Razdalja med točkami v geografskih koordinatah. Izračun razdalj med mesti po njihovih koordinatah. Razdalja med dvema točkama v prostoru

Tukaj je kalkulator

Razdalja med dvema točkama na ravni črti

Razmislite o koordinatni črti, na kateri sta označeni 2 točki: A A A in B B B. Če želite najti razdaljo med tema točkama, morate najti dolžino segmenta A B AB A B. To se naredi z naslednjo formulo:

Razdalja med dvema točkama na ravni črti

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b ∣,

kje a, b a, b a , b- koordinate teh točk na premici (koordinatna premica).

Ker je v formuli prisoten modul, pri odločanju, od katere koordinate je treba odšteti, ni pomembno (saj se upošteva absolutna vrednost te razlike).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣b −a ∣

Oglejmo si primer, da bomo bolje razumeli rešitev tovrstnih težav.

Primer 1

Na koordinatni premici je označena točka A A A, katere koordinata je 9 9 9 in pika B B B s koordinato − 1 -1 − 1 . Najti morate razdaljo med tema dvema točkama.

rešitev

Tukaj a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Uporabimo formulo in nadomestimo vrednosti:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Odgovori

Razdalja med dvema točkama na ravnini

Razmislite o dveh točkah na ravnini. Iz vsake točke, označene na ravnini, je treba spustiti dve pravokotnici: Na os O X OX O X in na osi OJ OJ O Y. Nato se upošteva trikotnik A B C ABC A B C. Ker je pravokoten ( B C pr. n. št B C pravokotno A C AC A C), nato poiščite segment A B AB A B, ki je tudi razdalja med točkami, je mogoče narediti z uporabo Pitagorovega izreka. Imamo:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Toda od dolžine A C AC A C je enako x B − x A x_B-x_A x B​ − x A​ , in dolžino B C pr. n. št B C je enako y B − y A y_B-y_A l B​ − l A​ , lahko to formulo prepišemo na naslednji način:

Razdalja med dvema točkama na ravnini

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (l B​ − l A​ ) 2 ​ ,

kje x A, y A x_A, y_A x A​ , l A​ in x B, y B x_B, y_B x B​ , l B​ - koordinate točk A A A in B B B oz.

Primer 2

Poiščite razdaljo med točkama C C C in F F F, če koordinate prvega (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , in drugič - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

rešitev

X C = 8 x_C=8 x C​ = 8
yC=-1 y_C=-1 l C​ = − 1
x F=4 x_F=4 x F​ = 4
yF=2 y_F=2 l F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (l F​ − l C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Odgovori

Razdalja med dvema točkama v prostoru

Iskanje razdalje med dvema točkama je v tem primeru podobno kot v prejšnjem, le da so koordinate točke v prostoru podane s tremi številkami, oziroma je treba formuli dodati še koordinato osi aplikacije. Formula bo videti takole:

Razdalja med dvema točkama v prostoru

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (l B​ − l A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Primer 3

Poiščite dolžino odseka FK FKFK v prostoru, če so koordinate točk njegovih koncev naslednje: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) in (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Odgovor zaokrožite na najbližje celo število.

rešitev

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3;\; 6;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(l^{K-l^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Glede na pogoj naloge moramo odgovor zaokrožiti na celo število.

Naj bo podan pravokotni koordinatni sistem.

Izrek 1.1. Za kateri koli dve točki M 1 (x 1; y 1) in M ​​2 (x 2; y 2) na ravnini je razdalja d med njima izražena s formulo

Dokaz. Iz točk M 1 in M ​​2 spustimo navpičnici M 1 B oziroma M 2 A

na oseh Oy in Ox in s K označimo presečišče premic M 1 B in M ​​2 A (slika 1.4). Možni so naslednji primeri:

1) Točke M 1, M 2 in K so različne. Očitno ima točka K koordinate (x 2; y 1). Preprosto je videti, da je M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Ker ∆M 1 KM 2 je pravokoten, potem je po Pitagorovem izreku d = M 1 M 2 = = .

2) Točka K sovpada s točko M 2, vendar se razlikuje od točke M 1 (slika 1.5). V tem primeru je y 2 = y 1

in d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Točka K sovpada s točko M 1, vendar je različna od točke M 2. V tem primeru je x 2 = x 1 in d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) Točka M 2 sovpada s točko M 1. Nato x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 in

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Delitev segmenta v tem pogledu.

Naj bo na ravnini podan poljuben odsek M 1 M 2 in naj bo M poljubna točka tega

segment, ki ni točka M 2 (slika 1.6). Število l, definirano z enakostjo l = , je poklican odnos, v katerem točka M deli odsek M 1 M 2.

Izrek 1.2.Če točka M (x; y) deli segment M 1 M 2 glede na l, potem koordinate tega določimo s formulami

x = , y = , (4)

kjer so (x 1; y 1) koordinate točke M 1, (x 2; y 2) koordinate točke M 2.

Dokaz. Dokažimo prvo izmed formul (4). Druga formula je dokazana podobno. Možna sta dva primera.

x = x 1 = = = .

2) Premica M 1 M 2 ni pravokotna na os Ox (slika 1.6). Spustimo navpičnice iz točk M 1 , M, M 2 na os Ox in označimo točke njihovega presečišča z osjo Ox oziroma P 1 , P, P 2 . Po izreku o proporcionalnih segmentih =l.

Ker P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô in številki (x - x 1) in (x 2 - x) imata enak predznak (za x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 so negativni), potem

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Posledica 1.2.1.Če sta M 1 (x 1; y 1) in M ​​2 (x 2; y 2) dve poljubni točki in je točka M (x; y) razpolovišče odseka M 1 M 2, potem je

x = , y = (5)

Dokaz. Ker je M 1 M = M 2 M, potem je l = 1 in s formulami (4) dobimo formule (5).

Območje trikotnika.

Izrek 1.3. Za vse točke A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) in C (x 3; y 3), ki ne ležijo na istem

premica, ploščino S trikotnika ABC izrazimo s formulo

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Dokaz. Območje ∆ ABC, prikazano na sl. 1.7 izračunamo takole

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Izračunaj površino trapeza:

S-ADEC=
,

SBCEF=

Zdaj imamo

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Za drugo lokacijo ∆ ABC formulo (6) dokažemo podobno, vendar jo lahko dobimo z znakom “-”. Zato v formuli (6) postavite znak modula.

Predavanje 2

Enačba premice na ravnini: enačba premice z glavnim koeficientom, splošna enačba premice, enačba premice v segmentih, enačba premice, ki poteka skozi dve točki. Kot med premicami, pogoji vzporednosti in pravokotnosti premic na ravnini.

2.1. Naj bo na ravnini podan pravokotni koordinatni sistem in neka premica L.

Opredelitev 2.1. Enačba oblike F(x;y) = 0, ki povezuje spremenljivki x in y, se imenuje enačba črte L(v danem koordinatnem sistemu), če tej enačbi ustrezajo koordinate katere koli točke, ki leži na premici L, in ne koordinate katere koli točke, ki ne leži na tej premici.

Primeri enačb premic na ravnini.

1) Razmislite o ravni črti, vzporedni z osjo Oy pravokotnega koordinatnega sistema (slika 2.1). Označimo s črko A presečišče te premice z osjo Ox, (a; o) ─ njeno oz.

Dynati. Enačba x = a je enačba dane premice. Tej enačbi dejansko zadostijo koordinate katere koli točke M(a; y) te premice in ne koordinate katere koli točke, ki ne leži na premici. Če je a = 0, potem premica sovpada z osjo Oy, ki ima enačbo x = 0.

2) Enačba x - y \u003d 0 določa množico točk v ravnini, ki sestavljajo simetrale koordinatnih kotov I in III.

3) Enačba x 2 - y 2 \u003d 0 je enačba dveh simetral koordinatnih kotov.

4) Enačba x 2 + y 2 = 0 določa eno samo točko O(0;0) na ravnini.

5) Enačba x 2 + y 2 \u003d 25 je enačba kroga s polmerom 5 s središčem v izhodišču.

Zdravo,

Uporabljen PHP:

S spoštovanjem, Alexander.

Zdravo,

Že kar nekaj časa se ubadam s problemom: poskušam izračunati razdaljo med dvema poljubnima točkama, ki sta med seboj oddaljeni od 30 do 1500 metrov.

Uporabljen PHP:

$cx=31,319738; //x koordinata prve točke
$cy=60,901638; //y koordinata prve točke

$x=31,333312; //x-koordinata druge točke
$y=60,933981; //y-koordinata druge točke

$mx=abs($cx-$x); //izračunajte razliko x-ov (prvi krak pravokotni trikotnik), funkcija abs(x) - vrne modul števila x x
$my=abs($cy-$y); //izračunajte razliko med igralci (drugi krak pravokotnega trikotnika)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Dobite razdaljo do metroja (dolžina hipotenuze, po pravilu je hipotenuza enaka korenu vsote kvadratov nog)

Če ni jasno, pojasnim: predstavljam si, da je razdalja med dvema točkama hipotenuza pravokotnega trikotnika. Potem bo razlika med x-ji vsake od obeh točk ena od nog, druga noga pa razlika med y-ji istih dveh točk. Potem, ko izračunate razliko med x in y, lahko uporabite formulo za izračun dolžine hipotenuze (tj. razdalje med dvema točkama).

Vem, da to pravilo dobro deluje za kartezične koordinate, vendar bi moralo bolj ali manj delovati tudi z longlat koordinatami. izmerjena razdalja med dvema točkama je zanemarljiva (od 30 do 1500 metrov).

Vendar je razdalja po tem algoritmu napačno izračunana (na primer razdalja1, izračunana s tem algoritmom, presega razdaljo2 le za 13 %, medtem ko je v resnici razdalja1 1450 metrov, razdalja2 pa 970 metrov, kar pomeni, da dejansko razlika doseže skoraj 50 %).

Če lahko kdo pomaga, bi bil zelo hvaležen.

S spoštovanjem, Alexander.

","contentType":"text/html"),"proposedBody":("source":"

Zdravo,

Že kar nekaj časa se ubadam s problemom: poskušam izračunati razdaljo med dvema poljubnima točkama, ki sta med seboj oddaljeni od 30 do 1500 metrov.

Uporabljen PHP:

$cx=31,319738; //x koordinata prve točke
$cy=60,901638; //y koordinata prve točke

$x=31,333312; //x-koordinata druge točke
$y=60,933981; //y-koordinata druge točke

$mx=abs($cx-$x); //izračunajte razliko x (prvi krak pravokotnega trikotnika), funkcija abs(x) - vrne modul x x
$my=abs($cy-$y); //izračunajte razliko med igralci (drugi krak pravokotnega trikotnika)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Dobite razdaljo do metroja (dolžina hipotenuze, po pravilu je hipotenuza enaka korenu vsote kvadratov nog)

Če ni jasno, pojasnim: predstavljam si, da je razdalja med dvema točkama hipotenuza pravokotnega trikotnika. Potem bo razlika med x-ji vsake od obeh točk ena od nog, druga noga pa razlika med y-ji istih dveh točk. Potem, ko izračunate razliko med x in y, lahko uporabite formulo za izračun dolžine hipotenuze (tj. razdalje med dvema točkama).

Vem, da to pravilo dobro deluje za kartezične koordinate, vendar bi moralo bolj ali manj delovati tudi z longlat koordinatami. izmerjena razdalja med dvema točkama je zanemarljiva (od 30 do 1500 metrov).

Vendar je razdalja po tem algoritmu napačno izračunana (na primer razdalja1, izračunana s tem algoritmom, presega razdaljo2 le za 13 %, medtem ko je v resnici razdalja1 1450 metrov, razdalja2 pa 970 metrov, kar pomeni, da dejansko razlika doseže skoraj 50 %).

Če lahko kdo pomaga, bi bil zelo hvaležen.

S spoštovanjem, Alexander.

Zdravo,

Že kar nekaj časa se ubadam s problemom: poskušam izračunati razdaljo med dvema poljubnima točkama, ki sta med seboj oddaljeni od 30 do 1500 metrov.

Uporabljen PHP:

$cx=31,319738; //x koordinata prve točke
$cy=60,901638; //y koordinata prve točke

$x=31,333312; //x-koordinata druge točke
$y=60,933981; //y-koordinata druge točke

$mx=abs($cx-$x); //izračunajte razliko x (prvi krak pravokotnega trikotnika), funkcija abs(x) - vrne modul x x
$my=abs($cy-$y); //izračunajte razliko med igralci (drugi krak pravokotnega trikotnika)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Dobite razdaljo do metroja (dolžina hipotenuze, po pravilu je hipotenuza enaka korenu vsote kvadratov nog)

Če ni jasno, pojasnim: predstavljam si, da je razdalja med dvema točkama hipotenuza pravokotnega trikotnika. Potem bo razlika med x-ji vsake od obeh točk ena od nog, druga noga pa razlika med y-ji istih dveh točk. Potem, ko izračunate razliko med x in y, lahko uporabite formulo za izračun dolžine hipotenuze (tj. razdalje med dvema točkama).

Vem, da to pravilo dobro deluje za kartezične koordinate, vendar bi moralo bolj ali manj delovati tudi z longlat koordinatami. izmerjena razdalja med dvema točkama je zanemarljiva (od 30 do 1500 metrov).

Vendar je razdalja po tem algoritmu napačno izračunana (na primer razdalja1, izračunana s tem algoritmom, presega razdaljo2 le za 13 %, medtem ko je v resnici razdalja1 1450 metrov, razdalja2 pa 970 metrov, kar pomeni, da dejansko razlika doseže skoraj 50 %).

Če lahko kdo pomaga, bi bil zelo hvaležen.

S spoštovanjem, Alexander.

","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish" :false,"viewType":"old","isDraft":false,"isOnModeration":false,"isSubscriber":false,"commentsCount":14,"modificationDate":"Sre, 27. junij 2012, 20:07:00 GMT +0000 (Univerzalni koordinirani čas)","showPreview":true,"approvedPreview":("source":"

Zdravo,

Že kar nekaj časa se ubadam s problemom: poskušam izračunati razdaljo med dvema poljubnima točkama, ki sta med seboj oddaljeni od 30 do 1500 metrov.

Uporabljen PHP:

$cx=31,319738; //x koordinata prve točke
$cy=60,901638; //y koordinata prve točke

$x=31,333312; //x-koordinata druge točke
$y=60,933981; //y-koordinata druge točke

$mx=abs($cx-$x); //izračunajte razliko x (prvi krak pravokotnega trikotnika), funkcija abs(x) - vrne modul x x
$my=abs($cy-$y); //izračunajte razliko med igralci (drugi krak pravokotnega trikotnika)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Dobite razdaljo do metroja (dolžina hipotenuze, po pravilu je hipotenuza enaka korenu vsote kvadratov nog)

Če ni jasno, pojasnim: predstavljam si, da je razdalja med dvema točkama hipotenuza pravokotnega trikotnika. Potem bo razlika med x-ji vsake od obeh točk ena od nog, druga noga pa razlika med y-ji istih dveh točk. Potem, ko izračunate razliko med x in y, lahko uporabite formulo za izračun dolžine hipotenuze (tj. razdalje med dvema točkama).

Vem, da to pravilo dobro deluje za kartezične koordinate, vendar bi moralo bolj ali manj delovati tudi z longlat koordinatami. izmerjena razdalja med dvema točkama je zanemarljiva (od 30 do 1500 metrov).

Vendar je razdalja po tem algoritmu napačno izračunana (na primer razdalja1, izračunana s tem algoritmom, presega razdaljo2 le za 13 %, medtem ko je v resnici razdalja1 1450 metrov, razdalja2 pa 970 metrov, kar pomeni, da dejansko razlika doseže skoraj 50 %).

Če lahko kdo pomaga, bi bil zelo hvaležen.

S spoštovanjem, Alexander.

","html":"Pozdravljeni","contentType":"text/html"),"proposedPreview":("source":"

Zdravo,

Že kar nekaj časa se ubadam s problemom: poskušam izračunati razdaljo med dvema poljubnima točkama, ki sta med seboj oddaljeni od 30 do 1500 metrov.

Uporabljen PHP:

$cx=31,319738; //x koordinata prve točke
$cy=60,901638; //y koordinata prve točke

$x=31,333312; //x-koordinata druge točke
$y=60,933981; //y-koordinata druge točke

$mx=abs($cx-$x); //izračunajte razliko x (prvi krak pravokotnega trikotnika), funkcija abs(x) - vrne modul x x
$my=abs($cy-$y); //izračunajte razliko med igralci (drugi krak pravokotnega trikotnika)

$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Dobite razdaljo do metroja (dolžina hipotenuze, po pravilu je hipotenuza enaka korenu vsote kvadratov nog)

Če ni jasno, pojasnim: predstavljam si, da je razdalja med dvema točkama hipotenuza pravokotnega trikotnika. Potem bo razlika med x-ji vsake od obeh točk ena od nog, druga noga pa razlika med y-ji istih dveh točk. Potem, ko izračunate razliko med x in y, lahko uporabite formulo za izračun dolžine hipotenuze (tj. razdalje med dvema točkama).

Vem, da to pravilo dobro deluje za kartezične koordinate, vendar bi moralo bolj ali manj delovati tudi z longlat koordinatami. izmerjena razdalja med dvema točkama je zanemarljiva (od 30 do 1500 metrov).

Vendar je razdalja po tem algoritmu napačno izračunana (na primer razdalja1, izračunana s tem algoritmom, presega razdaljo2 le za 13 %, medtem ko je v resnici razdalja1 1450 metrov, razdalja2 pa 970 metrov, kar pomeni, da dejansko razlika doseže skoraj 50 %).

Če lahko kdo pomaga, bi bil zelo hvaležen.

S spoštovanjem, Alexander.

","html":"Pozdravljeni,","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"tags":[("displayName":"merjenje razdalje","slug":"izmerenie- rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog/mapsapi??tag=izmerenie-rasstoyaniy"),("displayName":"API 1.x","slug":"api-1 -x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi??tag=api-1-x")],"isModerator":false,"publishCount":1,"commentsEnabled": true,"url":"/blog/mapsapi/15001","urlTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%","fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi","addCommentUrl ":"/blog/createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCommentWithCaptcha":"/blog/createWithCaptcha/mapsapi/15001","changeCaptchaUrl":"/blog /api/captcha/new","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlSlug":" /blog/post/generateSlug","urlPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/unpublish","urlRemovePost":"/blog/ 56a98d48b15b79e31e0d54c8/removePost","urlDraft":"/blog/mapsapi/15001/draft","urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft","urlRemoveDraft":"/blog/56a98d48b15b79e31e0dgurestlTagSu", " ":"/blog/api/suggest/mapsapi","urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8","unsubscribeUrl" :" /blog/api/unsubscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8","urlEditPostPage":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post/translate","urlRelateIssue":"/blog/post/ updateIssue ,"urlUpdateTranslate":"/blog/post/updateTranslate","urlLoadTranslate":"/blog/post/loadTranslate","urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo","urlRelatedArticles":"/ blog/ api/relatedArticles/mapsapi/15001","author":("id":"108613929","uid":("value":"108613929","lite":false,"hosted":false), "vzdevki ":(),"prijava":"mrdds","display_name":("name":"mrdds","avatar":("default":"0/0-0","empty":true )) ,"naslov":" [e-pošta zaščitena]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff": false),"originalModificationDate":"2012-06-27T16:07:49.000Z","socialImage":("orig":("fullPath":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs /47421/datoteka_1456488726678/orig")))))))">

Predavanje: Formula razdalje med dvema točkama; sferna enačba

Razdalja med dvema točkama

Za iskanje razdalje med dvema točkama na premici v prejšnjem vprašanju smo uporabili formulo d = x 2 - x 1.

Kar se letala tiče, pa je drugače. Ni dovolj le najti razliko koordinat. Za iskanje razdalje med točkami po njihovih koordinatah uporabite naslednjo formulo:

Na primer, če imate dve točki z nekaj koordinatami, potem lahko najdete razdaljo med njima na naslednji način:

A (4; -1), B (-4; 6):

AB \u003d ((4 + 4) 2 + (-1 - 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

To pomeni, da je za izračun razdalje med dvema točkama na ravnini potrebno najti koren vsote kvadratov koordinatnih razlik.

Če morate najti razdaljo med dvema točkama na ravnini, uporabite podobno formulo z dodatno koordinato:

Enačba sfere

Če želite kroglo postaviti v vesolje, morate poznati koordinate njenega središča in njen polmer, da lahko uporabite naslednjo formulo:

Ta enačba ustreza krogli, katere središče je v izhodišču.

Če se središče krogle premakne za določeno število enot vzdolž osi, je treba uporabiti naslednjo formulo.

Razdalja od točke do točke je dolžina segmenta, ki povezuje te točke, v danem merilu. Torej, ko pogovarjamo se merjenje razdalje, morate poznati merilo (dolžinsko enoto), v katerem bodo meritve opravljene. Zato se problem iskanja razdalje od točke do točke običajno obravnava bodisi na koordinatni črti bodisi v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu na ravnini ali v tridimenzionalnem prostoru. Z drugimi besedami, najpogosteje morate izračunati razdaljo med točkami po njihovih koordinatah.

V tem članku se najprej spomnimo, kako se določi razdalja od točke do točke na koordinatni črti. Nato dobimo formule za izračun razdalje med dvema točkama ravnine ali prostora glede na dane koordinate. Na koncu podrobno razmislimo o rešitvah tipičnih primerov in problemov.

Navigacija po straneh.

Razdalja med dvema točkama na koordinatni premici.

Najprej definirajmo zapis. Razdalja od točke A do točke B bo označena kot .

Iz tega lahko sklepamo, da razdalja od točke A s koordinato do točke B s koordinato je enaka modulu razlike koordinat, to je za poljubno razporeditev točk na koordinatni premici.

Razdalja od točke do točke na ravnini, formula.

Dobimo formulo za izračun razdalje med točkami in podano v pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu na ravnini.

Glede na lokacijo točk A in B so možne naslednje možnosti.

Če točki A in B sovpadata, je razdalja med njima enaka nič.

Če točki A in B ležita na premici, pravokotni na os x, potem točki in sovpadata, razdalja pa je enaka razdalji. V prejšnjem odstavku smo ugotovili, da je razdalja med točkama na koordinatni premici enaka modulu razlike njunih koordinat, torej . Posledično,.

Podobno, če točki A in B ležita na ravni črti, pravokotni na os y, potem je razdalja od točke A do točke B določena kot .

V tem primeru je trikotnik ABC pravokoten po konstrukciji in in . Avtor: pitagorov izrek lahko zapišemo enakost , od koder .

Povzemimo vse rezultate: razdaljo od točke do točke na ravnini najdemo preko koordinat točk po formuli .

Nastala formula za iskanje razdalje med točkama se lahko uporabi, ko točki A in B sovpadata ali ležita na ravni črti, pravokotni na eno od koordinatnih osi. Dejansko, če sta A in B enaka, potem . Če točki A in B ležita na premici, pravokotni na os Ox, potem . Če A in B ležita na premici, pravokotni na os Oy, potem .

Razdalja med točkami v prostoru, formula.

Predstavimo pravokotni koordinatni sistem Оxyz v prostoru. Dobite formulo za iskanje razdalje od točke do točke .

Na splošno velja, da točki A in B ne ležita v ravnini, ki je vzporedna z eno od koordinatnih ravnin. Narišimo točki A in B v ravnini pravokotno na koordinatne osi Ox, Oy in Oz. Presečišča teh ravnin s koordinatnimi osemi nam bodo dale projekcije točk A in B na ti osi. Označite projekcije .

Želena razdalja med točkama A in B je diagonala kvader prikazano na sliki. Po konstrukciji so dimenzije tega paralelopipeda in . V srednješolskem tečaju geometrije je bilo dokazano, da je kvadrat diagonale pravokotnega paralelepipeda enak vsoti kvadratov njegovih treh dimenzij, torej,. Na podlagi informacij iz prvega razdelka tega članka lahko zapišemo naslednje enakosti, torej

kam pridemo formula za iskanje razdalje med točkami v prostoru .

Ta formula velja tudi, če točki A in B

• tekma;
• pripadajo eni od koordinatnih osi ali premici, ki je vzporedna z eno od koordinatnih osi;
• pripadajo eni od koordinatnih ravnin ali ravnini, ki je vzporedna z eno od koordinatnih ravnin.

Iskanje razdalje od točke do točke, primeri in rešitve.

Tako smo dobili formule za iskanje razdalje med dvema točkama koordinatne črte, ravnine in tridimenzionalnega prostora. Čas je, da razmislimo o rešitvah tipičnih primerov.

Število problemov, pri katerih je zadnji korak iskanje razdalje med dvema točkama glede na njune koordinate, je res ogromno. Popoln pregled takih primerov presega obseg tega članka. Tu se omejimo na primere, v katerih sta znani koordinati dveh točk in je treba izračunati razdaljo med njima.