C2 trigonometrické identity. Základné goniometrické identity: ich formulácie a odvodenie. Univerzálne trigonometrické substitučné vzorce

Trigonometrické identity sú rovnosti, ktoré vytvárajú vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangensom a kotangensom jedného uhla, čo vám umožňuje nájsť ktorúkoľvek z týchto funkcií za predpokladu, že je známa akákoľvek iná.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Táto identita hovorí, že súčet druhej mocniny sínusu jedného uhla a druhej mocniny kosínusu jedného uhla sa rovná jednej, čo v praxi umožňuje vypočítať sínus jedného uhla, keď je známy jeho kosínus a naopak. .

Pri prevode goniometrických výrazov sa veľmi často používa táto identita, ktorá umožňuje nahradiť súčet druhých mocnín kosínusu a sínusu jedného uhla jednotkou a tiež vykonať operáciu nahradenia v opačné poradie.

Hľadanie tangens a kotangens cez sínus a kosínus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Tieto identity sú tvorené definíciami sínus, kosínus, tangens a kotangens. Koniec koncov, ak sa pozriete, potom podľa definície je ordináta y sínus a osa x je kosínus. Potom sa dotyčnica bude rovnať pomeru \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) a pomer \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bude kotangens.

Dodávame, že iba pre také uhly \alpha, pre ktoré majú trigonometrické funkcie v nich zahrnuté zmysel, sa identity uskutočnia, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Napríklad: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) platí pre \alpha uhly, ktoré sa líšia od \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pre uhol \alpha iný ako \pi z je z celé číslo.

Vzťah medzi tangentom a kotangensom

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Táto identita je platná len pre uhly \alpha, ktoré sú odlišné od \frac(\pi)(2) z. V opačnom prípade sa kotangens alebo tangenta neurčia.

Na základe vyššie uvedených bodov sme to dostali tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Z toho teda vyplýva tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tangenta a kotangens jedného uhla, pri ktorých dávajú zmysel, sú teda vzájomne recipročné čísla.

Vzťahy medzi tangensom a kosínusom, kotangensom a sínusom

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- súčet druhej mocniny tangens uhla \alpha a 1 sa rovná prevrátenej druhej mocnine kosínusu tohto uhla. Táto identita je platná pre všetky \alpha okrem \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- súčet 1 a druhej mocniny kotangens uhla \alpha sa rovná prevrátenej druhej mocnine sínusu daného uhla. Táto identita je platná pre všetky \alpha iné ako \pi z .

Príklady s riešením problémov pomocou goniometrických identít

Príklad 1

Nájdite \sin \alpha a tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 a \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Zobraziť riešenie

Riešenie

Funkcie \sin \alpha a \cos \alpha sú spojené vzorcom \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Nahradenie do tohto vzorca \cos \alpha = -\frac12, dostaneme:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Táto rovnica má 2 riešenia:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Podľa podmienok \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V druhom štvrťroku je sínus kladný, takže \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Na nájdenie tg \alpha použijeme vzorec tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Príklad 2

Nájdite \cos \alpha a ctg \alpha, ak a \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Zobraziť riešenie

Riešenie

Dosadzovanie do vzorca \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 podmienené číslo \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dostaneme \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Táto rovnica má dve riešenia \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Podľa podmienok \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V druhom štvrťroku je kosínus záporný, takže \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Aby sme našli ctg \alpha , použijeme vzorec ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Zodpovedajúce hodnoty poznáme.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Príklady identity:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

Ale výraz \(\frac(x^2)(x)=x\) je identitou iba za podmienky \(x≠0\) (inak ľavá strana neexistuje).

Ako preukázať totožnosť?

Recept je šialene jednoduchý:

Na preukázanie totožnosti je potrebné preukázať, že jeho pravá a ľavá časť sú rovnocenné, t.j. zredukovať na tvar „výraz“ = „rovnaký výraz“.

Napríklad,

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

Ak to chcete urobiť, môžete:

1. Preveďte iba pravú stranu alebo iba ľavú stranu.
2. Preveďte obe časti súčasne.
3. Použite akékoľvek platné matematické transformácie (napríklad uveďte podobné; otvorte zátvorky; preneste pojmy z jednej časti do druhej zmenou znamienka; vynásobte alebo vydeľte ľavé a pravá strana na rovnaké číslo alebo výraz, ktorý sa nerovná nule atď.).
4. Použite akékoľvek matematické vzorce.

Práve štvrtý bod sa pri preukazovaní totožnosti používa najčastejšie, teda všetko, čo potrebujete vedieť, zapamätať si a vedieť použiť.

Príklad . Dokážte trigonometrickú identitu \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos(x)\)
Riešenie :

Príklad . Dokážte, že výraz \(\frac (\cos^2(t))(1-\sin⁡(t))\)\(-\sin(⁡t)=1\) je identita.
Riešenie :

Príklad . Dokážte goniometrickú identitu \(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)
Riešenie :

\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)		Tu budeme transformovať iba pravú stranu a pokúsime sa ju zmenšiť na ľavú. Ľavú necháme nezmenenú. Pamätáme si.
\(1-tg^2 t=\)		Teraz urobme rozdelenie po členoch zlomkom (t. j. platí v opačnom smere): \(\frac(a+c)(b)\) \(=\) \(\frac(a)(b )\) \( +\)\(\frac(c)(b)\)
\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(-\)\(\frac(\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)		Zrušíme prvý zlomok na pravej strane a použijeme na druhý: \(\frac(a^n)(b^n)\) \(=\)\((\frac(a)(b))^ n\).
\(1-tg^2 t=1-\) \((\frac(\sin⁡t)(\cos⁡t))^2\)		No, sínus delený kosínusom sa rovná rovnakému uhlu: \(\frac(\sin⁡x)(\cos⁡x)\) \(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)

Príklad . Dokážte goniometrickú identitu \(=ctg(π+t)-1\)
Riešenie :

\(\frac(\cos⁡2t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg(π+t)-1\)		Tu transformujeme obe časti: - vľavo: transformujeme \(\cos⁡2t\) podľa vzorca dvojitého uhla; - a vpravo \(ctg(π+t)\) pomocou .
\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		Teraz pracujeme len s ľavou stranou. V čitateli použijeme , v menovateli použijeme sínus v zátvorke.
\(\frac((\cos⁡t-\sin(t))(\cos⁡t+\sin(t)))(\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡(t)))\)\(=ctg\:t-1\)		Zmenšiť zlomok o \(\cos(⁡t)+\sin(⁡t)\).
\(\frac(\cos⁡t-\sin(t))(\sin⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		Zlomkový člen rozdeľujeme na člen a meníme ho na dva samostatné zlomky.
\(\frac(\cos⁡t)(\sin(t))-\frac(\sin(t))(\sin(t))\)\(=ctg\:t-1\)		Prvý zlomok je a druhý sa rovná jednej.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		Ľavá strana sa rovná pravej strane, totožnosť je preukázaná.

Ako vidíte, všetko je celkom jednoduché, ale musíte poznať všetky vzorce a vlastnosti.

Ako preukázať základnú goniometrickú identitu

Dva jednoduchými spôsobmi vypíšte vzorec \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Stačí poznať Pytagorovu vetu a definíciu sínusu a kosínusu.

Odpovede na často kladené otázky:

otázka: Ako určiť, čo treba v identite premeniť – ľavú stranu, pravú stranu alebo oboje spolu?
odpoveď: Nie je v tom žiadny rozdiel - v každom prípade získate rovnaký výsledok. Napríklad v treťom príklade by sme mohli ľahko získať z ľavej strany \(1-tg^2 t\) pravú \(\frac(cos⁡2t)(cos^2⁡t)\)(skúste to urobiť sami). Alebo premeňte oboch, aby sa „stretli v strede“, niekde v okolí \(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(=\)\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\). Preto sa môžete ukázať akýmkoľvek spôsobom, ktorý vám vyhovuje. Nech už vidíte akúkoľvek cestu, nasledujte ju. Hlavná vec je transformovať sa „legálne“, to znamená pochopiť, na základe akej vlastnosti, pravidla alebo vzorca robíte ďalšiu transformáciu.

Jednoducho povedané, ide o zeleninu varenú vo vode podľa špeciálnej receptúry. Zvážim dve počiatočné zložky (zeleninový šalát a vodu) a konečný výsledok - boršč. Geometricky to môže byť znázornené ako obdĺžnik, v ktorom jedna strana označuje šalát a druhá strana vodu. Súčet týchto dvoch strán bude označovať boršč. Uhlopriečka a plocha takéhoto obdĺžnika „boršč“ sú čisto matematické pojmy a nikdy sa nepoužívajú v receptoch na boršč.

Ako sa z matematického hľadiska zmení šalát a voda na boršč? Ako sa môže súčet dvoch segmentov zmeniť na trigonometriu? Aby sme to pochopili, potrebujeme funkcie lineárnych uhlov.

V učebniciach matematiky nenájdete nič o lineárnych uhlových funkciách. Ale bez nich nemôže existovať matematika. Zákony matematiky, rovnako ako zákony prírody, fungujú, či už vieme, že existujú alebo nie.

Lineárne uhlové funkcie sú zákony sčítania. Pozrite sa, ako sa algebra mení na geometriu a geometria na trigonometriu.

Je možné sa zaobísť bez lineárnych uhlových funkcií? Môžete, pretože matematici sa zaobídu aj bez nich. Trik matematikov spočíva v tom, že nám vždy hovoria len o tých problémoch, ktoré sami vedia vyriešiť, a nikdy nám nehovoria o problémoch, ktoré nevedia vyriešiť. Pozri. Ak poznáme výsledok sčítania a jedného člena, pomocou odčítania nájdeme druhý člen. Všetko. Iné problémy nepoznáme a nie sme schopní ich riešiť. Čo robiť, ak poznáme len výsledok sčítania a nepoznáme oba pojmy? V tomto prípade je potrebné výsledok sčítania rozložiť na dva členy pomocou lineárnych uhlových funkcií. Ďalej si sami vyberáme, čo môže byť jeden člen, a lineárne uhlové funkcie ukazujú, aký by mal byť druhý člen, aby bol výsledok sčítania presne taký, aký potrebujeme. Takýchto dvojíc výrazov môže byť nekonečné množstvo. V bežnom živote nám to ide veľmi dobre bez rozkladu súčtu, stačí nám odčítanie. Ale pri vedecký výskum prírodnými zákonmi môže byť rozklad súčtu na pojmy veľmi užitočné.

Ďalší zákon sčítania, o ktorom matematici neradi hovoria (ďalší ich trik), vyžaduje, aby výrazy mali rovnakú mernú jednotku. Pre šalát, vodu a boršč to môžu byť jednotky hmotnosti, objemu, ceny alebo mernej jednotky.

Obrázok ukazuje dve úrovne rozdielu pre matematiku. Prvou úrovňou sú rozdiely v poli čísel, ktoré sú uvedené a, b, c. Toto robia matematici. Druhou úrovňou sú rozdiely v oblasti meracích jednotiek, ktoré sú uvedené v hranatých zátvorkách a sú označené písmenom U. Toto robia fyzici. Môžeme chápať tretiu rovinu – rozdiely v rozsahu popisovaných objektov. Rôzne objekty môžu mať rovnaký počet rovnakých merných jednotiek. Aké dôležité to je, môžeme vidieť na príklade borščovej trigonometrie. Ak k rovnakému zápisu pre merné jednotky rôznych objektov pridáme dolné indexy, môžeme presne povedať, aká matematická veličina opisuje konkrétny objekt a ako sa mení v čase alebo v súvislosti s našimi činmi. list W Vodu označím písmenom SŠalát označím písmenom B- boršč. Tu je návod, ako by vyzerali funkcie lineárneho uhla pre boršč.

Ak zoberieme časť vody a časť šalátu, razom sa premenia na jednu porciu boršču. Tu vám navrhujem, aby ste si trochu oddýchli od boršču a zaspomínali si na svoje vzdialené detstvo. Pamätáte si, ako nás učili spájať zajačiky a kačice? Bolo potrebné zistiť, koľko zvierat sa ukáže. Čo nás potom naučili robiť? Naučili nás oddeľovať jednotky od čísel a sčítať čísla. Áno, k akémukoľvek inému číslu je možné pridať akékoľvek číslo. Toto je priama cesta k autizmu modernej matematiky – nerozumieme čomu, nie je jasné prečo a veľmi zle chápeme, ako to súvisí s realitou, pretože matematici fungujú len na jednej úrovni. Bude správnejšie naučiť sa prechádzať z jednej meracej jednotky do druhej.

A zajačiky, kačice a malé zvieratká sa dajú spočítať na kusy. Jedna spoločná jednotka merania pre rôzne objekty nám umožňuje ich sčítanie. to detská verziaúlohy. Pozrime sa na podobný problém pre dospelých. Čo získate, keď pridáte zajačikov a peniaze? Tu sú dve možné riešenia.

Prvá možnosť. Určíme trhovú hodnotu zajačikov a pripočítame ju k dostupnej hotovosti. Máme Celkové náklady naše bohatstvo v peniazoch.

Druhá možnosť. Môžete pridať počet zajačikov s počtom, ktorý máme bankovky. Množstvo hnuteľného majetku dostaneme na kusy.

Ako vidíte, rovnaký zákon sčítania vám umožňuje získať rôzne výsledky. Všetko závisí od toho, čo presne chceme vedieť.

Ale späť k nášmu boršču. Teraz môžeme vidieť, čo sa stane, keď rôzne významy uhol lineárnych uhlových funkcií.

Uhol je nulový. Máme šalát, ale bez vody. Nemôžeme variť boršč. Množstvo boršču je tiež nulové. To vôbec neznamená, že nulový boršč sa rovná nule vody. Nulový boršč môže byť aj pri nulovom šaláte (pravom uhle).

Pre mňa osobne je to hlavný matematický dôkaz toho, že . Nula po pridaní číslo nezmení. Je to preto, že samotné sčítanie je nemožné, ak existuje iba jeden výraz a druhý výraz chýba. Môžete sa k tomu vzťahovať ako chcete, ale pamätajte – všetky matematické operácie s nulou vymysleli samotní matematici, takže zahoďte logiku a hlúpo napchajte definície vymyslené matematikmi: „delenie nulou je nemožné“, „akékoľvek číslo vynásobené nulou“ rovná sa nule“ , „za bodom nula“ a iné nezmysly. Stačí si raz zapamätať, že nula nie je číslo, a už nikdy nebudete mať otázku, či je nula prirodzené číslo alebo nie, pretože takáto otázka vo všeobecnosti stráca zmysel: ako možno považovať číslo za číslo, ktoré nie je číslo? . Je to ako pýtať sa, akej farbe pripísať neviditeľnú farbu. Pridanie nuly k číslu je ako maľovanie farbou, ktorá neexistuje. Zamávali suchým štetcom a všetkým povedali, že „máme natreté“. Ale to som trochu odbočil.

Uhol je väčší ako nula, ale menší ako štyridsaťpäť stupňov. Máme veľa šalátu, ale málo vody. V dôsledku toho získame hustý boršč.

Uhol je štyridsaťpäť stupňov. Máme rovnaké množstvo vody a šalátu. Toto je perfektný boršč (nech mi kuchárky odpustia, je to len matematika).

Uhol je väčší ako štyridsaťpäť stupňov, ale menší ako deväťdesiat stupňov. Máme veľa vody a málo šalátu. Získajte tekutý boršč.

Pravý uhol. Máme vodu. Na šalát ostali len spomienky, keďže pokračujeme v meraní uhla od čiary, ktorá kedysi šalát označovala. Nemôžeme variť boršč. Množstvo boršču je nulové. V takom prípade vydržte a pite vodu, kým je k dispozícii)))

Tu. Niečo také. Môžem tu rozprávať ďalšie príbehy, ktoré tu budú viac než vhodné.

Dvaja priatelia mali svoje podiely v spoločnom obchode. Po vražde jedného z nich prešlo všetko k druhému.

Vznik matematiky na našej planéte.

Všetky tieto príbehy sú rozprávané jazykom matematiky pomocou lineárnych uhlových funkcií. Inokedy vám ukážem skutočné miesto týchto funkcií v štruktúre matematiky. Medzitým sa vráťme k trigonometrii boršču a zvážme projekcie.

Sobota 26. októbra 2019

Streda 7. augusta 2019

Na záver rozhovoru o , musíme zvážiť nekonečnú množinu. Z toho vyplýva, že pojem „nekonečno“ pôsobí na matematikov ako boa constrictor na králika. Chvejúca sa hrôza z nekonečna pripravuje matematikov o zdravý rozum. Tu je príklad:

Pôvodný zdroj sa nachádza. Alfa označuje reálne číslo. Znamienko rovnosti vo vyššie uvedených výrazoch znamená, že ak k nekonečnu pridáte číslo alebo nekonečno, nič sa nezmení, výsledkom bude rovnaké nekonečno. Ak vezmeme ako príklad nekonečnú množinu prirodzených čísel, uvažované príklady možno znázorniť takto:

Aby matematici vizuálne dokázali svoj prípad, prišli s mnohými rôznymi metódami. Osobne sa na všetky tieto metódy pozerám ako na tance šamanov s tamburínami. V podstate všetci prídu na to, že buď nie sú niektoré izby obsadené a usadia sa v nich noví hostia, alebo časť návštevníkov vyhodí na chodbu, aby uvoľnili miesto pre hostí (veľmi ľudsky). Svoj pohľad na takéto rozhodnutia som prezentovala formou fantastického príbehu o Blondínke. Na čom je založená moja úvaha? Presun nekonečného počtu návštevníkov trvá nekonečne dlho. Po tom, ako uvoľníme prvú hosťovskú izbu, bude vždy jeden z návštevníkov chodiť po chodbe zo svojej izby do ďalšej až do konca času. Časový faktor sa samozrejme dá hlúpo ignorovať, ale toto už bude z kategórie „zákon nie je písaný pre hlupákov“. Všetko závisí od toho, čo robíme: prispôsobujeme realitu matematickým teóriám alebo naopak.

Čo je to „nekonečný hotel“? Infinity inn je hostinec, ktorý má vždy ľubovoľný počet voľných miest, bez ohľadu na to, koľko izieb je obsadených. Ak sú všetky izby v nekonečnej chodbe „pre návštevy“ obsadené, je tu ďalšia nekonečná chodba s izbami pre „hostí“. Takýchto chodieb bude nekonečne veľa. Zároveň má „nekonečný hotel“ nekonečný počet poschodí v nekonečnom množstve budov na nekonečnom počte planét v nekonečnom množstve vesmírov vytvorených nekonečným počtom Bohov. Na druhej strane matematici sa nedokážu vzdialiť od banálnych každodenných problémov: Boh-Alah-Budha je vždy len jeden, hotel je jeden, chodba je len jedna. Matematici sa teda pokúšajú žonglovať s poradovými číslami hotelových izieb a presviedčajú nás, že je možné „strčiť do nešťastia“.

Logiku môjho uvažovania vám predvediem na príklade nekonečnej množiny prirodzených čísel. Najprv musíte odpovedať na veľmi jednoduchú otázku: koľko množín prirodzených čísel existuje - jedna alebo veľa? Na túto otázku neexistuje správna odpoveď, keďže sme sami vymysleli čísla, v prírode žiadne čísla nie sú. Áno, príroda vie perfektne počítať, ale na to používa iné matematické nástroje, ktoré nám nie sú známe. Ako si príroda myslí, to vám poviem inokedy. Keďže sme vymysleli čísla, sami rozhodneme, koľko množín prirodzených čísel existuje. Zvážte obe možnosti, ako sa na skutočného vedca patrí.

Možnosť jedna. „Dajme nám“ jednu množinu prirodzených čísel, ktorá pokojne leží na poličke. Berieme túto sadu z police. To je všetko, na poličke nezostali žiadne ďalšie prirodzené čísla a nie je ich ani kde vziať. Do tejto sady nemôžeme pridať jeden, pretože ho už máme. Čo ak naozaj chcete? Žiaden problém. Môžeme zobrať jednotku z už odobratej sady a vrátiť ju do police. Potom môžeme z police vybrať jednotku a pridať ju k tomu, čo nám zostalo. Výsledkom je, že opäť dostaneme nekonečnú množinu prirodzených čísel. Všetky naše manipulácie môžete napísať takto:

Zapísal som operácie v algebraickom zápise a zápise teórie množín s podrobným zoznamom prvkov množiny. Dolný index naznačuje, že máme jednu a jedinú množinu prirodzených čísel. Ukazuje sa, že množina prirodzených čísel zostane nezmenená iba vtedy, ak sa od nej jedno odčíta a rovnaké sa pridá.

Možnosť dva. Na poličke máme veľa rôznych nekonečných množín prirodzených čísel. Zdôrazňujem – INÉ, napriek tomu, že sú prakticky na nerozoznanie. Berieme jednu z týchto sád. Potom vezmeme jedno z inej množiny prirodzených čísel a pridáme ho k množine, ktorú sme už zobrali. Môžeme dokonca sčítať dve sady prirodzených čísel. Tu je to, čo získame:

Dolné indexy „jeden“ a „dva“ označujú, že tieto prvky patrili do rôznych súborov. Áno, ak pridáte jednu do nekonečnej množiny, výsledkom bude tiež nekonečná množina, ale nebude rovnaká ako pôvodná množina. Ak sa k jednej nekonečnej množine pridá ďalšia nekonečná množina, výsledkom je nová nekonečná množina pozostávajúca z prvkov prvých dvoch množín.

Množina prirodzených čísel sa používa na počítanie rovnako ako pravítko na meranie. Teraz si predstavte, že ste pridali jeden centimeter na pravítko. Toto už bude iný riadok, ktorý sa nebude rovnať pôvodnému.

Môžete prijať alebo neprijať moje odôvodnenie - je to vaša vec. Ale ak niekedy narazíte na matematické problémy, zvážte, či nie ste na ceste falošného uvažovania, šliapaného generáciami matematikov. Hodiny matematiky v nás totiž v prvom rade vytvárajú ustálený stereotyp myslenia a až potom nám pridávajú rozumové schopnosti (alebo naopak oberajú o slobodné myslenie).

pozg.ru

Nedeľa 4. augusta 2019

Písal som dodatok k článku o a videl som tento úžasný text na Wikipédii:

Čítame: „... bohatý teoretické pozadie Babylonská matematika nemala holistický charakter a bola zredukovaná na súbor rôznych techník, bez spoločného systému a dôkazovej základne.

Wow! Akí sme šikovní a ako dobre vieme vidieť nedostatky druhých. Je pre nás slabé pozerať sa na modernú matematiku v rovnakom kontexte? Mierne parafrázujúc vyššie uvedený text, osobne som dostal nasledovné:

Bohatý teoretický základ modernej matematiky nemá holistický charakter a je redukovaný na súbor nesúrodých sekcií, bez spoločného systému a dôkazovej základne.

Nebudem chodiť ďaleko, aby som potvrdil svoje slová - má jazyk a symboly, ktoré sa líšia od jazyka a symbolov mnoho ďalších odvetví matematiky. Rovnaké názvy v rôznych odvetviach matematiky môžu mať rôzny význam. Najzrejmejším omylom modernej matematiky chcem venovať celý cyklus publikácií. Do skorého videnia.

Sobota 3. augusta 2019

Ako rozdeliť množinu na podmnožiny? Ak to chcete urobiť, musíte zadať novú mernú jednotku, ktorá sa nachádza v niektorých prvkoch vybranej sady. Zvážte príklad.

Nech máme veľa ALE pozostávajúci zo štyroch ľudí. Tento súbor je tvorený na základe "ľudí" Označme prvky tohto súboru prostredníctvom písmena a, dolný index s číslom bude označovať poradové číslo každej osoby v tomto súbore. Predstavme si novú mernú jednotku „sexuálna charakteristika“ a označme ju písmenom b. Keďže sexuálne vlastnosti sú vlastné všetkým ľuďom, znásobujeme každý prvok súboru ALE o pohlaví b. Všimnite si, že naša množina „ľudia“ sa teraz stala množinou „ľudia s pohlavím“. Potom môžeme rozdeliť pohlavné znaky na mužské bm a dámske bw rodové charakteristiky. Teraz môžeme použiť matematický filter: vyberieme jednu z týchto sexuálnych charakteristík, nezáleží na tom, ktorá je mužská alebo ženská. Ak je v človeku prítomný, tak ho vynásobíme jednou, ak taký znak neexistuje, vynásobíme ho nulou. A potom aplikujeme obvyklú školskú matematiku. Pozrite sa, čo sa stalo.

Po vynásobení, redukciách a preskupeniach sme dostali dve podmnožiny: mužskú podmnožinu bm a podskupina žien bw. Približne rovnakým spôsobom uvažujú matematici, keď aplikujú teóriu množín v praxi. Ale nepúšťajú nás do detailov, ale dávajú nám konečný výsledok – „veľa ľudí pozostáva z podskupiny mužov a podskupiny žien“. Prirodzene, môžete mať otázku, ako správne aplikovať matematiku vo vyššie uvedených transformáciách? Dovolím si vás ubezpečiť, že v skutočnosti sú transformácie urobené správne, stačí poznať matematické opodstatnenie aritmetiky, Booleovej algebry a iných úsekov matematiky. Čo to je? Inokedy vám o tom poviem.

Čo sa týka nadmnožín, je možné spojiť dve sady do jednej nadmnožiny výberom mernej jednotky, ktorá je prítomná v prvkoch týchto dvoch sád.

Ako vidíte, jednotky merania a bežná matematika robia z teórie množín minulosť. Znakom toho, že s teóriou množín nie je všetko v poriadku, je to, že matematici prišli s vlastným jazykom a notáciou pre teóriu množín. Matematici robili to, čo kedysi robili šamani. Len šamani vedia „správne“ uplatniť svoje „vedomosti“. Tieto „vedomosti“ nás učia.

Nakoniec vám chcem ukázať, ako matematici manipulujú .

Pondelok 7. januára 2019

V piatom storočí pred Kristom sformuloval staroveký grécky filozof Zenón z Elea svoje slávne apórie, z ktorých najznámejšia je apória „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:

Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas doby, počas ktorej Achilles prebehne túto vzdialenosť, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vo vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.

Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzického hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomalí až úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží s konštantná rýchlosť. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, prebehne Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme ešte študovať, prehodnotiť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp v každom okamihu spočíva na rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z toho istého bodu v rôznych časových okamihoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov v priestore súčasne, ale nemôžete z nich určiť skutočnosť pohybu (prirodzene stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria). Chcem poukázať najmä na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú dve rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.
Postup ukážem na príklade. Vyberáme "červenú tuhú látku v pupienku" - to je náš "celok". Zároveň vidíme, že tieto veci sú s mašľou a sú bez mašle. Potom z "celku" vyberieme časť a zostavíme "s mašličkou". Takto sa šamani živia spájaním svojej teórie množín s realitou.

Teraz urobme malý trik. Zoberme si "pevné v pupienke s lukom" a zjednoťme tieto "celé" podľa farby, pričom vyberieme červené prvky. Dostali sme veľa „červenej“. Teraz záludná otázka: sú prijaté súpravy „s mašľou“ a „červenou“ tou istou súpravou alebo dvoma rôznymi súpravami? Odpoveď poznajú len šamani. Presnejšie, oni sami nič nevedia, ale ako sa hovorí, tak je.

Tento jednoduchý príklad ukazuje, že teória množín je úplne zbytočná, pokiaľ ide o realitu. Aké je to tajomstvo? Vytvorili sme sadu "červený pevný pupienok s mašľou". Formovanie prebiehalo podľa štyroch rôznych merných jednotiek: farba (červená), sila (plná), drsnosť (v hrboľke), ozdoby (s mašličkou). Iba súbor meracích jednotiek umožňuje adekvátne opísať skutočné objekty v jazyku matematiky. Takto to vyzerá.

Písmeno "a" s rôznymi indexmi označuje rôzne jednotky merania. V zátvorkách sú zvýraznené merné jednotky, podľa ktorých je „celok“ priradený v prípravnom štádiu. Jednotka merania, podľa ktorej je zostava vytvorená, sa vyberie zo zátvoriek. Posledný riadok zobrazuje konečný výsledok - prvok sady. Ako vidíte, ak použijeme jednotky na vytvorenie množiny, potom výsledok nezávisí od poradia našich akcií. A toto je matematika a nie tance šamanov s tamburínami. Šamani môžu „intuitívne“ dospieť k rovnakému výsledku, argumentujúc „samozrejmosťou“, pretože merné jednotky nie sú zahrnuté v ich „vedeckom“ arzenáli.

Pomocou meracích jednotiek je veľmi jednoduché rozbiť jednu alebo spojiť niekoľko sád do jednej nadmnožiny. Pozrime sa bližšie na algebru tohto procesu.

Základná trigonometrická identita.

Pre ľubovoľný uhol α platí rovnosť sin^2 α + cos^2 α = 1, čo sa nazýva základná goniometrická identita.

Dôkaz.

Sčítacie vzorce.

Pre všetky uhly α a β platia rovnosti:

Na získanie tohto vzorca uvažujme jednotkový trigonometrický kruh s dvoma polomerovými vektormi OA a OB zodpovedajúcimi uhlom α a β. Podľa definície goniometrických funkcií súradnice vektorov: OA (cos α, sin α) a OB (cos β, sin β). Vypočítajme skalárny súčin týchto vektorov: OA × OB = |OA| × |OB| × cos (α + β) = cos(α+β) Vypočítajte skalárny súčin vektorov z hľadiska súradníc: OA × OB = cos α cos β – sin α sin β. Takže sa získa požadovaný vzorec: cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β Ak chcete získať tento vzorec, musíte nahradiť predchádzajúci vzorec β na –β .

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Tento vzorec sa získa použitím redukčných vzorcov v predchádzajúcom vzorci.

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β Tento vzorec sa získa nahradením β na –β v predchádzajúcom vzorci.

Pre ľubovoľné uhly α a β také, že α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α + β ≠ π/2 + πm (k, n, m patria do množiny Z), platí:

Pre ľubovoľné uhly α a β také, že α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α – β ≠ π/2 + πm (k, n, m patria do množiny Z), platí:

Pre ľubovoľné uhly α a β také, že α ≠ πk, β ≠ πn, α + β ≠ πm (k, n, m patria do množiny Z), platí:

Pre ľubovoľné uhly α a β také, že α ≠ πk, β ≠ πn, α – β ≠ πm (k, n, m patria do množiny Z), platí:

Odlievacie vzorce.

Ak vyčleníme roh z vertikálna os, kôň povie „áno“ (kývnutím hlavy pozdĺž osi OY) a zníženou funkciou zmení svoj názov: sínus na kosínus, kosínus na sínus, dotyčnica na kotangens, kotangens na dotyčnicu.

Ak vyčleníme roh z horizontálna os, kôň povie „nie“ (kývnutím hlavy pozdĺž osi OX) a znížená funkcia nemení svoj názov.

Znamienko pravej strany rovnosti sa zhoduje so znamienkom redukovateľnej funkcie na ľavej strane rovnosti.

1. štvrťrok: sin:+ cos:+ tg, ctg:+
2. štvrťrok: sin:+ cos:- tg, ctg:-
3. štvrťrok: sin:- cos:- tg, ctg: +
4. štvrťrok: sin:- cos:+ tg, ctg:-

Goniometrické vzorce dvojitého uhla, klesajúceho stupňa a polovičného argumentu.

Vzorce s dvojitým uhlom

• cos 2α = cos² α - sin² α
• cos2α = 2cos²α - 1
• cos 2α = 1 - 2 sin² α
• sin2α = 2sinα cosα
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Prechod na nižšiu verziu

cos 2 t = 2 1+ cena 2 t; si n 2 t = 2 1 − náklady 2 t

Článok podrobne popisuje základné trigonometrické identity, ktoré vytvárajú vzťah medzi sin , cos , t g , c t g daného uhla. Ak je jedna funkcia známa, dá sa cez ňu nájsť iná.

Trigonometrické identity na zváženie v tomto článku. Nižšie uvádzame príklad ich odvodenia s vysvetlením.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 s

Hovorme o dôležitej trigonometrickej identite, ktorá sa považuje za základ základov v trigonometrii.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Dané rovnosti t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α sú odvodené od hlavnej vydelením oboch častí sin 2 α a cos 2 α. Potom dostaneme t g α \u003d sin α cos α, c t g α \u003d cos α sin α a t g α · c t g α \u003d 1 - je to dôsledok definícií sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu.

Rovnosť sin 2 α + cos 2 α = 1 je hlavnou trigonometrickou identitou. Na dôkaz je potrebné obrátiť sa k téme s jednotkovým krúžkom.

Nech sú dané súradnice bodu A (1, 0), ktorý sa po otočení o uhol α stane bodom A 1 . Podľa definície bod sin a cos A 1 dostane súradnice (cos α , sin α) . Keďže A 1 je v jednotkovej kružnici, potom súradnice musia spĺňať podmienku x 2 + y 2 = 1 tejto kružnice. Výraz cos 2 α + sin 2 α = 1 musí platiť. K tomu je potrebné preukázať základnú trigonometrickú identitu pre všetky uhly natočenia α.

V trigonometrii sa výraz sin 2 α + cos 2 α = 1 používa ako Pytagorova veta v trigonometrii. Ak to chcete urobiť, zvážte podrobný dôkaz.

Pomocou jednotkovej kružnice otočíme bod A so súradnicami (1, 0) okolo stredového bodu O o uhol α. Po otočení bod zmení súradnice a stane sa rovným A 1 (x, y). Z bodu A 1 spustíme kolmicu A 1 H na O x.

Obrázok jasne ukazuje, že formácia správny trojuholník O A 1 N. Modulo nohy O A 1 H a O N sú rovnaké, zápis bude mať tento tvar: | A 1 H | = | v | , | O N | = | x | . Prepona O A 1 má hodnotu rovnajúcu sa polomeru jednotkovej kružnice, | O A 1 | = 1. Pomocou tohto výrazu môžeme zapísať rovnosť podľa Pytagorovej vety: | A 1 H | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. Túto rovnosť zapíšeme ako | y | 2 + | x | 2 = 1 2, čo znamená y2 + x 2 = 1.

Pomocou definície sin α = y a cos α = x dosadíme namiesto súradníc bodov údaje uhla a postupujeme k nerovnosti sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Hlavné spojenie medzi hriechom a cos uhla je možné prostredníctvom tejto trigonometrickej identity. Dá sa teda uvažovať o hriechu uhla so známym cos a naopak. Na tento účel je potrebné vyriešiť sin 2 α + cos 2 \u003d 1 vzhľadom na sin a cos, potom dostaneme vyjadrenia tvaru sin α \u003d ± 1 - cos 2 α a cos α \u003d ± 1 - sin 2 α, resp. Hodnota uhla α určuje znamienko pred koreňom výrazu. Pre podrobné vysvetlenie si musíte prečítať časť o výpočte sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pomocou trigonometrických vzorcov.

Najčastejšie sa hlavný vzorec používa na transformácie alebo zjednodušenia goniometrických výrazov. Súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu je možné nahradiť číslom 1 . Substitúcia identity môže byť v priamom aj opačnom poradí: jednotka je nahradená vyjadrením súčtu druhých mocnín sínusu a kosínusu.

Tangenta a kotangens cez sínus a kosínus

Z definície kosínusu a sínusu, dotyčnice a kotangensu je zrejmé, že sú navzájom prepojené, čo vám umožňuje samostatne previesť potrebné množstvá.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Z definície vyplýva, že sínus je ordináta y a kosínus je os x. Tangenta je pomer ordináty a úsečky. Máme teda:

t g α = y x = sin α cos α a výraz kotangens má opačný význam, tj.

c t g α = x y = cos α sin α .

Z toho vyplýva, že získané identity t g α = sin α cos α a c t g α = cos α sin α sú dané pomocou uhlov sin a cos. Tangent sa považuje za pomer sínusu ku kosínusu uhla medzi nimi a kotangens je naopak.

Všimnite si, že t g α = sin α cos α a c t g α = cos α sin α platia pre akýkoľvek uhol α, ktorého hodnoty sú v rozsahu. Zo vzorca t g α \u003d sin α cos α je hodnota uhla α odlišná od π 2 + π · z a c t g α \u003d cos α sin α nadobúda hodnotu uhla α odlišnú od π · z , z má hodnotu ľubovoľného celého čísla.

Vzťah medzi tangentom a kotangensom

Existuje vzorec, ktorý ukazuje vzťah medzi uhlami cez dotyčnicu a kotangens. Táto trigonometrická identita je dôležitá v trigonometrii a označuje sa ako t g α · c t g α = 1 . Má zmysel pre α s akoukoľvek inou hodnotou ako π 2 · z , inak budú funkcie nedefinované.

Vzorec t g α · c t g α = 1 má v dôkaze svoje zvláštnosti. Z definície máme, že t g α = y x a c t g α = x y , teda dostaneme t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Transformáciou výrazu a dosadením t g α = sin α cos α a c t g α = cos α sin α dostaneme t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .

Potom vyjadrenie tangens a kotangens dáva zmysel, keď skončíme pri vzájomne recipročných číslach.

Tangenta a kosínus, kotangens a sínus

Po transformácii základných identít dospejeme k záveru, že tangenta je spojená cez kosínus a kotangens cez sínus. Toto je možné vidieť zo vzorcov t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α.

Definícia znie takto: súčet druhej mocniny tangens uhla a 1 sa rovná zlomku, kde v čitateli máme 1 a v menovateli druhú mocninu kosínusu daného uhla a súčet štvorca kotangens uhla je naopak. Vďaka goniometrickej identite sin 2 α + cos 2 α = 1 môžete vydeliť zodpovedajúce strany cos 2 α a získať t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , kde hodnota cos 2 α by nemala byť nulová. Pri delení sin 2 α dostaneme identitu 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α, kde hodnota sin 2 α by sa nemala rovnať nule.

Z vyššie uvedených výrazov sme získali, že identita t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α platí pre všetky hodnoty uhla α, ktoré nepatria do π 2 + π z, a 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α pre hodnoty α, ktoré nepatria do intervalu π · z .

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter