Ako nájsť deriváciu zlomku. Derivácia funkcie. Podrobná teória s príkladmi. Vzorec zlomku

Rozhodnite sa fyzické úlohy alebo príklady v matematike je úplne nemožné bez znalosti derivácie a metód na jej výpočet. Derivát je jedným z najdôležitejších konceptov matematickej analýzy. Tejto zásadnej téme sme sa rozhodli venovať dnešný článok. Čo je to derivácia, aký je jej fyzikálny a geometrický význam, ako vypočítať deriváciu funkcie? Všetky tieto otázky možno spojiť do jednej: ako porozumieť derivátu?

Geometrický a fyzikálny význam derivácie

Nech existuje funkcia f(x) , uvedené v nejakom intervale (a,b) . Do tohto intervalu patria body x a x0. Keď sa zmení x, zmení sa aj samotná funkcia. Zmena argumentu - rozdiel jeho hodnôt x-x0 . Tento rozdiel je napísaný ako delta x a nazýva sa prírastok argumentov. Zmena alebo prírastok funkcie je rozdiel medzi hodnotami funkcie v dvoch bodoch. Definícia derivátu:

Derivácia funkcie v bode je limitom pomeru prírastku funkcie v danom bode k prírastku argumentu, keď ten má tendenciu k nule.

Inak sa to dá napísať aj takto:

Aký zmysel má nájsť takúto hranicu? Ale ktorý:

derivácia funkcie v bode sa rovná dotyčnici uhla medzi osou OX a dotyčnici ku grafu funkcie v danom bode.

Fyzikálny význam derivátu: časová derivácia dráhy sa rovná rýchlosti priamočiareho pohybu.

Skutočne, už od školských čias každý vie, že rýchlosť je súkromná cesta. x=f(t) a čas t . Priemerná rýchlosť za určité časové obdobie:

Ak chcete zistiť rýchlosť pohybu v čase t0 musíte vypočítať limit:

Pravidlo prvé: odstráňte konštantu

Konštantu možno vyňať zo znamienka derivácie. Navyše sa to musí urobiť. Pri riešení príkladov v matematike berte ako pravidlo - ak môžete zjednodušiť výraz, určite zjednodušte .

Príklad. Vypočítajme deriváciu:

Pravidlo dva: derivácia súčtu funkcií

Derivácia súčtu dvoch funkcií sa rovná súčtu derivácií týchto funkcií. To isté platí pre deriváciu rozdielu funkcií.

Nebudeme dávať dôkazy o tejto vete, ale uvažujme skôr o praktickom príklade.

Nájdite deriváciu funkcie:

Pravidlo tri: derivácia súčinu funkcií

Derivácia súčinu dvoch diferencovateľných funkcií sa vypočíta podľa vzorca:

Príklad: nájdite deriváciu funkcie:

Riešenie:

Tu je dôležité povedať o výpočte derivácií komplexných funkcií. Derivácia komplexnej funkcie sa rovná súčinu derivácie tejto funkcie vzhľadom na stredný argument deriváciou stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Vo vyššie uvedenom príklade sa stretneme s výrazom:

V tomto prípade je stredný argument 8-násobok ku piatej mocnine. Aby sme mohli vypočítať deriváciu takéhoto výrazu, najprv zvážime deriváciu externej funkcie vzhľadom na stredný argument a potom vynásobíme deriváciou samotného stredného argumentu vzhľadom na nezávislú premennú.

Pravidlo štyri: Derivácia podielu dvoch funkcií

Vzorec na určenie derivácie kvocientu dvoch funkcií:

Snažili sme sa hovoriť o derivátoch pre figuríny od začiatku. Táto téma nie je taká jednoduchá, ako sa zdá, takže buďte upozornení: v príkladoch sa často vyskytujú úskalia, preto buďte opatrní pri výpočte derivátov.

S akýmikoľvek otázkami na túto a iné témy sa môžete obrátiť na študentský servis. V krátkom čase vám pomôžeme vyriešiť to najťažšie ovládanie a vysporiadať sa s úlohami, aj keď ste sa výpočtom derivátov nikdy predtým nezaoberali.

Vzorec na deriváciu zlomku dvoch funkcií. Dôkaz dvoma spôsobmi. Podrobné príklady diferenciácie kvocientu.

Obsah

Vzorec zlomku

Nech sú funkcie a definované v nejakom okolí bodu a majú v bode derivácie. Nechaj to tak . Potom má ich podiel v bode deriváciu, ktorá je určená vzorcom:
(1) .

Dôkaz

Predstavme si notáciu:
;
.
Tu a sú funkcie premenných a . Ale pre jednoduchosť zápisu vynecháme zápis ich argumentov.

Ďalej si to všimneme
;
.
Podľa podmienky majú funkcie a deriváty v bode , čo sú nasledujúce limity:
;
.
Z existencie derivácií vyplýva, že funkcie a sú v bode spojité. Preto
;
.

Uvažujme funkciu y premennej x , ktorá je zlomkom funkcií a :
.
Zvážte prírastok tejto funkcie v bode:
.
Vynásobme:

.
Odtiaľ
.

Teraz nájdeme derivát:

.

takže,
.
Vzorec bol osvedčený.

Namiesto premennej môžete použiť akúkoľvek inú premennú. Označme to ako x. Potom, ak existujú deriváty a , a , potom je derivácia zlomku zložená z dvoch funkcií určená vzorcom:
.
Alebo v kratšom zápise
(1) .

Dôkaz druhým spôsobom

Príklady

Tu zvážime jednoduché príklady výpočtu derivácie zlomku pomocou vzorca pre deriváciu kvocientu (1). Všimnite si, že v zložitejších prípadoch je jednoduchšie nájsť deriváciu zlomku pomocou logaritmickej derivácie.

Príklad 1

Nájdite deriváciu zlomku
,
kde , , , sú konštanty.

Aplikujme pravidlo diferencovania súčtu funkcií:
.
Derivácia konštanty
.
Z tabuľky derivátov zistíme:
.
Potom
;
.

Nahradíme s a s:
.

Teraz nájdeme deriváciu zlomku podľa vzorca
.

.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie premennej x
.

Aplikujeme pravidlá diferenciácie, ako v predchádzajúcom príklade.
;
.

Uplatňujeme pravidlo diferenciácie zlomku
.

.

Je veľmi ľahké si to zapamätať.

No nepôjdeme ďaleko, hneď zvážime inverznú funkciu. Aká je inverzia exponenciálnej funkcie? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (teda logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.

Čomu sa rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

Nájdite deriváciu funkcie.
Aká je derivácia funkcie?

Odpovede: Exponent a prirodzený logaritmus sú funkcie, ktoré sú z hľadiska derivácie jedinečne jednoduché. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

aké pravidlá? Opäť nový termín?!...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

Len a všetko. Aké je iné slovo pre tento proces? Nie proizvodnovanie... Diferenciál matematiky sa nazýva samotný prírastok funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie.

Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .

Poďme to dokázať. Nechajte, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite deriváty funkcií:

v bode;
v bode;
v bode;
v bode.

Riešenia:

(derivácia je vo všetkých bodoch rovnaká, keďže je to lineárna funkcia, pamätáte?);

Derivát produktu

Všetko je tu rovnaké: predstavujeme Nová funkcia a nájdite jeho prírastok:

odvodený:

Príklady:

Nájdite deriváty funkcií a;
Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponentu (zabudli ste už, čo to je?).

Tak kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme preniesť našu funkciu na nový základ:

Na to používame jednoduché pravidlo: . potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostalo, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite deriváty funkcií:

Odpovede:

Toto je len číslo, ktoré sa nedá vypočítať bez kalkulačky, to znamená, že nie je možné ho zapísať viac jednoduchá forma. Preto je v odpovedi ponechaná v tejto podobe.

Všimnite si, že tu je kvocient dvoch funkcií, takže použijeme príslušné pravidlo diferenciácie:

V tomto príklade súčin dvoch funkcií:

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný z logaritmu s iným základom, napríklad:

Tento logaritmus musíme preniesť na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Len teraz namiesto napíšeme:

Ukázalo sa, že menovateľ je len konštanta (stále číslo, bez premennej). Derivát je veľmi jednoduchý:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkus tangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám logaritmus zdá ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a všetko bude fungovať), ale z hľadiska matematiky slovo „zložitý“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravník: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Ukazuje sa taký zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a zviazaná stuhou. Aby ste zjedli čokoládovú tyčinku, musíte urobiť pravý opak opačné poradie.

Vytvorme si podobný matematický pipeline: najprv nájdeme kosínus čísla a potom výsledné číslo odmocníme. Takže nám dajú číslo (čokoládu), ja nájdem jeho kosínus (obal) a potom zarovnáte, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď, aby sme našli jej hodnotu, vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom ďalšiu druhú akciu s tým, čo sa stalo ako výsledok prvej.

Inými slovami, Komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre náš príklad, .

Môžeme urobiť tie isté akcie v opačnom poradí: najprv odmocni a potom hľadám kosínus výsledného čísla:. Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexné funkcie: keď zmeníte poradie akcií, funkcia sa zmení.

Druhý príklad: (rovnaký). .

Posledná akcia, ktorú vykonáme, bude tzv „vonkajšia“ funkcia, a úkon vykonaný ako prvý – resp „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná:

Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

Aké kroky podnikneme ako prvé? Najprv vypočítame sínus a až potom ho zdvihneme na kocku. Ide teda o vnútornú funkciu, nie vonkajšiu.
A pôvodnou funkciou je ich zloženie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .
Vnútorné: ; vonkajší: .
Vyšetrenie: .

zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vytiahneme našu čokoládu - hľadajte derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Pre pôvodný príklad to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Zdá sa to byť jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné: ;

Vonkajšie: ;

2) Interné: ;

(len sa teraz nepokúšajte znížiť! Spod kosínusu sa nič nevyberá, pamätáte?)

3) Interné: ;

Vonkajšie: ;

Okamžite je jasné, že tu existuje trojúrovňová komplexná funkcia: koniec koncov, toto je už sama o sebe komplexná funkcia a stále z nej extrahujeme koreň, to znamená, že vykonávame tretiu akciu (vložiť čokoládu do obalu a so stuhou v kufríku). Nie je však dôvod na strach: každopádne túto funkciu „rozbalíme“ v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A potom to všetko vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné akcie očíslovať. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Pozrime sa na príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií - ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Stanovme si postup.

1. Radikálne vyjadrenie. .

2. Koreň. .

3. Sínus. .

4. Štvorec. .

5. Daj to všetko dokopy:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNOM

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu s nekonečne malým prírastkom argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá diferenciácie:

Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie:

Derivát súčtu:

odvodený produkt:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Definujeme „internú“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
Definujeme „vonkajšiu“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

Pri hľadaní derivačného súčtu zlomkov s mocninami a koreňmi by ste mali venovať pozornosť nasledujúcim bodom, aby ste sa vyhli bežným chybám:

pomocou vzorca na odlíšenie súčinu a kvocientu jasne definujte rozdiel medzi konštantou, ktorej derivácia sa rovná nule, a konštantným faktorom, ktorý sa jednoducho vyberie zo znamienka derivácie;
je potrebné s istotou použiť vedomosti zo školského kurzu o akciách s titulmi a koreňmi, napríklad čo sa stane s exponentmi, keď sa násobia tituly s rovnakými základmi;
čo sa stane so znamienkami, keď je znamienko derivátu termínu opačné ako znamienko samotného termínu.

Príklad 1 Nájdite deriváciu funkcie

Dvojka pred x je konštantný faktor, takže bol jednoducho vyňatý z derivačného znamienka.

Dávať to všetko dokopy:

Ak je v konečnom riešení potrebné získať výraz s koreňmi, potom prevedieme stupne na korene a získame požadovanú deriváciu:

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Nájdeme derivát prvého termínu:

Tu boli prvé dve v čitateli medzivýrazu konštanta, jej derivácia sa rovná nule.

Nájdeme derivát druhého termínu:

Nájdeme derivát tretieho člena:

Tu využili poznatky zo školského kurzu o úkonoch so zlomkami, ich premene a zmenšení.

Keď to všetko spojíme, venujte pozornosť skutočnosti, že znamienka derivátov prvého a tretieho výrazu sú opačné ako znamienka výrazov v pôvodnom výraze:

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Nájdeme derivát prvého termínu:

Nájdeme derivát druhého termínu:

Derivácia tretieho členu – konštanta 1/2 – sa rovná nule (stáva sa, že žiaci sa tvrdohlavo snažia nájsť nenulovú deriváciu konštanty).

Keď to všetko zhrnieme, venujte pozornosť skutočnosti, že znamienko derivátu druhého termínu je opačné ako znamienko termínu v pôvodnom výraze:

Príklad 4 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Nájdeme derivát prvého termínu:

Nájdeme derivát druhého termínu:

Nájdeme derivát tretieho člena:

Keď to všetko zhrnieme, venujte pozornosť skutočnosti, že znamienka derivátov druhého a tretieho výrazu sú mínusy:

Príklad 5 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Nájdeme derivát prvého člena.

Dokážme pravidlo diferenciácie kvocientu dvoch funkcií (zlomkov). To stojí za zmienku g(x) nejde na nulu pod žiadnou X z medzery X.

Podľa definície derivátu

Príklad.

Vykonajte diferenciáciu funkcií.

Riešenie.

Pôvodná funkcia je pomer dvoch výrazov sinx a 2x+1. Aplikujme pravidlo diferenciácie zlomku:

Nezaobídete sa bez pravidiel na diferenciáciu súčtu a vybratie ľubovoľnej konštanty zo znamienka derivácie:

Nakoniec zhrňme všetky pravidlá v jednom príklade.

Príklad.

Nájdite deriváciu funkcie , kde a je kladné reálne číslo.

Riešenie.

A teraz po poriadku.

Prvý termín .

Druhý termín

Tretie volebné obdobie

Dávať to všetko dokopy:

4. Otázka: Deriváty hlavných elementárnych funkcií.

Cvičenie. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Používame pravidlá diferenciácie a tabuľku derivátov:

Odpoveď.

5. Otázka: Príklady derivácie komplexnej funkcie

Všetky príklady v tejto časti sú založené na tabuľke derivácií a derivácii komplexnej funkcie, ktorej formulácia je nasledovná:

Nech 1) funkcia u=φ(x) má deriváciu u′x=φ′(x0) v nejakom bode x0, 2) funkcia y=f(u) má deriváciu y′u= f′(u) . Potom bude mať aj komplexná funkcia y=f(φ(x)) v uvedenom bode deriváciu rovnú súčinu derivácií funkcií f(u) a φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

alebo v kratšom zápise: y′x=y′u⋅u′x.

V príkladoch v tejto časti sú všetky funkcie v tvare y=f(x) (t. j. uvažujeme len funkcie jednej premennej x). Preto sa vo všetkých príkladoch berie derivácia y' vzhľadom na premennú x. Aby sa zdôraznilo, že derivácia je braná vzhľadom na premennú x, často sa namiesto y′ píše y′x.

Príklady 1, 2 a 3 poskytujú podrobný postup na nájdenie derivácie komplexných funkcií. Príklad č. 4 je určený pre úplnejšie pochopenie tabuľky derivátov a má zmysel sa s ňou oboznámiť.

Je vhodné po preštudovaní látky v príkladoch č.1-3 prejsť na nezávislé rozhodnutie príklady #5, #6 a #7. Príklady #5, #6 a #7 obsahujú krátke riešenie, aby si čitateľ mohol skontrolovať správnosť svojho výsledku.

Príklad #1

Nájdite deriváciu funkcie y=ecosx.

Riešenie

Potrebujeme nájsť deriváciu komplexnej funkcie y′. Keďže y=ecosx, potom y′=(ecosx)′. Na nájdenie derivácie (ecosx)′ použijeme vzorec č. 6 z tabuľky derivácií. Aby ste mohli použiť vzorec č. 6, musíte vziať do úvahy, že v našom prípade u=cosx. Ďalšie riešenie spočíva v banálnej zámene výrazu cosx namiesto u do vzorca č. 6:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1.1)

Teraz musíme nájsť hodnotu výrazu (cosx)′. Opäť sa obrátime na tabuľku derivátov a vyberieme z nej vzorec č. 10. Dosadením u=x do vzorca #10 máme: (cosx)′=−sinx⋅x′. Teraz pokračujeme v rovnosti (1.1) a doplníme ju o nájdený výsledok:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Keďže x′=1, pokračujeme v rovnosti (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Takže z rovnosti (1.3) máme: y′=−sinx⋅ecosx. Prirodzene, vysvetlenia a medziľahlé rovnosti sa zvyčajne vynechávajú, pričom sa nájdenie derivácie zapíše do jedného riadku, ako v rovnosti (1.3). Takže derivácia komplexnej funkcie je nájdená, zostáva len zapísať odpoveď.

Odpoveď: y′=−sinx⋅ecosx.

Príklad č. 2

Nájdite deriváciu funkcie y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

Riešenie

Musíme vypočítať deriváciu y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Na začiatok si všimneme, že konštantu (t. j. číslo 9) možno vyňať zo znamienka derivácie:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Prejdime teraz k výrazu (arctg12(4⋅lnx))′. Na uľahčenie výberu požadovaného vzorca z tabuľky derivátov uvediem predmetný výraz v tomto tvare: ((arctg(4⋅lnx))12) . Teraz je jasné, že je potrebné použiť vzorec č.2, t.j. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. Do tohto vzorca dosaďte u=arctg(4⋅lnx) a α=12:

Doplnením rovnosti (2.1) so získaným výsledkom máme:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx).2)′ )

Poznámka: zobraziť/skryť

Teraz musíme nájsť (arctg(4⋅lnx))′. Použijeme vzorec č. 19 tabuľky derivátov, do ktorého dosadíme u=4⋅lnx:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Výsledný výraz trochu zjednodušíme, berúc do úvahy (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Rovnosť (2.2) sa teraz zmení na:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅=lnx))′ 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2,3)

Zostáva nájsť (4⋅lnx)′. Vyberme konštantu (t.j. 4) zo znamienka derivácie: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Aby sme našli (lnx)′, použijeme vzorec č. 8, do ktorého dosadíme u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Pretože x′=1, potom (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Nahradením získaného výsledku do vzorca (2.3) dostaneme:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅=lnx))′ 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅3⋅4 arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Pripomínam, že derivácia komplexnej funkcie je najčastejšie v jednom riadku, ako je napísané v poslednej rovnosti. Preto pri štandardných výpočtoch resp kontrolné práce riešenie nie je potrebné tak podrobne popisovať.

Odpoveď: y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Príklad č. 3

Nájdite y′ funkcie y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Riešenie

Najprv trochu transformujme funkciu y vyjadrením radikálu (odmocniny) ako mocninu: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Teraz začnime hľadať derivát. Pretože y=(sin(5⋅9x))37, potom:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3.1)

Použijeme vzorec č. 2 z tabuľky derivácií, do ktorého dosadíme u=sin(5⋅9x) a α=37:

((hriech(5⋅9x))37)′=37⋅(hriech(5⋅9x))37−1(hriech(5⋅9x))′=37⋅(hriech(5⋅9x))−47(hriech (5⋅9x))′

Pokračujeme v rovnosti (3.1) pomocou získaného výsledku:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3,2)

Teraz musíme nájsť (sin(5⋅9x))′. Použijeme na to vzorec č. 9 z tabuľky derivácií, do ktorého dosadíme u=5⋅9x:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Doplnením rovnosti (3.2) so získaným výsledkom máme:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(hriech(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3,3)

Zostáva nájsť (5⋅9x)′. Najprv vyberme konštantu (číslo 5) zo znamienka derivácie, t.j. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Na nájdenie derivácie (9x)′ použijeme vzorec č. 5 z tabuľky derivácií, do ktorého dosadíme a=9 a u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Pretože x′=1, potom (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Teraz môžeme pokračovať v rovnosti (3.3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(hriech(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x) )−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

Od mocnín k radikálom (t. j. koreňom) sa môžeme opäť vrátiť tak, že (sin(5⋅9x))−47 napíšeme ako 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−− −−− −√7. Potom bude derivát zapísaný v nasledujúcom tvare:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−− −−−√7.

Odpoveď: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−−√7.

Príklad č. 4

Ukážte, že vzorce č. 3 a č. 4 tabuľky derivátov sú špeciálnym prípadom vzorca č. 2 tejto tabuľky.

Riešenie

Vo vzorci č.2 tabuľky derivácií je zapísaná derivácia funkcie uα. Dosadením α=−1 do vzorca #2 dostaneme:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Keďže u−1=1u a u−2=1u2, rovnosť (4.1) môžeme prepísať nasledovne: (1u)′=−1u2⋅u′. Toto je vzorec číslo 3 v tabuľke derivátov.

Vráťme sa opäť k vzorcu č. 2 tabuľky derivátov. Dosaďte do neho α=12:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Pretože u12=u−−√ a u−12=1u12=1u−−√, rovnosť (4.2) možno prepísať takto:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Výsledná rovnosť (u−−√)′=12u−−√⋅u′ je vzorec č. 4 tabuľky derivácií. Ako vidíte, vzorce č. 3 a č. 4 v tabuľke derivátov sa získajú zo vzorca č. 2 dosadením zodpovedajúcej hodnoty α.

Príklad č. 5

Nájdite y′, ak y=arcsin2x.

Riešenie

Hľadanie derivácie komplexnej funkcie v tomto príklade budeme písať bez podrobných vysvetlení, ktoré boli uvedené v predchádzajúcich úlohách.

Odpoveď: y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Príklad č. 6

Nájdite y′, ak y=7⋅lnsin3x.

Riešenie

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade uvádzame nájdenie derivácie komplexnej funkcie bez podrobností. Odporúča sa napísať deriváciu sami, len s odkazom na nižšie uvedené riešenie.

Odpoveď: y′=21⋅ctgx.

Príklad č. 7

Nájdite y, ak y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

Riešenie