C 2 trigonometrične identitete. Osnovne trigonometrične identitete: njihove formulacije in izpeljava. Formule za univerzalno trigonometrično zamenjavo

Trigonometrične identitete- to so enakosti, ki vzpostavljajo razmerje med sinusom, kosinusom, tangensom in kotangensom enega kota, kar vam omogoča, da najdete katero koli od teh funkcij, če je katera koli druga znana.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Ta identiteta pravi, da je vsota kvadrata sinusa enega kota in kvadrata kosinusa enega kota enaka ena, kar v praksi omogoča izračun sinusa enega kota, ko je znan njegov kosinus in obratno .

Pri pretvorbi trigonometričnih izrazov se zelo pogosto uporablja ta identiteta, ki vam omogoča, da zamenjate vsoto kvadratov kosinusa in sinusa enega kota z enico in izvedete tudi operacijo zamenjave v obratni vrstni red.

Iskanje tangensa in kotangensa z uporabo sinusa in kosinusa

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Te identitete so oblikovane iz definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Konec koncev, če pogledate, potem je po definiciji ordinata y sinus, abscisa x pa kosinus. Potem bo tangenta enaka razmerju \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), in razmerje \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bo kotangens.

Dodajmo, da bodo identitete veljale samo za take kote \alpha, pri katerih so trigonometrične funkcije, vključene v njih, smiselne, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Na primer: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) velja za kote \alpha, ki se razlikujejo od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- za kot \alpha, ki ni \pi z, je z celo število.

Razmerje med tangensom in kotangensom

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Ta istovetnost velja samo za kote \alpha, ki se razlikujejo od \frac(\pi)(2) z. V nasprotnem primeru kotangens ali tangens ne bosta določena.

Na podlagi zgornjih točk dobimo to tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Sledi, da tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Tako sta tangens in kotangens istega kota, pri katerem sta smiselna, medsebojno inverzna števila.

Razmerja med tangensom in kosinusom, kotangensom in sinusom

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- vsota kvadrata tangenta kota \alpha in 1 je enaka inverznemu kvadratu kosinusa tega kota. Ta identiteta velja za vse \alpha razen \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- vsota 1 in kvadrat kotangensa kota \alpha je enaka inverznemu kvadratu sinusa danega kota. Ta identiteta je veljavna za vse \alpha, ki se razlikujejo od \pi z.

Primeri z rešitvami problemov z uporabo trigonometričnih identitet

Primer 1

Poiščite \sin \alpha in tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 in \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Pokaži rešitev

rešitev

Funkciji \sin \alpha in \cos \alpha sta povezani s formulo \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Zamenjava v tej formuli \cos \alpha = -\frac12, dobimo:

\sin^(2)\alpha + \levo (-\frac12 \desno)^2 = 1

Ta enačba ima 2 rešitvi:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Po stanju \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V drugi četrtini je sinus pozitiven, torej \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Da bi našli tan \alpha, uporabimo formulo tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Primer 2

Poiščite \cos \alpha in ctg \alpha, če in \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Pokaži rešitev

rešitev

Zamenjava v formulo \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 dano številko \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), dobimo \levo (\frac(\sqrt3)(2)\desno)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Ta enačba ima dve rešitvi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Po stanju \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . V drugi četrtini je kosinus negativen, torej \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Da bi našli ctg \alpha , uporabimo formulo ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Poznamo ustrezne vrednosti.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Primeri identitet:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

Toda izraz \(\frac(x^2)(x)=x\) je identiteta le, če \(x≠0\) (sicer leva stran ne obstaja).

Kako dokazati identiteto?

Recept je neverjetno preprost:

Če želite dokazati identiteto, morate dokazati, da sta njena desna in leva stran enaki, tj. zmanjšajte na obliko "izraz" = "isti izraz".

na primer

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

Če želite to narediti, lahko:

1. Pretvorite samo desno ali samo levo stran.
2. Pretvorite oba dela hkrati.
3. Uporabite morebitne veljavne matematične transformacije (na primer prinesite podobne; odprite oklepaje; prenesite izraze iz enega dela v drugega, spremenite predznak; pomnožite ali delite levo in desna stran z istim številom ali izrazom, ki ni enak nič itd.).
4. Uporabite poljubne matematične formule.

Četrta točka pri dokazovanju identitete je najpogosteje uporabljena, zato je treba vse znati, zapomniti in znati uporabiti.

Primer . Dokažite trigonometrično istovetnost \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos(x)\)
rešitev :

Primer . Dokaži, da je izraz \(\frac (\cos^2(t))(1-\sin⁡(t))\)\(-\sin(⁡t)=1\) je identiteta.
rešitev :

Primer . Dokažite trigonometrično istovetnost \(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)
rešitev :

\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)		Tu bomo preoblikovali samo desno stran in jo poskušali zmanjšati na levo. Levo pustimo nespremenjeno. Spomnimo se.
\(1-tg^2 t=\)		Zdaj pa delimo člen za členom v ulomku (tj. uporabimo ga v nasprotni smeri): \(\frac(a+c)(b)\) \(=\) \(\frac(a)(b )\) \( +\)\(\frac(c)(b)\)
\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(-\)\(\frac(\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)		Zmanjšajmo prvi ulomek na desni strani in uporabimo za drugega: \(\frac(a^n)(b^n)\) \(=\)\((\frac(a)(b))^ n\) .
\(1-tg^2 t=1-\) \((\frac(\sin⁡t)(\cos⁡t))^2\)		No, sinus deljen s kosinusom je enak istemu kotu: \(\frac(\sin⁡x)(\cos⁡x)\) \(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)

Primer . Dokažite trigonometrično istovetnost \(=ctg(π+t)-1\)
rešitev :

\(\frac(\cos⁡2t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg(π+t)-1\)		Tukaj bomo preoblikovali oba dela: - na levi: transformirajte \(\cos⁡2t\) z ​​uporabo formule dvojnega kota; - in na desni \(ctg(π+t)\) za .
\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		Zdaj delamo samo z levo stranjo. V števcu bomo uporabili sinus, v imenovalcu pa sinus.
\(\frac((\cos⁡t-\sin(t))(\cos⁡t+\sin(t)))(\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡(t)))\)\(=ctg\:t-1\)		Zmanjšajmo ulomek za \(\cos(⁡t)+\sin(⁡t)\).
\(\frac(\cos⁡t-\sin(t))(\sin⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		Razdelite ulomek po členu in ga spremenite v dva ločena ulomka.
\(\frac(\cos⁡t)(\sin(t))-\frac(\sin(t))(\sin(t))\)\(=ctg\:t-1\)		Prvi ulomek je , drugi pa je enak ena.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		Leva stran je enaka desni, istovetnost je dokazana.

Kot lahko vidite, je vse precej preprosto, vendar morate poznati vse formule in lastnosti.

Kako dokazati osnovno trigonometrično istovetnost

Dva preprostih načinov izpeljati formulo \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Poznati morate le Pitagorov izrek in definicijo sinusa in kosinusa.

Odgovori na pogosto zastavljena vprašanja:

vprašanje: Kako določiti, kaj je treba preoblikovati v identiteti – levo stran, desno stran ali oboje skupaj?
odgovor: Ni razlike - v vsakem primeru boste dobili enak rezultat. Na primer, v tretjem primeru bi zlahka dobili z leve strani \(1-tg^2 t\) desno \(\frac(cos⁡2t)(cos^2⁡t)\)(poskusite sami). Ali preoblikujte oba tako, da se »srečata na sredini«, nekje na tem območju \(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(=\)\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\). Zato lahko to dokažete na kateri koli način, ki vam ustreza. Katero koli »pot« vidite, sledite tej. Edina glavna stvar je, da se preoblikujete "zakonito", to je razumeti, na podlagi katere lastnosti, pravila ali formule izvajate naslednjo preobrazbo.

Preprosto povedano, to je zelenjava, kuhana v vodi po posebnem receptu. Upošteval bom dve začetni komponenti (zelenjavno solato in vodo) in končni rezultat - boršč. Geometrično si ga lahko predstavljamo kot pravokotnik, pri čemer ena stran predstavlja solato, druga pa vodo. Seštevek teh dveh strani bo pokazal boršč. Diagonala in površina takšnega pravokotnika "boršč" sta povsem matematični pojmi in se nikoli ne uporabljata v receptih za boršč.

Kako se zelena solata in voda spremenita v boršč z matematičnega vidika? Kako lahko vsota dveh odsekov postane trigonometrija? Da bi to razumeli, potrebujemo linearne kotne funkcije.

V učbenikih za matematiko ne boste našli ničesar o linearnih kotnih funkcijah. A brez njih matematike ne more biti. Zakoni matematike, tako kot zakoni narave, delujejo ne glede na to, ali vemo za njihov obstoj ali ne.

Linearne kotne funkcije so adicijski zakoni. Oglejte si, kako se algebra spremeni v geometrijo in geometrija v trigonometrijo.

Ali je mogoče brez linearnih kotnih funkcij? Možno je, saj matematiki še vedno znajo brez njih. Trik matematikov je v tem, da nam vedno govorijo samo o tistih problemih, ki jih sami znajo rešiti, in nikoli ne govorijo o tistih problemih, ki jih ne morejo rešiti. Poglej. Če poznamo rezultat seštevanja in enega člena, uporabimo odštevanje, da poiščemo drugi člen. Vse. Drugih problemov ne poznamo in ne vemo, kako jih rešiti. Kaj storiti, če poznamo samo rezultat seštevanja in ne poznamo obeh členov? V tem primeru je treba rezultat seštevanja razstaviti na dva člena z uporabo linearnih kotnih funkcij. Nato sami izberemo, kakšen je lahko en člen, linearne kotne funkcije pa pokažejo, kakšen naj bo drugi člen, da bo rezultat seštevanja točno to, kar potrebujemo. Takšnih parov členov je lahko neskončno veliko. V vsakdanjem življenju se kar dobro znajdemo brez razčlenjevanja vsote, dovolj nam je odštevanje. Ampak ko znanstvena raziskava naravnih zakonov je lahko razgradnja vsote na njene komponente zelo koristna.

Še en zakon seštevanja, o katerem matematiki neradi govorijo (še en njihov trik), zahteva, da imajo izrazi enake merske enote. Za solato, vodo in boršč so to lahko enote teže, prostornine, vrednosti ali merske enote.

Slika prikazuje dve ravni razlike za matematično. Prva raven so razlike v polju številk, ki so označene a, b, c. To delajo matematiki. Druga raven so razlike na področju merskih enot, ki so prikazane v oglatih oklepajih in označene s črko U. To delajo fiziki. Razumemo tretjo raven - razlike v površini opisanih predmetov. Različni predmeti imajo lahko enako število enakih merskih enot. Kako pomembno je to, vidimo na primeru borške trigonometrije. Če isti oznaki enote za različne predmete dodamo indekse, lahko natančno povemo, katera matematična količina opisuje določen predmet in kako se spreminja skozi čas ali zaradi naših dejanj. Pismo W Vodo bom označil s črko S Solato bom označil s črko B- boršč. Tako bodo izgledale linearne kotne funkcije za boršč.

Če vzamemo del vode in del solate, se skupaj spremenita v eno porcijo boršča. Tukaj predlagam, da si vzamete malo odmora od boršča in se spomnite svojega daljnega otroštva. Se spomnite, kako so nas učili sestavljati zajčke in račke? Treba je bilo ugotoviti, koliko živali bo. Kaj so nas takrat učili? Učili so nas ločiti merske enote od števil in seštevati števila. Da, katera koli številka se lahko doda kateri koli drugi številki. To je neposredna pot v avtizem sodobne matematike - delamo nerazumljivo kaj, nerazumljivo zakaj in zelo slabo razumemo, kako je to povezano z realnostjo, saj od treh razlik matematiki operirajo samo z eno. Bolj pravilno bi bilo naučiti se premikati iz ene merske enote v drugo.

Zajčke, račke in male živali lahko štejemo po kosih. Ena skupna merska enota za različne predmete nam omogoča, da jih seštejemo. to otroška različica naloge. Oglejmo si podobno nalogo za odrasle. Kaj dobite, če dodate zajčke in denar? Tu sta možni dve rešitvi.

Prva možnost. Zajčkom določimo tržno vrednost in jo prištejemo razpoložljivemu denarnemu znesku. Imamo Skupni stroški naše bogastvo v denarju.

Druga možnost. K številu, ki ga imamo, lahko dodate število zajčkov bankovci. Prejeli bomo količino premičnin v kosih.

Kot lahko vidite, vam isti zakon dodajanja omogoča, da dobite različne rezultate. Vse je odvisno od tega, kaj točno želimo vedeti.

A vrnimo se k našemu boršču. Zdaj lahko vidimo, kaj bo kdaj različne pomene kot linearnih kotnih funkcij.

Kot je enak nič. Imamo solato, vode pa nimamo. Ne moremo kuhati boršča. Količina boršča je tudi nič. To sploh ne pomeni, da je nič boršča enako nič vode. Lahko je nič boršča z nič solate (pravi kot).

Zame osebno je to glavni matematični dokaz dejstva, da . Ničla pri dodajanju ne spremeni števila. To se zgodi zato, ker je seštevanje samo po sebi nemogoče, če obstaja samo en člen, drugi člen pa manjka. O tem se lahko počutite, kakor želite, vendar ne pozabite - vse matematične operacije z ničlo so izumili matematiki sami, zato zavrzite svojo logiko in neumno natlačite definicije, ki so jih izumili matematiki: "deljenje z ničlo je nemogoče", "katero koli število, pomnoženo z nič je enako nič« , »onkraj točke nič« in druge neumnosti. Dovolj je, da se enkrat spomnite, da nič ni število, in nikoli več ne boste imeli vprašanja, ali je nič naravno število ali ne, saj tako vprašanje izgubi vsak pomen: kako je mogoče nekaj, kar ni število, šteti za število. ? To je tako, kot če bi se spraševali, v katero barvo je treba razvrstiti nevidno barvo. Številu dodati ničlo je enako kot slikati z barvo, ki je ni. Pomahali smo s suhim čopičem in vsem povedali, da "smo slikali." Sem pa malo zašel.

Kot je večji od nič, vendar manjši od petinštirideset stopinj. Imamo veliko solate, a premalo vode. Kot rezultat bomo dobili debel boršč.

Kot je petinštirideset stopinj. Vodo in solato imamo v enakih količinah. To je popoln boršč (oprostite mi, kuharji, to je samo matematika).

Kot je večji od petinštirideset stopinj, vendar manjši od devetdeset stopinj. Imamo veliko vode in malo solate. Dobili boste tekoči boršč.

Pravi kot. Imamo vodo. Od solate so ostali le spomini, saj še naprej merimo kot od črte, ki je nekoč označevala solato. Ne moremo kuhati boršča. Količina boršča je nič. V tem primeru počakajte in pijte vodo, dokler jo imate)))

Tukaj. Nekaj ​​podobnega. Tukaj lahko povem druge zgodbe, ki bi bile tukaj več kot primerne.

Dva prijatelja sta imela svoj delež v skupnem poslu. Po umoru enega od njiju je vse šlo k drugemu.

Pojav matematike na našem planetu.

Vse te zgodbe so povedane v jeziku matematike z uporabo linearnih kotnih funkcij. Kdaj drugič vam bom pokazal pravo mesto teh funkcij v strukturi matematike. Medtem pa se vrnimo k trigonometriji boršta in razmislimo o projekcijah.

Sobota, 26. oktober 2019

Sreda, 7. avgust 2019

Če zaključimo pogovor o tem, moramo upoštevati neskončno množico. Bistvo je, da koncept "neskončnosti" vpliva na matematike, kot udav vpliva na zajca. Drhteča groza neskončnosti jemlje matematikom zdrav razum. Tukaj je primer:

Prvotni vir se nahaja. Alfa pomeni realno število. Enako v zgornjih izrazih pomeni, da če neskončnosti dodate število ali neskončnost, se nič ne spremeni, rezultat bo ista neskončnost. Če vzamemo za primer neskončno množico naravnih števil, potem lahko obravnavane primere predstavimo v tej obliki:

Da bi jasno dokazali, da so imeli prav, so se matematiki domislili številnih različnih metod. Osebno na vse te metode gledam kot na šamane, ki plešejo s tamburami. V bistvu se vsi spuščajo v to, da so bodisi nekatere sobe prazne in se vanje vselijo novi gostje ali pa nekatere obiskovalce vržejo ven na hodnik, da naredijo prostor za goste (zelo človeško). Svoj pogled na takšne odločitve sem predstavila v obliki domišljijske zgodbe o Blondinki. Na čem temelji moje sklepanje? Selitev neskončnega števila obiskovalcev traja neskončno veliko časa. Ko sprostimo prvo sobo za gosta, bo eden od obiskovalcev vselej hodil po hodniku iz svoje sobe v sosednjo do konca časa. Seveda lahko faktor časa neumno prezremo, vendar bo to v kategoriji "noben zakon ni napisan za bedake." Vse je odvisno od tega, kaj počnemo: prilagajamo realnost matematičnim teorijam ali obratno.

Kaj je "neskončni hotel"? Neskončni hotel je hotel, ki ima vedno poljubno število prostih postelj, ne glede na to, koliko sob je zasedenih. Če so vse sobe v neskončnem hodniku za "obiskovalce" zasedene, pride še en neskončni hodnik s sobami za "goste". Takih koridorjev bo neskončno veliko. Poleg tega ima »neskončni hotel« neskončno število nadstropij v neskončnem številu zgradb na neskončnem številu planetov v neskončnem številu vesolj, ki jih je ustvarilo neskončno število bogov. Matematiki se ne morejo distancirati od banalnih vsakdanjih problemov: vedno je samo en Bog-Alah-Buda, samo en hotel, en sam hodnik. Matematiki torej poskušajo žonglirati s serijskimi številkami hotelskih sob in nas prepričati, da je mogoče »vtakniti nemogoče«.

Logiko svojega razmišljanja vam bom predstavil na primeru neskončne množice naravnih števil. Najprej morate odgovoriti na zelo preprosto vprašanje: koliko nizov naravnih števil obstaja - enega ali več? Na to vprašanje ni pravilnega odgovora, saj smo si številke izmislili sami, številke v naravi ne obstajajo. Da, narava je odlična pri štetju, vendar za to uporablja druga matematična orodja, ki jih ne poznamo. Kaj si misli Narava, vam povem drugič. Ker smo si izmislili števila, se bomo sami odločili, koliko nizov naravnih števil obstaja. Razmislimo o obeh možnostih, kot se za prave znanstvenike spodobi.

Prva možnost. »Nam bo dan« en sam niz naravnih števil, ki spokojno leži na polici. Ta komplet vzamemo s police. To je to, drugih naravnih števil ni več na polici in jih ni kam vzeti. Temu nizu ga ne moremo dodati, ker ga že imamo. Kaj pa, če res želite? Brez težav. Lahko vzamemo enega iz že vzetega kompleta in ga vrnemo na polico. Nato lahko enega vzamemo s police in ga dodamo tistemu, kar nam je ostalo. Posledično bomo spet dobili neskončno množico naravnih števil. Vse naše manipulacije lahko zapišete takole:

Dejanja sem zapisal v algebraičnem zapisu in v zapisu teorije množic s podrobnim seznamom elementov množice. Indeks pomeni, da imamo eno in edino množico naravnih števil. Izkaže se, da bo množica naravnih števil ostala nespremenjena le, če ji odštejemo eno in dodamo isto enoto.

Druga možnost. Na naši polici imamo veliko različnih neskončnih množic naravnih števil. Poudarjam - RAZLIČNI, kljub temu, da se praktično ne razlikujejo. Vzemimo enega od teh sklopov. Nato vzamemo eno iz druge množice naravnih števil in ga dodamo že vzeti množici. Seštejemo lahko celo dva niza naravnih števil. Tole dobimo:

Indeks "ena" in "dva" pomenita, da ti elementi pripadajo različnim nizom. Da, če neskončnemu nizu dodate enega, bo rezultat prav tako neskončen niz, vendar ne bo enak izvirnemu nizu. Če eni neskončni množici dodate še eno neskončno množico, je rezultat nova neskončna množica, sestavljena iz elementov prvih dveh množic.

Množica naravnih števil se uporablja za štetje na enak način kot ravnilo za merjenje. Zdaj pa si predstavljajte, da ste ravnilu dodali en centimeter. To bo druga linija, ki ne bo enaka prvotni.

Lahko sprejmete ali ne sprejmete moje sklepanje - to je vaša stvar. Toda če se kdaj srečate z matematičnimi težavami, pomislite, ali sledite poti napačnega razmišljanja, ki so ga utirale generacije matematikov. Navsezadnje študij matematike v nas najprej oblikuje stabilen stereotip razmišljanja in šele nato povečuje naše umske sposobnosti (ali, nasprotno, odvzema svobodomiselnost).

pozg.ru

Nedelja, 4. avgust 2019

Končeval sem postscript k članku o in videl to čudovito besedilo na Wikipediji:

Beremo: »... bogat teoretična osnova Babilonska matematika ni imela celostnega značaja in je bila zreducirana na niz različnih tehnik, brez skupnega sistema in baze dokazov."

Vau! Kako pametni smo in kako dobro znamo videti pomanjkljivosti drugih. Ali težko gledamo na sodobno matematiko v istem kontekstu? Če rahlo parafraziram zgornji tekst, sem osebno dobil naslednje:

Bogata teoretična osnova sodobne matematike ni celovite narave in je reducirana na niz različnih razdelkov, brez skupnega sistema in baze dokazov.

Ne bom šel daleč, da bi potrdil svoje besede - ima jezik in konvencije, ki se razlikujejo od jezika in simbolištevilne druge veje matematike. Ista imena v različnih vejah matematike imajo lahko različne pomene. Celo vrsto publikacij želim posvetiti najbolj očitnim napakam sodobne matematike. Se vidiva kmalu.

Sobota, 3. avgust 2019

Kako razdeliti množico na podmnožice? Če želite to narediti, morate vnesti novo mersko enoto, ki je prisotna v nekaterih elementih izbranega niza. Poglejmo si primer.

Naj imamo veliko A ki ga sestavljajo štiri osebe. Ta množica je oblikovana na podlagi »ljudi«. Elemente te množice označimo s črko A, bo indeks s številko označeval zaporedno številko vsake osebe v tem nizu. Uvedimo novo mersko enoto "spol" in jo označimo s črko b. Ker so spolne značilnosti lastne vsem ljudem, vsak element nabora pomnožimo A glede na spol b. Upoštevajte, da je naš nabor »ljudi« zdaj postal nabor »ljudi s spolnimi značilnostmi«. Po tem lahko spolne značilnosti razdelimo na moške bm in ženske bw spolne značilnosti. Zdaj lahko uporabimo matematični filter: izberemo eno od teh spolnih značilnosti, ne glede na to, katero - moškega ali ženskega. Če ga ima oseba, ga pomnožimo z ena, če tega znaka ni, ga pomnožimo z nič. In potem uporabljamo redno šolsko matematiko. Poglej kaj se je zgodilo.

Po množenju, redukciji in preurejanju smo na koncu dobili dve podmnožici: podmnožico moških Bm in podmnožica žensk Bw. Matematiki razmišljajo na približno enak način, ko uporabljajo teorijo množic v praksi. Vendar nam ne povedo podrobnosti, ampak nam dajo končni rezultat - "veliko ljudi sestavlja podskupina moških in podskupina žensk." Seveda se lahko vprašate: kako pravilno je bila matematika uporabljena v zgoraj opisanih transformacijah? Upam si zagotoviti, da je bilo v bistvu vse narejeno pravilno, dovolj je poznavanje matematičnih osnov aritmetike, Boolove algebre in drugih vej matematike. Kaj je to? O tem vam bom povedal kdaj drugič.

Kar zadeva nadnabore, lahko združite dva nabora v en nadnabor tako, da izberete mersko enoto, ki je prisotna v elementih teh dveh naborov.

Kot lahko vidite, je zaradi merskih enot in običajne matematike teorija množic ostanek preteklosti. Znak, da s teorijo množic ni vse v redu, je, da so si matematiki izmislili svoj jezik in zapis za teorijo množic. Matematiki so se obnašali kot nekoč šamani. Samo šamani vedo, kako »pravilno« uporabiti svoje »znanje«. Učijo nas tega »znanja«.

Na koncu vam želim pokazati, kako matematiki manipulirajo.

Ponedeljek, 7. januar 2019

V petem stoletju pred našim štetjem je starogrški filozof Zenon iz Eleje oblikoval svoje znamenite aporije, med katerimi je najbolj znana aporija »Ahil in želva«. Takole zveni:

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes, znanstvena skupnost še ni uspela priti do enotnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Achilles teče z konstantna hitrost. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru v enem trenutku, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala ). Posebno pozornost želim opozoriti na to, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo mešati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.
Postopek vam bom pokazal na primeru. Izberemo "rdečo trdno snov v mozolju" - to je naša "celota". Hkrati vidimo, da so te stvari z lokom in so brez loka. Nato izberemo del "celote" in oblikujemo komplet "s pentljo". Tako se šamani prehranjujejo s povezovanjem svoje teorije nizov z realnostjo.

Zdaj pa naredimo majhen trik. Vzemimo "trdno z mozoljem z lokom" in združimo te "celine" glede na barvo, izberemo rdeče elemente. Dobili smo veliko "rdečega". Sedaj pa še zadnje vprašanje: ali sta nastala niza "s pentljo" in "rdeč" isti niz ali dva različna sklopa? Samo šamani poznajo odgovor. Natančneje, sami ne vedo ničesar, a kot pravijo, tako bo.

Ta preprost primer kaže, da je teorija množic popolnoma neuporabna, ko gre za realnost. Kaj je skrivnost? Oblikovali smo komplet "rdeča trdna z mozoljem in pentljo." Oblikovanje je potekalo v štirih različnih merskih enotah: barva (rdeča), trdnost (polna), hrapavost (mozoljasto), okras (z lokom). Samo nabor merskih enot nam omogoča, da realne objekte ustrezno opišemo v matematičnem jeziku. Takole izgleda.

Črka "a" z različnimi indeksi označuje različne merske enote. V oklepaju so označene merske enote, po katerih se v predhodni fazi loči "celota". Iz oklepaja je vzeta merska enota, s katero je nabor oblikovan. Zadnja vrstica prikazuje končni rezultat - element niza. Kot lahko vidite, če uporabljamo merske enote za oblikovanje niza, potem rezultat ni odvisen od vrstnega reda naših dejanj. In to je matematika in ne ples šamanov s tamburini. Šamani lahko "intuitivno" pridejo do enakega rezultata, pri čemer trdijo, da je "očiten", ker merske enote niso del njihovega "znanstvenega" arzenala.

Z uporabo merskih enot je zelo enostavno razdeliti en niz ali združiti več nizov v en nadnabor. Oglejmo si podrobneje algebro tega procesa.

Osnovna trigonometrična identiteta.

Za vsak kot α velja enakost sin^2 α + cos^2 α = 1, imenovana osnovna trigonometrična identiteta.

Dokaz.

Adicijske formule.

Za poljubna kota α in β veljajo enakosti:

Za pridobitev te formule razmislite o enotnem trigonometričnem krogu z dvema radijnima vektorjema OA in OB, ki ustrezata kotoma α in β. Po definiciji trigonometričnih funkcij sta koordinati vektorjev: OA (cos α, sin α) in OB (cos β, sin β). Izračunajmo skalarni produkt teh vektorjev: OA × OB = |OA| × |OB| × cos (α+β) = cos(α+β) Izračunajmo skalarni produkt vektorjev preko koordinat: OA × OB = cos α cos β – sin α sin β. To daje želeno formulo: cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β Če želite dobiti to formulo, morate zamenjati prejšnjo formulo β na –β .

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β To formulo dobimo z uporabo redukcijskih formul v prejšnji formuli.

sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β To formulo dobimo s substitucijo β na –β v prejšnji formuli.

Za vse kote α in β, tako da je α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α + β ≠ π/2 + πm (k, n, m pripadajo množici Z), velja naslednje :

Za vse kote α in β, tako da je α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α – β ≠ π/2 + πm (k, n, m pripadajo množici Z), velja naslednje :

Za vsaka kota α in β, tako da je α ≠ πk, β ≠ πn, α + β ≠ πm (k, n, m pripadajo množici Z), velja naslednje:

Za vsaka kota α in β, tako da je α ≠ πk, β ≠ πn, α – β ≠ πm (k, n, m pripadajo množici Z), velja:

Redukcijske formule.

Če narišemo kot iz navpična os, konj reče "da" (kimamo z glavo vzdolž osi OY) in reducibilna funkcija spremeni ime: sinus na kosinus, kosinus na sinus, tangens na kotangens, kotangens na tangens.

Če narišemo kot iz vodoravna os, konj reče »ne« (kimamo z glavo vzdolž OX osi) in zmanjšana funkcija ne spreminja imena.

Predznak na desni strani enačbe sovpada s predznakom reducibilne funkcije na levi strani enačbe.

1. četrtina: sin:+ cos:+ tg, ctg:+
2. četrtina: sin:+ cos:- tg, ctg:-
3. četrtina: sin:- cos:- tg, ctg:+
4. četrtina: sin:- cos:+ tg, ctg:-

Trigonometrične formule za dvojni kot, redukcijo stopnje in pol argumenta.

Formule dvojnega kota

• cos 2α = cos² α - sin² α
• cos 2α = 2cos² α - 1
• cos 2α = 1 - 2sin² α
• sin 2α = 2sin α cos α
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Znižaj

cos 2 t = 2 1+ cos 2 t; si n 2 t = 2 1 − cos 2 t

Članek podrobno opisuje osnovne trigonometrične identitete, ki določajo razmerje med sin, cos, t g, c t g danega kota. Če je ena funkcija znana, je prek nje mogoče najti drugo.

Trigonometrične identitete, ki jih je treba upoštevati v tem članku. Spodaj prikazujemo primer njihove izpeljave z razlago.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α

Pogovorimo se o pomembni trigonometrični identiteti, ki velja za osnovo trigonometrije.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Dane enačbe t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α izpeljemo iz glavne tako, da oba dela delimo s sin 2 α in cos 2 α. Po tem dobimo t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α in t g α · c t g α = 1 - to je posledica definicij sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa.

Enakost sin 2 α + cos 2 α = 1 je glavna trigonometrična identiteta. Če želite to dokazati, se morate obrniti na temo enotskega kroga.

Podane so koordinate točke A (1, 0), ki po zasuku za kot α postane točka A 1. Po definiciji sin in cos bo točka A 1 dobila koordinate (cos α, sin α). Ker se A 1 nahaja znotraj enotskega kroga, to pomeni, da morajo koordinate zadostiti pogoju x 2 + y 2 = 1 tega kroga. Izraz cos 2 α + sin 2 α = 1 bi moral veljati. Za to je potrebno dokazati glavno trigonometrično istovetnost za vse rotacijske kote α.

V trigonometriji se izraz sin 2 α + cos 2 α = 1 uporablja kot Pitagorov izrek v trigonometriji. Če želite to narediti, razmislite o podrobnem dokazu.

Z enotskim krogom zavrtimo točko A s koordinatami (1, 0) okoli središča O za kot α. Po rotaciji točka spremeni koordinate in postane enaka A 1 (x, y). Iz točke A 1 spustimo pravokotno črto A 1 H na O x.

Slika jasno kaže, da je tvorba pravokotni trikotnik O A 1 N. Modula katet O A 1 N in O N sta enaka, bo vnos v naslednji obliki: | A 1 H | = | y | , | N N | = | x | . Hipotenuza O A 1 ima vrednost, ki je enaka polmeru enotskega kroga | O A 1 | = 1. S tem izrazom lahko zapišemo enakost z uporabo Pitagorovega izreka: | A 1 N | 2 + | N N | 2 = | O A 1 | 2. Zapišimo to enakost kot | y | 2 + | x | 2 = 1 2, kar pomeni y 2 + x 2 = 1.

Z definicijo sin α = y in cos α = x nadomestimo podatke o kotu namesto koordinat točk in preidemo na neenakost sin 2 α + cos 2 α = 1.

Osnovna povezava med sin in cos kota je možna prek te trigonometrične istovetnosti. Tako lahko izračunamo greh kota z znanim cos in obratno. Za to je potrebno razrešiti sin 2 α + cos 2 = 1 glede na sin in cos, potem dobimo izraze v obliki sin α = ± 1 - cos 2 α in cos α = ± 1 - sin 2 α , oz. Velikost kota α določa predznak pred korenom izraza. Za podrobno razlago morate prebrati razdelek o izračunu sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa z uporabo trigonometričnih formul.

Najpogosteje se osnovna formula uporablja za transformacijo ali poenostavitev trigonometričnih izrazov. Vsoto kvadratov sinusa in kosinusa je mogoče zamenjati z 1. Zamenjava identitete je lahko v neposrednem in obratnem vrstnem redu: enota se nadomesti z izrazom vsote kvadratov sinusa in kosinusa.

Tangens in kotangens skozi sinus in kosinus

Iz definicije kosinusa in sinusa, tangensa in kotangensa je jasno, da so med seboj povezani, kar vam omogoča ločeno pretvorbo potrebnih količin.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Iz definicije je sinus ordinata y, kosinus pa abscisa x. Tangenta je razmerje med ordinato in absciso. Tako imamo:

t g α = y x = sin α cos α , kotangensni izraz pa ima nasprotni pomen, tj.

c t g α = x y = cos α sin α .

Iz tega sledi, da sta dobljeni identiteti t g α = sin α cos α in c t g α = cos α sin α določeni s kotoma sin in cos. Kot tangens se šteje razmerje med sinusom in kosinusom kota med njima, kotangens pa je nasprotno.

Upoštevajte, da t g α = sin α cos α in c t g α = cos α sin α veljata za katero koli vrednost kota α, katere vrednosti so vključene v obseg. Iz formule t g α = sin α cos α se vrednost kota α razlikuje od π 2 + π · z, c t g α = cos α sin α pa vzame vrednost kota α, ki je drugačna od π · z, z pa vrednost poljubnega celega števila.

Razmerje med tangensom in kotangensom

Obstaja formula, ki prikazuje razmerje med koti skozi tangens in kotangens. Ta trigonometrična identiteta je pomembna v trigonometriji in je označena kot t g α · c t g α = 1. Smiselno je za α s katero koli vrednostjo, ki ni π 2 · z, sicer funkcije ne bodo definirane.

Formula t g α · c t g α = 1 ima pri dokazu svoje posebnosti. Iz definicije imamo t g α = y x in c t g α = x y, zato dobimo t g α · c t g α = y x · x y = 1. S pretvorbo izraza in zamenjavo t g α = sin α cos α in c t g α = cos α sin α dobimo t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1.

Potem ima izraz tangens in kotangens pomen, ko na koncu dobimo medsebojno inverzna števila.

Tangens in kosinus, kotangens in sinus

Po transformaciji glavnih identitet pridemo do zaključka, da je tangens povezan s kosinusom, kotangens pa s sinusom. To je razvidno iz formul t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.

Definicija je naslednja: vsoto kvadrata tangenta kota in 1 enačimo z ulomkom, kjer imamo v števcu 1, v imenovalcu pa kvadrat kosinusa danega kota in vsoto kvadrata kotangensa kota je nasproten. Zahvaljujoč trigonometrični istovetnosti sin 2 α + cos 2 α = 1, lahko delimo ustrezne stranice s cos 2 α in dobimo t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, pri čemer vrednost cos 2 α ne sme biti enaka nič. Pri deljenju s sin 2 α dobimo istovetnost 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α, pri čemer vrednost sin 2 α ne sme biti enaka nič.

Iz zgornjih izrazov smo ugotovili, da je identiteta t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α resnična za vse vrednosti kota α, ki ne pripadajo π 2 + π · z, in 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α za vrednosti α, ki ne pripadajo intervalu π · z.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter