Розрахунок сталевої стійки на міцність. Розрахунок стійок на міцність і стійкість при ексцентрично доданій силі. Приклади розв'язання задач

1. Отримання відомостей про матеріал стрижня для визначення граничної гнучкості стрижня розрахунковим шляхом або за таблицею:

2. Отримання відомостей про геометричні розміри поперечного перерізу, довжину та способи закріплення кінців для визначення категорії стрижня в залежності від гнучкості:

де А – площа перерізу; J m i n - Мінімальний момент інерції (з осьових);

μ - Коефіцієнт наведеної довжини.

3. Вибір розрахункових формул для визначення критичної сили та критичної напруги.

4. Перевірка та забезпечення стійкості.

При розрахунку за формулою Ейлера умова стійкості:

F- діюча стискаюча сила; - Допустимий коефіцієнт запасу стійкості.

При розрахунку за формулою Ясинського

де a, b- Розрахункові коефіцієнти, що залежать від матеріалу (величини коефіцієнтів наводяться в таблиці 36.1)

У разі невиконання умов стійкості необхідно збільшити площу поперечного перерізу.

Іноді необхідно визначити запас стійкості при заданому навантаженні:

При перевірці стійкості порівнюють розрахунковий запас витривалості з:

Приклади розв'язання задач

Рішення

1. Гнучкість стрижня визначається за формулою

2. Визначаємо мінімальний радіус інерції для кола.

Підставивши вирази для J minі А(перетин коло)

1. Коефіцієнт приведення довжини даної схеми кріплення μ = 0,5.
2. Гнучкість стрижня дорівнюватиме

приклад 2.Як зміниться критична сила для стрижня, якщо змінити спосіб закріплення кінців? Порівняти подані схеми (рис. 37.2)

Рішення

Критична сила збільшиться вчетверо.

приклад 3.Як зміниться критична сила при розрахунку на стійкість, якщо стрижень двотаврового перерізу (рис. 37.3а, двотавр № 12) замінити стрижнем прямокутного перерізутієї ж площі (рис. 37.3 б ) ? Інші параметри конструкції не змінюються. Розрахунок виконати за такою формулою Ейлера.

Рішення

1. Визначимо ширину перерізу прямокутника, висота перерізу дорівнює висоті перерізу двотавра. Геометричні параметри двотавра № 12 за ГОСТ 8239-89:

площа перерізу А 1 = 14,7см 2;

мінімальний із осьових моментів інерції.

За умовою площа прямокутного перерізу дорівнює площі перерізу двотавра. Визначаємо ширину смуги за висотою 12 см.

2. Визначимо мінімальний із осьових моментів інерції.

3. Критична сила визначається за формулою Ейлера:

4. За інших рівних умов відношення критичних сил дорівнює відношенню мінімальних моментів інерції:

5. Таким чином, стійкість стрижня з перетином двотавр № 12 у 15 разів вища, ніж стійкість стрижня обраного прямокутного перерізу.

приклад 4.Перевірити стійкість стрижня. Стрижень довжиною 1 м затиснутий одним кінцем, перетин - швелер № 16, матеріал - СТЗ, запас стійкості триразовий. Стрижень навантажений стискаючою силою 82 кН (рис. 37.4).

Рішення

1. Визначаємо основні геометричні параметри перерізу стрижня за ГОСТ 8240-89. Швелер № 16: площа перерізу 18,1 см 2; мінімальний осьовий момент перерізу 63,3 см 4; мінімальний радіус інерції перерізу г т; п = 1,87 див.

Гранична гнучкість для матеріалу СтЗ λ до = 100.

Розрахункова гнучкість стрижня при довжині l = 1м = 1000мм

Розрахований стрижень - стрижень великої гнучкості, розрахунок ведемо за такою формулою Ейлера.

4. Умова стійкості

82кН< 105,5кН. Устойчивость стержня обеспечена.

Приклад 5.На рис. 2.83 показано розрахункову схему трубчастої стійки літакової конструкції. Перевірити стійку на стійкість при [ nу ] = 2,5, якщо вона виготовлена ​​з хромонікелевої сталі, для якої Е = 2,1 * 10 5 і пц = 450 Н/мм 2 .

Рішення

Для розрахунку стійкість має бути відома критична сила для заданої стійки. Необхідно встановити, за якою формулою слід обчислювати критичну силу, тобто треба зіставити гнучкість стійки із граничною гнучкістю для її матеріалу.

Обчислюємо величину граничної гнучкості, так як табличних даних про λ, для матеріалу стійки немає:

Для визначення гнучкості стійки, що розраховується, обчислюємо геометричні характеристики її поперечного перерізу:

Визначаємо гнучкість стійки:

і переконуємось, що λ< λ пред, т. е. критическую силу можно опреде­лить ею формуле Эйлера:

Обчислюємо розрахунковий (дійсний) коефіцієнт запасу стійкості:

Таким чином, nу > [ nу] на 5,2%.

Приклад 2.87. Перевірити на міцність та стійкість задану стрижневу систему (рис. 2.86), матеріал стрижнів – сталь Ст5 (σ т = 280 Н/мм 2). Необхідні коефіцієнти запасу: міцності [n]= 1,8; стійкості = 2.2. Стрижні мають круглий поперечний переріз d 1 = d 2= 20 мм, d 3 = 28 мм.

Рішення

Вирізаючи вузол, в якому сходяться стрижні, і становлячи рівняння рівноваги для сил, що діють на нього (рис. 2.86)

встановлюємо, що задана система статично невизначена (три невідомі зусилля та два рівняння статики). Зрозуміло, що з розрахунку стрижнів на міцність і стійкість необхідно знати величини поздовжніх сил, що у їх поперечних перерізах, т. е. потрібно розкрити статичну невизначеність.

Складаємо рівняння переміщень на основі діаграми переміщень (рис. 2.87):

або, підставляючи значення змін довжин стрижнів, отримуємо

Розв'язавши це рівняння спільно з рівняннями статики, знайдемо:

Напруги в поперечних перерізах стрижнів 1 і 2 (див. рис. 2.86):

Їхній коефіцієнт запасу міцності

Для визначення коефіцієнта запасу стійкості стрижня 3 треба вирахувати критичну силу, а це вимагає визначення гнучкості стрижня, щоб вирішити, якою формулою для знаходження N Kpслід скористатися.

Отже, λ 0< λ < λ пред и крити­ческую силу следует определять по эмпирической формуле:

Коефіцієнт запасу стійкості

Таким чином, розрахунок показує, що коефіцієнт запасу стійкості близький до необхідного, а коефіцієнт запасу міцності значно вищий за необхідний, тобто при збільшенні навантаження системи втрата стійкості стрижнем 3 ймовірніше, ніж виникнення плинності у стрижнях 1 і 2.

Висота стійки та довжина плеча докладання сили P вибирається конструктивно, згідно з кресленням. Візьмемо перетин стійки як 2Ш. Виходячи із співвідношення h 0 /l=10 і h/b=1,5-2 вибираємо переріз не більше h=450мм та b=300мм.

Малюнок 1 – Схема навантаження стійки та поперечний переріз.

Загальна маса конструкції складає:

m = 20,1 +5 +0,43 +3 +3,2 +3 = 34,73 тонн

Вага, що приходить на одну з 8 стійок, становить:

P = 34,73/8 = 4,34 тонн = 43400Н - тиск на одну стійку.

Сила діє над центрі перерізу, тому вона викликає момент, рівний:

Мх = P * L; Мх = 43400 * 5000 = 217000000 (Н * мм)

Розглянемо стійку коробчатого перерізу, зварену із двох пластин

Визначення ексцентриситетів:

Якщо ексцентриситет т хмає значення від 0,1 до 5 - позацентрово стиснутою (розтягнутою) стійкою; якщо твід 5 до 20, то розтягування чи стиск балки необхідно враховувати у розрахунку.

т х=2,5 - позацентрово стиснена (розтягнута) стійка.

Визначення розміру перерізу стійки:

Основним навантаженням для стійки є поздовжня сила. Тому для вибору перерізу використовують розрахунок на міцність при розтягуванні (стиску):

(9)

З цього рівняння знаходять необхідну площу поперечного перерізу

,мм 2 (10)

Допустима напруга [σ] при роботі на витривалість залежить від марки сталі, концентрації напруг у перерізі, числа циклів навантаження та асиметрії циклу. У СНиП напруга, що допускається при роботі на витривалість визначають за формулою

(11)

Розрахунковий опір R Uзалежить від концентрації напруги та від межі плинності матеріалу. Концентрація напрузі у зварних з'єднаннях найчастіше зумовлена ​​зварними швами. Значення коефіцієнта концентрації залежить від форми, розмірів та розташування швів. Чим вища концентрація напруг, тим нижче допустима напруга.

Найбільш навантажений переріз стрижневої конструкції, що проектується в роботі, розташовано поблизу місця її прикріплення до стінки. Прикріплення лобовими кутовими швами відповідає 6-й групі, отже, R U = 45МПа.

Для 6-ї групи, при п = 10 -6 α = 1,63;

Коефіцієнт увідбиває залежність допустимих напруг від показника асиметрії циклу р, рівного відношенню мінімальної напруги за цикл до максимального, тобто.

-1≤ρ<1,

а також від знаку напруги. Розтягування сприяє, а стиск перешкоджає виникненню тріщин, тому значення γ за однакових ρ залежить від знака σ мах. У разі пульсуючого навантаження, коли σ min= 0, ρ=0 при стиску γ=2 при розтягуванні γ = 1,67.

При ρ→ ∞ γ→∞. При цьому допустима напруга [σ] стає дуже великою. Це означає, що небезпека руйнування втоми зменшується, але не означає, що міцність забезпечена, так як можливе руйнування при першому навантаженні. Тому при визначенні [σ] необхідно врахувати умови статичної міцності та стійкості.

При статичному розтягуванні (без вигину)

[σ] = R у. (12)

Значення розрахункового опору R у межі плинності визначають за формулою

(13)

де γ м - коефіцієнт надійності за матеріалом.

Для 09Г2С σ Т = 325 МПа, γ т = 1,25

При статичному стиску напругу, що допускається, знижують у зв'язку з небезпекою втрати стійкості:

де 0< φ < 1. Коэффициент φ зависит от гибкости и относительного эксцентриситета. Его точное значение может быть найдено только после определения размеров сечения. Для ориентировочного выбора Атрпо формуле следует задаться значением φ. При невеликому ексцентриситеті програми навантаження можна прийняти? = 0,6. Такий коефіцієнт означає, що міцність стрижня при стиску через втрату стійкості знижується до 60% від міцності при розтягуванні.

Підставляємо дані у формулу:

З двох значень [σ] вибираємо найменше. І надалі по ньому вестиметься розрахунок.

Допустима напруга

Поставляємо дані у формулу:

Так як 295,8мм 2 вкрай мала площа перерізу, виходячи з конструктивних розмірів та величини моменту збільшуємо до

Номер швелера підберемо за площею.

Мінімальна площа швелера повинна становити – 60 см 2

Номер швелера – 40П. Має параметри:

h=400 мм; b = 115мм; s = 8мм; t=13,5мм; F = 18,1 см 2;

Отримуємо площу перерізу стійки, що складається з 2 швелерів – 61,5 см 2 .

Підставимо дані у формулу 12 і розрахуємо напруги ще раз:

=146,7 МПа

Діюча напруга в перерізі менше граничної напруги для металу. Це означає, що матеріал конструкції витримує прикладене навантаження.

Перевірочний розрахунок загальної стійкості стояків.

Така перевірка потрібна лише при дії стискаючих поздовжніх сил. Якщо сили прикладені до центру перерізу (Мх=Му=0), зниження статичної міцності стійки за рахунок втрати стійкості оцінюють коефіцієнтом φ, що залежить від гнучкості стійки.

Гнучкість стійки щодо матеріальної осі (тобто осі, що перетинає елементи перерізу) визначають за формулою:

(15)

де - Довжина напівхвилі вигнутої осі стійки,

μ - коефіцієнт залежить від умови закріплення; при консолі = 2;

i min - радіус інерції, що знаходиться за формулою:

(16)

Підставляємо дані у формулу 20 та 21:

Розрахунок стійкості проводять за формулою:

(17)

Коефіцієнт у визначають так само як при центральному стиску, по табл. 6 в залежності від гнучкості стійки λ у (λ уо) при згині навколо осі у. Коефіцієнт звраховує зменшення стійкості від дії моменту Мх.

Металеві конструкції тема складна, украй відповідальна. Навіть невелика помилка може коштувати сотні тисяч та мільйони рублів. У деяких випадках ціною помилки може стати життя людей на будівництві, а також у процесі експлуатації. Так, що перевіряти і перевіряти ще раз розрахунки — потрібно і важливо.

Використання Ексель для вирішення розрахункових завдань — справа з одного боку не нова, але не зовсім звична. Проте, Ексель розрахунків має низку незаперечних переваг:

• Відкритість- Кожен такий розрахунок можна розібрати по кісточках.
• Доступність- Самі файли існують у загальному доступі, пишуться розробниками МК під свої потреби.
• Зручність- практично будь-який користувач ПК здатний працювати з програмами з пакету MS Office, тоді як спеціалізовані конструкторські рішення - дороги, і вимагають серйозних зусиль для свого освоєння.

Не варто їх вважати панацеєю. Такі розрахунки дозволяють вирішувати вузькі та щодо прості конструкторські завдання. Але вони не враховують роботи конструкції як цілого. У ряді простих випадків можуть урятувати багато часу:

• Розрахунок балки на вигин
• Розрахунок балки на вигин онлайн
• Перевірити розрахунок міцності та стійкості колони.
• Перевірити підбір перерізу стрижня.

Універсальний розрахунковий файл МК (EXCEL)

Таблиця для підбору перерізів металоконструкцій по 5 різних пунктах СП 16.13330.2011
Власне, за допомогою цієї програми можна виконати такі розрахунки:

• розрахунок однопрогонової шарнірної балки.
• розрахунок центрально стиснених елементів (колон).
• розрахунок розтягнутих елементів.
• розрахунок позацентрово-стислих або стисло-згинальних елементів.

Версія Excel повинна бути не нижче 2010 року. Щоб побачити інструкцію, натисніть на плюс у верхньому лівому кутку екрана.

МЕТАЛІКА

Програма є книгою EXCEL з підтримкою макросів.
І призначена для розрахунку сталевих конструкцій згідно
СП16 13330.2013 «Сталеві конструкції»

Підбір та розрахунок прогонів

Підбір прогону — завдання лише з погляду тривіальна. Крок прогонів та їх розмір залежить від багатьох параметрів. І добре було б мати під рукою відповідний розрахунок. Власне про це розповідає стаття обов'язкова до ознайомлення:

• розрахунок прогону без тяжів
• розрахунок прогону з одним тяжем
• розрахунок прогону з двома тяжами
• розрахунок прогону з урахуванням бімоменту:

Але є невелика ложка дьогтю - судячи з усього, у файлі є помилки в розрахунковій частині.

Розрахунок моментів інерції перерізу у таблиці excel

Якщо вам треба швидко порахувати момент інерції складеного перерізу, чи ні можливості визначити ГОСТ по якому зроблено металоконструкції, тоді вам на допомогу прийде цей калькулятор. Унизу таблиці невелике пояснення. В цілому робота проста - вибираємо відповідний переріз, задаємо розміри цих перерізів, отримуємо основні параметри перерізу:

• Моменти інерції перерізу
• Моменти опору перерізу
• Радіус інерції перерізу
• Площа перерізу
• Статичного моменту
• Відстань до центру тяжкості перерізу.

У таблиці реалізовано розрахунки для наступних типів перерізів:

• труба
• прямокутник
• двотавр
• швелер
• прямокутна труба
• трикутник

Колона - це вертикальний елемент несучої конструкції будівлі, яка передає навантаження від вищерозташованих конструкцій на фундамент.

При розрахунку сталевих колон необхідно керуватися СП 16.13330 «Сталеві конструкції».

Для сталевої колони зазвичай використовують двотавр, трубу, квадратний профіль, складовий переріз зі швелерів, куточків, листів.

Для центрально-стислих колон оптимально використовувати трубу або квадратний профіль - вони економні за масою металу і мають гарний естетичний вигляд, проте внутрішні порожнини не можна пофарбувати, тому цей профіль має бути герметично.

Широко поширене застосування широкополочного двотавра для колон - при затисканні колони в одній площині даний вид профілю є оптимальним.

Велике значення впливає спосіб закріплення колони у фундаменті. Колона може мати шарнірне кріплення, тверде в одній площині і шарнірне в іншій або тверде в 2-х площинах. Вибір кріплення залежить від конструктиву будівлі та має більше значення для розрахунку т.к. від способу кріплення залежить розрахункова довжина колони.

Також необхідно враховувати спосіб кріплення прогонів, стінових панелей, балки або ферми на колону, якщо навантаження передається збоку колони, необхідно враховувати ексцентриситет.

При защемленні колони в фундаменті та жорсткому кріпленні балки до колони розрахункова довжина дорівнює 0,5l, однак у розрахунку зазвичай вважають 0,7l т.к. балка під дією навантаження згинається і повного защемлення немає.

На практиці окремо колону не вважають, а моделюють у програмі раму або 3-мірну модель будівлі, навантажують її і розраховують колону в збірці та підбирають необхідний профіль, але в програмах буває важко врахувати ослаблення перерізу отворами від болтів, тому буває необхідно перевіряти перетин вручну. .

Щоб розрахувати колону нам необхідно знати максимальні стискаючі/розтягувальні напруги та моменти, що виникають у ключових перерізах, для цього будують епюри напруги. У цьому огляді ми розглянемо лише розрахунок міцності колони без побудови епюр.

Розрахунок колони проводимо за такими параметрами:

1. Міцність при центральному розтягуванні/стисканні

2. Стійкість при центральному стисканні (у 2-х площинах)

3. Міцність при спільній дії поздовжньої сили та згинальних моментів

4. Перевірка граничної гнучкості стрижня (у 2-х площинах)

1. Міцність при центральному розтягуванні/стисканні

Відповідно до СП 16.13330 п. 7.1.1 розрахунок на міцність елементів із сталі з нормативним опором R yn ≤ 440 Н/мм2 при центральному розтягуванні або стисканні силою N слід виконувати за формулою

A n - площа поперечного перерізу профілю нетто, тобто. з урахуванням ослаблення його отворами;

R y - розрахунковий опір сталі прокату (залежить від марки сталі див. Таблицю В.5 СП 16.13330);

γ з - коефіцієнт умов роботи (див. Таблицю 1 СП 16.13330).

За цією формулою можна обчислити мінімально-необхідну площу перерізу профілю та задати профіль. Надалі в перевірочних розрахунках підбір перерізу колони можна буде зробити тільки методом підбору перерізу, тому тут ми можемо задати відправну точку, менше якої перетин бути не може.

2. Стійкість при центральному стисканні

Розрахунок на стійкість провадиться згідно СП 16.13330 п. 7.1.3 за формулою

A- Площа поперечного перерізу профілю брутто, тобто без урахування послаблення його отворами;

R

γ

φ - Коефіцієнт стійкості при центральному стиску.

Як бачимо, ця формула дуже нагадує попередню, але тут з'являється коефіцієнт φ щоб його обчислити нам спочатку потрібно обчислити умовну гнучкість стрижня λ (Позначається з рисою зверху).

де R y - розрахунковий опір сталі;

E- модуль пружності;

λ - Гнучкість стрижня, що обчислюється за формулою:

де l ef - розрахункова довжина стрижня;

i- Радіус інерції перерізу.

Розрахункові довжини l ef колон (стійок) постійного перерізу або окремих ділянок ступінчастих колон згідно СП 16.13330 п. 10.3.1 слід визначати за формулою

де l- Довжина колони;

μ - Коефіцієнт розрахункової довжини.

Коефіцієнти розрахункової довжини μ колон (стійок) постійного перерізу слід визначати в залежності від умов закріплення їх кінців та виду навантаження. Для деяких випадків закріплення кінців та виду навантаження значення μ наведено у наступній таблиці:

Радіус інерції перерізу можна визначити у відповідному ГОСТ-е на профіль, тобто. попередньо профіль має бути вже заданий і розрахунок зводиться до перебору перерізів.

Т.к. радіус інерції в 2-х площинах для більшості профілів має різні значення на 2-х площинах (однакові значення мають тільки труба і квадратний профіль) і закріплення може бути різним, а відтак і розрахункові довжини теж можуть бути різні, то розрахунок на стійкість необхідно зробити для 2-х площин.

Отже тепер у нас є всі дані, щоб розрахувати умовну гнучкість.

Якщо гранична гнучкість більша або дорівнює 0,4, то коефіцієнт стійкості φ обчислюється за такою формулою:

значення коефіцієнта δ слід обчислити за такою формулою:

коефіцієнти α і β дивіться у таблиці

значення коефіцієнта φ , обчислені за цією формулою, слід приймати не більше (7,6/ λ 2) при значеннях умовної гнучкості понад 3,8; 4,4 та 5,8 для типів перерізів відповідно а, b та с.

При значеннях λ < 0,4 для всех типов сечений допускается принимать φ = 1.

значення коефіцієнта φ наведено у додатку Д СП 16.13330.

Тепер коли всі вихідні дані відомі робимо розрахунок за формулою, представленою спочатку:

Як було зазначено вище, потрібно зробити 2-а розрахунку для 2-х площин. Якщо розрахунок не задовольняє умову, підбираємо новий профіль з більшим значенням радіуса інерції перерізу. Також можна змінити розрахункову схему, наприклад, змінивши шарнірне загортання на жорстку або закріпивши зв'язками колону в прольоті, можна зменшити розрахункову довжину стрижня.

Стислі елементи із суцільними стінками відкритого П-подібного перерізу рекомендується зміцнювати планками або ґратами. Якщо планки відсутні, то стійкість слід перевіряти на стійкість при згинально-крутильній формі втрати стійкості згідно з п.7.1.5 СП 16.13330.

3. Міцність при спільній дії поздовжньої сили та згинальних моментів

Як правило колона навантажена не тільки осьовим стискальним навантаженням, але і згинальним моментом, наприклад від вітру. Момент також утворюється, якщо вертикальне навантаження прикладене не по центру колони, а збоку. У цьому випадку необхідно здійснити перевірочний розрахунок згідно з п. 9.1.1 СП 16.13330 за формулою

де N- Поздовжня стискаюча сила;

A n - площа перерізу нетто (з урахуванням ослаблення отворами);

R y - розрахунковий опір сталі;

γ з - коефіцієнт умов роботи (див. Таблицю 1 СП 16.13330);

n, Сxі Сy- Коефіцієнти, що приймаються за таблицею Е.1 СП 16.13330

Mxі My- моменти щодо осей X-X та Y-Y;

W xn,min та W yn,min - моменти опору перерізу щодо осей X-X та Y-Y (можна знайти в ГОСТ-і на профіль або в довіднику);

B- бімомент, у СНиП II-23-81 * цього параметра не було в розрахунках, цей параметр ввели для обліку депланації;

Wω,min – секторальний момент опору перерізу.

Якщо з першими трьома складовими питань не повинно бути, то облік бімомента викликає деякі проблеми.

Бімомент характеризує зміни, що вносяться до лінійних зон розподілу напруг депланації перерізу і, по суті, є парою моментів, спрямованих у протилежні сторони

Варто відзначити, що багато програм не можуть розрахувати бімомент, у тому числі і SCAD його не враховує.

4. Перевірка граничної гнучкості стрижня

Гнучкість стиснених елементів λ = lef / i, як правило, не повинні перевищувати граничних значень λ u, наведених у таблиці

Коефіцієнт в даній формулі це коефіцієнт використання профілю, згідно з розрахунку на стійкість при центральному стиску.

Так само як і розрахунок на стійкість цей розрахунок потрібно зробити для 2-х площин.

Якщо профіль не підходить необхідно змінити перетин збільшивши радіус інерції перерізу або змінивши розрахункову схему (змінити закріплення або закріпити зв'язками, щоб зменшити розрахункову довжину).

Якщо критичним чинником є ​​гранична гнучкість, марку сталі можна взяти найменшу т.к. на граничну гнучкість марка сталі впливає. Оптимальний варіант можна визначити методом підбору.

Posted in Tagged

На практиці часто виникає необхідність розрахунку стійки або колони на максимальне осьове (поздовжнє) навантаження. Зусилля, у якому стійка втрачає стійке стан (несучу здатність) є критичним. На стійкість стійки впливає спосіб закріплення кінців стійки. У будівельній механіці розглядають сім способів закріплення кінців стійки. Ми розглянемо три основні способи:

Для забезпечення певного запасу стійкості необхідно, щоб дотримувалася умова:

Де: Р – діюче зусилля;

Встановлюється певний коефіцієнт запасу стійкості

Отже, для розрахунку пружних систем необхідно вміти визначати величину критичної сили Ркр. Якщо мати на увазі що зусилля Р прикладено до стійки викликає лише малі відхилення від прямолінійної форми стійки завдовжки ι то його можна визначити з рівняння

де: E – модуль пружності;
J_min - мінімальний момент інерції перерізу;
M(z) - згинальний момент, рівний M(z) = -P ω;
ω – величина відхилення від прямолінійної форми стійки;
Вирішуючи це диференціальне рівняння

А і постійні інтегрування, визначаються за граничними умовами.
Зробивши певні дії та підстановки отримаємо кінцевий вираз для критичної сили Р

Найменше значення критичної сили буде за n = 1 (ціле число) і

Рівняння пружної лінії стійки матиме вигляд:

де: z - Текуча ордината, при максимальному значенні z = l;
Допустиме вираз для критичної сили називається формулою Л. Ейлера. Видно, що величина критичної сили залежить від жорсткості стійки EJ min прямо пропорційно і від довжини стійки l назад пропорційно.
Як було сказано, стійкість пружної стійки залежить від способу її закріплення.
Рекомендована величина запасу міцності для сталевих стійок дорівнює
n y =1,5÷3,0; для дерев'яних n y =2,5÷3,5; для чавунних n y =4,5÷5,5
Для обліку способу закріплення кінців стійки вводиться коефіцієнт кінців наведеної гнучкості стійки.

де: μ - коефіцієнт наведеної довжини (Таблиця);
i min – найменший радіус інерції поперечного перерізу стійки (таблиця);
- довжина стійки;
Вводитиметься коефіцієнт критичного навантаження:

, (Таблиця);
Таким чином, при розрахунку поперечного перерізу стійки необхідно враховувати коефіцієнти μ та ϑ величина яких залежить від способу закріплення кінців стійки та наведена в таблицях довідника по сопромату (Г.С. Писаренко та С.П.Фесік)
Наведемо приклад розрахунку критичної сили для стрижня суцільного перерізу прямокутної форми - 6×1 см., Довжина стрижня ι = 2м. Закріплення кінців за схемою ІІІ.
Розрахунок:
За таблицею знаходимо коефіцієнт ϑ = 9,97, μ = 1. Момент інерції перерізу буде:

а критичне напруження буде:

Очевидно, що критична сила Р кр =247 кгс викличе у стрижні напругу всього 41кгс/см 2 , що значно менше межі проточності (1600кгс/см 2), проте ця сила викличе викривлення стрижня, а значить втрату стійкості.
Розглянемо інший приклад розрахунку дерев'яної стійки круглого перерізу защемленої в нижньому кінці та шарнірно закріпленої на верхньому (С.П. Фесік). Довжина стійки 4м, сила стиснення N = 6тс. Допустима напруга [σ]=100кгс/см 2 . Приймаємо коефіцієнт зниження напруги, що допускається, на стиск φ=0.5. Обчислюємо площу перерізу стійки:

Визначаємо діаметр стійки:

Момент інерції перерізу

Обчислюємо гнучкість стійки:
де: μ=0.7, виходячи зі способу затискання кінців стійки;
Визначаємо напругу у стійці:

Очевидно, що напруга у стійці становить 100кгс/см 2 і вона дорівнює допустимій напрузі [σ]=100кгс/см 2
Розглянемо третій приклад розрахунку сталевої стійки з двотаврового профілю, довжиною 1.5м, сила стиснення 50тс, напруга, що допускається [σ]=1600кгс/см 2 . Нижній кінець стійки защемлений, а верхній вільний (І спосіб).
Для підбору перерізу використовуємо формулу і задаємося коефіцієнтом = 0.5, тоді:

Підбираємо із сортаменту двотавр №36 та його дані: F=61.9см 2 , i min =2.89см.
Визначаємо гнучкість стійки:

де: з таблиці, рівне 2, враховуючи спосіб защемлення стійки;
Розрахункова напруга у стійці буде:

5кгс, що приблизно рівно допустимому напрузі, і на 0.97% більше, що допустимо в інженерних розрахунках.
Поперечний переріз стрижнів працюючих на стиск буде раціональним при найбільшому радіусі інерції. При розрахунку питомого радіусу інерції
найбільш оптимальним є трубчасті перерізи, тонкостінні; для яких величина ξ=1÷2.25, а для суцільних або прокатних профілів ξ=0.204÷0.5

Висновки
При розрахунку на міцність і стійкість стійок колон необхідно враховувати спосіб закріплення кінців стійок, застосовувати рекомендований запас міцності.
Значення критичної сили одержано з диференціального рівняння вигнутої осьової лінії стійки (Л. Ейлера).
Для обліку всіх факторів, що характеризують навантажену стійку, введено поняття гнучкості стійки - λ, коефіцієнт провиденої довжини - μ, коефіцієнт зниження напруги - ϕ, коефіцієнт критичного навантаження - ϑ. Їх значення беруть із таблиць довідників (Г.С.Писарентко та С.П.Фесік).
Наведено приблизні розрахунки стійок, визначення критичної сили - Ркр, критичного напруги - σкр, діаметра стійок - d, гнучкості стійок - λ та інші характеристики.
Оптимальним перетином для стійок і колон є трубчасті тонкостінні профілю з однаковими головними моментами інерції.

Використовувана література:
Г.С Писаренко «Довідник із опору матеріалів».
С.П.Фесік «Довідник з опору матеріалів».
В.І. Анур'єв «Довідник конструктора-машинобудівника».
СНиП II-6-74 «Навантаження та впливи, норми проектування».