Ľubovoľný lichobežník. Obdĺžnikový lichobežník: všetky vzorce a príklady úloh Ako vyriešiť lichobežník

Aby sme pochopili, ako riešiť problémy s lichobežníkom, je užitočné zapamätať si tri hlavné spôsoby riešenia.

I. Držte dve výšky.

Ia. Štvoruholník BCKF je obdĺžnik (pretože má všetky pravé uhly). Preto FK=BC.

AD=AF+FK+KD, teda AD=AF+BC+KD.

Trojuholníky ABF a DCK sú pravouhlé trojuholníky.

(Na zváženie je aj iná možnosť:

Ib.

V tomto prípade AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)

ic. Ak je lichobežník rovnoramenný, riešenie problému je zjednodušené:

V tomto prípade sú pravouhlé trojuholníky ABF a DCK rovnaké, napríklad pozdĺž ramena a prepony (AB=CD podľa podmienky, BF=CK ako výšky lichobežníka). Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť zodpovedajúcich strán:

AF=KD=(AD-FK):2=(AD-BC):2.

II. Nakreslite rovnú čiaru rovnobežnú so stranou.

IIa. BM∥CD. Keďže BC∥ AD (ako základne lichobežníka), potom BCDM je rovnobežník. Preto MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.

IIb. Najmä pre rovnoramenný lichobežník

BM∥CD. Keďže CD=AB, tak BM=AB. To znamená, že dostaneme rovnoramenný trojuholník ABM a rovnobežník BCDM.

III. Pokračujte po stranách a získajte trojuholník.

Priamky AB a CD sa pretínajú v bode P.

Trojuholníky APD a BPC sú podobné v dvoch uhloch (uhol P je spoločný, ∠ PAD= ∠ PBC ako zodpovedá BC∥ AD a sečnovému AP).

Preto sú ich strany proporcionálne:

Tieto tri prístupy k riešeniu lichobežníkových problémov sú hlavné. Okrem nich existuje mnoho ďalších spôsobov. Niektoré sú recenzované na tejto stránke. Napríklad, ako riešiť úlohy s lichobežníkom, ktorého uhlopriečky sú kolmé.

Problémy s hrazdou sa nezdajú byť zložité v mnohých číslach, ktoré boli predtým študované. Za špeciálny prípad sa považuje pravouhlý lichobežník. A pri hľadaní jeho oblasti je niekedy vhodnejšie rozdeliť ho na dva už známe: obdĺžnik a trojuholník. Stačí sa trochu zamyslieť a určite sa nájde riešenie.

Definícia pravouhlého lichobežníka a jeho vlastnosti

Pre ľubovoľný lichobežník sú základne rovnobežné a strany môžu mať k nim ľubovoľný uhol. Ak sa uvažuje o pravouhlom lichobežníku, potom je jedna z jeho strán vždy kolmá na základne. To znamená, že dva uhly v ňom budú rovné 90 stupňom. Okrem toho vždy patria k susedným vrcholom alebo, inými slovami, k jednej bočnej strane.

Ostatné uhly v pravouhlom lichobežníku sú vždy ostré a tupé. Navyše ich súčet bude vždy rovný 180 stupňom.

Každá uhlopriečka tvorí pravouhlý trojuholník so svojou menšou bočnou stranou. A výška, ktorá je vytiahnutá z vrcholu s tupým uhlom, rozdeľuje postavu na dve časti. Jeden je obdĺžnik a druhý je správny trojuholník. Mimochodom, táto strana sa vždy rovná výške lichobežníka.

Aký zápis sa používa v prezentovaných vzorcoch?

Všetky množstvá použité v rôznych výrazoch, ktoré opisujú lichobežník, je vhodné okamžite špecifikovať a prezentovať v tabuľke:

Vzorce, ktoré opisujú prvky pravouhlého lichobežníka

Najjednoduchšie z nich spája výšku a menšiu stranu:

Niekoľko ďalších vzorcov pre túto stranu pravouhlého lichobežníka:

c = d*sinα;

c = (a - b) * tan a;

c \u003d √ (d 2 - (a - b) 2).

Prvý vyplýva z pravouhlého trojuholníka. A hovorí, že noha k prepone dáva sínus opačného uhla.

V tom istom trojuholníku sa druhá noha rovná rozdielu dvoch základní. Preto je pravdivé tvrdenie, ktoré sa rovná tangente uhla k pomeru nôh.

Z toho istého trojuholníka môžete odvodiť vzorec založený na znalosti Pytagorovej vety. Toto je tretí zaznamenaný výraz.

Môžete napísať vzorce pre druhú stranu. Existujú tiež tri z nich:

d = (a - b) /cosa;

d = c/sina;

d \u003d √ (c 2 + (a - b) 2).

Prvé dva sú opäť získané z pomeru strán v rovnakom pravouhlom trojuholníku a druhý je odvodený z Pytagorovej vety.

Aký vzorec možno použiť na výpočet plochy?

Ten, ktorý je daný pre ľubovoľný lichobežník. Len majte na pamäti, že výška je strana kolmá na základne.

S = (a + b) * h/2.

Tieto hodnoty nie sú vždy explicitne uvedené. Preto na výpočet plochy obdĺžnikového lichobežníka budete musieť vykonať nejaké matematické výpočty.

Čo ak potrebujete vypočítať uhlopriečky?

V tomto prípade musíte vidieť, že tvoria dva pravouhlé trojuholníky. Takže vždy môžete použiť Pytagorovu vetu. Potom bude prvá uhlopriečka vyjadrená takto:

d1 = √ (c 2 + b 2)

alebo iným spôsobom nahradením „c“ za „h“:

d1 = √ (h2 + b2).

Podobne sa získajú vzorce pre druhú uhlopriečku:

d2 = √ (c 2 + b 2) alebo d 2 \u003d √ (h 2 + a 2).

Úloha č.1

Podmienka. Plocha pravouhlého lichobežníka je známa a rovná sa 120 dm 2 . Jeho výška má dĺžku 8 dm. Je potrebné vypočítať všetky strany lichobežníka. Dodatočná podmienka je, že jedna základňa je menšia ako druhá o 6 dm.

Riešenie. Keďže je daný obdĺžnikový lichobežník, v ktorom je známa výška, môžeme hneď povedať, že jedna zo strán je 8 dm, teda menšia strana.

Teraz môžete počítať ďalšie: d \u003d √ (c 2 + (a - b) 2). A tu je okamžite daná strana c aj rozdiel základov. Ten sa rovná 6 dm, to je známe z podmienky. Potom sa d bude rovnať druhej odmocnine z (64 + 36), teda 100. Nájdeme teda ešte jednu stranu rovnajúcu sa 10 dm.

Súčet základov možno zistiť z plošného vzorca. Bude sa rovnať dvojnásobku plochy vydelenej výškou. Ak spočítate, vyjde vám to 240/8.Súčet základov je teda 30 dm. Na druhej strane ich rozdiel je 6 dm. Kombináciou týchto rovníc môžete vypočítať obe základy:

a + b = 30 a a - b = 6.

Môžete vyjadriť a ako (b + 6) dosadením do prvej rovnice. Potom sa ukáže, že 2b sa bude rovnať 24. Preto jednoducho b bude 12 dm.

Potom posledná strana a je 18 dm.

Odpoveď. Strany pravouhlého lichobežníka: a = 18 dm, b = 12 dm, c = 8 dm, d = 10 dm.

Úloha č. 2

Podmienka. Daný obdĺžnikový lichobežník. Jeho dlhá strana sa rovná súčtu základov. Jeho výška má dĺžku 12 cm.Je skonštruovaný obdĺžnik, ktorého strany sa rovnajú základniam lichobežníka. Musíte vypočítať plochu tohto obdĺžnika.

Riešenie. Musíte začať tým, čo hľadáte. Požadovaná plocha sa určí ako súčin a a b. Obe tieto množstvá nie sú známe.

Budete musieť použiť ďalšie rovnosti. Jedna z nich vychádza z výroku z podmienky: d = a + b. Pre túto stranu je potrebné použiť tretí vzorec, ktorý je uvedený vyššie. Ukazuje sa: d 2 \u003d c 2 + (a - b) 2 alebo (a + b) 2 \u003d c 2 + (a - b) 2.

Je potrebné vykonať transformácie dosadením namiesto jej hodnoty z podmienky - 12. Po otvorení zátvoriek a uvedení podobných pojmov sa ukáže, že 144 = 4 ab.

Na začiatku riešenia bolo povedané, že a * b dáva požadovanú plochu. Preto v poslednom výraze môžete tento produkt nahradiť S. Jednoduchým výpočtom získate hodnotu plochy. S \u003d 36 cm 2.

Odpoveď. Požadovaná plocha je 36 cm2.

Úloha č. 3

Podmienka. Plocha pravouhlého lichobežníka je 150√3 cm². Ostrý uhol je 60 stupňov. Uhol medzi malou základňou a menšou uhlopriečkou má rovnaký význam. Musíte vypočítať menšiu uhlopriečku.

Riešenie. Z vlastnosti uhlov lichobežníka sa ukazuje, že jeho tupý uhol je 120 °. Potom ju uhlopriečka rozdelí na rovnaké časti, pretože jedna jej časť má už 60 stupňov. Potom je uhol medzi touto uhlopriečkou a druhou základňou tiež 60 stupňov. To znamená, že sa vytvoril trojuholník skvelý dôvod, šikmá strana a menšia uhlopriečka, je rovnostranná. Požadovaná uhlopriečka sa teda bude rovnať a, ako aj bočná strana d = a.

Teraz musíme zvážiť pravouhlý trojuholník. Tretí uhol je 30 stupňov. Noha oproti nej sa teda rovná polovici prepony. To znamená, že menšia základňa lichobežníka sa rovná polovici požadovanej uhlopriečky: b \u003d a / 2. Z toho musíte nájsť výšku rovnú strane, kolmú na základne. Strana s tu nohou. Z Pytagorovej vety:

c = (a/2) * √3.

Teraz zostáva len nahradiť všetky množstvá v plošnom vzorci:

150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.

Vyriešením tejto rovnice dostaneme koreň 20

Odpoveď. Menšia uhlopriečka má dĺžku 20 cm.

Všetkým maturantom, ktorí sa pripravujú na skúšku z matematiky, bude užitočné osviežiť si pamäť na tému „Ľubovoľný lichobežník“. Ako ukazuje dlhodobá prax, planimetrické úlohy z tejto časti spôsobujú mnohým stredoškolákom určité ťažkosti. Zároveň je potrebné riešiť úlohy USE na tému „Ľubovoľný lichobežník“ pri absolvovaní základnej aj profilovej úrovne certifikačného testu. Preto by takéto cvičenia mali zvládnuť všetci absolventi.

Ako sa pripraviť na skúšku?

Väčšina planimetrických úloh sa rieši klasickými konštrukciami. Ak je v úlohe USE potrebné nájsť napríklad oblasť lichobežníka znázornenú na obrázku, stojí za to poznamenať všetky známe parametre na výkrese. Potom si zapamätajte hlavné vety, ktoré s nimi súvisia. Ich použitím môžete nájsť správnu odpoveď.

Aby bola príprava na skúšku skutočne efektívna, navštívte vzdelávací portál Shkolkovo. Nájdete tu všetok základný materiál k témam „Voľný lichobežník alebo ktorý vám pomôže úspešne zvládnuť skúšku. Hlavné vlastnosti obrázku, vzorcov a teorémov sú zhromaždené v časti "Teoretický odkaz".

Svoje zručnosti v riešení problémov budú môcť absolventi „napumpovať“ aj na našom matematickom portáli. Sekcia "Katalóg" predstavuje veľký výber relevantných cvičení rôznych úrovní obtiažnosti. Zoznam úloh pravidelne aktualizujú a dopĺňajú naši špecialisti.

Študenti z Moskvy a iných miest môžu dôsledne vykonávať cvičenia online. V prípade potreby je možné ľubovoľnú úlohu uložiť do časti „Obľúbené“ a neskôr sa k nej vrátiť a prediskutovať s učiteľom.

HrazdaŠtvoruholník s dvoma rovnobežnými stranami. Paralelné strany sú základňou, nerovnobežné strany sú strany.

Existuje niekoľko hlavných typov: krivočiare, rovnoramenné, ľubovoľné, obdĺžnikové. Výpočty plochy lichobežníka podľa vzorca sa líšia v závislosti od konkrétneho typu geometrického útvaru.

Čo je lichobežník: typy a rozdiely

Celkovo existujú štyri typy, líšia sa nielen variabilitou uhlov, ale aj možnou prítomnosťou zakrivených segmentov.

Oblasť ľubovoľného lichobežníka

Variabilita výpočtu plochy ľubovoľného lichobežníka je malá. Dá sa vypočítať vzhľadom na dané rozmery základne a výšky; počítajte cez naznačené štyri strany obrázku; vyriešte príklad so znalosťou dĺžky strednej čiary a výšky; pozdĺž špecifikovaných uhlopriečok a uhla medzi nimi; vypočítajte cez základne a dva uhly.

Hlavný vzorec na výpočet tejto metódy:


Kde a a b sú rovnobežné strany a h je výška štvoruholníka.

Príklad úlohy: Dana je plochá geometrický obrazec, ktorej rovnobežné strany zodpovedajú dĺžke 12 a 20 cm a výška je 10 cm Ako zistiť plochu?

Riešenie: Prípustné riešenie podľa vyššie uvedeného vzorca S = (a + b)/2 x h: S = (12 + 20)/2 x 10 = 160 cm².

Keď poznáte dĺžku stredovej čiary a výšku plochej postavy, môžete vždy nájsť oblasť lichobežníka tak, že urobíte doslova jednu vec:

Kde h je výška štvoruholníka a m je stredná čiara (priama čiara spájajúca stredy strán).

Príklad riešenia problému: Daný lichobežník, v ktorom je dĺžka strednej čiary 28 cm a výška postavy 19 cm. Aká je plocha plochého štvoruholníka?

Riešenie: Pomocou vzorca S \u003d hm nahradíme namiesto písmen digitálne hodnoty zo stavu problému. Získame S \u003d 28 x 19 \u003d 532 cm².

Táto metóda nie je taká jednoduchá ako predchádzajúce. Tu sa za základ berú základné teorémy geometrie, a preto princíp výpočtu plochy lichobežníka je nasledujúci:

Kde a, b, c, d sú štyri strany obrázku a strana b musí byť nevyhnutne dlhšia ako a.

Príklad výpočtu: Strany sú dané - a \u003d 2 cm, b \u003d 4 cm, c \u003d 8 cm, d \u003d 7 cm. Ako nájsť oblasť lichobežníka?

Kalkulácia:

Plochu lichobežníka môžete vypočítať aj tak, že poznáte rozmery oboch uhlopriečok a uhol medzi nimi.


Označenia: d₁ a d₂ sú prvá a druhá uhlopriečka, α je uhol medzi uhlopriečkami.

Príklad: Vypočítajte plochu obrázku s nasledujúcimi známymi hodnotami - d₁ = 17 cm, d₂ = 25 cm, α = 35⁰.

Správne rozhodnutie: S \u003d ½ x 17 x 25 x sin35 \u003d 212,5 x 0,57 \u003d 121,125 cm².

Ďalšia možnosť výpočtu založená na výpočte plochy lichobežníka pomocou dĺžok dvoch základní a dvoch uhlov.

Význam písmen: b, a sú dĺžky základov, α a β sú uhly.

Riešenie:

Inštruktážne video

Skvelým pomocníkom pri učení základných typov výpočtov plôch sú videá s prístupným, jednoduchým jazykom prezentácie, podrobným vysvetlením a príkladmi riešenia problémov.

Video „Lichobežník: riešenie problémov“

Video pre začiatočníkov - zrozumiteľne prezentované informácie obsahujúce základné vzorce na výpočet plochy lichobežníka.

Video "Lichobežníkové námestie"

Video obsahuje najúplnejšie informácie o typoch lichobežníkov, správne písmenové označenia a možnosti riešenia rôznych problémov pomocou všetkých známych metód a princípov výpočtu.

Všetky vyššie uvedené vzorce a metódy výpočtu sú široko použiteľné počas štúdia geometrie na školách a univerzitách. Pre študentov, školákov a uchádzačov budú poskytnuté informácie užitočné ako online cheat sheet v období intenzívnej prípravy na skúšky, kontrolná práca, písanie esejí, semestrálnych prác a podobných prác.