Відстань між точками за географічними координатами. Розрахунок відстані між містами за їхніми координатами. Відстань між двома точками у просторі

Тут буде калькулятор

Відстань між двома точками на прямій

Розглянемо координатну пряму, де відмічені 2 точки: A A Aі B B B. Щоб знайти відстань між цими точками, потрібно знайти довжину відрізка A B AB A B. Це робиться за допомогою наступної формули:

Відстань між двома точками на прямій

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b ∣,

де a, b a, b a, b- координати цих точок на прямій (координатній прямій).

Зважаючи на те, що у формулі є модуль, при вирішенні не важливо, з якої координати яку віднімати (оскільки береться абсолютна величина цієї різниці).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣ b −a ∣

Розберемо приклад, щоб краще зрозуміти вирішення таких завдань.

Приклад 1

На координатній прямій відзначено точку A A Aкоордината якої дорівнює 9 9 9 і крапка B B Bз координатою − 1 -1 − 1 . Потрібно знайти відстань між цими двома точками.

Рішення

Тут a = 9, b = − 1 a=9, b=-1 a =9 , b =− 1

Користуємося формулою та підставляємо значення:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Відповідь

Відстань між двома точками на площині

Розглянемо дві точки, задані на площині. З кожної зазначеної на площині точки потрібно опустити по два перпендикуляри: На вісь O X OX O Xі на вісь O Y OY O Y. Потім розглядається трикутник A B C ABC A B C. Оскільки він є прямокутним ( B C BC B Cперпендикулярно A C AC A C), то знайти відрізок A B AB A B, він є і відстанню між точками, можна з допомогою теореми Піфагора. Маємо:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Але, виходячи з того, що довжина A C AC A Cдорівнює x B − x A x_B-x_A x B − x A , а довжина B C BC B Cдорівнює y B − y A y_B-y_A y B − y A , Цю формулу можна переписати в наступному вигляді:

Відстань між двома точками на площині

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 ,

де x A , y A x_A, y_A x A , y A і x B , y B x_B, y_B x B , y B - координати точок A A Aі B B Bвідповідно.

Приклад 2

Необхідно знайти відстань між точками C C Cі F F F, якщо координати першої (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , а другий - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Рішення

X C = 8 x_C = 8 x C = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C = − 1
x F = 4 x_F = 4 x F = 4
y F = 2 y_F = 2 y F = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25) = 5C F =(x F − x C ) 2 + (y F − y C ) 2 = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 = 1 6 + 9 = 2 5 = 5

Відповідь

Відстань між двома точками у просторі

Знаходження відстані між двома точками в цьому випадку відбувається аналогічно попередньому за винятком того, що координати точки в просторі задаються трьома числами, відповідно до формули потрібно додати ще й координату осі аплікат. Формула набуде такого вигляду:

Відстань між двома точками у просторі

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B − x A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − zA ) 2

Приклад 3

Знайти довжину відрізка $F K у просторі, якщо координати точок його кінців такі: (- 1; - 1; 8) і (- 3; 6; 0) . Відповідь округлити до цілого числа.$

Рішення

$F = (- 1; - 1; 8) K = (- 3; 6; 0)$

$FK=\sqrt((x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2)=\sqrt((-3-(-1) ))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2)=\sqrt(117)\approx10.8$

За умовою завдання нам потрібно округлити відповідь до цілого числа.

Нехай задана прямокутна система координат.

Теорема 1.1.Для будь-яких двох точок М 1 (х 1; у 1) і М 2 (х 2; у 2) площині відстань d між ними виражається формулою

Доведення.Опустимо з точок М 1 і М 2 перпендикуляри М 1 В і М 2 А відповідно

на осі Оу та Ох і позначимо через К точку перетину прямих М 1 В та М 2 А (рис. 1.4). Можливі такі випадки:

1) точки М 1 , М 2 і К різні. Очевидно, що точка має координати (х 2 ;у 1). Неважко помітити, що М 1 К = ôх 2 - х 1 ô, М 2 К = ôу 2 - у 1 ô. Т.к. ∆М 1 КМ 2 прямокутний, то за теоремою Піфагора d = М 1 М 2 = = .

2) Точка До збігається з точкою М 2 але відмінна від точки М 1 (рис. 1.5). У цьому випадку у 2 = у 1

і d = М 1 М 2 = М 1 К = ôх 2 - х 1 ô = =

3) Точка До збігається з точкою М 1 але відмінна від точки М 2 . У цьому випадку х 2 = х 1 та d =

М 1 М 2 = КМ 2 = ôу 2 - у 1 ô = = .

4) Точка М2 збігається з точкою М1. Тоді х 1 = х 2 , у 1 = у 2

d = М 1 М 2 = О =.

Розподіл відрізка у цьому відношенні.

Нехай на площині дано довільний відрізок М 1 М 2 і нехай М ─ будь-яка точка цього

відрізка, відмінна від точки М2 (рис. 1.6). Число l, що визначається рівністю l = , називається ставленням,в якому точка М ділить відрізок М1 М2.

Теорема 1.2.Якщо точка М(х;у) ділить відрізок М1М2 щодо l, то координати цієї визначаються формулами

х = , у = , (4)

де (х 1; у 1) - координати точки М 1, (х 2; у 2) - координати точки М2.

Доведення.Доведемо першу із формул (4). Друга формула доводиться аналогічно. Можливі два випадки.

х = х 1 = = = .

2) Пряма М 1 М 2 не перпендикулярна до осі Ох (рис. 1.6). Опустимо перпендикуляри з точок М1, М, М2 на вісь Ох і позначимо точки їх перетину з віссю Ох відповідно Р1, Р, Р2. По теоремі про пропорційні відрізки = l.

Т.к. Р 1 Р = ôх - х 1 ô, РР 2 = ôх 2 - хô і числа (х - х 1) і (х 2 - х) мають один і той же знак (при х 1< х 2 они положительны, а при х 1 >х 2 негативні), то

х – х 1 = l(х 2 – х), х + lх = х 1 + lх 2

х = .

Наслідок 1.2.1.Якщо М 1 (х 1 ; у 1) і М 2 (х 2 ; у 2) - дві довільні точки і точка М (х; у) - середина відрізка М 1 М 2, то

х = , у = (5)

Доведення.Оскільки М 1 М = М 2 М, то l = 1 і за формулами (4) одержуємо формули (5).

Площа трикутника.

Теорема 1.3.Для будь-яких точок А(х 1 ;у 1), В(х 2 ;у 2) і С(х 3 ;у 3), що не лежать на одній

прямий, площа S трикутника АВС виражається формулою

S = ô(х 2 – х 1)(у 3 – у 1) – (х 3 – х 1)(у 2 – у 1)ô (6)

Доведення.Площа ∆ АВС, зображеного на рис. 1.7, обчислюємо наступним

S ABC = S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Обчислюємо площі трапецій:

S ADEC =
,

S BCEF =

Тепер маємо

S ABC = ((х 3 – х 1)(у 3 + у 1) + (х 3 – х 2)(у 3 + у 2) - (х 2 – -х 1)(у 1 + у 2)) = (х 3 у 3 – х 1 у 3 + х 3 у 1 – х 1 у 1 + + х 2 у 3 – -х 3 у 3 + х 2 у 2 – х 3 у 2 – х 2 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 2 + х 1 у 2) = (х 3 у 1 – х 3 у 2 + х 1 у 2 – х 2 у 1 + х 2 у 3 –

Х 1 у 3) = (х 3 (у 1 – у 2) + х 1 у 2 – х 1 у 1 + х 1 у 1 – х 2 у 1 + у 3 (х 2 – х 1)) = (х 1 (у 2 – у 1) – х 3 (у 2 – у 1) + +у 1 (х 1 – х 2) – у 3 (х 1 – х 2)) = ((х 1 – х 3)( у 2 – у 1) + (х 1 – х 2)(у 1 – у 3)) = ((х 2 – х 1)(у 3 – у 1) –

- (х 3 - х 1) (у 2 - у 1)).

Для іншого розташування ∆ АВС формула (6) доводиться аналогічно, але може бути зі знаком «-». Тому у формулі (6) ставлять знак модуля.

лекція 2.

Рівняння прямої лінії на площині: рівняння прямої з головним коефіцієнтом, загальне рівняння прямої, рівняння прямої у відрізках, рівняння прямої, що проходить через дві точки. Кут між прямими, умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.

2.1. Нехай на площині задана прямокутна система координат та деяка лінія L.

Визначення 2.1.Рівняння виду F(x;y) = 0, що зв'язує змінні величини x та y, називається рівняння лінії L(у заданій системі координат), якщо цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки, що лежить на лінії L, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій прямій.

Приклади рівнянь ліній на площині.

1) Розглянемо пряму, паралельну осі Oy прямокутної системи координат (рис. 2.1). Позначимо буквою A точку перетину цієї прямої з віссю Ox, (a;o) ─ її ор-

Динати. Рівняння x = a є рівнянням даної прямої. Дійсно, цьому рівнянню задовольняють координати будь-якої точки M(a;y) цієї прямої і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на прямій. Якщо a = 0, то пряма збігається із віссю Oy, яка має рівняння x = 0.

2) Рівняння x - y = 0 визначає безліч точок площини, що становлять бісектриси І та ІІІ координатних кутів.

3) Рівняння x 2 - y 2 = 0 ─ це рівняння двох бісектрис координатних кутів.

4) Рівняння x 2 + y 2 = 0 визначає площині єдину точку O(0;0).

5) Рівняння x 2 + y 2 = 25 ─ рівняння кола радіусу 5 із центром на початку координат.

Доброго дня,

Використовується PHP:

З повагою, Олександр.

Доброго дня,

Вже достатній час мучаюсь із проблемою: намагаюся розрахувати відстань між двома довільними точками, які знаходяться на відстані від 30 до 1500 метрів один від одного.

Використовується PHP:

$ cx = 31.319738; //координата x першої точки
$ Cy = 60.901638; //координата y першої точки
$x=31.333312; //координата x другої точки
$y=60.933981; //координата у другої точки
$mx=abs($cx-$x); //Вираховуємо різницю іксів (перший катет прямокутного трикутника), функція abs(x) - повертає модуль числа x
$my=abs($cy-$y); //Вираховуємо різницю ігреків (другий катет прямокутного трикутника)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Отримуємо відстань до метро (довжину гіпотенузи за правилом гіпотенуза дорівнює кореню із суми квадратів катетів)

Якщо незрозуміло, поясню: я уявляю, що відстань між двома точками - це гіпотенуза прямокутного трикутника. Тоді різниця між іксами кожної з двох точок буде одним із катетів, а іншим катетом буде різниця греків цих двох точок. Тоді, порахувавши різниці іксів та ігреків, можна за формулою обчислити довжину гіпотенузи (тобто відстань між двома точками).

Я знаю, що це правило добре працює для декартової системи координат, проте воно має більш-менш працювати і через координати longlat, т.к. вимірювана відстань між двома точками нехтує мало (від 30 до 1500 метрів).

Однак, відстань за даним алгоритмом обчислюється неправильно (наприклад, відстань1, розрахована за цим алгоритмом, перевищує відстань2 всього на 13%, тоді як в реальності відстань1 дорівнює 1450 метрів, я відстань2 дорівнює 970 метрів, тобто насправді різниця досягає майже 50% ).