Kako najti odvod ulomka. Izpeljanka funkcije. Podrobna teorija s primeri. Formula ulomka

Odločite se telesna opravila ali primeri v matematiki popolnoma nemogoče brez poznavanja odvoda in metod za njegov izračun. Odvod je eden najpomembnejših konceptov matematične analize. Odločili smo se, da današnji članek posvetimo tej temeljni temi. Kaj je odvod, kakšen je njegov fizikalni in geometrijski pomen, kako izračunati odvod funkcije? Vsa ta vprašanja je mogoče združiti v eno: kako razumeti izpeljanko?

Geometrični in fizikalni pomen izpeljanke

Naj bo funkcija f(x) , podan v nekem intervalu (a,b) . Točki x in x0 pripadata temu intervalu. Ko se x spremeni, se spremeni tudi sama funkcija. Sprememba argumenta - razlika njegovih vrednosti x-x0 . Ta razlika je zapisana kot delta x in se imenuje prirast argumenta. Sprememba ali povečanje funkcije je razlika med vrednostmi funkcije na dveh točkah. Izpeljanka definicije:

Odvod funkcije v točki je meja razmerja med prirastkom funkcije v dani točki in prirastkom argumenta, ko slednji teži k nič.

Sicer se lahko zapiše takole:

Kakšen smisel ima iskanje takšne meje? Ampak kateri:

odvod funkcije v točki je enak tangensu kota med osjo OX in tangento na graf funkcije v dani točki.

Fizični pomen derivata: časovni odvod poti je enak hitrosti premokotnega gibanja.

Dejansko že od šolskih dni vsi vedo, da je hitrost zasebna pot. x=f(t) in čas t . Povprečna hitrost v določenem časovnem obdobju:

Da bi ugotovili hitrost gibanja naenkrat t0 morate izračunati mejo:

Prvo pravilo: odstranite konstanto

Konstanto lahko vzamemo iz predznaka odvoda. Poleg tega je treba storiti. Pri reševanju primerov v matematiki vzemite pravilo - če lahko poenostavite izraz, se prepričajte, da poenostavite .

Primer. Izračunajmo izpeljanko:

Drugo pravilo: odvod vsote funkcij

Odvod vsote dveh funkcij je enak vsoti odvodov teh funkcij. Enako velja za odvod razlike funkcij.

Ne bomo podajali dokaza tega izreka, ampak raje razmislimo o praktičnem primeru.

Poiščite odvod funkcije:

Tretje pravilo: odvod produkta funkcij

Odvod produkta dveh diferenciabilnih funkcij se izračuna po formuli:

Primer: poiščite odvod funkcije:

rešitev:

Tukaj je pomembno povedati o izračunu derivatov kompleksnih funkcij. Odvod kompleksne funkcije je enak zmnožku odvoda te funkcije glede na vmesni argument z odvodom vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

V zgornjem primeru naletimo na izraz:

V tem primeru je vmesni argument 8x na peto potenco. Da bi izračunali odvod takega izraza, najprej upoštevamo odvod zunanje funkcije glede na vmesni argument, nato pa pomnožimo z odvodom samega vmesnega argumenta glede na neodvisno spremenljivko.

Četrto pravilo: Odvod kvocienta dveh funkcij

Formula za določanje odvoda količnika dveh funkcij:

Poskušali smo govoriti o derivatih za lutke iz nič. Ta tema ni tako enostavna, kot se zdi, zato pozor: v primerih so pogosto pasti, zato bodite previdni pri izračunu izpeljank.

S kakršnim koli vprašanjem o tej in drugih temah se lahko obrnete na študentski servis. V kratkem času vam bomo pomagali rešiti najtežje kontrole in se spoprijeti z nalogami, tudi če se še nikoli niste ukvarjali z računanjem odvodov.

Formula za odvod ulomka dveh funkcij. Dokaz na dva načina. Podrobni primeri diferenciacije količnika.

Vsebina

Formula ulomka

Naj sta funkciji in definirani v neki okolici točke in imata v točki odvode. Naj gre . Takrat ima njihov količnik v točki odvod, ki je določen s formulo:
(1) .

Dokaz

Naj uvedemo zapis:
;
.
Tukaj in sta funkciji spremenljivk in . Toda zaradi lažjega zapisa bomo zapis njihovih argumentov izpustili.

Nato opazimo, da
;
.
Po pogoju imajo funkcije in odvode v točki , ki so naslednje meje:
;
.
Iz obstoja odvodov sledi, da sta funkciji in zvezni v točki . Zato
;
.

Razmislite o funkciji y spremenljivke x, ki je del funkcij in :
.
Razmislite o povečanju te funkcije v točki:
.
Pomnožimo z:

.
Od tod
.

Zdaj najdemo izpeljanko:

.

Torej,
.
Formula je dokazana.

Namesto spremenljivke lahko uporabite katero koli drugo spremenljivko. Označimo ga z x. Potem, če obstajajo odvodi in , in , potem je odvod ulomka, sestavljenega iz dveh funkcij, določen s formulo:
.
Ali v krajšem zapisu
(1) .

Dokaz na drugi način

Primeri

Tukaj bomo obravnavali preproste primere izračuna odvoda ulomka z uporabo formule za odvod količnika (1). Upoštevajte, da je v bolj zapletenih primerih lažje najti odvod ulomka z uporabo logaritemskega odvoda.

Primer 1

Poiščite odvod ulomka
,
kjer so , , , konstante.

Uporabimo pravilo razlikovanja vsote funkcij:
.
Izpeljanka konstante
.
Iz tabele derivatov najdemo:
.
Potem
;
.

Zamenjajmo z in z:
.

Sedaj najdemo odvod ulomka po formuli
.

.

Primer 2

Poiščite odvod funkcije spremenljivke x
.

Uporabimo pravila razlikovanja, kot v prejšnjem primeru.
;
.

Uporabimo pravilo diferenciacije ulomka
.

.

Zelo enostavno si ga je zapomniti.

No, ne bomo šli daleč, takoj bomo razmislili o inverzni funkciji. Kaj je inverzna eksponentna funkcija? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni« in zanj uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? Seveda, .

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

Poiščite odvod funkcije.
Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Eksponent in naravni logaritem sta funkciji, ki sta edinstveno enostavni v smislu odvoda. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje, ko bomo preučili pravila diferenciacije.

Pravila razlikovanja

Kakšna pravila? Spet nov termin?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

Samo in vse. Kakšna je druga beseda za ta proces? Ne proizvodnovanie... Diferencial matematike se imenuje sam prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka odvoda.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo. Naj ali lažje.

Primeri.

Poiščite izpeljanke funkcij:

na točki;
na točki;
na točki;
na točki.

rešitve:

(odvod je v vseh točkah enak, saj je linearna funkcija, se spomnite?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse enako: predstavljamo nova funkcija in poiščite njegov prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

Poiščite odvode funkcij in;
Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite najti odvod katerekoli eksponentne funkcije in ne samo eksponenta (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Izpeljanko funkcije že poznamo, zato poskusimo prenesti našo funkcijo na novo osnovo:

Za to uporabljamo preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Se je zgodilo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bilo, ostaja, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite izpeljanke funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je ni mogoče izračunati brez kalkulatorja, torej je ni mogoče zapisati v več preprosta oblika. Zato je v odgovoru ostalo v tej obliki.

Upoštevajte, da je tukaj količnik dveh funkcij, zato uporabimo ustrezno pravilo diferenciacije:

V tem primeru produkt dveh funkcij:

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Zato, če želite poiskati poljubno vrednost iz logaritma z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo prenesti na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto zapisali:

Izkazalo se je, da je imenovalec le konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanka je zelo preprosta:

Odvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij skoraj nikoli ne najdemo na izpitu, vendar jih ne bo odveč poznati.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse se bo izšlo), vendar z vidika matematike beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s trakom. Izkazalo se je tako sestavljen predmet: čokoladna ploščica, zavita in privezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate storiti nasprotno obratni vrstni red.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej poiščemo kosinus števila, nato pa dobljeno število kvadriramo. Torej, dajo nam številko (čokolada), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), potem pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko, da bi našli njeno vrednost, izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tem, kar se je zgodilo kot rezultat prvega.

Z drugimi besedami, Kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za naš primer,.

Lahko naredimo ista dejanja v obratnem vrstnem redu: najprej kvadrirate, nato pa poiščem kosinus dobljenega števila:. Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna lastnost kompleksne funkcije: ko spremenite vrstni red dejanj, se funkcija spremeni.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo zadnje dejanje, ki ga izvedemo "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje – oz "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

Kaj bomo najprej izvedli? Najprej izračunamo sinus, šele nato ga dvignemo na kocko. Gre torej za notranjo funkcijo, ne za zunanjo.
In prvotna funkcija je njihova sestava: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .
Notranji: ; zunanji:.
Pregled: .

spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo ekstrahirali našo čokolado - poiščite izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Za prvotni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se, da je preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(samo ne poskušajte zmanjšati do zdaj! Nič ni vzeto izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre tukaj za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje še izluščimo koren, torej izvedemo tretje dejanje (damo čokolado v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: tako ali tako bomo to funkcijo "razpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje kot je dejanje izvedeno, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj - kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Izpeljanka funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta z neskončno majhnim prirastkom argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz predznaka odvoda:

Izpeljanka vsote:

Izpeljan izdelek:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Definiramo "notranjo" funkcijo, poiščemo njen derivat.
Definiramo "zunanjo" funkcijo, poiščemo njen derivat.
Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

Pri iskanju izpeljane vsote ulomkov s potencami in koreni, da bi se izognili pogostim napakam, bodite pozorni na naslednje točke:

s formulo za razlikovanje zmnožka in količnika jasno opredeliti razliko med konstanto, katere odvod je enak nič, in konstantnim faktorjem, ki je preprosto odvzet iz predznaka odvoda;
potrebno je samozavestno uporabljati znanje iz šolskega tečaja o dejanjih s stopnjami in koreninami, na primer, kaj se zgodi z eksponenti, ko se pomnožijo stopnje z enakimi osnovami;
kaj se zgodi z znaki, ko je predznak izpeljanke izraza nasproten predznaku samega izraza.

Primer 1 Poiščite odvod funkcije

Tukaj je dva pred x konstanten faktor, zato je bil preprosto vzet iz izpeljanke.

Vse skupaj:

Če je v končni rešitvi zahtevano, da dobimo izraz s koreninami, potem pretvorimo stopnje v korenine in dobimo želeni derivat:

Primer 2 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Najdemo izpeljanko prvega člena:

Pri tem sta bila prva dva v števcu vmesnega izraza konstanta, njen derivat je enak nič.

Najdemo izpeljanko drugega člena:

Najdemo izpeljanko tretjega člena:

Pri tem so uporabili znanje iz šolskega predmeta o dejanjih z ulomki, njihovem preoblikovanju in zmanjševanju.

Če seštejemo vse skupaj, bodimo pozorni na dejstvo, da so predznaki izpeljank prvega in tretjega izraza nasprotni predznakom izrazov v izvirnem izrazu:

Primer 3 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Najdemo izpeljanko prvega člena:

Najdemo izpeljanko drugega člena:

Odvod tretjega člena - konstanta 1/2 - je enak nič (se zgodi, da učenci trmasto poskušajo najti neničelni odvod konstante).

Če seštejemo vse skupaj, bodimo pozorni na dejstvo, da je predznak izpeljanke drugega izraza nasproten predznaku izraza v izvirnem izrazu:

Primer 4 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Najdemo izpeljanko prvega člena:

Najdemo izpeljanko drugega člena:

Najdemo izpeljanko tretjega člena:

Če seštejemo vse skupaj, bodimo pozorni na dejstvo, da so znaki derivatov drugega in tretjega izraza minusi:

Primer 5 Poiščite odvod funkcije

rešitev. Poiščemo izpeljanko prvega člena.

Dokažimo pravilo diferenciacije količnika dveh funkcij (ulomkov). Omeniti velja, da g(x) pod nobenim pogojem ne gre na nič x iz vrzeli X.

Po definiciji derivata

Primer.

Izvedite diferenciacijo funkcij.

rešitev.

Prvotna funkcija je razmerje dveh izrazov sinx in 2x+1. Uporabimo pravilo diferenciacije ulomka:

Ne gre brez pravil za diferenciacijo vsote in jemanje poljubne konstante iz predznaka odvoda:

Za konec zberimo vsa pravila v enem primeru.

Primer.

Poiščite odvod funkcije , kje a je pozitivno realno število.

rešitev.

In zdaj po vrsti.

Prvi mandat .

Drugi mandat

Tretji mandat

Vse skupaj:

4. Vprašanje Izvodi glavnih elementarnih funkcij.

telovadba. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Uporabljamo pravila diferenciacije in tabelo odvodov:

Odgovori.

5. Vprašanje Primeri izpeljave kompleksne funkcije

Vsi primeri v tem razdelku temeljijo na tabeli odvodov in odvodu kompleksne funkcije, katerega formulacija je naslednja:

Naj ima 1) funkcija u=φ(x) odvod u′x=φ′(x0) v neki točki x0, 2) funkcija y=f(u) ima odvod y′u= f′(u) . Potem bo tudi kompleksna funkcija y=f(φ(x)) v omenjeni točki imela odvod, ki je enak zmnožku odvodov funkcij f(u) in φ(x):

(f(φ(x)))′=f′u(φ(x0))⋅φ′(x0)

ali v krajšem zapisu: y′x=y′u⋅u′x.

V primerih v tem razdelku so vse funkcije v obliki y=f(x) (tj. upoštevamo samo funkcije ene spremenljivke x). V skladu s tem je v vseh primerih odvod y′ vzet glede na spremenljivko x. Da bi poudarili, da je odvod vzet glede na spremenljivko x, pogosto pišemo y′x namesto y′.

Primeri št. 1, št. 2 in št. 3 nudijo podroben postopek za iskanje odvoda kompleksnih funkcij. Primer št. 4 je namenjen popolnejšemu razumevanju tabele derivatov in se je z njim smiselno seznaniti.

Priporočljivo je, da po študiju gradiva v primerih št. 1-3 pojdite na neodvisna odločitev primeri #5, #6 in #7. Primeri #5, #6 in #7 vsebujejo kratko rešitev, tako da lahko bralec preveri pravilnost svojega rezultata.

Primer #1

Poiščite odvod funkcije y=ecosx.

rešitev

Najti moramo odvod kompleksne funkcije y′. Ker je y=ecosx, potem je y′=(ecosx)′. Za iskanje odvoda (ecosx)' uporabimo formulo št. 6 iz tabele odvodov. Za uporabo formule št. 6 morate upoštevati, da je v našem primeru u=cosx. Nadaljnja rešitev je v banalni zamenjavi izraza cosx namesto u v formulo št. 6:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′(1,1)

Zdaj moramo najti vrednost izraza (cosx)′. Ponovno se obrnemo na tabelo derivatov in iz nje izberemo formulo št. 10. Če nadomestimo u=x v formulo #10, dobimo: (cosx)′=−sinx⋅x′. Zdaj nadaljujemo enakost (1.1) in jo dopolnimo z najdenim rezultatom:

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)(1.2)

Ker je x′=1, nadaljujemo enakost (1.2):

y′=(ecosx)′=ecosx⋅(cosx)′=ecosx⋅(−sinx⋅x′)=ecosx⋅(−sinx⋅1)=−sinx⋅ecosx(1.3)

Torej, iz enakosti (1.3) imamo: y′=−sinx⋅ecosx. Razlage in vmesne enakosti seveda navadno izpustimo, ugotovitev odvoda pa zapišemo v eno vrstico, kot v enačbi (1.3). Torej, odvod kompleksne funkcije je najden, ostane samo zapisati odgovor.

Odgovori: y′=−sinx⋅ecosx.

Primer #2

Poiščite odvod funkcije y=9⋅arctg12(4⋅lnx).

rešitev

Izračunati moramo odvod y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′. Za začetek omenimo, da lahko konstanto (tj. število 9) vzamemo iz predznaka izpeljanke:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′(2.1)

Pojdimo zdaj k izrazu (arctg12(4⋅lnx))′. Za lažjo izbiro želene formule iz tabele odvodov bom obravnavani izraz predstavil v tej obliki: ((arctg(4⋅lnx))12) . Zdaj je jasno, da je treba uporabiti formulo št. 2, tj. (uα)′=α⋅uα−1⋅u′. Zamenjajte u=arctg(4⋅lnx) in α=12 v to formulo:

Če enakost (2.1) dopolnimo z dobljenim rezultatom, imamo:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′=108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′(2,2 )

Opomba: prikaži/skrij

Zdaj moramo najti (arctg(4⋅lnx))′. Uporabimo formulo št. 19 tabele odvodov in vanjo nadomestimo u=4⋅lnx:

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′

Nekoliko poenostavimo dobljeni izraz, pri čemer upoštevamo (4⋅lnx)2=42⋅(lnx)2=16⋅ln2x.

(arctg(4⋅lnx))′=11+(4⋅lnx)2⋅(4⋅lnx)′=11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′

Enakost (2.2) bo zdaj postala:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′(2,3)

Ostaja še najti (4⋅lnx)′. Vzemimo konstanto (tj. 4) iz predznaka odvoda: (4⋅lnx)′=4⋅(lnx)′. Da bi našli (lnx)′, uporabimo formulo št. 8 in vanjo nadomestimo u=x: (lnx)′=1x⋅x′. Ker je x′=1, potem je (lnx)′=1x⋅x′=1x⋅1=1x. Če nadomestimo dobljeni rezultat v formulo (2.3), dobimo:

y′=(9⋅arctg12(4⋅lnx))′=9⋅(arctg12(4⋅lnx))′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅(arctg(4⋅lnx))′= 108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅(4⋅lnx)′==108⋅(arctg(4⋅lnx))11⋅11+16⋅ln2x⋅4⋅1x=432⋅ arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Naj vas spomnim, da je odvod kompleksne funkcije največkrat v eni vrstici, kot je zapisano v zadnji enačbi. Zato pri standardnih izračunih oz nadzorna dela rešitve ni treba tako podrobno opisovati.

Odgovori: y′=432⋅arctg11(4⋅lnx)x⋅(1+16⋅ln2x).

Primer #3

Poiščite y′ funkcije y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

rešitev

Najprej rahlo preoblikujemo funkcijo y tako, da radikal (koren) izrazimo kot potenco: y=sin3(5⋅9x)−−−−−−−−−√7=(sin(5⋅9x))37. Zdaj pa začnimo iskati izpeljanko. Ker je y=(sin(5⋅9x))37, potem:

y′=((sin(5⋅9x))37)′(3,1)

Uporabimo formulo št. 2 iz tabele odvodov in vanjo nadomestimo u=sin(5⋅9x) in α=37:

((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))37−1(sin(5⋅9x))′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin (5⋅9x))'

Nadaljujemo enakost (3.1) z uporabo dobljenega rezultata:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′(3.2)

Zdaj moramo najti (sin(5⋅9x))′. Za to uporabimo formulo št. 9 iz tabele derivatov in vanjo nadomestimo u=5⋅9x:

(sin(5⋅9x))′=cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′

Če enakost (3.2) dopolnimo z dobljenim rezultatom, imamo:

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′(3,3)

Ostaja še najti (5⋅9x)′. Najprej vzamemo konstanto (število 5) iz predznaka odvoda, tj. (5⋅9x)′=5⋅(9x)′. Da bi našli odvod (9x)′, uporabimo formulo št. 5 iz tabele odvodov in vanjo nadomestimo a=9 in u=x: (9x)′=9x⋅ln9⋅x′. Ker je x′=1, potem (9x)′=9x⋅ln9⋅x′=9x⋅ln9. Zdaj lahko nadaljujemo enakost (3.3):

y′=((sin(5⋅9x))37)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47(sin(5⋅9x))′==37⋅(sin(5⋅9x))− 47cos(5⋅9x)⋅(5⋅9x)′=37⋅(sin(5⋅9x))−47cos(5⋅9x)⋅5⋅9x⋅ln9==15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x) )−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x.

S potenc se lahko spet vrnemo k radikalom (tj. korenom) tako, da (sin(5⋅9x))−47 zapišemo kot 1(sin(5⋅9x))47=1sin4(5⋅9x)−−−−− −−− −√7. Nato bo izpeljanka zapisana v naslednji obliki:

y′=15⋅ln97⋅(sin(5⋅9x))−47⋅cos(5⋅9x)⋅9x=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−− −−−√7.

Odgovori: y′=15⋅ln97⋅cos(5⋅9x)⋅9xsin4(5⋅9x)−−−−−−−−−√7.

Primer #4

Pokažite, da sta formuli št. 3 in št. 4 tabele derivatov poseben primer formule št. 2 te tabele.

rešitev

V formuli št. 2 tabele odvodov je zapisan odvod funkcije uα. Če nadomestimo α=−1 v formulo #2, dobimo:

(u−1)′=−1⋅u−1−1⋅u′=−u−2⋅u′(4.1)

Ker je u−1=1u in u−2=1u2, lahko enakost (4.1) prepišemo takole: (1u)′=−1u2⋅u′. To je formula številka 3 tabele derivatov.

Ponovno se obrnemo na formulo št. 2 tabele derivatov. Nadomestite α=12 vanj:

(u12)′=12⋅u12−1⋅u′=12u−12⋅u′(4.2)

Ker je u12=u−−√ in u−12=1u12=1u−−√, lahko enakost (4.2) prepišemo takole:

(u−−√)′=12⋅1u−−√⋅u′=12u−−√⋅u′

Nastala enakost (u−−√)′=12u−−√⋅u′ je formula št. 4 tabele odvodov. Kot lahko vidite, sta formuli št. 3 in št. 4 tabele derivatov pridobljeni iz formule št. 2 z zamenjavo ustrezne vrednosti α.

Primer #5

Poiščite y′, če je y=arcsin2x.

rešitev

Iskanje odvoda kompleksne funkcije v tem primeru bomo zapisali brez podrobnejših pojasnil, ki so bila podana v prejšnjih nalogah.

Odgovori: y′=2xln21−22x−−−−−−√.

Primer #6

Poiščite y′, če je y=7⋅lnsin3x.

rešitev

Tako kot v prejšnjem primeru navajamo iskanje odvoda kompleksne funkcije brez podrobnosti. Priporočljivo je, da izpeljanko napišete sami, pri tem pa se obrnite le na spodnjo rešitev.

Odgovori: y′=21⋅ctgx.

Primer #7

Poiščite y, če je y=9tg4(log5(2⋅cosx)).

rešitev