțiunea grinzii ca fiind prinsă rigid, iar conexiunile ca fiind aruncate și înlocuite cu reacții.

Încă o dată, observăm că pentru a determina reacțiile legăturilor se folosesc regulile semnelor de statică, iar pentru a determina semnele momentului încovoietor și al forței transversale se folosesc regulile semnelor rezistenței materialelor.
Regula semnelor pentru momentele de încovoiere este uneori numită „regula ploii”, ceea ce înseamnă că, în cazul unei umflături în jos, se formează o pâlnie în care se reține apa de ploaie (semnul este pozitiv) și invers - dacă este sub acțiunea sarcinilor fasciculul se îndoaie în sus în arc, apa de pe ea nu întârzie (semnul momentelor încovoietoare este negativ).

Materiale din secțiunea „Îndoire”:

O îndoire este un tip de deformare în care axa longitudinală a grinzii este îndoită. Grinzile drepte care lucrează la îndoire se numesc grinzi. O curbă dreaptă este o îndoire în care forțele externe care acționează asupra grinzii se află în același plan (planul forței) care trece prin axa longitudinală a grinzii și prin axa centrală principală de inerție a secțiunii transversale.

Îndoirea se numește pură, dacă apare un singur moment încovoietor în orice secțiune transversală a grinzii.

Încovoierea, în care un moment încovoietor și o forță transversală acționează simultan în secțiunea transversală a grinzii, se numește transversală. Linia de intersecție a planului forței și a planului secțiunii transversale se numește linie de forță.

Factori de forță interni în îndoirea fasciculului.

Cu o încovoiere transversală plană în secțiunile grinzii, apar doi factori de forță interni: forța transversală Q și momentul încovoietor M. Pentru determinarea acestora se utilizează metoda secțiunii (vezi cursul 1). Forța transversală Q în secțiunea grinzii este egală cu suma algebrică a proiecțiilor pe planul de secțiune a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare.

Regula semnului pentru forțele tăietoare Q:

Momentul încovoietor M în secțiunea grinzii este egal cu suma algebrică a momentelor în jurul centrului de greutate al acestei secțiuni a tuturor forțelor externe care acționează pe o parte a secțiunii luate în considerare.

Regula semnului pentru momentele încovoietoare M:

Dependențe diferențiale ale lui Zhuravsky.

Între intensitatea q a sarcinii distribuite se stabilesc expresiile pentru forța transversală Q și momentul încovoietor M. dependențe diferențiale:

Pe baza acestor dependențe, se pot distinge următoarele tipare generale diagrame ale forțelor transversale Q și momentelor încovoietoare M:

Particularități ale diagramelor factorilor de forță interni în încovoiere.

1. Pe secțiunea grinzii în care nu există sarcină distribuită, este prezentat graficul Q linie dreapta , paralel cu baza diagramei, iar diagrama M este o dreaptă înclinată (Fig. a).

2. În secțiunea în care se aplică forța concentrată, pe diagrama Q ar trebui să existe a sari , egală cu valoarea acestei forțe, iar pe diagrama M - punctul limita (Fig. a).

3. În secțiunea în care se aplică un moment concentrat, valoarea lui Q nu se modifică, iar diagrama M are a sari , egală cu valoarea acestui moment, (Fig. 26, b).

4. În secțiunea fasciculului cu o sarcină distribuită de intensitate q, diagrama Q se modifică conform unei legi liniare, iar diagrama M - conform uneia parabolice și convexitatea parabolei este îndreptată spre direcția sarcinii distribuite (Fig. c, d).

5. Dacă în secțiunea caracteristică a diagramei Q se intersectează baza diagramei, atunci în secțiunea în care Q = 0, momentul încovoietor are o valoare extremă M max sau M min (Fig. d).

Tensiuni normale de încovoiere.

Determinat prin formula:

Momentul de rezistență al secțiunii la încovoiere este valoarea:

Secțiune periculoasă la îndoire, se numește secțiunea transversală a grinzii, în care apare solicitarea normală maximă.

Tensiuni tangenţiale în încovoiere directă.

Determinat de formula lui Zhuravsky pentru tensiuni de forfecare la curba dreaptă grinzi:

unde S ots - momentul static al zonei transversale a stratului tăiat de fibre longitudinale în raport cu linia neutră.

Calcule de rezistență la încovoiere.

1. La calculul de verificare se determină solicitarea maximă de proiectare, care este comparată cu efortul admisibil:

2. La calcul de proiectare selectarea secțiunii grinzii se face din condiția:

3. La determinarea sarcinii admisibile, momentul încovoietor admisibil este determinat din condiția:

Mișcări de îndoire.

Sub acțiunea unei sarcini de încovoiere, axa grinzii este îndoită. În acest caz, există o întindere a fibrelor pe convex și compresie - pe părțile concave ale fasciculului. În plus, există o mișcare verticală a centrelor de greutate ale secțiunilor transversale și rotația lor față de axa neutră. Pentru a caracteriza deformația în timpul îndoirii, se folosesc următoarele concepte:

Deviația fasciculului Y- deplasarea centrului de greutate a secțiunii transversale a fasciculului pe direcția perpendiculară pe axa acesteia.

Deviația este considerată pozitivă dacă centrul de greutate se mișcă în sus. Cantitatea de deviere variază de-a lungul lungimii fasciculului, adică y=y(z)

Unghiul de rotație al secțiunii- unghiul θ cu care se rotește fiecare secțiune față de poziția inițială. Unghiul de rotație este considerat pozitiv atunci când secțiunea este rotită în sens invers acelor de ceasornic. Valoarea unghiului de rotație variază de-a lungul lungimii fasciculului, fiind funcție de θ = θ (z).

Cea mai comună modalitate de a determina deplasările este metoda morași regula lui Vereșchagin.

metoda Mohr.

Procedura de determinare a deplasărilor conform metodei Mohr:

1. Un „sistem auxiliar” este construit și încărcat cu o singură sarcină în punctul în care urmează să fie determinată deplasarea. Dacă se determină o deplasare liniară, atunci se aplică o forță unitară în direcția sa; la determinarea deplasărilor unghiulare, se aplică un moment unitar.

2. Pentru fiecare secțiune a sistemului se înregistrează expresiile momentelor încovoietoare M f din sarcina aplicată și M 1 - dintr-o singură sarcină.

3. Integrale Mohr sunt calculate și însumate pe toate secțiunile sistemului, rezultând deplasarea dorită:

4. Dacă deplasarea calculată are semn pozitiv, aceasta înseamnă că direcția sa coincide cu direcția forței unitare. Semnul negativ indică faptul că deplasarea reală este opusă direcției forței unitare.

regula lui Vereșchagin.

Pentru cazul în care diagrama momentelor încovoietoare de la o sarcină dată are o sarcină arbitrară și dintr-o singură sarcină - un contur rectiliniu, este convenabil să folosiți metoda grafico-analitică sau regula lui Vereshchagin.

unde A f este aria diagramei momentului încovoietor M f de la o sarcină dată; y c este ordonata diagramei dintr-o singură sarcină sub centrul de greutate al diagramei M f ; EI x - rigiditatea secțiunii secțiunii grinzii. Calculele conform acestei formule se fac pe secțiuni, pe fiecare dintre acestea diagrama în linie dreaptă trebuie să fie fără fracturi. Valoarea (A f *y c) este considerată pozitivă dacă ambele diagrame sunt situate pe aceeași parte a fasciculului, negativă dacă sunt situate pe laturi opuse. Un rezultat pozitiv al înmulțirii diagramelor înseamnă că direcția de mișcare coincide cu direcția unei forțe (sau moment) unitare. O diagramă complexă M f trebuie împărțită în figuri simple (se folosește așa-numita „stratificare pură”), pentru fiecare dintre acestea fiind ușor de determinat ordonata centrului de greutate. În acest caz, aria figurii de pe plajă este înmulțită cu ordonata de sub centrul său de greutate.

Ipoteza secțiunilor plate în încovoiere poate fi explicat printr-un exemplu: să aplicăm o grilă pe suprafața laterală a unei grinzi nedeformate, constând din linii drepte longitudinale și transversale (perpendiculare pe axă). Ca urmare a îndoirii grinzii, liniile longitudinale vor căpăta o formă curbilinie, în timp ce liniile transversale vor rămâne practic drepte și perpendiculare pe axa îndoită a grinzii.

Formularea ipotezei secțiunii plane: secțiunile transversale care sunt plane și perpendiculare pe axa grinzii înainte de , rămân plate și perpendiculare pe axa curbă după ce aceasta a fost deformată.

Această împrejurare indică faptul că atunci când ipoteza secțiunii plate, ca și cu și

Pe lângă ipoteza secțiunilor plate, se face o presupunere: fibrele longitudinale ale grinzii nu se apasă unele pe altele atunci când este îndoită.

Se numesc ipoteza secțiunilor plate și ipoteza Conjectura lui Bernoulli.

Luați în considerare o grindă cu secțiune transversală dreptunghiulară care experimentează îndoire pură (). Să selectăm un element de grindă cu o lungime (Fig. 7.8. a). Ca urmare a îndoirii, secțiunile transversale ale grinzii se vor roti, formând un unghi. Fibrele superioare sunt în compresie, iar fibrele inferioare sunt în tensiune. Raza de curbură a fibrei neutre se notează cu .

Considerăm condiționat că fibrele își schimbă lungimea, rămânând în același timp drepte (Fig. 7.8. b). Apoi alungirea absolută și relativă a fibrei, distanțate la o distanță y de fibra neutră:

Să arătăm că fibrele longitudinale, care nu suferă nici tensiune, nici compresie în timpul îndoirii grinzii, trec prin axa centrală principală x.

Deoarece lungimea grinzii nu se modifică în timpul îndoirii, forța longitudinală (N) care apare în secțiune transversală trebuie să fie zero. Forță longitudinală elementară.

Având în vedere expresia :

Multiplicatorul poate fi scos din semnul integral (nu depinde de variabila de integrare).

Expresia reprezintă secțiunea transversală a fasciculului în raport cu axa x neutră. Este zero când axa neutră trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale. În consecință, axa neutră (linia zero) când fasciculul este îndoit trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

Evident: momentul încovoietor este asociat cu solicitări normale care apar în punctele secțiunii transversale a tijei. Momentul încovoietor elementar creat de forța elementară:

,

unde este momentul de inerție axial al secțiunii transversale în jurul axei neutre x, iar raportul este curbura axei fasciculului.

Rigiditate grinzi în îndoire(cu cât este mai mare, cu atât raza de curbură este mai mică).

Formula rezultată reprezintă Legea lui Hooke în îndoirea pentru o lansetă: momentul încovoietor care apare în secțiune transversală este proporțional cu curbura axei grinzii.

Exprimarea din formula legii lui Hooke pentru o tijă la îndoirea razei de curbură () și înlocuirea valorii acesteia în formula , obținem formula tensiunilor normale () într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a grinzii, distanțat la o distanță y de axa neutră x: .

În formula pentru tensiuni normale () într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a grinzii, trebuie înlocuite valorile absolute ale momentului încovoietor () și distanța de la punct la axa neutră (coordonatele y) . Dacă solicitarea într-un punct dat va fi de tracțiune sau de compresiune este ușor de stabilit prin natura deformației grinzii sau prin diagrama momentelor încovoietoare ale căror ordonate sunt trasate din partea fibrelor comprimate ale grinzii.

Se poate observa din formula: tensiunile normale () se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii transversale a grinzii conform unei legi liniare. Pe fig. 7.8, este prezentată parcela. Cele mai mari solicitări în timpul îndoirii grinzii apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Dacă în secțiunea transversală a fasciculului este trasată o linie paralelă cu axa neutră x, atunci apar aceleași tensiuni normale în toate punctele sale.

Analiză simplă diagrame de tensiuni normale arată că atunci când fasciculul este îndoit, materialul situat în apropierea axei neutre practic nu funcționează. Prin urmare, pentru a reduce greutatea grinzii, se recomandă să alegeți forme de secțiune transversală în care cea mai mare parte a materialului este îndepărtată de pe axa neutră, cum ar fi, de exemplu, un profil în I.

Cotitură transversală dreaptă apare atunci când toate sarcinile sunt aplicate perpendicular pe axa tijei, se află în același plan și, în plus, planul de acțiune a acestora coincide cu una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunii. Îndoire transversală directă se referă la la vedere rezistență și este starea de stres plană, adică cele două tensiuni principale sunt diferite de zero. Odată cu acest tip de deformare, apar forțe interne: o forță transversală și un moment încovoietor. Un caz special de îndoire transversală directă este curba pură, cu o astfel de rezistență există secțiuni de marfă, în interiorul cărora forța transversală dispare, iar momentul încovoietor este diferit de zero. În secțiunile transversale ale tijelor cu încovoiere transversală directă apar tensiuni normale și forfecare. Tensiunile sunt o funcție a forței interne, în acest caz tensiunile normale sunt o funcție a momentului încovoietor, iar tensiunile tangențiale sunt o funcție a forței transversale. Pentru îndoirea directă transversală se introduc câteva ipoteze:

1) Secțiunile transversale ale grinzii, care sunt plate înainte de deformare, rămân plate și ortogonale față de stratul neutru după deformare (ipoteza secțiunilor plane sau ipoteza lui J. Bernoulli). Această ipoteză este valabilă pentru încovoiere pură și este încălcată atunci când apar o forță de forfecare, solicitări de forfecare și deformare unghiulară.

2) Nu există presiune reciprocă între straturile longitudinale (ipoteză despre nepresiunea fibrelor). Din această ipoteză rezultă că fibrele longitudinale experimentează tensiune sau compresie uniaxiale, prin urmare, cu încovoiere pură, legea lui Hooke este valabilă.

O bară în curs de îndoire se numește grindă. La îndoire, o parte a fibrelor este întinsă, cealaltă parte este comprimată. Se numește stratul de fibre dintre fibrele întinse și cele comprimate strat neutru, trece prin centrul de greutate al secțiunilor. Se numește linia de intersecție cu secțiunea transversală a fasciculului axa neutră. Pe baza ipotezelor introduse pentru încovoiere pură se obține o formulă de determinare a tensiunilor normale, care este utilizată și pentru îndoirea directă transversală. Efortul normal poate fi găsit folosind relația liniară (1), în care raportul dintre momentul încovoietor și momentul axial de inerție (
) într-o anumită secțiune este o valoare constantă, iar distanța ( y) de-a lungul axei ordonatelor de la centrul de greutate al secțiunii până la punctul în care este determinată solicitarea, variază de la 0 la
.

. (1)

Pentru a determina efortul de forfecare în timpul îndoirii în 1856. inginer-constructor rus de poduri D.I. Zhuravsky a obținut dependența

. (2)

Efortul de forfecare într-o anumită secțiune nu depinde de raportul dintre forța transversală și momentul axial de inerție (
), deoarece această valoare nu se modifică într-o secțiune, dar depinde de raportul dintre momentul static al zonei părții tăiate și lățimea secțiunii la nivelul părții tăiate (
).

În îndoirea directă transversală, există mișcări: abateri (v ) și unghiuri de rotație (Θ ) . Pentru determinarea acestora se folosesc ecuațiile metodei parametrilor inițiali (3), care se obțin prin integrarea ecuației diferențiale a axei îndoite a grinzii (
).

Aici v 0 , Θ 0 ,M 0 , Q 0 - parametri inițiali, X – distanța de la originea coordonatelor până la secțiunea în care este definită deplasarea , A este distanța de la originea coordonatelor până la locul de aplicare sau începutul sarcinii.

Calculul pentru rezistență și rigiditate se realizează folosind condițiile de rezistență și rigiditate. Cu ajutorul acestor condiții, se pot rezolva probleme de verificare (efectuează verificarea îndeplinirii condiției), se pot determina dimensiunea secțiunii transversale sau se selectează valoarea admisă a parametrului de sarcină. Există mai multe condiții de rezistență, unele dintre ele sunt prezentate mai jos. Condiție de forță pentru stres normale se pare ca:

, (4)

Aici
– modulul secțiunii în raport cu axa z, R – rezistenta de proiectare pentru stres normale.

Condiție de rezistență pentru solicitările de forfecare se pare ca:

, (5)

aici notația este aceeași ca în formula Zhuravsky și R s - rezistența de proiectare la forfecare sau rezistența de proiectare la forfecare.

Condiția de forță conform celei de-a treia ipoteze de forță sau ipoteza celor mai mari solicitări de forfecare se poate scrie sub următoarea formă:

. (6)

Condiții de rigiditate poate fi scris pentru abateri (v ) și unghiuri de rotație (Θ ) :

unde valorile deplasării între paranteze drepte sunt valabile.

Un exemplu de îndeplinire a unei sarcini individuale nr. 4 (termen 2-8 saptamani)