Підготовка до вивчення дробів: ділимість та розкладання на прості множники. Елементи комбінаторики Перестановки, поєднання та розміщення з повтореннями

Розподіл натуральних чисел, особливо багатозначних, зручно проводити особливим методом, який отримав назву розподіл стовпчиком (у стовпчик). Також можна зустріти назву розподіл куточком. Відразу зазначимо, що стовпчиком можна проводити як розподіл натуральних чисел без залишку, так і розподіл натуральних чисел із залишком.

У цій статті ми розберемося, як виконується поділ стовпчиком. Тут ми поговоримо і про правила запису, і про всі проміжні обчислення. Спочатку зупинимося на розподілі стовпчиком багатозначного натурального числа на однозначне число. Після цього зупинимося на випадках, коли ділиться і дільник є багатозначними натуральними числами. Вся теорія цієї статті має характерні приклади поділу стовпчиком натуральних чисел з докладними поясненнями ходу рішення та ілюстраціями.

Навігація на сторінці.

Правила запису при розподілі стовпчиком

Почнемо з вивчення правил запису дільника, дільника, всіх проміжних викладок та результатів при розподілі натуральних чисел стовпчиком. Відразу скажемо, що письмово виконувати поділ стовпчиком найзручніше на папері з картатою розлинівкою – так менше шансів збитися з потрібного рядка та стовпця.

Спочатку в одному рядку ліворуч записуються ділене і дільник, після чого між записаними числами зображується символ виду . Наприклад, якщо ділимим є число 6105, а дільником – 55, то їх правильний запис при розподілі в стовпчик буде таким:

Подивіться на наступну схему, що ілюструє місця для запису діленого, дільника, приватного, залишку та проміжних обчислень при розподілі стовпчиком.

З наведеної схеми видно, що приватне, що шукається (або неповне приватне при розподілі з залишком) буде записано нижче дільника під горизонтальною рисою. А проміжні обчислення будуть вестись нижче ділимого, і потрібно заздалегідь подбати про місце на сторінці. При цьому слід керуватися правилом: чим більша різниця в кількості знаків у записах дільника і дільника, тим більше потрібно місця. Наприклад, при розподілі стовпчиком натурального числа 614 808 на 51 234 (614 808 – шестизначне число, 51 234 – п'ятизначне число, різниця у кількості знаків у записах дорівнює 6-5=1) для проміжних обчислень знадобиться менше місця, Чим при розподілі чисел 8058 і 4 (тут різниця в кількості знаків дорівнює 4-1 = 3). Для підтвердження своїх слів наводимо закінчені записи поділу стовпчиком цих натуральних чисел:

Тепер можна переходити безпосередньо до процесу розподілу натуральних чисел стовпчиком.

Розподіл стовпчиком натурального числа на однозначне натуральне число, алгоритм поділу стовпчиком

Зрозуміло, що поділити одне однозначне натуральне число на інше досить просто, і ділити ці числа на стовпчик немає причин. Проте буде корисно відпрацювати початкові навички поділу стовпчиком цих простих прикладах.

приклад.

Нехай нам потрібно поділити стовпчиком 8 на 2 .

Рішення.

Звичайно, ми можемо виконати поділ за допомогою таблиці множення і відразу записати відповідь 8:2=4 .

Але нас цікавить, як виконати розподіл цих чисел стовпчиком.

Спочатку записуємо ділене 8 та дільник 2 так, як того вимагає метод:

Тепер ми починаємо з'ясовувати, скільки разів дільник міститься у ділимому. Для цього ми послідовно множимо дільник на числа 0 , 1 , 2 , 3 , ... до того моменту, поки в результаті не отримаємо число, що дорівнює ділимому, (або число більше, ніж поділяється, якщо має місце поділ із залишком). Якщо ми отримуємо число, що дорівнює ділимому, то відразу записуємо його під ділимим, а на місце приватного записуємо число, на яке ми множили дільник. Якщо ж ми отримуємо число більше, ніж ділене, то під дільником записуємо число, обчислене на передостанньому кроці, але в місце неповного приватного записуємо число, де множився дільник на передостанньому кроці.

Поїхали: 2 · 0 = 0; 2 · 1 = 2; 2 · 2 = 4; 2 · 3 = 6; 2 · 4 = 8 . Ми отримали число, що дорівнює ділимому, тому записуємо його під ділимим, але в місце приватного записуємо число 4 . При цьому запис набуде наступного вигляду:

Залишився завершальний етап поділу однозначних натуральних чисел стовпчиком. Під числом, записаним під ділимим, потрібно провести горизонтальну межу, і провести віднімання чисел над цією межею так, як це робиться при відніманні натуральних чисел стовпчиком . Число, що отримується після віднімання, буде залишком від поділу. Якщо воно дорівнює нулю, вихідні числа розділилися без залишку.

У нашому прикладі отримуємо

Тепер маємо закінчений запис розподілу стовпчиком числа 8 на 2 . Ми бачимо, що частка 8:2 дорівнює 4 (і залишок дорівнює 0 ).

Відповідь:

8:2=4 .

Тепер розглянемо, як здійснюється розподіл стовпчиком однозначних натуральних чисел із залишком.

приклад.

Розділимо стовпчиком 7 на 3 .

Рішення.

На початковому етапі запис виглядає так:

Починаємо з'ясовувати, скільки разів у діленому міститься дільник. Будемо множити 3 на 0, 1, 2, 3 і т.д. до того моменту, поки не отримаємо число, що дорівнює або більше, ніж ділене 7 . Отримуємо 3 · 0 = 0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (за потреби звертайтеся до статті порівняння натуральних чисел). Під ділимим записуємо число 6 (воно отримано на передостанньому кроці), а на місце неповного приватного записуємо число 2 (на нього проводилося множення на передостанньому кроці).

Залишилося провести віднімання, і розподіл стовпчиком однозначних натуральних чисел 7 та 3 буде завершено.

Таким чином, неповне приватне дорівнює 2 і залишок дорівнює 1 .

Відповідь:

7:3 = 2 (зуп. 1).

Тепер можна переходити до поділу стовпчиком багатозначних натуральних чисел однозначні натуральні числа.

Зараз ми розберемо алгоритм поділу стовпчиком. На кожному його етапі ми наводимо результати, що виходять при розподілі багатозначного натурального числа 140288 на однозначне натуральне число 4 . Цей приклад обраний невипадково, оскільки за його вирішенні ми зіштовхнемося з усіма можливими нюансами, зможемо докладно розібрати їх.

Спочатку ми дивимося на першу ліворуч цифру в записі поділеного. Якщо число, що визначається цією цифрою, більше від дільника, то в наступному пункті нам доведеться працювати з цим числом. Якщо ж це число менше, ніж дільник, то нам потрібно додати до розгляду наступну зліва цифру в записі діленого, і працювати далі з числом, що визначається двома цифрами, що розглядаються. Для зручності виділимо в нашому записі число, з яким ми будемо працювати.

Першою зліва цифрою у записі діленого 140288 є цифра 1 . Число 1 менше, ніж дільник 4 тому дивимося ще й на наступну зліва цифру в записі діленого. При цьому бачимо число 14, з яким нам і доведеться працювати далі. Виділяємо це число у записі поділеного.

Наступні пункти з другого до четвертого повторюються циклічно, поки розподіл натуральних чисел стовпчиком не буде завершено.

Зараз нам потрібно визначити, скільки разів дільник міститься в числі, з яким ми працюємо (для зручності позначимо це число як x). Для цього послідовно множимо дільник на 0, 1, 2, 3, … до того моменту, поки не отримаємо число x або число більше, ніж x. Коли виходить число x , то записуємо його під виділеним числом за правилами запису, використовуваним при відніманні стовпчиком натуральних чисел. Число, на яке проводилося множення, записується на місце приватного при першому проході алгоритму (при наступних проходах 2-4 пунктів алгоритму це число записується правіше чисел, що вже знаходяться там). Коли виходить число, яке більше числа x , то під виділеним числом записуємо число, отримане на передостанньому кроці, а на місце приватного (або правіше чисел, що вже знаходяться) записуємо число, на яке проводилося множення на передостанньому кроці. (Аналогічні дії ми проводили у двох прикладах, розібраних вище).

Множимо дільник 4 на числа 0 , 1 , 2 , …, доки не отримаємо число, яке дорівнює 14 або більше 14 . Маємо 4 · 0 = 0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>14 . Так як на останньому кроці ми отримали число 16, яке більше, ніж 14, то під виділеним числом записуємо число 12, яке вийшло на передостанньому кроці, а на місце приватного записуємо число 3, тому що в передостанньому пункті множення проводилося саме на нього.


На цьому етапі з виділеного числа віднімаємо стовпчиком число, розташоване під ним. Під горизонтальною лінією записується результат віднімання. Однак, якщо результатом віднімання є нуль, то його не потрібно записувати (якщо тільки віднімання в цьому пункті не є останньою дією, що повністю завершує процес поділу стовпчиком). Тут же для свого контролю не зайвим буде порівняти результат віднімання з дільником і переконатися, що він менший за дільник. В іншому випадку десь була допущена помилка.

Нам потрібно відняти стовпчиком з числа 14 число 12 (для коректності запису потрібно не забути поставити знак «мінус» зліва від чисел, що віднімаються). Після завершення цієї дії під горизонтальною межею виявилося число 2 . Тепер перевіряємо свої обчислення, порівнюючи отримане число із дільником. Так як число 2 менше від дільника 4 , то можна спокійно переходити до наступного пункту.


Тепер під горизонтальною рисою праворуч від цифр (або праворуч від місця, де ми не стали записувати нуль) записуємо цифру, розташовану в тому ж стовпці в записі ділимого. Якщо ж у записі поділеного в цьому стовпці немає цифр, то поділ стовпчиком на цьому закінчується. Після цього виділяємо число, що утворилося під горизонтальною рисою, приймаємо його як робоче число, і повторюємо з ним з 2 по 4 пункти алгоритму.

Під горизонтальною рисою праворуч від вже наявної там цифри 2 записуємо цифру 0, оскільки саме цифра 0 знаходиться в записі 140 288 у цьому стовпці. Таким чином, під горизонтальною межею утворюється число 20 .


Це число 20 ми виділяємо, приймаємо як робоче число, і повторюємо з нею дії другого, третього і четвертого пунктів алгоритму.

Примножуємо дільник 4 на 0 , 1 , 2 , …, доки отримаємо число 20 чи число, яке більше, ніж 20 . Маємо 4 · 0 = 0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Проводимо віднімання стовпчиком. Оскільки ми віднімаємо рівні натуральні числа, то з якості віднімання рівних натуральних чисел у результаті отримуємо нуль. Нуль ми не записуємо (оскільки це ще не завершальний етап поділу стовпчиком), але запам'ятовуємо місце, на якому ми його могли записати (для зручності це місце ми відзначимо чорним прямокутником).


Під горизонтальною лінією праворуч від запам'ятовуваного місця записуємо цифру 2, оскільки саме вона знаходиться в записі діленого 140288 в цьому стовпці. Таким чином, під горизонтальною межею ми маємо число 2 .


Число 2 приймаємо за робоче число, відзначаємо його і нам ще раз доведеться виконати дії з 2-4 пунктів алгоритму.

Помножуємо дільник на 0 , 1 , 2 і так далі, і порівнюємо числа, що виходять, з зазначеним числом 2 . Маємо 4 · 0 = 0<2 , 4·1=4>2 . Отже, під зазначеним числом записуємо число 0 (воно було отримано на передостанньому кроці), але в місці приватного праворуч від вже наявного там числа записуємо число 0 (на 0 ми проводили множення на передостанньому кроці).


Виконуємо віднімання стовпчиком, отримуємо число 2 під горизонтальною межею. Перевіряємо себе, порівнюючи отримане число з дільником 4 . Так як 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Під горизонтальною межею праворуч від числа 2 дописуємо цифру 8 (оскільки вона знаходиться в цьому стовпці в записі діленого 140 288). Таким чином, під горизонтальною лінією виявляється число 28.


Приймаємо це число як робочий, відзначаємо його, і повторюємо дії 2-4 пунктів.

Тут жодних проблем виникнути не повинно, якщо Ви були уважні до цього моменту. Виконавши всі необхідні дії, виходить наступний результат.

Залишилося востаннє провести дії з пунктів 2, 3, 4 (надаємо це Вам), після чого вийде закінчена картина поділу натуральних чисел 140 288 і 4 у стовпчик:

Зверніть увагу, що в нижньому рядку записано число 0 . Якби це був не останній крок поділу стовпчиком (тобто, якби в записі поділеного в стовпцях праворуч залишалися цифри), то цей нуль ми не записували б.

Таким чином, подивившись на закінчену запис розподілу багатозначного натурального числа 140288 на однозначне натуральне число 4, ми бачимо, що приватним є число 35072 (а залишок від розподілу дорівнює нулю, він знаходиться в нижньому рядку).

Звичайно ж, при розподілі натуральних чисел стовпчиком Ви не будете настільки докладно описувати всі свої дії. Ваші рішення будуть виглядати приблизно так, як у наведених нижче прикладах.

приклад.

Виконайте розподіл у стовпчик, якщо ділене дорівнює 7136 , а дільником є ​​однозначне натуральне число 9 .

Рішення.

На першому етапі алгоритму поділу натуральних чисел стовпчиком ми отримаємо запис виду

Після виконання дій з другого, третього та четвертого пунктів алгоритму запис поділу стовпчиком набуде вигляду

Повторивши цикл, матимемо

Ще один прохід дає нам закінчену картину поділу стовпчиком натуральних чисел 7136 і 9

Таким чином, неповне приватне дорівнює 792 а залишок від розподілу дорівнює 8 .

Відповідь:

7 136: 9 = 792 (зуп. 8) .

А цей приклад демонструє, як має виглядати поділ у стовпчик.

приклад.

Розділіть натуральне число 7042035 на однозначне натуральне число 7 .

Рішення.

Найзручніше виконати поділ стовпчиком.

Відповідь:

7 042 035:7=1 006 005 .

Розподіл стовпчиком багатозначних натуральних чисел

Поспішаємо Вас порадувати: якщо Ви добре засвоїли алгоритм поділу стовпчиком із попереднього пункту цієї статті, то Ви вже майже вмієте виконувати розподіл стовпчиком багатозначних натуральних чисел. Це справді так, оскільки з 2 по 4 етапи алгоритму залишаються незмінними, а першому пункті з'являються лише незначні зміни.

На першому етапі поділу в стовпчик багатозначних натуральних чисел потрібно дивитися не на першу ліворуч цифру в записі діленого, а на таку їх кількість, скільки символів міститься в записі дільника. Якщо число, яке визначається цими цифрами, більше від дільника, то в наступному пункті нам доведеться працювати з цим числом. Якщо ж це число менше, ніж дільник, то нам потрібно додати до розгляду наступну цифру ліворуч у записі діленого. Після цього виконуються дії, зазначені у 2, 3 та 4 пункті алгоритму до отримання кінцевого результату.

Залишилося лише подивитися застосування алгоритму поділу стовпчиком багатозначних натуральних чисел практично при вирішенні прикладів.

приклад.

Виконаємо поділ стовпчиком багатозначних натуральних чисел 5562 і 206 .

Рішення.

Так як в записі дільника 206 беруть участь 3 знаки, то дивимося на перші 3 цифри зліва в записі ділиться 5562 . Ці цифри відповідають числу 556. Так як 556 більше, ніж дільник 206 то число 556 приймаємо в якості робочого, виділяємо його, і переходимо до наступного етапу алгоритму.

Тепер множимо дільник 206 на числа 0, 1, 2, 3, … до того моменту, поки не отримаємо число, яке дорівнює 556, або більше, ніж 556. Маємо (якщо множення виконується складно, краще виконувати множення натуральних чисел стовпчиком): 206·0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Оскільки ми отримали число, яке більше числа 556 , під виділеним числом записуємо число 412 (воно було отримано на передостанньому кроці), але в місце приватного записуємо число 2 (оскільки нього проводилося множення на передостанньому кроці). Запис поділу стовпчиком набуває наступного вигляду:

Виконуємо віднімання стовпчиком. Отримуємо різницю 144 це число менше дільника, тому можна спокійно продовжувати виконання необхідних дій.

Під горизонтальною лінією праворуч від наявного там числа записуємо цифру 2 так як вона знаходиться в записі ділиться 5 562 в цьому стовпці:

Тепер ми працюємо з числом 1442, виділяємо його, і проходимо пункти з другого по четвертий ще раз.

Множимо дільник 206 на 0, 1, 2, 3, … до отримання числа 1442 або числа, яке більше, ніж 1442. Поїхали: 206 · 0 = 0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Проводимо віднімання стовпчиком, отримуємо нуль, але відразу його не записуємо, а лише запам'ятовуємо його позицію, тому що не знаємо, чи завершується на цьому поділ, чи доведеться ще раз повторювати кроки алгоритму:

Тепер ми бачимо, що під горизонтальну межу правіше за запам'ятовану позицію ми не можемо записати жодного числа, тому що в записі поділеного в цьому стовпці немає цифр. Отже, на цьому розподіл стовпчиком закінчено, і ми завершуємо запис:

• Математика. Будь-які підручники для 1, 2, 3, 4 класів загальноосвітніх закладів.
• Математика. Будь-які підручники для 5 класів загальноосвітніх закладів.

ДІЛИТИСЯ

ДІЛИТИСЯ

2. Мати здатність піддаватися поділу на інше число без залишку (мат.). Чітні числа діляться на два.

3. з ким-чим. Здійснювати поділ майна з ким-небудь (юр.).

4. чим з ким-чим. Приділяючи від свого, постачаючи чимось зі свого надбання, спільно користуватися з кимось. Він ділився з нами своїми статками. Ділитись з другом останньою копійкою, 5. перекл. Повідомляючи, розповідаючи комусь про щось, приділяти комусь від своїх знань, відомостей. Ділитись новинами з друзями. Ділитись знаннями з масою.

|| Розповідаючи щось комусь, повіряючи комусь (свої переживання), залучати до співчуття, до спільного переживання. Ділитись горем.

Тлумачний словник Ушакова. Д.М. Ушаків. 1935-1940.

Антоніми:

Дивитися що таке "ДІЛИТИСЯ" в інших словниках:

Див … Словник синонімів

ділитися- влада володіння, каузація ділитися враженнями каузація, знання ділитися інформацією дія, непрямий об'єкт … Дієслівної сполучуваності непредметних імен

ДІЛИТИСЯ, ділюся, ділишся; недосконалість. 1. (1 особа і 2 особа не вп.). Мати здатність поділу на інше число без залишку. Десять ділиться п'ять. 2. (1 особа і 2 особа од. не вп.). Розподілятись, розпадатися на частини. Учні… Тлумачний словник Ожегова

ділитися- ділитися, ділюся, ділиться та застаріле ділиться; прич. що ділиться і ділиться … Словник труднощів вимови та наголоси в сучасній російській мові

ділитися- щедро ділитися... Словник російської ідіоматики

I несов. Неперех. 1. Здійснювати поділ майна для подальшого роздільного проживання. 2. Користуватися чимось разом із кимось. отт. перекл. Розповідати, повідомляти комусь або про що або, поділяючи свої знання з ким або. 3. перен. Сучасний тлумачний словник Єфремової

Ділиться, ділимося, ділимося, ділитеся, ділитеся, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, ділиться, Форми слів

Множитися об'єднуватися перемножуватися помножуватися поєднуватися з'єднуватися збільшуватися скупитися ... Словник антонімів

ділитися- ділитися, ділюся, ділиться ... Російський орфографічний словник

Книги

• Ділитися - це добре, Венінгер Брігітта. Як тільки Мишеня Макс знайшло на галявині велику яблуню, на гілках якої висіли соковиті червоні яблука, він твердо вирішив поділитися ними зі своїми друзями. І щоб зібрати плоди та…
• Ділитися - це добре, Венінгер Брігітта. Як тільки Мишеня Макс знайшло на галявині велику яблуню, на гілках якої висіли соковиті червоні яблука, він твердо вирішив поділитися ними зі своїми друзями. І щоб організувати Яблучну…

Укладач, викладач кафедри вищої математики Іщанов Т.Р.

Заняття №1. Елементи комбінаторики

Теорія.
Правило множення: якщо з деякої кінцевої множини перший об'єкт (елемент) можна вибрати способами, а другий об'єкт (елемент) - способами, то обидва об'єкти (і) у зазначеному порядку можна вибрати способами.
Правило складання: якщо певний об'єкт можна вибрати способами, а об'єкт можна вибрати способами, причому перші та другі способи не перетинаються, то будь-який з об'єктів (або ) можна вибрати способами.

практичний матеріал.
1.(6.1.44. Л) Скільки різних трицифрових чисел можна становити з цифр 0, 1, 2, 3, 4 якщо:
а) цифри що неспроможні повторюватися;
б) цифри можуть повторитись;
в) числа мають бути парними (цифри можуть повторюватися);
г) число повинне ділитися на 5 (цифри не можуть повторюватися)
(Відповідь: а) 48 б) 100 в) 60 г) 12)

2. (6.1.2.) Скільки чисел, що містять не менше трьох різних цифр, можна скласти із цифр 3, 4, 5, 6, 7? (Відповідь: 300.)

3. (6.1.39) Скільки можна скласти чотиризначних чисел так, щоб будь-які дві сусідні цифри були різними? (Відповідь: 6561)

Теорія. Нехай дано безліч, що складається з різних елементів.
Розміщенням з n елементів по k елементів (0?k?n) називається будь-яке впорядковане підмножина даної множини, що містить k елементів. Два розміщення різні, якщо вони відрізняються один від одного або складом елементів, або порядком їхнього прямування.
Число розміщень з n елементів k позначаються символом і обчислюється за формулою:

де n! = 1 · 2 · 3 · ... · n, причому 1! = 1,0! = 1.

практичний матеріал.
4. (6.1.9 Л.) Скласти різні розміщення два елементи з елементів множини A=(3,4,5) і підрахувати їх число. (Відповідь: 6)

5. (6.1.3 Л) Скільки способів може бути розподілено три призові місця серед 16 змагаються? (Відповідь: 3360)

6. (6.1.11. Л) Скільки є п'ятизначних чисел, усі цифри яких різні? Вказівка: врахувати те що, що цифри виду 02345, 09782 тощо. не вважаємо п'ятизначними. (Відповідь: 27 216)

7. (6.1.12.Л.) Скількими способами можна скласти триколірний смугастий прапор (три горизонтальні смуги), якщо є матерія 5 різних кольорів? (Відповідь: 60.)

Теорія. Поєднанням з n елементів до k елементів (0?k?n) називається будь-яке підмножина даної множини, яке містить k елементів.
Будь-які два поєднання відрізняються один від одного лише складом елементів. Число поєднань з n елементів k позначається символом і обчислюється за формулою:

практичний матеріал.
8. (6.1.20.) Скласти різні поєднання по два елементи з елементів множини A = (3,4,5) і підрахувати їх число. (Відповідь: 3.)

9. (6.1.25.) Група туристів із 12 юнаків та 7 дівчат обирає за жеребом 5 осіб для приготування вечері. Скільки існує способів, при яких у цю «п'ятірку» потраплять:
а) одні дівчата; б) 3 юнаки та 2 дівчата;
в) 1 юнак та 4 дівчата; г) 5 юнаків; д) туристи однієї статі.
(Відповідь: а) 21; б) 4620; в) 420; г) 792; д) 813.)

Теорія. Перестановкою з n елементів називається розміщення з n елементів n елементів. Таким чином, вказати ту чи іншу перестановку даної множини з n елементів означає вибрати певний порядок цих елементів. Тому будь-які дві перестановки відрізняються один від одного лише порядком прямування елементів.
Число перестановок з елементів n позначається символом і обчислюється за формулою:

практичний матеріал.

10.(6.1.14.Л) Скласти різні перестановки з елементів множини A=(5;8;9). (Відповідь: 6)

11.(6.1.15.Л) Скільки способами можна розставити на книжковій полиці десятитомник творів Д. Лондона, маючи в своєму розпорядженні їх:
а) у довільному порядку;
б) так, щоб 1, 5, 9 томи стояли поряд (у будь-якому порядку);
в) так, щоб 1, 2, 3 томи стояли поряд (у будь-якому порядку).
(Відповідь: а) 10! б) 8!?3! в)

12. (1.6.16.Л.) У кімнаті є 7 стільців. Скільки способами можна розмістити на них 7 гостей? 3 гостя? (Відповідь: 5040; 210)

Схема вибору із поверненням.
Теорія. Якщо при впорядкованій вибірці k елементів з n елементи повертаються назад, отримані вибірки є розміщення з повтореннями. Число всіх розміщень з повтореннями з елементів n по k позначається символом і обчислюється за формулою:

Якщо під час вибірки k елементів з n елементи повертаються назад без наступного впорядкування (таким чином, одні й самі елементи можуть вийматися кілька разів, тобто. повторюватися), отримані вибірки є поєднання з повтореннями. Число всіх поєднань з повтореннями з n елементів k позначається символом і обчислюється за формулою:

практичний матеріал.

13. (6.1.29.) З елементів (цифр) 2, 4, 5 скласти всі розміщення та поєднання з повтореннями по два елементи. (Відповідь: 9; 6)

14. (6.1.31.Л.) П'ятеро людей увійшли до ліфту на 1-му поверсі дев'ятиповерхового будинку. Скільки способами пасажири можуть вийти з ліфта на потрібних поверхах? (Відповідь: )

15. (6.1.59.Л.) У кондитерській є 7 видів тістечок. Скількими способами можна придбати в ній: а) 3 тістечка одного виду; б) 5 тістечок? (Відповідь: а) 7; б) 462)

Теорія. Нехай у множині з n елементів є k різних типів елементів, при цьому 1-й тип елементів повторюється раз, 2-й - раз, . . . , k-й – раз, причому . Тоді перестановки елементів даної множини є перестановками з повтореннями.
Число перестановок з повтореннями (іноді говорить про кількість розбиття множини) з n елементів позначається символом і обчислюється за формулою:

практичний матеріал.
16.(6.1.32.) Скільки різних «слів» (під «словом» розуміється будь-яка комбінація букв) можна скласти, переставляючи букви у слові АДА? MISSISSIPPI?
Рішення.
Загалом із трьох літер можна скласти різних трилітерних «слів». У слові АДА буква А повторюється, а перестановка однакових букв не змінює слова. Тому число перестановок з повтореннями менше кількості перестановок без повторень у стільки разів, скільки можна переставляти літери, що повторюються. У цьому слові дві літери (1-а та 3-я) повторюються; тому різних перестановок трилітерних «слів» з літер слова АДА можна скласти стільки: . Втім, відповідь можна отримати і простіше: . За цією ж формулою знайдемо число одинадцятилітерних "слів" при перестановці букв у слові MISSISSIPPI. Тут (4 літери S), (4 літери I), тому

17.(6.1.38.Л.) Скільки існує різних перестановок букв у слові ТРАКТАТ? А у «слові» АААУУАУУУУ? (Відповідь: 420; 210)

Слід зазначити, що комбінаторика є самостійним розділом вищої математики (а не частиною тервера) і з цієї дисципліни написані важкі підручники, зміст яких часом анітрохи не легше абстрактної алгебри. Однак нам буде достатньо невеликої частки теоретичних знань, і в цій статті я постараюся у доступній формі розібрати основи теми з типовими комбінаторними завданнями. А багато хто з вас мені допоможуть;-)

Чим будемо займатися? У вузькому значенні комбінаторика - це підрахунок різних комбінацій, які можна скласти з деякої множини дискретнихоб'єктів. Під об'єктами розуміються якісь відокремлені предмети чи живі істоти – люди, звірі, гриби, рослини, комахи тощо. При цьому комбінаторику зовсім не хвилює, що безліч складається з тарілки манної каші, паяльника та болотяної жаби. Принципово важливо, що ці об'єкти піддаються перерахуванню – їх три (Дискретність)і суттєво те, що серед них немає однакових.

З безліччю розібралися, тепер про комбінації. Найпоширенішими видами комбінацій є перестановки об'єктів, їх вибірка з множини (поєднання) і розподіл (розміщення). Давайте прямо зараз подивимося, як це відбувається:

Перестановки, поєднання та розміщення без повторень

Не лякайтеся малозрозумілих термінів, тим більше деякі з них дійсно не дуже вдалі. Почнемо з хвоста заголовка – що означає « без повторень»? Це означає, що в даному параграфі будуть розглядатися множини, які складаються з різнихоб'єктів. Наприклад, … ні, кашу з паяльником і жабою пропонувати не буду, краще щось смачніше =) Уявіть, що перед вами на столі матеріалізувалося яблуко, груша і банан (за наявності таких ситуацію можна змоделювати і реально). Викладаємо фрукти зліва направо у такому порядку:

яблуко / груша / банан

Питання перше: Скільки способами їх можна переставити?

Одна комбінація вже записана вище та з іншими проблемами не виникає:

яблуко / банан / груша
груша / яблуко / банан
груша / банан / яблуко
банан / яблуко / груша
банан / груша / яблуко

Разом: 6 комбінацій або 6 перестановок.

Добре, тут не склало особливих труднощів перерахувати всі можливі випадки, але як бути, якщо предметів більше? Вже із чотирма різними фруктами кількість комбінацій значно зросте!

Будь ласка, відкрийте довідковий матеріал (методичку зручно роздрукувати)та у пункті № 2 знайдіть формулу кількості перестановок.

Жодних мук – 3 об'єкти можна переставити способами.

Питання друге: Скільки способами можна вибрати а) один фрукт, б) два фрукти, в) три фрукти, г) хоча б один фрукт?

Навіщо обирати? Так нагуляли апетит у попередньому пункті – для того, щоб з'їсти! =)

а) Один фрукт можна вибрати, очевидно, трьома способами - взяти або яблуко, грушу або банан. Формальний підрахунок проводиться за формулі кількості поєднань:

Запис у разі слід розуміти так: «скількими способами можна вибрати 1 фрукт з трьох?»

б) Перерахуємо всі можливі поєднання двох фруктів:

яблуко та груша;
яблуко та банан;
груші та банан.

Кількість комбінацій легко перевірити за тією самою формулою:

Запис розуміється аналогічно: «скільки можна вибрати 2 фрукти з трьох?».

в) І, нарешті, три фрукти можна вибрати єдиним способом:

До речі, формула кількості поєднань зберігає сенс і для порожньої вибірки:
способом можна вибрати жодного фрукта - власне, нічого не взяти і все.

г) Скільки способами можна взяти хоча б одинфрукт? Умова «хоча б один» передбачає, що нас влаштовує 1 фрукт (будь-який) або 2 будь-яких фрукти або всі 3 фрукти:
способами можна вибрати хоча б один фрукт.

Читачі, які уважно вивчили вступний урок з теорії ймовірностей, вже дещо здогадалися. Але про сенс знака "плюс" пізніше.

Для відповіді на наступне запитання мені потрібні два добровольці… …Ну що ж, якщо ніхто не хоче, тоді викликатиму до дошки =)

Питання третє: Скільки способами можна роздати по одному фрукту Даші та Наташі?

Для того, щоб роздати два фрукти, спочатку потрібно їх вибрати. Відповідно до пункту «бе» попереднього питання, зробити це можна засобами, перепишу їх заново:

яблуко та груша;
яблуко та банан;
груші та банан.

Але комбінацій зараз буде вдвічі більше. Розглянемо, наприклад, першу пару фруктів:
яблуком можна пригостити Дашу, а грушею – Наташу;
або навпаки – груша дістанеться Даші, а яблуко – Наталці.

І така перестановка можлива кожної пари фруктів.

Розглянемо ту саму студентську групу, яка пішла на танці. Скількими способами можна скласти пару з юнака та дівчини?

Способами можна вибрати 1 юнака;
способами можна вибрати 1 дівчину.

Таким чином, одного юнака іодну дівчину можна вибрати: методами.

Коли з кожної множини вибирається по 1 об'єкту, то справедливий наступний принцип підрахунку комбінацій: « коженоб'єкт з однієї множини може скласти пару з кожнимоб'єктом іншої множини».

Тобто Олег може запросити на танець будь-яку з 13 дівчат, Євген – теж будь-яку з тринадцяти, і аналогічний вибір має решта молодих людей. Разом: можливі пари.

Слід зазначити, що у цьому прикладі немає значення «історія» утворення пари; однак якщо взяти до уваги ініціативу, то кількість комбінацій треба подвоїти, оскільки кожна з 13 дівчат також може запросити на танець будь-якого юнака. Все залежить від умови того чи іншого завдання!

Схожий принцип справедливий і для складніших комбінацій, наприклад: скількома способами можна вибрати двох юнаків ідвох дівчат для участі у сценці КВК?

спілка Інедвозначно натякає, що комбінації необхідно перемножити:

Можливі групи артистів.

Іншими словами, кожнапара юнаків (45 унікальних пар) може виступати з будь-якийпарою дівчат (78 унікальних пар). А якщо розглянути розподіл ролей між учасниками, то комбінацій буде ще більше. …Дуже хочеться, але все-таки утримаюсь від продовження, щоб не прищепити вам огиду до студентського життя =).

Правило множення комбінацій поширюється і на більшу кількість множників:

Завдання 8

Скільки існує трицифрових чисел, які діляться на 5?

Рішення: для наочності позначимо це число трьома зірочками: ***

У розряд сотеньможна записати будь-яку з цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 чи 9). Нуль не годиться, тому що в цьому випадку число перестає бути тризначним.

А ось у розряд десятків(«посередині») можна вибрати будь-яку з 10 цифр: .

За умовою, число має ділитися на 5. Число ділиться на 5, якщо воно закінчується на 5 або на 0. Таким чином, у молодшому розряді нас влаштовують 2 цифри.

Отже, існує: трицифрових чисел, які діляться на 5.

При цьому твір розшифровується так: «9 способами можна вибрати цифру в розряд сотень і 10 способами вибрати цифру в розряд десятків і 2 способами в розряд одиниць»

Або ще простіше: « кожназ 9 цифр у розряді сотенькомбінується з кожноюз 10 цифр розряду десятків і з кожноюз двох цифр у розряд одиниць».

Відповідь: 180

А зараз…

Так, мало не забув про обіцяний коментар до завдання № 5, в якому Борі, Дімі та Володі можна здати за однією картою способами. Множення тут має той самий сенс: способами можна витягти 3 карти з колоди І в кожнійвибірці переставити їх засобами.

А тепер завдання для самостійного вирішення… зараз придумаю щось цікавіше, …нехай буде про ту ж російську версію блекджека:

Завдання 9

Скільки існує виграшних комбінацій з 2 карток при грі в «очко»?

Для тих, хто не знає: виграє комбінація 10 + ТУЗ (11 очок) = 21 очко і, давайте вважатимемо виграшною комбінацію з двох тузів.

(Порядок карт у будь-якій парі не має значення)

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

До речі, не слід вважати приклад примітивним. Блекджек - це чи не єдина гра, для якої існує математично обґрунтований алгоритм, що дозволяє вигравати у казино. Бажаючі можуть легко знайти масу інформації про оптимальну стратегію та тактику. Щоправда, такі майстри досить швидко потрапляють до чорного списку всіх закладів.

Настав час закріпити пройдений матеріал парою солідних завдань:

Завдання 10

У Васі вдома живуть 4 коти.

а) скільки можна розсадити котів по кутах кімнати?
б) скільки можна відпустити гуляти котів?
в) Скільки способами Вася може взяти на руки двох котів (одного на ліву, іншого - на праву)?

Вирішуємо: по-перше, знову слід звернути увагу на те, що в задачі йдеться про різнихоб'єктах (навіть якщо коти – однояйцеві близнюки). Це дуже важлива умова!

а) Мовчання котів. Цю кару зазнають відразу всі коти
+ важливе їх розташування, тому тут мають місце перестановки:
способами можна розсадити котів по кутах кімнати.

Повторюся, що з перестановках має значення лише кількість різних об'єктів та його взаємне розташування. Залежно від настрою Вася може розсаджувати тварин півколом на дивані, ряд на підвіконні і т.д. – перестановок у всіх випадках буде 24. Бажаючі можуть для зручності уявити, що коти різнокольорові (наприклад, білий, чорний, рудий та смугастий) та перерахувати всі можливі комбінації.

б) Скільки можна відпустити гуляти котів?

Передбачається, що коти ходять гуляти тільки через двері, при цьому питання має на увазі байдужість щодо кількості тварин – на прогулянку можуть вийти 1, 2, 3 або всі 4 коти.

Вважаємо всі можливі комбінації:

Способами можна відпустити гуляти одного кота (будь-якого з чотирьох);
способами можна відпустити гуляти двох котів (варіанти перерахуйте самостійно);
способами можна відпустити гуляти трьох котів (якийсь один із чотирьох сидить удома);
способом можна випустити всіх котів.

Напевно, ви здогадалися, що отримані значення слід підсумувати:
способами можна відпустити гуляти котів.

Ентузіастам пропоную ускладнену версію завдання – коли будь-який кіт у будь-якій вибірці випадково може вийти на вулицю як через двері, так і через вікно 10 поверху. Комбінацій помітно побільшає!

в) Скільки способами Вася може взяти на руки двох котів?

Ситуація передбачає не тільки вибір 2 тварин, а й їх розміщення по руках:
способами можна взяти на руки 2 коти.

Другий варіант вирішення: способами можна вибрати двох котів іспособами посадити кожнупару на руки:

Відповідь: а) 24, б) 15, в) 12

Ну і для очищення совісті щось конкретніше на збільшення комбінацій. Нехай у Васі додатково живе 5 котів =) Скільки способами можна відпустити гуляти 2 котів і 1 кішку?

Тобто, з кожноюпарою котів можна випустити кожнукішку.

Ще один баян для самостійного вирішення:

Завдання 11

У ліфт 12-поверхового будинку сіли 3 пасажири. Кожен, незалежно від інших, з однаковою ймовірністю може вийти на будь-якому (починаючи з 2-го) поверсі. Скількими способами:

1) пасажири можуть вийти на тому самому поверсі (Порядок виходу не має значення);
2) дві людини можуть вийти на одному поверсі, а третя – на іншому;
3) люди можуть вийти різних поверхах;
4) пасажири можуть вийти із ліфта?

І тут часто перепитують, уточнюю: якщо 2 чи 3 особи виходять на одному поверсі, то черговість виходу не має значення. ДУМАЙТЕ, використовуйте формули та правила додавання/множення комбінацій. У разі труднощів пасажирам корисно дати імена та поміркувати, у яких комбінаціях вони можуть вийти з ліфта. Не треба засмучуватися, якщо щось не вийде, так, наприклад, пункт № 2 досить підступний, втім, один із читачів відшукав просте рішення, і я вкотре висловлюю подяку за ваші листи!

Повне рішення із докладними коментарями наприкінці уроку.

Заключний параграф присвячений комбінаціям, які теж зустрічаються досить часто – за моєю суб'єктивною оцінкою, приблизно 20-30% комбінаторних завдань:

Перестановки, поєднання та розміщення з повтореннями

Перелічені види комбінацій законспектовані у пункті № 5 довідкового матеріалу Основні формули комбінаторикиПроте деякі з них за першим прочитанням можуть бути не дуже зрозумілими. І тут спочатку доцільно ознайомитися з практичними прикладами, і лише потім осмислювати загальне формулювання. Поїхали:

Перестановки із повтореннями

У перестановках із повтореннями, як і в «звичайних» перестановках, бере участь відразу все безліч об'єктів, але є одне але: в даному множині один або більша кількість елементів (об'єктів) повторюються. Зустрічайте черговий стандарт:

Завдання 12

Скільки різних буквосполучень можна отримати перестановкою карток із наступними літерами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, І, К?

Рішення: у тому випадку, якби всі літери були різні, то слід було б застосувати тривіальну формулу , проте цілком зрозуміло, що для запропонованого набору карток деякі маніпуляції спрацьовуватимуть «вхолосту», наприклад, якщо поміняти місцями будь-які дві картки з літерами «К » у будь-якому слові, то вийде те саме слово. Причому фізично картки можуть сильно відрізнятися: одна бути круглою з надрукованою літерою «К», інша – квадратною з намальованою літерою «К». Але за змістом завдання навіть такі картки вважаються однаковими, оскільки в умові питається про буквосполучення.

Все дуже просто – всього: 11 карток, серед яких літера:

К - повторюється 3 рази;
Про - повторюється 3 рази;
Л – повторюється двічі;
Ь - повторюється 1 раз;
Ч – повторюється 1 раз;
І – повторюється один раз.

Перевірка: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, що потрібно перевірити.

За формулою кількості перестановок із повтореннями:
різних буквосполучень можна отримати. Більше півмільйона!

Для швидкого розрахунку великого факторіального значення зручно використовувати стандартну функцію Екселю: забиваємо в будь-яку комірку =ФАКТР(11)і тиснемо Enter.

На практиці цілком допустимо не записувати загальну формулу і, крім того, опускати поодинокі факторіали:

Але попередні коментарі про літери, що повторюються, обов'язкові!

Відповідь: 554400

Інший типовий приклад перестановок з повтореннями зустрічається в задачі про розміщення шахових фігур, яку можна знайти на складі готових рішеньу відповідній pdf-ці. А для самостійного рішення я вигадав менш шаблонне завдання:

Завдання 13

Олексій займається спортом, причому 4 дні на тиждень – легкою атлетикою, 2 дні – силовими вправами та 1 день відпочиває. Скільки способами він може скласти собі розклад занять на тиждень?

Формула тут не годиться, оскільки враховує збігаються перестановки (наприклад, коли міняються місцями силові вправи у середу із силовими вправами у четвер). І знову - за фактом ті ж 2 силові тренування можуть сильно відрізнятися один від одного, але за контекстом завдання (з точки зору розкладу) вони вважаються однаковими елементами.

Дворядкове рішення та відповідь наприкінці уроку.

Поєднання з повтореннями

Характерна риса цього виду комбінацій у тому, що вибірка проводиться із кількох груп, кожна у тому числі складається з однакових об'єктів.

Сьогодні всі добре попрацювали, тому настав час підкріпитись:

Завдання 14

У студентській їдальні продають сосиски в тесті, ватрушки та пончики. Скільки можна придбати п'ять пиріжків?

Рішення: відразу зверніть увагу на типовий критерій поєднань із повтореннями – за умовою на вибір запропоновано не безліч об'єктів як таке, а різні видиоб'єктів; при цьому передбачається, що у продажу є не менше п'яти хот-догів, 5 ватрушок та 5 пончиків. Тістечка в кожній групі, зрозуміло, відрізняються - бо абсолютно ідентичні пончики можна змоделювати хіба що на комп'ютері =) Проте фізичні характеристики пиріжків за змістом завдання не суттєві, і хот-доги/ватрушки/пончики у своїх групах вважаються однаковими.

Що може бути у вибірці? Насамперед, слід зазначити, що у вибірці обов'язково будуть однакові пиріжки (обираємо 5 штук, а на вибір запропоновано 3 види). Варіанти тут на будь-який смак: 5 хот-догів, 5 ватрушок, 5 пончиків, 3 хот-доги + 2 ватрушки, 1 хот-дог + 2 + ватрушки + 2 пончики і т.д.

Як і при «звичайних» поєднаннях, порядок вибору та розміщення пиріжків у вибірці не має значення – просто вибрали 5 штук та все.

Використовуємо формулу кількості поєднань із повтореннями:
способом можна придбати 5 пиріжків.

Смачного!

Відповідь: 21

Який висновок можна зробити із багатьох комбінаторних завдань?

Іноді найважче – це розібратися в умові.

Аналогічний приклад для самостійного вирішення:

Завдання 15

У гаманці знаходиться досить велика кількість 1-, 2-, 5- та 10-рублевих монет. Скільки способами можна витягти три монети з гаманця?

З метою самоконтролю дайте відповідь на кілька простих питань:

1) Чи можуть у вибірці всі монети бути різними?
2) Назвіть найдешевшу і найдорожчу комбінацію монет.

Рішення та відповіді наприкінці уроку.

З мого особистого досвіду, можу сказати, що поєднання з повтореннями – найрідкісніший гість на практиці, чого не скажеш про такий вид комбінацій:

Розміщення з повтореннями

З множини, що складається з елементів, вибирається елементів, при цьому важливий порядок елементів у кожній вибірці. І все було б нічого, але досить несподіваний прикол полягає в тому, що будь-який об'єкт вихідної множини ми можемо вибирати скільки завгодно разів. Образно кажучи, від «багато не убуде».

Коли таке буває? Типовим прикладом є кодовий замок з кількома дисками, але через розвиток технологій актуальніше розглянути його цифрового нащадка:

Завдання 16

Скільки існує чотиризначних пін-кодів?

Рішення: насправді для розрулювання завдання достатньо знань правил комбінаторики: способами можна вибрати першу цифру пін-коду іспособами – другу цифру пін-коду істільки ж способами – третю істільки ж – четверту. Таким чином, за правилом множення комбінацій, чотиризначний пін-код можна скласти: способами.

А тепер за допомогою формули. За умовою нам запропоновано набір із цифр, з якого вибираються цифри та розташовуються у визначеному порядку, при цьому цифри у вибірці можуть повторюватися (тобто будь-якою цифрою вихідного набору можна користуватися довільну кількість разів). За формулою кількості розміщень із повтореннями:

Відповідь: 10000

Що тут спадає на думку… …якщо банкомат «з'їдає» картку після третьої невдалої спроби введення пін-коду, то шанси підібрати його навмання дуже примарні.

І хто сказав, що у комбінаториці немає жодного практичного сенсу? Пізнавальне завдання для всіх читачів сайт:

Завдання 17

Згідно з державним стандартом, автомобільний номерний знак складається з 3 цифр та 3 літер. При цьому неприпустимий номер із трьома нулями, а літери вибираються з набору А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (використовуються лише ті літери кирилиці, написання яких збігається з латинськими літерами).

Скільки номерних знаків можна скласти для регіону?

Не так їх, до речі, багато. У великих регіонах такої кількості не вистачає, і тому для них існує кілька кодів до напису RUS.

Рішення та відповідь наприкінці уроку. Не забуваємо використовувати правила комбінаторики;-) …Хотів похвалитися ексклюзивом, та виявилося не ексклюзивом =) Заглянув у Вікіпедію – там є розрахунки, щоправда, без коментарів. Хоча у навчальних цілях, напевно, мало хто вирішував.

Наше захоплююче заняття добігло кінця, і насамкінець я хочу сказати, що ви не дарма витратили час – з тієї причини, що формули комбінаторики знаходять ще одне насущне практичне застосування: вони зустрічаються в різних завданнях теорії ймовірностей,
і в завдання на класичне визначення ймовірності- Особливо часто =)

Дякую всім за активну участь і до швидких зустрічей!

Рішення та відповіді:

Завдання 2: Рішення: знайдемо кількість всіх можливих перестановок 4 карток:

Коли картка з нулем розташовується на 1-му місці, то число стає тризначним, тому ці комбінації слід виключити. Нехай нуль знаходиться на 1-му місці, тоді 3 цифри, що залишилися, в молодших розрядах можна переставити способами.

Примітка : т.к. карток небагато, то тут нескладно перерахувати всі такі варіанти:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Таким чином, із запропонованого набору можна скласти:
24 - 6 = 18 чотиризначних чисел
Відповідь : 18

З.И.Ніколи не думав , що ці завдання пропонуватимуть першокласникам, один із яких зауважив, що картку «9» можна використовувати як «6», і тому кількість комбінацій треба подвоїти. Але в умові все ж таки заявлена ​​конкретна цифра і від подвоєння краще утриматися.

Завдання 4: Рішення: способами можна вибрати 3 карти з 36
Відповідь : 7140

Завдання 6: Рішення: методами.
Інший варіант вирішення : способами можна вибрати двох осіб із групи та способами розподілити посади у кожній вибірці. Таким чином, старосту та його заступника можна вибрати методами. Третій варіант вирішення знайшов інший читач сайту Через комбінаторний твір:

(11 способами можна вийти один пасажир і для кожногоіз цих варіантів – 10 способами може вийти інший пасажир і для кожноїможливої ​​комбінації їх виходу – 9 способами може вийти третій пасажир)

4) Спосіб перший: сумуємо комбінації перших трьох пунктів:
У спосіб пасажири можуть вийти з ліфта.

Спосіб другий : у загальному випадку він раціональніший, більше того, дозволяє обійтися без результатів попередніх пунктів. Міркування такі: способами може вийти 1-й пасажир з ліфта іспособами може вийти 2-й пасажир і
2) «Найдешевший» набір містить 3 рублеві монети, а «найдорожчий» – 3 десятирублеві.

Завдання 17: Рішення: способами можна скласти цифрову комбінацію автомобільного номера, причому одну з них (000) слід виключити: .
способами можна скласти літерну комбінацію автомобільного номера.
За правилом множення комбінацій, всього можна скласти:
автомобільних номерів
(кожнацифрова комбінація поєднується з кожноюлітерною комбінацією).
Відповідь : 1726272

КОНСПЕКТ УРОКУ
ПО МАТЕМАТИЦІ
3 клас

Плохотнюк Вікторія Миколаївна,

вчитель початкових класів

МБОУ «ЗОШ № 6» м.Усинська

Республіки Комі

ТЕМА: Повторення поділу (прийом обчислення частки)

ЗАВДАННЯ:

продовжити роботу над прийомом поділу, що базується на оперуванні конкретними предметами;

закріплювати назву чисел при розподілі, множенні;

розвивати навичку усного рахунку;

продовжувати роботу над навичками взаємодії

ХІД УРОКУ:

Починається урок.

Він піде хлопцям про запас.

Постараюся все зрозуміти,

Буду правильно вирішувати.

I. Нині ж у нас не просто урок, а космічний урок. Ми здійснимо подорож до зірок. У польоті ми повторимо поділ, згадаємо, як називаються числа при множенні, додаванні, відніманні.

А щоб політ пройшов успішно, треба уважно слухати, думати, правильно рахувати.

Але для початку треба отримати дозвіл на зліт.

Отже: даємо лише відповідь.

Різниця чисел 60 та 8 (52)

1 доданок 32, 2 доданок 8 – сума (40)

96 зменшіть на 90 (6)

Сума чисел 16 та 12 (28)

37 збільшити на 1 (38)

У числі 27 міститься 3 дес та 7 од? (2 д 7 е)

Число 38 перебувати у числовому ряду між числами 37 та 40? (37,39)

7 дес. Це 70? Так

5 дес. Це 15? Ні.

Як називаються числа при +/при -

Ми непогано впоралися із роботою, а скажіть, які дії повторили?

(+ та -)

Займіть свої місця, перевірте готовність до польоту.Читаємо.

Ми летимо до інших планет

Оголошуємо вам про це.

ІІ. Поки наша ракета набирає швидкість, відкрийте бортові журнали та запишіть дату польоту.

Ми вже на місці і прилетіли до 1 зірки «Поспішайте». Тут на нас чекають привабливі завдання:

5 ,10,11,15,20

40,30, 19 ,20,80 яке число зайве?

22,23, 42 ,25,26

40,42,44,46…

35,40,45,50… яке число йде далі?

10,20,30,40…

А цю роботу треба виконати швидко та чітко. Завдання таке: вирішити та перевірити.

38+27 52-29 63-44 51+29 91-55

Якою дією перевіримо +, -.

Хлопці дуже старалися, мені сподобалося, затримуватись тут не будемо, продовжимо політ.Фізхвилинка

Дружно встали разів, 2,3

Ми тепер богатирі

Ми долоню до очей приставимо.

Ноги міцні розставимо.

Поверталися праворуч,

Оглянемося велично,

І ліворуч теж треба.

Подивитись з-під долонь.

І праворуч і ще

Через праве плече.

ІІІ. Ми й не помітили, як підлетіли до зірки «Розділяй-но». Згадаймо, як називаються числа при розподілі?

Як називається число, яке ділимо? (Дільне)

Як називається число, на яке ділимо? (Дільник)

Як називається результат розподілу? (приватне)

Запишемо до бортового журналу: Делимое 10, дільник 2. Що потрібно знайти? (приватне)

А приватне шукатимемо за допомогою малюнка.

Хто малює?

O O O O O O O O O O

(ракету →)

по скільки кружечків групуємо (по 2)

ск. разів по 2 міститься в 10? (5 разів)

Значить, чому одно приватне? (5)

А зараз оглянемося, подивіться ліворуч, праворуч, вгору. А що це із нашою ракетою?

На мою думку вона втратила управління і терміново потрібно зробити розрахунки. Хто допоможе нам? (картки розкласти біля дошки)

12:3 8:2 6:3

А ось цей вираз самі:

12:2

Повторимо.

Як називається числа при розподілі.

Що виходить у результаті розподілу?

(Вправа сидячи)

Потяглися, підняли праве, ліве плече.

IV. Ми прилетіли до зірки "Запасайка". Треба перевірити наші запаси:

У політ ми взяли 5 пляшок лимонаду по 1 л у кожній. Скільки літрів лимонаду взяли? (10л)

А ще взяли 3 ящики печива по 2 кг у кожному. Скільки кілограмів печива взяли.

Ми думали взяти у політ 20 великих хрямзиків та 10 маленьких. Коли дізналися, що це таке, то все викинули. Скільки хрямзиків викинули?

Розділимося на екіпажі. подивіться якого кольору зірка у вас на парті?

Помаранчеві

Займіть свої місця. Перед роботою вгадайте, що це таке?

Сидить дід 100 шуб одягнений

Хто його роздягне, сльози проливає

Так, це цибуля. А ви знаєте, що цибуля в Стародавній Русі вважалася найкращим засобом від хвороб? А в Стародавній Греції – священною рослиною. А у Німеччині квітками цибулі прикрашали героїв. Беремо його у політ?

А це що?Ріс дитина не знала пелюшок,

Став старим

100 пелюшок на ньому.

Звісно, ​​це капуста. Її з давніх-давен використовували як засіб від безсоння і головного болю. Її соком змащували ранки.

Ми й капусту візьмемо із собою?

А тепер приступаємо до справи.

Час пішов.

15цибулин посадили по 3 до ряду. Скільки рядів вийшло?

15 качанів капусти посадили на 3 ряди порівну. Скільки качанів у кожному ряду.

2) Дати рішення.

Що помітили?

(Рішення одне, а шукаємо різне)

Ми вирішували, ми вирішували

Щось дуже ми втомилися,

Ми зараз потопаємо

Ручками поплескаємо

Раз – сядемо

Швидко встанемо

Усміхнемося

Тихо сядемо.

А це що? До нас наближаються невідомі об'єкти, щоб уникнути зіткнення, треба терміново дізнатися про їхні параметри.

∆  O

Які бачили об'єкти?

За якими ознаками згрупуємо?

за кольором

по розміру

по формі

Назвіть їх.

А це що? Якісь дивні пики.

З яких геом. фігур складаються?

Яка зайва?

Дуже добре.

Ми уникнули зіткнення, і наша подорож добігає кінця. А щоб благополучно повернутись назад, треба розгадати кросворд.

1) Що виходить при додаванні? (Сума)

2) Як називається число, результат розподілу? (приватне)

3)Він буває прямим і гострим? (кут)

4) Число, яке ділять? (Дільне)

5) Число, на яке ділять? (Дільник)

Дуже погана оцінка? (одиниця)

7) Якою дією перевіримо «+» (віднімання)

Наш політ добіг кінця. Слідкуємо за вказівкою. Яке слово вийшло. Молодці.

Так, ми, звісно, ​​молодці.

Що ж сьогодні повторювали?

Що сподобалось?

Що видалося важким?

Яку оцінку собі поставимо?

А щоб успішно на наступному уроці продовжити роботу над поділом і добре написати самостійну роботу, треба вдома закріпити матеріал.

Запишемо завдання:

с.54 табл. №3.

Урок закінчено.