Як знайти суму периметрів квадратів. Периметр, площа та обсяг. Через радіус вписаного та описаного кола

Цей матеріал містить геометричні фігури з вимірами. Наведені виміри є приблизними і можуть збігатися з вимірами у житті. Зміст уроку

Периметр геометричної фігури

Периметр геометричної фігури- Це сума всіх її сторін. Щоб обчислити периметр, потрібно виміряти кожну сторону та скласти результати вимірів.

Обчислимо периметр наступної фігури:

Це прямокутник. Детальніше ми поговоримо про цю фігуру пізніше. Зараз просто обчислимо периметр цього прямокутника. Довжина його дорівнює 9 див, а ширина 4 див.

У прямокутника протилежні сторони рівні. Це видно на малюнку. Якщо довжина дорівнює 9 см, а ширина дорівнює 4 см, то протилежні сторони дорівнюватимуть 9 см і 4 см відповідно:

Знайдемо периметр. Для цього складемо усі сторони. Складати їх можна у будь-якому порядку, оскільки від перестановки місць доданків сума не змінюється. Периметр часто позначається великою латинською літерою P(англ. perimeters). Тоді отримаємо:

P= 9 см + 4 см + 9 см + 4 см = 26 см.

Оскільки прямокутник протилежні сторони рівні, знаходження периметра записують коротше — складають довжину і ширину, і множать її на 2, що означатиме «повторити довжину та ширину два рази»

P= 2 × (9 + 4) = 18 + 8 = 26 см.

Квадрат це той самий прямокутник, але в якого всі сторони рівні. Наприклад, знайдемо периметр квадрата зі стороною 5 см. «зі стороною 5см» потрібно розуміти як «довжина кожної сторони квадрата дорівнює 5см»

Щоб обчислити периметр, складемо всі сторони:

P= 5 см + 5 см + 5 см + 5 см = 20 см

Але оскільки всі сторони рівні, обчислення периметра можна записати як твори. Сторона квадрата дорівнює 5 см, і таких сторін 4. Тоді цю сторону, що дорівнює 5 см, потрібно повторити 4 рази

P= 5 см × 4 = 20 см

Площа геометричної фігури

Площа геометричної фігури – це число, яке характеризує розмір цієї фігури.

Слід уточнити, що в даному випадку йдеться про площу на площині. Площиною в геометрії називають будь-яку плоску поверхню, наприклад: аркуш паперу, земельну ділянку, поверхню столу.

Площа вимірюється у квадратних одиницях. Під квадратними одиницями мають на увазі квадрати, сторони яких дорівнюють одиниці. Наприклад, 1 квадратний сантиметр, 1 квадратний метр чи 1 квадратний кілометр.

Виміряти площу якоїсь фігури означає з'ясувати скільки квадратних одиниць міститься в цій фігурі.

Наприклад, площа наступного прямокутника дорівнює трьом квадратним сантиметрам:

Це тому, що в даному прямокутнику міститься три квадрати, кожен з яких має бік, що дорівнює одному сантиметру:

Справа представлений квадрат зі стороною 1 см (він у цьому випадку є квадратною одиницею). Якщо подивитися скільки разів цей квадрат входить у прямокутник, представлений ліворуч, то виявимо, що він входить до нього тричі.

Наступний прямокутник має площу, рівну шести квадратним сантиметрам:

Це тому, що в даному прямокутнику міститься шість квадратів, кожен з яких має бік, що дорівнює одному сантиметру:

Припустимо, потрібно виміряти площу наступної кімнати:

Визначимося в яких квадратах вимірюватимемо площу. В даному випадку площу зручно виміряти у квадратних метрах:

Отже, наше завдання полягає в тому, щоб визначити скільки квадратів зі стороною 1 м міститься у вихідній кімнаті. Заповнимо цим квадратом всю кімнату:

Бачимо, що квадратний метр міститься у кімнаті 12 разів. Значить, площа кімнати становить 12 кв.

Площа прямокутника

У попередньому прикладі ми вирахували площу кімнати, послідовно перевіривши скільки разів у ній міститься квадрат, сторона якого дорівнює одному метру. Площа становила 12 квадратних метрів.

Кімната була прямокутником. Площу прямокутника можна обчислити перемноживши його довжину та ширину.

Щоб обчислити площу прямокутника, потрібно перемножити його довжину та ширину.

Повернемося до попереднього прикладу. Припустимо, ми виміряли довжину кімнати рулеткою і виявилося, що довжина становила 4 метри:

Тепер виміряємо ширину. Нехай вона склала 3 метри:

Помножимо довжину (4 м) на ширину (3 м).

4 × 3 = 12

Як і минулого разу отримуємо дванадцять квадратних метрів. Це пояснюється тим, що вимірявши довжину, ми тим самим дізнаємося скільки разів можна укласти в цю довжину квадрат зі стороною, що дорівнює одному метру. Укладемо чотири квадрати в цю довжину:

Потім ми визначаємо, скільки разів можна повторити цю довжину з укладеними квадратами. Це ми дізнаємося, вимірявши ширину прямокутника:

Площа квадрата

Квадрат це той самий прямокутник, але в якого всі сторони рівні. Наприклад, на наступному малюнку представлений квадрат із стороною 3 см. Фраза «квадрат зі стороною 3см» означає, що всі сторони дорівнюють 3 см

Площа квадрата обчислюється так само, як і площа прямокутника — довжину множать на ширину.

Обчислимо площу квадрата зі стороною 3 см. Помножимо довжину 3 см на ширину 3 см

В даному випадку потрібно дізнатися скільки квадратів зі стороною 1 см міститься у вихідному квадраті. У вихідному квадраті міститься дев'ять квадратів зі стороною 1 см. Справді, так воно і є. Квадрат зі стороною 1 см, входить у вихідний квадрат дев'ять разів:

Помноживши довжину на ширину, ми отримали вираз 3 × 3 , а це є добуток двох однакових множників, кожен з яких дорівнює 3. Іншими словами вираз 3 × 3 є другим ступенем числа 3. А значить процес обчислення площі квадрата можна записати у вигляді ступеня 3 2 .

Тому другий ступінь числа називають квадратом числа. При обчисленні другого ступеня числа a, людина тим самим знаходить площу квадрата зі стороною a. Операцію зведення числа в другий ступінь інакше називають зведенням у квадрат.

Позначення

Площа позначається великою латинською літерою S(англ. Square- Квадрат). Тоді площа квадрата зі стороною aсм буде обчислюватися за таким правилом

S = a 2

де a- Довжина сторони квадрата. Другий ступінь вказує на те, що відбувається перемноження двох однакових співмножників, а саме довжини та ширини. Раніше було сказано, що у квадрата всі сторони рівні, а отже, рівні довжина і ширина квадрата, виражені через букву a .

Якщо завдання полягає в тому, щоб визначити скільки квадратів стороною 1 см міститься у вихідному квадраті, то як одиниці вимірювання площі потрібно вказувати см 2 . Це позначення замінює словосполучення "квадратний сантиметр" .

Наприклад, обчислимо площу квадрат зі стороною 2 см.

Значить, квадрат зі стороною 2 см, має площу, рівну чотирьом квадратним сантиметрам:

Якщо завдання полягає в тому, щоб визначити скільки квадратів зі стороною 1 м міститься у вихідному квадраті, то як одиниці вимірювання потрібно вказувати м 2 . Це позначення замінює словосполучення "квадратний метр" .

Обчислимо площу квадрата зі стороною 3 метри

Значить, квадрат зі стороною 3 м, має площу рівну дев'яти квадратним метрам:

Аналогічні позначення використовуються для обчислення площі прямокутника. Але довжина і ширина прямокутника можуть бути різними, тому вони позначаються через різні літери, наприклад aі b. Тоді площа прямокутника, довжиною aта шириною bобчислюється за таким правилом:

S = a × b

Як і у випадку з квадратом, одиницями вимірювання площі прямокутника можуть бути см2, м2, км2. Ці позначення замінюють словосполучення "квадратний сантиметр", "квадратний метр", "квадратний кілометр" відповідно.

Наприклад, обчислимо площу прямокутника, довжиною 6 см та шириною 3 см

Значить, прямокутник довжиною 6 см і шириною 3 см має площу, що дорівнює вісімнадцяти квадратним сантиметрам:

Як одиниця виміру допускається використовувати словосполучення "квадратних одиниць" . Наприклад, запис S = 3 кв. означає, що площа квадрата або прямокутника дорівнює трьом квадратам, кожен з яких має одиничний бік (1 см, 1 м або 1 км).

Переклад одиниць виміру площі

Одиниці виміру площі можна переводити з однієї одиниці виміру до іншої. Розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Виразити 1 квадратний метр у квадратних сантиметрах.

1 квадратний метр це квадрат зі стороною 1 м. Тобто всі чотири сторони мають довжину, що дорівнює одному метру.

Але 1 м = 100 см. Тоді всі чотири сторони теж мають довжину 100 см

Обчислимо нову площу цього квадрата. Помножимо довжину 100 см на ширину 100 см або зведемо до квадрата число 100

S = 100 2 = 10 000 см 2

Виходить, що на один квадратний метр припадає десять тисяч квадратних сантиметрів.

1 м 2 = 10 000 см 2

Це дозволяє в майбутньому помножити будь-яку кількість квадратних метрів на 10 000 та отримати площу, виражену у квадратних сантиметрах.

Щоб перевести квадратні метри на квадратні сантиметри, потрібно кількість квадратних метрів помножити на 10 000.

А щоб перевести квадратні сантиметри в квадратні метри, потрібно, навпаки, кількість квадратних сантиметрів розділити на 10 000 .

Наприклад, переведемо 100 000 см 2 у квадратні метри. Міркувати в цьому випадку можна так: « якщо 10 000 см 2 це один квадратний метр, то скільки разів 100 000 см 2 будуть утримувати 10 000 см 2 »

100 000 см 2 : 10 000 см 2 = 10 м 2

Інші одиниці виміру можна перекладати так само. Наприклад, переведемо 2 км2 у квадратні метри.

Один квадратний кілометр це квадрат зі стороною 1 км. Тобто всі чотири сторони мають довжину, що дорівнює одному кілометру. Але 1 км = 1000 м2. Отже, всі чотири сторони квадрата також дорівнюють 1000 м . Знайдемо нову площу квадрата, виражену у квадратних метрах. Для цього помножимо довжину 1000 м на ширину 1000 м або зведемо у квадрат число 1000

S = 1000 2 = 1000000 м 2

Виходить, що на один квадратний кілометр припадає один мільйон квадратних метрів:

1 км2 = 1 000 000 м2

Це дозволяє в майбутньому помножити будь-яку кількість квадратних кілометрів на 1000000 і отримати площу, виражену в квадратних метрах.

Щоб перевести квадратні кілометри на квадратні метри, потрібно кількість квадратних кілометрів помножити на 1 000 000.

Отже, повернемося до нашого завдання. Потрібно було перевести 2 км 2 у квадратні метри. Помножимо 2 км2 на 1 000 000

2 км 2 × 1 000 000 = 2 000 000 м 2

А щоб перевести квадратні метри в квадратні кілометри, потрібно, навпаки, кількість квадратних метрів розділити на 1 000 000 .

Наприклад, переведемо 3500000 м 2 в квадратні кілометри. Міркувати в цьому випадку можна так: « якщо 1 000 000 м 2 це один квадратний кілометр, то скільки разів 3 500 000 м 2 будуть утримувати 1 000 000 м 2 »

3500000 м 2 : 1 000 000 м 2 = 3,5 км 2

Приклад 2. Виразити 7 м2 у квадратних сантиметрах.

Помножимо 7 м 2 на 10 000

7 м 2 = 7 м 2 × 10 000 = 70 000 см 2

Приклад 3. Виразити 5 м2 13 см2 у квадратних сантиметрах.

5 м 2 13 см 2 = 5 м 2 × 10 000 + 13 см 2 = 50 013 см 2

Приклад 4. Виразити 550 000 см2 у квадратних метрах.

Дізнаємося скільки разів 550 000 см 2 містить по 10 000 см 2 . Для цього розділимо 550 000 см 2 на 10 000 см 2

550 000 см 2 : 10 000 см 2 = 55 м 2

Приклад 5. Виразити 7 км2 у квадратних метрах.

Помножимо 7 км2 на 1 000 000

7 км 2 × 1 000 000 = 7 000 000 м2

Приклад 6. Виразити 8500000 м 2 в квадратних кілометрах.

Дізнаємось скільки разів 8 500 000 м 2 містить по 1 000 000 м 2 . Для цього розділимо 8500000 м 2 на 1 000 000 м 2

8 500 000 м 2 × 1 000 000 м 2 = 8,5 км 2

Одиниці виміру площі земельних ділянок

Площі невеликих земельних ділянокзручно вимірювати у квадратних метрах.

Площі більших земельних ділянок вимірюються в арах та гектарах.

Ар(скорочено: a) — це площа, що дорівнює ста квадратним метрам (100 м 2 ). У зв'язку з частим поширенням такої площі (100 м 2 ) вона стала використовуватися, як окрема одиниця виміру.

Наприклад, якщо сказано, що площа якого поля становить 3 а, то треба розуміти, що це три квадрати площею 100 м 2 кожен, тобто:

3 а = 100 м 2 × 3 = 300 м 2

У народі арчасто називають соткоюоскільки ар дорівнює квадрату, площею 100 м 2 . Приклади:

1 сотка = 100 м 2

2 сотки = 200 м 2

10 соток = 1000 м2

гектар(скорочено: га) - це площа, що дорівнює 10 000 м 2 . Наприклад, якщо сказано, що площа якогось лісу становить 20 гектарів, то треба розуміти, що це двадцять квадратів площею 10 000 м 2 кожен, тобто:

20 га = 10 000 м 2 × 20 = 200 000 м 2

Прямокутний паралелепіпед та куб

Прямокутний паралелепіпед - це геометрична фігура, що складається з граней, ребер та вершин. На малюнку показаний прямокутний паралелепіпед:

Жовтим кольором показано граніпаралелепіпеда, чорним кольором ребра, червоним - вершини.

Прямокутний паралелепіпед має довжину, ширину і висоту. На малюнку показано де довжина, ширина та висота:

Паралелепіпед, у якого довжина, ширина і висота рівні між собою, називається . На малюнку показаний куб:

Обсяг геометричної фігури

Обсяг геометричної фігури- Це число, яке характеризує місткість цієї фігури.

Обсяг вимірюється у кубічних одиницях. Під кубічними одиницями мають на увазі куби довжиною 1, шириною 1 і висотою 1. Наприклад, 1 кубічний сантиметр або 1 кубічний метр.

Виміряти об'єм якоїсь фігури означає з'ясувати скільки кубічних одиниць вміщується в цю фігуру.

Наприклад, обсяг наступного прямокутного паралелепіпедадорівнює дванадцяти кубічним сантиметрам:

Це тому, що в даний паралелепіпед вміщується дванадцять кубів довжиною 1 см, шириною 1 см і висотою 1 см:

Обсяг позначається великою латинською літерою V. Одна з одиниць виміру обсягу це кубічний сантиметр (див. 3). Тоді обсяг Vрозглянутого нами паралелепіпеда дорівнює 12 см 3

V= 12 см 3

Обсяг будь-якого паралелепіпеда обчислюють наступним чином: перемножують його довжину, ширину та висоту.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку його довжини, ширини та висоти.

V = abc

де, a- Довжина, b- ширина, c- Висота

Так, у попередньому прикладі ми візуально визначили, що об'єм паралелепіпеда дорівнює 12 см 3 . Але можна виміряти довжину, ширину та висоту даного паралелепіпеда та перемножити результати вимірювань. Ми отримаємо той самий результат

Обсяг обчислюється так само, як і обсяг прямокутного паралелепіпеда- перемножують довжину, ширину та висоту.

Наприклад, обчислимо об'єм куба, довжина якого 3 см. У куба довжина, ширина і висота рівні між собою. Якщо довжина дорівнює 3 см, то дорівнюють цим же трьом сантиметрам ширина і висота куба:

Перемножуємо довжину, ширину, висоту і отримуємо об'єм, що дорівнює двадцяти семи кубічним сантиметрам:

V= 3×3×3 = 27 см³

Справді, вихідний куб вміщується 27 кубиків довжиною 1 см

При обчисленні об'єму куба ми перемножили довжину, ширину і висоту. Вийшов твір 3 × 3 × 3. Це твір трьох співмножників, кожен з яких дорівнює 3. Іншими словами, твір 3 × 3 × 3 є третім ступенем числа 3 і може бути записано у вигляді 3 3 .

V= 3 = 27 см 3

Тому третій ступінь числа називають кубом числа. При обчисленні третього ступеня числа a, людина тим самим знаходить об'єм куба, завдовжки a. Операцію зведення числа в третій ступінь інакше називають зведенням у куб.

Таким чином, об'єм куба обчислюється за таким правилом:

V = a 3

Де a -довжина куба.

Кубічний дециметр. Кубічний метр

Не всі об'єкти нашого світу зручно вимірювати у кубічних сантиметрах. Наприклад, об'єм кімнати чи будинку зручніше виміряти в кубічних метрах (м 3 ). Об'єм бака, акваріума або холодильника зручніше вимірювати в кубічних дециметрах (дм 3 ).

Інша назва одного кубічного дециметра – один літр.

1 дм 3 = 1 літр

Переведення одиниць вимірювання об'єму

Одиниці виміру обсягу можна переводити з однієї одиниці виміру до іншої. Розглянемо кілька прикладів:

Приклад 1. Виразити 1 кубічний метр у кубічних сантиметрах.

Один кубічний метр це куб зі стороною 1 м. Довжина, ширина та висота цього куба дорівнюють одному метру.

Але 1 м = 100 см. Значить, довжина, ширина та висота теж дорівнюють 100 см

Обчислимо новий обсягкуба, виражений у кубічних сантиметрах. Для цього перемножимо його довжину, ширину та висоту. Або зведемо число 100 в куб:

V = 100 3 = 1000000 см 3

Виходить, що на один кубічний метр припадає один мільйон кубічних сантиметрів:

1 м 3 = 1000000 см 3

Це дозволяє в майбутньому помножити будь-яку кількість кубічних метрів на 1 000 000 і одержати об'єм, виражений у кубічних сантиметрах.

Щоб перевести кубічні метри на кубічні сантиметри, потрібно кількість кубічних метрів помножити на 1 000 000.

А щоб перевести кубічні сантиметри в кубічні метри, потрібно, навпаки, кількість кубічних сантиметрів розділити на 1 000 000 .

Наприклад, переведемо 300 000 000 см 3 кубічні метри. Міркувати в цьому випадку можна так: « якщо 1 000 000 см 3 це один кубічний метр, то скільки разів 300 000 000 см 3 будуть утримувати 1 000 000 см 3 »

300 000 000 см3: 1 000 000 см3 = 300 м3

Приклад 2. Виразити 3 м3 у кубічних сантиметрах.

Помножимо 3 м 3 на 1 000 000

3 м 3 × 1 000 000 = 3 000 000 см 3

Приклад 3. Виразити 60000000 см 3 в кубічних метрах.

Дізнаємося скільки разів 60 000 000 см 3 містить по 1 000 000 см 3 . Для цього розділимо 60000000 см 3 на 1 000 000 см 3

60 000 000 см3: 1 000 000 см3 = 60 м3

Місткість бака, банки чи каністри вимірюють у літрах. Літр це теж одиниця виміру обсягу. Один літр дорівнює одному кубічному дециметру.

1 літр = 1 дм 3

Наприклад, якщо місткість банки становить 1 літр, це означає, що обсяг цієї банки становить 1 дм 3 . При вирішенні деяких завдань може бути корисним уміння переводити літри в кубічні дециметри і навпаки. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Перевести 5 літрів у кубічні дециметри.

Щоб перевести 5 літрів у кубічні дециметри, достатньо помножити 5 на 1

5 л × 1 = 5 дм 3

Приклад 2. Перевести 6000 літрів у кубічні метри.

Шість тисяч літрів це шість тисяч кубічних дециметрів:

6000 л × 1 = 6000 дм3

Тепер переведемо ці 6000 дм3 у кубічні метри.

Довжина, ширина та висота одного кубічного метра дорівнюють 10 дм.

Якщо обчислити об'єм цього куба в дециметрах, то отримаємо 1000 дм 3

V= 103 = 1000 дм 3

Виходить, що тисяча кубічних дециметрів відповідає одному кубічному метру. А щоб визначити скільки кубічних метрів відповідають шести тисячам кубічних дециметрів, потрібно дізнатися скільки разів 6 000 дм 3 містить по 1 000 дм 3

6000 дм 3 : 1000 дм 3 = 6 м 3

Значить, 6000 л = 6 м3.

Таблиця квадратів

У житті часто доводиться знаходити площі різних квадратів. Для цього щоразу потрібно зводити вихідне число у другий ступінь.

Квадрати перших 99 натуральних чисел вже обчислені та занесені до спеціальної таблиці, яка називається таблицею квадратів.

Перший рядок цієї таблиці (цифри від 0 до 9) це вихідного числа, а перший стовпець (цифри від 1 до 9) це вихідного числа.

Наприклад, знайдемо квадрат числа 24 за цією таблицею. Число 24 складається з цифр 2 і 4. Точніше, число 24 складається з двох десятків та чотирьох одиниць.

Отже, вибираємо цифру 2 у першому стовпці таблиці (стовпці десятків), а цифру 4 вибираємо у першому рядку (рядку одиниць). Потім, рухаючись праворуч від цифри 2 і вниз цифри 4, знайдемо точку перетину. В результаті опинимося на позиції, де розташовується число 576. Отже, квадрат числа 24 є число 576

24 2 = 576

Таблиця кубів

Як і в ситуації з квадратами, куби перших 99 натуральних чисел вже обчислені та занесені до таблиці, яка називається таблицею кубів.

Обчисліть об'єм прямокутного паралелепіпеда, довжина якого 6 см, ширина 4 см, висота 3 см. Завдання 7. Площі земельної ділянки, засіяні пшеницею та льоном, пропорційні числам 4 та 5. На якій площі засіяна пшениця, якщо під льоном засіяно 15 га

Рішення

Число 4 відбиває площу, засіяну пшеницею. А число 5 відбиває площу, засіяну льоном.
Сказано, що площі, засіяні пшеницею та льоном, пропорційні цим числам.

Простіше кажучи, у скільки разів змінюються числа 4 або 5, у скільки ж разів зміниться і площа, засіяна пшеницею або льоном. Льоном засіяно 15 га. Тобто число 5, яке відбиває площу, засіяну льоном, змінилося в 3 рази.

Тоді число 4, яке відображає площу засіяну пшеницею, потрібно збільшити втричі

4×3 = 12 га

Відповідь:пшеницею засіяно 12 га.

Завдання 8. Довжина зерносховища 42 м, ширина становить довжину, а висота – 0,1 довжини. Визначте, скільки тонн зерна вміщує зерносховище, якщо 1 м 3 його важить 740 кг.

Рішення

Визначимо скільки літрів за хвилину вливається через другу трубу:

25 л/хв × 0,75 = 18,75 л/хв

Визначимо скільки літрів за хвилину вливається в басейн через обидві труби:

25 л/хв + 18,75 л/хв = 43,75 л/хв

Визначимо, скільки літрів води буде залито в басейн за 13 год 32 хв.

43,75 × 13 год 32 хв = 43,75 × 812 хв = 35 525 л

1 л = 1 дм 3

35525 л = 35525 дм 3

Переведемо кубічні дециметри у кубічні метри. Це дозволить обчислити обсяг басейну:

35525 дм 3: 1000 дм 3 = 35,525 м 3

Знаючи обсяг басейну, можна обчислити висоту басейну. Підставимо в буквене рівняння V=abcнаявні в нас значення. Тоді отримаємо:

V = 35,525
a = 5.8
b = 3.5
c= x

35,525 = 5,8 × 3,5 × x
35,525 = 20,3 × x
x= 1,75 м

з = 1,75

Відповідь:висота (глибина) басейну становить 1,75 м-коду.

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

Відношення між радіусом кола та довжиною сторони квадрата.Відстань від центру описаного кола до вершини вписаного до неї квадрата дорівнює радіусу кола. Щоб знайти бік квадрата s, необхідно діагоналлю розділити квадрат на 2 прямокутні трикутники. Кожен із цих трикутників матиме рівні сторони aі bта загальну гіпотенузу з, рівну подвоєному радіусу описаного кола ( 2r).

Скористайтеся теоремою Піфагора, щоб знайти бік квадрата.Теорема Піфагора говорить, що в будь-якому прямокутному трикутникуз катетами аі bта гіпотенузою з: a 2 + b 2 = c 2. Бо в нашому випадку а = b(не забувайте, що ми розглядаємо квадрат!), і ми знаємо, що з = 2r, то ми можемо переписати і спростити це рівняння:

• a 2 + a 2 = (2r) 2""; тепер спростимо це рівняння:
• 2a 2 = 4(r) 2; тепер розділимо обидві сторони рівняння на 2:
• (a 2) = 2(r) 2; тепер витягнемо квадратний корінь з обох сторін рівняння:
• a = √(2r). Таким чином, s = √ (2r).

1. Помножте знайдений бік квадрата на 4, щоб знайти його периметр.І тут периметр квадрата: P = 4√(2r). Цю формулу можна переписати так: Р = 4√2 * 4√r = 5,657r, де r - радіус описаного кола.

2. приклад.Розглянемо квадрат, вписаний у коло радіусом 10. Це означає, що діагональ квадрата дорівнює 2 * 10 = 20. Використовуючи теорему Піфагора, ми отримаємо: 2(a 2) = 20 2, тобто 2a 2 = 400.Тепер розділимо обидві сторони рівняння на 2 та отримаємо: a 2 = 200.Тепер витягнемо квадратний корінь з обох сторін рівняння та отримаємо: а = 14,142. Помножимо це значення на 4 і обчислимо периметр квадрата: P = 56,57.

   • Зверніть увагу, що ви могли б отримати той же результат, просто помноживши радіус (10) на 5,657: 10 * 5,567 = 56,57 ; але такий метод важко запам'ятати, тому краще користуватися процесом обчислення, описаним вище.

Обчислення периметра квадрата – важлива навичка. І мова йдене тільки про шкільних заняттях. Адже за допомогою нехитрих математичних дій можна легко підрахувати кількість потрібного будматеріалу. Наприклад, для встановлення огорожі по периметру квадратної ділянки або поклейки шпалер у квадратній кімнаті.

Щоб визначити периметр квадрата, необхідно знати значення однієї зі сторін, площа або радіус описаного кола. Розглянемо ці методи докладніше.

Як знайти периметр квадрата, якщо дана одна сторона квадрата

• Периметр фігури – сума всіх його сторін. Оскільки у квадрата всього 4 сторони, його периметр дорівнює:
  Р = а + в + с + д
  де Р – периметр,
  а, в, с, д – сторони.
• Знаючи, що у квадрата всі сторони рівні, спростимо формулу:
  Р = 4а,
  де а - одна із сторін,
  4 – сума сторін.
• Приклад рішення: якщо сторона дорівнює 7, то
  Р = 4 * 7 = 28.

Як знайти периметр квадрата, якщо дана площа квадрата

• Площа квадрата розраховується за такою формулою:
  S = а * а = а?,
  де S - площа,
  а – будь-яка сторона.
• Перепишемо формулу:
  а² = S,
  а = √S.
  Приклад рішення: якщо площа дорівнює 121, то
  а = √121 = 11.
• Знаючи бік квадрата, можемо знайти периметр:
  Р = 4 * а.
• Приклад рішення: Р = 4 * 11 = 44.

Як знайти периметр квадрата, якщо дано радіус описаного кола

Припустимо, нам дано квадрат і відомий радіус кола, що описує його з усіх боків. Якщо провести діагональ між протилежними кутами квадрата, ми отримаємо 2 трикутники з прямими кутами. У разі гріх не скористатися теоремою Піфагора, яка говорить: «Сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи».

Що ще нам відомо:

• Сторони в і з у 2-х трикутників рівні, оскільки це сторони квадрата. Вони ж і катети.
• Трикутники мають загальну гіпотенузу а, яка також є діаметром кола.
• Діаметр дорівнює двом радіусам (2r).

Приступимо до знаходження периметра:

• За теоремою Піфагора:
  в² + с² = а²,
  де в і с - катети прямокутного трикутника,
  а – гіпотенуза.
• Знаючи, що а (гіпотенуза) = 2r, а в = с, спростимо формулу:
  в² + в² = (2r)²,
  2в² = 4(r)², скоротимо на 2:
  в² = 2(r)²,
  в = √2r, де
  в – сторона квадрата.
• Так як периметр квадрата дорівнює сумі сторін, видозмінимо формулу:
  Р = 4√2r,
  де Р - шуканий периметр,
  4 - сума сторін,
  √2r – довжина сторони.
• Спростимо формулу:
  Р = 4√2 * 4√r,
  Р = 5,657r,
  де Р - шуканий периметр,
  r - радіус кола.

Приклад рішення:

Якщо радіус кола дорівнює 20:

Р = 5,657 * 20 = 113,14.

Цифри швидко забуваються, але завдання завжди можна вирішити за допомогою теореми Піфагора:

в² + в² = (2*20)²,
2в² = 40²,
2в² = 1600, розділимо на 2:
в ² = 800,
в = √800,
в = 28,28,
де в - одна сторона.
І так,
Р = 4 * 28,29,
Р = 113,14.

Способів знайти периметр квадрата чимало, проте всі вони зводяться до того, що периметр дорівнює сумі всіх сторін.

Периметр двовимірної фігури – це загальна довжина її межі, що дорівнює сумі довжин сторін фігури. Квадрат – це постать із чотирма сторонами однакової довжини, які перетинаються під кутом 90°. Так як у квадраті всі сторони мають однакову довжину, то його обчислити периметр дуже легко. Ця стаття розповість вам, як обчислити периметр квадрата по одній даній стороні, по даній площі та по даному радіусу кола, описаного навколо квадрата.

Периметр - це числовий показник, який знаходиться за формулою 4х, де х - Довжина сторони геометричної фігури, а 4 - кількість сторін фігури. Розглянемо кілька методів цього розрахунку.

1-й спосіб: Обчислення периметра з даної сторони

Якщо відомі розміри площі, то від заданої величини можна знайти периметр квадрата. Для цього потрібно витягти квадратний корінь, так ми знайдемо довжину сторони, і обчислити підсумкове значення за наведеною формулою. Якщо потрібно знайти периметр квадрата по діагональній лінії, потрібно скористатися таблицею Піфагора.

Геометрична фігура діагоналлю поділена на рівнобедрені трикутники з прямим кутом, і якщо діагональ відома, значення сторін геометричної фігури необхідно розрахувати за допомогою формули, де квадрат z (діагоналі) дорівнює подвоєному квадрату сторони u. У результаті маємо таке значення: u дорівнює кореню квадратному, який був витягнутий із половини квадрата гіпотенузи. Далі слід помножити підсумкове значення вчетверо і отримати периметр геометричної фігури, тобто квадрата.

2-й спосіб: Обчислення периметра по даній площі

Формула обчислення площі квадрата. Площа будь-якого прямокутника (а квадрат – це окремий випадок прямокутника) дорівнює добутку його довжини на його ширину. Оскільки довжина і ширина квадрата рівні, його площа обчислюється за такою формулою: A = s*s = s2, де s – довжина боку квадрата.

Вийміть квадратний корінь із значення площі, щоб знайти бік квадрата. Для цього в більшості випадків скористайтеся калькулятором (введіть значення площі та натисніть клавішу √). Ви можете також обчислити квадратний корінь вручну.

Якщо площа квадрата дорівнює 20, його сторона дорівнює: s = √20 = 4,472.

Якщо площа квадрата дорівнює 25, s = √25 = 5.

Помножте знайдений бік на 4, щоб знайти периметр. Обчислене значення сторони підставте у формулу знаходження периметра: P = 4s. Ви знайдете квадратний периметр.

У першому прикладі: P = 4 * 4,472 = 17,888.

Периметр квадрата, площа якого дорівнює 25, а сторона дорівнює 5, дорівнює Р = 4 * 5 = 20.

3-й спосіб: Обчислення периметра по даному радіусу кола, описаного навколо квадрата

Вписаний квадрат – це квадрат, вершини якого лежать на колі.

Відношення між радіусом кола та довжиною сторони квадрата. Відстань від центру описаного кола до вершини вписаного до неї квадрата дорівнює радіусу кола. Щоб знайти сторону квадрата s, необхідно діагоналлю розділити квадрат на 2 прямокутні трикутники. Кожен із цих трикутників матиме рівні сторони a і b і загальну гіпотенузу с, рівну подвоєному радіусу описаного кола (2r).

Скористайтеся теоремою Піфагора, щоб знайти бік квадрата. Теорема Піфагора говорить, що у будь-якому прямокутному трикутнику з катетами а і b і гіпотенузою з: a2 + b2 = c2. Так як у нашому випадку а = b (не забувайте, що ми розглядаємо квадрат!), і ми знаємо, що з = 2r, то ми можемо переписати та спростити це рівняння:

a2 + a2 = (2r)2″; тепер спростимо це рівняння:

2a2 = 4(r)2; тепер розділимо обидві сторони рівняння на 2:

(a2) = 2(r)2; тепер витягнемо квадратний корінь з обох сторін рівняння:

a = √(2r). Таким чином, s = √(2r).

Помножте знайдений бік квадрата на 4, щоб знайти його периметр. І тут периметр квадрата: P = 4√(2r). Цю формулу можна переписати так: Р = 4√2 * 4√r = 5,657r, де r – радіус описаного кола.

приклад. Розглянемо квадрат, вписаний у коло радіусом 10. Це означає, що діагональ квадрата дорівнює 2 * 10 = 20. Використовуючи теорему Піфагора, ми отримаємо: 2(a2) = 202, тобто 2a2 = 400. Тепер розділимо обидві сторони рівняння на 2 отримаємо: a2 = 200. Тепер отримаємо квадратний корінь з обох сторін рівняння та отримаємо: а = 14,142. Помножимо це значення на 4 та обчислимо периметр квадрата: P = 56,57.

Зауважте, що ви могли б отримати той же результат, просто помноживши радіус (10) на 5,657: 10 * 5,567 = 56,57; але такий метод важко запам'ятати, тому краще користуватися процесом обчислення, описаним вище.