Prečno upogibanje trdnostne podloge. Čist ovinek. Diferencialne odvisnosti Žuravskega
Upogib je vrsta deformacije, pri kateri je vzdolžna os nosilca upognjena. Ravni nosilci, ki delujejo na upogibanje, se imenujejo nosilci. Ravni zavoj je zavoj, pri katerem zunanje sile, ki delujejo na nosilec, ležijo v eni ravnini (ravnina sil), ki poteka skozi vzdolžno os nosilca in glavno središčno vztrajnostno os. prečni prerez.
Zavoj se imenuje čisti, če se v katerem koli preseku nosilca pojavi samo en upogibni moment.
Upogib, pri katerem upogibni moment in strižna sila, se imenuje prečna. Presek silnice in prečne ravnine se imenuje silanica.
Faktorji notranje sile pri upogibanju nosilca.
Ko je ravno prečni zavoj v prerezih nosilca nastaneta dva faktorja notranje sile: prečna sila Q in upogibni moment M. Za njuno določitev se uporablja metoda preseka (glej predavanje 1). Prečna sila Q v preseku nosilca je enaka algebrski vsoti projekcij na ravnino preseka vseh zunanjih sil, ki delujejo na eni strani obravnavanega preseka.
Pravilo znaka za strižne sile Q:
Upogibni moment M v odseku nosilca je enak algebraični vsoti momentov okoli težišča tega odseka vseh zunanjih sil, ki delujejo na eni strani obravnavanega odseka.
Pravilo znaka za upogibne momente M:
Diferencialne odvisnosti Žuravskega.
Med intenzivnostjo q porazdeljene obremenitve, izrazoma za prečno silo Q in upogibnim momentom M so določene diferencialne odvisnosti:
Na podlagi teh odvisnosti je mogoče razlikovati naslednje splošni vzorci diagrami prečnih sil Q in upogibnih momentov M:
Posebnosti diagramov notranjih faktorjev sile pri upogibu.
1. Na odseku nosilca, kjer ni porazdeljene obremenitve, je prikazana krivulja Q ravna črta , vzporedno z osnovo diagrama, diagram M pa je nagnjena ravna črta (slika a).
2. V odseku, kjer deluje koncentrirana sila, mora biti na diagramu Q skok , enaka vrednosti te sile, in na diagramu M - prelomnica (slika a).
3. V odseku, kjer je uporabljen koncentrirani moment, se vrednost Q ne spremeni, diagram M pa se skok , enaka vrednosti tega trenutka, (slika 26, b).
4. V odseku žarka s porazdeljeno obremenitvijo intenzivnosti q se diagram Q spreminja po linearnem zakonu, diagram M pa po paraboličnem in konveksnost parabole je usmerjena proti smeri porazdeljene obremenitve (sl. c, d).
5. Če znotraj karakterističnega odseka diagrama Q seka osnovo diagrama, potem ima v odseku, kjer je Q = 0, upogibni moment ekstremno vrednost M max ali M min (slika d).
Normalne upogibne napetosti.
Določeno s formulo:
Trenutek odpornosti odseka na upogibanje je vrednost:
Nevaren odsek pri upogibanju se imenuje presek žarka, v katerem se pojavi največja normalna napetost.
Tangencialne napetosti pri neposrednem upogibu.
Določeno z Formula Žuravskega za strižne napetosti pri ravni ovinek tramovi:
kjer je S ots - statični moment prečnega območja odrezanega sloja vzdolžnih vlaken glede na nevtralno črto.
Izračuni upogibne trdnosti.
1. pri verifikacijski izračun določi se največja konstrukcijska napetost, ki se primerja z dovoljeno napetostjo:
2. pri konstrukcijski izračun izbira odseka žarka je narejena iz pogoja:
3. Pri določanju dovoljene obremenitve se dovoljeni upogibni moment določi iz pogoja:
Upogibni gibi.
Pod delovanjem upogibne obremenitve se os žarka upogne. V tem primeru pride do raztezanja vlaken na konveksnih in stiskanja - na konkavnih delih žarka. Poleg tega obstaja navpično premikanje težišč prerezov in njihovo vrtenje glede na nevtralno os. Za karakterizacijo deformacije med upogibanjem se uporabljajo naslednji pojmi:
Odklon žarka Y- premik težišča prečnega prereza žarka v smeri, ki je pravokotna na njegovo os.
Upogib velja za pozitivnega, če se težišče premakne navzgor. Količina upogiba se spreminja po dolžini žarka, tj. y=y(z)
Kot vrtenja odseka- kot θ, za katerega se vsak odsek zasuka glede na prvotni položaj. Kot zasuka velja za pozitiven, ko se odsek vrti v nasprotni smeri urinega kazalca. Vrednost rotacijskega kota se spreminja vzdolž dolžine žarka in je funkcija θ = θ (z).
Najpogostejši način za določanje pomikov je metoda mora in Vereščaginovo pravilo.
Mohrova metoda.
Postopek določanja pomikov po Mohrovi metodi:
1. Zgrajen je "pomožni sistem" in obremenjen z eno samo obremenitvijo na mestu, kjer je treba določiti premik. Če je določen linearni premik, se v njegovi smeri uporablja enota sile, pri določanju kotnih pomikov pa enota momenta.
2. Za vsak odsek sistema se zabeležijo izrazi upogibnih momentov M f od uporabljene obremenitve in M 1 - od posamezne obremenitve.
3. Mohrovi integrali se izračunajo in seštejejo za vse odseke sistema, kar povzroči želeni premik:
4. Če ima izračunani pomik pozitiven predznak, to pomeni, da njegova smer sovpada s smerjo enote sile. Negativni predznak pomeni, da je dejanski premik nasproten smeri enote sile.
Vereščaginovo pravilo.
V primeru, ko ima diagram upogibnih momentov od dane obremenitve poljubno in od ene same obremenitve - pravokotni oris, je priročno uporabiti grafično-analitično metodo ali Vereshchaginovo pravilo.
kjer je A f območje diagrama upogibnega momenta M f od dane obremenitve; y c je ordinata diagrama iz posamezne obremenitve pod težiščem diagrama M f ; EI x - togost odseka nosilca. Izračuni po tej formuli se izvajajo v odsekih, na vsakem od katerih mora biti diagram ravne črte brez prelomov. Vrednost (A f *y c) velja za pozitivno, če se oba diagrama nahajata na isti strani žarka, za negativno, če sta na nasprotnih straneh. Pozitiven rezultat množenja diagramov pomeni, da smer gibanja sovpada s smerjo enote sile (ali momenta). Kompleksni diagram M f je treba razdeliti na preproste figure (uporablja se tako imenovano "plastenje epure"), za vsako od katerih je enostavno določiti ordinato težišča. V tem primeru se površina vsake figure pomnoži z ordinato pod njenim težiščem.
Proces oblikovanja sodobnih zgradb in objektov ureja ogromno število različnih gradbenih predpisov in predpisov. V večini primerov standardi zahtevajo izpolnjevanje določenih lastnosti, kot je deformacija ali upogib nosilcev talnih plošč pri statični ali dinamični obremenitvi. Na primer, SNiP št. 2.09.03-85 določa odklon žarka za opore in nadvoze v največ 1/150 dolžine razpona. Za podstrešne etaže ta indikator je že 1/200 in za medetažni tramovi in še manj - 1/250. Zato je ena od obveznih faz načrtovanja izračun žarka za odklon.
Načini za izvedbo izračuna in testiranja upogiba
Razlog, zakaj SNiP postavlja tako drakonske omejitve, je preprost in očiten. Manjša kot je deformacija, večja je meja varnosti in prožnosti konstrukcije. Pri upogibu, manjšem od 0,5 %, nosilni element, nosilec ali plošča še vedno ohranja elastične lastnosti, kar zagotavlja normalno prerazporeditev sil in ohranjanje celovitosti celotne konstrukcije. S povečanjem upogiba se ogrodje stavbe upogiba, upira, vendar stoji, ko so presežene meje dovoljene vrednosti, se vezi pretrgajo, konstrukcija pa kot plaz izgubi svojo togost in nosilnost.
- Uporabite programski spletni kalkulator, v katerem so "zaščiteni" standardni pogoji in nič več;
- Uporabite že pripravljene referenčne podatke za različne vrste in vrste nosilcev, za različne nosilne sheme obremenitev. Potrebno je le pravilno določiti vrsto in velikost žarka ter določiti želeni odklon;
- Dovoljeni odklon izračunajte z rokami in glavo, večina projektantov to počne, medtem ko imajo nadzorne arhitekturne in gradbene inšpekcije raje drugi način izračuna.
Opomba! Da bi resnično razumeli, zakaj je tako pomembno vedeti količino odstopanja od prvotnega položaja, je vredno razumeti, da je merjenje količine upogiba edini razpoložljiv in zanesljiv način za določitev stanja žarka v praksi.
Z merjenjem, za koliko se je stropni nosilec pogreznil, je mogoče z 99% gotovostjo ugotoviti, ali je konstrukcija v okvarjenem stanju ali ne.
Metoda izračuna upogiba
Preden nadaljujete z izračunom, se boste morali spomniti nekaterih odvisnosti iz teorije trdnosti materialov in sestaviti shemo izračuna. Odvisno od tega, kako pravilno je izvedena shema in upoštevani pogoji obremenitve, bo odvisna natančnost in pravilnost izračuna.
Uporabljamo najpreprostejši model obremenjen žarek, prikazan na diagramu. Najenostavnejša analogija za žarek je lahko leseno ravnilo, fotografija.
V našem primeru žarek:
- Ima pravokoten prerez S=b*h, dolžina počivališča je L;
- Ravnilo je obremenjeno s silo Q, ki poteka skozi težišče upogibne ravnine, zaradi česar se konci zasukajo za majhen kot θ, z odklonom glede na začetni vodoravni položaj , enako f;
- Konci nosilca so zgibni in prosto podprti na fiksnih nosilcih, v tem zaporedju ni vodoravne komponente reakcije, konci ravnila pa se lahko premikajo v poljubni smeri.
Za določitev deformacije telesa pod obremenitvijo se uporablja formula modula elastičnosti, ki je določena z razmerjem E \u003d R / Δ, kjer je E referenčna vrednost, R je sila, Δ je vrednost deformacija telesa.
Izračunamo vztrajnostne momente in sile
Za naš primer bo odvisnost videti takole: Δ \u003d Q / (S E) . Za obremenitev q, porazdeljeno vzdolž žarka, bo formula videti takole: Δ \u003d q h / (S E) .
Sledi najpomembnejša točka. Zgornji Youngov diagram prikazuje odklon žarka ali deformacijo ravnila, kot da bi ga zmečkali pod močnim pritiskom. V našem primeru je žarek upognjen, kar pomeni, da na koncih ravnila, glede na težišče, delujeta dva upogibna momenta z različnimi predznaki. Diagram obremenitve takega nosilca je prikazan spodaj.
Za pretvorbo Youngove odvisnosti za upogibni moment je treba obe strani enačbe pomnožiti z krakom L. Dobimo Δ*L = Q·L/(b·h·Е) .
Če si predstavljamo, da je ena od opornikov togo pritrjena, na drugo pa deluje enakovreden moment ravnotežja sil M max \u003d q * L * 2/8, bo velikost deformacije nosilca izražena z odvisnost Δx \u003d M x / ((h / 3) b (h / 2) E). Vrednost b·h 2 /6 imenujemo vztrajnostni moment in ga označimo z W. Kot rezultat dobimo Δx = M x / (W E), temeljno formulo za izračun žarka za upogibanje W = M / E skozi vztrajnostni moment in upogibni moment.
Za natančen izračun upogiba morate poznati upogibni moment in vztrajnostni moment. Vrednost prvega je mogoče izračunati, vendar bo posebna formula za izračun žarka za upogibanje odvisna od pogojev stika z nosilci, na katerih se nahaja žarek, in načina obremenitve oziroma za porazdeljeno ali koncentrirano obremenitev. . Upogibni moment iz porazdeljene obremenitve se izračuna po formuli Mmax \u003d q * L 2 / 8. Zgornje formule veljajo samo za porazdeljeno obremenitev. Za primer, ko je pritisk na nosilec koncentriran na določeni točki in pogosto ne sovpada s simetrijsko osjo, je treba formulo za izračun upogiba izpeljati z integralnim računom.
Vztrajnostni moment si lahko predstavljamo kot ekvivalent odpornosti žarka na upogibno obremenitev. Vztrajnostni moment preprostega pravokotnega nosilca lahko izračunamo s preprosto formulo W=b*h 3 /12, kjer sta b in h dimenziji preseka nosilca.
Formula kaže, da je isto ravnilo ali tabla pravokotni odsek ima lahko popolnoma drugačen vztrajnostni in uklonski moment, če ga na klasičen način položite na nosilce ali na rob. Ne brez razloga, skoraj vsi elementi truss sistem strehe niso izdelane iz palice 100x150, ampak iz plošče 50x150.
Pravi odseki gradbene konstrukcije imajo lahko različne profile, od kvadrata, kroga do zapletenih I-nosilcev ali oblik kanalov. Hkrati določitev vztrajnostnega momenta in količine upogiba ročno, "na listu papirja", za takšne primere postane nepomembna naloga za neprofesionalnega gradbenika.
Formule za praktično uporabo
V praksi najpogosteje obstaja obratna težava - določiti mejo varnosti tal ali sten za določen primer iz znane vrednosti upogiba. V gradbeništvu je zelo težko oceniti mejo varnosti z drugimi, nedestruktivnimi metodami. Pogosto je glede na velikost upogiba potrebno izvesti izračun, oceniti varnostno mejo zgradbe in splošno stanje nosilne konstrukcije. Poleg tega se glede na opravljene meritve ugotovi, ali je deformacija glede na izračun dopustna ali pa je objekt v zasilnem stanju.
Nasvet! V zvezi z izračunom mejno stanje tramovi v smislu odklona zagotavljajo neprecenljivo storitev zahtevam SNiP. Z nastavitvijo meje upogiba na relativna vrednost, na primer 1/250, gradbeni predpisi olajšajo določitev izrednega stanja nosilca ali plošče.
Na primer, če nameravate kupiti dokončano zgradbo, ki je dolgo stala na problematičnih tleh, bi bilo koristno preveriti stanje tal glede na obstoječo deformacijo. Če poznamo največjo dovoljeno stopnjo upogiba in dolžino žarka, je mogoče brez izračuna oceniti, kako kritično je stanje konstrukcije.
Gradbeni pregled pri oceni upogiba in oceni nosilnosti tal gre bolj zapleteno:
- Na začetku se izmeri geometrija plošče ali nosilca, količina upogiba je določena;
- Glede na izmerjene parametre se določi izbor žarkov, nato pa se iz referenčne knjige izbere formula za vztrajnostni moment;
- Moment sile se določi iz upogiba in vztrajnostnega momenta, po katerem je ob poznavanju materiala mogoče izračunati dejanske napetosti v kovinskem, betonskem ali lesenem nosilcu.
Vprašanje je, zakaj je tako težko, če je mogoče upogib dobiti z uporabo formule za preprost nosilec na zgibnih nosilcih f=5/24*R*L 2 /(E*h) pod porazdeljeno silo. Dovolj je poznati dolžino razpona L, višino profila, konstrukcijska odpornost R in modul elastičnosti E za specifičnega materiala prekrivajo.
Nasvet! Pri svojih izračunih uporabite obstoječe oddelčne zbirke različnih projektantskih organizacij, v katerih so v stisnjeni obliki povzete vse potrebne formule za določanje in izračun končnega obremenjenega stanja.
Zaključek
Večina razvijalcev in projektantov resnih zgradb ravna enako. Program je dober, zelo hitro pomaga izračunati upogib in glavne parametre obremenitve tal, pomembno pa je tudi, da stranki zagotovimo dokumentarna dokazila o dobljenih rezultatih v obliki posebnih zaporednih izračunov na papirju.
bend imenovana deformacija, pri kateri se os palice in vsa njena vlakna, to je vzdolžne črte, vzporedne z osjo palice, upognejo pod delovanjem zunanjih sil. Najenostavnejši primer upogibanja dobimo, ko zunanje sile ležijo v ravnini, ki poteka skozi središčno os palice in ne projicirajo na to os. Takšen primer upogiba imenujemo prečni upogib. Razlikovati ravno krivino in poševno.
ravno krivino- tak primer, ko je upognjena os palice v isti ravnini, v kateri delujejo zunanje sile.
Poševni (kompleksni) ovinek- tak primer upogiba, ko upognjena os palice ne leži v ravnini delovanja zunanjih sil.
Upogibna palica se običajno imenuje žarek.
Pri ravnem prečnem upogibu nosilcev v odseku s koordinatnim sistemom y0x lahko pride do dveh notranjih sil - prečne sile Q y in upogibnega momenta M x; v nadaljevanju uvajamo zapis Q in M.Če v odseku ali odseku nosilca ni prečne sile (Q = 0) in upogibni moment ni enak nič ali je M konstanten, potem se tak upogib običajno imenuje čisto.
Strižna sila v katerem koli odseku nosilca je številčno enaka algebraični vsoti projekcij na os vseh sil (vključno s podpornimi reakcijami), ki se nahajajo na eni (kateri koli) strani odseka.
Upogibni moment v odseku nosilca je številčno enaka algebraični vsoti momentov vseh sil (vključno s podpornimi reakcijami), ki se nahajajo na eni strani (kateri koli) odseka, narisanega glede na težišče tega odseka, natančneje, glede na os ki poteka pravokotno na ravnino risbe skozi težišče narisanega prereza.
Q-sila predstavlja rezultanta porazdeljen po prerezu notranjega strižne napetosti, a trenutek M– vsota trenutkov okoli središčne osi prereza X notranji običajni stresi.
Med notranjimi silami obstaja različno razmerje
ki se uporablja pri izdelavi in preverjanju diagramov Q in M.
Ker so nekatera vlakna žarka raztegnjena, nekatera pa stisnjena, prehod iz napetosti v stiskanje pa poteka gladko, brez skokov, je v srednjem delu žarka plast, katere vlakna se samo upognejo, vendar tudi ne doživijo napetost ali stiskanje. Takšna plast se imenuje nevtralni sloj. Črta, vzdolž katere se nevtralna plast seka s prerezom žarka, se imenuje nevtralna linija oz nevtralna os razdelki. Na osi žarka so nanizane nevtralne črte.
Črte, narisane na stranski površini žarka pravokotno na os, ostanejo ravne, ko so upognjene. Ti eksperimentalni podatki omogočajo utemeljitev zaključkov formul na hipotezi o ravnih odsekih. Po tej hipotezi so odseki žarka ravni in pravokotni na svojo os pred upogibanjem, ostanejo ravni in postanejo pravokotni na upognjeno os žarka, ko se upogne. Prečni prerez žarka se med upogibanjem popači. zapadlo prečna deformacija dimenzije preseka v stisnjenem območju nosilca se povečajo, v nateznem območju pa se stisnejo.
Predpostavke za izpeljavo formul. Normalne napetosti
1) Hipoteza ravnih odsekov je izpolnjena.
2) Vzdolžna vlakna ne pritiskajo druga na drugo in zato pod delovanjem normalnih napetosti delujejo linearne napetosti ali stiskanja.
3) Deformacije vlaken niso odvisne od njihovega položaja po širini odseka. Posledično normalne napetosti, ki se spreminjajo po višini preseka, ostanejo enake po širini.
4) Žarek ima vsaj eno simetrijsko ravnino in vse zunanje sile ležijo v tej ravnini.
5) Material žarka upošteva Hookov zakon, modul elastičnosti pri napetosti in stiskanju pa je enak.
6) Razmerja med dimenzijami nosilca so taka, da deluje v ravnih upogibnih pogojih brez upogibanja ali zvijanja.
pri čisti ovinek grede na ploščadih delujejo samo v njegovem delu običajni stresi, določeno s formulo:
kjer je y koordinata poljubne točke odseka, merjena od nevtralne črte - glavne osrednje osi x.
Normalne upogibne napetosti po višini preseka so porazdeljene linearni zakon. Na skrajnih vlaknih normalne napetosti dosežejo največjo vrednost, v težišču pa so preseki enaki nič.
Narava normalnih diagramov napetosti za simetrične odseke glede na nevtralno črto
Narava normalnih diagramov napetosti za odseke, ki nimajo simetrije glede na nevtralno črto
Nevarne točke so tiste, ki so najbolj oddaljene od nevtralne črte.
Izberimo kakšen odsek
Za katero koli točko odseka jo imenujemo točka Za, ima pogoj trdnosti žarka za normalne napetosti obliko:
, kjer i.d. - to je nevtralna os
to je modul osnega prereza okoli nevtralne osi. Njegova dimenzija je cm 3, m 3. Trenutek upora označuje vpliv oblike in dimenzij preseka na velikost napetosti.
Pogoj trdnosti za normalne napetosti:
normalna napetost je enak razmerju med največjim upogibnim momentom in modulom aksialnega prereza glede na nevtralno os.
Če se material neenakomerno upira raztezanju in stiskanju, je treba uporabiti dva trdnostna pogoja: za raztezno območje z dovoljeno natezno napetostjo; za tlačno cono z dovoljeno tlačno napetostjo.
S prečnim upogibanjem delujejo nosilci na ploščadih v njegovem odseku normalno, in tangente Napetost.
Izračun žarka za upogibanje "ročno", na staromoden način, vam omogoča, da se naučite enega najpomembnejših, lepih, jasno matematično preverjenih algoritmov znanosti o trdnosti materialov. Uporaba številnih programov kot je "vnesi začetne podatke ...
...– dobiš odgovor« današnjemu sodobnemu inženirju omogoča veliko hitrejše delo kot njegovi predhodniki pred sto, petdesetimi in celo dvajsetimi leti. Vendar pa je s tako sodobnim pristopom inženir prisiljen popolnoma zaupati avtorjem programa in sčasoma preneha "občutiti fizični pomen" izračunov. Toda avtorji programa so ljudje in ljudje delajo napake. Če ne bi bilo tako, potem ne bi bilo številnih popravkov, izdaj, "popravkov" za skoraj vsako programsko opremo. Zato se mi zdi, da bi vsak inženir moral včasih imeti možnost "ročno" preveriti rezultate izračunov.
Pomoč (goljufalica, opomba) za izračun nosilcev za upogibanje je prikazana spodaj na sliki.
Poskusimo uporabiti preprost vsakdanji primer. Recimo, da sem se odločil narediti vodoravno palico v stanovanju. Določeno je bilo mesto - hodnik širine en meter dvajset centimetrov. Na nasprotnih stenah na zahtevani višini drug nasproti drugega varno pritrdim nosilce, na katere bo pritrjen nosilec - palica iz jekla St3 z zunanjim premerom dvaintrideset milimetrov. Ali bo ta nosilec podpiral mojo težo in dodatne dinamične obremenitve, ki bodo nastale med vadbo?
Narišemo diagram za izračun žarka za upogibanje. Očitno bo najnevarnejša aplikacijska shema. zunanja obremenitev, ko se začnem vleči navzgor in se z eno roko oprimem sredine prečke.
Začetni podatki:
F1 \u003d 900 n - sila, ki deluje na žarek (moja teža) brez upoštevanja dinamike
d \u003d 32 mm - zunanji premer palice, iz katere je izdelan žarek
E = 206000 n/mm^2 je modul elastičnosti materiala jeklenega nosilca St3
[σi] = 250 n/mm^2 - dopustne upogibne napetosti (meja tečenja) za material jeklenega nosilca St3
Mejni pogoji:
Мx (0) = 0 n*m – moment v točki z = 0 m (prvi nosilec)
Мx (1,2) = 0 n*m – moment v točki z = 1,2 m (drugi nosilec)
V (0) = 0 mm - upogib v točki z = 0 m (prvi nosilec)
V (1,2) = 0 mm - upogib v točki z = 1,2 m (drugi nosilec)
Izračun:
1. Najprej izračunamo vztrajnostni moment Ix in uporni moment Wx odseka nosilca. Koristili nam bodo pri nadaljnjih izračunih. Za krožni odsek (ki je odsek palice):
Ix = (π*d^4)/64 = (3,14*(32/10)^4)/64 = 5,147 cm^4
Wx = (π*d^3)/32 = ((3,14*(32/10)^3)/32) = 3,217 cm^3
2. Sestavimo ravnotežne enačbe za izračun reakcij nosilcev R1 in R2:
Qy = -R1+F1-R2 = 0
Mx (0) = F1*(0-b2) -R2*(0-b3) = 0
Iz druge enačbe: R2 = F1*b2/b3 = 900*0,6/1,2 = 450 n
Iz prve enačbe: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 n
3. Poiščimo kot vrtenja nosilca v prvi podpori pri z = 0 iz enačbe odklona za drugi odsek:
V (1,2) = V (0)+U (0)*1,2+(-R1*((1,2-b1)^3)/6+F1*((1,2-b2)^3)/6)/
U (0) = (R1*((1.2-b1)^3)/6 -F1*((1.2-b2)^3)/6)/(E*Ix)/1,2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/(206000*5,147/100)/1,2 = 0,00764 rad = 0,44˚
4.
Sestavimo enačbe za izdelavo diagramov za prvi odsek (0 Strižna sila: Qy (z) = -R1 Upogibni moment: Mx (z) = -R1*(z-b1) Rotacijski kot: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2)/(E*Ix) Uklon: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6)/(E*Ix) z = 0 m: Qy (0) = -R1 = -450 n Ux(0) = U(0) = 0,00764 rad Vy(0)=V(0)=0 mm z = 0,6 m: Qy (0,6) = -R1 = -450 n Mx (0,6) \u003d -R1 * (0,6-b1) \u003d -450 * (0,6-0) \u003d -270 n * m Ux (0,6) = U (0)+(-R1*((0,6-b1)^2)/2)/(E*Ix) = 0,00764+(-450*((0,6-0)^2)/2)/(206000*5,147/100) = 0 rad Vy (0,6) = V (0)+U (0)*0,6+(-R1*((0,6-b1)^3)/6)/(E*Ix) = 0+0,00764*0,6+(-450*((0,6-0)^3)/6)/ (206000*5,147/100) = 0,003 m Pod težo mojega telesa se bo žarek povesil v sredini za 3 mm. Mislim, da je to sprejemljivo odstopanje. 5.
Zapišemo diagramske enačbe za drugi del (b2 Strižna sila: Qy (z) = -R1+F1 Upogibni moment: Mx (z) = -R1*(z-b1)+F1*(z-b2) Rotacijski kot: Ux (z) = U (0)+(-R1*((z-b1)^2)/2+F1*((z-b2)^2)/2)/(E*Ix) Uklon: Vy (z) = V (0)+U (0)*z+(-R1*((z-b1)^3)/6+F1*((z-b2)^3)/6)/( E*Ix) z = 1,2 m: Qy (1,2) = -R1+F1 = -450+900 = 450 n Мx (1,2) = 0 n*m Ux (1,2) = U (0)+(-R1*((1,2-b1)^2)/2+F1*((1,2-b2)^2)/2)/(E* ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ /(206000*5,147/100) = -0,00764 rad Vy (1,2) = V (1,2) = 0 m 6.
Diagrame gradimo z uporabo zgoraj pridobljenih podatkov. 7.
Izračunamo upogibne napetosti v najbolj obremenjenem delu - na sredini nosilca in primerjamo z dovoljenimi napetostmi: σi \u003d Mx max / Wx \u003d (270 * 1000) / (3,217 * 1000) \u003d 84 n / mm ^ 2 σi = 84 n/mm^2< [σи] = 250 н/мм^2 Kar zadeva upogibno trdnost, je izračun pokazal trikratno mejo varnosti - vodoravno palico je mogoče varno izdelati iz obstoječe palice s premerom dvaintrideset milimetrov in dolžino tisoč dvesto milimetrov. Tako lahko zdaj preprosto izračunate žarek za upogibanje "ročno" in primerjate z rezultati, pridobljenimi pri izračunu s katerim koli od številnih programov, predstavljenih na spletu. Prosim tiste, ki SPOŠTUJETE delo avtorja, da se NAROČITE na objave člankov.
88 komentarjev na "Izračun žarka za krivljenje - "ročno"!" Začnemo z najpreprostejšim primerom, tako imenovanim čistim upogibanjem. Čisti upogib je poseben primer upogiba, pri katerem je prečna sila v prerezih nosilca enaka nič. Do čistega upogibanja lahko pride le, če je lastna teža nosilca tako majhna, da je njen vpliv mogoče zanemariti. Za nosilce na dveh nosilcih primeri obremenitev, ki povzročajo neto zavoj, prikazan na sl. 88. Na odsekih teh žarkov, kjer je Q \u003d 0 in zato M \u003d const; tam je čisti ovinek. Sile v katerem koli odseku žarka s čistim upogibom se zmanjšajo na par sil, katerih ravnina delovanja poteka skozi os žarka, moment pa je konstanten. Napetosti je mogoče določiti na podlagi naslednjih premislekov. 1. Tangencialne komponente sil na elementarna področja v prečnem prerezu žarka ni mogoče zmanjšati na par sil, katerih ravnina delovanja je pravokotna na ravnino prereza. Iz tega sledi, da je upogibna sila v prerezu posledica delovanja na elementarna področja samo normalne sile, zato se pri čistem upogibu napetosti zmanjšajo le na normalne. 2. Da bi se prizadevanja na elementarnih platformah zmanjšala le na nekaj sil, morajo biti med njimi tako pozitivne kot negativne. Zato morajo obstajati tako napeta kot stisnjena žarkovna vlakna. 3. Zaradi dejstva, da so sile v različnih odsekih enake, so napetosti na ustreznih točkah odsekov enake. Razmislite o katerem koli elementu blizu površine (slika 89, a). Ker vzdolž njegove spodnje ploskve, ki sovpada s površino nosilca, ne delujejo sile, na njem tudi ni napetosti. Na zgornji ploskvi elementa torej ni nobenih napetosti, saj sicer element ne bi bil v ravnovesju.Upoštevajoč element, ki meji nanj po višini (slika 89, b), pridemo do Isti zaključek itd. Iz tega sledi, da vzdolž vodoravnih ploskev katerega koli elementa ni napetosti. Ob upoštevanju elementov, ki sestavljajo vodoravno plast, začenši z elementom blizu površine nosilca (slika 90), pridemo do zaključka, da vzdolž stranskih navpičnih ploskev nobenega elementa ni napetosti. Tako je treba napetostno stanje katerega koli elementa (sl. 91, a) in v meji vlakna predstaviti, kot je prikazano na sl. 91b, tj. lahko gre za osno napetost ali osno stiskanje. 4. Zaradi simetrije uporabe zunanjih sil mora odsek vzdolž sredine dolžine žarka po deformaciji ostati ravno in normalno na os žarka (slika 92, a). Iz istega razloga tudi odseki v četrtinah dolžine žarka ostanejo ravni in normalni na os žarka (slika 92, b), če le skrajni odseki žarka med deformacijo ostanejo ravni in normalni na os žarka. Podoben sklep velja tudi za odseke v osminah dolžine žarka (sl. 92, c) itd. Torej, če skrajni odseki žarka med upogibanjem ostanejo ravni, potem za kateri koli odsek ostane pošteno je reči, da po deformaciji ostane ravno in normalno na os ukrivljenega nosilca. Toda v tem primeru je očitno, da se mora sprememba raztezka vlaken žarka vzdolž njegove višine zgoditi ne le neprekinjeno, ampak tudi monotono. Če plast imenujemo niz vlaken z enakimi raztezki, potem iz povedanega sledi, da morajo biti raztegnjena in stisnjena vlakna žarka nameščena na nasprotnih straneh plasti, v kateri so raztezki vlaken enaki nič. Vlakna, katerih raztezki so enaki nič, bomo imenovali nevtralna; plast, sestavljena iz nevtralnih vlaken - nevtralna plast; linija presečišča nevtralne plasti z ravnino prečnega prereza žarka - nevtralna črta tega odseka. Nato je na podlagi prejšnjih premislekov mogoče trditi, da s čistim upogibom žarka v vsakem od njegovih odsekov obstaja nevtralna črta, ki ta odsek deli na dva dela (območja): območje raztegnjenih vlaken (napeto območje) in območje stisnjenih vlaken (stisnjeno območje). V skladu s tem morajo normalne natezne napetosti delovati na točkah raztegnjenega območja prečnega prereza, tlačne napetosti na točkah stisnjenega območja, na točkah nevtralne črte pa so napetosti enake nič. Tako s čistim upogibom žarka konstantnega prereza: 1) v odsekih delujejo samo normalne napetosti; 2) celoten odsek lahko razdelimo na dva dela (cone) - raztegnjen in stisnjen; meja območij je nevtralna črta odseka, na točkah katere so normalne napetosti enake nič; 3) kateri koli vzdolžni element žarka (v meji katero koli vlakno) je izpostavljen aksialni napetosti ali stiskanju, tako da sosednja vlakna ne delujejo med seboj; 4) če skrajni odseki žarka med deformacijo ostanejo ravni in normalni na os, potem ostanejo vsi njegovi prerezi ravni in normalni na os ukrivljenega žarka. Razmislite o elementu žarka, ki je podvržen čistemu upogibanju, sklenitev pred deformacijo po deformaciji kjer je p polmer ukrivljenosti nevtralnega vlakna. Zato je absolutni raztezek segmenta AB enak in raztezek Ker je v skladu s položajem (3) vlakno AB izpostavljeno aksialni napetosti, potem z elastično deformacijo Iz tega je razvidno, da so normalne napetosti vzdolž višine nosilca porazdeljene po linearnem zakonu (slika 94). Ker mora biti enaka sila vseh naporov na vseh elementarnih odsekih odseka enaka nič, potem od koder z zamenjavo vrednosti iz (5.8) najdemo Toda zadnji integral je statični moment okoli osi Oy, ki je pravokotna na ravnino delovanja upogibnih sil. Zaradi svoje enakosti na nič mora ta os potekati skozi težišče O preseka. Tako je nevtralna črta odseka nosilca ravna črta yy, pravokotna na ravnino delovanja upogibnih sil. Imenuje se nevtralna os odseka žarka. Potem iz (5.8) sledi, da so napetosti v točkah, ki ležijo na enaki razdalji od nevtralne osi, enake. Primer čistega upogiba, pri katerem upogibne sile delujejo samo v eni ravnini in povzročajo upogib samo v tej ravnini, je ravninski čisti upogib. Če imenovana ravnina poteka skozi os Oz, mora biti trenutek elementarnih naporov glede na to os enak nič, tj. Če tukaj zamenjamo vrednost σ iz (5.8), dobimo Integral na levi strani te enakosti je, kot je znano, centrifugalni vztrajnostni moment prereza okoli osi y in z, tako da Osi, glede na katere je centrifugalni vztrajnostni moment odseka enak nič, se imenujejo glavne vztrajnostne osi tega odseka. Če poleg tega prehajajo skozi težišče odseka, jih lahko imenujemo glavne osrednje vztrajnostne osi odseka. Tako sta pri ravnem čistem upogibu smer ravnine delovanja upogibnih sil in nevtralna os odseka glavni osrednji vztrajnostni osi slednjega. Z drugimi besedami, da bi dobili ravni čisti upogib žarka, obremenitve ni mogoče uporabiti poljubno: zmanjšati ga je treba na sile, ki delujejo v ravnini, ki poteka skozi eno od glavnih osrednjih vztrajnostnih osi odsekov žarka; v tem primeru bo druga glavna osrednja vztrajnostna os nevtralna os preseka. Kot je znano, je v primeru odseka, ki je simetričen glede na katero koli os, simetrijska os ena njegovih glavnih osrednjih vztrajnostnih osi. Posledično bomo v tem konkretnem primeru zagotovo dobili čisti upogib z uporabo ustreznih analognih obremenitev v ravnini, ki poteka skozi vzdolžno os nosilca in simetrično os njegovega preseka. Ravna črta, pravokotna na simetrično os in poteka skozi težišče odseka, je nevtralna os tega odseka. Po določitvi položaja nevtralne osi ni težko najti velikosti napetosti na kateri koli točki preseka. Dejansko mora biti vsota momentov elementarnih sil glede na nevtralno os yy enaka upogibnemu momentu, potem od koder nadomestimo vrednost σ iz (5.8), dobimo Ker je integral in iz izraza (5.8) dobimo Produkt EI Y se imenuje upogibna togost nosilca. Največje natezne in največje tlačne napetosti v absolutni vrednosti delujejo v točkah preseka, za katere je absolutna vrednost z največja, to je v točkah, ki so najbolj oddaljene od nevtralne osi. Z oznakami, sl. 95 jih ima Vrednost Jy / h1 se imenuje moment odpornosti preseka na raztezanje in je označena z Wyr; podobno se Jy/h2 imenuje moment upora preseka proti stiskanju in označuje Wyc, torej in zato Če je nevtralna os simetrična os preseka, potem je h1 = h2 = h/2 in posledično Wyp = Wyc, zato ju ni treba razlikovati in uporabljata isto oznako: W y preprosto imenujemo modul preseka. Zato v primeru preseka, ki je simetričen glede na nevtralno os, Vsi zgornji sklepi so pridobljeni na podlagi predpostavke, da prečni prerezi nosilca, ko so upognjeni, ostanejo ravni in normalni na svojo os (hipoteza ravnih prerezov). Kot je prikazano, je ta predpostavka veljavna le, če ostanejo skrajni (končni) deli nosilca med upogibanjem ravni. Po drugi strani pa iz hipoteze ravnih prerezov izhaja, da bi morale biti elementarne sile v takih odsekih porazdeljene po linearnem zakonu. Zato je za veljavnost pridobljene teorije ravnega čistega upogiba potrebno, da se upogibni momenti na koncih nosilca uporabijo v obliki elementarnih sil, porazdeljenih po višini preseka po linearnem zakonu (sl. 96), ki sovpada z zakonom porazdelitve napetosti vzdolž višine prerezov. Vendar pa je na podlagi načela Saint-Venant mogoče trditi, da bo sprememba metode uporabe upogibnih momentov na koncih nosilca povzročila le lokalne deformacije, katerih učinek bo vplival le na določeni razdalji od teh konci (približno enaki višini odseka). Odseki, ki se nahajajo v preostali dolžini žarka, bodo ostali ravni. Posledično navedena teorija ravnega čistega upogiba s katero koli metodo uporabe upogibnih momentov velja le v srednjem delu dolžine nosilca, ki se nahaja na razdalji od njegovih koncev, ki je približno enaka višini preseka. Iz tega je jasno, da je ta teorija očitno neuporabna, če višina preseka presega polovico dolžine ali razpona nosilca.Povezani članki
Ocene
Napetostno stanje nosilca pri čistem upogibu
merjeno med odseki m-m in n-n, ki sta drug od drugega oddaljena na neskončno majhni razdalji dx (slika 93). Zaradi določbe (4) prejšnjega odstavka bosta odseka m-m in n-n, ki sta bila pred deformacijo vzporedna, po upogibu ostala ravna, tvorila kot dQ in se sekala vzdolž premice, ki poteka skozi točko C, ki je središče ukrivljenosti nevtralnega vlakna NN. Nato se del vlakna AB, ki je zaprt med njima in se nahaja na razdalji z od nevtralnega vlakna (pozitivna smer osi z je med upogibanjem vzeta proti konveksnosti žarka), po tem, ko se spremeni v lok A "B". deformacija Segment nevtralnega vlakna O1O2, ki se spremeni v lok O1O2, ne bo spremenil svoje dolžine, medtem ko bo vlakno AB dobilo raztezek:
je. vztrajnostni moment odseka okoli osi y, torej
