Lastnost višine pravokotnega trikotnika padla na hipotenuzo. Pravokotni trikotnik. Podrobna teorija s primeri. Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov
Trikotniki.
Osnovni pojmi.
Trikotnik- to je figura, sestavljena iz treh segmentov in treh točk, ki ne ležijo na eni ravni črti.
Segmenti se imenujejo stranke, in točke vrhovi.
Vsota kotov trikotnik je enak 180 º.
Višina trikotnika.
Višina trikotnika je navpičnica, potegnjena iz oglišča na nasprotno stran.
V ostrokotnem trikotniku se višina nahaja znotraj trikotnika (slika 1).
V pravokotnem trikotniku so kraki višine trikotnika (slika 2).
V tupokotnem trikotniku višina poteka zunaj trikotnika (slika 3).
Lastnosti višine trikotnika:
Simetrala trikotnika.
Simetrala trikotnika- to je odsek, ki razpolavlja vogal oglišča in povezuje oglišče s točko na nasprotni strani (slika 5).
Lastnosti simetrale:
Mediana trikotnika.
Srednja trikotnik- to je segment, ki povezuje vrh s sredino nasprotne strani (slika 9a).
| Dolžino mediane lahko izračunamo po formuli: 2b 2 + 2c 2 - a 2 Kje m a- mediana potegnjena vstran A. V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena na hipotenuzo, polovica hipotenuze: c Kje mc je mediana, potegnjena na hipotenuzo c(slika 9c) Mediani trikotnika se sekata v eni točki (v masnem središču trikotnika) in ju deli ta točka v razmerju 2:1, šteto od vrha. To pomeni, da je odsek od oglišča do središča dvakrat večji od odseka od središča do stranice trikotnika (slika 9c). Tri mediane trikotnika ga delijo na šest enako velikih trikotnikov. |
Srednja črta trikotnika.
Srednja črta trikotnika- to je segment, ki povezuje razpolovni točki njegovih dveh strani (slika 10).
Srednja črta trikotnika je vzporedna s tretjo stranico in enaka njeni polovici.
Zunanji kot trikotnika.
zunanji kot trikotnik je enak vsoti dveh nesosednjih notranjih kotov (slika 11).
Zunanji kot trikotnika je večji od katerega koli nesosednjega kota.
Pravokotni trikotnik.
Pravokotni trikotnik- to je trikotnik, ki ima pravi kot (slika 12).
Stran pravokotnega trikotnika, ki je nasprotna pravemu kotu, se imenuje hipotenuza.
Drugi dve strani se imenujeta noge.
Proporcionalni odseki v pravokotnem trikotniku.
1) V pravokotnem trikotniku je višina, ki poteka iz pravi kot, tvori tri podobne trikotnike: ABC, ACH in HCB (slika 14a). V skladu s tem so koti, ki jih tvori višina, enaki kotoma A in B.
Slika 14a
Enakokraki trikotnik.
Enakokraki trikotnik- to je trikotnik, v katerem sta dve strani enaki (slika 13).
Te enake strani se imenujejo straneh, in tretji osnova trikotnik.
V enakokrakem trikotniku sta kota pri dnu enaka. (V našem trikotniku je kot A enak kotu C).
V enakokrakem trikotniku je mediana, potegnjena na osnovo, simetrala in višina trikotnika.
Enakostranični trikotnik.
Enakostranični trikotnik je trikotnik, v katerem so vse stranice enake (slika 14).
Lastnosti enakostraničnega trikotnika:
Izjemne lastnosti trikotnikov.
Trikotniki imajo izvirne lastnosti, ki vam bodo pomagale pri uspešnem reševanju težav, povezanih s temi oblikami. Nekatere od teh lastnosti so opisane zgoraj. Vendar jih znova ponavljamo in jim dodajamo nekaj drugih odličnih funkcij:
| 1) V pravokotnem trikotniku s koti 90º, 30º in 60º je krak b, ki leži nasproti kota 30º, je enako polovica hipotenuze. Nogaa več nogb√3-krat (slika 15 A). Na primer, če je krak b enak 5, potem je hipotenuza c nujno enako 10, in noga A je enako 5√3. 2) V pravokotnem enakokrakem trikotniku s koti 90º, 45º in 45º je hipotenuza √2-krat večja od kraka (slika 15). b). Na primer, če je kateta 5, potem je hipotenuza 5√2. 3) Srednja črta trikotnika je enaka polovici vzporedne strani (slika 15). z). Na primer, če je stranica trikotnika 10, potem je srednja črta, vzporedna z njo, 5. 4) V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena na hipotenuzo, enaka polovici hipotenuze (slika 9c): mc= c/2. 5) Srednjici trikotnika, ki se sekata v eni točki, deli ta točka v razmerju 2:1. To pomeni, da je odsek od oglišča do točke presečišča median dvakrat večji od odseka od točke presečišča median do strani trikotnika (slika 9c) 6) V pravokotnem trikotniku je središče hipotenuze središče opisanega kroga (slika 15). d). |
Znaki enakosti trikotnikov.
Prvi znak enakosti: Če sta dve stranici in kot med njima enega trikotnika enaka dvema stranicama in kotu med njima drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.
Drugi znak enakosti: če so stranica in nanjo priležni koti enega trikotnika enaki stranici in nanjo priležnim kotom drugega trikotnika, so taki trikotniki skladni.
Tretji znak enakosti: Če so tri stranice enega trikotnika enake trem stranicam drugega trikotnika, so taki trikotniki skladni.
Neenakost trikotnika.
V katerem koli trikotniku je vsaka stranica manjša od vsote drugih dveh strani.
Pitagorov izrek.
V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov nog:
c 2 = a 2 + b 2 .
Območje trikotnika.
1) Površina trikotnika je enaka polovici zmnožka njegove stranice in višine, narisane na to stran:
ah
S = ——
2
2) Površina trikotnika je enaka polovici produkta katerih koli dveh njegovih stranic in sinusa kota med njima:
1
S = —
AB ·
AC ·
greh A
2
Trikotnik, obkrožen okrog kroga.
Krog se imenuje vpisan v trikotnik, če se dotika vseh njegovih strani (slika 16 A).
Trikotnik včrtan v krog.
Trikotnik se imenuje vpisan v krog, če se ga dotika z vsemi oglišči (slika 17). a).
Sinus, kosinus, tangens, kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika (slika 18).
Sinus ostri kot x nasprotje katetra do hipotenuze.
Označeno takole: grehx.
Kosinus ostri kot x pravokotni trikotnik je razmerje sosednji katetra do hipotenuze.
Označuje se takole: cos x.
Tangenta ostri kot x je razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim krakom.
Označeno takole: tgx.
Kotangens ostri kot x je razmerje med sosednjim in nasprotnim krakom.
Označeno takole: ctgx.
Pravila:
Noga v nasprotnem kotu x, je enako produktu hipotenuze in sin x:
b=c greh x
Noga ob vogalu x, je enak produktu hipotenuze in cos x:
a = c cos x
Noga v nasprotnem kotu x, je enak produktu druge noge in tg x:
b = a tg x
Noga ob vogalu x, je enak zmnožku druge noge in ctg x:
a = b ctg x.
Za vsak oster kot x:
greh (90° - x) = cos x
cos (90° - x) = greh x
Pravzaprav vse sploh ni tako strašljivo. Seveda je treba v članku pogledati "pravo" definicijo sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa. Ampak res nočeš, kajne? Lahko se veselimo: če želite rešiti probleme o pravokotnem trikotniku, lahko preprosto izpolnite naslednje preproste stvari:
Kaj pa kot? Ali obstaja krak, ki je nasproti kotu, torej nasprotni krak (za kot)? Seveda imajo! To je katet!
Kaj pa kot? Poglej natančno. Kateri krak meji na kot? Seveda mačka. Torej, za kot je krak sosednji in
In zdaj, pozor! Poglejte, kaj imamo:
Poglejte, kako super je:
Zdaj pa preidimo na tangento in kotangens.
Kako zdaj to ubesediti? Kakšen je krak glede na vogal? Nasproti, seveda - "leži" nasproti vogala. In katet? V bližini vogala. Kaj smo torej dobili?
Vidite, kako sta števec in imenovalec obrnjena?
In zdaj spet vogali in narejena izmenjava:
Povzetek
Na kratko zapišimo, kaj smo se naučili.
 |
Pitagorov izrek: |
Glavni izrek pravokotnega trikotnika je Pitagorov izrek.
Pitagorov izrek
Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ne, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje
Možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, toda ali ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži. Kako bi to dokazal? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.
Vidite, kako zvito smo razdelili njene stranice na dolžinske segmente in!
Sedaj povežimo označene točke
Tukaj pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte sliko in razmislite zakaj.
Kolikšna je površina večjega kvadrata?
Prav, .
Kaj pa manjša površina?
Vsekakor,.
Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da smo vzeli dva in jih naslonili enega na drugega s hipotenuzami.
Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. Torej je površina "potaknjencev" enaka.
Sestavimo vse skupaj.
Preobrazimo:
Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.
Pravokotni trikotnik in trigonometrija
Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:
Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotnim krakom in hipotenuzo
Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.
Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotnim krakom in sosednjim krakom.
Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjim in nasprotnim krakom.
In še enkrat vse to v obliki krožnika:
Zelo je udobno!
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov
I. Na dveh nogah
II. Po nogi in hipotenuzi
III. S hipotenuzo in ostrim kotom
IV. Ob kraku in ostrem kotu
a) 
b) 
Pozor! Tukaj je zelo pomembno, da so noge "korespondenčne". Na primer, če gre takole:
POTEM TRIKOTNIKA NISTA ENAKA, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.
Moram v obeh trikotnikih je bila noga sosednja ali v obeh - nasproti.
Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov?
Oglejte si temo "in bodite pozorni na dejstvo, da za enakost "navadnih" trikotnikov potrebujete enakost njihovih treh elementov: dveh stranic in kota med njima, dveh kotov in stranice med njima ali treh stranic.
Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super je, kajne?
Približno enaka situacija z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.
Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov
I. Oster kotiček
II. Na dveh nogah
III. Po nogi in hipotenuzi
Mediana v pravokotnem trikotniku
Zakaj je tako
Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.
Narišimo diagonalo in upoštevajmo točko – presečišče diagonal. Kaj veš o diagonalah pravokotnika?
In kaj iz tega sledi?
Tako se je zgodilo, da
- - mediana:
Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!
Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi obratno.
Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko
Poglej natančno. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je le ena točka, razdalje od katere so približno vsa tri oglišča trikotnika enake, in to je SREDIŠČE OPISANEGA KROGA. Torej kaj se je zgodilo?
Pa začnimo s tem "poleg ...".
Poglejmo i.
Toda v podobnih trikotnikih so vsi koti enaki!
Enako lahko rečemo za in
Zdaj pa ga narišimo skupaj:
Kakšna je korist od te »trojne« podobnosti.
No, na primer - dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.
Zapišemo razmerja ustreznih strank:
Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":
No, zdaj pa boste z uporabo in združevanjem tega znanja z drugimi rešili vsako težavo s pravokotnim trikotnikom!
Torej, uporabimo podobnost: .
Kaj bo zdaj?
Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo:
Obe formuli si je treba zelo dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna.
Zapišimo jih še enkrat.
Pitagorov izrek:
V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov nog:.
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:
- na dveh nogah:
- ob kateti in hipotenuzi: oz
- vzdolž kraka in prilegajočega ostrega kota: oz
- vzdolž kraka in nasprotnega ostrega kota: oz
- s hipotenuzo in ostrim kotom: oz.
Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov:
- en oster kot: oz
- iz sorazmernosti obeh nog:
- iz sorazmernosti katete in hipotenuze: oz.
Sinus, kosinus, tangens, kotangens v pravokotnem trikotniku
- Sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotnim krakom in hipotenuzo:
- Kosinus ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo:
- Tangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotnim krakom in sosednjim:
- Kotangens ostrega kota pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in nasprotnim:.
Višina pravokotnega trikotnika: oz.
V pravokotnem trikotniku je mediana, potegnjena iz vrha pravega kota, enaka polovici hipotenuze: .
Območje pravokotnega trikotnika:
- skozi katetre:
(ABC) in njegove lastnosti, kar je prikazano na sliki. Pravokotni trikotnik ima hipotenuzo, stran nasproti pravemu kotu.
Nasvet 1: Kako najti višino pravokotnega trikotnika
Stranice, ki tvorijo pravi kot, se imenujejo kraki. Stranska risba AD, DC in BD, DC- noge in stranice AC in JZ- hipotenuza.
Izrek 1. V pravokotnem trikotniku s kotom 30° se bo krak, ki je nasproten temu kotu, raztrgal na polovico hipotenuze.
hC
AB- hipotenuza;
AD in DB
Trikotnik
Obstaja izrek:
sistem komentiranja CACKLE
Rešitev: 1) Diagonali poljubnega pravokotnika sta enaki Res 2) Če je v trikotniku en oster kot, potem je ta trikotnik ostrokoten. Ni res. Vrste trikotnikov. Trikotnik se imenuje ostrokoten, če so vsi trije njegovi koti ostri, to je manj kot 90 ° 3) Če točka leži na.
Ali pa v drugi objavi,
Po Pitagorovem izreku
Kakšna je višina v formuli pravokotnega trikotnika
Višina pravokotnega trikotnika
Višino pravokotnega trikotnika, potegnjeno na hipotenuzo, lahko poiščemo na tak ali drugačen način, odvisno od podatkov v nalogi naloge.
Ali pa v drugi objavi,
Kjer sta BK in KC projekciji krakov na hipotenuzo (odseki, na katere nadmorska višina deli hipotenuzo).
Nadmorska višina, potegnjena na hipotenuzo, je mogoče najti skozi območje pravokotnega trikotnika. Če uporabimo formulo za iskanje površine trikotnika
(polovica zmnožka stranice in na to stran narisane višine) na hipotenuzo in na hipotenuzo narisano višino, dobimo:
Od tu lahko najdemo višino kot razmerje med dvakratno površino trikotnika in dolžino hipotenuze:
Ker je površina pravokotnega trikotnika polovica produkta nog:
To pomeni, da je dolžina višine, potegnjena na hipotenuzo, enaka razmerju produkta nog in hipotenuze. Če dolžini katet označimo skozi a in b, dolžino hipotenuze skozi c, lahko formulo prepišemo kot
Ker je polmer kroga, opisanega okrog pravokotnega trikotnika, enak polovici hipotenuze, lahko dolžino višine izrazimo s katetami in polmerom opisanega kroga:
Ker višina, potegnjena na hipotenuzo, tvori še dva pravokotna trikotnika, je njeno dolžino mogoče najti s pomočjo razmerij v pravokotnem trikotniku.
Iz pravokotnega trikotnika ABK
Iz pravokotnega trikotnika ACK
Dolžino višine pravokotnega trikotnika lahko izrazimo z dolžinami katet. Ker
Po Pitagorovem izreku
Če kvadriramo obe strani enačbe:
Lahko dobite še eno formulo za povezavo višine pravokotnega trikotnika s kraki:
Kakšna je višina v formuli pravokotnega trikotnika
Pravokotni trikotnik. Povprečna raven.
Ali želite preizkusiti svojo moč in ugotoviti, kako pripravljeni ste na enotni državni izpit ali OGE?
Glavni izrek pravokotnega trikotnika je Pitagorov izrek.
Pitagorov izrek
Mimogrede, se dobro spomnite, kaj so noge in hipotenuza? Če ne, potem si oglejte sliko - osvežite svoje znanje
Možno je, da ste že večkrat uporabili Pitagorov izrek, toda ali ste se kdaj vprašali, zakaj takšen izrek drži. Kako bi to dokazal? Naredimo kot stari Grki. Narišimo kvadrat s stranico.
Vidite, kako zvito smo razdelili njene stranice na dolžinske segmente in!
Sedaj povežimo označene točke
Tukaj pa smo opazili še nekaj, sami pa poglejte sliko in razmislite zakaj.
Kolikšna je površina večjega kvadrata? Prav, . Kaj pa manjša površina? Vsekakor,. Skupna površina štirih vogalov ostaja. Predstavljajte si, da smo vzeli dva in jih naslonili enega na drugega s hipotenuzami. Kaj se je zgodilo? Dva pravokotnika. Torej je površina "potaknjencev" enaka.
Sestavimo vse skupaj.
Tako smo obiskali Pitagoro – njegov izrek smo dokazali na starodaven način.
Pravokotni trikotnik in trigonometrija
Za pravokotni trikotnik veljajo razmerja:
Sinus ostrega kota je enak razmerju med nasprotnim krakom in hipotenuzo
Kosinus ostrega kota je enak razmerju med sosednjim krakom in hipotenuzo.
Tangens ostrega kota je enak razmerju med nasprotnim krakom in sosednjim krakom.
Kotangens ostrega kota je enak razmerju med sosednjim in nasprotnim krakom.
In še enkrat vse to v obliki krožnika:
Ste opazili eno zelo priročna stvar? Pozorno si oglejte krožnik.
Zelo je udobno!
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov
II. Po nogi in hipotenuzi
III. S hipotenuzo in ostrim kotom
IV. Ob kraku in ostrem kotu
Pozor! Tukaj je zelo pomembno, da so noge "korespondenčne". Na primer, če gre takole:
POTEM TRIKOTNIKA NISTA ENAKA, kljub dejstvu, da imata enak oster kot.
Moram V obeh trikotnikih je bila noga sosednja ali v obeh nasprotna.
Ste opazili, kako se znaki enakosti pravokotnih trikotnikov razlikujejo od običajnih znakov enakosti trikotnikov? Oglejte si temo "Trikotnik" in bodite pozorni, da za enakost "navadnih" trikotnikov potrebujete enakost njihovih treh elementov: dveh stranic in kota med njima, dveh kotov in stranice med njima, ali tri strani. Toda za enakost pravokotnih trikotnikov sta dovolj le dva ustrezna elementa. Super je, kajne?
Približno enaka situacija z znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov.
Znaki podobnosti pravokotnih trikotnikov
III. Po nogi in hipotenuzi
Mediana v pravokotnem trikotniku
Namesto pravokotnega trikotnika razmislite o celem pravokotniku.
Narišite diagonalo in upoštevajte točko, kjer se diagonali sekata. Kaj veš o diagonalah pravokotnika?
- Diagonalno presečišče razpolavlja Diagonali sta enaki
In kaj iz tega sledi?
Tako se je zgodilo, da
Zapomni si to dejstvo! Zelo pomaga!
Še bolj presenetljivo pa je, da velja tudi obratno.
Kaj lahko koristimo iz dejstva, da je mediana, potegnjena hipotenuzi, enaka polovici hipotenuze? Poglejmo sliko
Poglej natančno. Imamo: , to je, da so se razdalje od točke do vseh treh oglišč trikotnika izkazale za enake. Toda v trikotniku je le ena točka, razdalje od katere so približno vsa tri oglišča trikotnika enake, in to je SREDIŠČE OPISANEGA KROGA. Torej kaj se je zgodilo?
Pa začnimo s tem "poleg tega. ".
Toda v podobnih trikotnikih so vsi koti enaki!
Enako lahko rečemo za in
Zdaj pa ga narišimo skupaj:
Oba imata enako ostre vogale!
Kakšna je korist od te »trojne« podobnosti.
No, na primer - Dve formuli za višino pravokotnega trikotnika.
Zapišemo razmerja ustreznih strank:
Da bi našli višino, rešimo delež in dobimo Prva formula "Višina v pravokotnem trikotniku":
Kako do drugega?
In zdaj uporabimo podobnost trikotnikov in.
Torej, uporabimo podobnost: .
Kaj bo zdaj?
Spet rešimo delež in dobimo drugo formulo "Višina v pravokotnem trikotniku":
Obe formuli si je treba zelo dobro zapomniti in uporabiti tisto, ki je bolj priročna. Zapišimo jih še enkrat.
No, zdaj pa boste z uporabo in združevanjem tega znanja z drugimi rešili vsako težavo s pravokotnim trikotnikom!
Komentarji
Distribucija materialov brez odobritve je dovoljena, če obstaja povezava dofollow do izvorne strani.
Politika zasebnosti
Vaša zasebnost nam je pomembna. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite naš pravilnik o zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Sledi nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo in vas obveščamo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih. Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke, da vam pošljemo pomembna obvestila in sporočila. Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
Lastnost višine pravokotnega trikotnika, padla na hipotenuzo
Če sodelujete v nagradnem žrebanju, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje tretjim osebam
Podatkov, ki jih prejmemo od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.
- Če je treba – v skladu z zakonom, sodni postopek, v pravdanje, in / ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je tako razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih namenov javnega interesa. V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega tretjega naslednika.
Varstvo osebnih podatkov
Sprejemamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse glede zasebnosti in varnosti ter jih strogo uveljavljamo.
Hvala za sporočilo!
Vaš komentar je bil sprejet, po moderiranju bo objavljen na tej strani.
Ali želite vedeti, kaj se skriva pod rezom, in prejeti ekskluzivna gradiva o pripravi na OGE in USE? Pusti e-pošto
Lastnosti pravokotnega trikotnika
Razmislite o pravokotnem trikotniku (ABC) in njegove lastnosti, kar je prikazano na sliki. Pravokotni trikotnik ima hipotenuzo, stran nasproti pravemu kotu. Stranice, ki tvorijo pravi kot, se imenujejo kraki. Stranska risba AD, DC in BD, DC- noge in stranice AC in JZ- hipotenuza.
Znaki enakosti pravokotnega trikotnika:
Izrek 1. Če sta hipotenuza in krak pravokotnega trikotnika podobna hipotenuzi in kraku drugega trikotnika, potem sta takšna trikotnika enaka.
Izrek 2. Če sta dva kraka pravokotnega trikotnika enaka dvema krakoma drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.
Izrek 3. Če sta hipotenuza in ostri kot pravokotnega trikotnika podobna hipotenuzi in ostremu kotu drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.
Izrek 4. Če sta krak in priležni (nasprotni) ostri kot pravokotnega trikotnika enaka kraku in priležni (nasprotni) ostri kot drugega trikotnika, sta takšna trikotnika skladna.
Lastnosti noge nasproti kota 30 °:
1. izrek.
Višina v pravokotnem trikotniku
V pravokotnem trikotniku s kotom 30° se bo krak, ki je nasproten temu kotu, raztrgal na polovico hipotenuze.
Izrek 2. Če je v pravokotnem trikotniku krak enak polovici hipotenuze, potem je nasprotni kot 30°.
Če višino potegnemo iz vrha pravega kota na hipotenuzo, potem tak trikotnik razdelimo na dva manjša, podobna izhodnemu in podobna drug drugemu. Iz tega sledijo naslednji sklepi:
- Višina je geometrična sredina (proporcionalna srednja vrednost) dveh odsekov hipotenuze.
- Vsak krak trikotnika je povprečje, sorazmerno s hipotenuzo in sosednjimi segmenti.
V pravokotnem trikotniku kraki delujejo kot višine. Ortocenter je točka, kjer se sekata višini trikotnika. Sovpada z vrhom desnega kota figure.
hC- višina, ki izhaja iz pravega kota trikotnika;
AB- hipotenuza;
AD in DB- segmenti, ki so nastali pri delitvi hipotenuze po višini.
Nazaj na ogled referenc o disciplini "Geometrija"
Trikotnik- To geometrijski lik, sestavljen iz treh točk (oglišč), ki niso na isti ravni črti, in treh segmentov, ki povezujejo te točke. Pravokotni trikotnik je trikotnik, ki ima enega od kotov 90° (pravi kot).
Obstaja izrek: vsota ostrih kotov pravokotnega trikotnika je 90°.
sistem komentiranja CACKLE
Ključne besede: trikotnik, pravokotnik, krak, hipotenuza, Pitagorov izrek, krog
Trikotnik poklican pravokotneče ima pravi kot.
Pravokotni trikotnik ima dve med seboj pravokotni stranici, imenovani noge; tretja stran se imenuje hipotenuza.
- Glede na lastnosti pravokotne in poševne hipotenuze je vsak od krakov daljši (vendar manjši od njune vsote).
- Vsota dveh ostrih kotov pravokotnega trikotnika je enaka pravemu kotu.
- Dve višini pravokotnega trikotnika sovpadata z njegovimi kraki. Zato ena od štirih izjemnih točk pade na oglišča pravega kota trikotnika.
- Središče opisanega kroga pravokotnega trikotnika leži na razpolovišču hipotenuze.
- Mediana pravokotnega trikotnika, potegnjena iz oglišča pravega kota na hipotenuzo, je polmer krožnice, ki je opisana okoli tega trikotnika.
Vzemimo poljuben pravokotni trikotnik ABC in iz oglišča C njegovega pravega kota narišimo višino CD = hc.
Dani trikotnik bo razdelil na dva pravokotna trikotnika ACD in BCD; vsak od teh trikotnikov ima s trikotnikom ABC skupni ostri kot in je torej podoben trikotniku ABC.
Vsi trije trikotniki ABC, ACD in BCD so si med seboj podobni.
 |
Iz podobnosti trikotnikov so določene naslednje relacije:
- $$h = \sqrt(a_(c) \cdot b_(c)) = \frac(a \cdot b)(c)$$;
- c = ac + bc;
- $$a = \sqrt(a_(c) \cdot c), b = \sqrt(b_(c) \cdot c)$$;
- $$(\frac(a)(b))^(2)= \frac(a_(c))(b_(c))$$.
Pitagorov izrek eden temeljnih izrekov evklidske geometrije, ki določa razmerje med stranicami pravokotnega trikotnika.
Geometrijsko besedilo. V pravokotnem trikotniku je površina kvadrata, zgrajenega na hipotenuzi, enaka vsoti površin kvadratov, zgrajenih na nogah.
Algebraična formulacija. V pravokotnem trikotniku je kvadrat hipotenuze enak vsoti kvadratov katet.
To pomeni, da dolžino hipotenuze trikotnika označimo skozi c in dolžine nog skozi a in b:
a2 + b2 = c2
Inverzni Pitagorov izrek.
Višina pravokotnega trikotnika
Za katero koli trojko pozitivnih števil a, b in c, tako da
a2 + b2 = c2,
obstaja pravokotni trikotnik s katetama a in b ter hipotenuzo c.
Znaki enakosti pravokotnih trikotnikov:
- vzdolž noge in hipotenuze;
- na dveh nogah;
- vzdolž noge in ostrega kota;
- hipotenuza in ostri kot.
Poglej tudi:
Območje trikotnika, enakokraki trikotnik, enakostranični trikotnik
Geometrija. 8 Razred. Test 4. Možnost 1 .
AD : CD=CD : B.D. Zato je CD2 = AD ∙ B.D. Pravijo:
AD : AC=AC : AB. Zato je AC2 = AB ∙ AD. Pravijo:
BD : BC=BC : AB. Zato je BC2 = AB ∙ B.D.
Reši probleme:
1.
A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm
2. Višina pravokotnega trikotnika, narisana na hipotenuzo, deli hipotenuzo na segmenta 9 in 36.
Določite dolžino te višine.
A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.
4.
A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.
5.
A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.
6.
A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.
7.
8. Krat pravokotnega trikotnika je 30.
Kako najti višino v pravokotnem trikotniku?
Poiščite razdaljo od vrha pravega kota do hipotenuze, če je polmer krožnice, ki je opisana okoli tega trikotnika, 17.
A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.
10.
A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.
A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.
12.
A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.
Preverite odgovore!
D8.04.1. Proporcionalni odseki v pravokotnem trikotniku
Geometrija. 8 Razred. Test 4. Možnost 1 .
V Δ ABC ∠ACV = 90°. Kateta AC in BC, hipotenuza AB.
CD je višina trikotnika na hipotenuzo.
AD projekcija AC noge na hipotenuzo,
BD projekcija kraka BC na hipotenuzo.
Nadmorska višina CD razdeli trikotnik ABC na dva njemu podobna (in drug drugemu) trikotnika: Δ ADC in Δ CDB.
Iz sorazmernosti strani podobnih Δ ADC in Δ CDB sledi:
AD : CD=CD : B.D.
Lastnost višine pravokotnega trikotnika, padle na hipotenuzo.
Zato je CD2 = AD ∙ B.D. Pravijo: višina pravokotnega trikotnika, potegnjena na hipotenuzo,je povprečna sorazmerna vrednost med projekcijama katet na hipotenuzo.
Iz podobnosti Δ ADC in Δ ACB sledi:
AD : AC=AC : AB. Zato je AC2 = AB ∙ AD. Pravijo: vsak krak je povprečna sorazmerna vrednost med celotno hipotenuzo in projekcijo tega kraka na hipotenuzo.
Podobno iz podobnosti Δ CDB in Δ ACB sledi:
BD : BC=BC : AB. Zato je BC2 = AB ∙ B.D.
Reši probleme:
1. Poiščite višino pravokotnega trikotnika, narisano na hipotenuzo, če ta deli hipotenuzo na odseka 25 cm in 81 cm.
A) 70 cm; b) 55 cm; c) 65 cm; D) 45 cm; e) 53 cm
2. Višina pravokotnega trikotnika, narisana na hipotenuzo, deli hipotenuzo na segmenta 9 in 36. Določite dolžino te višine.
A) 22,5; b) 19; c) 9; D) 12; e) 18.
4. Višina pravokotnega trikotnika, potegnjena na hipotenuzo, je 22, projekcija enega od krakov je 16. Poiščite projekcijo drugega kraka.
A) 30,25; b) 24,5; c) 18,45; D) 32; e) 32,25.
5. Krat pravokotnega trikotnika je 18, njegova projekcija na hipotenuzo pa 12. Poiščite hipotenuzo.
A) 25; b) 24; c) 27; D) 26; e) 21.
6. Hipotenuza je 32. Poiščite krak, katerega projekcija na hipotenuzo je 2.
A) 8; b) 7; c) 6; D) 5; e) 4.
7. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 45. Poiščite krak, katerega projekcija na hipotenuzo je 9.
8. Krak pravokotnega trikotnika je 30. Poiščite razdaljo od vrha pravega kota do hipotenuze, če je polmer krožnice, ki je opisana okoli tega trikotnika, enak 17.
A) 17; b) 16; c) 15; D) 14; e) 12.
10. Hipotenuza pravokotnega trikotnika je 41, projekcija enega od krakov pa 16. Poiščite dolžino višine, narisane iz oglišča pravega kota na hipotenuzo.
A) 15; b) 18; c) 20; D) 16; e) 12.
A) 80; b) 72; c) 64; D) 81; e) 75.
12. Razlika projekcij krakov na hipotenuzo je 15, razdalja od vrha pravega kota do hipotenuze pa 4. Poiščite polmer opisane krožnice.
A) 7,5; b) 8; c) 6,25; D) 8,5; e) 7.
