Затухаючі та вимушені коливання. Величини, що їх характеризують. Вимушені коливання. Резонанс. Затухаючі та вимушені коливання Затухаючі та вимушені коливання резонанс

Рухи, які мають той чи інший ступінь повторюваності, називаються коливаннями. Якщо коливання повторюються через рівні проміжки часу, вони називаються періодичними. Залежно від фізичної природи коливального процесу та «механізму» його збудження розрізняють механічні та електромагнітні коливання. Гармонійні – це такі коливання, що описуються періодичним законом або (1)

де – величина, що періодично змінюється (зсув, швидкість, сила і т.д.). Система, закон руху якої має вигляд (1), називається одномірним (лінійним) класичним гармонічним осцилятором або скорочено гармонічним осцилятором .

Амплітуда А, що визначає розмах коливань, дорівнює абсолютним значенням найбільшого відхилення від значення в стані рівноваги. Аргумент синуса чи косинуса називається фазою коливання, – початкова фаза. -Частота коливань, чисельно дорівнює числу коливань, що здійснюються за одиницю часу. Частота, коли він за 1с відбувається одне повне коливання, називається герцем (Гц).Т – період – час, протягом якого відбувається одне повне коливання.

Система, що здійснює коливання, називається маятником.

Пружинний маятникмає період, де m- Маса тіла, закріпленого на пружині жорсткістю k. .Математичний маятник- Це модель, в якій вся маса зосереджена в матеріальній точці, що коливається на невагомій і довжиною, що не деформується нитки. Період коливань: . Фізичний маятник -утворює тверде тіло, підвішене у полі тяжіння на закріпленій горизонтальній осі. Період коливань фізичного маятника: , де J - момент інерції маятника щодо осі, m- Маса тіла, - Відстань від осі до центру тяжкості тіла.

Вільними(Власними) називаються коливання, які відбуваються у відсутності змінних зовнішніх впливів на коливальну систему. Вони виникають внаслідок якогось початкового відхилення цієї системи стану її стійкого рівноваги.

Розглянемо усунення xколивання тіла щодо положення рівноваги, тобто . Початок відліку часу виберемо так, щоб =0. Рівняння гармонійного коливання: , причому Аі w- Постійні величини.

Перша похідна від часу дає вираз для швидкості руху тіла: ; (2)

Рівняння (2) показують, що швидкість, як і усунення, змінюються за гармонічним законом з тією ж частотою w, але її фаза відрізняється від фази зміщення на p/2, тобто коли =0, то .

Прискорення змінюється згодом також за гармонійним законом:

, (3)

де - максимальне значення прискорення. Фаза прискорення відрізняється від фази зміщення на p, як від швидкості на p/2. З (3) випливає. що значення прискорення в процесі коливального руху дорівнює:

Таким чином, при гармонійному коливальному русі прискорення тіла прямо пропорційно усунення положення рівноваги і має протилежний йому знак. Рівняння (4) можна переписати у вигляді: (5)

Це і є диференційне рівняння гармонійних коливань. Якщо змінюється з часом згідно з формулою (1), воно задовольняє диференціальному рівнянню (5). Правильне і зворотне твердження.

Реально вільні коливання під дією сил опору завжди згасають. Нехай точка здійснює лінійне гармонійне коливання у в'язкому середовищі. При малих швидкостях: , де r- Постійна величина, звана коефіцієнтом опору середовища. Рівняння коливань: . Введемо позначення: тоді диференціальне рівняння загасаючого коливання: (6)

де - Коефіцієнт загасання, w 0- Власна частота коливання. За відсутності тертя =0, рівняння набуде вигляду рівняння для вільних незагасаючих коливань. В результаті рішення рівняння (6) отримаємо залежність зміщення х від часу, тобто рівняння загасаючого коливального руху:

Вираз називається амплітудою загасаючого коливання. Амплітуда зменшується з часом і тим швидше, що більший коефіцієнт загасання. Огинає на графіку залежить від . Чим вона більша, тим крутіше огинаюча, тобто коливання швидше загасають.

Шляхом підстановки функції (2) та її похідних за часом до рівняння (1) можна знайти значення кутової частоти: . Період загасаючих коливань дорівнює: .

Наочною характеристикою згасання є відношення значень двох амплітуд, що відповідають проміжку часу в один період. Це ставлення називають декрементом згасання : Його логарифм є безрозмірною величиною, яка називається логарифмічним декрементом згасання:

Коливання системи, які відбуваються за рахунок роботи зовнішньої сили, що періодично змінюється, називаються вимушеними.

Нехай на систему діє зовнішня сила, що змінюється згодом за гармонійним законом: , де F 0 - Амплітуда сили (максимальне значення), w - Кутова частота коливань змушує сили. Тоді рівняння руху матиме вигляд.

У будь-якій реальній коливальній системі зазвичай мають місце сили тертя (опору), дія яких призводить до зменшення енергії системи. Сила тертя виражається формулою:

де r - коефіцієнт тертя, а знак мінус вказує, що напрямок сили завжди протилежний швидкості руху.

Якщо сили тертя відсутні, формула (2.4) дає диференціальне рівняння:

яке має рішення у вигляді:

де 0 = . Коливання, що відбуваються за відсутності сил тертя, називаються власними чи вільними. Частота своїх коливань залежить лише від властивостей системи.

Припустимо тепер, що у системі діють дві сили: F УПР і F ТР. Рівняння руху тіла матиме вигляд:

Розділимо це рівняння на масу тіла та позначимо: .

Тоді отримаємо диференціальне рівняння загасаючих коливань, енергія яких зменшується з часом:

Цьому рівнянню задовольняє функція: х = А 0 е – d t Cos (wt + j 0),

де Значить, зараз частота коливання залежить від , і . Амплітуда коливання з часом змінюватиметься за експоненційним законом . Величина, що визначає швидкість зменшення амплітуди коливання з часом, називається коефіцієнтом загасання. Добуток коефіцієнта загасання на період коливання T, що дорівнює логарифму відношення двох сусідніх амплітуд:

є безрозмірна величина і називається логарифмічним декрементом згасання. Коливання, які у системі за наявності сил тертя, називаються загасаючими. Частота цих коливань залежить від властивостей системи та інтенсивності втрат (з їх збільшенням частота зменшується). Для отримання невгамовних коливань система повинна піддаватися дії ще й зовнішньої сили, що невпинно змінюється з часом за яким-небудь законом. Зокрема, припустимо, що зовнішня сила є синусоїдальною:

тоді рівняння руху тіла матиме вигляд:

Розділимо це рівняння на масу тіла і до раніше прийнятих позначень додамо. У цьому випадку рівняння набуде вигляду:

Рівняння характеризує вже вимушені незатухаючі коливання під впливом зовнішньої періодичної сили. Вирішення цього рівняння має вигляд:

x = A Cos (ωt-φ),

де А - амплітуда коливання, - фаза, рівна: = аrctg.

Амплітуда вимушених коливань системи:

де - Кутова частота власних коливань системи; – кутова частота сили, що змушує.

При вимушених коливаннях має місце резонансу, що викликає різке збільшення амплітуди вимушених коливань при збігу власної кутової частоти коливань і кутової частоти сили, що змушує. Оскільки вимушені коливання мають широке застосування в техніці, то явище резонансу має завжди враховуватися, бо воно може бути корисним в окремих процесах, а може бути небезпечним явищем.

Важливе місце у машинобудуванні займають вібрації (від латів. vibratio – коливання) – механічні коливання пружних тіл різної форми. Це поняття зазвичай застосовується по відношенню до механічних коливань деталей машин, конструкцій та споруд, що розглядаються в інженерній справі.

Розділ 5. Фізика хвильових процесів

Дата 21/12/12

№ уроку: 33

Тема : Затухаючі та вимушені коливання. Резонанс.

Мета уроку : пояснити, чому більше значеннямають вимушені коливання, а чи не вільні; як встановлюються вимушені коливання; коли настає різке зростання амплітуди та виникає резонанс;

Завдання:

Освітня – забезпечити знання учнями поняття вільних та вимушених коливань; пояснити значення вимушених коливань; встановити походження вимушених коливань, виникнення резонансу.

Розвиваюча – розвиток поняття застосування і шкоди резонансом, що приноситься в природі; розвиток образного мислення коливальних процесів у природі; формувати вміння роботи із книгою.

Виховує – виховання свідомого та серйозного ставлення до навчальної дисципліни. Формування поглядів на розвиток природи коливальних процесів та зв'язку з навколишнім світом. Виховання інтересу до предмету

Тип уроку: урок формування нових знань

Методи: словесний, лекція, демонстраційний, пояснювально-ілюстративний

Види діяльності учнів: робота з підручником; самостійна робота з підручником.

План уроку:

Вивчення нової теми

Будинок завдання § 28, упр. 23

Підсумки уроку. Організація рефлексії.

Хід уроку:

Орг. момент (вітання, перевірка готовності до уроку, мотивація навчальної діяльності, настрій учнів).

Актуалізація необхідних знань.

Перевірка домашнього завдання шляхом індивідуального опитування.

Що називається механічними коливаннями? (Механічними коливаннями називають рухи тіла, що повторюються точно або приблизно через однакові проміжки часу.)

Назвіть основні характеристики механічних коливань (Основними характеристиками механічних коливань є: усунення, амплітуда, частота, період.)

Що є усуненням? (Зміщення – це відхилення тіла від положення рівноваги.)

Що називається амплітудою коливань? (Амплітуда – модуль максимального відхилення від положення рівноваги.)

Що називається частотою коливання? (Частота - кількість повних коливань, що здійснюються в одиницю часу.)

Що називається періодом коливань ? (Період - час одного повного коливання, тобто мінімальний проміжок часу, через який відбувається повторення процесу.)

Як пов'язані між собою період та частота коливань? (Період і частота пов'язані співвідношенням: = 1/Т)

Як відбувається перетворення енергії в коливальних системах без тертя?

Як сили опору діють на тіло, що вагається?

Які коливання є загасаючими?

Вивчення нової теми

Вимушені коливання пружинного маятника.

Розглянемо, як у коливальній системі, що володіє власною частотою, виникають і підтримуються вимушені коливання. Якщо обертати ручку установки, то на тіло почне діяти періодична зовнішня сила. Тіло розгойдуватиметься з амплітудою, що збільшується. Через деякий час, коливання матимуть встановлений характер, амплітуда перестане збільшуватися. Частота коливань вантажу дорівнюватиме частоті обертання рукоятки (частоті зміни зовнішньої сили).

Перетворення енергії при механічних коливаннях.

Розглянемо процес перетворення енергії з прикладу коливань вантажу на нитки (рис 10).

При відхиленні маятника від положення рівноваги він піднімається на висоту h щодо нульового рівня,

отже, у точці А маятник має потенційну енергію mgh. При русі до положення рівноваги, до точки О, зменшується висота до нуля, а швидкість вантажу збільшується, і в точці О вся потенційна енергія mgh перетвориться на кінетичну енергію mυ 2 /2. У стані рівноваги кінетична енергія має максимальне значення, а потенційна енергія мінімальна. Після проходження положення рівноваги відбувається перетворення кінетичної енергії на потенційну, швидкість маятника зменшується і при максимальному відхиленні від положення рівноваги стає рівною нулю. При коливальному русі завжди відбуваються періодичні перетворення його кінетичної та потенційної енергії.

При вільних механічних коливаннях неминуче відбувається втрата енергії подолання сил опору.Якщо коливання відбуваються під впливом періодичної зовнішньої сили, такі коливання називають змушеними . Наприклад, батьки розгойдують дитину на гойдалці, поршень рухається в циліндрі двигуна автомобіля, коливаються ніж електробритви та голка швейної машини.

Характер вимушених коливань залежить від характеру дії зовнішньої сили, від її величини, напряму, частоти дії і не залежить від розмірів і властивостей тіла, що коливається. Наприклад,фундамент мотора, на якому він закріплений, здійснює вимушені коливання з частотою, яка визначається лише кількістю оборотів мотора, і не залежить від розмірів фундаменту.

При збігу частоти зовнішньої сили та частоти власних коливань тіла амплітуда вимушених коливань різко зростає. Таке явище називають механічним резонансом.Графічно залежність амплітуди вимушених коливань від частоти дії зовнішньої сили показано малюнку 11.

За відсутності тертя амплітуда вимушених коливань при резонансі має зростати з часом необмежено. У реальних системах амплітуда в режимі резонансу визначається умовою втрат енергії протягом періоду і роботи зовнішньої сили за той же час. Чим менше тертя, тим більше амплітуда при резонансі.

Резонанс (Від латинського слова resonans - що дає відгук)

П ользуясь все тієї ж установкою, перевіримо, як залежить від частоти зовнішньої сили амплітуда коливань, що встановилися. Амплітуда починає зростати за подальшого збільшення частоти зовнішньої сили. Вона досягає максимуму, якщо вільні коливання вантажу діятимуть у такт із зовнішньою силою. Амплітуда прагне нуля, якщо частота зовнішньої сили дуже велика.

Внаслідок інертності тіло не встигає зміщуватися і «тремтить на місці».

Залежність амплітуди від зовнішньої частоти представлена ​​малюнки.

Р
езонансомназивається різке збільшення амплітуди вимушених коливань при збігу частоти вільних коливань із частотою зміни зовнішньої сили.

Застосування резонансу та боротьба з ним . Явище Резонанс грає велику роль у ряді природних, наукових і виробничих процесів. Наприклад, необхідно враховувати явище резонансу при проектуванні мостів, будівель та інших споруд, що зазнають вібрації під навантаженням, інакше за певних умов ці споруди можуть бути зруйновані. Явище резонансу може бути причиною руйнування машин, будівель, мостів, якщо їхні власні частоти збігаються з частотою сили, що періодично діє.Тому, наприклад, двигуни в автомобілях встановлюють на спеціальних амортизаторах, а військовим підрозділам під час руху мостом забороняється йти «в ногу».

Закріплення. Самостійна роботаз підручником.

«Застосування резонансу та боротьба з ним»

Підготувати відповіді питання.

1. Які тіла, споруди, машини є коливальною системою?

2. Наскільки може збільшитися амплітуда працюючої машини?

3. Яких заходів вживають, щоб резонанс не настав чи хоча б послабити його?

4. Чому стройовий крок військової частини може призвести до руйнування моста, через який частина переходить?

5. Навести приклади корисної дії резонансу.

Запитання для закріплення.

Які коливання називаються вимушеними? (Коливання, що відбуваються під дією зовнішньої періодичної сили).

Як відбуваються вимушені коливання під дією яких сил? (Зовнішня періодична сила, яка називається примушує, повідомляє коливальній системі додаткову енергію, яка йде на поповнення енергетичних втрат, що відбуваються через тертя.)

Чим відрізняються вимушені вагання від вільних? (На відміну від вільних коливань, коли система отримує енергію лише один раз (при виведенні системи зі стану рівноваги), у разі вимушених коливань система поглинає цю енергію від джерела зовнішньої періодичної сили безперервно.)

Чому при цьому дорівнює повна енергія коливальної системи? (Ця енергія поповнює втрати, що витрачаються на подолання тертя, і тому повна енергія коливальної системи, як і раніше, залишається незмінною.)

Як залежить частота вимушених коливань від частоти сили, що змушує? (Частота вимушених коливань дорівнює частоті сили, що змушує.)

Що ми називаємо явищем резонансу? (У разі, коли частота вимушальної сили υ збігається з власною частотою коливальної системи υ 0 відбувається різке зростання амплітуди вимушених коливань - резонанс.)

Чому виникає явище резонанс? (Резонанс виникає через те, що при υ = υ 0 зовнішня сила, діючи в такт із вільними коливаннями, весь час спрямована зі швидкістю тіла, що коливається, і робить позитивну роботу: енергія тіла, що коливається, збільшується, і амплітуда його коливань стає великою.)

Яку роль відіграє явище резонансу? (Явище резонансу відіграє велику роль у ряді природних, наукових та виробничих процесів.)

Наведіть приклади явище резонансу. (Наприклад, необхідно враховувати явище резонансу при проектуванні мостів, будівель та інших споруд, що зазнають вібрації під навантаженням, інакше за певних умов ці споруди можуть бути зруйновані.)

Домашнє завдання:§ 28, упр. 23

Підсумки уроку.

Згасанням коливаньназивають зменшення амплітуди коливань з часом, обумовлене втратою енергії коливальною системою (наприклад, перетворення енергії коливань на теплоту внаслідок тертя в механічних системах). Згасання порушує періодичність коливань, тому вони вже не є періодичним процесом. Якщо згасання мало, можна умовно користуватися поняттям періоду коливань – Т(на малюнку 7.6 А 0 – початкова амплітуда коливань).

Рисунок 7.6 – Характеристики загасаючих коливань

Загасаючі механічні коливання пружинного маятника відбуваються під дією двох сил: сили пружності та сили опору:

де r- Коефіцієнт опору.

Скориставшись рівнянням другого закону Ньютона, можна отримати:

або

Розділимо останнє рівняння на mі введемо позначення або

де β коефіцієнт згасання, тоді рівняння набуде вигляду

(7.20)

Даний вислів і є диференціальне рівняння загасаючих коливань. Рішенням цього рівняння є

Звідси випливає експоненційний характер загасаючих коливань, тобто. амплітуда коливань зменшується за експоненційним законом (рисунок 7.6):

(7.22)

Відносне зменшення амплітуди коливань за період характеризується декрементом загасання, що дорівнює

(7.23)

або логарифмічним декрементом згасання:

(7.24)

Коефіцієнт згасання β назад пропорційний часу τ протягом якого амплітуда коливань зменшується в eразів:

тобто. (7.25)

Частота загасаючих коливань завжди менше частоти власних коливань і може бути знайдена з виразу

(7.26)

де 0 частота власних коливань системи.

Відповідно період загасаючих коливань дорівнює:

Або (7.27)

Зі збільшенням тертя період коливань зростає, а за період .

Для отримання незагасаючих коливань необхідний вплив додаткової змінної зовнішньої сили, яка б підштовхувала матеріальну точкуто в один, то в інший бік і робота якої безперервно поповнювала б спад енергії, що витрачається на подолання тертя. Така змінна сила називається змушуєFвин, а які виникають під її дією незатухаючі коливання – вимушеними.

Якщо сила, що змушує, змінюється відповідно до виразу, то рівняння вимушених коливань набуде вигляду.

(7.28)

(7.29)

де ωциклічна частота сили, що змушує.

Це диференціальне рівняння вимушених коливань. Рішення його може бути записане у вигляді

Рівняння описує гармонійне коливання, що відбувається з частотою, що дорівнює частоті змушує сили, що відрізняється за фазою на коливань сили.

Амплітуда вимушеного коливання:

(7.30)

Різниця фаз між коливаннями сили та системи перебуває з виразу

(7.31)

Графік вимушених коливань наведено малюнку 7.7.

Рисунок 7.7 – Вимушені коливання

При вимушених коливаннях може бути таке явище, як резонанс. Резонансце різке зростання амплітуди коливань системи.

Визначимо умову, за якої настає резонанс, для цього розглянемо рівняння (7.30). Знайдемо умову, за якої амплітуда набуває максимального значення.

З математики відомо, що екстремум функції буде, коли похідна дорівнює нулю, тобто.

Дискримінант дорівнює

Отже

Після перетворення отримуємо

Отже – резонансна частота.

У найпростішому випадку настає резонанс, коли зовнішня періодична сила Fзмінюється із частотою ω , що дорівнює частоті власних коливань системи ω = ω 0 .

Механічні хвилі

Процес поширення коливань у суцільному середовищі, періодичний у часі та просторі, називається хвильовим процесомабо хвилею.

При поширенні хвилі частки середовища не рухаються разом із хвилею, а коливаються біля своїх положень рівноваги. Разом із хвилею від частки до частки середовища передається лише стан коливального руху та його енергія. Тому основною властивістю хвиль, незалежно від їхньої природи, є перенесення енергії без перенесення речовини.

Виділяють такі типи хвиль:

Пружними(або механічними) хвиляминазиваються механічні обурення, що розповсюджуються в пружному середовищі. У будь-якій пружній хвилі одночасно існують два види руху: коливання частинок середовища та поширення обурення.

Хвиля, в якій коливання частинок середовища та поширення хвилі відбуваються в одному напрямку, називається поздовжнійа хвиля, в якій частинки середовища коливаються перпендикулярно напрямку поширення хвилі, називається поперечної.

Поздовжні хвилі можуть поширюватися серед, у яких виникають пружні сили при деформаціях стискування і розтягування, тобто. твердих, рідких та газоподібних тілах. Поперечні хвилі можуть поширюватися у середовищі, де виникають пружні сили при деформації зсуву, тобто. у твердих тілах. Таким чином, у рідинах та газах виникають лише поздовжні хвилі, а в твердих тілах – як поздовжні, так і поперечні.

Пружна хвиля називається синусоїдальної(або гармонійної), якщо відповідні їй коливання частинок середовища гармонійні.

Відстань між найближчими частинками, що коливаються в однаковій фазі, називається довжиною хвилі λ .

Довжина хвилі дорівнює відстані, на яку поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань:

де - Швидкість поширення хвилі.

Так як (де частота коливання), то

Геометричне місце точок, до яких доходять коливання на момент часу t, називається хвильовим фронтом. Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею.

« Фізика – 11 клас»

У сучасній фізиці існує спеціальний розділ фізика коливань, що займається дослідженням вібрацій машин та механізмів.

Механічні коливання

Механічні коливання - це рухи, які точно чи приблизно повторюються через певні проміжки часу.
Приклади коливань: рух поршнів у двигуні автомобіля, поплавка на хвилі, гілки дерева на вітрі.

Коливальні рухи, або просто коливання- це повторювані рухи тіл.

Якщо рух повторюється точно, такий рух називається періодичним.

Що є характерною ознакоюколивального руху?
При коливаннях руху тіла повторюються.
Так, маятник, здійснивши один цикл коливань, знову робить такий самий цикл і т.д.

Маятникомназивають підвішене на нитці або закріплене на осі тіло, яке може коливати під дією сили тяжіння Землі.

Приклади маятників:

1. Пружинний маятник- вантаж підвішений на пружині.
У стані рівноваги пружина розтягнута, і сила пружності врівноважує силу тяжіння, що діє на кульку. Якщо вивести кульку з положення рівноваги, злегка відтягнувши її вниз і відпустити, то вона почне робити коливальні рухи.

2. Нитяний маятник- вантаж, підвішений на нитці.
У положенні рівноваги нитка вертикальна і сила тяжіння, що діє на кульку, врівноважується силою пружності нитки. Якщо кульку відхилити і потім відпустити, то вона почне вагатися (хитатися) з боку в бік.

Коливання бувають вільними загасаючими та вимушеними.

Вільні вагання.

Групу тіл, рух яких вивчають, називають у механіці системою тел.
Внутрішні сили- Це сили, що діють між тілами системи.
Зовнішні сили- це сили, що діють на тіла системи з боку тіл, що не входять до неї.

Найпростіший вид коливань – вільні коливання.

Вільними коливанняминазиваються коливання в системі під дією внутрішніх сил, після того, як система виведена з положення рівноваги і надана потім самій собі.

Приклади вільних коливань: коливання вантажу, прикріпленого до пружини, або підвішеного на нитки вантажу.

Загасні коливання.

Після виведення системи із положення рівноваги створюються умови, за яких вантаж коливається без впливу зовнішніх сил.
Однак з часом коливання згасають, тому що на тіла системи завжди діють сили опору.
Під дією внутрішніх сил та сил опору система здійснює загасаючі коливання.

Вимушені коливання.

Для того щоб коливання не згасали, на тіла системи повинна діяти сила, що періодично змінюється.
Постійна сила неспроможна підтримувати коливання, оскільки під впливом цієї сили може змінитися лише положення рівноваги, щодо якого відбуваються коливання.

Вимушеними коливанняминазиваються коливання тіл під дією зовнішніх сил, що періодично змінюються.

Найбільше значення у техніці мають вимушені коливання.