Tije plate îndoite. Cotitură transversală dreaptă. Tipuri simple de rezistență. îndoire plată

Apartament îndoire transversală grinzi. Forțe interne de îndoire. Dependențe diferențiate ale forțelor interne. Reguli de verificare a diagramelor forțelor interne în încovoiere. Tensiuni normale și forfecare la încovoiere. Calculul rezistenței pentru tensiuni normale și forfecare.

10. TIPURI SIMPLE DE REZISTENTA. CUT PLAT

10.1. Concepte și definiții generale

Îndoirea este un tip de încărcare în care tija este încărcată cu momente în planuri care trec prin axa longitudinală a tijei.

O tijă care lucrează în îndoire se numește grindă (sau bară). În viitor, vom lua în considerare grinzile drepte, a căror secțiune transversală are cel puțin o axă de simetrie.

În rezistența materialelor, îndoirea este plată, oblică și complexă.

Îndoirea plată este o îndoire în care toate forțele de îndoire a grinzii se află într-unul dintre planurile de simetrie ale grinzii (într-unul dintre planurile principale).

Planurile principale de inerție ale grinzii sunt planele care trec prin axele principale ale secțiunilor transversale și axa geometrică a grinzii (axa x).

O îndoire oblică este o îndoire în care sarcinile acționează într-un singur plan care nu coincide cu planurile principale de inerție.

Îndoirea complexă este o îndoire în care sarcinile acționează în planuri diferite (arbitrare).

10.2. Determinarea forțelor interne de încovoiere

Să considerăm două cazuri caracteristice de încovoiere: în primul caz, grinda cantilever este îndoită de un moment concentrat M o ; în al doilea, prin forța concentrată F.

Folosind metoda secțiunilor mentale și compilând ecuațiile de echilibru pentru părțile tăiate ale grinzii, determinăm forțele interne în ambele cazuri:

Restul ecuațiilor de echilibru sunt în mod evident identic egale cu zero.

Astfel, în cazul general al îndoirii plane în secțiunea grinzii, din șase forțe interne, apar două - momentul de îndoire M z și forta bruta Q y (sau la îndoire în jurul unei alte axe principale - momentul încovoietor M y și forța transversală Q z ).

În acest caz, în conformitate cu cele două cazuri de încărcare luate în considerare, îndoirea plată poate fi împărțită în pură și transversală.

Îndoirea pură este o îndoire plată, în care doar una din șase forțe interne ia naștere în secțiunile tijei - un moment de încovoiere (vezi primul caz).

îndoire transversală- încovoiere, în care, pe lângă momentul încovoietor intern, apare și o forță transversală în secțiunile tijei (vezi al doilea caz).

Strict vorbind, doar îndoirea pură aparține tipurilor simple de rezistență; îndoirea transversală este denumită în mod condiționat tipuri simple de rezistență, deoarece în majoritatea cazurilor (pentru grinzi suficient de lungi) acțiunea unei forțe transversale poate fi neglijată în calculele de rezistență.

La determinarea forțelor interne, vom respecta următoarea regulă de semne:

1) forța transversală Q y este considerată pozitivă dacă tinde să rotească în sensul acelor de ceasornic elementul grinzii luat în considerare;

2) momentul de îndoire M z este considerat pozitiv dacă, atunci când elementul de grindă este îndoit, fibrele superioare ale elementului sunt comprimate, iar fibrele inferioare sunt întinse (regula umbrelă).

Astfel, rezolvarea problemei determinării forțelor interne la încovoiere se va construi după următorul plan: 1) în prima etapă, luând în considerare condițiile de echilibru ale structurii în ansamblu, determinăm, dacă este necesar, reacțiile necunoscute. a suporturilor (de remarcat că pentru o grindă cantilever, reacțiile în încastre pot fi și nu se constată dacă luăm în considerare grinda din capătul liber); 2) la a doua etapă, selectăm secțiunile caracteristice ale grinzii, luând drept limite ale secțiunilor punctele de aplicare a forțelor, punctele de modificare a formei sau dimensiunilor grinzii, punctele de fixare a grinzii; 3) la a treia etapă, determinăm forțele interne în secțiunile grinzii, luând în considerare condițiile de echilibru pentru elementele grinzii din fiecare dintre secțiuni.

10.3. Dependențe diferențiale în îndoire

Să stabilim câteva relații între forțele interne și sarcinile externe în încovoiere, precum și caracteristici diagramele Q și M , cunoașterea cărora va facilita construirea diagramelor și vă va permite să controlați corectitudinea acestora. Pentru comoditatea notării, vom nota: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Să alocăm un element mic dx într-o secțiune a unui fascicul cu o sarcină arbitrară într-un loc în care nu există forțe și momente concentrate. Deoarece întregul fascicul este în echilibru, elementul dx va fi și el în echilibru sub acțiunea forțelor transversale aplicate acestuia, a momentelor încovoietoare și a sarcinii exterioare. Deoarece Q și M se schimbă în general de-a lungul axei grinzii, atunci în secțiunile elementului dx vor exista forțe transversale Q și Q + dQ , precum și momente încovoietoare M și M + dM . Din starea de echilibru a elementului selectat, obținem

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Din a doua ecuație, neglijând termenul q dx (dx /2) ca mărime infinitezimală de ordinul doi, găsim

Relațiile (10.1), (10.2) și (10.3) sunt numite dependențe diferențiale ale lui D. I. Zhuravsky în îndoire.

Analiza celor de mai sus dependențe diferențialeîn încovoiere vă permite să stabiliți unele caracteristici (reguli) pentru construirea diagramelor de momente încovoietoare și forțe tăietoare:

a - în zonele în care nu există sarcină distribuită q, diagramele Q sunt limitate la drepte paralele cu baza, iar diagramele M - drepte oblice;

b - în zonele în care grinzii se aplică o sarcină distribuită q, diagramele Q sunt limitate de linii drepte înclinate, iar diagramele M sunt limitate de parabole pătratice. În același timp, dacă construim diagrama M „pe o fibră întinsă”, atunci convexitatea pa-

lucrarea va fi îndreptată în direcția de acțiune q, iar extremul va fi situat în secțiunea în care parcela Q intersectează linia de bază;

c - în secțiunile în care fasciculului i se aplică o forță concentrată, pe diagrama Q vor fi sărituri cu valoarea și în direcția acestei forțe, iar pe diagrama M sunt îndoite, vârful îndreptat în direcția acestei forțe. forta; d - în secțiunile în care grinzii de pe parcelă i se aplică un moment concentrat

nu vor exista modificari in re Q, iar pe diagrama M vor fi salturi cu valoarea acestui moment; e - în zonele în care Q > 0, momentul M crește, iar în zonele în care Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Tensiuni normale în îndoirea pură a unei grinzi drepte

Să luăm în considerare cazul unei îndoiri plane pure a unei grinzi și să obținem o formulă pentru determinarea tensiunilor normale pentru acest caz. Rețineți că în teoria elasticității este posibil să se obțină o dependență exactă pentru solicitările normale în încovoiere pură, dar dacă această problemă este rezolvată prin metodele de rezistență a materialelor, este necesar să se introducă câteva ipoteze.

Există trei astfel de ipoteze pentru îndoire:

a – ipoteza secțiunii plate (ipoteza lui Bernoulli)

- secțiunile plate înainte de deformare rămân plate după deformare, dar se rotesc doar față de o anumită linie, care se numește axa neutră a secțiunii grinzii. În acest caz, fibrele fasciculului, aflate pe o parte a axei neutre, vor fi întinse, iar pe cealaltă, comprimate; fibrele situate pe axa neutră nu își schimbă lungimea;

b - ipoteza constanţei tensiunilor normale

nii - tensiunile care acționează la aceeași distanță y față de axa neutră sunt constante pe lățimea grinzii;

c – ipoteza despre absența presiunilor laterale –

fibrele longitudinale cenușii nu se apasă unele pe altele.

curba pură numit acest tip de îndoire, în care are loc acțiunea numai moment de încovoiere(Fig. 3.5, A). Să desenăm mental planul de secțiune I-I perpendicular pe axa longitudinală a grinzii la o distanță * de capătul liber al grinzii, căruia i se aplică momentul exterior mz . Să efectuăm acțiuni similare cu cele care au fost efectuate de noi la determinarea tensiunilor și deformațiilor în timpul torsii, și anume:

• 1) alcătuiți ecuațiile de echilibru ale părții tăiate mental a piesei;
• 2) determinăm deformarea materialului piesei pe baza condițiilor de compatibilitate a deformațiilor volumelor elementare ale unei secțiuni date;
• 3) rezolvarea ecuaţiilor de echilibru şi compatibilitate a deformaţiilor.

Din starea de echilibru a secțiunii tăiate a grinzii (Fig. 3.5, b)

obținem că momentul forțelor interne Mz egal cu momentul forţelor exterioare t: M = t.

Orez. 3.5.

Momentul forțelor interne este creat de solicitările normale o v direcționate de-a lungul axei x. La îndoire pură, nu există forțe externe, deci suma proiecțiilor forțelor interne pe orice axă de coordonate este zero. Pe această bază, scriem condițiile de echilibru sub formă de egalități

Unde DAR- zona secțiunii transversale a grinzii (tijă).

În îndoire pură, forțe externe F x , F, F v precum şi momente de forţe exterioare t x, t y sunt egale cu zero. Prin urmare, restul ecuațiilor de echilibru sunt identic egale cu zero.

Din condiţia de echilibru pentru o > 0 rezultă că

tensiune normală cu xîn secțiune transversală ia atât valori pozitive, cât și negative. (Experiența arată că la îndoire, materialul părții inferioare a grinzii din Fig. 3.5, Aîntins, iar cel superior este comprimat.) În consecință, în secțiunea transversală în timpul îndoirii există astfel de volume elementare (ale stratului de tranziție de la compresiune la tensiune) în care nu există alungire sau compresie. Aceasta - strat neutru. Se numește linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale linie neutră.

Condițiile de compatibilitate a deformărilor volumelor elementare în timpul îndoirii se formează pe baza ipotezei secțiunilor plate: plat înainte de îndoire secțiuni transversale grinzi (vezi fig. 3.5, b) va rămâne plat chiar și după îndoire (Fig. 3.6).

Ca rezultat al acțiunii unui moment extern, grinda se îndoaie, iar planurile secțiunilor I-I și II-II se rotesc unul față de celălalt cu un unghi. dy(Fig. 3.6, b). La îndoire pură, deformarea tuturor secțiunilor de-a lungul axei grinzii este aceeași, prin urmare, raza pk de curbură a stratului neutru al grinzii de-a lungul axei x este aceeași. pentru că dx= p k dip, atunci curbura stratului neutru este egală cu 1 / p k = scufundare / dxși este constantă pe toată lungimea fasciculului.

Stratul neutru nu se deformează, lungimea sa înainte și după deformare este egală cu dx. Sub acest strat materialul este întins, deasupra este comprimat.

Orez. 3.6.

Valoarea alungirii stratului intins, situat la distanta y de cel neutru, este egala cu ydq. Alungirea relativă a acestui strat:

Astfel, în modelul adoptat, se obține o distribuție liniară a deformațiilor în funcție de distanța unui volum elementar dat la stratul neutru, adică. de-a lungul înălțimii secțiunii grinzii. Presupunând că nu există o apăsare reciprocă a straturilor paralele de material unele pe altele (o y \u003d 0, a, \u003d 0), scriem legea lui Hooke pentru tensiunea liniară:

Conform (3.13) tensiuni normaleîn secțiune transversală, grinzile sunt distribuite după o lege liniară. Tensiunea volumului elementar al materialului, cel mai îndepărtat de stratul neutru (Fig. 3.6, în), maxim și egal cu

? Sarcina 3.6

Determinați limita elastică a unei lame de oțel cu grosimea / = 4 mm și lungimea / = 80 cm, dacă îndoirea acesteia în semicerc nu provoacă deformare permanentă.

Soluţie

Tensiunea la încovoiere o v = UE/ p k. Să luăm y max = t/ 2i p k = / / la.

Limita elastică trebuie să corespundă condiției cu yn > c v = 1/2 kE t /1.

Răspuns: despre = ] / 2 la 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; limita de curgere a acestui oțel este un m > 1800 MPa, care depășește un m din cele mai rezistente oțeluri cu arc. ?

? Sarcina 3.7

Determinați raza minimă a tamburului pentru înfășurarea unei benzi cu grosimea / = 0,1 mm a unui element de încălzire din aliaj de nichel, la care materialul benzii nu se deformează plastic. Modul E= 1,6 10 5 MPa, limită elastică o yn = 200 MPa.

Răspuns: raza minima р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m.?

1. Rezolvând împreună prima ecuație de echilibru (3.12) și ecuația de compatibilitate a deformațiilor (3.13), obținem

Sens E/ r k f 0 și același pentru toate elementele dA zona de integrare. Prin urmare, această egalitate este satisfăcută numai cu condiția

Această integrală se numește momentul static al ariei secțiunii transversale în jurul axeiz? Care este sensul fizic al acestei integrale?

Să luăm o placă de grosime constantă /, dar de profil arbitrar (Fig. 3.7). Atârnă această farfurie la punct DIN astfel încât să fie în poziție orizontală. Notăm prin simbolul y m greutatea specifică a materialului plăcii, apoi greutatea unui volum elementar cu o zonă dA egală dq= y JdA. Deoarece placa este într-o stare de echilibru, atunci de la egalitatea la zero a proiecțiilor forțelor pe axă la primim

Unde G= y MTA- greutatea plăcii.

Orez. 3.7.

Suma momentelor forțelor tuturor forțelor în jurul axei z trecerea în orice secțiune a plăcii este, de asemenea, egală cu zero:

Dat fiind Y c = g, scrie

Astfel, dacă o integrală de forma J xdA după zonă DAR egală

zero, atunci x c = 0. Aceasta înseamnă că punctul C coincide cu centrul de greutate al plăcii. Prin urmare, din egalitate Sz = J ydA= 0 la

îndoiți rezultă că centrul de greutate al secțiunii transversale a fasciculului este pe linia neutră.

Prin urmare, valoarea tu s secțiunea transversală a fasciculului este zero.

• 1. Linia neutră în timpul îndoirii trece prin centrul de greutate al secțiunii transversale a fasciculului.
• 2. Centrul de greutate al secțiunii transversale este centrul de reducere al momentelor forțelor externe și interne.

Sarcina 3.8

Sarcina 3.9

2. Rezolvând împreună a doua ecuație de echilibru (3.12) și ecuația de compatibilitate a deformarii (3.13), obținem

Integral Jz= J y2dA numit momentul de inerție al transversalei

secțiunea unei grinzi (tijă) în raport cu axa z, trecând prin centrul de greutate al secțiunii transversale.

În acest fel, M z \u003d E J z / p k. Având în vedere că c x = Ee x = Ey/ p k și E/ p k = un x / y, obţinem dependenţa tensiunilor normale Oh la îndoire:

1. Efortul de încovoiere la un punct dat de secțiune nu depinde de modulul de elasticitate normală E, dar depinde de parametrul geometric al secțiunii transversale Jz si distanta la din acest punct până la centrul de greutate al secțiunii transversale.

2. Tensiune maximaîn timpul îndoirii are loc în volume elementare, cele mai îndepărtate de linia neutră (vezi Fig. 3.6, în):

Unde Wz- momentul de rezistență al secțiunii transversale în jurul axei Z-

Condiția de rezistență în încovoiere pură este similară cu starea de rezistență în tensiune liniară:

unde [a m | - efort admisibil de încovoiere.

Evident, volumele interne ale materialului, în special în apropierea axei neutre, practic nu sunt încărcate (vezi Fig. 3.6, în). Acest lucru contrazice cerința de a minimiza consumul de material al structurii. Câteva modalități de a depăși această contradicție vor fi prezentate mai jos.

Forțele care acționează perpendicular pe axa grinzii și situate într-un plan care trece prin această axă provoacă o deformare numită îndoire transversală. Dacă planul de acţiune al forţelor menţionate – planul principal, apoi există o curbă transversală dreaptă (plată). În caz contrar, îndoirea se numește transversal oblic. O grindă care este supusă predominant îndoirii se numește grindă 1 .

În esență, îndoirea transversală este o combinație de îndoire pură și forfecare. În legătură cu curbura secțiunilor transversale din cauza distribuției neuniforme a forfecelor de-a lungul înălțimii, se pune problema posibilității de a aplica formula normală a tensiunii σ X derivat pentru îndoire pură pe baza ipotezei secţiunilor plane.

1 O grindă cu o singură travă, având la capete, respectiv, un suport cilindric fix și unul cilindric mobil în direcția axei grinzii, se numește simplu. Se numește o grindă cu un capăt fix și celălalt capăt liber consolă. Se numește o grindă simplă având una sau două părți atârnând peste un suport consolă.

Dacă, în plus, secțiunile sunt luate departe de punctele de aplicare a sarcinii (la o distanță nu mai mică de jumătate din înălțimea secțiunii grinzii), atunci, ca și în cazul îndoirii pure, se poate presupune că fibrele nu exercită presiune unele asupra altora. Aceasta înseamnă că fiecare fibră experimentează tensiune sau compresie uniaxiale.

Sub acțiunea unei sarcini distribuite, forțele transversale din două secțiuni adiacente vor diferi cu o valoare egală cu qdx. Prin urmare, curbura secțiunilor va fi, de asemenea, ușor diferită. În plus, fibrele vor exercita presiune unele asupra altora. Un studiu atent al problemei arată că dacă lungimea fasciculului l destul de mare în comparație cu înălțimea sa h (l/ h> 5), atunci chiar și cu o sarcină distribuită, acești factori nu au un efect semnificativ asupra tensiunilor normale în secțiune transversală și, prin urmare, pot să nu fie luați în considerare în calculele practice.

a B C

Orez. 10.5 Fig. 10.6

În secțiuni sub sarcini concentrate și în apropierea acestora, distribuția σ X se abate de la legea liniară. Această abatere, care este de natură locală și nu este însoțită de o creștere a celor mai mari solicitări (în fibrele extreme), de obicei nu este luată în considerare în practică.

Astfel, cu îndoire transversală (în plan hu) tensiunile normale se calculează prin formula

σ X= – [Mz(X)/Iz]y.

Dacă desenăm două secțiuni adiacente pe o secțiune a barei care este liberă de sarcină, atunci forța transversală în ambele secțiuni va fi aceeași, ceea ce înseamnă că curbura secțiunilor va fi aceeași. În acest caz, orice bucată de fibră ab(Fig.10.5) se va muta într-o nouă poziție a"b", fără a suferi o alungire suplimentară și, prin urmare, fără a modifica magnitudinea tensiunii normale.

Să determinăm tensiunile tăietoare în secțiune transversală prin tensiunile lor pereche care acționează în secțiunea longitudinală a grinzii.

Selectați din bară un element cu lungime dx(Fig. 10.7 a). Să desenăm o secțiune orizontală la distanță la din axa neutră z, împărțind elementul în două părți (Fig. 10.7) și luați în considerare echilibrul părții superioare, care are o bază

lăţime b. În conformitate cu legea împerecherii tensiunilor tăietoare, tensiunile care acționează în secțiunea longitudinală sunt egale cu tensiunile care acționează în secțiunea transversală. Având în vedere acest lucru, în ipoteza că solicitările de forfecare în șantier b distribuit uniform, folosim condiția ΣX = 0, obținem:

N * - (N * +dN *)+

unde: N * - rezultanta forțelor normale σ în secțiunea transversală din stânga a elementului dx în zona „decupare” A * (Fig. 10.7 d):

unde: S \u003d - momentul static al părții „decupate” a secțiunii transversale (zona umbrită în Fig. 10.7 c). Prin urmare, putem scrie:

Atunci poti scrie:

Această formulă a fost obținută în secolul al XIX-lea de către savantul și inginerul rus D.I. Zhuravsky și îi poartă numele. Și deși această formulă este aproximativă, deoarece face media tensiunii pe lățimea secțiunii, rezultatele calculelor obținute folosindu-se sunt în bună concordanță cu datele experimentale.

Pentru a determina tensiunile tăietoare într-un punct arbitrar al secțiunii distanțat la o distanță y de axa z, ar trebui:

Determinați din diagramă mărimea forței transversale Q care acționează în secțiune;

Calculați momentul de inerție I z al întregii secțiuni;

Desenați prin acest punct un plan paralel cu planul xzși determinați lățimea secțiunii b;

Calculați momentul static al zonei de tăiere S față de axa centrală principală zși înlocuiți valorile găsite în formula lui Zhuravsky.

Să definim, ca exemplu, eforturile de forfecare într-o secțiune transversală dreptunghiulară (Fig. 10.6, c). Moment static în jurul axei z părți ale secțiunii de deasupra liniei 1-1, pe care se determină tensiunea, scriem sub forma:

Se schimbă conform legii parabolei pătrate. Lățimea secțiunii în pentru că o grindă dreptunghiulară este constantă, atunci legea modificării tensiunilor tăietoare în secțiune va fi și parabolică (Fig. 10.6, c). Pentru y = și y = − tensiunile tangenţiale sunt egale cu zero, iar pe axa neutră z ajung la punctul lor cel mai înalt.

Pentru o grindă cu secțiune transversală circulară pe axa neutră, avem

îndoi



Concepte de bază despre îndoire

Deformarea la încovoiere este caracterizată prin pierderea dreptății sau a formei originale de către linia fasciculului (axa acesteia) atunci când se aplică o sarcină externă. În acest caz, spre deosebire de deformarea prin forfecare, linia fasciculului își schimbă fără probleme forma.
Este ușor de observat că rezistența la îndoire este afectată nu numai de aria secțiunii transversale a grinzii (grindă, tijă etc.), ci și de forma geometrică a acestei secțiuni.

Deoarece corpul (grindă, grindă etc.) este îndoit față de orice axă, rezistența la încovoiere este afectată de mărimea momentului de inerție axial al secțiunii corpului față de această axă.
Pentru comparație, în timpul deformării prin torsiune, secțiunea corpului este supusă răsucirii față de pol (punct), prin urmare, momentul polar de inerție al acestei secțiuni afectează rezistența la torsiune.

Multe elemente structurale pot lucra la îndoire - axe, arbori, grinzi, dinți angrenaj, pârghii, tije etc.

În rezistența materialelor, sunt luate în considerare mai multe tipuri de îndoire:
- în funcție de natura sarcinii exterioare aplicate grinzii, se disting curba purăși îndoire transversală;
- în funcție de locația planului de acțiune al sarcinii de încovoiere față de axa grinzii - curba dreaptăși îndoire oblică.

Îndoirea fasciculului pur și transversal

O îndoire pură este un tip de deformare în care apare doar un moment încovoietor în orice secțiune transversală a grinzii ( orez. 2).
Deformarea îndoirii pure va avea loc, de exemplu, dacă două perechi de forțe egale ca mărime și cu semn opus sunt aplicate unui fascicul drept într-un plan care trece prin axă. Atunci numai momentele încovoietoare vor acționa în fiecare secțiune a grinzii.

Dacă îndoirea are loc ca urmare a aplicării unei forțe transversale barei ( orez. 3), atunci o astfel de îndoire se numește transversală. În acest caz, în fiecare secțiune a grinzii, acționează atât forța transversală, cât și momentul încovoietor (cu excepția secțiunii la care sarcina externă).

Dacă grinda are cel puțin o axă de simetrie, iar planul de acțiune al sarcinilor coincide cu aceasta, atunci are loc îndoirea directă, dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci are loc îndoirea oblică.

Când studiem deformația la încovoiere, ne vom imagina mental că o grindă (grindă) constă dintr-un număr nenumărat de fibre longitudinale paralele cu axa.
Pentru a vizualiza deformarea unei curbe directe, vom efectua un experiment cu o bară de cauciuc, pe care se aplică o grilă de linii longitudinale și transversale.
Supunând o astfel de bară la o îndoire directă, se poate observa că ( orez. unu):

Liniile transversale vor rămâne drepte atunci când sunt deformate, dar se vor întoarce în unghi unele față de altele;
- secțiunile grinzii se vor extinde pe direcția transversală pe latura concavă și se vor îngusta pe partea convexă;
- liniile drepte longitudinale vor fi curbate.

Din această experiență se poate concluziona că:

Pentru curbarea pură este valabilă ipoteza secțiunilor plane;
- fibrele situate pe partea convexă sunt întinse, pe partea concavă sunt comprimate, iar la limita dintre ele se întinde un strat neutru de fibre care doar se îndoaie fără a-și schimba lungimea.

Presupunând că ipoteza nepresiunii fibrelor este corectă, se poate argumenta că la îndoirea pură în secțiunea transversală a grinzii apar doar tensiuni normale de tracțiune și compresiune, care sunt distribuite neuniform pe secțiune.
Se numește linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale axa neutră. Este evident că tensiunile normale pe axa neutră sunt egale cu zero.

Momentul încovoietor și forța tăietoare

După cum se știe din mecanica teoretică, reacțiile de sprijin ale grinzilor sunt determinate prin compilarea și rezolvarea ecuațiilor de echilibru static pentru întregul fascicul. La rezolvarea problemelor de rezistență a materialelor și la determinarea factorilor de forță interni în bare, am luat în considerare reacțiile legăturilor împreună cu sarcinile externe care acționează asupra barelor.
Pentru a determina factorii de forță interni, folosim metoda secțiunii și vom reprezenta fasciculul cu o singură linie - axa la care se aplică forțele active și reactive (sarcini și reacții ale legăturilor).

Luați în considerare două cazuri:

1. Două perechi de forțe egale și opuse sunt aplicate grinzii.
Având în vedere echilibrul părții din grinda situată în stânga sau în dreapta secțiunii 1-1 (Fig. 2), vedem că în toate secțiunile transversale există doar un moment încovoietor M și egal cu momentul exterior. Astfel, acesta este un caz de îndoire pură.

Momentul încovoietor este momentul rezultat în jurul axei neutre a forțelor normale interne care acționează în secțiunea transversală a grinzii.

Să fim atenți la faptul că momentul încovoietor are o direcție diferită pentru stânga și dreapta părțile potrivite grinzi. Aceasta indică inadecvarea regulii semnelor statiei în determinarea semnului momentului încovoietor.

2. Forțe active și reactive (sarcini și reacții ale legăturilor) perpendiculare pe ax sunt aplicate fasciculului (orez. 3). Având în vedere echilibrul pieselor grinzii situate în stânga și în dreapta, vedem că momentul încovoietor M ar trebui să acționeze în secțiuni transversale. și și forța tăietoare Q.
Din aceasta rezultă că, în cazul în cauză, în punctele secţiunilor transversale acţionează nu numai solicitări normale corespunzătoare momentului încovoietor, ci şi solicitări tangenţiale corespunzătoare forţei transversale.

Forța transversală este rezultanta forțelor tangențiale interne în secțiunea transversală a grinzii.

Să acordăm atenție faptului că forța tăietoare are direcția opusă pentru părțile din stânga și din dreapta ale grinzii, ceea ce indică inadecvarea regulii semnelor statice la determinarea semnului forței tăietoare.

Încovoierea, în care un moment încovoietor și o forță transversală acționează în secțiunea transversală a grinzii, se numește transversală.



Pentru o grindă aflată în echilibru cu acțiunea unui sistem plat de forțe, suma algebrică a momentelor tuturor forțelor active și reactive relativ la orice punct este egală cu zero; prin urmare, suma momentelor forțelor exterioare care acționează asupra grinzii din stânga secțiunii este numeric egală cu suma momentelor tuturor forțelor externe care acționează asupra grinzii din dreapta secțiunii.
În acest fel, momentul încovoietor în secțiunea grinzii este numeric egal cu suma algebrică a momentelor în jurul centrului de greutate al secțiunii tuturor forțelor externe care acționează asupra grinzii la dreapta sau la stânga secțiunii.

Pentru o grindă aflată în echilibru sub acțiunea unui sistem plan de forțe perpendicular pe axă (adică, un sistem de forțe paralele), suma algebrică a tuturor forțelor externe este zero; prin urmare, suma forțelor exterioare care acționează asupra grinzii din stânga secțiunii este numeric egală cu suma algebrică a forțelor care acționează asupra grinzii din dreapta secțiunii.
În acest fel, forța transversală în secțiunea grinzii este numeric egală cu suma algebrică a tuturor forțelor externe care acționează la dreapta sau la stânga secțiunii.

Deoarece regulile semnelor de statică sunt inacceptabile pentru stabilirea semnelor momentului încovoietor și al forței transversale, vom stabili alte reguli de semne pentru ele, și anume: fasciculul convex în sus, atunci momentul încovoietor în secțiune este considerat negativ ( Figura 4a).

Dacă suma forțelor externe situate pe partea stângă a secțiunii dă o rezultantă îndreptată în sus, atunci forța tăietoare în secțiune este considerată pozitivă, dacă rezultanta este îndreptată în jos, atunci forța tăietoare în secțiune este considerată negativă; pentru partea din grinda situată în dreapta secțiunii, semnele forței transversale vor fi opuse ( orez. 4b). Folosind aceste reguli, ar trebui să ne imaginăm mental secțiunea grinzii ca fiind prinsă rigid, iar conexiunile ca fiind aruncate și înlocuite cu reacții.

Încă o dată, observăm că pentru a determina reacțiile legăturilor se folosesc regulile semnelor de statică, iar pentru a determina semnele momentului încovoietor și al forței transversale se folosesc regulile semnelor rezistenței materialelor.
Regula semnelor pentru momentele de încovoiere este uneori numită „regula ploii”, ceea ce înseamnă că, în cazul unei umflături în jos, se formează o pâlnie în care se reține apa de ploaie (semnul este pozitiv) și invers - dacă este sub acțiunea sarcinilor fasciculul se îndoaie în sus în arc, apa de pe ea nu întârzie (semnul momentelor încovoietoare este negativ).

Materiale din secțiunea „Îndoire”:

Începem cu cel mai simplu caz, așa-numita curbare pură.

Îndoirea pură este un caz special de îndoire, în care forța transversală în secțiunile grinzii este zero. Îndoirea pură poate avea loc numai atunci când greutatea proprie a grinzii este atât de mică încât influența sa poate fi neglijată. Pentru grinzi pe două suporturi, exemple de sarcini care provoacă plasă

îndoire, prezentată în fig. 88. Pe secțiuni ale acestor grinzi, unde Q \u003d 0 și, prin urmare, M \u003d const; există o îndoire pură.

Forțele din orice secțiune a grinzii cu încovoiere pură sunt reduse la o pereche de forțe, al căror plan de acțiune trece prin axa grinzii, iar momentul este constant.

Tensiunile pot fi determinate pe baza următoarelor considerații.

1. Componentele tangențiale ale forțelor pe zonele elementare din secțiunea transversală a grinzii nu pot fi reduse la o pereche de forțe, al căror plan de acțiune este perpendicular pe planul secțiunii. Rezultă că forța de îndoire în secțiune este rezultatul acțiunii asupra zonelor elementare

numai forțe normale și, prin urmare, la încovoiere pură, tensiunile se reduc doar la cele normale.

2. Pentru ca eforturile pe platformele elementare să se reducă la doar câteva forțe, între ele trebuie să existe atât pozitive, cât și negative. Prin urmare, trebuie să existe atât fibre de fascicul tensionate, cât și comprimate.

3. Datorită faptului că forțele în secțiuni diferite sunt aceleași, tensiunile în punctele corespunzătoare ale secțiunilor sunt aceleași.

Luați în considerare orice element din apropierea suprafeței (Fig. 89, a). Deoarece nu sunt aplicate forțe de-a lungul feței sale inferioare, care coincide cu suprafața grinzii, nici nu există solicitări asupra acesteia. Prin urmare, nu există solicitări pe fața superioară a elementului, deoarece altfel elementul nu ar fi în echilibru.Considerând elementul adiacent acestuia în înălțime (Fig. 89, b), ajungem la

Aceeași concluzie etc. Rezultă că nu există solicitări de-a lungul fețelor orizontale ale oricărui element. Având în vedere elementele care alcătuiesc stratul orizontal, începând cu elementul din apropierea suprafeței grinzii (Fig. 90), ajungem la concluzia că nu există solicitări de-a lungul fețelor verticale laterale ale vreunui element. Astfel, starea de solicitare a oricărui element (Fig. 91, a), și în limita fibrei, trebuie reprezentată așa cum se arată în Fig. 91b, adică poate fi fie tensiune axială, fie compresie axială.

4. Datorită simetriei aplicării forțelor externe, secțiunea de-a lungul mijlocului lungimii grinzii după deformare trebuie să rămână plată și normală față de axa grinzii (Fig. 92, a). Din același motiv, secțiunile în sferturi din lungimea grinzii rămân, de asemenea, plate și normale pe axa grinzii (Fig. 92, b), dacă numai secțiunile extreme ale grinzii rămân plate și normale pe axa grinzii în timpul deformării. O concluzie similară este valabilă și pentru secțiuni în optimi din lungimea grinzii (Fig. 92, c), etc. Prin urmare, dacă secțiunile extreme ale grinzii rămân plate în timpul îndoirii, atunci pentru orice secțiune rămâne

este corect să spunem că după deformare rămâne plată și normală față de axa grinzii curbe. Dar, în acest caz, este evident că modificarea alungirii fibrelor fasciculului de-a lungul înălțimii sale ar trebui să aibă loc nu numai continuu, ci și monoton. Dacă numim un strat un set de fibre având aceleași alungiri, atunci din cele spuse rezultă că fibrele întinse și comprimate ale grinzii ar trebui să fie situate pe laturile opuse ale stratului în care alungirile fibrelor sunt egale cu zero. Vom numi neutre fibrele ale căror alungiri sunt egale cu zero; un strat format din fibre neutre - un strat neutru; linia de intersecție a stratului neutru cu planul secțiunii transversale a fasciculului - linia neutră a acestei secțiuni. Apoi, pe baza considerațiilor anterioare, se poate argumenta că, cu o îndoire pură a grinzii în fiecare dintre secțiunile sale, există o linie neutră care împarte această secțiune în două părți (zone): zona fibrelor întinse (zona tensionată) și zona fibrelor comprimate (zona comprimată). În consecință, tensiunile normale de întindere ar trebui să acționeze în punctele zonei întinse a secțiunii transversale, tensiunile de compresiune în punctele zonei comprimate, iar în punctele liniei neutre tensiunile sunt egale cu zero.

Astfel, cu o îndoire pură a unui fascicul cu secțiune transversală constantă:

1) doar tensiunile normale acţionează în secţiuni;

2) întreaga secțiune poate fi împărțită în două părți (zone) - întinsă și comprimată; limita zonelor este linia neutră a secțiunii, în punctele căreia tensiunile normale sunt egale cu zero;

3) orice element longitudinal al grinzii (în limită, orice fibră) este supus unei tensiuni sau compresii axiale, astfel încât fibrele adiacente să nu interacționeze între ele;

4) dacă secțiunile extreme ale grinzii în timpul deformării rămân plate și normale pe axă, atunci toate secțiunile sale transversale rămân plate și normale pe axa grinzii curbe.

Starea de tensiune a unei grinzi în încovoiere pură

Luați în considerare un element al unui fascicul supus unei îndoiri pure, concluzionând măsurată între secțiunile m-m și n-n, care sunt distanțate una de alta la o distanță infinit de mică dx (Fig. 93). Datorită prevederii (4) din paragraful anterior, secțiunile m-m și n-n, care erau paralele înainte de deformare, după îndoire, rămânând plate, vor forma un unghi dQ și se vor intersecta de-a lungul unei drepte care trece prin punctul C, care este centrul. de curbură fibra neutră NN. Apoi partea fibrei AB închisă între ele, situată la distanța z de fibra neutră (direcția pozitivă a axei z este luată spre convexitatea fasciculului în timpul îndoirii), se va transforma într-un arc A „B” după deformare.Un segment al fibrei neutre O1O2, transformându-se într-un arc O1O2, nu își va schimba lungimea, în timp ce fibra AB va primi o alungire:

înainte de deformare

după deformare

unde p este raza de curbură a fibrei neutre.

Prin urmare, alungirea absolută a segmentului AB este

si alungirea

Întrucât, conform poziţiei (3), fibra AB este supusă unei tensiuni axiale, apoi cu deformare elastică

Din aceasta se poate observa că tensiunile normale de-a lungul înălțimii grinzii sunt distribuite după o lege liniară (Fig. 94). Deoarece forța egală a tuturor eforturilor asupra tuturor secțiunilor elementare ale secțiunii trebuie să fie egală cu zero, atunci

de unde, înlocuind valoarea din (5.8), aflăm

Dar ultima integrală este un moment static în jurul axei Oy, care este perpendiculară pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere.

Datorită egalității sale cu zero, această axă trebuie să treacă prin centrul de greutate O al secțiunii. Astfel, linia neutră a secțiunii grinzii este o dreaptă yy, perpendiculară pe planul de acțiune al forțelor de încovoiere. Se numește axa neutră a secțiunii fasciculului. Apoi din (5.8) rezultă că tensiunile în puncte situate la aceeași distanță de axa neutră sunt aceleași.

Cazul de încovoiere pură, în care forțele de încovoiere acționează doar într-un singur plan, provocând îndoirea numai în acel plan, este o încovoiere pură plană. Dacă planul numit trece prin axa Oz, atunci momentul eforturilor elementare în raport cu această axă trebuie să fie egal cu zero, adică.

Înlocuind aici valoarea lui σ din (5.8), găsim

Integrala din partea stângă a acestei egalități, după cum se știe, este momentul de inerție centrifugal al secțiunii în jurul axelor y și z, astfel încât

Axele față de care momentul de inerție centrifugal al secțiunii este egal cu zero se numesc axele principale de inerție ale acestei secțiuni. Dacă, în plus, trec prin centrul de greutate al secțiunii, atunci ele pot fi numite principalele axe centrale de inerție ale secțiunii. Astfel, cu o încovoiere plată pură, direcția planului de acțiune al forțelor de încovoiere și axa neutră a secțiunii sunt principalele axe centrale de inerție ale acesteia din urmă. Cu alte cuvinte, pentru a obține o îndoire plană pură a unei grinzi, nu i se poate aplica în mod arbitrar o sarcină: ea trebuie redusă la forțe care acționează într-un plan care trece prin una dintre principalele axe centrale de inerție ale secțiunilor grinzii; în acest caz, cealaltă axă centrală principală de inerție va fi axa neutră a secțiunii.

După cum se știe, în cazul unei secțiuni care este simetrică față de orice axă, axa de simetrie este una dintre principalele sale axe centrale de inerție. În consecință, în acest caz particular, vom obține cu siguranță o încovoiere pură prin aplicarea anasarcinilor corespunzătoare în planul care trece prin axa longitudinală a grinzii și axa de simetrie a secțiunii acesteia. Linia dreaptă, perpendiculară pe axa de simetrie și care trece prin centrul de greutate al secțiunii, este axa neutră a acestei secțiuni.

După ce s-a stabilit poziția axei neutre, nu este dificil să găsești magnitudinea tensiunii în orice punct al secțiunii. Într-adevăr, deoarece suma momentelor forțelor elementare în raport cu axa neutră yy trebuie să fie egală cu momentul încovoietor, atunci

de unde, înlocuind valoarea lui σ din (5.8), aflăm

Întrucât integrala este momentul de inerție al secțiunii în jurul axei y, atunci

iar din expresia (5.8) obţinem

Produsul EI Y se numește rigiditatea la încovoiere a grinzii.

Cele mai mari tensiuni de tracțiune și cele de compresiune în valoare absolută acționează în punctele secțiunii pentru care valoarea absolută a lui z este cea mai mare, adică în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Cu denumirile, Fig. 95 au

Valoarea lui Jy / h1 se numește momentul de rezistență a secțiunii la întindere și se notează cu Wyr; în mod similar, Jy/h2 se numește momentul de rezistență a secțiunii la compresiune

și indică Wyc, deci

prin urmare

Dacă axa neutră este axa de simetrie a secțiunii, atunci h1 = h2 = h/2 și, în consecință, Wyp = Wyc, deci nu este nevoie să facem distincție între ele și folosesc aceeași denumire:

denumind W y pur și simplu modulul secțiunii.De aceea, în cazul unei secțiuni simetrice față de axa neutră,

Toate concluziile de mai sus sunt obținute pe baza ipotezei că secțiunile transversale ale grinzii, atunci când sunt îndoite, rămân plate și normale față de axa acesteia (ipoteza secțiunilor plate). După cum se arată, această ipoteză este valabilă numai dacă secțiunile extreme (de capăt) ale grinzii rămân plate în timpul îndoirii. Pe de altă parte, din ipoteza secțiunilor plane rezultă că forțele elementare din astfel de secțiuni ar trebui distribuite conform unei legi liniare. Prin urmare, pentru validitatea teoriei obținute a încovoierii pure plane, este necesar ca momentele încovoietoare de la capetele grinzii să fie aplicate sub formă de forțe elementare distribuite de-a lungul înălțimii secțiunii conform unei legi liniare (Fig. 96), care coincide cu legea distribuției tensiunilor de-a lungul înălțimii grinzilor de secțiune. Cu toate acestea, pe baza principiului Saint-Venant, se poate susține că o modificare a metodei de aplicare a momentelor încovoietoare la capetele grinzii va provoca doar deformații locale, al căror efect va afecta doar la o anumită distanță de acestea. capete (aproximativ egale cu înălțimea secțiunii). Secțiunile situate în restul lungimii grinzii vor rămâne plate. În consecință, teoria enunțată a îndoirii plane pure, cu orice metodă de aplicare a momentelor încovoietoare, este valabilă numai în partea de mijloc a lungimii grinzii, situată la distanțe față de capetele acesteia aproximativ egale cu înălțimea secțiunii. Din aceasta rezultă clar că această teorie este în mod evident inaplicabilă dacă înălțimea secțiunii depășește jumătate din lungimea sau deschiderea grinzii.