Zbirka testov o geometriji na temo "Telesa vrtenja" (11. razred). Sferična plast in sferični pas Dva medsebojno pravokotna odseka krogle

• a) Na žogi sta narisana dva vzporedna dela. Dokaži, da središče žoge leži na premici, ki poteka skozi središča teh odsekov.
• b) V kroglo s polmerom R je narisan izrez s polmerom r. Kolikšna je razdalja med njim in njim vzporednim velikim krogom?
• c) V kroglo s polmerom 3 sta narisana odseka s polmeroma 1 in 2, katerih ravnini sta vzporedni. Izračunaj razdaljo med njima,
• d) Sestavi nalogi, inverzni nalogama b) in c).

• a) Dana sta dva kroga v eni krogli, katerih kroga ležita na krogli in imata eno skupno točko. Dokaži, da ima presečišče ravnin, v katerih ležita ti krogi, eno samo skupno točko s kroglo,
• b) Na krogli sta narisani dve krožnici, ki imata eno skupno točko. Dokaži, da ležijo središče krogle, središči obeh krogov in njuna stična točka v isti ravnini,
• c) Na kroglo s polmerom R sta narisani dve izseki z enakim polmerom r, ki imata eno skupno točko. Njuni ravnini tvorita kot prim. Vzpostavite povezavo med R, r, φ.

III. 3. V krogli s polmerom R se dva odseka s polmerom r sekata pod kotom φ. Njuno presečišče je tetiva dolžine d. Vzpostavite povezavo med R, r, d, φ.

III. 4. To področje vključuje:

• a) valj;
• b) stožec;
• c) prisekan stožec.

Njihove velikosti so znane. Kako najti razdalje od središča krogle do baz in stranskih površin valja, stožca in prisekanega stožca?

III. 5. Štiri enake kroglice s polmerom R so razporejene tako, da se vsaka dotika drugih treh. Tri od teh kroglic ležijo na vodoravni ravnini, četrta kroglica pa leži nad njimi. Kakšna je višina te strukture? Kako najti polmer krogle, ki je opisana okoli te strukture.

III. 6. Trije valji so nameščeni tako, da imata vsaka dva eno samo skupno točko. Ta skupna točka se nahaja znotraj generatrike vsakega od valjev. Osi valjev sta medsebojno pravokotni, ena od njih pa je navpična. Polmer vsakega valja je R. Poiščite polmer krogle, ki bo pri navpičnem padcu šla skozi režo, ki jo tvorita valja.

III. 7. Kroglica s polmerom R vsebuje valj z največjim osnim prerezom. Kakšne so mere tega cilindra?

III. 8. Razmislite o vseh možnih valjih z diagonalo osnega prereza, ki je enaka d. Izračunaj polmer največje krogle v takem valju in polmer najmanjše krogle v takem valju.

III. 9. V valj, katerega višina je enaka premeru osnove in enaka d, je treba postaviti dve enaki krogli. Kolikšen je njihov največji polmer?

III. 10. Dva enaka stožca imata skupno oglišče. Njihove stranske površine se sekajo vzdolž dveh generatric. Dokažite, da je ravnina, ki poteka skozi te generatorje, pravokotna na ravnino, ki vsebuje osi stožcev.

III.11. Dva enaka stožca imata vzporedni osi. Ali imajo skupno podporno ravnino, ki poteka skozi njihove sestavne površine?

III.12. Dokaži, da je krožnica presečišče (če obstaja):

• a) stranske površine stožca in valja, katerih osi ležijo na isti ravni črti);
• b) stranski ploskvi dveh stožcev, katerih osi ležita na isti premici.

III.13. Središče krogle leži na vrhu stožca. Polmer krogle je manjši od generatrise stranske površine stožca. Dokaži, da krogla seka stransko ploskev stožca v krogu.

• a) Na realni krogli je narisan krog. Kako izračunati njegov polmer?
• b) Kako izračunati polmer prave krogle (krogle)?

Uporabljamo računalnik

III.15. Dana je premica p in odsek AB na premici, ki je vzporedna s premico p. Poiščite točko X na premici p tako, da bo kot AXB največji.

III.16. Med vsemi enakokrakimi trikotniki ABC, ki so opisani okrog dane krožnice, ki se dotika osnovke AC, poiščite trikotnik z najmanjšo ploščino.

III.17. Ali obstaja na dani premici točka, iz katere sta pod enakima kotoma vidni enaki krogi?

III.18. V dani krog vpiši pravokotnik z največjo ploščino.

III.19. Podana je krožnica s središčem O. Vsebuje tetivo AB, ki je drugačna od premera, in polmer OS, pravokoten na to tetivo. Naj bo D presečišče tega polmera in te tetive. Točka X se premika po večjem loku krožnice. Iz nje sta narisani dve tetivi: XK, ki poteka skozi točko D, in XC. Naj bo L presečišče tetiv XC in AB. Kateri od segmentov je daljši: KD ali LC?

Povzetek poglavja III

V § 16-19 so dokazani samo trije izreki:

1. Izrek 17 o presečišču krogle in ravnine (razdelek 16.2),
2. Izrek 18 o dotikanju krogle in ravnine (razdelek 16.3) in
3. Izrek 19 o prerezu stožca (razdelek 19.1).

Poglavje III začenja razpravo o pomembnem vprašanju simetrije prostorskih likov.

V § 20 se preučujejo bolj zapletena vprašanja geometrije kroga kot v tečaju osnovne šole.

1. Premici a in b sta vzporedni, premici a in c se sekata. Kakšen je relativni položaj b in c? (končano)
2. Skozi tri točke, ki ležijo na treh sekajočih se robovih kocke, je narisana ravnina. Poiščite vsoto notranjih kotov mnogokotnika, dobljenega v odseku. (končano)
3. Vsi stranski robovi piramide so enaki 13. Polmer kroga, včrtanega na dnu piramide, je 5, polmer kroga, opisanega okoli vznožja piramide, pa je 12. Poiščite višino piramide . dana navodila
4. Vsi diedrski koti na robovih osnove štirikotne piramide so enaki 45. Polmer kroga, včrtanega na dnu piramide, je 8, polmer kroga, opisanega okoli baze piramide, pa je 52. Poiščite višino piramide. (izdelano)
5. Ravnine treh stranskih ploskev trikotne piramide tvorijo z ravnino njene osnove kot 60. Polmer kroga, včrtanega dnu piramide, je 8, polmer kroga, opisanega okrog baze, pa je 8. piramide je 52. Poiščite višino piramide (končano)
6. Razdalja med središči dveh krogel s polmeroma 4 in 7 je enaka 2. Opišite množico skupnih točk teh krogel. (izdelano)
7. Genatrisi stožca sta medsebojno pravokotni. Ali je lahko kot v razvitju stožca enak 252? (končano)
8. ABCD – osni prerez valja. B in C sta točki zgornje baze, A in D pa točki spodnje baze. Točka K deli lok AD v razmerju AK:KD=1:2. Poiščite kot AKC. (izdelano)
9. Prerez, ki poteka skozi sredino stranskega roba piramide in je vzporeden z vznožjem, razdeli piramido na dve telesi, od katerih je prostornina enega za 6 m^3 manjša od prostornine drugega. Poiščite prostornino piramide. (izdelano)
10. MABC – tetraeder. Koliko je različnih ravnin, od katerih so vsa oglišča tega tetraedra oddaljena na enaki razdalji?
11. Pri kateri vrednosti x je dolžina vektorja s koordinatami (1-x;4+x;x) najmanjša? (izdelano)
12. Kolikšen del prostornine paralelepipeda ABCDA1B1C1D1 zavzema prostornina tetraedra A1C1BD? (izdelano)
13. Ali sta lahko ravnini nesosednjih stranskih ploskev štirikotne piramide pravokotni na osnovno ravnino?
14. Razdalje od koncev premera krogle do ravnine, ki se je dotika, sta 3 in 7 cm Poiščite polmer krogle. (izdelano)

V 8. razredu sem lahko samo narisal risbo in si zapomnil, da je kot ACB enak kotu BAC, saj ležita navzkrižno. Ne vem kaj naj naredim naprej.

V 13 lahko po izreku 3 navpičnic. da?

V 10. so lahko 4. Predvidevam, ker ima tetraeder 4 obraze, vendar ne vidim logike.

V 9. se je izkazalo, da je 8.

k.black si napisal takole:
Enako sem mislil.
Prostornina ene take odrezane piramide je enaka 1/6 prostornine paralelepipeda (1/3*polovica osnove*enaka višina)
Sl-ampak, volumen odrezanega dela je 4/6 = 2/3
Potem je prostornina piramide A1C1BD 1/3 prostornine par-da

Ne morem razumeti, zakaj so vaše količine najprej povezane kot 1/6, nato pa kot 1/3

GBOU SPO PT 13 poimenovan po P.A. Ovchinnikov

Preizkusi na temo "Telesa vrtenja"

učiteljica matematike Elena Sergeevna Makeeva

T E S T 1

Možnost 1

A1 . Stranska površina desnega krožnega valja je 12π, višina valja pa 3. Poiščite celotno površino valja.

¤ 1) 24π ¤ 2) 16π ​​​​¤ 3) 22π ¤ 4) 20π

A2 . Površina osnega prereza valja je 10 cm 2 , osnovna površina je 5 cm 2

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
A3 . Skozi generatriko valja sta narisana dva odseka, od katerih je eden osni s površino, ki je enakaS. Kot med presečnimi ravninami je 30° O

¤ 1) ¤ 2) S ¤ 3) ¤ 4)

B 1. Konci odseka AB ležijo na krožnicah osnov valja. Polmer osnove je 10 cm, razdalja med premico AB in osjo valja je 8 cm, AB = 13 cm Določi višino valja.

odgovor:

NA 2 . Višina valja jeh, osnovni polmer –r. V ta valj je poševno na os včrtan kvadrat tako, da so vsa njegova oglišča na krožnicah osnov. Poiščite stranico kvadrata.

Odgovori :________________________________________________________________________

C1 . Diagonala razvitka stranske ploskve valja tvori s stranico osnove razvitka kot β. Izračunajte kot med diagonalo osnega prereza valja in ravnino osnove.

Odgovor: ________________________________________________________________________________

T E S T 1

Cilinder. Površina valja.

Možnost 2

A1. Stranska površina desnega krožnega valja je 20π, višina valja pa 5. Poiščite celotno površino valja.

¤ 1) 24π ¤ 2) 32π ¤ 3) 28π ¤ 4) 36π

A2 . Površina osnega prereza valja je 16 cm 2 , osnovna površina je 8 cm 2 . Izračunajte višino in stransko površino valja.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) A3. Skozi generatriko valja sta narisana dva odseka, od katerih je eden osni s površino, ki je enakaS. Kot med presečnimi ravninami je 45° O . Poiščite območje drugega odseka.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) S

B 1. Konci odseka AB ležijo na krožnicah osnov valja. Polmer osnove je 5 cm, višina valja je 6 cm, AB = 10 cm Določi razdaljo med premico AB in osjo valja.

odgovor: ________________________________________________________________________

NA 2 . Polmer osnove valja jer. V ta valj je pod kotom na os vpisan kvadrat s stranicoatako da so vsa njegova oglišča na krogih baz. Poiščite višino valja.

odgovor: ________________________________________________________________________

C1 . Kot med diagonalo osnega prereza valja in ravnino njegove osnove je enak β. Izračunajte kot med diagonalo razvitka njegove stranske ploskve in stranico baze razvitka.

odgovor: ________________________________________________________________________

TEST 2

Ravni krožni stožec

Možnost 1

A1 . Poišči višino pravilnega krožnega stožca, če je površina njegovega osnega preseka 6 cm 2 , osnovna ploščina pa je 8 cm 2 .

¤ 1) 3 2) 3 ¤ 3) 6 ¤ 4) 4

A2. Določite kot na vrhu osnega odseka stožca, če je razvoj njegove stranske površine sektor z lokom, ki je enak 90 o

¤ 1) 60 o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 30 o

A3. Obseg osnov prisekanega stožca je 4π in 10π. Višina stožca je 4. Poiščite površino prisekanega stožca.

¤ 1) 64 π ¤ 2) 68 π ¤ 3) 52 π ¤ 1) 74 π

B 1. Višina stožca je enaka polmeruRnjene temelje. Skozi vrh stožca je narisana ravnina, ki odreže lok 60 od osnovnega kroga. o

odgovor:

NA 2. Generatrica stožca je 13 cm, višina 12 cm Ta stožec seka premica, vzporedna z osnovo. Njegova razdalja od podnožja je 6 cm, od višine pa 2 cm Poiščite dolžino segmenta te črte, zaprtega znotraj stožca.

odgovor: ________________________________________________________________________________

C1 . Generatris prisekanega stožca je enakaLin z ravnino osnove tvori kot α. Diagonala njegovega osnega odseka je pravokotna na generatriko. Poiščite stransko površino stožca.

odgovor: ________________________________________________________________________________

TEST 2

Ravni krožni stožec

Možnost 2

A1 . Poišči višino pravilnega krožnega stožca, če je površina njegovega osnega preseka 8 cm 2 , osnovna ploščina pa je 12 cm 2 .

1) 4 ¤ 2) 4 ¤ 3) 6 ¤ 4) 6

A2 . Določite kot na vrhu osnega odseka stožca, če je razvoj njegove stranske površine sektor z lokom, ki je enak 120 o

¤ 1) 90 o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 60 o

A3 . Obseg osnov prisekanega stožca je 4π in 28π. Višina stožca je 5. Poiščite površino prisekanega stožca.

¤ 1) 420 π ¤ 2) 412 π ¤ 3) 416 π ¤ 1) 408 π

B 1. Višina stožca je enaka polmeruRnjene temelje. Skozi vrh stožca je narisana ravnina, ki odreže lok 90 iz kroga baze. o . Določite površino prečnega prereza.

odgovor: ________________________________________________________________________________

NA 2. Generatrica stožca je 17 cm, višina 8 cm Ta stožec seka premica, vzporedna z osnovo. Njegova razdalja od podnožja je 4 cm, od višine pa 6 cm Poiščite dolžino segmenta te črte, zaprtega znotraj stožca.

odgovor: ________________________________________________________________________________

C1 . Generatris prisekanega stožca z ravnino spodnje osnove tvori kot α. Diagonala njegovega osnega odseka je pravokotna na generatriko stožca. Vsota obsegov je 2 πm. Poiščite stransko površino stožca.

odgovor: ________________________________________________________________________________

TEST 3

Možnost 1

A1 . Točki A in B ležita na krogli polmeraR. Poiščite razdaljo od središča krogle do premice AB, če je AB=m.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

A2. Poiščite koordinate središča C in polmerRkrogla, podana z enačbo

¤ 1) C (-3; 2; 0), R= ¤ 2) C (3; -2;0), R=5 ¤ 3) C (-3; 2;0), R=5 ¤ 4) C (3; -2;0), R=

A3. Zapišite enačbo krogle s središčem v točki C (4; -1; 3), ki poteka skozi točko A (-2; 3; 1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 . Oglišča pravokotnega trikotnika s krakoma 25 in 5ležijo na krogli. Poiščite polmer krogle, če je razdalja od središča do ravnine trikotnika 8.

odgovor: ________________________________________________________________________________

B 2 aenačba

določa sfero.

odgovor: ________________________________________________________________________________

C1. Dva medsebojno pravokotna odseka krogle imata skupno tetivo dolžine 12. Vemo, da sta ploščini teh odsekov 100π in 64π . Poiščite polmer krogle.

odgovor: ________________________________________________________________________________

TEST 3

Krogla in žoga. Enačba krogle.

Možnost 2

A1. Točki A in B ležita na krogli polmeraR. Razdalja od središča krogle do premice AB je enakaa. Poiščite dolžino odseka AB.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

A2 . Poiščite koordinate središča C in polmerRkrogla, podana z enačbo

¤ 1) C (-4; 0; 3), R= ¤ 2) C (4; 0;-3), R=7 ¤ 3) C (-4; 0;3), R=7 ¤ 4) C (4; 0;-3), R=

A3. Zapišite enačbo krogle s središčem v točki C (-3; 1; -2), ki poteka skozi točko A (3; 4; -1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B 1 . Oglišča pravokotnega trikotnika s krakoma 15 in ležijo na krogli. Poiščite polmer krogle, če je razdalja od središča do ravnine trikotnika 5.

odgovor: ________________________________________________________________________________

B 2 . Določite, pri katerih vrednostih parametraaenačba

določa sfero.

odgovor: ________________________________________________________________________________

C1. Dva medsebojno pravokotna odseka krogle imata skupno tetivo dolžine 12. Vemo, da sta ploščini teh odsekov 256π in 100π . Poiščite polmer krogle.

odgovor: ________________________________________________________________________________

TEST 4

Možnost 1

A1. Presečišče krogle in ravnine na razdalji 8 od središča ima dolžino 12 π. Poiščite površino krogle.

¤ 1) 396 π ¤ 2) 400 π ¤ 3) 408 π ¤ 4) 362π

A2. Polmer krogleRdotika ploskev diedričnega kota, katerega velikost je enakaα . Določite razdaljo od središča krogle do roba diedričnega kota.

¤ 1) ¤ 2) RTg ¤ 3) ¤ 4) Rctg

A3. Poiščite dolžino tetive krogle , ki pripadajo abscisni osi.

¤ 1) 2 ¤ 2) 4 ¤ 3) 8 ¤ 4) 2

V 1. Presek krogle z dvema vzporednima ravninama, med katerima leži središče krogle, ima ploščino 144π in 25π . Izračunajte površino žoge, če je razdalja med vzporednima ravninama 17.

NA 2.

in

Odgovori

C1.

Odgovor: ________________________________________________________________________________

TEST 4

Medsebojna lega krogle in ravnine, krogle in premice.

Možnost 2

A1. Odsek sfereravnina, oddaljena 15 od svojega središča, ima površino 64 π. Poiščite površino krogle.

¤ 1) 1156 π ¤ 2) 1024 π ¤ 3) 1172 π ¤ 4) 1096π

A2. Krogla se dotika ploskev diedričnega kota, katerega velikost jeα . Razdalja od središča krogle do roba diedričnega kota jel. Določite polmer krogle.

¤ 1) l tg ¤ 2) greh ¤ 3) lcos ¤ 4) lctg

A3. Poiščite dolžino tetive krogle , ki pripadajo ordinatni osi..

¤ 1) 2 ¤ 2) 10 ¤ 3) 4 ¤ 4) 2

V 1. Presek krogle z dvema vzporednima ravninama, ki ležita na eni strani središča krogle, ima ploščino 576π in 100π . Izračunajte površino krogle, če je razdalja med vzporednima ravninama 14.

Odgovor: ________________________________________________________________________________

NA 2. Zapišite enačbo ravnine, v kateri ležijo stične točke krogel, ki jih dajeta enačbi

in

Odgovor: ________________________________________________________________________________

C1. Poiščite koordinate presečišč premice, podane z enačbo in krogla, podana z enačbo

Odgovor: ________________________________________________________________________________

TEST 5

Kombinacije rotacijskih figur.

Možnost 1

A1. Pravokotni trikotnik s stranicama, enakima 5 cm in 12 cm, se vrti okoli hipotenuze. Izračunajte površino nastalega vrtilnega telesa.

¤ 1) cm 2 ¤ 2) 82π cm 2 ¤ 3) cm 2 ¤ 4) 78π cm 2

A2. V valj je včrtana kroglica. Poiščite razmerje med celotno površino valja in površino krogle.

¤ 1) 3:2 ¤ 2) 2:1 ¤ 3) 4:3 ¤ 4) 5:2

A3. r, višina -H

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) π( ¤ 4)

B 1 . V stožec je vpisan valj, katerega višina je enaka polmeru osnove stožca. Poiščite kot med osjo stožca in njegovo tvornico, če se površina celotne površine valja nanaša na ploščino osnove stožca kot 3:2 in os valja sovpada z osjo. os stožca.

odgovor: ________________________________________________________________________________

C1 . Na ravnini ležijo tri enake krogle s polmeromRdotikajo drug drugega. Četrta krogla enakega polmera je postavljena na vrh luknje, ki jo tvorita krogli. Poiščite razdaljo od zgornje točke četrte kroglice do ravnine.

Odgovori :________________________________________________________________________________

TEST 5

Kombinacije rotacijskih figur.

Možnost 2

A1. Pravokotni trikotnik s stranicama enakima 8 cm in 15 cm se vrti okoli hipotenuze. Izračunajte površino nastalega vrtilnega telesa.

¤ 1) 162π cm 2 ¤ 2) cm 2 ¤ 3) 164π cm 2 ¤ 4) cm 2

A2. V valj je včrtana kroglica. Poiščite razmerje med stransko površino valja in površino krogle.

¤ 1) 2:1 ¤ 2) 3:2 ¤ 3) 1:1 ¤ 4) 2:3

A3. Stožec je vpisan v kroglo, katere polmer je enakr, višina -L. Določite površino krogle.

¤ 1) π ( ¤ 2) ¤ 3) πr ¤ 4) πL

B 1 . V stožec je vpisan valj, katerega višina je enaka polmeru osnove stožca. Poiščite kot med osjo stožca in njegovo tvornico, če se površina celotne površine valja nanaša na ploščino osnove stožca kot 8:9, os valja pa sovpada z osjo. os stožca.

odgovor: ________________________________________________________________________________

C1 . Štiri enake krogle s polmerom ležijo na ravniniRtako da se vsaka kroglica dotika dveh sosednjih. Peta krogla enakega polmera je postavljena na vrh luknje, ki jo tvorita krogli. Poiščite razdaljo od zgornje točke pete kroglice do ravnine.

Odgovori :________________________________________________________________________________

TEST 6

Možnost 1

A1. V pravilno trikotno prizmo je vpisan valj. Poiščite njeno površino, če je stranica dna prizme enaka 2, višina pa 3.

¤ 1) 6π ¤ 2) 8π ¤ 3) 10π ¤ 4) 5π

A2. Okoli pravilne trikotne piramide je opisan stožec. Izračunajte površino stranske površine stožca, če je stranica osnove piramide enakaa, so stranska rebra nagnjena na podlago pod kotom 30 o .

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

A3. V pravilno štirikotno prizmo je včrtana krogla. Poiščite razmerje med celotno površino prizme in površino krogle.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

V 1. ainb. Poiščite stransko površino piramide.

Odgovor: ________________________________________________________________________________

NA 2. V kocko z robom, ki je enaka, kroglica je vpisana. Izračunaj polmer krogle, ki se dotika dane krogle in treh ploskev kocke, ki imajo skupno oglišče.

Odgovor: ________________________________________________________________________________

C1. Osni odsek stožca je enakostranični trikotnik. V ta stožec je včrtana pravilna trikotna piramida. Poiščite razmerje med ploščinama stranskih ploskev piramide in stožca.

Odgovor: ________________________________________________________________________________

TEST 6

Kombinacije poliedrov in vrtilnih teles.

Možnost 2

A1. Okrog desnega trikotna prizma valj je opisan. Poiščite njeno površino, če je višina prizme 4 in višina dna prizme 6.

¤ 1) 64π ¤ 2) 56π ¤ 3) 68π ¤ 4) 60π

A2. V pravilni trikotni piramidi je stranica osnove enakaa, so stranske ploskve nagnjene na osnovno ravnino pod kotom 45 o . Izračunajte stransko površino stožca, včrtanega v piramidi.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

A3. Okoli kocke je opisana krogla. Poiščite razmerje med površino krogle in celotno površino kocke.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

V 1. Okoli žoge je opisana pravilna trikotna prisekana piramida, katere stranice in osnove so enake.ainb. Poiščite površino krogle.

Odgovor: ________________________________________________________________________________

NA 2. V kocko je včrtana kroglica. Polmer krogle, ki se dotika dane krogle in treh ploskev kocke, ki imajo skupno oglišče, je enakR. Izračunaj dolžino roba kocke.

Odgovor: ________________________________________________________________________________

C1. Osni odsek stožca je enakostranični trikotnik. V ta stožec je včrtana pravilna štirikotna piramida. Poiščite razmerje med ploščinama stranskih ploskev piramide in stožca.

Odgovor: ________________________________________________________________________________

TEST 7

Možnost 1

A1. Pravokotnik s stranicama enakima 10 cm in 12 cm zavrtimo okoli večje stranice. Poiščite celotno površino nastalega vrtilnega telesa.

¤ 1) 460π cm 2 ¤ 2) 420π cm 2 ¤ 3) 440 π cm 2 ¤ 4) 400π cm 2

A2 a. Izračunajte površino preseka, ki poteka skozi dve generatrisi stožca, med katerima je kot 60°. o .

¤ 1) A 2 ¤ 2) A 2 ¤ 3) A 2 ¤ 4) A 2

A3 . Določite celotno površino prisekanega stožca, če sta polmera njegovih osnov 6 cm in 10 cm, njegova višina pa 3 cm.

¤ 1)212π cm 2 ¤ 2)224π cm 2 ¤ 3)220π cm 2 ¤ 4)216π cm 2

A4. + + +6 x-8 l+2 z-7=0

¤ 1) 132 π ¤ 2) 136 π ¤ 3) 140 π ¤ 4) 128π

A5. Stranice trikotnika se dotikajo krogle s polmerom 5 cm Določi razdaljo od središča krogle do ravnine trikotnika, če so njegove stranice 15 cm, 15 cm in 24 cm.

A6. V stožec s kotom rvčrtana krogla polmeraR. Poiščite vrednostr, če je znanoRin .

¤ 1) R tan( - ¤ 2) R tan( + ¤ 3) R tg ¤ 4) Rctg

V 1 . Skozi generatriko valja sta narisani dve med seboj pravokotni ravnini. Površine nastalih odsekov so enake cm 2 in

odgovor: _______________________________________________________________________________

NA 2. Enakokraki trikotnik se vrti okoli svoje simetrijske osi. Poiščite stranice tega trikotnika, če je njegov obseg 30 cm in skupna površina vrtilnega telesa 60

odgovor: ________________________________________________________________________________

NA 3 . Polmer krogleRdotika vseh robov pravilne trikotne prizme. Poiščite dolžino stranskega roba prizme in razdaljo od središča krogle do ravnin stranskih ploskev.

odgovor: ________________________________________________________________________________

C1 DD: D.B.=1:2:3. Določite razmerje polmerov odsekov (manjših proti večjim), če premica, ki vsebuje dani premer, tvori kot z ravninama .

odgovor: ________________________________________________________________________________

C2. Krogla se dotika vseh robov pravilne štirikotne piramide. Poišči polmer takšne krogle, če so vsi robovi piramide 18 cm.

odgovor: ________________________________________________________________________________

TEST 7

Posplošitev teme "Cilinder, stožec, krogla."

Možnost 2

A1. Pravokotnik s stranicama 8 cm in 10 cm zavrtimo okoli manjše stranice. Poiščite celotno površino nastalega vrtilnega telesa.

¤ 1) 360π cm 2 ¤ 2) 354π cm 2 ¤ 3) 368 π cm 2 ¤ 4) 376π cm 2

A2 . Osni prerez stožca je pravokotni trikotnik s hipotenuzo enakoa. Izračunajte površino preseka, ki poteka skozi dve generatorji stožca, med katerima je kot 45 o .

¤ 1) A 2 ¤ 2) A 2 ¤ 3) A 2 ¤ 4) A 2

A3 . Določite celotno površino prisekanega stožca, če sta polmera njegovih osnov 5 cm in 8 cm, njegova višina pa 4 cm.

¤ 1)150π cm 2 ¤ 2)154π cm 2 ¤ 3)158π cm 2 ¤ 4)146π cm 2

A4. Poiščite površino krogle, podane z enačbo + + -4 x+2 l+6 z-4=0

¤ 1) 68 π ¤ 2) 80 π ¤ 3) 76 π ¤ 4) 72 π

A5. Stranice trikotnika se dotikajo krogle s polmerom 5 cm Določi razdaljo od središča krogle do ravnine trikotnika, če so njegove stranice 10 cm, 10 cm in 12 cm.

¤ 1) 1 cm ¤ 2) 2 cm ¤ 3) 3 cm ¤ 4) 4 cm

A6. V stožec s kotom na vrhu osnega odseka in polmeru bazervčrtana krogla polmeraR. Poiščite vrednostR, če je znano

odgovor: ________________________________________________________________________________

NA 3 . Polmer krogleRdotika vseh robov pravilne trikotne prizme. Poiščite dolžino roba osnove prizme in razdaljo od središča krogle do ravnin osnov prizme.

odgovor: ________________________________________________________________________________

C1 . Dve vzporedni ravnini sekata premer krogle AB v točkah C inD, ki ga delimo v razmerju AC:CD: D.B.=1:3:4. Določite razmerje polmerov odsekov (manjših proti večjim), če premica, ki vsebuje dani premer, tvori kot z ravninama .

odgovor: ________________________________________________________________________________

C2. Krogla se dotika vseh robov pravilne štirikotne piramide. Poišči polmer takšne krogle, če so vsi robovi piramide 22 cm.

odgovor: ________________________________________________________________________________

8

4

1

2

3

4

-

-

-

676π

4x-6y+2z+7=0

(-4 ;5;2), (; )

2

1

2

1

-

-

-

2704π

3x-4y+8z-12=0

(3;0;7), (1;2;3)

5

1

3

1

4

-

-

-

(2+ )R

6

1

2

3

1

-

-

-

2

1

4

2

-

-

-

2(2+ )R

7

1

3

2

4

1

2

4

4

1

12 cm, 9 cm, 9 cm

R,

11 cm

3.1. Polmer osnove stožca je enak R, generatrix je nagnjena na ravnino baze pod kotom  . V stožcu skozi vrh pod kotom  ravnina je narisana na njeno višino. Poiščite površino nastalega preseka.

3.2. Ploščine osnov prisekanega stožca so 81  cm 2 in 225  cm 2, je generatrix povezan z višino kot 5: 4. Poiščite površino osnega odseka.

3.3. Diagonali osnega prereza prisekanega stožca sta medsebojno pravokotni. Površina osnega prereza je 324 cm2. Poiščite ploščine osnov stožca, pri čemer veste, da je polmer ene osnove za 2 cm večji od druge.

3.4. Podan trapez ABCD, v katerem AD= 15 cm, B.C.= 9 cm, AB = CD= 5 cm Trapez se vrti okoli osi, ki poteka skozi oglišče A in pravokotno AD. Poiščite površino nastalega vrtilnega telesa.

3.5. Ravna črta odseka od stranic pravokotnega trikotnika, med katerima je kot 60, segmente, katerih dolžine so četrtine dolžine hipotenuze, šteto od vrha tega kota. Poiščite razmerje med površino trikotnika in površino telesa, ki ga dobite z vrtenjem tega trikotnika okoli ravne črte.

3.6. Stožec leži na ravnini in se kotali po njej ter se vrti okoli svojega fiksnega vrha. Višina stožca je h, oblikovanje – b. Poiščite površino, ki jo opisuje višina stožca.

3.7. Stožca imata skupno osnovo. V splošnem osnem prerezu je generatrisa enega od stožcev pravokotna na nasprotno generatriko drugega. Prostornina enega od njih je polovica prostornine drugega. Poiščite kot med generatriso večjega stožca in ravnino osnov stožcev.

3.8. Trikotnik ABC, kateri AB= 13 cm, sonce= 20 cm, AC= 21 cm, se vrti okoli osi, ki poteka skozi oglišče A pravokotno AC. Poiščite prostornino nastalega vrtilnega telesa.

3.9. Paralelogram se vrti okoli osi, ki poteka skozi oglišče ostrega kota, pravokotnega na večjo diagonalo. Poiščite prostornino vrtilnega telesa, če so stranice paralelograma 15 cm, njegova velika diagonala 37 cm in 44 cm.

3.10. Generator prisekanega stožca enak l, nagnjena na ravnino osnove pod kotom . Razmerje ploščin osnov stožca je 4. Poiščite prostornino prisekanega stožca.

12.6. Žoga

Žoga in krogla

krogla je množica vseh točk v prostoru, ki so enako oddaljene od dane točke.

Ta točka se imenuje center krogle. Segment, ki povezuje središče krogle s katero koli točko na njej, se imenuje polmer krogle. Chordoy imenujemo segment, ki povezuje dve točki na krogli. Premer imenujemo tetiva, ki poteka skozi središče krogle (slika 12.40).

Žoga je geometrijsko telo, ki ga omejuje krogla. Imenuje se središče, polmer, tetiva in premer krogle center ,polmer ,akord in premer žoga (slika 12.40).

Žogo lahko obravnavamo kot telo, ki ga dobimo z vrtenjem polkroga okoli osi, ki vsebuje premer polkroga.

Površina krogle se imenuje tudi krogla.

Ravnina, ki ima s kroglo eno samo skupno točko, se imenuje tangenta letalo na kroglo (kroglo). Skupna točka se imenuje kontaktna točka krogla (krogla) in ravnina.

Izrek . Da se ravnina dotika krogle (krogle), je nujno in zadostno, da je ta ravnina pravokotna na polmer krogle (krogle), narisan na točko dotika.

Za žogo so pravilne naslednje formule:

Kje S– površina krogle (območje krogle); R– polmer krogle; V– prostornina žoge.

Kroglični segment in sferični segment

Segment žoge Imenuje se del žoge, ki je od nje odrezan z ravnino. Nastali krog v prerezu se imenuje osnova segment. Odsek, ki povezuje središče podnožja odseka s točko na površini krogle, pravokotno na podlago, se imenuje višina sferični segment (slika 12.41). Površina sferičnega dela sferičnega segmenta se imenuje sferični segment .

Za sferični segment so pravilne naslednje formule:

Kje S– območje sferičnega dela sferičnega segmenta (območje sferičnega segmenta); R– polmer krogle; h– višina segmenta; S poln– skupna površina sferičnega segmenta; r– polmer osnove sferičnega segmenta; V– prostornina sferičnega segmenta.

Sferična plast in sferični pas

Kroglična plast je del krogle, zaprt med dvema vzporednima sečnima ravninama. Krogi, dobljeni v prerezu, se imenujejo razlogov plast. Razdalja med rezalnimi ravninami se imenuje višina plast (slika 12.42). Površina sferičnega dela sferične plasti se imenuje sferični pas .

Kroglo, sferični segment in sferično plast lahko štejemo za geometrijska vrtilna telesa. Ko se polkrog vrti okoli osi, ki vsebuje premer polkroga, dobimo kroglo; v skladu s tem, ko se deli kroga vrtijo, dobimo dele krogle: sferični segment in sferični sloj.

Za sferično plast so pravilne naslednje formule:

Kje S 1 , S 2 – območje baz; R 1 , R 2 – osnovni polmeri; S– območje sferičnega dela sferične plasti (območje sferičnega pasu); R– polmer krogle; h- višina; S poln– skupna površina; V– volumen sferične plasti.

Sektor za žogo

Sektor za žogo je geometrijsko telo, ki ga dobimo z vrtenjem krožnega sektorja (s kotom, manjšim od 90) okoli osi, ki vsebuje enega od stranskih radijev. Dodatek takega telesa krogli se imenuje tudi sferični sektor . Tako je sferični sektor sestavljen iz sferičnega segmenta in stožca ali sferičnega segmenta brez stožca (sl. 12.43 a, b).

Za sferični sektor so pravilne naslednje formule:

Kje S– površina sferičnega sektorja; R– polmer krogle; r– polmer osnove segmenta; h– višina krogličnega segmenta; V– obseg sferičnega sektorja.

Primer 1. Polmer krogle je razdeljen na tri enake dele. Skozi delilni točki smo narisali dva odseka, pravokotna na polmer. Poiščite površino sferičnega pasu, če je polmer krogle 15 cm.

rešitev. Naredimo risbo (slika 12.44).

Če želite izračunati površino sferičnega pasu, morate poznati polmer krogle in njeno višino. Polmer krogle je znan, višino pa bomo našli, če vemo, da je polmer razdeljen na tri enake dele:

Nato območje

Primer 2. Žogo sekata dve vzporedni ravnini, ki potekata pravokotno na premer in na nasprotnih straneh središča krogle. Območja sferičnih segmentov so 42  cm 2 in 70  cm 2. Poiščite polmer krogle, če je razdalja med ravninama 6 cm.

rešitev. Razmislite o dveh sferičnih segmentih s področji:

Kje R – polmer krogle (sfere), h, H – višine segmentov. Dobimo enačbe:
in
Imamo dve enačbi s tremi neznankami. Ustvarimo še eno enačbo. Premer žoge je
Rešimo sistem:

Iz prvih dveh enačb sistema izrazimo:

nadomestimo v tretjo enačbo sistema:
Rešimo nastalo enačbo:
dobimo

Glede na pogoje problema je vrednost primerna

Primer 3. Presek krogle z ravnino, pravokotno na njen premer, deli premer v razmerju 1 : 2. Kolikokrat večja od površine preseka manjša površina površina žoge?

rešitev . Naredimo risbo (slika 12.45).

Razmislite o diametralnem prerezu krogle: AD– premer, O- center, O.E.= R– polmer krogle, BITI– polmer preseka, ki je pravokoten na premer krogle,

Izrazimo se BITI skozi R:

Od  OBE izrazimo BITI skozi R:

Površina prečnega prereza
površina krogle
Dobimo odnos

torej S 1 manj S 2 4,5-krat.

Kroglična plast je del krogle, zaprt med dvema vzporednima sečnima ravninama. Krogi, dobljeni v prerezu, se imenujejo razlogov plast. Razdalja med rezalnimi ravninami se imenuje višina plast (slika 42). Površina sferičnega dela sferične plasti se imenuje sferični pas .

Kroglo, sferični segment in sferično plast lahko štejemo za geometrijska vrtilna telesa. Ko se polkrog vrti okoli osi, ki vsebuje premer polkroga, dobimo kroglo; v skladu s tem, ko se deli kroga vrtijo, dobimo dele krogle: sferični segment in sferični sloj.

Za sferično plast so pravilne naslednje formule:

Kje R– polmer krogle;

R1, R2– polmeri baz;

h- višina;

S1, S2– površina baz;

S– območje sferičnega dela sferične plasti (območje sferičnega pasu);

S poln– skupna površina;

V– volumen sferične plasti.

Sektor za žogo

Sektor za žogo je geometrijsko telo, ki ga dobimo z vrtenjem krožnega sektorja (s kotom, manjšim od ) okoli osi, ki vsebuje enega od stranskih radijev. Dodatek takega telesa krogli se imenuje tudi sferični sektor . Tako je sferični sektor sestavljen iz sferičnega segmenta in stožca ali sferičnega segmenta brez stožca (sl. 43a, 43b).

riž. 43a. riž. 43b.

Za sferični sektor so pravilne naslednje formule:

Kje R– polmer krogle;

r– polmer osnove segmenta;

h- višina krogličnega segmenta;

S– površina sferičnega sektorja;

V– obseg sferičnega sektorja.

Primer 1. Polmer krogle je razdeljen na tri enake dele. Skozi delilni točki smo narisali dva odseka, pravokotna na polmer. Poiščite površino sferičnega pasu, če je polmer krogle 15 cm.

rešitev. Naredimo risbo (slika 44).

Če želite izračunati površino sferičnega pasu, morate poznati polmer krogle in njeno višino. Polmer krogle je znan, višino pa bomo našli, če vemo, da je polmer razdeljen na tri enake dele:

Nato območje

odgovor:

Primer 2.Žogo sekata dve vzporedni ravnini, ki potekata pravokotno na premer in na nasprotnih straneh središča krogle. Območji sferičnih segmentov sta 42p cm 2 in 70p cm 2. Poiščite polmer krogle, če je razdalja med ravninama 6 cm.

rešitev. Razmislite o dveh sferičnih segmentih s področji: kje R – polmer krogle (sfere), h, H – višine segmentov. Dobimo enačbe: in Imamo dve enačbi s tremi neznankami. Ustvarimo še eno enačbo. Premer žoge je enak Reševanje sistema najdemo polmer krogle.

Û Þ Û

Glede na pogoje problema je vrednost primerna

odgovor: 7 cm

Primer 3. Presek krogle z ravnino, pravokotno na njen premer, deli premer v razmerju 1:2. Kolikokrat je površina preseka manjša od površine krogle?

rešitev. Naredimo risbo (slika 45).

Razmislite o diametralnem prerezu krogle: AD– premer, O- center, OE=R– polmer krogle, BITI– polmer preseka, ki je pravokoten na premer krogle,

Izrazimo se BITI skozi R:

Od DOBE izrazimo BITI skozi R:

Prečni prerez je površina krogle. Dobimo razmerje . pomeni, S 1 manj S 2 4,5-krat.

odgovor: 4,5-krat.

Primer 4. V kroglo s polmerom 13 cm sta narisana dva medsebojno pravokotna preseka na razdalji 4 cm in 12 cm od središča. Poiščite dolžino njune skupne tetive.

rešitev. Naredimo risbo (slika 46).

Odseki so pravokotni, ker OO 2– oddaljenost in OO 1 – razdalja. Tako in O.C.– diagonala pravokotnika OO 2 CO 1 in je enako