Komunikácia kĺzania zo zotrvačnosti rotujúcich hmôt. I.4.2 základný zákon dynamiky rotačného pohybu. Moment sily pôsobiaci na i-tý hmotný bod
Plán prednášok
Moment zotrvačnosti.
Moment sily. Základná rovnica dynamiky rotačného pohybu.
moment impulzu. Zákon zachovania momentu hybnosti.
Práca a kinetická energia pri rotačnom pohybe.
Moment zotrvačnosti.
Pri uvažovaní o rotačnom pohybe je potrebné zaviesť nové fyzikálne pojmy: moment zotrvačnosti, moment sily, moment impulzu.
Moment zotrvačnosti je mierou zotrvačnosti telesa pri rotačnom pohybe telesa.
Moment zotrvačnosti hmotného bodu vzhľadom k pevnej osi otáčania sa rovná súčinu jeho hmotnosti so štvorcom vzdialenosti od uvažovanej osi otáčania (obr. 1):
závisí iba od hmotnosti hmotného bodu a jeho polohy vzhľadom na os rotácie a nezávisí od prítomnosti samotnej rotácie.
Moment zotrvačnosti je skalárna a aditívna veličina, preto sa moment zotrvačnosti telesa rovná súčtu momentov zotrvačnosti všetkých jeho bodov:
.
V prípade spojitého rozdelenia hmoty sa tento súčet redukuje na integrál:
,
kde je hmotnosť malého objemu telesa 
,
- hustota tela 
- vzdialenosť od prvku 
k osi otáčania.
Moment zotrvačnosti je analogický s hmotnosťou pri rotačnom pohybe. Čím väčší je moment zotrvačnosti telesa, tým ťažšie je meniť uhlovú rýchlosť rotujúceho telesa. Moment zotrvačnosti má význam len pre danú polohu osi otáčania. Nemá zmysel hovoriť jednoducho o „momente zotrvačnosti“. Záleží:
1) z polohy osi otáčania;
2) o rozložení hmotnosti tela vzhľadom na os rotácie, t.j. podľa tvaru a veľkosti tela.
Experimentálnym dôkazom toho sú skúsenosti s valcovaním valcov.
Integráciou pre niektoré homogénne telesá môžeme získať nasledujúce vzorce (os rotácie prechádza ťažiskom telesa).
Moment zotrvačnosti obruče (hrúbku steny zanedbávame) alebo dutého valca:
Moment zotrvačnosti disku alebo plného valca s polomerom R:
.
Moment zotrvačnosti lopty
Moment zotrvačnosti tyče
E 
Ak je pre teleso známy moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej cez ťažisko, potom moment zotrvačnosti okolo ktorejkoľvek osi rovnobežnej s prvou sa zistí Steinerova veta: moment zotrvačnosti telesa okolo ľubovoľnej osi sa rovná momentu zotrvačnosti J 0 okolo osi rovnobežnej s danou a prechádzajúcej ťažiskom telesa, pripočítanej k súčinu hmotnosti telesa štvorec vzdialenosti medzi osami.
kde d vzdialenosť od ťažiska O k osi otáčania (obr. 2).
Ťažisko- pomyselný bod, ktorého poloha charakterizuje rozloženie hmoty daného telesa. Ťažisko telesa sa pohybuje rovnako, ako by sa pohyboval hmotný bod rovnakej hmotnosti pod vplyvom všetkých vonkajších síl pôsobiacich na toto teleso.
Pojem moment zotrvačnosti zaviedol do mechaniky ruský vedec L. Euler v polovici 18. storočia a odvtedy sa široko používa pri riešení mnohých problémov dynamiky tuhého telesa. Hodnota momentu zotrvačnosti musí byť v praxi známa pri výpočte rôznych rotačných jednotiek a systémov (zotrvačníky, turbíny, rotory elektromotorov, gyroskopy). Moment zotrvačnosti je zahrnutý do pohybových rovníc telesa (loď, lietadlo, projektil atď.). Určuje sa vtedy, keď chcú poznať parametre rotačného pohybu lietadla okolo ťažiska pôsobením vonkajšej poruchy (nápor vetra a pod.).
Nech sa nejaké teleso pôsobením sily F pôsobiacej v bode A otočí okolo osi OO“ (obr. 1.14).
Sila pôsobí v rovine kolmej na os. Kolmica p, poklesnutá z bodu O (ležiaceho na osi) na smer sily, sa nazýva rameno sily. Súčin sily na ramene určuje modul momentu sily vzhľadom na bod O:
M = Fp = Frsina.
Moment sily je vektor určený vektorovým súčinom vektora polomeru bodu pôsobenia sily a vektora sily:
(3.1) Jednotkou momentu sily je newtonmeter (N m).
Smer M možno nájsť pomocou pravého skrutkového pravítka.
moment hybnosti častica sa nazýva vektorový súčin polomeru vektora častice a jej hybnosti:
alebo v skalárnej forme L = gPsinα
Táto veličina je vektorová a zhoduje sa v smere s vektormi ω.
§ 3.2 Moment zotrvačnosti. Steinerova veta
Mierou zotrvačnosti telies pri translačnom pohybe je hmotnosť. Zotrvačnosť telies pri rotačnom pohybe závisí nielen od hmotnosti, ale aj od jej rozloženia v priestore vzhľadom na os rotácie. Mierou zotrvačnosti pri rotačnom pohybe je veličina tzvmoment zotrvačnosti tela okolo osi otáčania.
Moment zotrvačnosti hmotného bodu vzhľadom na os rotácie je súčin hmotnosti tohto bodu a druhej mocniny jeho vzdialenosti od osi:
I i = m i r i 2 (3.2)
Moment zotrvačnosti telesa okolo osi otáčania nazývame súčet momentov zotrvačnosti hmotných bodov, ktoré tvoria toto teleso:
(3.3)
Vo všeobecnom prípade, ak je teleso pevné a je súborom bodov s malými hmotnosťami dm, moment zotrvačnosti je určený integráciou:
(3.4)
Ak je teleso homogénne a jeho hustota 
, potom moment zotrvačnosti telesa
(3.5)
Moment zotrvačnosti telesa závisí od toho, ktorou osou sa otáča a ako je hmota telesa rozložená v objeme.
Najjednoduchšie sa určí moment zotrvačnosti telies, ktoré majú správny geometrický tvar a rovnomerné rozloženie hmoty po objeme.
Moment zotrvačnosti homogénnej tyče vzhľadom na os prechádzajúcu stredom zotrvačnosti a kolmú na tyč
(3.6)
Moment zotrvačnosti homogénneho valca okolo osi kolmej na jeho základňu a prechádzajúcej stredom zotrvačnosti,
(3.7)
Moment zotrvačnosti tenkostenného valca alebo obruč okolo osi kolmej na rovinu jej základne a prechádzajúcej jej stredom,
(3.8)
Moment zotrvačnosti guľa vzhľadom na priemer
(3.9)
Zvážte príklad . Určme moment zotrvačnosti disku okolo osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti a kolmej na rovinu rotácie. Hmotnosť disku - m, polomer - R.
Oblasť krúžku (obr. 3.2), uzavretá medzi
r a r + dr sa rovná dS = 2πr dr. Oblasť disku S = πR 2 .
v dôsledku toho 
. Potom
alebo 
Podľa
Vyššie uvedené vzorce pre momenty zotrvačnosti telies sú uvedené za podmienky, že os rotácie prechádza stredom zotrvačnosti. Na určenie momentov zotrvačnosti telesa okolo ľubovoľnej osi je potrebné použiť Steinerova veta : moment zotrvačnosti telesa okolo ľubovoľnej osi rotácie sa rovná súčtu momentu zotrvačnosti telesa okolo osi rovnobežnej s danou a prechádzajúcej ťažiskom telesa a súčinu hmotnosť telesa na druhú mocninu vzdialenosti medzi osami:
(3.11)
Jednotkou momentu zotrvačnosti je kilogram-meter štvorcový (kg m 2 ).
Takže moment zotrvačnosti homogénnej tyče okolo osi prechádzajúcej jej koncom sa podľa Steinerovej vety rovná
(3.12)
Predpokladajme, že tuhé teleso A (obr. 1.19, a) sa môže otáčať okolo nejakej pevnej osi. Aby došlo k rotácii telesa (zmene jeho uhlovej rýchlosti), je potrebný vonkajší vplyv. Sila, ktorej smer prechádza osou otáčania, alebo sila rovnobežná s osou však nemôže zmeniť uhlovú rýchlosť telies.
Preto z vonkajšej sily pôsobiacej na telo je potrebné vybrať komponenty, ktoré nespôsobujú rotáciu. Rotáciu môže vyvolať len sila (rotačná sila) ležiaca v rovine kolmej na os otáčania a smerujúca tangenciálne ku kružnici opísanej bodom jej pôsobenia.
Všimnite si, že keď sa teleso otáča, komponenty práce nevykonávajú, pretože bod pôsobenia týchto síl sa pohybuje kolmo na ich smer. Prácu vykonáva iba rotačná sila, je to priemet sily pôsobiacej na teleso do smeru pohybu bodu pôsobenia tejto sily.
Určme množstvo práce, ktorú vykoná rotačná sila, ak sa jej bod pôsobenia posunie po kružnici s polomerom o (obr. 1.19, b). Predpokladajme, že veľkosť sily zostáva konštantná. Potom
Súčin rotačnej sily a polomeru je moment rotačnej sily, resp. krútiaceho momentu pôsobiaceho na dané teleso a označuje sa vedený zo zadanej
osi k smeru sily). Vo vzorci (2.8)
preto sa práca vykonaná krútiacim momentom rovná súčinu tohto momentu uhla natočenia telesa:
Ak sa krútiaci moment (sila alebo jej rameno) v priebehu času mení, vykonaná práca je definovaná ako súčet:
Moment rotačnej sily je znázornený ako vektor zhodný s osou otáčania; kladná orientácia tohto vektora je zvolená v smere, v ktorom by sa pohybovala pravá skrutka otočená týmto momentom.
Krútiaci moment aplikovaný na telo mu dáva určité uhlové zrýchlenie podľa smerov vektorov, ktoré sme zvolili, sú orientované pozdĺž osi otáčania v rovnakom smere. Vzťah medzi veľkosťou krútiaceho momentu a veľkosťou ním uvádzaného uhlového zrýchlenia možno stanoviť dvoma spôsobmi:
a) môžete využiť skutočnosť, že práca hnacej sily sa rovná zmene kinetickej energie telesa, na ktoré táto sila pôsobí: Pre rotujúce teleso podľa vzorcov (2.9) a (2.4) mať
Tu predpokladáme, že moment zotrvačnosti telesa sa pri otáčaní nemení. Vydelením tejto rovnice a znížením dostaneme
b) môžete využiť skutočnosť, že moment rotačnej sily sa rovná súčtu momentov síl, ktoré informujú jednotlivca základné časti telesá tangenciálne zrýchlenia tieto sily sú rovnaké a ich momenty sú
Nahraďte tangenciálne zrýchlenia uhlovým zrýchlením, ktoré je rovnaké pre všetky častice rotujúceho telesa (ak sa teleso pri rotácii nedeformuje): Potom
Vzorec (2.12) vyjadruje základný zákon dynamiky rotačného pohybu pevných (nedeformujúcich) telies, pre ktoré
uhlové zrýchlenie, ktoré teleso získa pôsobením daného krútiaceho momentu, je priamo úmerné veľkosti tohto momentu a nepriamo úmerné momentu zotrvačnosti telesa okolo osi otáčania:
Vo vektorovej forme je tento zákon napísaný ako
Ak sa teleso počas otáčania deformuje, zmení sa jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na os otáčania. Mentálne si predstavte rotujúce teleso pozostávajúce z mnohých elementárnych (bodových) častí; potom bude deformácia celého telesa znamenať zmenu vzdialeností od týchto častí telesa k osi rotácie. Zmena vzdialenosti danej uhlovej rýchlosti rotácie ω však bude sprevádzaná zmenou lineárnej rýchlosti tejto častice, a tým aj jej kinetickej energie. Pri konštantnej uhlovej rýchlosti otáčania telesa bude teda zmena vzdialeností (teda zmena momentu zotrvačnosti telesa) sprevádzaná zmenou kinetickej energie otáčania celého telesa.
Zo vzorca (2.4), ak predpokladáme premenné, môžeme získať
Prvý člen znázorňuje zmenu kinetickej energie rotujúceho telesa, ktorá nastala len v dôsledku zmeny uhlovej rýchlosti otáčania (pri tento moment zotrvačnosť telesa) a druhý člen znázorňuje zmenu kinetickej anergie, ku ktorej došlo len v dôsledku zmeny momentu zotrvačnosti telesa (pri danej uhlovej rýchlosti otáčania).
Keď sa však zmení vzdialenosť od bodového telesa k osi rotácie, vnútorné sily spájajúce toto teleso s osou rotácie vykonajú prácu: negatívne, ak sa teleso vzdiali, a kladné, ak sa teleso priblíži k osi rotácie; túto prácu možno vypočítať, ak predpokladáme, že sila spájajúca časticu s osou rotácie sa číselne rovná dostredivej sile:
Pre celé telo, pozostávajúce z mnohých častíc s hmotnosťou, získame
Vo všeobecnom prípade, keď na teleso pôsobí vonkajší krútiaci moment, zmena kinetickej energie by sa mala rovnať súčtu dvoch prác: vonkajšieho krútiaceho momentu a vnútorných síl. Pri zrýchlenej rotácii budú mať veličiny kladné znamienka, - záporné
znak (keďže častice tela sa pohybujú od osi rotácie); potom
Nahradením hodnoty z výrazu (2.15) a nahradením za dostaneme
alebo po redukcii
Toto je všeobecný pohľad na základný zákon mechaniky pre telesá otáčajúce sa okolo pevnej osi, platí aj pre deformujúce sa telesá. Pri , vzorec (2.16) prechádza do vzorca (2.14).
Všimnite si, že v prípade deformujúcich sa telies je možná zmena uhlovej rýchlosti otáčania aj pri absencii vonkajšieho krútiaceho momentu. V skutočnosti zo vzorca (2.16) dostaneme:
V tomto prípade uhlová rýchlosť rotácia ω sa mení len v dôsledku zmeny momentu zotrvačnosti telesa spôsobenej vnútornými silami.
Po zvážení translačných a rotačných pohybov môžeme medzi nimi vytvoriť analógiu. V kinematike translačného pohybu sa používa dráha s, rýchlosť
a zrýchlenie a. Ich úlohu v rotačnom pohybe zohrávajú uhol natočenia , uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie ε. V dynamike translačného pohybu pojmy sila, hmotnosť t a hybnosť 
Pri rotačnom pohybe hrá moment úlohu sily. 
sily, úloha hmoty – moment zotrvačnosti ja z a úloha hybnosti – moment hybnosti 
Keď poznáme vzorce pre translačný pohyb, je ľahké zapísať vzorce pre rotačný pohyb. Napríklad pri rovnomernom pohybe sa prejdená vzdialenosť vypočíta podľa vzorca: s =
t, as rotačným uhlom natočenia - podľa vzorca = t. Druhý Newtonov zákon 
a 
a základný zákon dynamiky rotačného pohybu je 
a 
Pri translačnom pohybe je hybnosť telesa 
a pri rotačnom pohybe je moment hybnosti 
V tejto analógii možno pokračovať ďalej.
Práca sily pri translačnom pohybe. Moc
Nechajte teleso (hmotný bod) pôsobením konštantnej sily 
, ktorý tvorí so smerom pohybu konštantný uhol , pohybuje sa v nejakej referenčnej sústave po priamke a prechádza dráhou l. Potom, ako je známe zo školského kurzu fyziky, práca A túto silu nájdeme podľa vzorca:
A= fl· pretože = F l l, (1)
Uvažujme teraz o všeobecnom prípade výpočtu práce, keď sa teleso pohybuje translačne po krivočiarej trajektórii pôsobením premenlivej sily. Na ceste l vyberte základnú sekciu dl, v rámci ktorej možno uvažovať o sile 
a uhol sú konštantné hodnoty a samotný rez je priamočiary. Potom pracujte dA v tejto časti nájdeme pomocou vzorca (1): dA
=
F·
dl·
čos. Práca A celá cesta sa rovná súčtu práce dA, t.j.
(2)
Ikona l keď integrál znamená, že integrácia sa vykonáva na celej ceste l.
Vzorec (2) môže mať iný tvar, ak použijeme skalárny súčin vektorov. Potom integrand dA bude napísané v tvare: dA
=
F·
dl·
cos= 
kde 
je elementárny vektor posunutia a
(3)
Zo vzorca (1) je zrejmé, že práca je algebraická veličina. Znak práce závisí od uhla . Ak je uhol ostrý, potom cos > 0 a práca je kladná, ale ak je uhol tupý, je záporný.
V sústave jednotiek SI je jednotkou práce joule (J). Zadáva sa zo vzorca (1), v ktorom sa predpokladá cos = 1. 1 J je práca vykonaná silou 1 N na dráhe 1 m za predpokladu, že smery sily a posunu sa zhodujú.
Na charakterizáciu rýchlosti vykonávania práce sa zavádza pojem výkonu, ktorý sa rovná práci vykonanej za jednotku času. Ak elementárny časový interval dt základná práca je vykonaná dA, potom sila R rovná sa
(4)
V sústave jednotiek SI sa výkon meria vo wattoch (W). Ako vyplýva z (4), 1 W = 1 J / 1 s, t.j. 1 W- je výkon, pri ktorom sa vykoná 1 J práce za 1 sekundu.
Práca sily počas rotačného pohybu
Uvažujme tuhé teleso, ktoré pri pôsobení premenlivej sily 
otáča sa okolo osi z do nejakého uhla. Táto sila vytvára moment sily M z , otáčanie tela. Sila smeruje tangenciálne ku kružnici, po ktorej sa pohybuje bod pôsobenia sily. Preto je uhol = 0. Ak to vezmeme do úvahy, analogicky so vzorcom pre mechanickú prácu (pozri (2)), nájdeme výraz, podľa ktorého sa vypočíta práca počas rotačného pohybu:
(5)
Práca bude kladná, ak sa smer tangenciálnej zložky sily zhoduje so smerom otáčania, a záporná, ak sú v opačnom smere.
Dynamika rotačného pohybu tuhého telesa.
Moment zotrvačnosti.
Moment sily. Základná rovnica dynamiky rotačného pohybu.
moment impulzu.
Moment zotrvačnosti.
(Zvážte experiment s rolovacími valcami.)
Pri uvažovaní o rotačnom pohybe je potrebné zaviesť nové fyzikálne pojmy: moment zotrvačnosti, moment sily, moment impulzu.
Moment zotrvačnosti je miera zotrvačnosti telesa počas otáčania telesa okolo pevnej osi.
Moment zotrvačnosti hmotného bodu vzhľadom k pevnej osi otáčania sa rovná súčinu jeho hmotnosti so štvorcom vzdialenosti od uvažovanej osi otáčania (obr. 1):
Závisí len od hmotnosti hmotného bodu a jeho polohy vzhľadom na os rotácie a nezávisí od prítomnosti samotnej rotácie.
Moment zotrvačnosti - skalárne a aditívne množstvo
Moment zotrvačnosti telesa sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti všetkých jeho bodov
.
V prípade spojitého rozdelenia hmoty sa tento súčet redukuje na integrál:
,
kde je hmotnosť malého objemu telesa, je hustota telesa, je vzdialenosť od prvku k osi otáčania.
Moment zotrvačnosti je analogický s hmotnosťou pri rotačnom pohybe. Čím väčší je moment zotrvačnosti telesa, tým ťažšie je meniť uhlovú rýchlosť rotujúceho telesa. Moment zotrvačnosti má význam len pre danú polohu osi otáčania.
Nemá zmysel hovoriť jednoducho o „momente zotrvačnosti“. Záleží:
1) z polohy osi otáčania;
2) o rozložení hmotnosti tela vzhľadom na os rotácie, t.j. podľa tvaru a veľkosti tela.
Experimentálnym dôkazom toho sú skúsenosti s valcovaním valcov.
Po integrácii pre niektoré homogénne telesá môžeme získať nasledujúce vzorce (os rotácie prechádza ťažiskom telesa):
Moment zotrvačnosti obruče (hrúbku steny zanedbávame) alebo dutého valca:
Moment zotrvačnosti disku alebo plného valca s polomerom R:
kde 
.
Moment zotrvačnosti lopty
Moment zotrvačnosti tyče
E 
Ak je pre teleso známy moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej cez ťažisko, potom moment zotrvačnosti okolo ktorejkoľvek osi rovnobežnej s prvou sa zistí Steinerova veta: moment zotrvačnosti telesa okolo ľubovoľnej osi sa rovná momentu zotrvačnosti J 0 okolo osi rovnobežnej s danou a prechádzajúcej ťažiskom telesa, pripočítanej k súčinu hmotnosti telesa štvorec vzdialenosti medzi osami.
kde d vzdialenosť od ťažiska k osi rotácie.
Ťažisko je pomyselný bod, ktorého poloha charakterizuje rozloženie hmotnosti daného telesa. Ťažisko telesa sa pohybuje rovnako, ako by sa pohyboval hmotný bod rovnakej hmotnosti pod vplyvom všetkých vonkajších síl pôsobiacich na toto teleso.
Pojem moment zotrvačnosti zaviedol do mechaniky ruský vedec L. Euler v polovici 18. storočia a odvtedy sa široko používa pri riešení mnohých problémov dynamiky tuhého telesa. Hodnota momentu zotrvačnosti musí byť v praxi známa pri výpočte rôznych rotačných jednotiek a systémov (zotrvačníky, turbíny, rotory elektromotorov, gyroskopy). Moment zotrvačnosti je zahrnutý do pohybových rovníc telesa (loď, lietadlo, projektil atď.). Zisťuje sa vtedy, keď chcú poznať parametre rotačného pohybu lietadla okolo ťažiska pri pôsobení vonkajšej poruchy (náryv vetra a pod.). Pre telesá s premenlivou hmotnosťou (rakety) sa hmotnosť a moment zotrvačnosti v čase menia.
2 .Moment sily.
Rovnaká sila môže rotujúcemu telesu udeliť rôzne uhlové zrýchlenia v závislosti od jeho smeru a bodu pôsobenia. Na charakterizáciu rotačného pôsobenia sily sa zavádza pojem moment sily.
Rozlišujte medzi momentom sily vzhľadom k pevnému bodu a relatívne k pevnej osi. Moment sily vzhľadom na bod O (pól) je vektorová veličina rovnajúca sa vektorovému súčinu vektora polomeru nakresleného z bodu O do bodu pôsobenia sily vektorom sily:
Ilustrujúc túto definíciu, obr. 3 vychádzame z predpokladu, že bod O a vektor ležia v rovine kresby, potom sa v tejto rovine nachádza aj vektor a vektor k nemu a smeruje od nás (ako vektorový súčin 2 vektory; podľa pravidla správneho gimletu).
Modul momentu sily sa číselne rovná súčinu sily a ramena:
kde je rameno sily vzhľadom na bod O, je uhol medzi smermi a, 
.
Rameno - najkratšia vzdialenosť od stredu otáčania k línii pôsobenia sily.
Vektor momentu sily je spolusmerovaný s translačným pohybom pravého krídlu, ak sa jeho rukoväť otáča v smere rotačného pôsobenia sily. Moment sily je axiálny (voľný) vektor, je nasmerovaný pozdĺž osi otáčania, nie je spojený s konkrétnou líniou pôsobenia, možno ho preniesť na
priestor paralelný sám so sebou.
Moment sily vzhľadom na pevnú os Z je priemet vektora na túto os (prechádzajúcu bodom O).
E 
Ak na teleso pôsobí viacero síl, tak výsledný moment síl okolo pevnej osi Z sa rovná algebraickému súčtu momentov okolo tejto osi všetkých síl pôsobiacich na teleso.
Ak sila pôsobiaca na teleso neleží v rovine rotácie, možno ju rozložiť na 2 zložky: ležiacu v rovine rotácie a k nej F n . Ako je možné vidieť na obrázku 4, F n nevytvára rotáciu, ale vedie len k deformácii telesa; rotácia telesa je spôsobená len zložkou F .
Rotujúce teleso môže byť reprezentované ako súbor hmotných bodov.
AT 
nejaký bod si vyberieme ľubovoľne s hmotnosťou m i, na ktorý pôsobí sila, udeľujúca zrýchlenie do bodu (obr. 5). Pretože iba tangenciálna zložka vytvára rotáciu, je nasmerovaná kolmo na os rotácie, aby sa zjednodušil výstup.
V tomto prípade
Podľa druhého Newtonovho zákona: . Vynásobte obe strany rovnice r i ;
,
kde je moment sily pôsobiaci na hmotný bod,
Moment zotrvačnosti hmotného bodu.
V dôsledku toho, .
Pre celé telo: ,
tie. uhlové zrýchlenie telesa je priamo úmerné momentu vonkajších síl, ktoré naň pôsobia, a nepriamo úmerné jeho momentu zotrvačnosti. Rovnica
(1) je rovnica dynamiky rotačného pohybu tuhého telesa voči pevnej osi alebo druhý Newtonov zákon pre rotačný pohyb.
3 . moment impulzu.
Pri porovnaní zákonov rotačného a translačného pohybu vidíme analógiu.
Analógom hybnosti je moment hybnosti. Pojem moment hybnosti možno zaviesť aj vo vzťahu k pevnému bodu a relatívnej k pevnej osi, ale vo väčšine prípadov ho možno definovať nasledovne. Ak sa hmotný bod otáča okolo pevnej osi, potom sa jeho moment hybnosti vzhľadom na túto os rovná absolútnej hodnote
kde m i- hmotnosť hmotného bodu,
i - jeho lineárna rýchlosť
r i- vzdialenosť k osi otáčania.
Pretože pre rotačný pohyb
kde je moment zotrvačnosti hmotného bodu okolo tejto osi.
Moment hybnosti tuhého telesa vzhľadom na pevnú os sa rovná súčtu hybnosti všetkých jeho bodov vzhľadom na túto os:
G 
de je moment zotrvačnosti telesa.
Moment hybnosti tuhého telesa vzhľadom na pevnú os otáčania sa teda rovná súčinu jeho momentu zotrvačnosti vzhľadom k tejto osi uhlovou rýchlosťou a je v spoločnom smere s vektorom uhlovej rýchlosti.
Rozlišujme rovnicu (2) vzhľadom na čas:
Rovnica (3) je ďalšou formou základnej rovnice dynamiky rotačného pohybu tuhého telesa vzhľadom na pevnú os: derivácia momentu
hybnosť tuhého telesa okolo pevnej osi otáčania sa rovná momentu vonkajších síl okolo tej istej osi
Táto rovnica je jednou z najdôležitejších rovníc dynamiky rakiet. Počas pohybu rakety sa neustále mení poloha jej ťažiska, v dôsledku čoho vznikajú rôzne momenty síl: odpor, aerodynamická sila, sily vytvárané výškovkou. Rovnica rotačného pohybu rakety pri pôsobení všetkých momentov síl, ktoré na ňu pôsobia, spolu s pohybovými rovnicami ťažiska rakety a rovnicami kinematiky so známymi počiatočnými podmienkami umožňujú určiť polohu rakety vo vesmíre kedykoľvek.
