Дії з десятковими дробами. Математика: дії з дробами. Дії з десятковими та звичайними дробами. Що таке «дроб»
§ 31. Завдання та приклади на всі дії з десятковими дробами.
Виконати вказані дії:
767. Знайти приватне від поділу:
772. Обчислити:
Знайти х , якщо:
776. Невідоме число помножили на різницю чисел 1 та 0,57 та у творі отримали 3,44. Знайти невідоме число.
777. Суму невідомого числа та 0,9 помножили на різницю між 1 та 0,4 та у творі отримали 2,412. Знайти невідоме число.
778. За даними діаграми про виплавку чавуну в РРФСР (рис. 36) скласти завдання, на вирішення якої треба застосувати дії складання, віднімання і розподілу.
779. 1) Довжина Суецького каналу 165,8 км, довжина Панамського каналу менша за Суецький на 84,7 км, а довжина Біломорсько-Балтійського каналу на 145,9 км більша за довжину Панамського. Яка довжина Біломорсько-Балтійського каналу?
2) Московське метро (до 1959 р.) було збудовано у 5 черг. Довжина першої черги метро 11,6 км, другий -14,9 км, довжина третьої на 1,1 км менша за довжину другої черги, довжина четвертої черги на 9,6 км більша за третю чергу, а довжина п'ятої черги на 11,5 км менша четвертої. Чому дорівнює довжина Московського метро на початок 1959 р.?
780. 1) Найбільша глибина Атлантичного океану 8,5 км, найбільша глибина Тихого ркеану на 2,3 км більша за глибину Атлантичного океану, а найбільша глибина Північного Льодовитого океану в 2 рази менша від найбільшої глибини Тихого океану. Якою є найбільша глибина Північного Льодовитого океану?
2) Автомобіль "Москвич" на 100 км шляху витрачає 9 л бензину, автомобіль "Перемога" на 4,5 л більше, ніж витрачає "Москвич", а "Волга" в 1,1 рази більше "Перемоги". Скільки бензину витрачає автомобіль Волга на 1 км шляху? (Відповідь округлити з точністю до 0,01 л.)
781. 1) Учень під час канікул поїхав до дідуся. Залізницею він їхав 8,5 години, а від станції на конях 1,5 години. Усього він проїхав 440 км. З якою швидкістю учень їхав залізницею, якщо на конях він їхав зі швидкістю 10 км на годину?
2) Колгоспнику треба було бути у пункті, що знаходиться на відстані 134,7 км від його будинку. 2,4 години він їхав автобусом із середньою швидкістю 55 км на годину, а решту шляху він пройшов пішки зі швидкістю 4,5 км на годину. Скільки часу він ішов пішки?
782. 1) За літо один ховрах знищує близько 0,12 ц хліба. Піонери навесні винищили на 37,5 га 1250 ховрахів. Скільки хліба зберегли школярі для колгоспу? Скільки збереженого хліба припадає на 1 га?
2) Колгосп підрахував, що, знищивши ховрахів на площі 15 га ріллі, школярі зберегли 3,6 т зерна. Скільки ховрахів у середньому знищено на 1 га землі, якщо один ховрах за літо знищує 0,012 т зерна?
783. 1) При розмелюванні пшениці на борошно втрачається 0,1 її ваги, а при випіканні виходить припік, що дорівнює 0,4 ваги борошна. Скільки печеного хліба вийде з 2,5 т пшениці?
2) Колгосп зібрав 560 т соняшникового насіння. Скільки соняшникової олії виготовлять із зібраного зерна, якщо вага зерна становить 0,7 ваги насіння соняшника, а вага отриманої олії становить 0,25 ваги зерна?
784. 1) Вихід вершків із молока становить 0,16 ваги молока, а вихід олії із вершків становить 0,25 ваги вершків. Скільки потрібно молока (за вагою) для отримання 1 ц олії?
2) Скільки кілограмів білих грибів треба зібрати для одержання 1 кг сушених, якщо при підготовці до сушіння залишається 0,5 ваги, а при сушінні залишається 0,1 ваги обробленого гриба?
785. 1) Земля, відведена колгоспу, використана так: 55% її зайнято ріллом, 35% -лугом, а решта землі в кількості 330,2 га відведена під колгоспний сад і під садиби колгоспників. Скільки всього землі у колгоспі?
2) Колгосп засіяв 75% усієї посівної площі зерновими культурами, 20%-овочевими, а решту площі кормовими травами. Скільки посівної площі мав колгосп, якщо кормовими травами він засіяв 60 га?
786. 1) Скільки центнерів насіння потрібно для засіву поля, що має форму прямокутника завдовжки 875 м та шириною 640 м, якщо на 1 га висівати 1,5 ц насіння?
2) Скільки центнерів насіння потрібно для засіву поля, що має форму прямокутника, якщо його периметр дорівнює 1,6 км? Ширина поля 300 м. На засів 1 га потрібно 1,5 ц насіння.
787. Скільки пластинок квадратної форми зі стороною 0,2 дм поміститься у прямокутнику розміром 0,4 дм х 10 дм?
788. Читальний зал має розміри 9,6 м x 5 м x 4,5 м. На скільки місць розрахований читальний зал, якщо на кожну людину необхідно 3 куб. м повітря?
789. 1) Яку площу луки скосить трактор із причепом чотирьох косарок за 8 годин, якщо ширина захоплення кожної косарки 1,56 м та швидкість трактора 4,5 км на годину? (Час на зупинки не враховується.) (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)
2) Ширина захоплення тракторної овочевої сівалки дорівнює 2,8 м. Яку площу можна засіяти цією сівалкою за 8 год. роботи при швидкості 5 км на годину?
790. 1) Знайти вироблення трикорпусного тракторного плуга за 10 год. роботи, якщо швидкість трактора 5 км на годину, захоплення одного корпусу 35 см, а непродуктивна трата часу склала 0,1 всього витраченого часу. (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)
2) Знайти вироблення п'ятикорпусного тракторного плуга за 6 год. роботи, якщо швидкість трактора 4,5 км на годину, захоплення одного корпусу 30 см, а непродуктивна трата часу склала 0,1 всього витраченого часу. (Відповідь округлити з точністю до 0,1 га.)
791. Витрата води на 5 км пробігу для паровоза пасажирського поїзда дорівнює 0,75 т. Водяний бак тендеру вміщує 16,5 т води. На скільки кілометрів колії вистачить води поїзду, якщо бак був наповнений на 0,9 своєї місткості?
792. На запасному шляху можуть поміститися лише 120 товарних вагонів при середній довжині вагона в 7,6 м. Скільки поміститься на цьому шляху чотириосних пасажирських вагонів завдовжки 19,2 м кожен, якщо на цьому шляху буде вміщено ще 24 товарні вагони?
793. Для міцності залізничного насипу рекомендується проводити зміцнення укосів у вигляді посіву польових трав. На кожен квадратний метр насипу потрібно 2,8 г насіння вартістю 0,25 руб. за 1кг. Скільки коштуватиме засів 1,02 га укосів, якщо вартість робіт становитиме 0,4 від вартості насіння? (Відповідь округлити з точністю до 1 руб.)
794. Цегельний завод доставив на станцію залізниціцеглини. На перевезенні цегли працювали 25 коней та 10 вантажних машин. Кожен кінь перевозив 0,7 т за одну поїздку і щодня здійснював 4 поїздки. Кожна машина перевозила за одну поїздку 2,5 т і щодня здійснювала 15 поїздок. Перевезення тривало 4 дні. Скільки штук цегли було доставлено на станцію, якщо середня вага однієї цегли 3,75 кг? (Відповідь округлити з точністю до 1 тис. штук.)
795. Запас борошна був розподілений між трьома пекарнями: перша отримала 0,4 всього запасу, друга 0,4 залишку, а третя пекарня отримала борошна на 1,6 т менше ніж перша. Скільки всього борошна було розподілено?
796. На другому курсі інституту 176 студентів, на третьому 0,875 цього числа, а на першому в півтора рази більше від того, що було на третьому курсі. Число студентів на першому, другому та третьому курсах становило 0,75 всього числа студентів цього інституту. Скільки студентів було в інституті?
___________
797. Знайти середнє арифметичне:
1) двох чисел: 56,8 та 53,4; 705,3 та 707,5;
2) трьох чисел: 46,5; 37,8 та 36; 0,84; 0,69 та 0,81;
3) чотирьох чисел: 5,48; 1,36; 3,24 та 2,04.
798. 1) Вранці температура була 13,6 °, опівдні 25,5 °, а ввечері 15,2 °. Обчислити середню температуру цього дня.
2) Яка середня температура протягом тижня, якщо протягом тижня термометр показав: 21°; 20,3 °; 22,2 °; 23,5 °; 21,1 °; 22,1 °; 20,8 °?
799. 1) Шкільна бригада першого дня прополола 4,2 га буряків, другого дня 3,9 га, а третій 4,5 га. Визначати середній виробіток бригади за день.
2) Для встановлення норми часу виготовлення нової деталі було поставлено 3 токаря. Перший виготовив деталь за 3,2 хв, другий за 3,8 хв, а третій за 4,1 хв. Обчислити норму часу, встановленої виготовлення деталі.
800. 1) Середнє арифметичне двох чисел 36,4. Одне із цих чисел 36,8. Знайти інше.
2) Температуру повітря вимірювали тричі на день: вранці, опівдні та ввечері. Знайти температуру повітря вранці, якщо опівдні було 28,4 °, увечері 18,2 ° тепла, а середня температура дня 20,4 °.
801. 1) Автомобіль проїхав за перші дві години 98,5 км, а за наступні три години 138 км. Скільки кілометрів у середньому проїжджав автомобіль за годину?
2) Пробний улов і зважування коропів-річників показав, що з 10 коропів 4 мали вагу по 0,6 кг, 3 по 0,65 кг, 2 по 0,7 кг і 1 важив 0,8 кг. Яка в середньому вага коропа-річника?
802. 1) До 2 л сиропу вартістю 1,05 руб. за 1 л додали 8 л води. Скільки коштує 1 л одержаної води з сиропом?
2) Господиня купила банку консервованого борщу об'ємом 0,5 л за 36 коп. та прокип'ятила з 1,5 л води. У що обійшлася тарілка борщу, якщо її об'єм дорівнює 0,5 л?
803. Лабораторна робота «Вимір відстані між двома точками»,
1-й прийом. Вимірювання рулеткою (мірною стрічкою). Клас розбивається на ланки по три людини у кожному. Приладдя: 5-6 віх та 8-10 бирок.
Хід виконання роботи: 1) відзначаються точки А та Б і між ними провішують пряму (див. задачу 178); 2) укладають рулетку, вздовж провішеної прямої і щоразу відзначають биркою кінець рулетки. 2-й прийом. Вимірювання, кроками. Клас розбивається на ланки по три людини у кожному. Кожен учень проходить відстань від А до Б, рахуючи кількість своїх кроків. Помноживши середню довжину свого кроку отримане число кроків, знаходять відстань від А до Б.
3-й прийом. Вимір "на око". Кожен із учнів витягує ліву руку з піднятим великим пальцем (рис. 37) і спрямовує великий палець на віху в точку Б (на малюнку - дерево) так, щоб ліве око (точка А), великий палець і точка Б знаходилися на одній прямій. Не змінюючи положення, заплющують ліве око і дивляться правим на великий палець. Вимірюють на око отримане усунення і збільшують його в 10 разів. Це і є відстань від А до Б.
_________________
804. 1) За переписом 1959 р. населення СРСР становило 208,8 млн. чоловік, причому сільського населення було на 9,2 млн. осіб більше, ніж міського. Скільки було міського та скільки сільського населення в СРСР у 1959 р.?
2) За переписом 1913 р. населення Росії становило 159,2 млн. чоловік, причому міського населення було на 103,0 млн. осіб менше, ніж сільського. Скільки було міського і сільського населення Росії у 1913 р.?
805. 1) Довжина дроту 24,5 м. Цей дріт розрізали на дві частини так, що перша частина вийшла на 6,8 м довша, ніж друга. Скільки метрів завдовжки має кожна частина?
2) Сума двох чисел 100,05. Одне число на 97,06 більше за інше. Знайти ці цифри.
806. 1) На трьох вугільних складах 8656,2 т вугілля, на другому складі на 247,3 т вугілля більше ніж на першому, а на третьому на 50,8 т більше, ніж на другому. Скільки тонн на кожному складі?
2) Сума трьох чисел 446,73. Перше число менше другого на 73,17 та більше третього на 32,22. Знайти ці цифри.
807. 1) Катер за течією річки йшов зі швидкістю 14,5 км на годину, а проти течії зі швидкістю 9,5 км на годину. Яка швидкість катера у стоячій воді та яка швидкість течії річки?
2) Пароплав пройшов за 4 години протягом річки 85,6 км, а проти течії за 3 години 46,2 км. Яка швидкість пароплава у стоячій воді та яка швидкість течії річки?
_________
808. 1) Два пароплави доставили 3500 т вантажу, причому один пароплав доставив в 1,5 рази вантажу більше, ніж інший. Скільки вантажу доставив кожний пароплав?
2) Площа двох кімнат 37,2 кв. м. Площа однієї кімнати в 2 рази більша за іншу. Чому дорівнює площа кожної кімнати?
809. 1) Із двох населених пунктом, відстань між якими 32,4 км одночасно виїхали назустріч один одному мотоцикліст та велосипедист. Скільки кілометрів проїде кожен із них до зустрічі, якщо швидкість мотоцикліста в 4 рази більша за швидкість велосипедиста?
2) Знайти два числа, сума яких 26,35, а частка від розподілу одного числа на інше дорівнює 7,5.
810. 1) Завод відправив три види вантажу загальною вагою в 19,2 т. Вага вантажу першого виду була втричі більша за вагу вантажу другого виду, а вага вантажу третього виду була вдвічі менша, ніж вага вантажу першого і другого видів разом. Яка вага вантажу кожного виду?
2) За три місяці бригада гірників видобула 52,5 тис. т залізняку. За березень видобуто у 1,3, за лютий у 1,2 рази більше, ніж за січень. Скільки руди добувала бригада щомісяця?
811. 1) Газопровід Саратов - Москва на 672 км довше каналу імені Москви. Знайти довжину тієї та іншої споруди, якщо довжина газопроводу в 6,25 рази більша за довжину каналу імені Москви.
2) Довжина річки Дону в 3,934 рази більша за довжину річки Москви. Знайти довжину кожної річки, якщо довжина річки Дону більша за довжину річки Москви на 1 467 км.
812. 1) Різниця двох чисел 5,2, а частка від розподілу одного числа на інше 5. Знайти ці числа.
2) Різниця двох чисел 0,96, які приватне 1,2. Знайти ці цифри.
813. 1) Одне число на 0,3 менше за інше і становить 0,75 його. Знайти ці цифри.
2) Одне число на 3,9 більше від іншого числа. Якщо менше збільшити вдвічі, воно становитиме 0,5 від більшого. Знайти ці цифри.
814. 1) Колгосп засіяв пшеницею та житом 2600 га землі. Скільки гектарів землі було засіяно пшеницею і скільки житом, якщо 0,8 площі, засіяною пшеницею, дорівнюють 0,5 площі, засіяною житом?
2) Колекція двох хлопчиків разом складає 660 марок. Зі скількох марок складається колекція кожного хлопчика, якщо 0,5 числа марок першого хлопчика дорівнюють 0,6 числа марок колекції другого хлопчика?
815. Два учні разом мали 5,4 руб. Після того, як перший витратив 0,75 своїх грошей, а другий 0,8 своїх грошей, у них залишилося порівну. Скільки грошей було у кожного учня?
816. 1) Два пароплави вийшли назустріч один одному з двох портів, відстань між якими 501,9 км. Через скільки часу вони зустрінуться, якщо швидкість першого пароплава 25,5 км за годину, а швидкість другого 22,3 км за годину?
2) Два поїзди вийшли назустріч один одному із двох пунктів, відстань між якими 382,2 км. Через скільки часу вони зустрінуться, якщо середня швидкість першого поїзда була 52,8 км за годину, а другого 56,4 км за годину?
817. 1) З двох міст, відстань між якими 462 км, одночасно виїхали два автомобілі та зустрілися через 3,5 години. Знайти швидкість кожного автомобіля, якщо швидкість першого була на 12 км на годину більша за швидкість другого автомобіля.
2) З двох населених пунктів, відстань між якими 63 км, одночасно виїхали назустріч один одному мотоцикліст та велосипедист і зустрілися через 1,2 години. Знайти швидкість мотоцикліста, якщо велосипедист їхав зі швидкістю на 27,5 км/год меншої швидкості мотоцикліста.
818. Учень зауважив, що потяг, що складається з паровоза та 40 вагонів, проходив повз нього 35 сек. Визначити швидкість поїзда за годину, якщо довжина паровоза 18,5 м, а довжина вагона 6,2 м. (Відповідь дати з точністю до 1 км за годину.)
819. 1) З А до Б виїхав велосипедист із середньою швидкістю 12,4 км на годину. Через 3 години 15 хв. з Б назустріч йому виїхав інший велосипедист із середньою швидкістю 10,8 км на годину. Через скільки годин та на якій відстані від А вони зустрінуться, якщо 0,32 відстані між А та Б дорівнюють 76 км?
2) З міст А та Б, відстань між якими 164,7 км, виїхали назустріч один одному вантажна машина з міста А та легкова – з міста Б. Швидкість вантажної машини 36 км, а легкова у 1,25 рази більша. Легкова машина вийшла на 1,2 години пізніше за вантажну. Через скільки часу та на якій відстані від міста Б легкова машиназустріне вантажну?
820. Два пароплави вийшли одночасно з одного порту та йдуть в одному напрямку. Перший пароплав кожні 1,5 години проходить 37,5 км, а другий кожні 2 години проходить 45 км. Через скільки часу перший пароплав перебуватиме від другого на відстані 10 км?
821. З одного пункту спочатку вийшов пішохід, а за 1,5 години після його виходу виїхав у тому ж напрямку велосипедист. На якій відстані від пункту велосипедист наздогнав пішохода, якщо пішохід йшов зі швидкістю 4,25 км/год, а велосипедист їхав зі швидкістю 17 км/год?
822. Потяг вийшов із Москви до Ленінграда о 6 годині. 10 хв. ранку і йшов із середньою швидкістю 50 км за годину. Пізніше з Москви до Ленінграда вилетів пасажирський літак і прилетів до Ленінграда одночасно з прибуттям поїзда. Середня швидкість літака була 325 км на годину, а відстань між Москвою та Ленінградом 650 км. Коли літак вилетів із Москви?
823. Пароплав за течією річки йшов 5 годин, а проти течії 3 години і пройшов лише 165 км. Скільки кілометрів він пройшов за течією та скільки проти течії, якщо швидкість течії річки 2,5 км на годину?
824. Поїзд вийшов з А і повинен прибути до Б у певний час; пройшовши половину колії та роблячи по 0,8 км за 1 хв., поїзд був зупинений на 0,25 години; збільшивши далі швидкість на 100 м-коду в 1 млн., поїзд прибув до Б вчасно. Знайти відстань між А та Б.
825. Від колгоспу до міста 23 км. З міста до колгоспу виїхав велосипедом листоноша зі швидкістю 12,5 км на годину. Через 0,4 години після цього ІВ колгоспу до міста виїхав на коні колгоспник зі швидкістю, ранньою 0,6 швидкості листоноші. Через скільки часу після свого виїзду колгоспник зустріне листоношу?
826. З міста А до міста Б, що віддаляється від А на 234 км, виїхав автомобіль зі швидкістю 32 км на годину. Через 1,75 години після цього з міста Б виїхав назустріч першому другий автомобіль, швидкість якого в 1,225 рази більша за швидкість першого. Через скільки годин після свого виїзду другий автомобіль зустріне перші
827. 1) Одна друкарка може передрукувати рукопис за 1,6 години, а інша за 2,5 години. За скільки часу обидві друкарки передрукують цей рукопис, працюючи спільно? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 години.)
2) Басейн заповнюється двома насосами різної потужності. Перший насос, працюючи один, може заповнити басейн за 3,2 години, а другий за 4 години. За скільки часу наповниться басейн за одночасної роботи цих насосів? (Відповідь округлити з точністю до 0,1.)
828. 1) Одна бригада може виконати замовлення за 8 днів. Інший виконання цього замовлення потрібно 0,5 часу першої. Третя бригада може виконати це замовлення протягом 5 днів. За скільки днів буде виконано все замовлення при спільній роботі трьох бригад? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 дня.)
2) Перший робітник може виконати замовлення за 4 години, другий у 1,25 рази швидше, а третій за 5 год. За скільки годин буде виконано замовлення при спільній роботі трьох робітників? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 години.)
829. На прибиранні вулиці працюють дві машини. Перша з них може прибрати всю вулицю за 40 хв., Друга для цього потрібно 75% часу першої. Обидві машини розпочали роботу одночасно. Після спільної роботи протягом 0,25 години друга машина припинила роботу. О котрій годині після цього перша машина закінчила роботу з прибирання вулиці?
830. 1) Одна зі сторін трикутника 2,25 см, друга на 3,5 см більша за першу, а третя на 1,25 см менша за другу. Знайти периметр трикутника.
2) Одна зі сторін трикутника 4,5 см, друга на 1,4 см менша за першу, а третя сторона дорівнює напівсумі двох перших сторін. Чому дорівнює периметр трикутника?
831 . 1) Основа трикутника 4,5 см, а висота його на 1,5 см менша. Знайти площу трикутника.
2) Висота трикутника 4,25 см, а його основа в 3 рази більша. Знайти площу трикутника. (Відповідь округлити з точністю до 0,1.)
832. Знайти площі заштрихованих фігур (рис. 38).
833. Яка площа більша: прямокутника зі сторонами 5 см і 4 см, квадрата зі стороною 4,5 см або трикутника, основа та висота якого дорівнюють по 6 см?
834. Кімната має довжину 8,5 м, ширину 5,6 м та висоту 2,75 м. Площа вікон, дверей та печей становить 0,1 загальної площі стін кімнати. Скільки шматків шпалер знадобиться для обклеювання цієї кімнати, якщо шмат шпалер має довжину 7 м і ширину 0,75 м? (Відповідь округлити з точністю до 1 шматка.)
835. Треба зовні оштукатурити та побілити одноповерховий будинок, розміри якого: довжина 12 м, ширина 8 м і висота 4,5 м. У будинку 7 вікон розміром кожне 0,75 м х 1,2 м та 2 двері кожна розміром 0,75 м х 2,5 м. Скільки буде коштуватиме вся робота, якщо побілка і штукатурка 1 кв. м коштує 24 коп.? (Відповідь округлити а точністю до 1 руб.)
836. Обчисліть поверхню та об'єм вашої кімнати. Розміри кімнати знайдіть заміром.
837. Город має форму прямокутника, довжина якого 32 м, ширина 10 м. 0,05 всієї площі городу засіяно морквою, а решта городу засаджена картоплею і цибулею, причому картоплею засаджена площа в 7 разів більша, ніж цибулею. Скільки землі окремо засаджено картоплею, цибулею та морквою?
838. Город має форму прямокутника, довжина якого 30 м і ширина 12 м. 0,65 всієї площі городу засаджено картоплею, а решта - морквою та буряком, причому буряком засаджено на 84 кв. м більше, ніж морквою. Скільки землі окремо під картоплею, буряком та морквою?
839. 1) Ящик, що має форму куба, обшили з усіх боків фанерою. Скільки фанери витрачено, якщо ребро куба 8,2 дм? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 кв. Дм.)
2) Скільки фарби потрібно для фарбування куба з ребром 28 см, якщо на 1 кв. см буде витрачено 0,4 г фарби? (Відповідь, округлити з точністю до 0,1 кг.)
840. Довжина чавунної заготовки, що має форму прямокутного паралелепіпеда, Дорівнює 24,5 см, ширина 4,2 см і висота 3,8 см. Скільки важать 200 чавунних заготовок, якщо 1 куб. дм чавуну важить 7,8 кг? (Відповідь округлити з точністю до 1 кг.)
841. 1) Довжина ящика (з кришкою), що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 62,4 см, ширина 40,5 см, висота 30 см. Скільки квадратних метрівдощок пішло на виготовлення ящика, якщо відходи дощок становлять 0,2 поверхні, яка має бути обшита дошками? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 кв. м)
2) Дно та бічні стінки ями, що має форму прямокутного паралелепіпеда, повинні бути обшиті дошками. Довжина ями 72,5 м, ширина 4,6 м та висота 2,2 м. Скільки квадратних метрів дощок пішло на обшивку, якщо відходи дощок становлять 0,2 поверхні, яка має бути обшита дошками? (Відповідь округлити з точністю до 1 кв. м)
842. 1) Довжина підвалу, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 20,5 м, ширина 0,6 його довжини, а висота 3,2 м. Підвал заповнили картоплею на 0,8 його об'єму. Скільки тонн картоплі помістилося у підвалі, якщо 1 куб. м картоплі важить 1,5 т? (Відповідь округлити з точністю до 1 т.)
2) Довжина бака, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 2,5 м, ширина 0,4 його довжини, а висота 1,4 м. Бак наповнений гасом на 0,6 його об'єму. Скільки тонн гасу налито в бак, якщо вага гасу обсягом 1 куб. м дорівнює 0,9 т? (Відповідь округлити з точністю до 0,1 т.)
843. 1) У скільки часу можна оновити повітря в кімнаті, що має 8,5 м довжини, 6 м ширини та 3,2 м висоти, якщо через кватирку в 1 сек. проходить 0,1 куб. м повітря?
2) Зробіть підрахунок часу, необхідного для оновлення повітря у вашій кімнаті.
844. Розміри бетонного блокудля будівництва стін такі: 2,7 м х 1,4 м х 0,5 м. Порожнеча становить 30% об'єму блоку. Скільки кубометрів бетону буде потрібно на виготовлення 100 таких блоків?
845. Грейдер-елеватор (машина для копання канав) за 8 год. роботи робить канаву шириною 30 см, глибиною 34 см та завдовжки 15 км. Скільки землекопів замінює така машина, якщо один землекоп може вийняти 0,8 куб. м на годину? (Результат округлити.)
846. Засік у формі прямокутного паралелепіпеда має завдовжки 12 м і завширшки 8 ж. У цьому засіку насипане зерно до висоти 1,5 м. Щоб дізнатися, скільки важить все зерно, взяли ящик довжиною 0,5 м, шириною 0,5 м і висотою 0,4 м, наповнили його зерном і зважили. Скільки важило зерно в засіку, якщо зерно в ящику важило 80 кг?
849. Побудувати лінійну діаграму зростання міського населення в СРСР, якщо в 1913 р. міського населення було 28,1 млн осіб, в 1926 р.-24,7 млн., в 1939 р.-56,1 млн. і в 1959 р-99, 8 млн. Чоловік.
850. 1) Скласти кошторис на ремонт приміщення вашого класу, якщо потрібно побілити стіни та стелю, а також пофарбувати підлогу. Дані для складання кошторису (розміри класу, вартість побілки 1 кв. м, вартість фарбування підлоги 1 кв. м) з'ясувати у завгоспу школи.
2) Для посадки у саду школа купила саджанці: 30 яблунь по 0,65 руб. за штуку, 50 вишень по 0,4 руб. за штуку, 40 кущів аґрусу по 0,2 руб. та 100 кущів малини по 0,03 руб. за кущ. Напишіть рахунок на цю покупку за зразком:
ВІДПОВІДІ
З безлічі дробів, що зустрічаються в арифметиці, на окрему увагу заслуговують такі, у яких у знаменнику стоїть 10, 100, 1000 - загалом, будь-який ступінь десятки. У цих дробів є спеціальна назва та форма запису.
Десятковий дріб - це будь-який числовий дріб, у знаменнику якого стоїть ступінь десятки.
Приклади десяткових дробів:
Навіщо взагалі потрібно виділяти такі дроби? Чому їм потрібна власна форма записи? На це є як мінімум три причини:
- Десяткові дробинабагато зручніше порівнювати. Згадайте: для порівняння звичайних дробів їх потрібно відняти один від одного і, зокрема, привести дроби до спільного знаменника. У десяткових дробах нічого подібного не потрібно;
- Скорочення обчислень. Десяткові дроби складаються і множаться за власними правилами, і після невеликого тренування ви працюватимете з ними набагато швидше, ніж зі звичайними;
- Зручність запису. На відміну від звичайних дробів, десяткові записуються в один рядок без наочності.
Більшість калькуляторів також дають відповіді саме у десяткових дробах. Інший формат запису може призвести до проблем. Наприклад, якщо вимагати в магазині здачу в розмірі 2/3 рубля:)
Правила запису десяткових дробів
Основна перевага десяткових дробів - зручний та наочний запис. А саме:
Десятковий запис - це форма запису десяткових дробів, де ціла частина відокремлюється від дробової за допомогою звичайної точки або коми. При цьому сам роздільник (точка або кома) називається десятковою точкою.
Наприклад, 0,3 (читається: "нуль цілих, 3 десятих"); 7,25 (7 цілих, 25 сотих); 3,049 (3 цілих, 49 тисячних). Усі приклади взято з попереднього визначення.
На листі як десяткова точка зазвичай використовується кома. Тут і далі на всьому сайті теж буде використовуватися саме кома.
Щоб записати довільний десятковий дріб у зазначеній формі, треба виконати три простих кроки:
- Виписати окремо чисельник;
- Зрушити десяткову точку вліво на стільки знаків, скільки нулів містить знаменник. Вважати, що спочатку десяткова точка стоїть праворуч від усіх цифр;
- Якщо десяткова точка зрушила, а після неї наприкінці запису залишилися нулі, їх треба закреслити.
Буває, що на другому кроці чисельник не вистачає цифр для завершення зсуву. У цьому випадку відсутні позиції заповнюються нулями. Та й взагалі, ліворуч від будь-якого числа можна без шкоди здоров'ю приписувати будь-яку кількість нулів. Це негарно, але іноді корисно.
На перший погляд, цей алгоритм може здатися досить складним. Насправді все дуже і дуже просто – треба лише трохи потренуватися. Погляньте на приклади:
Завдання. Для кожного дробу вкажіть його десятковий запис:
Чисельник першого дробу: 73. Зсуваємо десяткову точку на один знак (бо в знаменнику стоїть 10) - отримуємо 7,3.
Чисельник другого дробу: 9. Зсуваємо десяткову точку на два знаки (бо в знаменнику стоїть 100) - отримуємо 0,09. Довелося дописати один нуль після десяткової точки і ще один перед нею, щоб не залишати дивний запис виду «,09».
Чисельник третього дробу: 10029. Зсуваємо десяткову точку на три знаки (бо в знаменнику коштує 1000) - отримаємо 10,029.
Чисельник останнього дробу: 10500. Знову зрушуємо крапку на три знаки – отримаємо 10,500. Наприкінці числа утворилися зайві нулі. Закреслюємо їх – отримуємо 10,5.
Зверніть увагу на два останні приклади: числа 10,029 та 10,5. Згідно з правилами, нулі праворуч треба закреслити, як це зроблено в останньому прикладі. Однак у жодному разі не можна чинити так з нулями, що стоять усередині числа (які оточені іншими цифрами). Саме тому ми отримали 10,029 та 10,5, а не 1,29 та 1,5.
Отже, з визначенням та формою запису десяткових дробів розібралися. Тепер з'ясуємо, як переводити звичайні дроби до десяткових - і навпаки.
Перехід від звичайних дробів до десяткових
Розглянемо простий числовий дріб виду a/b. Можна скористатися основною властивістю дробу та помножити чисельник і знаменник на таке число, щоб унизу вийшла ступінь десятки. Але перш, ніж це робити, прочитайте таке:
Існують знаменники, які не наводяться до ступеня десятки. Вчитеся розпізнавати такі дроби, тому що з ними не можна працювати за алгоритмом, описаним нижче.
Ось такі справи. Ну і як зрозуміти, наводиться знаменник до ступеня десятки чи ні?
Відповідь проста: розкладіть знаменник на прості множники. Якщо в розкладанні присутні лише множники 2 та 5, це число можна призвести до ступеня десятки. Якщо знайдуться інші числа (3, 7, 11 – будь-що), про ступінь десятки можна забути.
Завдання. Перевірити, чи можна подати зазначені дроби у вигляді десяткових:
Випишемо і розкладемо на множники знаменники цих дробів:
20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - присутні тільки числа 2 і 5. Отже, дріб можна подати у вигляді десяткового.
12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - є «заборонений» множник 3. Дроб не представима у вигляді десяткового.
640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Все в порядку: крім чисел 2 і 5 нічого немає. Дроб представна у вигляді десяткового.
48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Знову «сплив» множник 3. Уявити у вигляді десяткового дробу не можна.
Отже, зі знаменником розібралися – тепер розглянемо весь алгоритм переходу до десяткових дробів:
- Розкласти знаменник вихідного дробу на множники і переконатися, що він взагалі уявний у вигляді десяткового. Тобто. перевірити, щоб у розкладанні були присутні лише множники 2 та 5. Інакше алгоритм не працює;
- Порахувати, скільки двійок і п'ятірок є у розкладанні (інших чисел там уже не буде, пам'ятаєте?). Підібрати такий додатковий множник, щоб кількість двійок та п'ятірок зрівнялася.
- Власне, помножити чисельник і знаменник вихідного дробу цей множник - отримаємо шукане уявлення, тобто. у знаменнику стоятиме ступінь десятки.
Зрозуміло, додатковий множник теж розкладатиметься тільки на двійки та п'ятірки. При цьому, щоб не ускладнювати собі життя, слід вибирати найменший такий множник із усіх можливих.
І ще: якщо у вихідному дробі є ціла частина, обов'язково переведіть цей дріб у неправильний - і тільки потім застосовуйте описаний алгоритм.
Завдання. Перевести ці числові дроби в десяткові:
Розкладемо на множники знаменник першого дробу: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Отже, дріб представний у вигляді десяткового. У розкладанні є дві двійки і жодної п'ятірки, тому додатковий множник дорівнює 5 2 = 25. З ним кількість двійок і п'ятірок зрівняється. Маємо:
Тепер розберемося з другим дробом. Для цього зауважимо, що 24 = 3 · 8 = 3 · 2 3 - у розкладанні присутня трійка, тому дріб не уявний у вигляді десяткового.
Два останні дроби мають знаменники 5 (просте число) і 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 відповідно - скрізь присутні лише двійки та п'ятірки. При цьому в першому випадку "для повного щастя" не вистачає множника 2, а в другому - 5. Отримуємо:
Перехід від десяткових дробів до звичайних
Зворотне перетворення – від десяткової форми запису до звичайної – виконується набагато простіше. Тут немає обмежень і спеціальних перевірок, тому перевести десятковий дріб у класичний «двоповерховий» можна завжди.
Алгоритм перекладу наступний:
- Закресліть всі нулі, що стоять у десятковому дробі зліва, а також десяткову точку. Це буде чисельник шуканого дробу. Головне - не перестарайтеся та не закресліть внутрішні нулі, оточені іншими цифрами;
- Підрахуйте, скільки знаків коштує у вихідному десятковому дробі після коми. Візьміть цифру 1 і припишіть праворуч стільки нулів, скільки знаків ви нарахували. Це буде знаменник;
- Власне, запишіть дріб, чисельник і знаменник якого ми щойно знайшли. По можливості скоротите. Якщо у вихідному дробі була ціла частина, зараз ми отримаємо неправильний дріб, що дуже зручно для подальших обчислень.
Завдання. Перевести десяткові дроби у звичайні: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.
Закреслимо нулі зліва і коми - отримаємо такі числа (це будуть чисельники): 8; 3107; 225; 72008.
У першому і в другому дробах після коми стоїть по 3 знаки, у другій - 2, а в третій - цілих 4 знаки. Отримаємо знаменники: 1000; 1000; 100; 10 000.
Нарешті, об'єднаємо чисельники та знаменники у звичайні дроби:
Як видно з прикладів, отриманий дріб дуже часто можна скоротити. Ще раз зазначу, що будь-який десятковий дріб представний у вигляді звичайного. Зворотне перетворення можна здійснити не завжди.
У цьому уроці ми розглянемо кожну з цих операцій окремо.
Зміст урокуДодавання десяткових дробів
Як ми знаємо, десятковий дріб складається з цілої та дробової частини. При складанні десяткових дробів, цілі та дробові частини складаються окремо.
Наприклад, складемо десяткові дроби 3,2 та 5,3. Десяткові дроби зручніше складати у стовпчик.
Запишемо спочатку ці два дроби в стовпчик, причому цілі частини обов'язково повинні бути під цілими, а дробові під дробовими. У школі цю вимогу називають «кома під комою» .
Запишемо дроби в стовпчик так, щоб кома опинилася під комою:
Складаємо дрібні частини: 2 + 3 = 5. Записуємо п'ятірку в дрібній частині нашої відповіді:
Тепер складаємо цілі частини: 3 + 5 = 8. Записуємо вісімку у цілій частині нашої відповіді:
Тепер відокремлюємо комою цілу частину від дробової. Для цього знову ж таки дотримуємося правила «кома під комою» :
Отримали відповідь 8,5. Отже, вирази 3,2 + 5,3 і 8,5
3,2 + 5,3 = 8,5
Насправді не все так просто, як здається на перший погляд. Тут теж є свої підводні камені, про які ми зараз поговоримо.
Розряди у десяткових дробах
У десяткових дробів, як і звичайних чисел, є свої розряди. Це розряди десятих, сотні розряди, тисячні розряди. При цьому розряди починаються після коми.
Перша цифра після коми відповідає за розряд десятих, друга цифра після коми за розряд сотих, третя цифра після коми за розряд тисячних.
Розряди в десяткових дробах зберігають у собі деяку корисну інформацію. Зокрема, вони повідомляють, скільки в десятковому дробі десятих частин, сотих частин і тисячних частин.
Наприклад, розглянемо десятковий дріб 0,345
Позиція, де знаходиться трійка, називається розрядом десятих
Позиція, де знаходиться четвірка, називається розрядом сотих
Позиція, де знаходиться п'ятірка, називається розрядом тисячних
Подивимося на цей малюнок. Бачимо, що у розряді десятих розташовується трійка. Це свідчить, що у десяткового дробу 0,345 міститься три десятих .
Якщо ми складемо дроби, то отримаємо початковий десятковий дріб 0,345
Спочатку ми отримали відповідь, але перевели її в десятковий дріб і отримали 0,345.
При додаванні десяткових дробів дотримуються самі правила як і додаванні звичайних чисел. Додавання десяткових дробів відбувається за розрядами: десяті частини складаються з десятими частинами, соті з сотими, тисячні з тисячними.
Тому при складанні десяткових дробів вимагають дотримуватися правила «кома під комою». Кома під комою забезпечує той самий порядок, в якому десяті частини складаються з десятими, соті з сотими, тисячні з тисячними.
приклад 1.Знайти значення виразу 1,5 + 3,4
Насамперед складаємо дробові частини 5 + 4 = 9. Записуємо дев'ятку в дробовій частині нашої відповіді:
Тепер складаємо цілі частини 1 + 3 = 4. Записуємо четвірку у цілій частині нашої відповіді:
Тепер відокремлюємо комою цілу частину від дробової. Для цього знову ж таки дотримуємося правила «кома під комою»:
Отримали відповідь 4,9. Значить значення виразу 1,5 + 3,4 і 4,9
приклад 2.Знайти значення виразу: 3,51 + 1,22
Записуємо в стовпчик цей вираз, дотримуючись правила «кома під комою»
Насамперед складаємо дробову частину, саме соті частини 1+2=3. Записуємо трійку в сотій частині нашої відповіді:
Тепер складаємо десяті частини 5+2=7. Записуємо сімку в десятій частині нашої відповіді:
Тепер складаємо цілі частини 3+1=4. Записуємо четвірку в цілій частині нашої відповіді:
Відокремлюємо комою цілу частину від дробової, дотримуючись правила «кома під комою»:
Отримали відповідь 4,73. Значить значення виразу 3,51 + 1,22 і 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Як і звичайних числах, при складанні десяткових дробів може статися . І тут у відповіді записується одна цифра, інші переносять на наступний розряд.
приклад 3.Знайти значення виразу 2,65 + 3,27
Записуємо в стовпчик цей вираз:
Складаємо соті частини 5+7=12. Число 12 не поміститься в сотій частині нашої відповіді. Тому в сотій частині записуємо цифру 2, а одиницю переносимо на наступний розряд:
Тепер складаємо десяті частини 6+2=8 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримаємо 9. Записуємо цифру 9 у десятій частині нашої відповіді:
Тепер складаємо цілі частини 2+3=5. Записуємо цифру 5 у цілій частині нашої відповіді:
Отримали відповідь 5,92. Значить значення виразу 2,65 + 3,27 і 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
приклад 4.Знайти значення виразу 9,5 + 2,8
Записуємо в стовпчик цей вираз
Складаємо дробові частини 5 + 8 = 13. Число 13 не поміститься у дробовій частині нашої відповіді, тому спочатку записуємо цифру 3, а одиницю переносимо на наступний розряд, точніше переносимо її до цілої частини:
Тепер складаємо цілі частини 9+2=11 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримуємо 12. Записуємо число 12 у цілій частині нашої відповіді:
Відокремлюємо комою цілу частину від дробової:
Отримали відповідь 12,3. Значить значення виразу 9,5 + 2,8 і 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
При додаванні десяткових дробів кількість цифр після коми в обох дробах повинна бути однаковою. Якщо цифр не вистачає, ці місця в дробовій частині заповнюються нулями.
Приклад 5. Знайти значення виразу: 12,725 + 1,7
Перш ніж записувати в стовпчик цей вираз, зробимо кількість цифр після коми в обох дробах однаковою. У десятковому дробі 12,725 після коми три цифри, а в дробі 1,7 лише одна. Значить у дробі 1,7 в кінці потрібно додати два нулі. Тоді отримаємо дріб 1,700. Тепер можна записати в стовпчик цей вираз і почати обчислювати:
Складаємо тисячні частини 5+0=5. Записуємо цифру 5 у тисячній частині нашої відповіді:
Складаємо соті частини 2+0=2. Записуємо цифру 2 у сотій частині нашої відповіді:
Складаємо десяті частини 7+7=14. Число 14 не поміститься у десятій частині нашої відповіді. Тому спочатку записуємо цифру 4, а одиницю переносимо на наступний розряд:
Тепер складаємо цілі частини 12+1=13 плюс одиниця, яка дісталася від попередньої операції, отримуємо 14. Записуємо число 14 у цілій частині нашої відповіді:
Відокремлюємо комою цілу частину від дробової:
Отримали відповідь 14,425. Значить значення виразу 12,725+1,700 і 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Віднімання десяткових дробів
При відніманні десяткових дробів потрібно дотримуватися тих же правил що і при додаванні: «кома під комою» і «рівна кількості цифр після коми».
приклад 1.Знайти значення виразу 2,5 - 2,2
Записуємо в стовпчик цей вираз, дотримуючись правила «кома під комою»:
Обчислюємо дрібну частину 5−2=3. Записуємо цифру 3 у десятій частині нашої відповіді:
Обчислюємо цілу частину 2-2 = 0. Записуємо нуль у цілій частині нашої відповіді:
Відокремлюємо комою цілу частину від дробової:
Отримали відповідь 0,3. Значить значення виразу 2,5 - 2,2 дорівнює 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
приклад 2.Знайти значення виразу 7,353 - 3,1
У цьому виразі різна кількість цифр після коми. У дробі 7,353 після коми три цифри, а в дробі 3,1 лише одна. Значить у дробі 3,1 в кінці потрібно додати два нулі, щоб зробити кількість цифр в обох дробах однаковою. Тоді матимемо 3,100.
Тепер можна записати в стовпчик цей вираз і обчислити його:
Отримали відповідь 4,253. Значить значення виразу 7,353 - 3,1 і 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Як і в звичайних числах, іноді доведеться займати одиницю у сусіднього розряду, якщо віднімання стане неможливим.
приклад 3.Знайти значення виразу 3,46 − 2,39
Віднімаємо соті частини 6-9. Від числа 6 не відняти число 9. Тому потрібно зайняти одиницю у сусіднього розряду. Зайнявши одиницю у сусіднього розряду число 6 перетворюється на число 16. Тепер можна обчислити соті частини 16−9=7. Записуємо сімку в сотій частині нашої відповіді:
Тепер віднімаємо десяті частини. Оскільки ми зайняли в розряді десятих одну одиницю, то цифра, яка там була, зменшилася на одну одиницю. Інакше кажучи, у розряді десятих тепер цифра 4, а цифра 3. Обчислимо десяті частини 3−3=0. Записуємо нуль у десятій частині нашої відповіді:
Тепер віднімаємо цілі частини 3−2=1. Записуємо одиницю у цілій частині нашої відповіді:
Відокремлюємо комою цілу частину від дробової:
Отримали відповідь 1,07. Значить значення виразу 3,46-2,39 і 1,07
3,46−2,39=1,07
Приклад 4. Знайти значення виразу 3-1,2
У цьому прикладі з цілого числа віднімається десятковий дріб. Запишемо цей вираз стовпчиком так, щоб ціла частина десяткового дробу 1,23 опинилася під числом 3
Тепер зробимо кількість цифр після коми однаковою. Для цього після числа 3 поставимо кому і допишемо один нуль:
Тепер віднімаємо десяті частини: 0-2. Від нуля не відняти число 2. Тому потрібно зайняти одиницю у сусіднього розряду. Зайнявши одиницю у сусіднього розряду, 0 перетворюється на число 10. Тепер можна обчислити десяті частини 10−2=8. Записуємо вісімку в десятій частині нашої відповіді:
Тепер віднімаємо цілі частини. Раніше в цілому розташовувалося число 3, але ми зайняли в нього одну одиницю. У результаті воно звернулося до числа 2. Тому з 2 віднімаємо 1. 2−1=1. Записуємо одиницю у цілій частині нашої відповіді:
Відокремлюємо комою цілу частину від дробової:
Отримали відповідь 1,8. Значить значення виразу 3-1,2 і 1,8
Розмноження десяткових дробів
Збільшення десяткових дробів це просто і навіть цікаво. Щоб перемножити десяткові дроби, потрібно перемножити їх як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми.
Отримавши відповідь, необхідно відокремити комою цілу частину від дробової. Щоб зробити це, треба порахувати кількість цифр після коми в обох дробах, потім у відповіді відрахувати праворуч стільки ж цифр і поставити кому.
приклад 1.Знайти значення виразу 2,5×1,5
Перемножимо ці десяткові дроби як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми. Щоб не звертати уваги на коми, можна на якийсь час уявити, що вони взагалі відсутні:
Отримали 375. У цьому числі необхідно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього потрібно порахувати кількість цифр після коми у дробах 2,5 та 1,5. У першому дробі після коми одна цифра, у другому дробі теж одна. Разом дві цифри.
Повертаємося до 375 і починаємо рухатися праворуч наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:
Отримали відповідь 3,75. Значить значення виразу 2,5 × 1,5 дорівнює 3,75
2,5 × 1,5 = 3,75
приклад 2.Знайти значення виразу 12,85 × 2,7
Перемножимо ці десяткові дроби, не звертаючи уваги на коми:
Отримали 34695. У цьому числі потрібно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми у дробах 12,85 та 2,7. У дробі 12,85 після коми дві цифри, у дробі 2,7 одна цифра - всього три цифри.
Повертаємося до 34695 і починаємо рухатися праворуч наліво. Нам потрібно відрахувати три цифри праворуч і поставити кому:
Отримали відповідь 34,695. Значить значення виразу 12,85 × 2,7 і 34,695
12,85 × 2,7 = 34,695
Примноження десяткового дробу на звичайне число
Іноді виникають ситуації, коли потрібно помножити десятковий дріб на звичайне число.
Щоб перемножити десятковий дріб і звичайне число, потрібно перемножити їх, не звертаючи уваги на ком у десятковому дробі. Отримавши відповідь, необхідно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього потрібно порахувати кількість цифр після коми в десятковому дробі, потім у відповіді відрахувати праворуч стільки ж цифр і поставити кому.
Наприклад, помножимо 2,54 на 2
Помножуємо десятковий дріб 2,54 на звичайне число 2, не звертаючи уваги на кому:
Отримали число 508. У цьому числі потрібно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми у дробі 2,54. У дробі 2,54 після коми дві цифри.
Повертаємося до 508 і починаємо рухатися праворуч наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:
Отримали відповідь 5,08. Значить значення виразу 2,54×2 дорівнює 5,08
2,54 × 2 = 5,08
Розмноження десяткових дробів на 10, 100, 1000
Множення десяткових дробів на 10, 100 або 1000 виконується так само, як і множення десяткових дробів на звичайні числа. Потрібно виконати множення, не звертаючи уваги на ком у десятковому дробі, потім у відповіді відокремити цілу частину від дробового, відрахувавши праворуч стільки ж цифр, скільки було цифр після коми в десятковому дробі.
Наприклад, помножимо 2,88 на 10
Помножимо десятковий дріб 2,88 на 10, не звертаючи уваги на ком у десятковому дробі:
Отримали 2880. У цьому числі потрібно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми у дробі 2,88. Бачимо, що у дробі 2,88 після коми дві цифри.
Повертаємося до 2880 і починаємо рухатися праворуч наліво. Нам потрібно відрахувати дві цифри праворуч і поставити кому:
Отримали відповідь 28,80. Відкинемо останній нуль - отримаємо 28,8. Значить значення виразу 2,88×10 і 28,8
2,88 × 10 = 28,8
Є і другий спосіб множення десяткових дробів на 10, 100, 1000. Цей спосіб набагато простіше та зручніше. Він полягає в тому, що кома в десятковому дробі пересувається вправо на стільки цифр, скільки нулів у множнику.
Наприклад, розв'яжемо попередній приклад 2,88×10 цим способом. Не наводячи жодних обчислень, відразу ж дивимося на множник 10. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що у ньому один нуль. Тепер у дробі 2,88 пересуваємо кому вправо на одну цифру, отримаємо 28,8.
2,88 × 10 = 28,8
Спробуємо помножити 2,88 на 100. Відразу ж дивимося на множник 100. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому два нулі. Тепер у дробі 2,88 пересуваємо кому вправо на дві цифри, отримуємо 288
2,88 × 100 = 288
Спробуємо помножити 2,88 на 1000. Відразу ж дивимося на множник 1000. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому три нулі. Тепер у дробі 2,88 пересуваємо кому вправо на три цифри. Третьої цифри там немає, тож ми дописуємо ще один нуль. У результаті одержуємо 2880.
2,88 × 1000 = 2880
Розмноження десяткових дробів на 0,1 0,01 та 0,001
Множення десяткових дробів на 0,1, 0,01 і 0,001 відбувається так само, як і множення десяткового дробу на десятковий дріб. Необхідно перемножити дроби, як звичайні числа, і у відповіді поставити кому, відрахувавши стільки цифр праворуч, скільки цифр після коми в обох дробах.
Наприклад, помножимо 3,25 на 0,1
Примножуємо ці дроби, як звичайні числа, не звертаючи уваги на коми:
Отримали 325. У цьому числі потрібно відокремити комою цілу частину від дробової. Для цього необхідно порахувати кількість цифр після коми у дробах 3,25 та 0,1. У дробі 3,25 після коми дві цифри, дробу 0,1 одна цифра. Разом три цифри.
Повертаємося до 325 і починаємо рухатися праворуч наліво. Нам потрібно відрахувати три цифри праворуч і поставити кому. Відрахувавши три цифри, ми виявляємо, що цифри закінчилися. У цьому випадку потрібно дописати один нуль і поставити кому:
Отримали відповідь 0,325. Значить значення виразу 3,25 × 0,1 дорівнює 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Є й другий спосіб множення десяткових дробів на 0,1, 0,01 та 0,001. Цей спосіб набагато простіше та зручніше. Він полягає в тому, що кома в десятковому дробі пересувається вліво на стільки цифр, скільки нулів у множнику.
Наприклад, розв'яжемо попередній приклад 3,25 × 0,1 цим способом. Не наводячи жодних обчислень відразу ж дивимося на множник 0,1. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що у ньому один нуль. Тепер у дробі 3,25 пересуваємо кому вліво на одну цифру. Пересунувши кому на одну цифру вліво, ми бачимо, що перед трійкою більше немає жодних цифр. У цьому випадку дописуємо один нуль і ставимо кому. В результаті отримуємо 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Спробуємо помножити 3,25 на 0,01. Відразу ж дивимося на множник 0,01. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому два нулі. Тепер у дробі 3,25 пересуваємо кому вліво на дві цифри, отримуємо 0,0325
3,25 × 0,01 = 0,0325
Спробуймо помножити 3,25 на 0,001. Відразу ж дивимося на множник 0,001. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що в ньому три нулі. Тепер у дробі 3,25 пересуваємо кому вліво на три цифри, отримуємо 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Не можна плутати множення десяткових дробів на 0,1, 0,001 та 0,001 з множенням на 10, 100, 1000. Типова помилкабільшість людей.
При множенні на 10, 100, 1000 кома переноситься вправо на стільки ж цифр скільки нулів у множнику.
А при множенні на 0,1, 0,01 і 0,001 кома переноситься вліво на стільки ж цифр скільки нулів у множнику.
Якщо спочатку це складно запам'ятати, можна користуватися першим способом, в якому множення виконується як зі звичайними числами. У відповіді потрібно буде відокремити цілу частину від дробової, відрахувавши праворуч стільки ж цифр, скільки цифр після коми в обох дробах.
Розподіл меншого числа на більший. Просунутий рівень.
В одному з попередніх уроків ми сказали, що при розподілі меншого числа на більше виходить дріб, у чисельнику якого поділяється, а в знаменнику – дільник.
Наприклад, щоб розділити одне яблуко на двох, потрібно в чисельник записати 1 (одне яблуко), а знаменник записати 2 (двоє друзів). В результаті отримаємо дріб. Значить кожному другу дістанеться по яблука. Іншими словами, по половині яблука. Дроби це відповідь до завдання «як поділити одне яблуко на двох»
Виявляється, можна вирішувати це завдання і далі, якщо розділити 1 на 2. Адже дробова риса в будь-якому дробі означає розподіл, а значить і в дробі цей поділ дозволено. Але як? Адже ми звикли до того, що ділене завжди більше за дільника. А тут навпаки, ділене менше від дільника.
Все стане зрозумілим, якщо згадати, що дріб означає дроблення, поділ, поділ. А значить і одиниця може бути роздроблена на скільки завгодно частин, а не лише на дві частини.
При поділі меншого числа на більше виходить десятковий дріб, у якому ціла частина буде 0 (нульовий). Дробова частина може бути будь-який.
Отже, розділимо 1 на 2. Розв'яжемо цей приклад куточком:
Одиницю на два просто так націло не поділити. Якщо поставити запитання «скільки двійок в одиниці» , то відповіддю буде 0. Тому в приватному записуємо 0 і ставимо кому:
Тепер як зазвичай множимо приватне на дільник, щоб витягнути залишок:
Настав момент, коли одиницю можна подрібнити на дві частини. Для цього праворуч від отриманої одиниці дописуємо ще один нуль:
Отримали 10. Ділимо 10 на 2, отримуємо 5. Записуємо п'ятірку в дрібній частині нашої відповіді:
Тепер витягаємо останній залишок, щоб завершити обчислення. Помножуємо 5 на 2, отримуємо 10
Отримали відповідь 0,5. Значить дріб дорівнює 0,5
Половину яблука можна записати і за допомогою десяткового дробу 0,5. Якщо скласти дві половинки (0,5 і 0,5), ми знову отримаємо початкове одне ціле яблуко: 
Цей момент можна зрозуміти, якщо уявити, як 1 см ділиться на дві частини. Якщо 1 сантиметр розділити на 2 частини, то вийде 0,5 см
приклад 2.Знайти значення виразу 4: 5
Скільки п'ятірок у четвірці? Анітрохи. Записуємо в приватному 0 і ставимо кому:
Помножуємо 0 на 5, отримуємо 0. Записуємо нуль під четвіркою. Відразу ж віднімаємо цей нуль з поділеного:
Тепер почнемо дробити (ділити) четвірку на 5 частин. Для цього праворуч від 4 дописуємо нуль і ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку у приватному.
Завершуємо приклад, помноживши 8 на 5 і отримавши 40:
Отримали відповідь 0,8. Значить значення виразу 4: 5 дорівнює 0,8
приклад 3.Знайти значення виразу 5: 125
Скільки чисел 125 у п'ятірці? Анітрохи. Записуємо 0 у приватному та ставимо кому:
Помножуємо 0 на 5, отримуємо 0. Записуємо 0 під п'ятіркою. Відразу ж віднімаємо з п'ятірки 0
Тепер почнемо дробити (ділити) п'ятірку на 125 частин. Для цього праворуч від цієї п'ятірки запишемо нуль:
Ділимо 50 на 125. Скільки чисел 125 у числі 50? Анітрохи. Значить у приватному знову записуємо 0
Помножуємо 0 на 125, отримуємо 0. Записуємо цей нуль під 50. Відразу ж віднімаємо 0 із 50
Тепер ділимо число 50 на 125 частин. Для цього праворуч від 50 запишемо ще один нуль:
Ділимо 500 на 125. Скільки чисел 125 у числі 500. У числі 500 чотири числа 125. Записуємо четвірку в приватному:
Завершуємо приклад, помноживши 4 на 125 і отримавши 500
Отримали відповідь 0,04. Значить значення виразу 5: 125 дорівнює 0,04
Розподіл чисел без залишку
Отже, поставимо в приватному після одиниці кому, тим самим вказуючи, що розподіл цілих частин закінчилося і ми приступаємо до дробової частини:
Допишемо нуль до залишку 4
Тепер ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку у приватному:
40-40 = 0. Отримали 0 у залишку. Отже розподіл у цьому повністю завершено. При розподілі 9 на 5 виходить десятковий дріб 1,8:
9: 5 = 1,8
Приклад 2. Розділити 84 на 5 без залишку
Спочатку розділимо 84 на 5 як зазвичай із залишком:
Отримали у приватному 16 та ще 4 у залишку. Тепер розділимо цей залишок на 5. Поставимо у приватному кому, а до залишку 4 допишемо 0
Тепер ділимо 40 на 5, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному після коми:
і завершуємо приклад, перевіривши, чи є ще залишок:
Розподіл десяткового дробу на звичайне число
Десятковий дріб, як ми знаємо складається з цілої та дробової частини. При розподілі десяткового дробу на звичайне число в першу чергу потрібно:
- розділити цілу частину десяткового дробу цього числа;
- після того, як ціла частина буде розділена, потрібно в приватному відразу ж поставити кому і продовжити обчислення, як у звичайному розподілі.
Наприклад, розділимо 4,8 на 2
Запишемо цей приклад куточком:
Тепер розділимо цілу частину на 2. Чотири розділити на два буде два. Записуємо двійку в приватному і відразу ж ставимо кому:
Тепер множимо приватне на дільник і дивимося чи є залишок від розподілу:
4-4 = 0. Залишок дорівнює нулю. Нуль поки що не записуємо, оскільки рішення не завершено. Далі продовжуємо обчислювати, як у звичайному розподілі. Зносимо 8 і ділимо її на 2
8: 2 = 4. Записуємо четвірку в приватному і відразу множимо її на дільник:
Отримали відповідь 2,4. Значення виразу 4,8: 2 дорівнює 2,4
приклад 2.Знайти значення виразу 8,43: 3
Ділимо 8 на 3, отримуємо 2. Відразу ж ставимо кому після двійки:
Тепер множимо приватне на дільник 2 × 3 = 6. Записуємо шістку під вісімкою і знаходимо залишок:
Ділимо 24 на 3, отримуємо 8. Записуємо вісімку в приватному. Відразу ж множимо її на дільник, щоб знайти залишок від розподілу:
24-24 = 0. Залишок дорівнює нулю. Нуль поки що не записуємо. Зносимо останню трійку з ділимого і ділимо на 3, отримаємо 1. Відразу множимо 1 на 3, щоб завершити цей приклад:
Отримали відповідь 2,81. Значить значення виразу 8,43: 3 і 2,81
Розподіл десяткового дробу на десятковий дріб
Щоб розділити десятковий дріб на десятковий дріб, треба в ділимому і в дільнику перенести кому вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику, а потім виконати поділ на звичайне число.
Наприклад, розділимо 5,95 на 1,7
Запишемо куточком цей вираз
Тепер у ділимому і в дільнику перенесемо кому вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику. У дільнику після коми одна цифра. Значить, ми повинні в ділимому і в дільнику перенести кому вправо на одну цифру. Переносимо:
Після перенесення коми вправо на одну цифру десятковий дріб 5,95 звернувся до дріб 59,5. А десятковий дріб 1,7 після перенесення коми вправо на одну цифру звернувся до звичайного числа 17. А як ділити десятковий дріб на звичайне число ми вже знаємо. Подальше обчислення не складає особливих труднощів:
Кома переноситься вправо з метою полегшити поділ. Це допускається внаслідок того, що при множенні або розподілі діленого і дільника на одне й те число, приватне не змінюється. Що це означає?
Це одна з найцікавіших особливостей поділу. Його називають властивістю частки. Розглянемо вираз 9: 3 = 3. Якщо у цьому виразі поділений і дільник помножити або розділити на те саме число, то приватне 3 не зміниться.
Давайте помножимо ділене та дільник на 2, і подивимося, що з цього вийде:
(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3
Як видно з прикладу, приватне не змінилося.
Те саме відбувається, коли ми переносимо кому в поділеному і в дільнику. У попередньому прикладі, де ми ділили 5,91 на 1,7, ми перенесли в ділимому і дільнику кому на одну цифру вправо. Після перенесення коми, дріб 5,91 перетворилася на дріб 59,1 а дріб 1,7 перетворилася на звичайне число 17.
Насправді, всередині цього процесу відбувалося множення на 10. Ось як це виглядало:
5,91 × 10 = 59,1
Тому від кількості цифр після коми в дільнику залежить те, на що буде помножено діле та дільник. Іншими словами, від кількості цифр після коми в дільнику залежатиме те, на скільки цифр у ділимому та в дільнику кома буде перенесена вправо.
Розподіл десяткового дробу на 10, 100, 1000
Розподіл десяткового дробу на 10, 100, або 1000 здійснюється так само, як і . Наприклад, розділимо 2,1 на 10. Розв'яжемо цей приклад куточком:
Але є й другий спосіб. Він легший. Суть цього способу в тому, що кома в ділимому переноситься вліво на стільки цифр, скільки нулів у дільнику.
Вирішимо попередній приклад цим способом. 2,1: 10. Дивимося на дільник. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що там один нуль. Значить у ділимому 2,1 потрібно перенести кому вліво на одну цифру. Переносимо кому вліво на одну цифру і бачимо, що там більше не залишилося цифр. І тут перед цифрою дописуємо ще один нуль. У результаті отримуємо 0,21
Спробуємо розділити 2,1 на 100. У числі 100 два нулі. Значить у ділимому 2,1 треба перенести кому вліво на дві цифри:
2,1: 100 = 0,021
Спробуємо розділити 2,1 на 1000. Серед 1000 три нулі. Значить у ділимому 2,1 треба перенести кому вліво на три цифри:
2,1: 1000 = 0,0021
Розподіл десяткового дробу на 0,1, 0,01 та 0,001
Розподіл десяткового дробу на 0,1, 0,01 і 0,001 здійснюється таким же чином, як і . У ділимому і в дільнику треба перенести кому вправо на стільки цифр, скільки їх після коми в дільнику.
Наприклад, розділимо 6,3 на 0,1. У першу чергу перенесемо коми в ділимому і дільнику вправо на стільки ж цифр, скільки їх після коми в дільнику. У дільнику після коми одна цифра. Значить переносимо коми в ділимому і дільнику вправо однією цифру.
Після перенесення коми вправо на одну цифру, десятковий дріб 6,3 перетворюється на звичайне число 63, а десятковий дріб 0,1 після перенесення коми вправо на одну цифру перетворюється на одиницю. А розділити 63 на 1 дуже просто:
Значить значення виразу 6,3: 0,1 дорівнює 63
Але є й другий спосіб. Він легший. Суть цього у тому, що кома в ділимому переноситься вправо стільки цифр, скільки нулів у делителе.
Вирішимо попередній приклад цим способом. 6,3: 0,1. Дивимося на дільник. Нас цікавить скільки в ньому нулів. Бачимо, що там один нуль. Значить у ділимому 6,3 потрібно перенести кому вправо на одну цифру. Переносимо кому вправо на одну цифру і отримуємо 63
Спробуємо поділити 6,3 на 0,01. У дільнику 0,01 два нулі. Значить у ділимому 6,3 треба перенести кому вправо на дві цифри. Але в ділимому після коми лише одна цифра. В цьому випадку в кінці потрібно дописати ще один нуль. В результаті отримаємо 630
Спробуємо поділити 6,3 на 0,001. У дільнику 0,001 три нулі. Значить у ділимому 6,3 треба перенести кому вправо на три цифри:
6,3: 0,001 = 6300
Завдання для самостійного вирішення
Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групуВконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки
Ця стаття про десяткові дроби. Тут ми розберемося з десятковим записом дробових чисел, введемо поняття десяткового дробу та наведемо приклади десяткових дробів. Далі поговоримо про розряди десяткових дробів, дамо назви розрядів. Після цього зупинимося на нескінченних десяткових дробах, скажімо про періодичні та неперіодичні дроби. Далі перерахуємо основні дії з десятковими дробами. На закінчення встановимо положення десяткових дробів на координатному промені.
Навігація на сторінці.
Десятковий запис дробового числа
Читання десяткових дробів
Скажемо кілька слів про правила читання десяткових дробів.
Десяткові дроби, яким відповідають правильні звичайні дроби, читаються також як і ці звичайні дроби, тільки попередньо додається «нуль цілих». Наприклад, десяткового дробу 0,12 відповідає звичайний дріб 12/100 (читається «дванадцять сотих»), тому, 0,12 читається як «нуль цілих дванадцять сотих».
Десяткові дроби, яким відповідають змішані числа, читаються також як ці змішані числа. Наприклад, десяткового дробу 56,002 відповідає змішане число , тому, десятковий дріб 56,002 читається як «п'ятдесят шість цілих дві тисячні».
Розряди у десяткових дробах
У записі десяткових дробів, як і і записи натуральних чисел, значення кожної цифри залежить від її позиції. Дійсно, цифра 3 у десятковому дробі 0,3 означає три десятих, у десятковому дробі 0,0003 – три десяти тисячних, а у десятковому дробі 30 000,152 – три десятки тисяч. Таким чином, ми можемо говорити про розрядах у десяткових дробахтак само як і про розряди в натуральних числах.
Назви розрядів у десятковому дробі до десяткової коми повністю збігаються з назвами розрядів у натуральних числах. А назви розрядів у десятковому дробі після коми видно з наступної таблиці.
Наприклад, у десятковому дробі 37,051 цифра 3 перебуває у розряді десятків, 7 – у розряді одиниць, 0 стоїть у розряді десятих, 5 – у розряді сотих, 1 – у розряді тисячних.
Розряди в десятковій дробі також різняться за старшинством. Якщо в записі десяткового дробу рухатися від цифри до цифри зліва направо, ми будемо переміщатися від старшихдо молодшим розрядам. Наприклад, розряд сотень старший за розряд десятих, а розряд мільйонних молодший за розряд сотих. У даному кінцевому десятковому дробі можна говорити про старший і молодший розряд. Наприклад, у десятковому дробі 604,9387 старшим (вищим)розрядом є розряд сотень, а молодшим (нижчим)- Розряд десятитисячних.
Для десяткових дробів має місце розкладання за розрядами. Воно аналогічне розкладу за розрядами натуральних чисел. Наприклад, розкладання по розрядах десяткового дробу 45,6072 таке: 45,6072 = 40 +5 +0,6 +0,007 +0,0002. А властивості додавання від розкладання десяткового дробу за розрядами дозволяють перейти до інших уявлень цього десяткового дробу, наприклад, 45,6072=45+0,6072 , або 45,6072=40,6+5,007+0,0002 , або 45,6072= 45,0072+0,6.
Кінцеві десяткові дроби
До цього моменту ми говорили лише про десяткові дроби, в записі яких після десяткової коми знаходиться кінцева кількість цифр. Такі дроби називають кінцевими десятковими дробами.
Визначення.
Кінцеві десяткові дроби– це десяткові дроби, записах яких міститься кінцеве число символів (цифр).
Наведемо кілька прикладів кінцевих десяткових дробів: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230032,45.
Однак не будь-який звичайний дріб може бути представлений у вигляді кінцевого десяткового дробу. Наприклад, дріб 5/13 не може бути замінена рівним їй дробом з одним із знаменників 10, 100, … , отже, не може бути переведена в кінцевий десятковий дріб. Докладніше про це ми поговоримо в розділі теорії переведення звичайних дробів у десяткові дроби.
Нескінченні десяткові дроби: періодичні дроби та неперіодичні дроби
У записі десяткового дробу після коми можна припустити можливість наявності нескінченної кількості цифр. І тут ми прийдемо до розгляду про нескінченних десяткових дробів.
Визначення.
Нескінченні десяткові дроби- Це десяткові дроби, в записі яких знаходиться безліч цифр.
Зрозуміло, що нескінченні десяткові дроби ми не можемо записати в повному вигляді, тому в їх записі обмежуються лише деяким кінцевим числом цифр після коми і ставлять крапку, що вказує на послідовність цифр, що нескінченно триває. Наведемо кілька прикладів нескінченних десяткових дробів: 0,143940932… , 3,1415935432… , 153,02003004005… , 2,111111111… , 69,74152152152… .
Якщо уважно подивитися на два останні нескінченні десяткові дроби, то дроби 2,111111111… добре видно нескінченно повторювана цифра 1 , а дроби 69,74152152152… , починаючи з третього знака після коми, чітко видно повторювана група цифр 1. Такі нескінченні десяткові дроби називають періодичними.
Визначення.
Періодичні десяткові дроби(або просто періодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, у запису яких, починаючи з деякого знака після коми, нескінченно повторюється якась цифра або група цифр, яку називають періодом дробу.
Наприклад, періодом періодичного дробу 2,111111111 є цифра 1 , а періодом дробу 69,74152152152 є група цифр виду 152 .
Для нескінченних періодичних десяткових дробів прийнято особливу форму запису. Для стислості умовилися період записувати один раз, укладаючи його в круглі дужки. Наприклад, періодичний дріб 2,111111111... записується як 2,(1) , а періодичний дріб 69,74152152152... записується як 69,74(152) .
Варто зазначити, що для одного і того ж періодичного десяткового дробу можна вказати різні періоди. Наприклад, періодичний десятковий дріб 0,73333 можна розглядати як дріб 0,7(3) з періодом 3 , а також як дріб 0,7(33) з періодом 33 , і так далі 0,7(333), 0,7 (3333), ... Також на періодичний дріб 0,73333 ... можна подивитися і так: 0,733 (3), або так 0,73 (333) і т.п. Тут, щоб уникнути багатозначності і різночитань, умовимося розглядати як період десяткового дробу найкоротший з усіх можливих послідовностей цифр, що повторюються, і починається з найближчої позиції до десяткової коми. Тобто, періодом десяткового дробу 0,73333 ... вважатимемо послідовність з однієї цифри 3 і періодичність починається з другої позиції після коми, тобто, 0,73333 ... = 0,7 (3) . Ще приклад: періодичний дріб 4,7412121212 ... має період 12, періодичність починається з третьої цифри після коми, тобто, 4,7412121212 ... = 4,74 (12).
Нескінченні десяткові періодичні дроби виходять при переведенні в десяткові дроби звичайних дробів, знаменники яких містять прості множники, відмінні від 2 і 5 .
Тут варто сказати про періодичні дроби з періодом 9 . Наведемо приклади таких дробів: 6,43(9), 27,(9). Ці дроби є іншим записом періодичних дробів з періодом 0 і їх прийнято замінювати періодичними дробами з періодом 0 . Для цього період 9 замінюють періодом 0 а значення наступного за старшинством розряду збільшують на одиницю. Наприклад, дріб з періодом 9 виду 7,24(9) замінюється періодичним дробом з періодом 0 виду 7,25(0) або рівним їй кінцевим десятковим дробом 7,25 . Ще приклад: 4, (9) = 5, (0) = 5 . Рівність дробу з періодом 9 і відповідного їй дробу з періодом 0 легко встановлюється після заміни цих десяткових дробів рівними їм звичайними дробами.
Нарешті, уважніше розглянемо нескінченні десяткові дроби, у запису яких відсутня послідовність цифр, що нескінченно повторюється. Їх називають неперіодичними.
Визначення.
Неперіодичні десяткові дроби(або просто неперіодичні дроби) – це нескінченні десяткові дроби, які мають періоду.
Іноді неперіодичні дроби мають вигляд, схожий на вид періодичних дробів, наприклад, 8,02002000200002… - неперіодична дріб. У таких випадках слід бути особливо уважними, щоб помітити різницю.
Зазначимо, що неперіодичні дроби не перетворюються на звичайні дроби, нескінченні неперіодичні десяткові дроби становлять ірраціональні числа.
Дії з десятковими дробами
Однією з дій з десятковими дробами є порівняння, також визначено чотири основні арифметичні дії з десятковими дробами: додавання, віднімання, множення та поділ. Розглянемо окремо кожну з дій із десятковими дробами.
Порівняння десяткових дробівпо суті базується на порівнянні звичайних дробів, що відповідають порівнюваним десятковим дробам. Однак переведення десяткових дробів у звичайні є досить трудомісткою дією, та й нескінченні неперіодичні дроби не можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу, тому зручно використовувати порозрядне порівняння десяткових дробів. Порозрядне порівняння десяткових дробів аналогічне порівнянню натуральних чисел. Для більш детальної інформації рекомендуємо вивчити матеріал статті порівняння десяткових дробів, правила, приклади, рішення .
Переходимо до наступної дії множення десяткових дробів. Множення кінцевих десяткових дробів проводиться аналогічно віднімання десяткових дробів, правила, приклади, розв'язання множення стовпчиком натуральних чисел. У разі періодичних дробів множення можна звести до множення звичайних дробів. У свою чергу, множення нескінченних неперіодичних десяткових дробів після їх округлення зводиться до множення кінцевих десяткових дробів. Рекомендуємо до подальшого вивчення статті множення десяткових дробів, правила, приклади, рішення .
Десяткові дроби на координатному промені
Між точками та десятковими дробами існує взаємно однозначна відповідність.
Розберемося, як будуються точки на координатному промені, що відповідають даному десятковому дробу.
Кінцеві десяткові дроби та нескінченні періодичні десяткові дроби ми можемо замінити рівними ним звичайними дробами, після чого побудувати відповідні звичайні дроби на координатному промені . Наприклад, десяткового дробу 1,4 відповідає звичайний дріб 14/10 тому точка з координатою 1,4 віддалена від початку відліку в позитивному напрямку на 14 відрізків, рівних десятій частині одиничного відрізка.
Десяткові дроби можна відзначати на координатному промені, відштовхуючись від розкладання цього десяткового дробу за розрядами. Наприклад, нехай нам потрібно побудувати точку з координатою 16,3007 , так як 16,3007=16+0,3+0,0007 , то дану точку можна потрапити, послідовно відкладаючи від початку координат 16 одиничних відрізків, 3 відрізка, довжина яких дорівнює десятій частці одиничного, і 7 відрізків, довжина якого дорівнює десятитисячній частці одиничного відрізка.
Такий спосіб побудови десяткових чисел на координатному промені дозволяє як завгодно близько наблизитися до точки, що відповідає нескінченному десятковому дробу.
Іноді можна точно побудувати точку, що відповідає нескінченному десятковому дробу. Наприклад, 
, Тоді цього нескінченного десяткового дробу 1,41421 ... відповідає точка координатного променя, віддалена від початку координат на довжину діагоналі квадрата зі стороною 1 одиничний відрізок.
Зворотний процес отримання десяткового дробу, що відповідає даній точці на координатному промені, є так званим десятковий вимір відрізка. Розберемося, як воно проводиться.
Нехай наше завдання полягає в тому, щоб потрапити з початку відліку до цієї точки координатної прямої (або нескінченно наблизитися до неї, якщо потрапити в неї не виходить). При десятковому вимірі відрізка ми можемо послідовно відкладати від початку відліку будь-яку кількість одиничних відрізків, далі відрізків, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного, потім відрізків, довжина яких дорівнює сотій частині одиничного, і т.д. Записуючи кількість відкладених відрізків кожної довжини, ми отримаємо десятковий дріб, що відповідає даній точці на координатному промені.
Наприклад, щоб потрапити в точку М на наведеному вище малюнку, потрібно відкласти 1 одиничний відрізок і 4 відрізки, довжина яких дорівнює десятій частині одиничного. Таким чином, точці М відповідає десятковий дріб 1,4 .
Зрозуміло, що точкам координатного променя, які неможливо потрапити у процесі десяткового виміру, відповідають нескінченні десяткові дроби.
Список літератури.
- Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – М.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
- Математика. 6 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Н. Я. Віленкін та ін.]. - 22-ге вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2008. – 288 с.: іл. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
У математиці різні типичисел вивчаються із самого свого зародження. Існує велика кількість множин і підмножини чисел. Серед них виділяють цілі числа, раціональні, ірраціональні, натуральні, парні, непарні, комплексні та дробові. Сьогодні розберемо інформацію про останню множину - дробових числах.
Визначення дробів
Дроби – це числа, що складаються з цілої частини та часток одиниці. Також, як і цілих чисел, існує безліч дробових, між двома цілими. У математиці дії з дробами виконуються, оскільки з цілими та натуральними числами. Це досить просто і навчитися цього можна за кілька занять.
У статті представлено два види
Звичайні дроби
Звичайні дроби є цілою частиною a і два числа записаних через дробову рису b/c. Звичайні дроби можуть бути дуже зручні, якщо дробову частину не можна уявити в раціональному десятковому вигляді. Крім того, арифметичні операції зручніше проводити через дрібну межу. Верхня частина називається чисельником, нижня - знаменник.
Дії зі звичайними дробами: приклади
Основна властивість дробу. Примноженні чисельника і знаменника одне й те число, що є нулем, у результаті виходить число рівне даному. Ця властивість дробу відмінно допомагає привести знаменник для складання (про це буде розказано нижче) або скоротити дріб, зробити його зручнішим для рахунку. a/b = a*c/b*c. Наприклад, 36/24 = 6/4 або 9/13 = 18/26
Приведення до спільного знаменника.Щоб привести знаменник дробу необхідно уявити знаменник у вигляді множників, а потім помножити на числа, що бракують. Наприклад, 7/15 та 12/30; 7/5*3 та 12/5*3*2. Бачимо, що знаменники відрізняються двійкою, тому множимо чисельник і знаменник першого дробу на 2. Отримуємо: 14/30 та 12/30.
Складові дроби- Прості дроби з виділеною цілою частиною. (A b/c) Щоб уявити складовий дріб у вигляді звичайного, необхідно помножити число, що стоїть перед дробом на знаменник, а потім скласти з чисельником: (A*c + b)/c.
Арифметичні дії з дробами
Не зайвим буде розглянути відомі арифметичні дії лише під час роботи з дробовими числами.
Складання та віднімання.Складати і віднімати прості дроби так само легко, як і цілі числа, за винятком однієї проблеми - наявності дробової риси. Складаючи дроби з однаковим знаменником, необхідно додати лише чисельники обох дробів, знаменники залишаються без зміни. Наприклад: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7
Якщо ж знаменники двох дробів є різними числами спочатку потрібно привести їх до загального (як це зробити було розглянуто вище). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Віднімання відбувається за таким самим принципом: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.
Множення та розподіл. Діїз дробами по множенню відбуваються за таким принципом: окремо перемножуються чисельники та знаменники. У загальному вигляді формула множення має такий вигляд: a/b *c/d = a*c/b*d. Крім того, у міру множення можна скоротити дріб, виключаючи однакові множники з чисельника та знаменника. Висловлюючись іншою мовою, чисельник і знаменник ділиться одне й те число: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.
Для поділу одного звичайного дробу на інший, необхідно змінити чисельник і знаменник дільника і виконати множення двох дробів, за принципом, розглянутим раніше: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/11*25 = 1/5
Десяткові дроби
Десяткові дроби є більш популярною версією дробових чисел, що часто використовується. Їх простіше записати в рядок або уявити на комп'ютері. Структура десяткового дробу така: спочатку записується ціле число, а потім після коми записується дробова частина. За своєю суттю десяткові дроби - це складові звичайні дроби, проте їх частина представлена числом, поділеним на кратне цифрі 10. Звідси і походить їх назва. Дії з десятковими дробами аналогічні діям з цілими числами, так як вони так само записані в десятковій системі числення. Також на відміну від звичайних дробів десяткові можуть бути ірраціональними. Це означає, що вони можуть бути нескінченні. Записуються вони так 7(3). Читається такий запис: сім цілих, три десятих у періоді.
Основні дії з десятковими числами
Складання та віднімання десяткових дробів.Виконати дії з дробами не складніше, ніж із цілими натуральними числами. Правила абсолютно аналогічні до тих, що використовують при додаванні або відніманні натуральних чисел. Їх точно так само можна вважати стовпчиком, проте при необхідності замінювати відсутні місця нулями. Наприклад: 5,5697 – 1,12. Для того, щоб виконати віднімання стовпчиком, потрібно зрівняти кількість чисел після коми: (5,5697 - 1,1200). Так, числове значення не зміниться і можна буде рахувати в стовпчик.
Дії з десятковими дробами не можна робити, якщо одна з них має ірраціональний вигляд. Для цього потрібно перевести обидва числа у звичайні дроби, а потім скористатися прийомами, описаними раніше.
Множення та розподіл.Множення десяткових дробів аналогічне до множення натуральних. Їх також можна множити стовпчиком, просто, не звертаючи уваги на кому, а потім відокремити комою у підсумковому значенні таку ж кількість знаків, скільки в сумі після коми було у двох десяткових дробах. Наприклад, 1,5 * 2,23 = 3,345. Все дуже просто, і не повинно викликати труднощів, якщо ви вже опанували множення натуральних чисел.
Поділ також збігається з розподілом натуральних чисел, але з невеликим відступом. Щоб розділити на десяткове число стовпчиком необхідно відкинути кому в дільнику, і помножити поділюване число знаків, що стояли після коми в дільнику. Після цього виконувати поділ як з натуральними числами. При неповному розподілі можна додавати нулі до діленого праворуч, також додаючи нуль у відповідь після коми.
Приклади дій із десятковими дробами.Десяткові дроби – дуже зручний інструментдля арифметичного рахунку. Вони поєднують у собі зручність натуральних, цілих чисел та точність звичайних дробів. До того ж, досить просто перевести одні дроби в інші. Дії з дробами не відрізняються від дій із натуральними числами.
- Додавання: 1,5 + 2,7 = 4,2
- Віднімання: 3,1 - 1,6 = 1,5
- Множення: 1,7 * 2,3 = 3,91
- Розподіл: 3,6: 0,6 = 6
Крім того, десяткові дроби підходять для подання відсотків. Так, 100% = 1; 60% = 0,6; і навпаки: 0,659 = 65,9%.
Ось і все, що потрібно знати про дроби. У статті було розглянуто два види дробів - звичайні та десяткові. Обидва досить прості у обчисленні, і якщо ви повністю опанували натуральні числа та дії з ними, можете сміливо приступати до вивчення дробових.
