Ako nájsť inverznú maticu 2 rádov. Inverzná matica. Nájdenie inverznej matice Gaussovým odstránením neznámych

Matica $A^(-1)$ sa nazýva inverzná k štvorcovej matici $A$, ak $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, kde $E $ je matica identity, ktorej poradie sa rovná poradiu matice $A$.

Nesingulárna matica je matica, ktorej determinant sa nerovná nule. Degenerovaná matica je teda taká, ktorej determinant sa rovná nule.

Inverzná matica $A^(-1)$ existuje vtedy a len vtedy, ak matica $A$ nie je jednotná. Ak existuje inverzná matica $A^(-1)$, potom je jedinečná.

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť inverznú hodnotu matice, a my sa pozrieme na dva z nich. Táto stránka sa bude zaoberať metódou adjoint matice, ktorá sa považuje za štandardnú vo väčšine vyšších kurzov matematiky. Druhý spôsob hľadania inverznej matice (metóda elementárnych transformácií), ktorý zahŕňa použitie Gaussovej metódy alebo Gaussovej-Jordanovej metódy, je uvažovaný v druhej časti.

Metóda adjoint (zjednotenia) matice

Nech je daná matica $A_(n\krát n)$. Na nájdenie inverznej matice $A^(-1)$ sú potrebné tri kroky:

Nájdite determinant matice $A$ a uistite sa, že $\Delta A\neq 0$, t.j. že matica A je nedegenerovaná.
Zložte algebraické doplnky $A_(ij)$ každého prvku matice $A$ a zapíšte maticu $A_(n\krát n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ z nájdeného algebraické doplnky.
Napíšte inverznú maticu berúc do úvahy vzorec $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matica $(A^(*))^T$ sa často označuje ako adjungovaná (vzájomná, spriaznená) matica $A$.

Ak sa rozhodnutie urobí manuálne, potom je prvá metóda dobrá iba pre matice relatívne malých objednávok: druhá (), tretia (), štvrtá (). Na nájdenie inverznej matice pre maticu vyššieho rádu sa používajú iné metódy. Napríklad Gaussova metóda, o ktorej je reč v druhej časti.

Príklad #1

Nájsť maticu inverznú k matici $A=\left(\begin(pole) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(pole) \vpravo)$.

Pretože všetky prvky štvrtého stĺpca sú rovné nule, potom $\Delta A=0$ (t.j. matica $A$ je degenerovaná). Pretože $\Delta A=0$, neexistuje žiadna inverzná matica k $A$.

Odpoveď: matica $A^(-1)$ neexistuje.

Príklad č. 2

Nájdite maticu inverznú k matici $A=\left(\begin(pole) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(pole)\right)$. Spustite kontrolu.

Používame metódu adjungovanej matice. Najprv nájdime determinant danej matice $A$:

$$ \Delta A=\vľavo| \začiatok(pole) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(pole)\vpravo|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Keďže $\Delta A \neq 0$, potom inverzná matica existuje, takže pokračujeme v riešení. Hľadanie algebraických doplnkov

\začiatok(zarovnané) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(zarovnané)

Zostavte maticu algebraických doplnkov: $A^(*)=\left(\begin(pole) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(pole)\right)$.

Transponujte výslednú maticu: $(A^(*))^T=\left(\begin(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(pole)\right)$ (výsledná matica sa často nazýva adjungovaná alebo zjednotená matica k matici $A$). Pomocou vzorca $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ máme:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(pole)\vpravo) =\left(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole)\right) $$

Takže sa nájde inverzná matica: $A^(-1)=\left(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(pole) \vpravo) $. Na overenie pravdivosti výsledku stačí skontrolovať pravdivosť jednej z rovníc: $A^(-1)\cdot A=E$ alebo $A\cdot A^(-1)=E$. Skontrolujme rovnosť $A^(-1)\cdot A=E$. Aby sme menej pracovali so zlomkami, nahradíme maticu $A^(-1)$ nie v tvare $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ koniec (pole)\vpravo)$, ale ako $-\frac(1)(103)\cdot \left(\začiatok(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ koniec(pole )\vpravo)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(pole) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( pole)\vpravo)\cdot\left(\začiatok(pole) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \koniec(pole)\vpravo) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(pole) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(pole)\right) =\left(\begin(pole) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(pole )\vpravo) =E $$

Odpoveď: $A^(-1)=\vľavo(\začiatok(pole) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \koniec(pole)\vpravo)$.

Príklad č. 3

Nájdite inverznú hodnotu matice $A=\left(\begin(pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(pole) \right)$. Spustite kontrolu.

Začnime výpočtom determinantu matice $A$. Takže determinant matice $A$ je:

$$ \Delta A=\vľavo| \začiatok(pole) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(pole) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Keďže $\Delta A\neq 0$, potom inverzná matica existuje, takže pokračujeme v riešení. Nájdeme algebraické doplnky každého prvku danej matice:

Zostavíme maticu algebraických sčítaní a transponujeme ju:

$$ A^*=\left(\začiatok(pole) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\koniec (pole) \vpravo); \; (A^*)^T=\left(\začiatok(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\koniec (pole) \vpravo) . $$

Pomocou vzorca $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ dostaneme:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\koniec(pole) \vpravo)= \ľavý(\začiatok(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \koniec (pole) \vpravo) $$

Takže $A^(-1)=\left(\begin(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$. Na overenie pravdivosti výsledku stačí skontrolovať pravdivosť jednej z rovníc: $A^(-1)\cdot A=E$ alebo $A\cdot A^(-1)=E$. Skontrolujeme rovnosť $A\cdot A^(-1)=E$. Aby sme menej pracovali so zlomkami, nahradíme maticu $A^(-1)$ nie v tvare $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$, ale ako $\frac(1)(26)\ cdot \left( \začiatok(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(pole) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\začiatok(pole)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\koniec (pole) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(pole) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(pole) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(pole) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (pole) \right) =\left(\začiatok(pole) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end (pole) \right) =E $$

Kontrola prebehla úspešne, inverzná matica $A^(-1)$ bola nájdená správne.

Odpoveď: $A^(-1)=\left(\begin(pole) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(pole) \right)$.

Príklad č. 4

Nájdite inverznú maticu k $A=\left(\begin(pole) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \koniec(pole) \vpravo)$.

Pre maticu štvrtého rádu je hľadanie inverznej matice pomocou algebraických sčítaní trochu ťažké. Však také príklady kontrolná práca stretnúť sa.

Ak chcete nájsť inverznú maticu, musíte najskôr vypočítať determinant matice $A$. Najlepší spôsob, ako to urobiť v tejto situácii, je rozšíriť determinant v riadku (stĺpci). Vyberieme ľubovoľný riadok alebo stĺpec a nájdeme algebraický doplnok každého prvku vybraného riadka alebo stĺpca.

Napríklad pre prvý riadok dostaneme:

$$ A_(11)=\vľavo|\začiatok(pole)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \koniec (pole)\vpravo|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(pole)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(pole)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\vľavo|\začiatok(pole)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \koniec (pole)\vpravo|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(pole)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(pole)\right|=-112. $$

Determinant matice $A$ sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \začiatok(zarovnané) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(zarovnané) $$

Matica algebraického doplnku: $A^*=\left(\begin(pole)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\koniec (pole)\vpravo)$.

Priložená matica: $(A^*)^T=\left(\begin(pole) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\koniec (pole)\vpravo)$.

Inverzná matica:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(pole) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(pole) \right)= \left(\begin(pole) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \koniec (pole) \vpravo) $$

Kontrola, ak je to potrebné, môže byť vykonaná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcich príkladoch.

Odpoveď: $A^(-1)=\left(\begin(pole) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(pole) \vpravo) $.

V druhej časti sa budeme zaoberať ďalším spôsobom hľadania inverznej matice, ktorý zahŕňa použitie transformácií Gaussovej metódy alebo Gaussovej-Jordanovej metódy.

Maticová algebra - Inverzná matica

inverzná matica

inverzná matica Nazýva sa matica, ktorá, keď sa vynásobí vpravo aj vľavo danou maticou, dáva maticu identity.
Označte maticu inverznú k matici ALE cez , potom podľa definície dostaneme:

kde E je matica identity.
štvorcovú maticu volal nešpeciálne (nedegenerované) ak sa jeho determinant nerovná nule. Inak sa hovorí špeciálne (degenerovať) alebo jednotného čísla.

Existuje veta: každá nesingulárna matica má inverznú maticu.

Operácia hľadania inverznej matice sa nazýva príťažlivosť matice. Zvážte algoritmus inverzie matice. Nech je daná nesingulárna matica n- poradie:

kde Δ = det A ≠ 0.

Algebraický prvokový doplnok matice n- poradie ALE determinant matice ( n–1)-tý poriadok získaný vymazaním i-tý riadok a j-tý stĺpec matice ALE:

Vytvorme si tzv pripojený matica:

kde sú algebraické doplnky zodpovedajúcich prvkov matice ALE.
Všimnite si, že algebraické doplnky prvkov riadkov matice ALE sú umiestnené v zodpovedajúcich stĺpcoch matice Ã , to znamená, že matica sa transponuje súčasne.
Rozdelenie všetkých prvkov matice Ã na Δ - hodnota determinantu matice ALE, dostaneme inverznú maticu ako výsledok:

Zaznamenali sme niekoľko špeciálnych vlastností inverznej matice:
1) pre danú maticu ALE jeho inverzná matica je jediný;
2) ak existuje inverzná matica, potom pravý spätný chod a doľava dozadu matice sa s ním zhodujú;
3) špeciálna (degenerovaná) štvorcová matica nemá inverznú maticu.

Hlavné vlastnosti inverznej matice:
1) determinant inverznej matice a determinant pôvodnej matice sú recipročné;
2) inverzná matica súčinu štvorcových matíc sa rovná súčinu inverzných matíc faktorov v opačnom poradí:

3) transponovaná inverzná matica sa rovná inverznej matici z danej transponovanej matice:

PRÍKLAD Vypočítajte inverznú maticu k danej matici.

Nájdenie inverznej matice je proces, ktorý pozostáva z pomerne jednoduchých krokov. Ale tieto akcie sa opakujú tak často, že proces je dosť zdĺhavý. Hlavnou vecou je nestratiť pozornosť pri rozhodovaní.

Pri riešení najbežnejšej metódy - algebraických sčítaní - budete potrebovať:

Pri riešení príkladov tieto akcie podrobnejšie rozoberieme. Medzitým zistíme, čo hovorí teória inverznej matice.

Pre inverzná matica existuje výstižná analógia s prevráteným číslom. Za každé číslo a, ktoré sa nerovná nule, existuje číslo bže práca a a b rovná sa jednej: ab= 1. číslo b sa nazýva prevrátená hodnota čísla b. Napríklad pre číslo 7 je inverzná hodnota číslo 1/7, pretože 7*1/7=1.

inverzná matica , ktorý je potrebné nájsť pre danú štvorcovú maticu ALE, takáto matica sa nazýva

súčin, ktorým matrice ALE vpravo je matica identity, t.j.
. (1)

Matica identity je diagonálna matica, v ktorej sa všetky diagonálne položky rovnajú jednej.

Nájdenie inverznej matice- problém, ktorý sa najčastejšie rieši dvoma spôsobmi:

metóda algebraických doplnkov, pri ktorej, ako bolo uvedené na začiatku hodiny, je potrebné nájsť determinanty, vedľajšie a algebraické doplnky a transponovať matice;
Gaussovu eliminačnú metódu, ktorá vyžaduje elementárne transformácie matíc (sčítanie riadkov, násobenie riadkov rovnakým číslom atď.).

Pre tých, ktorí sú obzvlášť zvedaví, existujú aj iné metódy, napríklad metóda lineárnych transformácií. V tejto lekcii budeme analyzovať tri uvedené metódy a algoritmy na nájdenie inverznej matice týmito metódami.

Veta.Pre každú nesingulárnu (nesingulárnu, nesingulárnu) štvorcovú maticu možno nájsť inverznú maticu a navyše iba jednu. Pre špeciálnu (degenerovanú, singulárnu) štvorcovú maticu inverzná matica neexistuje.

Štvorcová matica sa nazýva nešpeciálne(alebo nedegenerované, nejednotný) ak sa jeho determinant nerovná nule a špeciálne(alebo degenerovať, jednotného čísla), ak je jeho determinant nula.

Inverznú maticu možno nájsť len pre štvorcovú maticu. Prirodzene, inverzná matica bude tiež štvorcová a rovnakého rádu ako daná matica. Matica, pre ktorú možno nájsť inverznú maticu, sa nazýva invertibilná matica.

Nájdenie inverznej matice Gaussovým odstránením neznámych

Prvým krokom k nájdeniu inverznej matice pomocou Gaussovej eliminácie je priradenie k matici A identifikačnú maticu rovnakého rádu, pričom ich oddeľuje zvislou čiarou. Získame dvojitú maticu. Vynásobte obe časti tejto matice číslom , potom dostaneme

Algoritmus na nájdenie inverznej matice Gaussovou elimináciou neznámych

1. Do matrice A priradiť maticu identity rovnakého poradia.

2. Transformujte výslednú duálnu maticu tak, aby sa matica identity získala v jej ľavej časti, potom sa inverzná matica automaticky získa v pravej časti namiesto matice identity. Matrix A na ľavej strane sa prevedie na maticu identity elementárnymi transformáciami matice.

2. Ak je v procese transformácie matice A v matici identity v ľubovoľnom riadku alebo v ľubovoľnom stĺpci budú iba nuly, potom sa determinant matice rovná nule, a teda matica A bude degenerovaný a nemá inverznú maticu. V tomto prípade sa ďalšie hľadanie inverznej matice zastaví.

Príklad 2 Pre maticu

nájdite inverznú maticu.

a transformujeme ho tak, aby sa matica identity získala na ľavej strane. Začnime s premenou.

Vynásobte prvý riadok ľavej a pravej matice (-3) a pridajte ho k druhému riadku a potom vynásobte prvý riadok (-4) a pridajte ho k tretiemu riadku, potom dostaneme

Aby, ak je to možné, pri následných transformáciách nevznikali zlomkové čísla, najprv vytvoríme jednotku v druhom riadku na ľavej strane duálnej matice. Ak to chcete urobiť, vynásobte druhý riadok 2 a odpočítajte od neho tretí riadok, potom dostaneme

Pridajme prvý riadok k druhému a potom vynásobme druhý riadok (-9) a pripočítajme ho k tretiemu riadku. Potom dostaneme

Potom vydeľte tretí riadok číslom 8

Vynásobte tretí riadok 2 a pridajte ho k druhému riadku. Ukázalo sa:

Keď si vymeníme miesta na druhom a treťom riadku, nakoniec dostaneme:

Vidíme, že matica identity sa získava na ľavej strane, preto sa inverzná matica získava na pravej strane. Touto cestou:

Správnosť výpočtov môžete skontrolovať vynásobením pôvodnej matice nájdenou inverznou maticou:

Výsledkom by mala byť inverzná matica.

Riešenie môžete skontrolovať pomocou online kalkulačka na nájdenie inverznej matice .

Príklad 3 Pre maticu

nájdite inverznú maticu.

Riešenie. Zostavenie duálnej matice

a pretvoríme ho.

Prvý riadok vynásobíme 3 a druhý 2 a odpočítame od druhého a potom vynásobíme prvý riadok 5 a tretí 2 a odpočítame od tretieho radu, potom dostaneme

Inverzné operácie sa zvyčajne používajú na zjednodušenie zložitých algebraických výrazov. Napríklad, ak úloha obsahuje operáciu delenia zlomkom, môžete ju nahradiť operáciou násobenia recipročnou, čo je inverzná operácia. Okrem toho sa matice nedajú rozdeliť, takže musíte násobiť inverznou maticou. Výpočet inverznej matice 3x3 je dosť únavný, ale musíte to urobiť ručne. Recipročnú hodnotu môžete nájsť aj pomocou dobrej grafickej kalkulačky.

Kroky

Pomocou priloženej matrice

Transponujte pôvodnú maticu. Transpozícia je nahradenie riadkov stĺpcami vzhľadom na hlavnú uhlopriečku matice, to znamená, že musíte vymeniť prvky (i, j) a (j, i). V tomto prípade sa prvky hlavnej uhlopriečky (začína v ľavom hornom rohu a končí v pravom dolnom rohu) nemenia.

Ak chcete vymeniť riadky za stĺpce, napíšte prvky prvého riadku do prvého stĺpca, prvky druhého riadku do druhého stĺpca a prvky tretieho riadku do tretieho stĺpca. Poradie zmeny polohy prvkov je znázornené na obrázku, na ktorom sú príslušné prvky zakrúžkované farebnými kruhmi.

Nájdite definíciu každej matice 2x2. Každý prvok akejkoľvek matice, vrátane transponovanej, je spojený so zodpovedajúcou maticou 2x2. Ak chcete nájsť maticu 2x2, ktorá zodpovedá konkrétnemu prvku, prečiarknite riadok a stĺpec, v ktorom sa tento prvok nachádza, to znamená, že musíte prečiarknuť päť prvkov pôvodnej matice 3x3. Štyri prvky, ktoré sú prvkami zodpovedajúcej matice 2x2, zostanú neprečiarknuté.

Napríklad, ak chcete nájsť maticu 2x2 pre prvok, ktorý sa nachádza v priesečníku druhého riadka a prvého stĺpca, preškrtnite päť prvkov, ktoré sú v druhom riadku a prvom stĺpci. Zvyšné štyri prvky sú prvkami zodpovedajúcej matice 2x2.
Nájdite determinant každej matice 2x2. Za týmto účelom odpočítajte súčin prvkov vedľajšej uhlopriečky od súčinu prvkov hlavnej uhlopriečky (pozri obrázok).
Podrobné informácie o maticách 2x2 zodpovedajúcich určitým prvkom matice 3x3 možno nájsť na internete.

Vytvorte maticu kofaktorov. Zaznamenajte výsledky získané skôr vo forme novej matice kofaktorov. Za týmto účelom napíšte nájdený determinant každej matice 2x2, kde sa nachádzal zodpovedajúci prvok matice 3x3. Napríklad, ak je pre prvok (1,1) uvažovaná matica 2x2, zapíšte si jeho determinant na pozíciu (1,1). Potom zmeňte znaky zodpovedajúcich prvkov podľa určitého vzoru, ktorý je znázornený na obrázku.

Schéma zmeny znamienka: znamienko prvého prvku prvého riadku sa nemení; znamienko druhého prvku prvého riadku je obrátené; znamienko tretieho prvku prvého riadku sa nemení a tak ďalej riadok po riadku. Upozorňujeme, že znamienka „+“ a „-“, ktoré sú zobrazené na obrázku (pozri obrázok), neznamenajú, že príslušný prvok bude kladný alebo záporný. V tomto prípade znamienko „+“ znamená, že znamienko prvku sa nemení, a znamienko „-“ znamená, že sa znamienko prvku zmenilo.
Podrobné informácie o kofaktorových matriciach nájdete na internete.
Takto nájdete súvisiacu maticu pôvodnej matice. Niekedy sa nazýva komplexná konjugovaná matica. Takáto matica sa označuje ako adj(M).

Vydeľte každý prvok adjungovanej matice determinantom. Determinant matice M bol vypočítaný na samom začiatku, aby sa skontrolovalo, či existuje inverzná matica. Teraz vydeľte každý prvok pripojenej matice týmto determinantom. Zaznamenajte výsledok každej operácie delenia tam, kde sa nachádza príslušný prvok. Takže nájdete maticu, inverznú k originálu.

Determinant matice znázornenej na obrázku je 1. Tu je teda pridružená matica inverzná matica (pretože delenie ľubovoľného čísla číslom 1 ho nezmení).
V niektorých zdrojoch je operácia delenia nahradená operáciou násobenia 1/det(M). V tomto prípade sa konečný výsledok nemení.

Zapíšte inverznú maticu. Prvky nachádzajúce sa v pravej polovici veľkej matice zapíšte ako samostatnú maticu, ktorá je inverznou maticou.

Pomocou kalkulačky

Vyberte si kalkulačku, ktorá pracuje s maticami. Používaním jednoduché kalkulačky inverzná matica sa nedá nájsť, ale dá sa to urobiť na dobrej grafickej kalkulačke, ako je Texas Instruments TI-83 alebo TI-86.

Zadajte pôvodnú maticu do pamäte kalkulačky. Ak to chcete urobiť, kliknite na tlačidlo Matrix, ak je k dispozícii. V prípade kalkulačky Texas Instruments možno budete musieť stlačiť 2. tlačidlo a tlačidlo Matrix.

Vyberte ponuku Upraviť. Urobte to pomocou tlačidiel so šípkami alebo zodpovedajúcich tlačidiel funkčné tlačidlo, ktorý sa nachádza v hornej časti klávesnice kalkulačky (umiestnenie tlačidla závisí od modelu kalkulačky).

Zadajte označenie matrice. Väčšina grafických kalkulačiek môže pracovať s 3-10 maticami, ktoré možno označiť písmená A-J. Ako všeobecné pravidlo stačí vybrať [A] na označenie pôvodnej matice. Potom stlačte tlačidlo Enter.

Zadajte veľkosť matice. Tento článok hovorí o matriciach 3x3. Ale grafické kalkulačky môžu pracovať s maticami veľké veľkosti. Zadajte počet riadkov, stlačte tlačidlo Enter, potom zadajte počet stĺpcov a znova stlačte tlačidlo Enter.

Zadajte každý prvok matice. Na obrazovke kalkulačky sa zobrazí matica. Ak už bola matica zadaná do kalkulačky, zobrazí sa na obrazovke. Kurzor zvýrazní prvý prvok matice. Zadajte hodnotu prvého prvku a stlačte Enter. Kurzor sa automaticky presunie na ďalší prvok matice.

inverzná matica je matica A -1, pri vynásobení ktorým je daná počiatočná matica A dáva maticu identity E:

AA −1 = A −1 A =E.

Metóda inverznej matice.

Metóda inverznej matice- ide o jednu z najbežnejších metód riešenia matíc a používa sa na riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc (SLAE) v prípadoch, keď počet neznámych zodpovedá počtu rovníc.

Nech existuje systém n lineárne rovnice s n neznámy:

Takýto systém možno zapísať ako maticovú rovnicu A*X=B,

kde
- systémová matica,

- stĺpec neznámych,

- stĺpec voľných koeficientov.

Z odvodenej maticovej rovnice vyjadríme X vynásobením oboch strán maticovej rovnice vľavo číslom A-1, čo má za následok:

A-1 * A * X = A-1 * B

Vediac, že A-1*A=E, potom E*X=A-1*B alebo X = A-1*B.

Ďalším krokom je určenie inverznej matice A-1 a vynásobí sa stĺpcom voľných členov B.

Inverzná matica k matici A existuje len vtedy det A≠ 0 . Vzhľadom na to je pri riešení SLAE metódou inverznej matice prvým krokom hľadanie det A. Ak det A≠ 0 , potom má sústava len jedno riešenie, ktoré možno získať metódou inverznej matice, ak det A = 0, potom takýto systém metóda inverznej matice nie je vyriešená.

Riešenie inverznej matice.

Postupnosť akcií pre inverzné maticové riešenia:

Získajte determinant matice A. Ak je determinant väčší ako nula, riešime inverznú maticu ďalej, ak sa rovná nule, tak tu inverznú maticu nenájdeme.
Nájdenie transponovanej matice AT.
Hľadáme algebraické doplnky, po ktorých nahradíme všetky prvky matice ich algebraickými doplnkami.
Inverznú maticu zbierame z algebraických sčítaní: všetky prvky výslednej matice vydelíme determinantom pôvodne danej matice. Výsledná matica bude požadovaná inverzná matica vzhľadom na pôvodnú.

Algoritmus nižšie inverzné maticové riešenia v podstate to isté ako vyššie, rozdiel je len v niekoľkých krokoch: najprv určíme algebraické sčítania a potom vypočítame zjednocovaciu maticu C.

Zistite, či je daná matica štvorcová. V prípade zápornej odpovede je jasné, že pre ňu nemôže existovať inverzná matica.
Zistite, či je daná matica štvorcová. V prípade zápornej odpovede je jasné, že pre ňu nemôže existovať inverzná matica.
Počítame algebraické sčítania.
Zostavíme spojeneckú (vzájomnú, pripojenú) maticu C.
Inverznú maticu poskladáme z algebraických sčítaní: všetkých prvkov adjungovanej matice C deliť determinantom počiatočnej matice. Výsledná matica bude požadovaná inverzná matica vzhľadom na danú.
Skontrolujeme vykonanú prácu: vynásobíme počiatočnú a výslednú maticu, výsledkom by mala byť matica identity.

Najlepšie sa to robí s pripojenou matricou.

Veta: Ak štvorcovej matici na pravej strane priradíme maticu identity rovnakého rádu a počiatočnú maticu vľavo transformujeme na jednotkovú maticu pomocou elementárnych transformácií cez riadky, potom tá získaná na pravej strane bude inverzná k ten počiatočný.