Lagrangeove body. Perspektívy ich využitia pri vesmírnych aktivitách. Lagrangeove body a vzdialenosť medzi nimi. Lagrangeov bod L1. Použitie Lagrangeovho bodu na ovplyvňovanie klímy Lagrangeove body: O čom to je
Keď Joseph Louis Lagrange pracoval na probléme dvoch masívnych telies (obmedzený problém troch telies), zistil, že v takomto systéme existuje 5 bodov s nasledujúcou vlastnosťou: ak sa v nich nachádzajú telesá zanedbateľne malej hmotnosti (v pomere k masívnym telesá), potom budú tieto telesá voči týmto dvom masívnym telesám nehybné. Dôležitý bod: masívne telesá sa musia otáčať okolo spoločného ťažiska, ale ak nejako jednoducho spočívajú, potom celá táto teória tu nie je použiteľná, teraz pochopíte prečo.
Najúspešnejším príkladom je, samozrejme, Slnko a Zem a my ich zvážime. Prvé tri body L1, L2, L3 sú na priamke spájajúcej ťažisko Zeme a Slnka.
Bod L1 je medzi telesami (bližšie k Zemi). prečo je tam? Predstavte si, že medzi Zemou a Slnkom je nejaký malý asteroid, ktorý sa točí okolo Slnka. Telesá na obežnej dráhe Zeme majú spravidla vyššiu frekvenciu otáčok ako Zem (ale nie nevyhnutne). Ak má teda náš asteroid vyššiu frekvenciu otáčok, z času na čas preletí okolo našej planéty a spomalí ho svojou gravitáciou a nakoniec bude frekvencia rotácie asteroidu rovnaká ako frekvencia Zeme. Ak má Zem vyššiu frekvenciu otáčok, potom ju, keď z času na čas preletí okolo asteroidu, bude ho ťahať a zrýchľovať a výsledok je rovnaký: frekvencie otáčok Zeme a asteroidu sa vyrovnajú. Ale to je možné len vtedy, ak dráha asteroidu prechádza cez bod L1.
Bod L2 je za Zemou. Môže sa zdať, že náš imaginárny asteroid by v tomto bode mal byť priťahovaný k Zemi a Slnku, keďže boli na jeho rovnakej strane, ale nie. Nezabúdajte, že systém sa otáča a vďaka tomu je odstredivá sila pôsobiaca na asteroid vyvážená gravitačnými silami Zeme a Slnka. Telesá mimo obežnej dráhy Zeme majú vo všeobecnosti frekvenciu otáčania menšiu ako Zem (opäť nie vždy). Takže podstata je rovnaká: obežná dráha asteroidu prechádza cez L2 a Zem, ktorá z času na čas preletí okolo, ťahá asteroid so sebou a nakoniec vyrovná frekvenciu svojho obehu so svojou vlastnou.
Bod L3 je za Slnkom. Pamätáte si, že starší spisovatelia sci-fi mali takú predstavu, že na druhej strane Slnka je iná planéta, napríklad Protizem? Takže bod L3 je takmer tam, ale trochu ďalej od Slnka a nie presne na obežnej dráhe Zeme, pretože ťažisko systému „Slnko-Zem“ sa nezhoduje s ťažiskom Slnka. . S frekvenciou otáčania asteroidu v bode L3 je všetko zrejmé, mala by byť rovnaká ako na Zemi; ak je menej, asteroid dopadne na Slnko, ak je viac, odletí. Mimochodom, tento bod je najnestabilnejší, kýva sa vplyvom iných planét, najmä Venuše.
L4 a L5 sa nachádzajú na obežnej dráhe, ktorá je o niečo väčšia ako Zem a takto: predstavte si, že z ťažiska systému „Slnko-Zem“ sme nakreslili lúč k Zemi a ďalší lúč, takže uhol medzi tieto lúče boli 60 stupňov. A to v oboch smeroch, teda proti smeru hodinových ručičiek aj pozdĺž neho. Takže na jednom takomto lúči je L4 a na druhom L5. L4 bude pred Zemou v smere jazdy, teda ako keby utekala od Zeme, respektíve L5 Zem dobehne. Vzdialenosti ktoréhokoľvek z týchto bodov k Zemi a k Slnku sú rovnaké. Teraz, keď si pamätáme zákon univerzálnej gravitácie, všimneme si, že sila príťažlivosti je úmerná hmotnosti, čo znamená, že náš asteroid v L4 alebo L5 bude priťahovaný k Zemi toľkokrát slabšie, ako je Zem ľahšia ako Slnko. Ak sú vektory týchto síl zostrojené čisto geometricky, tak ich výslednica bude smerovať presne do barycentra (ťažisko sústavy „Slnko-Zem“). Slnko a Zem sa točia okolo barycentra s rovnakou frekvenciou a rovnakou frekvenciou sa budú otáčať aj asteroidy v L4 a L5. L4 sa nazývajú Gréci a L5 sa nazývajú trójske kone na počesť trójskych asteroidov Jupitera (viac na Wiki).
Boli uskutočnené experimenty na umiestnenie kozmickej lode do Lagrangeových bodov systému Zem-Mesiac?
Napriek tomu, že ľudstvo už dávno vie o takzvaných libračných bodoch, ktoré existujú vo vesmíre, a ich úžasných vlastnostiach, na praktické účely sa začali využívať až v 22. roku vesmírnej éry. Najprv si však v krátkosti povedzme o samotných zázračných bodoch.
Prvýkrát ich teoreticky objavil Lagrange (ktorého meno teraz nesú), ako dôsledok riešenia takzvaného problému troch telies. Vedec dokázal určiť, kde vo vesmíre môžu byť body, v ktorých mizne výslednica všetkých vonkajších síl.
Body sa delia na stabilné a nestabilné. Stabilný sa zvyčajne označuje L4 a L5. Nachádzajú sa v jednej rovine s hlavnými dvoma nebeskými telesami (v tomto prípade Zemou a Mesiacom) a tvoria s nimi dva rovnostranné trojuholníky, pre ktoré sa často nazývajú aj trojuholníkové. Kozmická loď môže zostať v trojuholníkových bodoch ľubovoľne dlho. Aj keď sa odvráti, aktívnych síl ho ešte vráti do rovnovážnej polohy. Zdá sa, že kozmická loď spadne do gravitačného lievika, ako biliardová guľa do vrecka.
Ako sme však povedali, existujú aj nestabilné libračné body. Naopak, kozmická loď sa v nich nachádza ako na hore a je stabilná iba na jej samom vrchole. Akýkoľvek vonkajší vplyv ho odkláňa. Dostať sa do nestabilného Lagrangeovho bodu je mimoriadne ťažké – vyžaduje si to ultra presnú navigáciu. Preto sa aparatúra musí pohybovať len blízko samotného bodu pozdĺž takzvanej "halo-orbity", z času na čas spotrebuje palivo na jej udržanie, avšak veľmi málo.
V systéme Zem-Mesiac sú tri nestabilné body. Často sa nazývajú aj priamočiare, pretože sú umiestnené na rovnakej línii. Jeden z nich (L 1) sa nachádza medzi Zemou a Mesiacom, 58 000 km od Mesiaca. Druhý (L 2) - je umiestnený tak, že ho zo Zeme nikdy nie je vidieť - skrýva sa za Mesiacom 65 tisíc km od neho. Naopak, posledný bod (L 3) nie je z Mesiaca nikdy viditeľný, pretože je blokovaný Zemou, od ktorej je vzdialený asi 380 tisíc km.
Aj keď je výhodnejšie byť v stabilných bodoch (nevyžaduje sa spotreba paliva), kozmické lode sa zatiaľ zoznámili iba s nestabilnými, alebo skôr len s jedným z nich, a aj tak súvisia so systémom Slnko-Zem. . Nachádza sa v rámci tohto systému, 1,5 milióna km od našej planéty a podobne ako bod medzi Zemou a Mesiacom má označenie L 1 . Pri pohľade zo Zeme sa premieta priamo na Slnko a môže slúžiť ako ideálny bod na jeho sledovanie.
Túto príležitosť prvýkrát využil americký aparát ISEE-3, spustený 12. augusta 1978. Od novembra 1978 do júna 1982 bol na „halo orbite“ okolo bodu Li a študoval charakteristiky slnečného vetra. Na konci tohto obdobia to bol on, ale už premenovaný na ICE, ktorý sa stal prvým prieskumníkom komét v histórii. Za týmto účelom zariadenie opustilo libračný bod a po niekoľkých gravitačných manévroch v blízkosti Mesiaca v roku 1985 vykonalo prelet v blízkosti kométy Giacobini-Zinner. Nasledujúci rok preskúmal aj Halleyovu kométu, avšak len vo vzdialených priblíženiach.
Ďalším návštevníkom bodu L 1 sústavy Slnko-Zem bolo európske slnečné observatórium SOHO, spustené 2. decembra 1995 a, bohužiaľ, nedávno stratené kvôli chybe v riadení. Počas jej pôsobenia sa získalo množstvo dôležitých vedeckých informácií a prišlo k mnohým zaujímavým objavom.
Posledným doteraz vypusteným prístrojom v blízkosti L 1 bol americký prístroj ACE určený na štúdium kozmického žiarenia a hviezdneho vetra. Zo Zeme odštartovala 25. augusta minulého roku a v súčasnosti úspešne vedie svoj výskum.
A čo ďalej? Sú nové projekty súvisiace s libračnými bodmi? Určite existujú. V USA tak vznikol návrh viceprezidenta A. Goreho o novom štarte v smere bodu L 1 sústavy Slnko-Zem vedeckého a vzdelávacieho aparátu „Triana“, prezývaného už aj „Chamber of Gore“, bol prijatý.
Na rozdiel od svojich predchodcov nepôjde za Slnkom, ale za Zemou. Naša planéta je z tohto bodu vždy viditeľná v plnej fáze, a preto je veľmi vhodná na pozorovanie. Očakáva sa, že obrázky prijaté „Camera Gore“ budú odosielané na internet takmer v reálnom čase a prístup k nim bude otvorený pre každého.
Existuje aj ruský „libračný“ projekt. Toto je zariadenie "Relikt-2" určené na zber informácií o kozmickom mikrovlnnom žiarení pozadia. Ak sa na tento projekt nájdu financie, tak ho čaká libračný bod L 2 v systéme Zem-Mesiac, teda ten skrytý za Mesiacom.
> Lagrangeove body
Ako vyzerajú a kde ich hľadať Lagrangeove body vo vesmíre: história objavov, sústava Zem a Mesiac, 5 L-bodov sústavy dvoch masívnych telies, vplyv gravitácie.
Buďme úprimní: uviazli sme na Zemi. Mali by sme ďakovať gravitácii za to, že sme neboli vyhodení do vesmíru a môžeme chodiť po povrchu. Aby ste sa však oslobodili, musíte vynaložiť obrovské množstvo energie.
Vo vesmíre však existujú určité oblasti, kde inteligentný systém vyrovnávať gravitačný vplyv. Pri správnom prístupe to možno využiť na produktívnejší a rýchlejší rozvoj priestoru.
Tieto miesta sú tzv Lagrangeove body(L-body). Svoje meno dostali od Josepha Louisa Lagrangea, ktorý ich opísal v roku 1772. V skutočnosti sa mu podarilo rozšíriť matematiku Leonharda Eulera. Vedec ako prvý objavil tri takéto body a Lagrange oznámil ďalšie dva.
Lagrangeove body: O čom to hovoríme?
Keď máte dva masívne objekty (napríklad Slnko a Zem), ich gravitačný kontakt je úžasne vyvážený v konkrétnych 5 oblastiach. Do každého z nich môžete umiestniť satelit, ktorý bude držať na mieste s minimálnym úsilím.
Najpozoruhodnejší je prvý Lagrangeov bod L1, vyvážený medzi gravitačnou príťažlivosťou dvoch objektov. Môžete napríklad nainštalovať satelit nad povrch Mesiaca. Gravitácia Zeme ho tlačí do Mesiaca, ale aj sila satelitu odoláva. Zariadenie teda nemusí minúť veľa paliva. Je dôležité pochopiť, že tento bod existuje medzi všetkými objektmi.
L2 je v jednej rovine so zemou, ale na druhej strane. Prečo jednotná gravitácia neťahá satelit smerom k Zemi? Všetko je to o orbitálnych trajektóriách. Satelit v bode L2 sa bude nachádzať na vyššej obežnej dráhe a zaostáva za Zemou, keďže sa okolo hviezdy pohybuje pomalšie. Ale zemská gravitácia ho tlačí a pomáha mu zostať na mieste.
L3 treba hľadať na opačnej strane systému. Gravitácia medzi objektmi sa stabilizuje a plavidlo sa ľahko manévruje. Takýto satelit by bol vždy pokrytý Slnkom. Stojí za zmienku, že tri opísané body sa nepovažujú za stabilné, pretože každý satelit sa skôr či neskôr odchýli. Takže bez fungujúcich motorov tam nie je čo robiť.
Pred a za spodným objektom sú tiež L4 a L5. Medzi hmotami sa vytvorí rovnostranný trojuholník, ktorého jedna zo strán bude L4. Ak ho otočíte hore nohami, dostanete L5.
Posledné dva body sa považujú za stabilné. Potvrdzujú to nájdené asteroidy na veľkých planétach, ako je Jupiter. Sú to trójske kone uviaznuté v gravitačnej pasci medzi gravitáciami Slnka a Jupitera.
Ako takéto miesta využiť? Je dôležité pochopiť, že existuje veľa druhov prieskumu vesmíru. Napríklad satelity sa už nachádzajú v bodoch Zem-Slnko a Zem-Mesiac.
Sun-Earth L1 je skvelé miesto na život pre solárny teleskop. Zariadenie sa k hviezde priblížilo čo najbližšie, no nestráca kontakt s domovskou planétou.
Budúci teleskop Jamesa Webba (1,5 milióna km od nás) plánuje umiestniť v bode L2.
Earth-Moon L1 je vynikajúci bod pre lunárnu čerpaciu stanicu, ktorá vám umožňuje ušetriť na dodávke paliva.
Najfantastickejšia myšlienka by bola chcieť umiestniť vesmírnu stanicu Island III do L4 a L5, pretože tam by bola absolútne stabilná.
Ešte poďakujme gravitácii a jej bizarnej interakcii s inými objektmi. Koniec koncov, to vám umožňuje rozšíriť spôsoby ovládania priestoru.
B. V. Bulyubash,
, MSTU im. R.E. Alekseeva, Nižný Novgorod
Lagrangeove body
Asi pred 400 rokmi mali astronómovia k dispozícii nový nástroj na štúdium sveta planét a hviezd – teleskop Galilea Galileiho. Uplynulo dosť času a k tomu sa pridal zákon univerzálnej gravitácie a tri zákony mechaniky, ktoré objavil Isaac Newton. Ale až po Newtonovej smrti boli vyvinuté matematické metódy, ktoré umožnili efektívne využívať ním objavené zákony a presne vypočítať dráhy nebeských telies. Autormi týchto metód sa stali francúzski matematici. Kľúčovými postavami boli Pierre Simon Laplace (1749 – 1827) a Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813). Do značnej miery to bolo ich úsilie, ktoré vytvorilo novú vedu - nebeskú mechaniku. Tak to nazval Laplace, pre ktorého sa nebeská mechanika stala zdôvodnením filozofie determinizmu. Najmä obraz fiktívneho stvorenia opísaného Laplaceom, ktorý poznal rýchlosti a súradnice všetkých častíc vo vesmíre, sa stal všeobecne známym, mohol jednoznačne predpovedať jeho stav v každom budúcom okamihu. Toto stvorenie - "Laplaceov démon" - zosobňovalo hlavnú myšlienku filozofie determinizmu. A najlepšia hodina novej vedy prišla 23. septembra 1846, keď bola objavená ôsma planéta slnečnej sústavy – Neptún. Nemecký astronóm Johann Galle (1812 – 1910) objavil Neptún presne tam, kde mal byť podľa výpočtov francúzskeho matematika Urbaina Le Verriera (1811 – 1877).
Jedným z vynikajúcich úspechov nebeskej mechaniky bol objav Lagrangea v roku 1772 tzv. libračné body. Podľa Lagrangea existuje celkovo päť bodov v systéme dvoch telies (zvyčajne tzv Lagrangeove body), v ktorom súčet síl pôsobiacich na tretie teleso umiestnené v bode (ktorého hmotnosť je podstatne menšia ako hmotnosti ostatných dvoch) sa rovná nule. Prirodzene, hovoríme o rotujúcej vzťažnej sústave, v ktorej bude na teleso okrem gravitačných síl pôsobiť aj odstredivá sila zotrvačnosti. V Lagrangeovom bode bude teda telo v rovnovážnom stave. V systéme Slnko-Zem sú Lagrangeove body umiestnené nasledovne. Na priamke spájajúcej Slnko a Zem sú tri body z piatich. Bodka L 3 sa nachádza na opačnej strane obežnej dráhy Zeme vzhľadom na Slnko. Bodka L 2 sa nachádza na tej istej strane Slnka ako Zem, ale na rozdiel od nej L 3 je Slnko zakryté Zemou. Bod L 1 je na spojovacej linke L 2 a L 3, ale medzi Zemou a Slnkom. bodov L 2 a L 1 oddeľuje od Zeme rovnakú vzdialenosť – 1,5 milióna km. Vďaka svojim zvláštnostiam priťahujú Lagrangeove body pozornosť autorov sci-fi. Takže v knihe Arthura C. Clarka a Stephena Baxtera „Slnečná búrka“ je to v Lagrangeovom bode L 1 vesmírni stavitelia vztyčujú obrovskú obrazovku navrhnutú na ochranu Zeme pred supersilnou slnečnou búrkou.
Zvyšné dva body L 4 a L 5 - sú na obežnej dráhe Zeme, jedna je pred Zemou, druhá je za ňou. Tieto dva body sa veľmi výrazne líšia od ostatných, pretože rovnováha nebeských telies, ktoré sa v nich nachádzajú, bude stabilná. To je dôvod, prečo je hypotéza medzi astronómami taká populárna, že v blízkosti bodov L 4 a L 5 môže obsahovať pozostatky oblaku plynu a prachu z éry formovania planét slnečnej sústavy, ktorá sa skončila pred 4,5 miliardami rokov.
Potom, čo automatické medziplanetárne stanice začali skúmať slnečnú sústavu, záujem o Lagrangeove body dramaticky vzrástol. Takže v blízkosti bodu L 1 kozmická loď vykonáva výskum slnečného vetra NASA: SOHO (Slnečné a heliosférické observatórium) a Vietor(preložené z angličtiny - vietor).
Ďalšie zariadenie NASA– sonda WMAP (Wilkinsonova mikrovlnná anizotropná sonda)- nachádza sa v blízkosti bodu L 2 a skúma reliktné žiarenie. Smerom k L 2 vesmírne teleskopy Planck a Herschel sa pohybujú; v blízkej budúcnosti k nim pribudne Webbov teleskop, ktorý má nahradiť známy dlhoveký vesmírny teleskop Hubble. Čo sa týka bodiek L 4 a L 5, potom 26. – 27. septembra 2009 sondy dvojičky STEREO-A a STEREO-B prenášali na Zem početné obrazy aktívnych procesov na povrchu Slnka. Počiatočné plány projektu STEREO boli nedávno výrazne rozšírené a teraz sa očakáva použitie sond aj na štúdium blízkosti Lagrangeových bodov na prítomnosť tam asteroidov. Hlavným cieľom takejto štúdie je otestovať počítačové modely, ktoré predpovedajú prítomnosť asteroidov v „stabilných“ Lagrangeových bodoch.
V tejto súvislosti treba povedať, že v druhej polovici 20. storočia, keď bolo možné numericky riešiť zložité rovnice nebeskej mechaniky na počítači, vznikol obraz stabilnej a predvídateľnej slnečnej sústavy (a s ňou aj filozofia tzv. determinizmus) sa napokon stal minulosťou. Počítačové modelovanie ukázalo, že kvôli nevyhnutnej nepresnosti v číselných hodnotách rýchlostí a súradníc planét v tento moment nasledujú veľmi výrazné rozdiely v modeloch vývoja slnečnej sústavy. Takže podľa jedného zo scenárov môže slnečná sústava za stovky miliónov rokov dokonca prísť o jednu zo svojich planét.
Počítačové modely zároveň poskytujú jedinečnú príležitosť na rekonštrukciu udalostí, ktoré sa odohrali vo vzdialenej epoche mladosti slnečnej sústavy. Takto vznikol model matematika E. Belbruna a astrofyzika R. Gotta (Princeton University), podľa ktorého v jednom z Lagrangeových bodov ( L 4 resp L 5) v dávnej minulosti vznikla planéta Thea ( Teia). Gravitačný vplyv z ostatných planét prinútil Theu v určitom bode opustiť Lagrangeov bod, vstúpiť na trajektóriu pohybu smerom k Zemi a nakoniec sa s ňou zraziť. Gottov a Belbrunov model pridáva detaily k hypotéze zdieľanej mnohými astronómami. Podľa nej Mesiac pozostáva z hmoty, ktorá vznikla asi pred 4 miliardami rokov po zrážke vesmírneho telesa s veľkosťou Marsu so Zemou. Táto hypotéza má však slabé miesto: otázku, kde presne by takýto objekt mohol vzniknúť. Ak by miestom jeho narodenia boli časti slnečnej sústavy vzdialené od Zeme, potom by jeho energia bola veľmi veľká a výsledkom zrážky so Zemou by nebolo stvorenie Mesiaca, ale zničenie Zeme. V dôsledku toho by sa takýto objekt mal vytvoriť neďaleko Zeme a blízkosť jedného z Lagrangeových bodov je na to celkom vhodná.
Ale keďže sa udalosti mohli v minulosti vyvíjať týmto spôsobom, čo im bráni, aby sa v budúcnosti opakovali? Nevyrastie ďalšia Thea, inými slovami, v blízkosti Lagrangeových bodov? Na túto tému sa vyjadril prof. P. Weigert (University of Western Ontario, Kanada) sa domnieva, že je to nemožné, pretože v súčasnosti v slnečnej sústave nie je dostatok prachových častíc na vytvorenie takýchto objektov a pred 4 miliardami rokov, keď sa planéty vytvorili z častíc plynu a oblaky prachu, situácia bola zásadne iná. Podľa R. Gotta sa v blízkosti Lagrangeových bodov môžu nachádzať asteroidy, pozostatky „stavebnej hmoty“ planéty Thea. Takéto asteroidy sa môžu stať významným rizikovým faktorom pre Zem. Gravitačný vplyv iných planét (predovšetkým Venuše) môže byť dostatočný na to, aby asteroid opustil blízkosť Lagrangeovho bodu a v tomto prípade sa môže dostať na trajektóriu zrážky so Zemou. Gottova hypotéza má prehistóriu: už v roku 1906 objavil M. Wolf (Nemecko, 1863–1932) asteroidy v Lagrangeových bodoch sústavy Slnko – Jupiter, prvé mimo pásu asteroidov medzi Marsom a Jupiterom. Následne ich bolo objavených viac ako tisíc v blízkosti Lagrangeových bodov sústavy Slnko–Jupiter. Pokusy nájsť asteroidy v blízkosti iných planét slnečnej sústavy neboli také úspešné. V blízkosti Saturnu sa zrejme stále nevyskytujú a až v poslednom desaťročí boli objavené pri Neptúne. Z tohto dôvodu je celkom prirodzené, že otázka prítomnosti alebo neprítomnosti asteroidov v Lagrangeových bodoch systému Zem-Slnko je pre moderných astronómov mimoriadne dôležitá.
P. Weigert pomocou ďalekohľadu na Mauna Kea (Havaj, USA), vyskúšal už začiatkom 90. rokov. 20. storočie nájsť tieto asteroidy. Jeho pozorovania boli svedomité, ale nepriniesli úspech. Relatívne nedávno boli spustené programy automatického vyhľadávania asteroidov, najmä Lincolnov projekt na vyhľadávanie asteroidov blízko Zeme. (Projekt výskumu asteroidov v blízkosti Zeme v Lincolne). Zatiaľ však nepriniesli žiadne výsledky.
Predpokladá sa, že sondy STEREO prinesie takéto vyhľadávania na zásadne odlišnú úroveň presnosti. Prechod sond okolo Lagrangeových bodov bol plánovaný už na začiatku projektu a po zaradení programu na vyhľadávanie asteroidov do projektu sa dokonca diskutovalo o možnosti ich navždy ponechať v blízkosti týchto bodov.
Výpočty však ukázali, že zastavenie sond by vyžadovalo príliš veľa paliva. Vzhľadom na túto okolnosť vedúci projektu STEREO rozhodol o možnosti pomalého prechodu týmito priestormi. Bude to trvať mesiace. Na palube sond sú umiestnené heliosférické záznamníky a práve s ich pomocou budú hľadať asteroidy. Aj v tomto prípade zostáva úloha dosť náročná, keďže na budúcich snímkach budú asteroidy len bodky pohybujúce sa na pozadí tisícok hviezd. Vedúci projektu STEREO rátajú s aktívnou pomocou pri hľadaní amatérskych astronómov, ktorí si výsledné zábery pozrú na internete.
Odborníci sa veľmi obávajú o bezpečnosť pohybu sond v blízkosti Lagrangeových bodov. Zrážka s „prachovými časticami“ (ktoré môžu mať dosť významnú veľkosť) môže skutočne poškodiť sondy. Počas letu sondy STEREO sa opakovane stretli s prachovými časticami - od jedného do niekoľkých tisíc za deň.
Hlavnou intrigou nadchádzajúcich pozorovaní je úplná neistota v otázke, koľko asteroidov by sondy mali „vidieť“ STEREO(ak to vôbec vidia). Nové počítačové modely neurobili situáciu predvídateľnejšou: naznačujú, že gravitačný vplyv Venuše môže nielen „vytiahnuť“ asteroidy z Lagrangeových bodov, ale tiež prispieť k pohybu asteroidov do týchto bodov. Celkový počet asteroidov v blízkosti Lagrangeových bodov nie je príliš veľký („nehovoríme o stovkách“) a ich lineárne rozmery sú dva rády. menšie veľkosti asteroidy z pásu medzi Marsom a Jupiterom. Naplnia sa jeho predpovede? Ešte trochu počkať...
Na základe materiálov článku (preložené z angličtiny)
S. Clark. Život v stave beztiaže // New Scientist. 21. februára 2009
Aké sú tieto „body“, prečo sú atraktívne vo vesmírnych projektoch a existuje prax ich používania? S týmito otázkami sa redakcia portálu Planet Queen obrátila na doktora technických vied Jurija Petroviča Ulybyševa.
Rozhovor vedie Oleg Nikolaevič Volkov, zástupca vedúceho projektu Veľký začiatok.
Volkov O.N.: Zástupca vedúceho vedeckého a technického centra raketovej a vesmírnej korporácie Energia, vedúci oddelenia vesmírnej balistiky, doktor technických vied Jurij Petrovič Ulybyšev navštevuje internetový portál Planet Korolev. Jurij Petrovič, dobré popoludnie!
.: Dobrý deň.
V.: Existencia komplexov s posádkou na obežnej dráhe blízko Zeme nie je kuriozitou. Toto je bežná, zaužívaná vec. AT nedávne časy medzinárodná vesmírna komunita prejavuje záujem o ďalšie vesmírne projekty, ktoré by mali hostiť vesmírne komplexy, vrátane tých, ktoré majú posádku v takzvaných Lagrangeových bodoch. Medzi ne patrí projekt navštívených vesmírnych staníc, projekt staníc umiestnených na vyhľadávanie nebezpečných asteroidov a sledovanie Mesiaca.
Čo sú Lagrangeove body? Aká je ich podstata z pohľadu nebeskej mechaniky? Aká je história teoretického výskumu tejto problematiky? Aké sú hlavné zistenia výskumu?
U.: V našej slnečnej sústave existuje veľké množstvo prírodných efektov spojených s pohybom Zeme, Mesiaca, planét. Patria sem takzvané Lagrangeove body. V odbornej literatúre sa často nazývajú aj libračné body. Aby sme vysvetlili fyzikálnu podstatu tohto javu, najprv zvážime jednoduchý systém. Existuje Zem a Mesiac okolo nej letí po kruhovej dráhe. Nič iné v prírode neexistuje. Toto je takzvaný obmedzený problém troch telies. A v tomto probléme zvážime kozmickú loď a jej možný pohyb.
Úplne prvá vec, ktorá príde na myseľ, je zvážiť: čo sa stane, ak bude kozmická loď na spojnici Zeme a Mesiaca. Ak sa pohybujeme pozdĺž tejto čiary, máme dve gravitačné zrýchlenia: príťažlivosť Zeme, príťažlivosť Mesiaca a plus dostredivé zrýchlenie kvôli tomu, že táto linka sa neustále otáča. Je zrejmé, že v určitom bode môžu byť všetky tieto tri zrýchlenia, vzhľadom na to, že sú v rôznych smeroch a ležia na rovnakej priamke, vynulované, t.j. toto bude bod rovnováhy. Takýto bod sa nazýva Lagrangeov bod alebo libračný bod. V skutočnosti existuje päť takýchto bodov: tri z nich sú na rotujúcej línii spájajúcej Zem a Mesiac, nazývajú sa kolineárne libračné body. Prvý, ktorý sme analyzovali, je označený L 1, druhý je za mesiacom- L 2 a tretí kolineárny bod- L 3 sa nachádza na odvrátenej strane Zeme vo vzťahu k Mesiacu. Tie. na tejto linke, ale v opačnom smere. Toto sú prvé tri body.
Existujú ďalšie dva body, ktoré sú na oboch stranách mimo tejto čiary. Nazývajú sa trojuholníkové libračné body. Všetky tieto body sú znázornené na tomto obrázku (obr.1). Tu je taký idealizovaný obrázok.
Obr.1.
Ak teraz umiestnime kozmickú loď do ktoréhokoľvek z týchto bodov, potom v rámci takého jednoduchého systému tam vždy zostane. Ak sa od týchto bodov mierne odchýlime, tak v ich blízkosti môžu existovať periodické dráhy, nazývajú sa aj halo dráhy (pozri obr. 2) a vesmírna loď sa bude môcť okolo tohto bodu pohybovať po takýchto zvláštnych dráhach. Keď už hovoríme o libračných bodoch L 1, L 2 sústavy Zem-Mesiac, potom bude perióda pohybu po týchto dráhach cca 12 - 14 dní a dajú sa voliť úplne inak.
Obr.2.
V skutočnosti, ak sa vrátime k skutočný život a zvážte tento problém už v presnej formulácii, potom sa všetko ukáže byť oveľa komplikovanejšie. Tie. kozmická loď nemôže zostať veľmi dlho, povedzme jednu periódu v pohybe po takejto obežnej dráhe, nemôže v nej zostať, pretože:
Po prvé, obežná dráha Mesiaca okolo Zeme nie je kruhová – má miernu elipticitu;
Okrem toho bude na kozmickú loď pôsobiť príťažlivosť Slnka, tlak slnečného svetla.
Výsledkom je, že kozmická loď nebude môcť zostať na takejto obežnej dráhe. Preto je z hľadiska realizácie kozmického letu na takýchto dráhach potrebné uviesť vesmírnu loď na príslušnú halo dráhu a potom periodicky vykonávať manévre na jej udržanie.
Podľa štandardov medziplanetárnych letov sú náklady na palivo na udržiavanie takýchto obežných dráh pomerne malé, nie viac ako 50 - 80 m/s za rok. Pre porovnanie môžem povedať, že udržanie obežnej dráhy geostacionárnej družice za rok je tiež 50 m/s. Tam držíme geostacionárny satelit blízko pevného bodu - táto úloha je oveľa jednoduchšia. Tu musíme držať kozmickú loď v blízkosti takejto halo orbity. V zásade je táto úloha prakticky realizovateľná. Navyše je to realizovateľné pomocou trysiek a každý manéver je zlomok metra alebo jednotka m/s. To naznačuje možnosť využitia obežných dráh v okolí týchto bodov na vesmírne lety, vrátane pilotovaných.
Teraz, z hľadiska, prečo sú prospešné a prečo sú zaujímavé, konkrétne pre praktickú astronautiku?
Ak si všetci pamätáte, americký projekt “ APOLLO “, ktorá využívala mesačnú obežnú dráhu, z ktorej prístroj zostúpil, pristál na povrchu Mesiaca, po chvíli sa vrátil na mesačnú obežnú dráhu a následne odletel k Zemi. Cirkumlunárne dráhy sú zaujímavé, ale nie sú vždy vhodné pre kozmonautiku s ľudskou posádkou. Môžeme mať rôzne núdzové situácie, navyše je prirodzené chcieť študovať Mesiac nielen v okolí určitého regiónu, ale celkovo študovať celý Mesiac. V dôsledku toho sa ukazuje, že použitie cirkumlunárnych dráh je spojené s množstvom obmedzení. Obmedzenia sa vzťahujú na dátumy štartu, na dátumy návratu z cirkumlunárnej obežnej dráhy. Parametre cirkumlunárnych dráh môžu závisieť od dostupnej energie. Napríklad polárne oblasti môžu byť neprístupné. Ale pravdepodobne najdôležitejším argumentom v prospech vesmírnych staníc v blízkosti libračných bodov je, že:
Po prvé, zo Zeme môžeme štartovať kedykoľvek;
Ak sa stanica nachádza v libračnom bode a astronauti musia letieť na Mesiac, môžu letieť z libračného bodu, alebo skôr z obežnej dráhy halo, do akéhokoľvek bodu na povrchu Mesiaca;
Teraz, keď dorazila posádka: z pohľadu pilotovanej astronautiky je veľmi dôležité zabezpečiť možnosť rýchleho návratu posádky v prípade akýchkoľvek mimoriadnych situácií, choroby členov posádky atď. Ak sa bavíme o obežnej dráhe okolo Mesiaca, možno si budeme musieť počkať povedzme na čas štartu 2 týždne, ale tu môžeme začať kedykoľvek – z Mesiaca na stanicu až po libračný bod a potom na Zem, príp. v zásade okamžite na Zem. Takéto výhody sú celkom jasne viditeľné.
Existujú možnosti použitia: L1 alebo L2. Existujú určité rozdiely. Ako viete, Mesiac je k nám vždy otočený tou istou stranou, t.j. doba vlastnej rotácie sa rovná perióde jej pohybu okolo Zeme. Výsledkom je, že odvrátená strana Mesiaca nie je zo Zeme nikdy viditeľná. V tomto prípade si môžete zvoliť obežnú dráhu halo tak, aby bola vždy v zornom poli so Zemou a aby ste mohli vykonávať komunikáciu, pozorovania a niektoré ďalšie experimenty súvisiace s odvrátenou stranou Mesiaca. Vesmírne stanice umiestnené buď v bode L1 alebo v bode L2 môžu mať teda určité výhody pre kozmonautiku s ľudskou posádkou. Okrem toho je zaujímavé, že medzi halo dráhami bodov L1 alebo L2 je možné uskutočniť takzvaný nízkoenergetický let doslova 10 m/sec a budeme lietať z jednej halo dráhy na druhú.
V.: Jurij Petrovič, mám otázku: bod L1 sa nachádza na spojnici medzi Mesiacom a Zemou a, ako som to pochopil, z hľadiska zabezpečenia komunikácie medzi vesmírnou stanicou a Zemou je to pohodlnejšie. Povedali ste, že L2, bod za Mesiacom, je zaujímavý aj pre praktickú astronautiku. Ako však zabezpečiť komunikáciu so Zemou, ak sa stanica nachádza v bode L2?
O.: Každá stanica, ktorá sa nachádza na obežnej dráhe v blízkosti bodu L1, má možnosť nepretržitej komunikácie so Zemou, akákoľvek halo orbita. Pre bod L2 je to o niečo zložitejšie. Je to spôsobené tým, že vesmírna stanica môže byť pri pohybe po obežnej dráhe so svätožiarou vo vzťahu k Zemi akoby v tieni Mesiaca, a vtedy je komunikácia nemožná. Ale je možné postaviť takú halo orbitu, ktorá bude vždy schopná komunikovať so Zemou. Ide o špeciálne zvolenú obežnú dráhu.
Otázka: Je to ľahké?
U.Odpoveď: Áno, dá sa to urobiť, a keďže sa nič nedá urobiť zadarmo, bude potrebná trochu väčšia spotreba paliva. Povedzme, že namiesto 50 m/s bude 100 m/s. Možno to nie je najkritickejší problém.
Otázka: Ešte jedna objasňujúca otázka. Povedali ste, že je energeticky ľahké letieť z bodu L1 do bodu L2 a späť. Chápem správne, že nemá zmysel vytvárať dve stanice v oblasti Mesiaca, ale stačí mať jednu stanicu, ktorá sa energeticky ľahko presunie do iného bodu?
U.: Áno, mimochodom, naši partneri na medzinárodnej vesmírnej stanici ponúkajú jednu z možností diskusie o vývoji projektu ISS v podobe vesmírnej stanice s možnosťou letu z bodu L1 do bodu L2 a späť. To je celkom uskutočniteľné a predvídateľné z hľadiska letového času (povedzme 2 týždne) a môže byť použité pre kozmonautiku s posádkou.
Tiež som chcel povedať, že v praxi lety na halo orbitách v súčasnosti realizovali Američania v rámci projektu ARTEMIS . To je asi pred 2-3 rokmi. Dve kozmické lode tam preleteli v blízkosti bodov L1 a L2 a udržiavali si zodpovedajúce dráhy. Jedno zariadenie vykonalo let z bodu L2 do bodu L1. Celá táto technológia bola implementovaná v praxi. Samozrejme, radi by sme to urobili.
V.: No, ešte máme všetko pred sebou. Jurij Petrovič, ďalšia otázka. Ako som pochopil z vašej úvahy, každý vesmírny systém pozostávajúci z dvoch planét má Lagrangeove body alebo libračné body. Existujú také body pre systém Slnko-Zem a aká je príťažlivosť týchto bodov?
U.A: Áno, samozrejme, úplne správne. V systéme Zem-Slnko sú aj libračné body. Je ich aj päť. Na rozdiel od cirkumlunárnych libračných bodov môže byť let v týchto bodoch atraktívny pre úplne iné úlohy. Konkrétne ide o body L1 a L2. Tie. bod L1 v smere od Zeme k Slnku a bod L2 v opačnom smere na spojnici Zeme a Slnka.
Prvý let do bodu L1 v systéme Slnko-Zem sa teda uskutočnil v roku 1978. Odvtedy sa uskutočnilo niekoľko vesmírnych misií. Hlavný leitmotív takýchto projektov bol spojený s pozorovaním Slnka: slnečný vietor vrátane slnečnej aktivity. Existujú systémy, ktoré používajú varovanie pred niektorými aktívnymi procesmi na Slnku, ktoré ovplyvňujú Zem: naša klíma, blaho ľudí atď. To sa týka bodu L1. Ľudstvo v prvom rade zaujíma možnosť pozorovania Slnka, jeho aktivity a procesov, ktoré na Slnku prebiehajú.
Teraz bod L2. Bod L2 je tiež zaujímavý a predovšetkým pre astrofyziku. A to vďaka tomu, že kozmická loď nachádzajúca sa v blízkosti tohto bodu môže využívať napríklad rádioteleskop, ktorý bude tienený pred žiarením zo Slnka. Bude nasmerovaný preč od Zeme a Slnka a môže umožniť čisto astrofyzikálne pozorovania. Nie sú hlučné Slnkom, ani žiadnym odrazeným žiarením od Zeme. A je to tiež zaujímavé, pretože Keďže sa pohybujeme okolo Slnka, za 365 dní urobíme úplnú revolúciu, potom s podobným rádioteleskopom môžete uvažovať o akomkoľvek smere vesmíru. Sú aj také projekty. Práve teraz vyvíjame takýto projekt "Milimetrón" vo Fyzikálnom inštitúte Ruskej akadémie vied. Aj v tomto bode sa zrealizovalo množstvo misií a lietajú kozmické lode.
O: Jurij Petrovič, z pohľadu hľadania nebezpečných asteroidov, ktoré môžu ohroziť Zem, na aký bod by mali byť umiestnené kozmické lode, aby monitorovali nebezpečné asteroidy?
U.: V skutočnosti sa mi zdá, že na túto otázku neexistuje taká priama, jasná odpoveď. prečo? Pretože pohybujúce sa asteroidy vo vzťahu k slnečnej sústave sú akoby zoskupené do niekoľkých rodín, majú úplne odlišné dráhy a podľa môjho názoru je možné umiestniť aparatúru pre jeden typ asteroidov do cirkumlunárneho bodu. Čo sa týka libračných bodov sústavy Slnko-Zem, môžete tiež vidieť. Ale zdá sa mi, že je ťažké dať takú zrejmú, priamu odpoveď: "taký a taký bod v takom a takom systéme." Ale v zásade môžu byť libračné body atraktívne pre ochranu Zeme.
V .: Správne, chápem, že slnečná sústava má oveľa viac zaujímavých miest, nielen Zem - Mesiac, Zem - Slnko. Aké ďalšie zaujímavé miesta slnečná sústava možno použiť vo vesmírnych projektoch?
U.: Faktom je, že v slnečnej sústave v podobe, v akej existuje, existuje okrem efektu spojeného s libračnými bodmi množstvo takýchto efektov spojených so vzájomným pohybom telies v slnečnej sústave: tak Zeme, ako aj planét atď. d. Tu v Rusku, žiaľ, nepoznám práce na túto tému, ale v prvom rade Američania a Európania odhalili, že v slnečnej sústave existujú takzvané nízkoenergetické lety (navyše tieto štúdie sú dosť zložité a matematicky z hľadiska práce a z hľadiska výpočtovej - vyžadujú veľké výpočtové superpočítače).
Tu sa napríklad vrátime do bodu L1 sústavy Zem-Mesiac. S ohľadom na tento bod je možné vybudovať (to je atraktívne pre automatické vozidlá) lety v celej slnečnej sústave, dávajúce malé, na štandardy medziplanetárnych letov, impulzy rádovo niekoľko stoviek m/s. A potom sa táto kozmická loď začne pomaly pohybovať. V tomto prípade je možné zostrojiť trajektóriu tak, že obíde množstvo planét.
Na rozdiel od priamych medziplanetárnych letov to bude dlhý proces. Preto sa pre pilotovanú kozmonautiku veľmi nehodí. A pre automatické zariadenia to môže byť veľmi atraktívne.
Tu na obrázku (obr. 3) je znázornená ilustrácia týchto letov. Trajektórie sú, ako to bolo, navzájom spojené. Prechod z halo orbity z L1 na L2. On je o je to dosť málo. Tam je to rovnaké. Zdá sa, že sa kĺžeme po tomto tuneli a v mieste záberu alebo blízko záberu s iným tunelom urobíme malý manéver a preletíme, ideme na inú planétu. Vo všeobecnosti veľmi zaujímavý smer. Volá sa to " superdiaľnica (aspoň Američania tento výraz používajú).
Obr.3.
(čerpanie zo zahraničných publikácií)
Praktickú implementáciu čiastočne vykonali Američania v rámci projektu GENESIS . Teraz pracujú aj týmto smerom. Zdá sa mi, že ide o jednu z najperspektívnejších takýchto oblastí vo vývoji kozmonautiky. Pretože napriek tomu s tými motormi, „pohonmi“, ktoré v súčasnosti máme, mám na mysli vysokoťahové motory a elektrické hnacie motory (ktoré majú zatiaľ veľmi malý ťah a vyžadujú veľa energie), sa posunieme vpred, pokiaľ ide o rozvoj slnečnej sústavy alebo ďalšie štúdium silne nemôže. Ale takéto dlhodobé alebo aj desaťročné letové úlohy môžu byť pre výskum veľmi zaujímavé. Presne ako Voyager. Lietal, zdá sa, v rokoch 1978 alebo 1982 ( od roku 1977 - vyd.), je teraz mimo slnečnej sústavy. Tento smer je veľmi ťažký. Po prvé, je to ťažké matematicky. Okrem toho tu analýza a výpočty mechaniky letu vyžadujú vysoké počítačové zdroje, t.j. je pochybné vypočítať to na osobnom počítači, musíte použiť superpočítače.
Otázka: Jurij Petrovič, dá sa systém nízkoenergetických prechodov použiť na organizáciu vesmírnej solárnej hliadky - trvalého systému na monitorovanie solárneho systému s existujúcimi obmedzeniami paliva, ktoré máme?
U.: Aj medzi Zemou a Mesiacom a tiež napríklad medzi Zemou a Marsom, Zemou a Venušou existujú takzvané kváziperiodické trajektórie. Rovnako ako sme analyzovali halo obežnú dráhu, ktorá v ideálnom probléme existuje bez narušenia, ale keď zavedieme skutočné poruchy, sme nútení nejakým spôsobom korigovať obežnú dráhu. Tieto kváziperiodické dráhy tiež vyžadujú malé, podľa štandardov medziplanetárnych letov, kedy sú charakteristické rýchlosti stovky m/s. Z pohľadu vesmírnej hliadky na pozorovanie asteroidov môžu byť atraktívne. Jediným negatívom je, že nie sú vhodné pre súčasný vesmírny program s ľudskou posádkou kvôli dlhému trvaniu letov. A z hľadiska energetiky a dokonca aj s tými motormi, ktoré sú teraz v našom storočí, sa dajú robiť celkom zaujímavé projekty.
V.: Rozumiem správne, že predpokladáte libračné body systému Zem-Mesiac pre objekty s ľudskou posádkou a body, o ktorých ste hovorili skôr, pre automaty?
U.: Tiež by som rád pridal jeden bod, vesmírna stanica v L1 alebo L2 môže slúžiť na vypustenie malých kozmických lodí (Američania tento prístup nazývajú „ brána cesta - "Most do vesmíru"). Zariadenie sa môže nejakým spôsobom periodicky pohybovať okolo Zeme na veľmi veľké vzdialenosti pomocou nízkoenergetických letov alebo lietať na iné planéty alebo dokonca preletieť okolo niekoľkých planét.
V.: Ak trochu snívate, potom bude Mesiac v budúcnosti zdrojom vesmírneho paliva a lunárne palivo sa bude dodávať do liberačného bodu systému Zem-Mesiac, potom môžete vesmírnu loď naplniť vesmírnym palivom a poslať vesmírne hliadky v celej slnečnej sústave.
Jurij Petrovič, hovorili ste o zaujímavých javoch. Boli vyšetrovaní americkou stranou ( NASA), a u nás sa týmto projektom venujú?
U.: Projekty súvisiace s libračnými bodmi systému Zem-Mesiac, pokiaľ viem, pravdepodobne nie sú zahrnuté. Venujú sa projektom týkajúcim sa libračných bodov sústavy Slnko-Zem. Máme bohaté skúsenosti v tejto oblasti a máme inštitút aplikovaná matematika Ruská akadémia vied pomenovaná po Keldyshovi, Inštitút vesmírneho výskumu, niektoré univerzity v Rusku sa snažia riešiť podobné problémy. Ale neexistuje taký systematický prístup, veľký program, pretože program musí začať školením personálu a personál s veľmi vysokou kvalifikáciou neexistuje. V tradičných kurzoch o kozmickej balistike, o nebeskej mechanike prakticky chýba samotná mechanika pohybu kozmických lodí v blízkosti libračných bodov, nízkoenergetických letov.
Mal by som poznamenať, že v časoch Sovietskeho zväzu sa takéto programy viac-menej aktívne zapájali a ako som už spomenul, v Ústave aplikovanej matematiky, IKI, FIAN, boli špecialisti. Teraz sú mnohí z nich v takom veku... A veľký počet mladých ľudí, ktorí by sa s týmito problémami zaoberali, je veľmi slabo viditeľný.
Američanov som spomenul nie v zmysle ich chvály. Faktom je, že v Spojených štátoch sa týmito problémami zaoberajú veľmi veľké jednotky. V prvom rade v laboratóriu JPL NASA pracuje veľký tím a pravdepodobne väčšinu vykonali americké projekty medziplanetárnej astronautiky. Na mnohých amerických univerzitách, v iných centrách, v NASA , pracuje veľké množstvo dobre vyškolených odborníkov s dobrým počítačovým vybavením. Na tomto probléme pracujú v tomto smere na veľmi širokom fronte.
Bohužiaľ sme trochu zmätení. Ak by sa takýto program objavil v Rusku a bol by oň celkovo veľký záujem, nasadenie týchto diel by mohlo trvať pomerne dlho, počnúc výcvikom personálu a končiac výskumom, výpočtami a vývojom vhodných kozmických lodí.
Otázka: Jurij Petrovič, ktoré univerzity u nás pripravujú odborníkov na nebeskú mechaniku?
U.: Pokiaľ viem, na Moskovskej štátnej univerzite, na Petrohradskej univerzite je katedra nebeskej mechaniky. Existujú takí špecialisti. Koľko, ťažko odpovedám.
V.: Pretože na to, aby ste mohli začať realizovať praktickú stránku problému, musíte sa najprv stať hlbokým špecialistom, a preto musíte mať vhodnú špecializáciu.
U.A: A mať veľmi dobré matematické vzdelanie.
V: Dobre. Môžete teraz uviesť zoznam referencií, ktoré by pomohli tým ľuďom, ktorí momentálne nemajú špeciálne matematické vzdelanie?
U.: V ruštine, pokiaľ viem, existuje jedna monografia od Markeeva venovaná libračným bodom. Ak ma pamäť neklame, volá sa to „Libračné body v nebeskej mechanike a kozmodynamike“. Vyšlo to okolo roku 1978. Existuje referenčná kniha, ktorú vydal Duboshin „Príručka nebeskej mechaniky a astrodynamiky“. Prešiel 2 vydaniami. Pokiaľ si pamätám, má aj takéto otázky. Zvyšok je možné získať po prvé na webovej stránke Ústavu aplikovanej matematiky e-knižnica a ich preprinty (samostatne publikované články) v tomto smere. Tlačia sa voľne na internete. Pomocou vyhľadávača môžete nájsť relevantné predtlače a zobraziť ich. Na internete je k dispozícii množstvo materiálov v angličtine.
Otázka: Ďakujem za zaujímavý príbeh. Dúfam, že táto téma bude zaujímať našich používateľov internetového zdroja. Ďakujem mnohokrát!
