Kako najti inverzno matriko 2 vrst. Inverzna matrika. Iskanje inverzne matrike z Gaussovo eliminacijo neznank

Matrika $A^(-1)$ se imenuje inverz kvadratne matrike $A$, če je $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, kjer je $E $ je identitetna matrika, katere vrstni red je enak vrstnemu redu matrike $A$.

Nesingularna matrika je matrika, katere determinanta ni enaka nič. V skladu s tem je degenerirana matrika tista, katere determinanta je enaka nič.

Inverzna matrika $A^(-1)$ obstaja, če in samo če je matrika $A$ nesingularna. Če inverzna matrika $A^(-1)$ obstaja, potem je edinstvena.

Obstaja več načinov za iskanje inverzne matrike, mi pa si bomo ogledali dva izmed njih. Na tej strani bomo obravnavali metodo pridružene matrike, ki velja za standardno pri večini tečajev višje matematike. Drugi način iskanja inverzne matrike (metoda elementarnih transformacij), ki vključuje uporabo Gaussove metode ali Gauss-Jordanove metode, je obravnavan v drugem delu.

Metoda adjungirane (unije) matrike

Naj bo podana matrika $A_(n\krat n)$. Za iskanje inverzne matrike $A^(-1)$ so potrebni trije koraki:

Poiščite determinanto matrike $A$ in se prepričajte, da je $\Delta A\neq 0$, tj. da je matrika A nedegenerirana.
Sestavite algebraične komplemente $A_(ij)$ vsakega elementa matrike $A$ in iz najdenega zapišite matriko $A_(n\krat n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ algebrski komplementi.
Zapišite inverzno matriko ob upoštevanju formule $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matriko $(A^(*))^T$ pogosto imenujemo adjungirana (vzajemna, zavezniška) matrika $A$.

Če se odločitev sprejme ročno, potem je prva metoda dobra samo za matrike razmeroma majhnih naročil: druga (), tretja (), četrta (). Za iskanje inverzne matrike za matriko višjega reda se uporabljajo druge metode. Na primer Gaussova metoda, ki je obravnavana v drugem delu.

Primer #1

Poišči matriko, inverzno matriki $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(matrika) \desno)$.

Ker so vsi elementi četrtega stolpca enaki nič, potem je $\Delta A=0$ (tj. matrika $A$ je degenerirana). Ker je $\Delta A=0$, ni inverzne matrike $A$.

Odgovori: matrika $A^(-1)$ ne obstaja.

Primer #2

Poiščite matriko, inverzno matriki $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Izvedite pregled.

Uporabljamo metodo pridružene matrike. Najprej poiščimo determinanto podane matrike $A$:

$$ \Delta A=\levo| \begin(matrika) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(matrika)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Ker je $\Delta A \neq 0$, inverzna matrika obstaja, zato nadaljujemo rešitev. Iskanje algebraičnih dopolnil

\begin(poravnano) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(poravnano)

Sestavite matriko algebrskih komplementov: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponirajte dobljeno matriko: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (nastali matrika se pogosto imenuje adjungirana ali unijska matrika matriki $A$). Z uporabo formule $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ imamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(matrika) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(matrika)\desno) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Tako je najdena inverzna matrika: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \desno) $. Za preverjanje resničnosti rezultata je dovolj, da preverimo resničnost ene od enakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ali $A\cdot A^(-1)=E$. Preverimo enakost $A^(-1)\cdot A=E$. Da bi manj delali z ulomki, bomo matriko $A^(-1)$ nadomestili ne v obliki $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ ampak kot $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ konec (niz)\desno)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( array)\desno)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(matrika) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(matrika)\desno) =\levo(\begin(matrika) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(matrika )\desno) =E $$

Odgovori: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Primer #3

Poiščite inverzno matriko $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$. Izvedite pregled.

Začnimo z izračunom determinante matrike $A$. Torej je determinanta matrike $A$:

$$ \Delta A=\levo| \begin(matrika) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(matrika) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Ker je $\Delta A\neq 0$, inverzna matrika obstaja, zato nadaljujemo rešitev. Najdemo algebraične komplemente vsakega elementa dane matrike:

$$ \begin(poravnano) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\levo|\begin(matrika)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(matrika)\desno|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\levo|\begin(matrika)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(matrika)\desno|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(matrika)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(matrika)\desno|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(matrika)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(matrika)\desno|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(matrika)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(matrika)\desno|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(matrika)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(matrika)\desno|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(matrika)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(matrika)\desno|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(matrika)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(matrika)\desno|=37. \end(poravnano) $$

Sestavimo matriko algebrskih dodatkov in jo transponiramo:

$$ A^*=\left(\begin(matrika) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(matrika) \desno); \; (A^*)^T=\levo(\begin(matrika) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(matrika) \desno) . $$

Z uporabo formule $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ dobimo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(matrika) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(matrika) \right)= \left(\begin(matrika) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(matrika) \desno) $$

Torej $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Za preverjanje resničnosti rezultata je dovolj, da preverimo resničnost ene od enakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ali $A\cdot A^(-1)=E$. Preverimo enakost $A\cdot A^(-1)=E$. Da bi manj delali z ulomki, bomo matriko $A^(-1)$ nadomestili ne v obliki $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, vendar kot $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(matrika) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(matrika) \desno)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\levo(\begin(matrika)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(matrika) \desno)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(matrika) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ konec (matrika) \desno) =\frac(1)(26)\cdot\levo(\začetek(matrika) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\konec (matrika) \desno) =\levo(\začetek(matrika) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(matrika) \desno) =E $$

Preverjanje je bilo uspešno opravljeno, inverzna matrika $A^(-1)$ je bila najdena pravilno.

Odgovori: $A^(-1)=\levo(\začetek(matrika) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Primer #4

Poiščite inverzno matriko $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(matrika) \desno)$.

Za matriko četrtega reda je iskanje inverzne matrike z uporabo algebraičnih dodatkov nekoliko težavno. Vendar takšni primeri kontrolno delo srečati.

Če želite najti inverzno matriko, morate najprej izračunati determinanto matrike $A$. Najboljši način za to v tej situaciji je razširitev determinante v vrstico (stolpec). Izberemo poljubno vrstico ali stolpec in vsakemu elementu izbrane vrstice ali stolpca poiščemo algebraični komplement.

Na primer, za prvo vrstico dobimo:

$$ A_(11)=\levo|\začetek(matrika)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(matrika)\desno|=556; \; A_(12)=-\levo|\začetek(matrika)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(matrika)\desno|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\levo|\začetek(matrika)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(matrika)\desno|= -536;\; A_(14)=-\levo|\začetek(matrika)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(matrika)\desno|=-112. $$

Determinanto matrike $A$ izračunamo po naslednji formuli:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(poravnano) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(poravnano) $$

Algebraična komplementarna matrika: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\end(matrika)\desno)$.

Priložena matrika: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(matrika)\desno)$.

Inverzna matrika:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(matrika) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(matrika) \desno)= \levo(\začetek(matrika) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Preverjanje po želji lahko izvedemo na enak način kot v prejšnjih primerih.

Odgovori: $A^(-1)=\levo(\začetek(matrika) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(matrika) \desno) $.

V drugem delu bo obravnavan drug način iskanja inverzne matrike, ki vključuje uporabo transformacij Gaussove metode ali Gauss-Jordanove metode.

Matrična algebra - inverzna matrika

inverzna matrika

inverzna matrika Imenuje se matrika, ki, ko jo pomnožimo tako na desni kot na levi z dano matriko, damo matriko identitete.
Označimo matriko inverzno matriki AMPAK skozi, potem po definiciji dobimo:

kje E je identitetna matrika.
kvadratna matrika klical neposebne (nedegeneriran), če njegova determinanta ni enaka nič. V nasprotnem primeru se imenuje poseben (degeneriran) oz ednina.

Obstaja izrek: vsaka nesingularna matrika ima inverzno matriko.

Imenuje se operacija iskanja inverzne matrike pritožba matrice. Razmislite o algoritmu za inverzijo matrike. Naj bo podana nesingularna matrika n-th red:

kjer je Δ = det A ≠ 0.

Algebraični elementni komplement matrice n-th red AMPAK determinanta matrike ( n–1)-ti vrstni red dobljen z brisanjem jaz-ta vrstica in j-th stolpec matrike AMPAK:

Ustvarimo t.i priloženo matrika:

kjer so algebraični komplementi ustreznih elementov matrike AMPAK.
Upoštevajte, da so algebrski komplementi vrstičnih elementov matrike AMPAK so postavljeni v ustrezne stolpce matrike Ã , to pomeni, da se matrika prenaša hkrati.
Razdelitev vseh elementov matrike Ã na Δ - vrednost determinante matrike AMPAK, kot rezultat dobimo inverzno matriko:

Opazimo številne posebne lastnosti inverzne matrike:
1) za dano matriko AMPAK njegova inverzna matrika je edini;
2) če obstaja inverzna matrika, potem desno vzvratno in levo vzvratno matrike sovpadajo z njim;
3) posebna (degenerirana) kvadratna matrika nima inverzne matrike.

Glavne lastnosti inverzne matrike:
1) determinanta inverzne matrike in determinanta izvirne matrike sta recipročni;
2) inverzna matrika produkta kvadratnih matrik je enaka produktu inverznih matrik faktorjev, vzetih v obratnem vrstnem redu:

3) transponirana inverzna matrika je enaka inverzni matriki iz dane transponirane matrike:

PRIMER Izračunaj inverzno matriko dane.

Iskanje inverzne matrike je postopek, ki je sestavljen iz precej preprostih korakov. Toda ta dejanja se ponavljajo tako pogosto, da je postopek precej dolgotrajen. Glavna stvar je, da pri odločanju ne izgubite pozornosti.

Pri reševanju najpogostejše metode - algebraičnih dodatkov - boste potrebovali:

Pri reševanju primerov bomo ta dejanja podrobneje analizirali. Medtem pa poglejmo, kaj pravi teorija inverzne matrike.

Za inverzna matrika obstaja primerna analogija z recipročno vrednostjo števila. Za vsako številko a, ki ni enako nič, obstaja število b da delo a in b enako ena: ab= 1. številka b se imenuje recipročna vrednost števila b. Na primer, za število 7 je obratno število 1/7, saj je 7*1/7=1.

inverzna matrika , ki ga je treba najti za dano kvadratno matriko AMPAK, se takšna matrika imenuje

produkt, s katerim matrice AMPAK na desni je identitetna matrika, tj.
. (1)

Identifikacijska matrika je diagonalna matrika, v kateri so vsi diagonalni vnosi enaki ena.

Iskanje inverzne matrike- problem, ki se najpogosteje rešuje na dva načina:

metoda algebrskih komplementov, pri kateri je, kot je bilo omenjeno na začetku lekcije, potrebno najti determinante, minore in algebrske komplemente ter transponirati matrike;
Gaussova eliminacija neznank, ki zahteva elementarne transformacije matrik (seštevanje vrstic, množenje vrstic z istim številom itd.).

Za tiste, ki so še posebej radovedni, obstajajo druge metode, na primer metoda linearnih transformacij. V tej lekciji bomo analizirali tri omenjene metode in algoritme za iskanje inverzne matrike s temi metodami.

Izrek.Za vsako nesingularno (nedegenerirano, nesingularno) kvadratno matriko lahko najdemo inverzno matriko in še več, samo eno. Za posebno (degenerirano, singularno) kvadratno matriko inverzna matrika ne obstaja.

Kvadratna matrika se imenuje neposebne(oz nedegeneriran, needninski), če njegova determinanta ni enaka nič, in poseben(oz degeneriran, ednina), če je njegova determinanta nič.

Inverzno matriko lahko najdemo samo za kvadratno matriko. Seveda bo tudi inverzna matrika kvadratna in istega reda kot dana matrika. Matriko, za katero je mogoče najti inverzno matriko, imenujemo invertibilna matrika.

Iskanje inverzne matrike z Gaussovo eliminacijo neznank

Prvi korak pri iskanju inverzne matrike z Gaussovo eliminacijo je pripisovanje matriki A identitetna matrika istega reda, ki ju ločuje z navpično prečko. Dobimo dvojno matriko. Oba dela te matrike pomnožimo z , potem dobimo

Algoritem za iskanje inverzne matrike z Gaussovo eliminacijo neznank

1. Na matrico A dodelite identitetno matriko istega reda.

2. Preoblikujte nastalo dvojno matriko tako, da dobite identitetno matriko v njenem levem delu, nato pa bo inverzna matrika samodejno pridobljena v desnem delu namesto identitetne matrike. Matrix A na levi strani se z elementarnimi transformacijami matrike pretvori v identitetno matriko.

2. Če je v procesu matrične transformacije A v identitetni matriki v kateri koli vrstici ali v katerem koli stolpcu bodo samo ničle, potem je determinanta matrike enaka nič, zato je matrika A bo degenerirana in nima inverzne matrike. V tem primeru se nadaljnje iskanje inverzne matrike ustavi.

Primer 2 Za matrico

poiščite inverzno matriko.

in jo bomo preoblikovali tako, da bo identitetna matrika pridobljena na levi strani. Začnimo preobrazbo.

Pomnožimo prvo vrstico leve in desne matrike z (-3) in jo dodamo drugi vrstici, nato pa prvo vrstico pomnožimo z (-4) in jo dodamo tretji vrstici, potem dobimo

Da pri nadaljnjih transformacijah, če je mogoče, ne bo ulomkov, bomo najprej ustvarili enoto v drugi vrstici na levi strani dvojne matrike. Če želite to narediti, pomnožite drugo vrstico z 2 in od nje odštejte tretjo vrstico, nato pa dobimo

Dodajmo prvo vrstico drugi, nato pa drugo vrstico pomnožimo z (-9) in jo dodamo tretji vrstici. Potem dobimo

Nato tretjo vrstico delite z 8

Tretjo vrstico pomnožite z 2 in jo dodajte drugi vrstici. Izkazalo se je:

Zamenjaj drugo in tretjo vrstico, potem končno dobimo:

Vidimo, da je identitetna matrika pridobljena na levi strani, zato je inverzna matrika pridobljena na desni strani. V to smer:

Pravilnost izračunov lahko preverite tako, da prvotno matriko pomnožite z najdeno inverzno matriko:

Rezultat mora biti inverzna matrika.

Rešitev lahko preverite z spletni kalkulator za iskanje inverzne matrike .

Primer 3 Za matrico

poiščite inverzno matriko.

rešitev. Sestavljanje dvojne matrike

in ga bomo preoblikovali.

Prvo vrstico pomnožimo s 3, drugo z 2 in odštejemo od druge, nato pa prvo vrstico pomnožimo s 5, tretjo z 2 in odštejemo od tretje vrstice, potem dobimo

Običajno se obratne operacije uporabljajo za poenostavitev kompleksnih algebrskih izrazov. Na primer, če problem vsebuje operacijo deljenja z ulomkom, jo lahko nadomestite z operacijo množenja z recipročno vrednostjo, kar je inverzna operacija. Poleg tega matrik ni mogoče deliti, zato morate pomnožiti z inverzno matriko. Izračun inverzne matrike 3x3 je precej dolgočasen, vendar ga morate znati narediti ročno. Vzajemno vrednost lahko poiščete tudi z dobrim grafičnim kalkulatorjem.

Koraki

Z uporabo priložene matrice

Transponirajte izvirno matriko. Transpozicija je zamenjava vrstic s stolpci glede na glavno diagonalo matrike, to pomeni, da morate zamenjati elemente (i, j) in (j, i). V tem primeru se elementi glavne diagonale (začne se v zgornjem levem kotu in konča v spodnjem desnem kotu) ne spremenijo.

Če želite vrstice zamenjati s stolpci, zapišite elemente prve vrstice v prvi stolpec, elemente druge vrstice v drugi stolpec in elemente tretje vrstice v tretji stolpec. Vrstni red spreminjanja položaja elementov je prikazan na sliki, na kateri so ustrezni elementi obkroženi z barvnimi krogci.

Poiščite definicijo vsake matrike 2x2. Vsak element katere koli matrike, vključno s transponirano, je povezan z ustrezno matriko 2x2. Če želite najti matriko 2x2, ki ustreza določenemu elementu, prečrtajte vrstico in stolpec, v katerem se ta element nahaja, to pomeni, da morate prečrtati pet elementov prvotne matrike 3x3. Štirje elementi, ki so elementi ustrezne matrike 2x2, bodo ostali neprečrtani.

Če želite na primer najti matriko 2x2 za element, ki se nahaja na presečišču druge vrstice in prvega stolpca, prečrtajte pet elementov, ki so v drugi vrstici in prvem stolpcu. Preostali štirje elementi so elementi ustrezne matrike 2x2.
Poiščite determinanto vsake matrike 2x2. Če želite to narediti, odštejte produkt elementov sekundarne diagonale od produkta elementov glavne diagonale (glejte sliko).
Podrobne informacije o matrikah 2x2, ki ustrezajo določenim elementom matrike 3x3, lahko najdete na internetu.

Ustvarite matriko kofaktorjev. Prej pridobljene rezultate zapišite v obliki nove matrike kofaktorjev. Če želite to narediti, zapišite najdeno determinanto vsake matrike 2x2, kjer se je nahajal ustrezni element matrike 3x3. Na primer, če se za element (1,1) upošteva matrika 2x2, zapišite njeno determinanto na mestu (1,1). Nato spremenite znake ustreznih elementov po določenem vzorcu, ki je prikazan na sliki.

Shema spremembe predznaka: predznak prvega elementa prve vrstice se ne spremeni; predznak drugega elementa prve vrstice je obrnjen; predznak tretjega elementa prve vrstice se ne spremeni in tako naprej vrstico za vrstico. Upoštevajte, da znaka "+" in "-", ki sta prikazana na diagramu (glej sliko), ne pomenita, da bo ustrezni element pozitiven ali negativen. V tem primeru znak "+" pomeni, da se predznak elementa ne spremeni, znak "-" pa, da se je predznak elementa spremenil.
Podrobne informacije o kofaktorskih matrikah najdete na internetu.
Tako najdete povezano matriko izvirne matrike. Včasih se imenuje kompleksna konjugirana matrika. Takšna matrika je označena kot adj(M).

Vsak element adjungirane matrike razdelite z determinanto. Na samem začetku smo izračunali determinanto matrike M, da bi preverili, ali inverzna matrika obstaja. Zdaj razdelite vsak element adjungirane matrike s to determinanto. Zapišite rezultat vsake operacije deljenja, kjer se nahaja ustrezni element. Tako boste našli matrico, obratno od izvirnika.

Determinanta matrike, prikazane na sliki, je 1. Tako je povezana matrika tukaj inverzna matrika (ker deljenje katerega koli števila z 1 tega ne spremeni).
V nekaterih virih je operacija deljenja nadomeščena z operacijo množenja z 1/det(M). V tem primeru se končni rezultat ne spremeni.

Zapišite inverzno matriko. Elemente, ki se nahajajo na desni polovici velike matrike, zapišite kot ločeno matriko, ki je inverzna matrika.

Uporaba kalkulatorja

Izberite kalkulator, ki deluje z matrikami. Z uporabo preprosti kalkulatorji inverzne matrike ni mogoče najti, lahko pa jo naredite na dobrem grafičnem kalkulatorju, kot sta Texas Instruments TI-83 ali TI-86.

Vnesite izvirno matriko v pomnilnik kalkulatorja.Če želite to narediti, kliknite gumb Matrix, če je na voljo. Pri kalkulatorju Texas Instruments boste morda morali pritisniti gumba 2 nd in Matrix.

Izberite meni Uredi. To storite s puščičnimi gumbi ali ustreznimi funkcijski gumb, ki se nahaja na vrhu tipkovnice kalkulatorja (lokacija gumba je odvisna od modela kalkulatorja).

Vnesite oznako matrice. Večina grafičnih kalkulatorjev lahko dela s 3-10 matricami, ki jih lahko označimo črke A-J. Kot splošno pravilo samo izberite [A], da označite izvirno matriko. Nato pritisnite gumb Enter.

Vnesite velikost matrice. Ta članek govori o matricah 3x3. Toda grafični kalkulatorji lahko delujejo z matricami velike velikosti. Vnesite število vrstic, pritisnite gumb Enter, nato vnesite število stolpcev in ponovno pritisnite gumb Enter.

Vnesite vsak element matrike. Na zaslonu kalkulatorja bo prikazana matrika. Če je bila matrika že vnesena v kalkulator, se bo prikazala na zaslonu. Kazalec bo osvetlil prvi element matrike. Vnesite vrednost prvega elementa in pritisnite Enter. Kazalec se bo samodejno premaknil na naslednji element matrike.

inverzna matrika je matrika A -1, ko jo pomnožimo z dano začetno matriko A poda matriko identitete E:

AA −1 = A −1 A =E.

Metoda inverzne matrike.

Metoda inverzne matrike- to je ena najpogostejših metod za reševanje matrik in se uporablja za reševanje sistemov linearnih algebrskih enačb (SLAE) v primerih, ko število neznank ustreza številu enačb.

Naj bo sistem n linearne enačbe z n neznano:

Tak sistem lahko zapišemo kot matrično enačbo A*X=B,

kje
- sistemska matrika,

- stolpec neznanih,

- stolpec prostih koeficientov.

Iz izpeljane matrične enačbe izrazimo X tako, da obe strani matrične enačbe na levi pomnožimo z A-1, kaže v:

A -1 * A * X = A -1 * B

Vedeti to A-1*A=E, potem E*X=A-1*B oz X=A-1*B.

Naslednji korak je določitev inverzne matrike A-1 in pomnoženo s stolpcem brezplačnih članov B.

Inverzna matrika v matriko A obstaja samo takrat, ko det A≠ 0 . Glede na to je pri reševanju SLAE z metodo inverzne matrike prvi korak iskanje det A. Če det A≠ 0 , potem ima sistem samo eno rešitev, ki jo lahko dobimo z metodo inverzne matrike, če det A = 0, potem tak sistem metoda inverzne matrike ni rešeno.

Rešitev inverzne matrike.

Zaporedje dejanj za rešitve inverzne matrike:

Pridobite determinanto matrike A. Če je determinanta večja od nič, rešujemo inverzno matriko naprej, če je enaka nič, potem inverzne matrike tukaj ne najdemo.
Iskanje transponirane matrike AT.
Iščemo algebrske komplemente, nakar zamenjamo vse elemente matrike z njihovimi algebrskimi komplementi.
Inverzno matriko zberemo iz algebrskih dodatkov: vse elemente dobljene matrike delimo z determinanto prvotno dane matrike. Končna matrika bo želena inverzna matrika glede na prvotno.

Spodnji algoritem rešitve inverzne matrike v bistvu enako kot zgoraj, razlika je le v nekaj korakih: najprej določimo algebraične dodatke, nato pa izračunamo unijsko matriko C.

Ugotovite, ali je dana matrika kvadratna. V primeru negativnega odgovora postane jasno, da zanj ne more obstajati inverzna matrika.
Ugotovite, ali je dana matrika kvadratna. V primeru negativnega odgovora postane jasno, da zanj ne more obstajati inverzna matrika.
Računamo algebraične dodatke.
Sestavimo zavezniško (vzajemno, pripeto) matriko C.
Inverzno matriko sestavimo iz algebrskih dodatkov: vseh elementov adjungirane matrike C delimo z determinanto začetne matrike. Dobljena matrika bo želena inverzna matrika glede na dano.
Preverimo opravljeno delo: pomnožimo začetno in dobljeno matriko, rezultat naj bo identitetna matrika.

To je najbolje narediti s priloženo matrico.

Izrek: Če kvadratni matriki na desni strani dodelimo identitetno matriko istega reda in začetno matriko na levi pretvorimo v enotsko matriko z uporabo elementarnih transformacij nad vrsticami, potem bo tista, dobljena na desni strani, inverzna na začetni.