Trapez arbitrar. Trapez dreptunghiular: toate formulele și exemplele de probleme Cum se rezolvă un trapez
Pentru a înțelege cum să rezolvați problemele cu un trapez, este util să vă amintiți trei moduri principale de rezolvare.
I. Țineți două înălțimi.
In absenta. Cadrilaterul BCKF este un dreptunghi (pentru că are toate unghiurile drepte). Prin urmare, FK=BC.
AD=AF+FK+KD, prin urmare AD=AF+BC+KD.
Triunghiurile ABF și DCK sunt triunghiuri dreptunghiulare.
(Există o altă opțiune de luat în considerare:
Ib.
În acest caz, AD=AF+FD=AF+FK-DK=AF+BC-DK.)
IC. Dacă trapezul este isoscel, soluția problemei este simplificată:
În acest caz, triunghiurile dreptunghiulare ABF și DCK sunt egale, de exemplu, de-a lungul catetei și ipotenuzei (AB=CD după condiție, BF=CK ca înălțimi ale trapezului). Din egalitatea triunghiurilor rezultă egalitatea laturilor corespunzătoare:
AF=KD=(AD-FK):2=(AD-BC):2.
II. Desenați o linie dreaptă paralelă cu latura.
IIa. BM∥CD. Deoarece BC∥ AD (ca bazele unui trapez), atunci BCDM este un paralelogram. Prin urmare, MD=BC, BM=CD, AM=AD-BC.
IIb.În special, pentru un trapez isoscel
BM∥CD. Deoarece CD=AB, atunci BM=AB. Adică obținem un triunghi isoscel ABM și un paralelogram BCDM.
III. Continuați laturile și obțineți un triunghi.
Dreptele AB și CD se intersectează în punctul P.
Triunghiurile APD și BPC sunt similare în două unghiuri (unghiul P este comun, ∠ PAD= ∠ PBC ca fiind corespunzător la BC∥ AD și secanta AP).
Prin urmare, laturile lor sunt proporționale:
Aceste trei abordări ale rezolvării problemelor trapezoide sunt principalele. În afară de acestea, există multe alte moduri. Unele sunt recenzate pe acest site. De exemplu, cum se rezolvă probleme cu un trapez ale cărui diagonale sunt perpendiculare.
Problemele trapezului nu par dificile într-un număr de cifre care au fost studiate anterior. Un trapez dreptunghiular este considerat un caz special. Și când căutați zona sa, uneori este mai convenabil să o împărțiți în două deja familiare: un dreptunghi și un triunghi. Trebuie doar să te gândești puțin și cu siguranță va exista o soluție.
Definiția unui trapez dreptunghiular și proprietățile acestuia
Pentru un trapez arbitrar, bazele sunt paralele, iar laturile pot avea un unghi arbitrar față de ele. Dacă se consideră un trapez dreptunghiular, atunci una dintre laturile sale este întotdeauna perpendiculară pe baze. Adică, două unghiuri din el vor fi egale cu 90 de grade. Mai mult decât atât, ele aparțin întotdeauna vârfurilor adiacente sau, cu alte cuvinte, unei laturi laterale.
Alte unghiuri dintr-un trapez dreptunghiular sunt întotdeauna acute și obtuze. În plus, suma lor va fi întotdeauna egală cu 180 de grade.
Fiecare diagonală formează un triunghi dreptunghic cu latura sa laterală mai mică. Și înălțimea, care este desenată de la vârf cu un unghi obtuz, împarte figura în două. Unul este dreptunghi, iar celălalt este triunghi dreptunghic. Apropo, această latură este întotdeauna egală cu înălțimea trapezului.
Ce notație este folosită în formulele prezentate?
Toate cantitățile utilizate în diferite expresii care descriu un trapez sunt convenabile pentru a specifica și a prezenta imediat într-un tabel:
Formule care descriu elementele unui trapez dreptunghiular
Cea mai simplă dintre acestea leagă înălțimea și latura mai mică:
Încă câteva formule pentru această latură a unui trapez dreptunghiular:
c = d*sinα;
c = (a - b) * tan α;
c \u003d √ (d 2 - (a - b) 2).
Primul decurge dintr-un triunghi dreptunghic. Și spune că catetul la ipotenuză dă sinusul unghiului opus.
În același triunghi, al doilea catet este egal cu diferența celor două baze. Prin urmare, afirmația este adevărată, ceea ce echivalează tangenta unghiului cu raportul catetelor.
Din același triunghi, puteți deriva o formulă bazată pe cunoașterea teoremei lui Pitagora. Aceasta este a treia expresie înregistrată.
Puteți scrie formule pentru cealaltă parte. Există și trei dintre ele:
d = (a - b) /cosα;
d = c / sinα;
d \u003d √ (c 2 + (a - b) 2).
Primele două sunt din nou obținute din raportul de aspect din același triunghi dreptunghic, iar al doilea este derivat din teorema lui Pitagora.
Ce formulă poate fi folosită pentru a calcula suprafața?
Cel dat pentru un trapez arbitrar. Rețineți doar că înălțimea este partea perpendiculară pe baze.
S = (a + b) * h / 2.
Aceste valori nu sunt întotdeauna date explicit. Prin urmare, pentru a calcula aria unui trapez dreptunghiular, va trebui să efectuați câteva calcule matematice.
Ce se întâmplă dacă trebuie să calculați diagonalele?
În acest caz, trebuie să vedeți că formează două triunghiuri dreptunghiulare. Deci, puteți utiliza întotdeauna teorema lui Pitagora. Atunci prima diagonală va fi exprimată după cum urmează:
d1 = √ (c 2 + b 2)
sau într-un alt mod, înlocuind „c” cu „h”:
d1 = √ (h 2 + b 2).
În mod similar, se obțin formule pentru a doua diagonală:
d2 = √ (c 2 + b 2) sau d 2 \u003d √ (h 2 + a 2).
Sarcina 1
Condiție. Aria unui trapez dreptunghiular este cunoscută și egală cu 120 dm 2 . Înălțimea sa are o lungime de 8 dm. Este necesar să se calculeze toate laturile trapezului. Condiție suplimentară este că o bază este mai mică decât cealaltă cu 6 dm.
Soluţie. Deoarece este dat un trapez dreptunghiular în care se cunoaște înălțimea, putem spune imediat că una dintre laturi are 8 dm, adică latura mai mică.
Acum puteți număra altul: d \u003d √ (c 2 + (a - b) 2). Și aici sunt date imediat atât latura c, cât și diferența bazelor. Acesta din urmă este egal cu 6 dm, acest lucru se știe din condiție. Atunci d va fi egal cu rădăcina pătrată a lui (64 + 36), adică a lui 100. Astfel, se mai găsește o latură, egală cu 10 dm.
Suma bazelor poate fi găsită din formula ariei. Va fi egal cu de două ori suprafața împărțită la înălțime. Dacă numărați, rezultă 240/8. Deci, suma bazelor este de 30 dm. Pe de altă parte, diferența lor este de 6 dm. Combinând aceste ecuații, puteți calcula ambele baze:
a + b = 30 și a - b = 6.
Puteți exprima a ca (b + 6), înlocuindu-l în prima ecuație. Apoi se dovedește că 2b va fi egal cu 24. Prin urmare, pur și simplu b va fi 12 dm.
Apoi ultima latură a este de 18 dm.
Răspuns. Laturile unui trapez dreptunghiular: a = 18 dm, b = 12 dm, c = 8 dm, d = 10 dm.
Sarcina #2
Condiție. Dat un trapez dreptunghiular. Latura sa lungă este egală cu suma bazelor. Înălțimea sa are o lungime de 12 cm.Se construiește un dreptunghi, ale cărui laturi sunt egale cu bazele trapezului. Trebuie să calculați aria acestui dreptunghi.
Soluţie. Trebuie să începi cu ceea ce cauți. Aria necesară este determinată ca produsul dintre a și b. Ambele cantități sunt necunoscute.
Va trebui să utilizați egalități suplimentare. Una dintre ele se bazează pe afirmația din condiția: d = a + b. Este necesar să folosiți a treia formulă pentru această parte, care este dată mai sus. Rezultă: d 2 \u003d c 2 + (a - b) 2 sau (a + b) 2 \u003d c 2 + (a - b) 2.
Este necesar să se facă transformări substituind în loc de cu valoarea sa din condiția - 12. După deschiderea parantezelor și aducerea unor termeni similari, rezultă că 144 = 4 ab.
La începutul soluției, s-a spus că a * b dă aria necesară. Prin urmare, în ultima expresie, puteți înlocui acest produs cu S. Un calcul simplu va da valoarea zonei. S \u003d 36 cm 2.
Răspuns. Suprafața dorită este de 36 cm 2.
Sarcina #3
Condiție. Aria unui trapez dreptunghiular este de 150√3 cm². Un unghi ascuțit este de 60 de grade. Unghiul dintre baza mică și diagonala mai mică are același sens. Trebuie să calculați diagonala mai mică.
Soluţie. Din proprietatea unghiurilor unui trapez, rezultă că unghiul său obtuz este de 120º. Apoi diagonala o împarte în părți egale, deoarece o parte din ea are deja 60 de grade. Apoi unghiul dintre această diagonală și a doua bază este de asemenea de 60 de grade. Adică s-a format triunghiul mare motiv, latura oblică și diagonala mai mică, este echilaterală. Astfel, diagonala dorită va fi egală cu a, precum și latura laterală d = a.
Acum trebuie să luăm în considerare un triunghi dreptunghic. Al treilea unghi este de 30 de grade. Deci catetul opus acestuia este egal cu jumătate din ipotenuză. Adică, baza mai mică a trapezului este egală cu jumătate din diagonala dorită: b \u003d a / 2. Din aceasta, trebuie să găsiți înălțimea egală cu latura, perpendiculară pe baze. De partea cu piciorul de aici. Din teorema lui Pitagora:
c = (a/2) * √3.
Acum rămâne doar să înlocuim toate cantitățile din formula zonei:
150√3 = (a + a/2) * (a/2 * √3) / 2.
Rezolvarea acestei ecuații dă rădăcina 20
Răspuns. Diagonala mai mică are 20 cm lungime.
Va fi util pentru toți absolvenții care se pregătesc să promoveze examenul de matematică să perfecționeze subiectul „Trapez arbitrar”. După cum arată practica de lungă durată, sarcinile planimetrice din această secțiune provoacă anumite dificultăți pentru mulți liceeni. În același timp, este necesar să se rezolve sarcinile USE pe tema „Trapezul arbitrar” atunci când treceți atât nivelul de bază, cât și cel de profil al testului de certificare. Prin urmare, toți absolvenții ar trebui să poată face față unor astfel de exerciții.
Cum să te pregătești pentru examen?
Majoritatea problemelor planimetrice sunt rezolvate prin construcții clasice. Dacă în sarcina USE doriți să găsiți, de exemplu, zona trapezului prezentată în figură, merită remarcați toți parametrii cunoscuți din desen. După aceea, amintiți-vă principalele teoreme legate de acestea. Aplicându-le, puteți găsi răspunsul corect.
Pentru a face pregătirea pentru examen cu adevărat eficientă, consultați portalul educațional Shkolkovo. Aici veți găsi tot materialul de bază pe temele „Trapez arbitrar sau care vă va ajuta să promovați cu succes examenul. Principalele proprietăți ale figurii, formulelor și teoremelor sunt colectate în secțiunea „Referință teoretică”.
Absolvenții își vor putea, de asemenea, să-și „pompe” abilitățile de rezolvare a problemelor pe portalul nostru matematic. Secțiunea „Catalog” prezintă o selecție largă de exerciții relevante de diferite niveluri de dificultate. Lista sarcinilor este actualizată periodic și completată de specialiștii noștri.
Elevii din Moscova și din alte orașe pot efectua în mod constant exerciții online. Dacă este necesar, orice sarcină poate fi salvată în secțiunea „Favorite” și ulterior reveniți la ea pentru a discuta cu profesorul.
Trapez Un patrulater cu două laturi paralele. Laturile paralele sunt baza, laturile neparalele sunt laturile.
Există mai multe tipuri principale: curbilinii, isoscele, arbitrare, dreptunghiulare. Calculele ariei unui trapez conform formulei variază în funcție de tipul specific de figură geometrică.
Ce este un trapez: tipuri și diferențe
Există patru tipuri în total, care diferă nu numai prin variabilitatea unghiurilor, ci și prin prezența posibilă a segmentelor curbe.
Aria unui trapez arbitrar
Variabilitatea calculării ariei unui trapez arbitrar este mică. Poate fi calculat relativ la dimensiunile date ale bazei și înălțimii; numărați prin cele patru laturi indicate ale figurii; rezolvați exemplul, cunoscând lungimea liniei de mijloc și înălțimea; de-a lungul diagonalelor specificate și unghiul dintre ele; calculați prin baze și două unghiuri.
Formula principală pentru calcularea acestei metode: 
Unde a și b sunt laturi paralele și h este înălțimea patrulaterului.
Exemplu de sarcină: Dana este plată figură geometrică, ale căror laturi paralele corespund lungimii de 12 și 20 cm, iar înălțimea este de 10 cm. Cum se află aria?
Soluţie: Soluție permisă conform formulei de mai sus S = (a + b)/2 x h: S = (12 + 20)/2 x 10 = 160 cm².
Cunoscând lungimea liniei mediane și înălțimea unei figuri plate, puteți găsi întotdeauna aria unui trapez făcând literalmente un singur lucru:
Unde h este înălțimea patrulaterului și m este linia mediană (linia dreaptă care leagă punctele de mijloc ale laturilor).
Un exemplu de rezolvare a problemei: Având în vedere un trapez, în care lungimea liniei de mijloc este de 28 cm, iar înălțimea figurii este de 19 cm. Care este aria unui patrulater plat?
Soluţie: Folosind formula S \u003d hm, înlocuim valorile digitale din starea problemei în loc de litere. Obținem S \u003d 28 x 19 \u003d 532 cm².
Această metodă nu este la fel de simplă ca cele anterioare. Aici sunt luate ca bază teoremele de bază ale geometriei și, prin urmare, principiul calculării ariei unui trapez este următorul:
Unde a, b, c, d sunt cele patru laturi ale figurii, iar latura b trebuie neaparat sa fie mai lunga decat a.
Exemplu de calcul: Laturile sunt date - a \u003d 2 cm, b \u003d 4 cm, c \u003d 8 cm, d \u003d 7 cm. Cum să găsiți aria unui trapez?
Calcul:
De asemenea, puteți calcula aria unui trapez cunoscând dimensiunile ambelor diagonale și unghiul dintre ele. 
Denumiri: d₁ și d₂ sunt prima și a doua diagonală, α este unghiul dintre diagonale.
Exemplu: Calculați aria figurii cu următoarele valori cunoscute - d₁ = 17 cm, d₂ = 25 cm, α = 35⁰.
Decizia corectă: S \u003d ½ x 17 x 25 x sin35 \u003d 212,5 x 0,57 \u003d 121,125 cm².
O altă opțiune de calcul bazată pe calcularea ariei unui trapez folosind lungimile a două baze și două unghiuri.
Semnificațiile literelor: b, a sunt lungimile bazelor, α și β sunt unghiurile.
Soluţie:
Video instructiv
Un ajutor excelent în învățarea tipurilor de bază de calcule de suprafață sunt videoclipurile cu un limbaj de prezentare accesibil și ușor, explicații detaliate și exemple de rezolvare a problemelor.
Videoclipul „Trapezoid: rezolvarea problemelor”
Video pentru începători - informații prezentate în mod inteligibil, care conțin formulele de bază pentru calcularea ariei unui trapez.
Videoclipul „Pătrat trapez”
Videoclipul conține cele mai complete informații despre tipurile de trapeze, corecte denumiri de litereși opțiuni pentru rezolvarea diverselor probleme folosind toate metodele și principiile de calcul cunoscute.
Toate formulele și metodele de calcul de mai sus sunt aplicabile pe scară largă în timpul studiului geometriei în școli și universități. Pentru studenți, școlari și solicitanți, informațiile furnizate vor fi utile ca o fișă de cheat online în perioada de pregătire intensivă pentru examene, munca de control, redactarea de eseuri, referate și lucrări similare.
