Ravno ukrivljene palice. Ravni prečni zavoj. Enostavne vrste odpornosti. ravno krivino

Stanovanje prečni zavoj tramovi. Notranje upogibne sile. Diferencialne odvisnosti notranjih sil. Pravila za preverjanje diagramov notranjih sil pri upogibanju. Normalne in strižne napetosti pri upogibu. Izračun trdnosti za normalne in strižne napetosti.

10. ENOSTAVNE VRSTE UPORA. PLOŠČATI ZAVIJ

10.1. Splošni pojmi in definicije

Upogibanje je vrsta obremenitve, pri kateri je palica obremenjena z momenti v ravninah, ki potekajo skozi vzdolžno os palice.

Palica, ki deluje pri upogibanju, se imenuje žarek (ali žarek). V prihodnje bomo obravnavali ravne nosilce, katerih presek ima vsaj eno simetrično os.

Pri odpornosti materialov je upogibanje ravno, poševno in kompleksno.

Ravni upogib je upogib, pri katerem vse sile, ki upogibajo nosilec, ležijo v eni od ravnin simetrije nosilca (v eni od glavnih ravnin).

Glavne vztrajnostne ravnine nosilca so ravnine, ki potekajo skozi glavne osi prerezov in geometrijsko os nosilca (x os).

Poševni zavoj je zavoj, pri katerem obremenitve delujejo v eni ravnini, ki ne sovpada z glavnimi vztrajnostnimi ravninami.

Kompleksni upogib je upogib, pri katerem obremenitve delujejo v različnih (poljubnih) ravninah.

10.2. Določanje notranjih upogibnih sil

Razmislimo o dveh značilnih primerih upogiba: v prvem primeru je konzolni nosilec upognjen s koncentriranim momentom M o ; v drugi pa s koncentrirano silo F.

Z metodo miselnih prerezov in sestavljanjem ravnotežnih enačb za odrezane dele nosilca določimo notranje sile v obeh primerih:

Ostale ravnotežne enačbe so očitno identično enake nič.

Tako v splošnem primeru ravnega upogiba v odseku nosilca od šestih notranjih sil nastaneta dve - upogibni moment M z in strižna sila Q y (ali pri upogibanju okoli druge glavne osi - upogibni moment M y in prečna sila Q z ).

V tem primeru lahko v skladu z dvema obravnavanima primeroma obremenitve ravno upogibanje razdelimo na čisto in prečno.

Čisti upogib je ravno upogibanje, pri katerem v odsekih palice nastane samo ena od šestih notranjih sil - upogibni moment (glej prvi primer).

prečni zavoj- upogibanje, pri katerem se poleg notranjega upogibnega momenta v odsekih palice pojavi tudi prečna sila (glej drugi primer).

Strogo gledano, samo čisti upogib spada med preproste vrste upora; prečni upogib se pogojno nanaša na preproste vrste upora, saj je v večini primerov (za dovolj dolge nosilce) mogoče zanemariti delovanje prečne sile pri izračunih trdnosti.

Pri določanju notranjih sil se bomo držali naslednjega pravila znakov:

1) prečna sila Q y se šteje za pozitivno, če teži k vrtenju zadevnega žarkovnega elementa v smeri urinega kazalca;

2) upogibni moment M z velja za pozitivno, če so zgornja vlakna elementa stisnjena, spodnja vlakna pa raztegnjena (pravilo dežnika), ko je element žarka upognjen.

Tako bo rešitev problema določanja notranjih sil med upogibanjem zgrajena po naslednjem načrtu: 1) na prvi stopnji, ob upoštevanju ravnotežnih pogojev konstrukcije kot celote, po potrebi določimo neznane reakcije podpor (upoštevajte, da so pri konzolnem nosilcu reakcije v vgradnji lahko in ne najdene, če upoštevamo nosilec s prostega konca); 2) na drugi stopnji izberemo značilne odseke žarka, pri čemer kot meje odsekov vzamemo točke uporabe sil, točke spremembe oblike ali dimenzij žarka, točke pritrditve žarka; 3) na tretji stopnji določimo notranje sile v odsekih nosilca ob upoštevanju ravnotežnih pogojev za elemente nosilca v vsakem od odsekov.

10.3. Diferencialne odvisnosti pri upogibanju

Ugotovimo nekaj razmerij med notranjimi silami in zunanjimi obremenitvami pri upogibu, pa tudi značilnosti diagrama Q in M ​​, katerih poznavanje bo olajšalo gradnjo diagramov in vam omogočilo nadzor nad njihovo pravilnostjo. Zaradi lažjega zapisovanja bomo označili: M ≡ M z , Q ≡ Q y .

Dodelimo majhen element dx v odseku nosilca s poljubno obremenitvijo na mestu, kjer ni koncentriranih sil in momentov. Ker je celoten nosilec v ravnotežju, bo tudi element dx v ravnotežju pod vplivom prečnih sil, ki delujejo nanj, upogibnih momentov in zunanje obremenitve. Ker se Q in M ​​na splošno spreminjata vzdolž osi žarka, bodo v odsekih elementa dx prečne sile Q in Q + dQ , kot tudi upogibni momenti M in M ​​+ dM . Iz pogoja ravnovesja izbranega elementa dobimo

∑ F y = 0 Q + q dx − (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

Iz druge enačbe, pri čemer zanemarimo izraz q dx (dx /2) kot infinitezimalno količino drugega reda, najdemo

Relacije (10.1), (10.2) in (10.3) imenujemo diferencialne odvisnosti D. I. Zhuravskega pri upogibanju.

Analiza zgoraj navedenega diferencialne odvisnosti pri upogibanju vam omogoča, da določite nekatere značilnosti (pravila) za izdelavo diagramov upogibnih momentov in strižnih sil:

a - na območjih, kjer ni porazdeljene obremenitve q, so diagrami Q omejeni na ravne črte, vzporedne z osnovo, in diagrami M - poševne ravne črte;

b - v območjih, kjer na nosilec deluje porazdeljena obremenitev q, so diagrami Q omejeni z nagnjenimi ravnimi črtami, diagrami M pa s kvadratnimi parabolami. Hkrati, če zgradimo diagram M "na raztegnjenem vlaknu", potem konveksnost pa-

delo bo usmerjeno v smeri delovanja q, ekstrem pa bo v odseku, kjer ploskev Q seka osnovno črto;

c - v odsekih, kjer na žarek deluje koncentrirana sila, bodo na diagramu Q skoki za vrednost in v smeri te sile, na diagramu M pa pregibi, konica je usmerjena v tej smeri sila; d - v odsekih, kjer se na žarek na ploskvi nanaša koncentrirani moment

ne bo sprememb re Q, na diagramu M pa bodo skoki za vrednost tega trenutka; e - na območjih, kjer je Q > 0, v trenutku, ko se M poveča, in na območjih, kjer je Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Normalne napetosti pri čistem upogibu ravnega nosilca

Oglejmo si primer čistega ravninskega upogiba nosilca in izpeljimo formulo za določitev normalnih napetosti za ta primer. Upoštevajte, da je v teoriji elastičnosti mogoče dobiti natančno odvisnost za normalne napetosti pri čistem upogibanju, če pa se ta problem reši z metodami odpornosti materialov, je treba uvesti nekaj predpostavk.

Obstajajo tri takšne hipoteze za upogibanje:

a – hipoteza o ravnem prerezu (Bernoullijeva hipoteza)

- ravni odseki pred deformacijo ostanejo ravni po deformaciji, vendar se vrtijo le glede na določeno črto, ki se imenuje nevtralna os odseka nosilca. V tem primeru bodo vlakna žarka, ki ležijo na eni strani nevtralne osi, raztegnjena, na drugi pa stisnjena; vlakna, ki ležijo na nevtralni osi, ne spremenijo svoje dolžine;

b - hipoteza o konstantnosti normalnih napetosti

nii - napetosti, ki delujejo na enaki razdalji y od nevtralne osi, so konstantne po širini nosilca;

c – hipoteza o odsotnosti bočnih pritiskov –

siva vzdolžna vlakna ne pritiskajo druga na drugo.

Čisti ovinek imenujemo to vrsto upogibanja, v katerem se dogaja dejanje samo upogibni moment(Sl. 3.5, a). Miselno narišimo presečno ravnino I-I pravokotno na vzdolžno os žarka na razdalji * od prostega konca žarka, na katerega deluje zunanji moment mz. Izvedimo dejanja, podobna tistim, ki smo jih izvedli pri določanju napetosti in deformacij med torzijo, in sicer:

• 1) sestavite ravnotežne enačbe mentalno odrezanega dela dela;
• 2) določimo deformacijo materiala dela na podlagi pogojev združljivosti deformacij elementarnih volumnov danega odseka;
• 3) rešiti enačbe ravnotežja in združljivosti deformacij.

Iz pogoja ravnovesja odrezanega odseka žarka (sl. 3.5, b)

dobimo, da je moment notranjih sil Mz enak momentu zunanjih sil t: M = t.

riž. 3.5.

Moment notranjih sil ustvarjajo normalne napetosti o v, usmerjene vzdolž osi x. Pri čistem upogibu ni zunanjih sil, zato je vsota projekcij notranjih sil na katerokoli koordinatno os enaka nič. Na podlagi tega zapišemo ravnotežne pogoje v obliki enačb

kje AMPAK- površina prečnega prereza nosilca (palica).

Pri čistem upogibu zunanje sile F x , F, F v kot tudi momenti zunanjih sil t x, t y so enake nič. Zato so preostale enačbe ravnotežja identično enake nič.

Iz pogoja ravnotežja za o > 0 sledi, da

normalna napetost z x v prečnem prerezu imajo pozitivne in negativne vrednosti. (Izkušnje kažejo, da se pri upogibanju material spodnje strani nosilca na sliki 3.5, a raztegnjena, zgornja pa je stisnjena.) Zato so v prečnem prerezu pri upogibu takšni elementarni volumni (prehodne plasti iz stiskanja v napenjanje), v katerih ni raztezanja ali stiskanja. to - nevtralni sloj. Linija presečišča nevtralne plasti z ravnino prečnega prereza se imenuje nevtralna linija.

Pogoji za združljivost deformacij elementarnih volumnov med upogibom so oblikovani na podlagi hipoteze ravnih prerezov: ravno pred upogibanjem prečni prerezi tramovi (glej sliko 3.5, b) bo ostala ravna tudi po upogibanju (slika 3.6).

Zaradi delovanja zunanjega momenta se žarek upogne, ravnine odsekov I-I in II-II pa se med seboj zasukajo pod kotom dy(slika 3.6, b). Pri čistem upogibanju je deformacija vseh odsekov vzdolž osi žarka enaka, zato je polmer ukrivljenosti pk nevtralne plasti žarka vzdolž osi x enak. Ker dx= str k dip, potem je ukrivljenost nevtralne plasti enaka 1 / p k = dip / dx in je konstantna vzdolž dolžine žarka.

Nevtralni sloj se ne deformira, njegova dolžina pred in po deformaciji je enaka dx. Pod to plastjo je material raztegnjen, zgoraj pa stisnjen.

riž. 3.6.

Vrednost raztezka raztegnjene plasti, ki se nahaja na razdalji y od nevtralne, je enaka ydq. Relativni raztezek te plasti:

Tako dobimo v sprejetem modelu linearno porazdelitev deformacij v odvisnosti od oddaljenosti danega elementarnega volumna do nevtralne plasti, t.j. po višini odseka nosilca. Ob predpostavki, da ni medsebojnega pritiskanja vzporednih plasti materiala drug na drugega (o y \u003d 0, a, \u003d 0), zapišemo Hookov zakon za linearno napetost:

Glede na (3.13) običajni stresi v prečnem prerezu so nosilci razporejeni po linearnem zakonu. Napetost elementarne prostornine materiala, ki je najbolj oddaljena od nevtralne plasti (sl. 3.6, v), največ in enako

? Naloga 3.6

Določite mejo elastičnosti jeklenega rezila z debelino / = 4 mm in dolžino / = 80 cm, če njegovo polkrožno zvijanje ne povzroči trajne deformacije.

rešitev

Upogibna napetost o v = eu/ p k Vzemimo y max = t/ 2i p k = / / do.

Meja elastičnosti mora ustrezati pogoju z yn > c v = 1/2 kE t /1.

Odgovor: približno = ] / 2 proti 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; meja tečenja tega jekla je a m > 1800 MPa, kar presega a m najmočnejših vzmetnih jekel. ?

? Naloga 3.7

Določite najmanjši polmer bobna za navijanje traku z debelino / = 0,1 mm grelnega elementa iz nikljeve zlitine, pri katerem se material traku ne deformira plastično. Modul E= 1,6 10 5 MPa, meja elastičnosti o yn = 200 MPa.

odgovor: minimalni polmer р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m.?

1. S skupnim reševanjem prve ravnotežne enačbe (3.12) in enačbe združljivosti deformacij (3.13) dobimo

Pomen E/ r k f 0 in enako za vse elemente dA področje integracije. Zato je ta enakost izpolnjena samo pod pogojem

Ta integral se imenuje statični moment površine prečnega prereza okoli osiz? Kakšen je fizikalni pomen tega integrala?

Vzemimo ploščo konstantne debeline /, vendar poljubnega profila (slika 3.7). To ploščo obesite na točko OD tako da je v vodoravnem položaju. S simbolom y m označimo specifično težo materiala plošče, nato težo elementarne prostornine s površino dA enako dq= y JdA. Ker je plošča v stanju ravnotežja, potem od enakosti do nič projekcij sil na os pri dobimo

kje G= y MtA- teža plošče.

riž. 3.7.

Vsota momentov sil vseh sil okoli osi z ki poteka v katerem koli odseku plošče, je prav tako enaka nič:

Glede na to Y c = g, zapisati

Torej, če je integral oblike J xdA po območju AMPAK enako

nič, torej x c = 0. To pomeni, da točka C sovpada s težiščem plošče. Torej iz enakosti Sz = J ydA= 0 pri

upogiba sledi, da je težišče prečnega prereza žarka na nevtralni črti.

Zato vrednost ti s presek žarka je nič.

• 1. Nevtralna črta med upogibanjem poteka skozi težišče prečnega prereza nosilca.
• 2. Težišče prečnega prereza je središče redukcije momentov zunanjih in notranjih sil.

Naloga 3.8

Naloga 3.9

2. S skupnim reševanjem druge ravnotežne enačbe (3.12) in enačbe združljivosti deformacij (3.13) dobimo

Integral Jz= J y2dA klical vztrajnostni moment prečnega

prerez nosilca (palice) glede na os z, ki poteka skozi težišče prečnega prereza.

V to smer, M z \u003d E J z / p k. Glede na to c x = Ee x = Ey/ p k in E/ p k = a x / y, dobimo odvisnost normalnih napetosti oh pri upogibanju:

1. Upogibna napetost na določeni točki preseka ni odvisna od modula normalne elastičnosti E, vendar je odvisen od geometrijskega parametra prereza Jz in oddaljenost pri od te točke do težišča prečnega prereza.

2. Največja napetost med upogibanjem poteka v elementarnih volumnih, najbolj oddaljenih od nevtralne črte (glej sliko 3.6, v):

kje Wz- moment upora prečnega prereza okoli osi Z-

Pogoj trdnosti pri čistem upogibu je podoben pogoju trdnosti pri linearni napetosti:

kjer [a m | - dovoljena upogibna napetost.

Očitno je, da notranje prostornine materiala, zlasti v bližini nevtralne osi, praktično niso obremenjene (glej sliko 3.6, v). To je v nasprotju z zahtevo po čim manjši porabi materiala za konstrukcijo. Nekaj ​​načinov za premagovanje tega protislovja bo prikazanih spodaj.

Sile, ki delujejo pravokotno na os žarka in se nahajajo v ravnini, ki poteka skozi to os, povzročijo deformacijo, imenovano prečni zavoj. Če je ravnina delovanja omenjenih sil – glavno ravnino, potem je ravno (ravno) prečno krivino. V nasprotnem primeru se ovinek imenuje poševno prečno. Imenuje se žarek, ki je pretežno podvržen upogibanju žarek 1 .

V bistvu je prečno upogibanje kombinacija čistega upogibanja in striga. V povezavi z ukrivljenostjo prečnih prerezov zaradi neenakomerne porazdelitve škarij po višini se postavlja vprašanje možnosti uporabe formule normalne napetosti σ X izpeljano za čisto upogibanje temelji na hipotezi ravnih odsekov.

1 Nosilec z enim razponom, ki ima na koncih eno cilindrično fiksno oporo in eno valjasto premično v smeri osi nosilca, se imenuje preprosto. Žarek z enim fiksnim koncem in drugim prostim koncem se imenuje konzola. Imenuje se preprost žarek, ki ima enega ali dva dela, ki visijo na nosilcu konzola.

Če so poleg tega odseki vzeti daleč od točk uporabe obremenitve (na razdalji, ki ni manjša od polovice višine odseka nosilca), se lahko, tako kot v primeru čistega upogibanja, domneva, da je vlakna ne pritiskajo druga na drugo. To pomeni, da vsako vlakno doživi enoosno napetost ali stiskanje.

Pod delovanjem porazdeljene obremenitve se bodo prečne sile v dveh sosednjih odsekih razlikovale za znesek, ki je enak qdx. Zato bo tudi ukrivljenost odsekov nekoliko drugačna. Poleg tega bodo vlakna med seboj pritiskala. Natančna študija vprašanja kaže, da če je dolžina žarka l precej velik v primerjavi z njegovo višino h (l/ h> 5), potem tudi pri porazdeljeni obremenitvi ti dejavniki nimajo bistvenega vpliva na normalne napetosti v prečnem prerezu in se zato v praktičnih izračunih morda ne bodo upoštevali.

a B C

riž. 10.5 Sl. 10.6

V odsekih pod koncentriranimi obremenitvami in blizu njih je porazdelitev σ X odstopa od linearnega zakona. To odstopanje, ki je lokalne narave in ga ne spremlja povečanje največjih napetosti (v skrajnih vlaknih), se v praksi običajno ne upošteva.

Tako s prečnim upogibanjem (v ravnini hu) normalne napetosti se izračunajo po formuli

σ X= – [Mz(x)/Iz]l.

Če na neobremenjenem delu palice narišemo dva sosednja preseka, bo prečna sila v obeh presekih enaka, kar pomeni, da bo enaka tudi ukrivljenost presekov. V tem primeru kateri koli kos vlaken ab(Slika 10.5) se premakne na nov položaj a "b", brez dodatnega raztezka in torej brez spreminjanja velikosti normalne napetosti.

Določimo strižne napetosti v prerezu preko njihovih parnih napetosti, ki delujejo v vzdolžnem prerezu nosilca.

V vrstici izberite element z dolžino dx(slika 10.7 a). Narišimo vodoravni odsek na daljavo pri od nevtralne osi z, razdelite element na dva dela (slika 10.7) in upoštevajte ravnotežje zgornjega dela, ki ima podlago

premer b. V skladu z zakonom parjenja strižnih napetosti so napetosti, ki delujejo v vzdolžnem prerezu, enake napetostim, ki delujejo v prečnem prerezu. S tem v mislih ob predpostavki, da strižne napetosti na mestu b enakomerno porazdeljena, uporabimo pogoj ΣX = 0, dobimo:

N * - (N * +dN *)+

kjer je: N * - rezultanta normalnih sil σ v levem prečnem prerezu elementa dx znotraj "odrezanega" območja A * (slika 10.7 d):

kjer je: S \u003d - statični moment "odrezanega" dela prečnega prereza (zasenčeno območje na sliki 10.7 c). Zato lahko zapišemo:

Potem lahko napišete:

To formulo je v 19. stoletju pridobil ruski znanstvenik in inženir D.I. Zhuravsky in nosi njegovo ime. In čeprav je ta formula približna, saj povpreči napetost po širini odseka, se rezultati izračuna, dobljeni z njeno uporabo, dobro ujemajo z eksperimentalnimi podatki.

Za določitev strižnih napetosti na poljubni točki odseka, ki je oddaljena na razdalji y od osi z, je treba:

Iz diagrama določite velikost prečne sile Q, ki deluje v preseku;

Izračunajte vztrajnostni moment I z celotnega odseka;

Skozi to točko nariši ravnino, ki je vzporedna z ravnino xz in določite širino odseka b;

Izračunajte statični moment meje S glede na glavno središčno os z in nadomestite najdene vrednosti v formulo Žuravskega.

Določimo kot primer strižne napetosti v pravokotnem prerezu (slika 10.6, c). Statični moment okoli osi z dele odseka nad črto 1-1, na katerih je določena napetost, zapišemo v obliki:

Spreminja se po zakonu kvadratne parabole. Širina odseka v za pravokotni žarek konstanten, bo zakon o spremembi strižnih napetosti v odseku tudi paraboličen (sl. 10.6, c). Za y = in y = − so tangencialne napetosti enake nič in na nevtralni osi z dosežejo najvišjo točko.

Za žarek s krožnim prerezom na nevtralni osi imamo

bend



Osnovni pojmi o upogibanju

Za upogibno deformacijo je značilna izguba ravnosti ali prvotne oblike s črto žarka (njene osi), ko deluje zunanja obremenitev. V tem primeru, v nasprotju s strižno deformacijo, linija žarka gladko spremeni svojo obliko.
Preprosto je videti, da na odpornost proti upogibanju ne vpliva samo površina prečnega prereza nosilca (nosilec, palica itd.), temveč tudi geometrijska oblika tega odseka.

Ker je telo (nosilec, palica itd.) upognjeno glede na katero koli os, na upogibni upor vpliva velikost aksialnega vztrajnostnega momenta odseka telesa glede na to os.
Za primerjavo, pri torzijski deformaciji je odsek telesa podvržen zvijanju glede na pol (točko), zato polarni vztrajnostni moment tega odseka vpliva na odpornost proti torziji.

Številni konstrukcijski elementi lahko delujejo na upogibanje - osi, gredi, nosilci, zobniki zobnikov, ročice, palice itd.

Pri odpornosti materialov se upošteva več vrst upogibov:
- glede na naravo zunanje obremenitve, ki se nanaša na žarek, se razlikujejo čisti ovinek in prečni zavoj;
- odvisno od lokacije ravnine delovanja upogibne obremenitve glede na os žarka - ravni ovinek in poševni ovinek.

Čisto in prečno krivljenje žarka

Čisti upogib je vrsta deformacije, pri kateri se v katerem koli preseku nosilca pojavi samo upogibni moment ( riž. 2).
Deformacija čistega upogiba bo na primer nastala, če na ravni nosilec v ravnini, ki poteka skozi os, delujeta dva para sil, enaka po velikosti in nasprotnega predznaka. Potem bodo v vsakem odseku žarka delovali le upogibni momenti.

Če do upogiba pride zaradi delovanja prečne sile na drog ( riž. 3), potem se tak upogib imenuje prečni. V tem primeru na vsakem odseku nosilca delujeta prečna sila in upogibni moment (razen odseka, na katerega zunanja obremenitev).

Če ima žarek vsaj eno os simetrije in ravnina delovanja obremenitev sovpada z njo, potem pride do neposrednega upogibanja, če ta pogoj ni izpolnjen, potem pride do poševnega upogibanja.

Pri preučevanju upogibne deformacije si bomo v mislih predstavljali, da je žarek (nosilec) sestavljen iz neštetega števila vzdolžnih vlaken, vzporednih z osjo.
Da bi vizualizirali deformacijo neposrednega upogiba, bomo izvedli poskus z gumijasto palico, na katero je nameščena mreža vzdolžnih in prečnih črt.
Če takšno palico izpostavimo neposrednemu upogibu, lahko opazimo, da ( riž. eno):

Prečne črte bodo ob deformaciji ostale ravne, vendar se bodo med seboj obrnile pod kotom;
- odseki nosilca se bodo razširili v prečni smeri na konkavni strani in zožili na konveksni strani;
- vzdolžne ravne črte bodo ukrivljene.

Iz te izkušnje je mogoče sklepati, da:

Za čisto upogibanje velja hipoteza ravnih odsekov;
- vlakna, ki ležijo na konveksni strani, so raztegnjena, na konkavni strani pa stisnjena, na meji med njimi pa leži nevtralna plast vlaken, ki se samo upognejo, ne da bi spremenila svojo dolžino.

Ob predpostavki, da je hipoteza o netlaku vlaken pravilna, lahko trdimo, da pri čistem upogibu v prečnem prerezu nosilca nastanejo samo normalne natezne in tlačne napetosti, ki so neenakomerno porazdeljene po prerezu.
Linija presečišča nevtralne plasti z ravnino prečnega prereza se imenuje nevtralna os. Očitno je, da so normalne napetosti na nevtralni osi enake nič.

Upogibni moment in strižna sila

Kot je znano iz teoretične mehanike, se nosilne reakcije nosilcev določijo s sestavljanjem in reševanjem enačb statičnega ravnotežja za celoten nosilec. Pri reševanju problemov upora materialov in določanju notranjih faktorjev sile v palicah smo upoštevali reakcije vezi ob zunanjih obremenitvah, ki delujejo na palice.
Za določitev notranjih faktorjev sile uporabimo metodo preseka, nosilec pa bomo upodobili samo z eno črto - osjo, na katero delujejo aktivne in reaktivne sile (obremenitve in reakcije vezi).

Razmislite o dveh primerih:

1. Na žarek delujeta dva enaka in nasprotna para sil.
Ob upoštevanju ravnotežja dela žarka, ki se nahaja levo ali desno od odseka 1-1 (slika 2), vidimo, da je v vseh prerezih samo upogibni moment M in enak zunanjemu momentu. Tako gre tukaj za čisti upogib.

Upogibni moment je posledični moment okoli nevtralne osi notranjih normalnih sil, ki delujejo v prerezu nosilca.

Bodimo pozorni na to, da ima upogibni moment levo in desno različno smer desni deli tramovi. To kaže na neprimernost pravila znakov statike pri določanju znaka upogibnega momenta.

2. Aktivne in reaktivne sile (obremenitve in reakcije vezi) pravokotno na os delujejo na žarek (riž. 3). Glede na ravnovesje delov žarka, ki se nahajajo na levi in ​​desni, vidimo, da mora upogibni moment M delovati v prerezih in in strižna sila Q.
Iz tega sledi, da v obravnavanem primeru na točkah prečnih prerezov ne delujejo samo normalne napetosti, ki ustrezajo upogibnemu momentu, temveč tudi tangencialne napetosti, ki ustrezajo prečni sili.

Prečna sila je rezultanta notranjih tangencialnih sil v prerezu nosilca.

Bodimo pozorni na dejstvo, da ima strižna sila nasprotno smer za levi in ​​desni del nosilca, kar kaže na neprimernost pravila statičnih predznakov pri določanju predznaka strižne sile.

Upogibanje, pri katerem v prerezu nosilca delujeta upogibni moment in prečna sila, se imenuje prečni.



Za žarek v ravnovesju z delovanjem ravnega sistema sil je algebraična vsota momentov vseh aktivnih in reaktivnih sil glede na katero koli točko enaka nič; zato je vsota momentov zunanjih sil, ki delujejo na nosilec levo od preseka, številčno enaka vsoti momentov vseh zunanjih sil, ki delujejo na nosilec desno od preseka.
V to smer, upogibni moment v odseku nosilca je številčno enak algebraični vsoti momentov okoli težišča odseka vseh zunanjih sil, ki delujejo na nosilec desno ali levo od odseka.

Za nosilec v ravnovesju pod delovanjem ravninskega sistema sil, pravokotnih na os (tj. sistema vzporednih sil), je algebraična vsota vseh zunanjih sil enaka nič; zato je vsota zunanjih sil, ki delujejo na nosilec levo od preseka, številčno enaka algebraični vsoti sil, ki delujejo na nosilec desno od preseka.
V to smer, prečna sila v odseku nosilca je številčno enaka algebraični vsoti vseh zunanjih sil, ki delujejo desno ali levo od odseka.

Ker so pravila statičnih znakov nesprejemljiva za določitev znakov upogibnega momenta in prečne sile, bomo zanje določili druga pravila znakov, in sicer: žarek je konveksen navzgor, potem se upogibni moment v odseku šteje za negativnega ( Slika 4a).

Če vsota zunanjih sil, ki ležijo na levi strani odseka, daje rezultanto, usmerjeno navzgor, potem se prečna sila v odseku šteje za pozitivno, če je rezultanta usmerjena navzdol, potem se prečna sila v odseku šteje za negativno; za del žarka, ki se nahaja desno od odseka, bodo znaki prečne sile nasprotni ( riž. 4b). Z uporabo teh pravil si je treba mentalno predstavljati odsek žarka kot togo vpet, povezave pa kot zavržene in nadomeščene z reakcijami.

Še enkrat opozarjamo, da se za določanje reakcij vezi uporabljajo pravila znakov statike, za določanje znakov upogibnega momenta in prečne sile pa pravila znakov odpornosti materialov.
Pravilo predznakov za upogibne momente včasih imenujemo tudi "pravilo dežja", kar pomeni, da pri izbočenju navzdol nastane lijak, v katerem se zadržuje deževnica (predznak je pozitiven), in obratno - če pod delovanje obremenitev se nosilec upogne navzgor v loku, voda na njem se ne zadržuje (predznak upogibnih momentov je negativen).

Materiali oddelka "Upogibanje":

Začnemo z najpreprostejšim primerom, tako imenovanim čistim upogibanjem.

Čisti upogib je poseben primer upogiba, pri katerem je prečna sila v prerezih nosilca enaka nič. Do čistega upogibanja lahko pride le, če je lastna teža nosilca tako majhna, da je njen vpliv mogoče zanemariti. Za nosilce na dveh nosilcih primeri obremenitev, ki povzročajo neto

zavoj, prikazan na sl. 88. Na odsekih teh žarkov, kjer je Q \u003d 0 in zato M \u003d const; tam je čisti ovinek.

Sile v katerem koli odseku žarka s čistim upogibom se zmanjšajo na par sil, katerih ravnina delovanja poteka skozi os žarka, moment pa je konstanten.

Napetosti je mogoče določiti na podlagi naslednjih premislekov.

1. Tangencialne komponente sil na elementarna področja v prečnem prerezu žarka ni mogoče zmanjšati na par sil, katerih ravnina delovanja je pravokotna na ravnino prereza. Iz tega sledi, da je upogibna sila v prerezu posledica delovanja na elementarna področja

samo normalne sile, zato se pri čistem upogibu napetosti zmanjšajo le na normalne.

2. Da bi se prizadevanja na elementarnih platformah zmanjšala le na nekaj sil, morajo biti med njimi tako pozitivne kot negativne. Zato morajo obstajati tako napeta kot stisnjena žarkovna vlakna.

3. Zaradi dejstva, da so sile v različnih odsekih enake, so napetosti na ustreznih točkah odsekov enake.

Razmislite o katerem koli elementu blizu površine (slika 89, a). Ker vzdolž njegove spodnje ploskve, ki sovpada s površino nosilca, ne delujejo sile, na njem tudi ni napetosti. Na zgornji ploskvi elementa torej ni nobenih napetosti, saj drugače element ne bi bil v ravnovesju.Upoštevajoč element, ki meji nanj po višini (sl. 89, b), pridemo do

Isti zaključek itd. Iz tega sledi, da vzdolž vodoravnih ploskev katerega koli elementa ni napetosti. Ob upoštevanju elementov, ki sestavljajo vodoravno plast, začenši z elementom blizu površine nosilca (slika 90), pridemo do zaključka, da vzdolž stranskih navpičnih ploskev nobenega elementa ni napetosti. Tako je treba napetostno stanje katerega koli elementa (slika 91, a) in v meji vlakna predstaviti, kot je prikazano na sl. 91b, tj. lahko gre za osno napetost ali osno stiskanje.

4. Zaradi simetrije uporabe zunanjih sil mora odsek vzdolž sredine dolžine žarka po deformaciji ostati ravno in normalno na os žarka (slika 92, a). Iz istega razloga tudi odseki v četrtinah dolžine žarka ostanejo ravni in normalni na os žarka (slika 92, b), če le skrajni odseki žarka med deformacijo ostanejo ravni in normalni na os žarka. Podoben sklep velja tudi za odseke v osminah dolžine žarka (sl. 92, c) itd. Torej, če skrajni odseki žarka med upogibanjem ostanejo ravni, potem za kateri koli odsek ostane

pošteno je reči, da po deformaciji ostane ravno in normalno na os ukrivljenega nosilca. Toda v tem primeru je očitno, da se mora sprememba raztezka vlaken žarka vzdolž njegove višine zgoditi ne le neprekinjeno, ampak tudi monotono. Če plast imenujemo niz vlaken z enakimi raztezki, potem iz povedanega sledi, da morajo biti raztegnjena in stisnjena vlakna žarka nameščena na nasprotnih straneh plasti, v kateri so raztezki vlaken enaki nič. Vlakna, katerih raztezki so enaki nič, bomo imenovali nevtralna; plast, sestavljena iz nevtralnih vlaken - nevtralna plast; linija presečišča nevtralne plasti z ravnino prečnega prereza žarka - nevtralna črta tega odseka. Nato je na podlagi prejšnjih premislekov mogoče trditi, da s čistim upogibom žarka v vsakem od njegovih odsekov obstaja nevtralna črta, ki ta odsek deli na dva dela (območja): območje raztegnjenih vlaken (napeto območje) in območje stisnjenih vlaken (stisnjeno območje). V skladu s tem morajo normalne natezne napetosti delovati na točkah raztegnjenega območja odseka, tlačne napetosti na točkah stisnjenega območja, na točkah nevtralne črte pa so napetosti enake nič.

Tako s čistim upogibom žarka konstantnega prereza:

1) v odsekih delujejo samo normalne napetosti;

2) celoten odsek lahko razdelimo na dva dela (cone) - raztegnjen in stisnjen; meja območij je nevtralna črta odseka, na točkah katere so normalne napetosti enake nič;

3) kateri koli vzdolžni element žarka (v meji katero koli vlakno) je izpostavljen aksialni napetosti ali stiskanju, tako da sosednja vlakna ne delujejo med seboj;

4) če skrajni odseki žarka med deformacijo ostanejo ravni in normalni na os, potem ostanejo vsi njegovi prerezi ravni in normalni na os ukrivljenega žarka.

Napetostno stanje nosilca pri čistem upogibu

Razmislite o elementu žarka, ki je podvržen čistemu upogibanju, sklenitev merjeno med odseki m-m in n-n, ki sta drug od drugega oddaljena na neskončno majhni razdalji dx (slika 93). Zaradi določbe (4) prejšnjega odstavka bosta odseka m-m in n-n, ki sta bila pred deformacijo vzporedna, po upogibu ostala ravna, tvorila kot dQ in se sekala vzdolž premice, ki poteka skozi točko C, ki je središče ukrivljenosti nevtralnega vlakna NN. Nato se del vlakna AB, ki je zaprt med njima in se nahaja na razdalji z od nevtralnega vlakna (pozitivna smer osi z je med upogibanjem vzeta proti konveksnosti žarka), po tem, ko se spremeni v lok A "B". deformacija Segment nevtralnega vlakna O1O2, ki se spremeni v lok O1O2, ne bo spremenil svoje dolžine, medtem ko bo vlakno AB dobilo raztezek:

pred deformacijo

po deformaciji

kjer je p polmer ukrivljenosti nevtralnega vlakna.

Zato je absolutni raztezek segmenta AB enak

in raztezek

Ker je v skladu s položajem (3) vlakno AB izpostavljeno aksialni napetosti, potem z elastično deformacijo

Iz tega je razvidno, da so normalne napetosti vzdolž višine nosilca porazdeljene po linearnem zakonu (slika 94). Ker mora biti enaka sila vseh naporov na vseh elementarnih odsekih odseka enaka nič, potem

od koder z zamenjavo vrednosti iz (5.8) najdemo

Toda zadnji integral je statični moment okoli osi Oy, ki je pravokotna na ravnino delovanja upogibnih sil.

Zaradi svoje enakosti na nič mora ta os potekati skozi težišče O preseka. Tako je nevtralna črta odseka nosilca ravna črta yy, pravokotna na ravnino delovanja upogibnih sil. Imenuje se nevtralna os odseka žarka. Potem iz (5.8) sledi, da so napetosti v točkah, ki ležijo na enaki razdalji od nevtralne osi, enake.

Primer čistega upogiba, pri katerem upogibne sile delujejo samo v eni ravnini in povzročajo upogib samo v tej ravnini, je ravninski čisti upogib. Če imenovana ravnina poteka skozi os Oz, mora biti trenutek elementarnih naporov glede na to os enak nič, tj.

Če tukaj zamenjamo vrednost σ iz (5.8), dobimo

Integral na levi strani te enakosti je, kot je znano, centrifugalni vztrajnostni moment prereza okoli osi y in z, tako da

Osi, glede na katere je centrifugalni vztrajnostni moment odseka enak nič, se imenujejo glavne vztrajnostne osi tega odseka. Če poleg tega prehajajo skozi težišče odseka, jih lahko imenujemo glavne osrednje vztrajnostne osi odseka. Tako sta pri ravnem čistem upogibu smer ravnine delovanja upogibnih sil in nevtralna os odseka glavni osrednji vztrajnostni osi slednjega. Z drugimi besedami, da bi dobili ravno čisto upogibanje žarka, obremenitve ni mogoče uporabiti poljubno: zmanjšati ga je treba na sile, ki delujejo v ravnini, ki poteka skozi eno od glavnih osrednjih vztrajnostnih osi odsekov žarka; v tem primeru bo druga glavna osrednja vztrajnostna os nevtralna os preseka.

Kot je znano, je v primeru odseka, ki je simetričen glede na katero koli os, simetrijska os ena njegovih glavnih osrednjih vztrajnostnih osi. Posledično bomo v tem konkretnem primeru zagotovo dobili čisti upogib z uporabo ustreznih analognih obremenitev v ravnini, ki poteka skozi vzdolžno os nosilca in simetrično os njegovega preseka. Ravna črta, pravokotna na simetrično os in poteka skozi težišče odseka, je nevtralna os tega odseka.

Po določitvi položaja nevtralne osi ni težko najti velikosti napetosti na kateri koli točki preseka. Dejansko mora biti vsota momentov elementarnih sil glede na nevtralno os yy enaka upogibnemu momentu, potem

od koder nadomestimo vrednost σ iz (5.8), dobimo

Ker je integral vztrajnostni moment odseka okoli osi y, torej

in iz izraza (5.8) dobimo

Produkt EI Y se imenuje upogibna togost nosilca.

Največje natezne in največje tlačne napetosti v absolutni vrednosti delujejo v točkah preseka, za katere je absolutna vrednost z največja, to je v točkah, ki so najbolj oddaljene od nevtralne osi. Z oznakami, sl. 95 jih ima

Vrednost Jy / h1 se imenuje moment odpornosti preseka na raztezanje in je označena z Wyr; podobno se Jy/h2 imenuje moment upora preseka proti stiskanju

in označuje Wyc, torej

in zato

Če je nevtralna os simetrijska os preseka, potem je h1 = h2 = h/2 in posledično Wyp = Wyc, zato ju ni treba razlikovati in uporabljata isto oznako:

W y preprosto imenujemo modul preseka. Zato v primeru preseka, ki je simetričen glede na nevtralno os,

Vsi zgornji sklepi so pridobljeni na podlagi predpostavke, da prečni prerezi žarka, ko so upognjeni, ostanejo ravni in normalni na svojo os (hipoteza ravnih prerezov). Kot je prikazano, je ta predpostavka veljavna le, če ostanejo skrajni (končni) deli nosilca med upogibanjem ravni. Po drugi strani pa iz hipoteze ravnih prerezov izhaja, da bi morale biti elementarne sile v takih odsekih porazdeljene po linearnem zakonu. Zato je za veljavnost pridobljene teorije ravnega čistega upogiba potrebno, da se upogibni momenti na koncih nosilca uporabijo v obliki elementarnih sil, porazdeljenih po višini preseka po linearnem zakonu (sl. 96), ki sovpada z zakonom porazdelitve napetosti po višini prerezov. Vendar pa je na podlagi načela Saint-Venant mogoče trditi, da bo sprememba metode uporabe upogibnih momentov na koncih nosilca povzročila le lokalne deformacije, katerih vpliv bo vplival le na določeni razdalji od teh konci (približno enaki višini odseka). Odseki, ki se nahajajo v preostali dolžini žarka, bodo ostali ravni. Posledično navedena teorija ravnega čistega upogiba s katero koli metodo uporabe upogibnih momentov velja le v srednjem delu dolžine nosilca, ki se nahaja na razdalji od njegovih koncev, ki je približno enaka višini preseka. Iz tega je jasno, da je ta teorija očitno neuporabna, če višina preseka presega polovico dolžine ali razpona nosilca.