Презентація "Рух тіла по колу". Рух по колу. Рівняння руху по колу. Кутова швидкість. Нормальне = доцентрове прискорення. Період, частота обігу (обертання). Зв'язок лінійної та кутової швидкості Рівномірний рух

Теми кодифікатора ЄДІ: рух по колу з постійною за модулем швидкістю, доцентрове прискорення.

Рівномірний рухпо колу - це досить простий приклад руху з вектором прискорення, що залежить від часу.

Нехай точка обертається по колу радіусу. Швидкість точки постійна за модулем і дорівнює. Швидкість називається лінійною швидкістюточки.

Період звернення - Це час одного повного обороту. Для періоду маємо очевидну формулу:

. (1)

Частота звернення - це величина, обернена до періоду:

Частота показує, скільки повних обертів точка здійснює за секунду. Вимірюється частота об/с (обороти в секунду).

Нехай, наприклад, . Це означає, що за час точка робить один повний
оборот. Частота у своїй виходить дорівнює: про/с; за секунду точка здійснює 10 повних обертів.

Кутова швидкість.

Розглянемо рівномірне обертання точки декартової системі координат. Помістимо початок координат у центрі кола (рис. 1).

Мал. 1. Рівномірний рух по колу

Нехай – початкове положення точки; інакше кажучи, при точка мала координати . Нехай за час крапка повернулася на кут і зайняла становище.

Відношення кута повороту до часу називається кутовий швидкістю обертання точки:

. (2)

Кут зазвичай вимірюється в радіанах, тому кутова швидкість вимірюється в рад/с. За час, що дорівнює періоду обертання, точка повертається на кут . Тому

. (3)

Зіставляючи формули (1) і (3) , отримуємо зв'язок лінійної та кутової швидкостей:

. (4)

Закон руху.

Знайдемо тепер залежність координат точки, що обертається від часу. Бачимо із рис. 1 , що

Але з формули (2) маємо: . Отже,

. (5)

Формули (5) є рішенням основного завдання механіки для рівномірного руху точки по колу.

Центрошвидке прискорення.

Тепер нас цікавить прискорення точки, що обертається. Його можна знайти, двічі продиференціювавши співвідношення (5) :

З урахуванням формул (5) маємо:

(6)

Отримані формули (6) можна записати у вигляді однієї векторної рівності:

(7)

де - радіус-вектор точки, що обертається.

Ми, що вектор прискорення спрямований протилежно радіус-вектору, т. е. до центру окружності (див. рис. 1 ). Тому прискорення точки, що рівномірно рухається по колу, називається доцентровим.

Крім того, з формули (7) ми отримуємо вираз для модуля доцентрового прискорення:

(8)

Виразимо кутову швидкість (4)

і підставимо (8) . Отримаємо ще одну формулу для доцентрового прискорення.

На цьому уроці ми розглянемо криволінійний рух, саме рівномірний рух тіла по колу. Ми дізнаємося, що таке лінійна швидкість, доцентрове прискорення при русі тіла по колу. Також введемо величини, які характеризують обертальний рух (період обертання, частота обертання, кутова швидкість) і зв'яжемо ці величини між собою.

Під рівномірним рухом по колу розуміють, що за будь-який однаковий проміжок часу тіло повертається на однаковий кут (див. рис. 6).

Мал. 6. Рівномірний рух по колу

Тобто модуль миттєвої швидкості не змінюється:

Таку швидкість називають лінійної.

Хоча модуль швидкості не змінюється, напрямок швидкості змінюється безперервно. Розглянемо вектори швидкості у точках Aі B(див. мал. 7). Вони спрямовані у різні боки, тому не рівні. Якщо відняти від швидкості в точці Bшвидкість у точці A, отримуємо вектор.

Мал. 7. Вектори швидкості

Відношення зміни швидкості () до часу, протягом якого ця зміна відбулася (), є прискоренням.

Отже, будь-який криволінійний рух є прискореним.

Якщо розглянути трикутник швидкостей, отриманий малюнку 7, то за дуже близькому розташуванні точок Aі Bодин до одного кут (α) між векторами швидкості буде близьким до нуля:

Також відомо, що цей трикутник рівнобедрений, тому модулі швидкостей рівні (рівномірний рух):

Отже, обидва кути при підставі цього трикутника необмежено близькі до:

Це означає, що прискорення, яке спрямоване вздовж вектора фактично перпендикулярно дотичної. Відомо, що лінія в колі, перпендикулярна дотичній, є радіусом, тому прискорення спрямоване вздовж радіусу до центру кола. Називається таке прискорення доцентровим.

На малюнку 8 зображено розглянутий раніше трикутник швидкостей і рівнобедрений трикутник (дві сторони є радіусами кола). Ці трикутники є подібними, так як у них рівні кути, утворені взаємно перпендикулярними прямими (радіус, як і вектор, перпендикулярні до дотичної).

Мал. 8. Ілюстрація до висновку формули доцентрового прискорення

Відрізок ABє переміщенням (). Ми розглядаємо рівномірний рух по колу, тому:

Підставимо отриманий вираз для ABу формулу подоби трикутників:

Понять «лінійна швидкість», «прискорення», «координата» замало у тому, щоб описати рух кривою траєкторії. Тому необхідно запровадити величини, що характеризують обертальний рух.

1. Періодом обертання (T ) називається час одного повного обороту. Вимірюється у системі СІ в секундах.

Приклади періодів: Земля обертається навколо осі за 24 години (), а навколо Сонця - за 1 рік ().

Формула для обчислення періоду:

де – повний час обертання; - число обертів.

2. Частота обертів (n ) - Число оборотів, яке тіло здійснює в одиницю часу. Вимірюється в системі СІ у зворотних секундах.

Формула для знаходження частоти:

де – повний час обертання; - число обертів

Частота і період - обернено пропорційні величини:

3. Кутовою швидкістю () називають відношення зміни кута, на який повернулося тіло, на час, за який цей поворот відбувся. Вимірюється в системі СІ у радіанах, поділених на секунди.

Формула для знаходження кутової швидкості:

де - Зміна кута; - Час, за який відбувся поворот на кут.

Основні закони Динаміки. Закони Ньютона – перший, другий, третій. Принцип відносності Галілея. Закон всесвітнього тяготіння. Сила тяжіння. Сили пружності. Вага. Сили тертя - спокою, ковзання, кочення + тертя у рідинах та газах.

Кінематіка. Основні поняття. Рівномірний прямолінійний рух. Рівноприскорений рух. Рівномірний рух по колу. Система відліку. Траєкторія, переміщення, шлях, рівняння руху, швидкість, прискорення, зв'язок лінійної та кутової швидкості.

Прості механізми. Важель (важіль першого роду та важіль другого роду). Блок (нерухомий блок та рухомий блок). Похила поверхня. Гідравлічний прес. Золоте правило механіки

Закони збереження у механіці. Механічна робота, потужність, енергія, закон збереження імпульсу, закон збереження енергії, рівновага твердих тіл

Ви зараз тут:Рух по колу. Рівняння руху по колу. Кутова швидкість. Нормальне = доцентрове прискорення. Період, частота обігу (обертання). Зв'язок лінійної та кутової швидкості

Механічні коливання. Вільні та вимушені коливання. Гармонійні коливання. Пружні коливання. Математичний маятник. Перетворення енергії при гармонійних коливаннях

Механічні хвилі. Швидкість та довжина хвилі. Рівняння хвилі, що біжить. Хвильові явища (дифракція. інтерференція...)

Гідромеханіка та аеромеханіка. Тиск, гідростатичний тиск. Закон Паскаля. Основне рівняння гідростатики. Сполучені судини. Закон Архімеда. Умови плавання: тел. Течія рідини. Закон Бернуллі. Формула Торрічелі

Молекулярна фізика Основні становища МКТ. Основні поняття та формули. Властивості ідеального газу. Основне рівняння МКТ. Температура. Зрівняння стану ідеального газу. Рівняння Менделєєва-Клайперона. Газові закони - ізотерма, ізобара, ізохора

Хвильова оптика. Корпускулярно-хвильова теорія світла. Хвильові властивості світла. Дисперсія світла. Інтерференція світла. Принцип Ґюйгенса-Френеля. Дифракція світла. Поляризація світла

Термодинаміка. Внутрішня енергія. Робота. Кількість теплоти. Теплові явища. Перший закон термодинаміки. Застосування першого закону термодинаміки до різних процесів. Рівняння теплового балансу. Другий закон термодинаміки. Теплові двигуни

Електростатика. Основні поняття. Електричний заряд. Закон збереження електричного заряду. Закон Кулону. Принцип суперпозиції. Теорія близькодії. Потенціал електричного поля. Конденсатор.

Постійний електричний струм. Закон Ома для ділянки ланцюга. Робота та потужність постійного струму. Закон Джоуля-Ленца. Закон Ома для повного кола. Закон електролізу Фарадея. Електричні ланцюги - послідовне та паралельне з'єднання. Правила Кірхгофа.

Електромагнітні коливання. Вільні та вимушені електромагнітні коливання. Коливальний контур. Змінний електричний струм. Конденсатор у ланцюзі змінного струму. Котушка індуктивності ("соленоїд") в ланцюзі змінного струму.

Елементи теорії відносності. Постулати теорії відносності. Відносність одночасності, відстаней, проміжків часу. Релятивістський закон складання швидкостей. Залежність маси від швидкості. Основний закон релятивістської динаміки...

Похибки прямих і непрямих вимірів. Абсолютна, відносна похибка. Систематичні та випадкові похибки. Середнє квадратичне відхилення (помилка). Таблиця визначення похибок непрямих вимірів різних функций.

Так як лінійна швидкість рівномірно змінює напрямок, то рух по колу не можна назвати рівномірним, воно є рівноприскореним.

Кутова швидкість

Виберемо на колі крапку 1 . Збудуємо радіус. За одиницю часу точка переміститься до пункту 2 . У цьому радіус визначає кут. Кутова швидкість чисельно дорівнює куту повороту радіусу за одиницю часу.

Період та частота

Період обертання T- цей час, протягом якого тіло здійснює один оборот.

Частота обертання – це кількість обертів за одну секунду.

Частота та період взаємопов'язані співвідношенням

Зв'язок із кутовою швидкістю

Лінійна швидкість

Кожна точка на колі рухається із деякою швидкістю. Цю швидкість називають лінійною. Напрямок вектора лінійної швидкості завжди збігається з дотичною до кола.Наприклад, іскри з-під точильного верстата рухаються, повторюючи напрямок миттєвої швидкості.

Розглянемо точку на колі, яка здійснює один оборот, час, який витрачено – це є період T.Шлях, який долає точка - це є довжина кола.

Центрошвидке прискорення

При русі коло вектор прискорення завжди перпендикулярний вектору швидкості, спрямований у центр кола.

Використовуючи попередні формули, можна вивести такі співвідношення

Точки, що лежать на одній прямій, що виходить із центру кола (наприклад, це можуть бути точки, які лежать на спиці колеса), матимуть однакові кутові швидкості, період і частоту. Тобто вони обертатимуться однаково, але з різними лінійними швидкостями. Чим далі точка від центру, тим швидше вона рухатиметься.

Закон складання швидкостей справедливий і для обертального руху. Якщо рух тіла чи системи відліку перестав бути рівномірним, то закон застосовується для миттєвих швидкостей. Наприклад, швидкість людини, що йде по краю каруселі, що обертається, дорівнює векторній сумі лінійної швидкості обертання краю каруселі і швидкості руху людини.

Земля бере участь у двох основних обертальних рухах: добовому (навколо своєї осі) та орбітальному (навколо Сонця). Період обертання Землі навколо Сонця становить 1 рік або 365 діб. Навколо своєї осі Земля обертається із заходу Схід, період цього обертання становить 1 добу чи 24 години. Широтою називається кут між площиною екватора та напрямом із центру Землі на точку її поверхні.

Згідно з другим законом Ньютона причиною будь-якого прискорення є сила. Якщо тіло, що рухається, відчуває доцентрове прискорення, то природа сил, дією яких викликано це прискорення, може бути різною. Наприклад, якщо тіло рухається по колу на прив'язаній до нього мотузці, то силою, що діє, є сила пружності.

Якщо тіло, що лежить на диску, обертається разом із диском навколо його осі, то такою силою є сила тертя. Якщо сила припинить свою дію, то далі тіло рухатиметься прямою

Розглянемо переміщення точки на колі з А до В. Лінійна швидкість дорівнює

Тепер перейдемо у нерухому систему, пов'язану із землею. Повне прискорення точки А залишиться тим самим і за модулем, і за напрямом, оскільки при переході від однієї інерційної системи відліку до іншої прискорення не змінюється. З погляду нерухомого спостерігача траєкторія точки А - вже не коло, а складніша крива (циклоїда), вздовж якої точка рухається нерівномірно.

Рівномірний рух по колу- Це найпростіший приклад. Наприклад, по колу рухається кінець стрілки годинника по циферблату. Швидкість руху тіла по колу зветься лінійна швидкість.

При рівномірному русі тіла по колу модуль швидкості тіла з часом не змінюється, тобто v = const, а змінюється лише напрямок вектора швидкості в цьому випадку відсутня (a r = 0), а зміна вектора швидкості за напрямом характеризується величиною, яка називається доцентрове прискорення() a n або а ЦС. У кожній точці вектор допоміжного прискорення направлений до центру кола по радіусу.

Модуль доцентрового прискорення дорівнює

a ЦС = v 2 / R

Де v – лінійна швидкість, R – радіус кола

Мал. 1.22. Рух тіла по колу.

Коли описується рух тіла по колу, використовується кут повороту радіусу- Кут φ, на який за час t повертається радіус, проведений з центру кола до точки, в якій в цей момент знаходиться тіло, що рухається. Кут повороту вимірюється у радіанах. дорівнює куту між двома радіусами кола, довжина дуги між якими дорівнює радіусу кола (рис. 1.23). Тобто якщо l = R, то

1 радіан = l / R

Так як довжина коладорівнює

l = 2πR

360 про = 2πR / R = 2π рад.

Отже

1 рад. = 57,2958 про = 57 про 18'

Кутова швидкістьрівномірного руху тіла по колу - це величина ω, що дорівнює відношенню кута повороту радіуса φ до проміжку часу, протягом якого скоєно цей поворот:

ω = φ / t

Одиниця вимірювання кутової швидкості – радіан за секунду [рад/с]. Модуль лінійної швидкості визначається ставленням довжини пройденого шляху l до проміжку часу t:

v=l/t

Лінійна швидкістьпри рівномірному русі по колу спрямована по дотичній у цій точці колу. При русі точки довжина l дуги кола, пройденої точкою, пов'язана з кутом повороту виразом φ

l = Rφ

де R – радіус кола.

Тоді у разі рівномірного руху точки лінійна та кутова швидкості пов'язані співвідношенням:

v = l / t = Rφ / t = Rω або v = Rω

Мал. 1.23. Радіан.

Період звернення- Це проміжок часу Т, протягом якого тіло (точка) здійснює один оборот по колу. Частота звернення– це величина, зворотна періоду звернення – число оборотів за одиницю часу (за секунду). Частота звернення позначається літерою n.

n = 1/T

За один період кут повороту φ точки дорівнює 2π радий, тому 2π = ωT, звідки

T = 2π/ω

Тобто кутова швидкість дорівнює

ω = 2π / T = 2πn

Центрошвидке прискоренняможна виразити через період Т та частоту звернення n:

a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2