Prosti trapez. Pravokotni trapez: vse formule in primeri nalog Kako rešiti trapez

Da bi razumeli, kako rešiti težave s trapezom, si je koristno zapomniti tri osnovne rešitve.

I. Nariši dve višini.

Ia. Štirikotnik BCKF je pravokotnik (saj so vsi njegovi koti pravi). Zato je FK=BC.

AD=AF+FK+KD, torej AD=AF+BC+KD.

Trikotnika ABF in DCK sta pravokotna trikotnika.

(Upoštevati je treba še eno možnost:

Ib.

V tem primeru AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)

Ic.Če je trapez enakokrak, je rešitev problema poenostavljena:

V tem primeru sta pravokotna trikotnika ABF in DCK enaka na primer vzdolž kraka in hipotenuze (AB=CD po pogoju, BF=CK kot nadmorska višina trapeza). Iz enakosti trikotnikov sledi, da so pripadajoče stranice enake:

AF=KD=(AD-FK):2=(AD-BC):2.

II. Narišite ravno črto, vzporedno s stranjo.

IIa. BM∥ CD. Ker je BC∥ AD (kot osnove trapeza), je BCDM paralelogram. Zato je MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.

IIb. Zlasti za enakokraki trapez

BM∥ CD. Ker je CD=AB, potem je BM=AB. To pomeni, da dobimo enakokraki trikotnik ABM in paralelogram BCDM.

III. Nadaljujte stranice in dobite trikotnik.

Premici AB in CD se sekata v točki P.

Trikotnika APD in BPC sta si podobna v dveh kotih (kot P je skupen, ∠ PAD= ∠ PBC kot ustreza BC∥ AD in sekanti AP).

Zato so njihove stranice sorazmerne:

Ti trije pristopi k reševanju problemov trapeza so glavni. Poleg teh obstaja še veliko drugih načinov. Nekateri so pregledani na tem mestu. Na primer, kako rešiti probleme s trapezom, katerega diagonale so pravokotne.

Težave s trapezom se ne zdijo težke v številnih oblikah, ki so bile predhodno preučene. Pravokotni trapez se obravnava kot poseben primer. In ko iščete njegovo območje, ga je včasih bolj priročno razdeliti na dva že znana: pravokotnik in trikotnik. Samo malo morate razmisliti, pa boste zagotovo našli rešitev.

Definicija pravokotnega trapeza in njegove lastnosti

Poljubni trapez ima vzporedne osnove, stranice pa imajo lahko poljubne kote. Če upoštevamo pravokotni trapez, potem je ena od njegovih strani vedno pravokotna na osnove. To pomeni, da bosta dva kota v njem enaka 90 stopinj. Poleg tega vedno pripadajo sosednjim vozliščem ali, z drugimi besedami, isti strani.

Ostali koti v pravokotnem trapezu so vedno ostri in topi. Poleg tega bo njihova vsota vedno enaka 180 stopinj.

Vsaka diagonala tvori s svojo manjšo stranico pravokoten trikotnik. In višina, ki je narisana iz vrha s topim kotom, deli lik na dvoje. Eden od njih je pravokotnik, drugi pa je pravokotni trikotnik. Mimogrede, ta stran je vedno enaka višini trapeza.

Kateri zapisi so uporabljeni v predstavljenih formulah?

Primerno je takoj določiti vse količine, ki se uporabljajo v različnih izrazih, ki opisujejo trapez, in jih predstaviti v tabeli:

Formule, ki opisujejo elemente pravokotnega trapeza

Najenostavnejši od njih se nanaša na višino in manjšo stran:

Še nekaj formul za to stranico pravokotnega trapeza:

с = d *sinα;

c = (a - b) * tan α;

c = √ (d 2 - (a - b) 2).

Prva izhaja iz pravokotnega trikotnika. In pravi, da daje krak hipotenuzi sinus nasprotnega kota.

V istem trikotniku je drugi krak enak razliki obeh osnov. Zato velja trditev, da enači tangens kota z razmerjem krakov.

Iz istega trikotnika je mogoče izpeljati formulo, ki temelji na poznavanju Pitagorovega izreka. To je tretji zabeležen izraz.

Za drugo stran lahko zapišete formule. Med njimi so tudi trije:

d = (a - b) /cosα;

d = c / sin α;

d = √ (c 2 + (a - b) 2).

Prva dva ponovno dobimo iz razmerja stranic v istem pravokotnem trikotniku, drugega pa izpeljemo iz Pitagorovega izreka.

Katero formulo lahko uporabiš za izračun površine?

Podan za prosti trapez. Upoštevati morate le, da je višina stranica, ki je pravokotna na osnove.

S = (a + b) * h / 2.

Te količine niso vedno podane izrecno. Zato boste za izračun površine pravokotnega trapeza morali izvesti nekaj matematičnih izračunov.

Kaj pa, če morate izračunati diagonale?

V tem primeru morate videti, da tvorita dva pravokotna trikotnika. To pomeni, da lahko vedno uporabite Pitagorov izrek. Potem bo prva diagonala izražena na naslednji način:

d1 = √ (c 2 + b 2)

ali na drug način, z zamenjavo "c" s "h":

d1 = √ (h 2 + b 2).

Formule za drugo diagonalo dobimo na podoben način:

d2 = √ (c 2 + b 2) ali d 2 = √ (h 2 + a 2).

Naloga št. 1

Pogoj. Območje pravokotnega trapeza je znano in je enako 120 dm 2. Njegova višina je 8 cm. Izračunati je treba vse stranice trapeza. Dodaten pogoj je, da je ena osnova za 6 dm manjša od druge.

rešitev. Ker nam je dan pravokoten trapez, pri katerem je višina znana, lahko takoj rečemo, da je ena od stranic 8 dm, torej manjša stranica.

Zdaj lahko preštejete drugega: d = √ (c 2 + (a - b) 2). Poleg tega sta tukaj podani tako stranica c kot razlika baz. Slednja je enaka 6 dm, to je znano iz pogoja. Potem bo d enak kvadratnemu korenu iz (64 + 36), to je iz 100. Tako se najde druga stranica, enaka 10 dm.

Vsoto osnov je mogoče najti iz formule za ploščino. Enako bo dvakratni površini, deljeni z višino. Če preštejete, se izkaže 240 / 8. To pomeni, da je vsota osnov 30 dm. Po drugi strani pa je njuna razlika 6 dm. Če združite te enačbe, lahko preštejete obe bazi:

a + b = 30 in a - b = 6.

A lahko izrazite kot (b + 6), nadomestite ga v prvo enakost. Potem se izkaže, da bo 2b enako 24. Zato se bo enostavno izkazalo, da je b 12 dm.

Potem je zadnja stranica a 18 dm.

Odgovori. Stranice pravokotnega trapeza: a = 18 dm, b = 12 dm, c = 8 dm, d = 10 dm.

Naloga št. 2

Pogoj. Podan je pravokoten trapez. Njegova glavna stranica je enaka vsoti osnov. Njegova višina je dolga 12 cm, sestavljen je pravokotnik, katerega stranice so enake osnovam trapeza. Potrebno je izračunati površino tega pravokotnika.

rešitev. Začeti morate s tem, kar iščete. Zahtevana površina je določena kot produkt a in b. Obe količini nista znani.

Potrebno bo uporabiti dodatne enakosti. Eden od njih temelji na trditvi iz pogoja: d = a + b. Za to stran je treba uporabiti tretjo formulo, ki je navedena zgoraj. Izkazalo se je: d 2 = c 2 + (a - b) 2 ali (a + b) 2 = c 2 + (a - b) 2.

Treba je narediti transformacije tako, da namesto c nadomestimo njegovo vrednost iz pogoja - 12. Po odprtju oklepajev in podobnih izrazih se izkaže, da je 144 = 4 ab.

Na začetku rešitve je bilo rečeno, da a*b daje zahtevano površino. Zato lahko v zadnjem izrazu ta produkt zamenjate s S. Preprost izračun bo dal vrednost površine. S = 36 cm 2.

Odgovori. Zahtevana površina je 36 cm 2.

Naloga št. 3

Pogoj. Ploščina pravokotnega trapeza je 150√3 cm². Ostri kot je 60 stopinj. Enak pomen ima kot med majhno osnovo in manjšo diagonalo. Izračunati moramo manjšo diagonalo.

rešitev. Iz lastnosti kotov trapeza se izkaže, da je njegov tupi kot 120º. Nato ga diagonala razdeli na enake dele, ker ima en del že 60 stopinj. Potem je tudi kot med to diagonalo in drugo osnovo 60 stopinj. To pomeni, da je nastal trikotnik velika baza, nagnjena stranica in manjša diagonala, je enakostranična. Tako bo želena diagonala enaka a, prav tako stranska stranica d = a.

Zdaj moramo razmisliti o pravokotnem trikotniku. Tretji kot v njem je 30 stopinj. To pomeni, da je nasprotna noga enaka polovici hipotenuze. To pomeni, da je manjša osnova trapeza enaka polovici želene diagonale: b = a/2. Iz nje morate najti višino, ki je enaka strani, ki je pravokotna na osnove. Stran z nogo tukaj. Iz Pitagorovega izreka:

c = (a/2) * √3.

Zdaj vse, kar ostane, je, da nadomestimo vse količine v formulo površine:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Rešitev te enačbe daje koren 20

Odgovori. Manjša diagonala ima dolžino 20 cm.

Za vse diplomante, ki se pripravljajo na enotni državni izpit iz matematike, bo koristno osvežiti spomin na temo "Prosti trapez". Kot je pokazala dolgoletna praksa, planimetrični problemi iz tega oddelka mnogim srednješolcem povzročajo določene težave. Hkrati je reševanje problemov enotnega državnega izpita na temo "Prosti trapez" potrebno pri opravljanju osnovne in profilne ravni certifikacijskega preizkusa. Zato bi morali biti takšnim vajam kos vsi diplomanti.

Kako se pripraviti na izpit?

Večino planimetričnih problemov rešujejo klasične konstrukcije. Če morate v nalogi enotnega državnega izpita najti na primer območje trapeza, prikazanega na sliki, je vredno označiti vse znane parametre na risbi. Po tem se spomnite glavnih izrekov, povezanih z njimi. Z njihovo uporabo boste lahko našli pravilen odgovor.

Da bo vaša priprava na izpit resnično učinkovita, se obrnite na izobraževalni portal Shkolkovo. Tukaj boste našli vse osnovno gradivo o temah »Prosti trapez ali ki vam bo pomagalo uspešno opraviti enotni državni izpit. Glavne lastnosti slike, formule in izreki so zbrani v razdelku »Teoretične informacije«.

Diplomanti bodo lahko svoje veščine reševanja nalog izpopolnjevali tudi na našem matematičnem portalu. Poglavje »Katalog« predstavlja velik izbor ustreznih vaj različnih težavnostnih stopenj. Naši strokovnjaki redno posodabljajo in dopolnjujejo seznam nalog.

Študenti iz Moskve in drugih mest lahko dosledno izvajajo vaje na spletu. Po potrebi lahko katero koli nalogo shranite v razdelek »Priljubljene« in jo pozneje vrnete za razpravo z učiteljem.

Trapez- štirikotnik, katerega strani sta vzporedni. Vzporedne stranice so osnovo, nevzporedne stranice so stranice.

Obstaja več glavnih vrst: ukrivljeni, enakokraki, poljubni, pravokotni. Izračun površine trapeza po formuli se razlikuje glede na določeno vrsto geometrijske figure.

Kaj je trapez: vrste in razlike

Skupaj so štiri vrste, ki se razlikujejo ne le po variabilnosti kotov, temveč tudi po možni prisotnosti ukrivljenih segmentov.

Območje poljubnega trapeza

Variabilnost pri izračunu površine poljubnega trapeza je majhna. Lahko se izračuna glede na dane osnovne dimenzije in višino; preštejte označene štiri strani figure; reši primer ob poznavanju dolžine srednjice in višine; vzdolž navedenih diagonal in kota med njimi; izračunaj skozi osnove in dva kota.

Osnovna formula za izračun te metode:


Kjer sta a in b vzporedni stranici, h pa je višina štirikotnika.

Primer naloge: Dana stanovanje geometrijski lik, katerega vzporedni stranici ustrezata dolžinama 12 in 20 cm, višina pa 10 cm Kako najti ploščino?

rešitev: Veljavna rešitev po zgornji formuli S = (a + b)/2 x h: S = (12 + 20)/2 x 10 = 160 cm².

Če poznate dolžino srednje črte in višino ravne figure, lahko vedno najdete območje trapeza tako, da dobesedno izvedete eno dejanje:

Kjer je h višina štirikotnika, m pa sredinska črta (ravna črta, ki povezuje središča stranic).

Primer rešitve problema: Podan je trapez, v katerem je dolžina srednje črte 28 cm in višina figure 19 cm. Kakšna je ploščina ravnega štirikotnika?

rešitev: S formulo S = hm nadomestimo digitalne vrednosti iz pogojev problema namesto črk. Dobimo S = 28 x 19 = 532 cm².

Ta metoda ni tako preprosta kot prejšnje. Tukaj so osnovni izreki geometrije vzeti kot osnova, zato je načelo izračuna površine trapeza naslednje:

Pri čemer so a, b, c, d štiri stranice figure, stran b pa mora biti nujno daljša od a.

Primer izračuna: Podane so stranice - a = 2 cm, b = 4 cm, c = 8 cm, d = 7 cm Kako najti površino trapeza?

Izračun:

Območje trapeza lahko izračunate tudi tako, da poznate dimenzije obeh diagonal in kot med njima.


Oznake: d₁ in d₂ sta prva in druga diagonala, α je kot med diagonalama.

primer: Izračunajte površino figure za naslednje znane vrednosti - d₁ = 17 cm, d₂ = 25 cm, α = 35⁰.

Prava odločitev: S = ½ x 17 x 25 x sin35 = 212,5 x 0,57 = 121,125 cm².

Druga možnost izračuna, ki temelji na izračunu površine trapeza z uporabo dolžin dveh baz in dveh kotov.

Pomeni črk: b, a – dolžine osnov, α in β – kota.

rešitev:

Video za usposabljanje

Odlična pomoč pri učenju osnovnih vrst izračunavanja površin so videoposnetki z dostopnim, razumljivim jezikom, podrobnimi razlagami in primeri reševanja nalog.

Video "Trapez: reševanje problemov"

Video za začetnike - jasno predstavljene informacije, ki vsebujejo osnovne formule za izračun površine trapeza.

Video "Območje trapeza"

Video vsebuje najbolj popolne informacije o vrstah trapeza, pravilno črkovne oznake in možnosti reševanja različnih problemov z vsemi znanimi metodami in principi računanja.

Vse naštete formule in računske metode so široko uporabne pri študiju geometrije v šolah in na univerzah. Študentom, dijakom in kandidatom bodo posredovane informacije koristile kot spletna goljufalica v času intenzivnih priprav na izpite, testi, pisanje esejev, seminarskih nalog in podobnih del.