Atrodiet sfēras apgabalu, kā izveidot jaunu tēmu. Sfēras laukums. Bumbiņas tilpums. Lodes un lodes pamatīpašības

Sfēra un bumba ir apļa un apļa analogi trīsdimensiju telpā. Ir vērts runāt par katru no šiem skaitļiem, izceļot līdzības un atšķirības, kā arī šiem skaitļiem raksturīgās formulas.

Lielākā daļa ģeometrisko konstrukciju tiek veidotas plaknē, bet vidusskolā viņi sāk pētīt trīsdimensiju figūras. Divdimensiju telpai ir tikai divas īpašības: garums un platums. Augstums tiek pievienots 3D reģionos. Matemātikā 6. klasē tiek pētītas individuālas 3D figūras.

Plaknē figūru raksturoja laukums un perimetrs. Trīsdimensiju objektos tiem tiek pievienots apjoms.

Rīsi. 1. Trīsdimensiju telpa.

Turklāt 3D formām ir vairākas specifiskas īpašības. Tos var šķērsot ar taisni un plakni, var būt sekanta plaknes, kas iegūst citu figūru formu.

3D formu izmantošana uzdevumu sastādīšanai tos ievērojami sarežģī, bet tajā pašā laikā padara tos daudz interesantākus. Mēs sniedzam bumbiņas un sfēras definīcijas, pēc kurām mēģināsim izcelt atšķirības starp šiem skaitļiem.

Bumba

Sfēra un sfēra ir apļa un apļa analogi plaknē. Bumba ir figūra, kas iegūta, pagriežot pusloku ap vienu punktu.

Bumbiņas virsmas laukums: $S=4pir^2$

Rādiuss ir līnijas segments, kas savieno lodes centru un jebkuru no tās virsmas punktiem.

Tilpuma formula sfērai$V=(4pir^3\over3)$

Tilpums parāda, cik daudz vietas aizņem figūra. Lai saprastu, kas ir apjoms, jums ir jāiedomājas doba figūra. Tad tilpums ir ūdens daudzums, ko var ielej šajā attēlā

Bumbu, tāpat kā jebkuru citu trīsdimensiju figūru, var sagriezt ar plakni. Bumbiņas šķērsplakne ir aplis, kura centru var atrast, nometot perpendikulu no lodītes centra uz apli.

Rīsi. 2. Bumbas sadaļa.

Sfēra ir figūra, kas ir punktu kopums telpā, kas atrodas vienādā attālumā no sfēras centra. Sfēra:

• Tam ir tādas pašas tilpuma un virsmas laukuma formulas kā sfērai.
• Sfēras griešanas plakne ir aplis
• Sekanta apļa centrs tiek atrasts tāpat kā lodītes gadījumā

Rīsi. 3. Sfēra.

Kāda ir atšķirība

Tad rodas jautājums, kāda ir atšķirība starp lodi un sfēru, izņemot definīciju? Fakts ir tāds, ka atšķirības starp lodi un sfēru ir daudz neskaidrākas nekā atšķirības starp apli un apli. Sfērai ir arī tilpums un virsmas laukums.

Varbūt, izņemot definīciju, atšķirība ir tajā, ka sfēras apjoms nekad nav atrodams problēmās. Parasti viņi meklē bumbas tilpumu. Tas nenozīmē, ka sfērai nav tilpuma. Šī ir trīsdimensiju figūra, tāpēc tai ir apjoms.

Analoģiju vienkārši uzzīmē ar apli, kuram nav laukuma. Tas nav noteikums, bet drīzāk tradīcija, kas jāatceras: ģeometrijā sfēras tilpuma formulēšana nav apsveicama.

Vēl viena atšķirība, ko var uzskatīt par vairāk vai mazāk nozīmīgu: sfēras griešanas plakne: aplis, kuram nav iekšējās telpas, bet ir garums. Sfēras šķērsplakne: aplis, kuram ir laukums un nav apkārtmēra. Tāpēc ir vērts būt uzmanīgiem problēmas formulējumā, lai šādu sīkumu dēļ nebūtu kļūdu.

Ko mēs esam iemācījušies?

Mēs uzzinājām, kas ir lode un bumba. Mēs runājām par to līdzībām un atšķirībām. Mēs uzzinājām, ka starp šiem skaitļiem gandrīz nav atšķirību. Mēs nolēmām, ka nav nepieciešams dot tādu formulējumu kā sfēras tilpums.

Tēmu viktorīna

Raksta vērtējums

Vidējais vērtējums: 4.7. Kopējais saņemto vērtējumu skaits: 105.

Definīcija.

Sfēra (bumbas virsma) ir visu trīsdimensiju telpas punktu kopums, kas atrodas vienādā attālumā no viena punkta, ko sauc sfēras centrs(O).

Sfēru var raksturot kā trīsdimensiju figūru, kas veidojas, pagriežot apli ap tās diametru par 180° vai pusloku ap diametru par 360°.

Definīcija.

Bumba ir visu trīsdimensiju telpas punktu kopums, no kuriem attālums nepārsniedz noteiktu attālumu līdz punktam, ko sauc bumbas centrs(O) (visu trīsdimensiju telpas punktu kopa, ko ierobežo sfēra).

Bumbiņu var raksturot kā trīsdimensiju figūru, kas veidojas, pagriežot apli ap tās diametru par 180° vai pusloku ap diametru par 360°.

Definīcija. Sfēras (bumbiņas) rādiuss(R) ir attālums no sfēras (bumbiņas) centra O uz jebkuru sfēras punktu (bumbiņas virsmu).

Definīcija. Sfēras (bumbiņas) diametrs(D) ir segments, kas savieno divus sfēras punktus (bumbiņas virsmu) un iet caur tās centru.

Formula. Bumbas tilpums:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formula. Sfēras virsmas laukums caur rādiusu vai diametru:

S = 4π R 2 = π D 2

Sfēras vienādojums

1. Lodes vienādojums ar rādiusu R un centru Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunktā:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Lodes ar rādiusu R un centru vienādojums punktā ar koordinātām (x 0 , y 0 , z 0) Dekarta koordinātu sistēmā:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definīcija. diametrāli pretēji punkti ir jebkuri divi punkti uz lodītes (sfēras) virsmas, kurus savieno diametrs.

Lodes un lodes pamatīpašības

1. Visi sfēras punkti atrodas vienādā attālumā no centra.

2. Jebkurš sfēras griezums pa plakni ir aplis.

3. Jebkurš sfēras griezums pa plakni ir aplis.

4. Sfērai ir lielākais tilpums starp visām telpiskajām figūrām ar vienādu virsmas laukumu.

5. Caur jebkuriem diviem diametrāli pretējiem punktiem var uzzīmēt daudz lielus apļus lodei vai apļus bumbiņai.

6. Caur jebkuriem diviem punktiem, izņemot diametrāli pretējos punktus, var novilkt tikai vienu lielu apli lodei vai lielais aplis par bumbu.

7. Jebkuri divi vienas lodes lielie apļi krustojas pa taisnu līniju, kas iet caur lodītes centru, un apļi krustojas divos diametrāli pretējos punktos.

8. Ja attālums starp jebkuru divu lodīšu centriem ir mazāks par to rādiusu summu un lielāks par to rādiusu starpības moduli, tad šādas lodītes krustojas, un krustojuma plaknē veidojas aplis.

Sfēras nogrieznis, horda, nosēšanās plakne un to īpašības

Definīcija. Sfēru sekants ir taisna līnija, kas krusto sfēru divos punktos. Krustošanās punktus sauc punkcijas punkti virsma vai ieejas un izejas punkti uz virsmas.

Definīcija. Lodes akords (bumba) ir segments, kas savieno divus lodes (bumbiņas virsmas) punktus.

Definīcija. griešanas plakne ir plakne, kas krusto sfēru.

Definīcija. Diametrālā plakne- šī ir šķērsplakne, kas iet caur sfēras vai lodītes centru, sekcija veido attiecīgi lielisks loks un lielais aplis. Lielajam aplim un lielajam aplim ir centrs, kas sakrīt ar sfēras (lodes) centru.

Jebkura horda, kas iet caur sfēras (bumbiņas) centru, ir diametrs.

Akords ir sekanta līnijas segments.

Attālums d no sfēras centra līdz sekantam vienmēr ir mazāks par sfēras rādiusu:

d< R

Attālums m starp griešanas plakni un sfēras centru vienmēr ir mazāks par rādiusu R:

m< R

Griešanas plaknes sadaļa uz sfēras vienmēr būs mazais aplis, un uz bumbas sadaļa būs mazs aplis. Mazam aplim un mazam aplim ir savi centri, kas nesakrīt ar sfēras (bumbiņas) centru. Šāda apļa rādiusu r var atrast pēc formulas:

r \u003d √ R 2 - m2,

Kur R ir sfēras (bumbiņas) rādiuss, m ir attālums no lodes centra līdz griešanas plaknei.

Definīcija. Puslode (puslode)- tā ir puse no sfēras (bumbiņas), kas veidojas, kad to sagriež diametrālā plakne.

Pieskares, pieskares plakne sfērai un to īpašības

Definīcija. Pieskares sfērai ir taisna līnija, kas skar sfēru tikai vienā punktā.

Definīcija. Pieskares plakne sfērai ir plakne, kas skar sfēru tikai vienā punktā.

Pieskares līnija (plakne) vienmēr ir perpendikulāra tās sfēras rādiusam, kas novilkta uz saskares punktu

Attālums no sfēras centra līdz pieskares līnijai (plaknei) ir vienāds ar sfēras rādiusu.

Definīcija. bumbas segments- šī ir bumbiņas daļa, kuru no bumbiņas nogriež griešanas plakne. Segmenta mugurkauls izsauciet apli, kas izveidojās sadaļas vietā. segmenta augstums h ir perpendikula garums, kas novilkts no segmenta pamatnes vidus līdz segmenta virsmai.

Formula. Sfēras segmenta ārējās virsmas laukums ar augstumu h sfēras rādiusa R izteiksmē:

S = 2π Rh

Daudzi no mums mīl spēlēt futbolu, vai vismaz gandrīz visi esam dzirdējuši par šo slaveno sporta spēli. Ikviens zina, ka futbolu spēlē ar bumbu.

Ja pajautā garāmgājējam, kādā formā ģeometriskā figūra ir bumba, tad daži cilvēki teiks, ka bumbiņas forma, un daži, ka sfēras forma. Tātad, kuram ir taisnība? Un kāda ir atšķirība starp sfēru un sfēru?

Svarīgs!

Bumba ir kosmosa ķermenis. Bumbas iekšpusē ir kaut kas piepildīts. Tāpēc sfēra var atrast apjomu.

Bumbiņas piemēri dzīvē: arbūzs un tērauda lode.

Bumbiņai un lodei, tāpat kā aplim un aplim, ir centrs, rādiuss un diametrs.

Svarīgs!

Sfēra ir sfēras virsma. Jūs varat atrast sfēras virsmas laukumu.

Dzīves sfēras piemēri: volejbols un galda tenisa bumba.

Kā atrast sfēras laukumu

Atcerieties!

Sfēras laukuma formula: S=4 π R 2

Lai atrastu sfēras laukumu, jums jāatceras, kas ir pakāpe. Zinot pakāpes definīciju, mēs varam uzrakstīt sfēras laukuma formulu šādi.
S=4 π R 2 \u003d 4π R R;

Nostiprināt iegūtās zināšanas un atrisināt problēmu sfēras laukumam.

Zubareva 6. klase. Numurs 692(a)

Uzdevums:

• Aprēķiniet sfēras laukumu, ja tās rādiuss ir 1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 m

Svarīgs!

Dārgie vecāki!

Galīgajā rādiusa aprēķinā nav nepieciešams piespiest bērnu aprēķināt kuba sakni. 6. klases skolēni vēl nav nokārtojuši un nezina sakņu definīciju matemātikā.

6. klasē, risinot šādu uzdevumu, izmanto uzskaites metodi.

Pajautājiet skolēnam, kāds skaitlis tiks iegūts, ja to reizina 3 reizes ar sevi.