Găsiți zona unei sfere cum să creați un subiect nou. Zona sferei. Volumul mingii. Proprietățile de bază ale unei sfere și ale unei mingi

O sferă și o minge sunt un analog al unui cerc și al unui cerc în spațiul tridimensional. Merită să vorbim despre fiecare dintre aceste cifre, evidențiind asemănările și diferențele, precum și formulele inerente acestor cifre.

Majoritatea construcțiilor geometrice sunt realizate în plan, dar în liceu încep să studieze figurile tridimensionale. Spațiul bidimensional are doar două caracteristici: lungime și lățime. Înălțimea este adăugată în regiunile 3D. La matematică de clasa a VI-a, sunt studiate figurile 3D individuale.

Pe plan, figura a fost caracterizată prin zonă și perimetru. În obiectele tridimensionale li se adaugă volum.

Orez. 1. Spațiu tridimensional.

În plus, există o serie de proprietăți specifice ale formelor 3D. Ele pot fi traversate de o linie dreaptă și un plan, pot exista plane secante care iau forma altor figuri.

Utilizarea formelor 3D pentru compunerea sarcinilor le complică foarte mult, dar în același timp le face mult mai interesante. Dăm definițiile unei mingi și ale unei sfere, după care vom încerca să evidențiem diferențele dintre aceste figuri.

Minge

O sferă și o sferă sunt un analog al unui cerc și al unui cerc într-un plan. O minge este o figură obținută prin rotirea unui semicerc în jurul unui punct.

Mingea are o suprafață: $S=4pir^2$

O rază este un segment de linie care leagă centrul mingii și oricare dintre punctele de pe suprafața acesteia.

Formula de volum pentru o sferă$V=(4pir^3\over3)$

Volumul arată cât spațiu ocupă o figură. Pentru a înțelege ce este volumul, trebuie să vă imaginați o figură goală. Apoi, volumul este cantitatea de apă care poate fi turnată în această cifră

O minge, ca orice altă figură tridimensională, poate fi tăiată de un avion. Planul secant al bilei este un cerc, al cărui centru poate fi găsit prin scăparea unei perpendiculare din centrul bilei pe cerc.

Orez. 2. Secțiunea mingii.

O sferă este o figură care este un set de puncte din spațiu echidistante de centrul sferei. Sferă:

• Are aceleași formule de volum și suprafață ca o sferă.
• Planul de tăiere al unei sfere este un cerc
• Centrul cercului secant se găsește în același mod ca și în cazul unei mingi

Orez. 3. Sferă.

Care este diferența

Atunci apare întrebarea, care este diferența dintre o minge și o sferă, cu excepția definiției? Cert este că diferențele dintre o minge și o sferă sunt mult mai neclare decât diferențele dintre un cerc și un cerc. O sferă are, de asemenea, volum și suprafață.

Poate, în afară de definiție, diferența constă în faptul că volumul sferei nu se găsește niciodată în probleme. De regulă, ei caută volumul mingii. Asta nu înseamnă că sfera nu are volum. Aceasta este o figură tridimensională, deci are volum.

O analogie este pur și simplu trasată cu un cerc care nu are zonă. Aceasta nu este o regulă, ci mai degrabă o tradiție care trebuie reținută: în geometrie, formularea volumului unei sfere nu este binevenită.

O altă diferență care poate fi considerată mai mult sau mai puțin semnificativă: planul de tăiere al unei sfere: un cerc care nu are spațiu interior, dar are o lungime. Planul secțional al unei sfere: un cerc care are o zonă și nu are circumferință. Prin urmare, merită să fiți atenți în formularea problemei, astfel încât să nu existe erori din cauza unor astfel de fleacuri.

Ce am învățat?

Am învățat ce sunt o sferă și o minge. Am vorbit despre asemănările și diferențele dintre ele. Am aflat că aproape nu există diferențe între aceste cifre. Am decis că nu este necesar să oferim o astfel de formulare precum volumul unei sfere.

Test cu subiecte

Evaluarea articolului

Rata medie: 4.7. Evaluări totale primite: 105.

Definiție.

Sferă (suprafata mingii) este colecția tuturor punctelor din spațiul tridimensional care se află la aceeași distanță de un singur punct, numit centrul sferei(DESPRE).

O sferă poate fi descrisă ca o figură tridimensională care se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său cu 180° sau a unui semicerc în jurul diametrului său cu 360°.

Definiție.

Minge este colecția tuturor punctelor din spațiul tridimensional, distanța de la care nu depășește o anumită distanță până la un punct numit centrul mingii(O) (mulțimea tuturor punctelor spațiului tridimensional delimitate de o sferă).

O minge poate fi descrisă ca o figură tridimensională, care se formează prin rotirea unui cerc în jurul diametrului său cu 180 ° sau a unui semicerc în jurul diametrului său cu 360 °.

Definiție. Raza sferei (bilei).(R) este distanța de la centrul sferei (minge) Oîn orice punct al sferei (suprafața mingii).

Definiție. Diametrul sferei (mingii).(D) este un segment care leagă două puncte ale sferei (suprafața mingii) și care trece prin centrul acesteia.

Formulă. Volumul mingii:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Formulă. Suprafața unei sfere prin rază sau diametru:

S = 4π R 2 = π D 2

Ecuația sferei

1. Ecuația unei sfere cu raza R și centru la originea sistemului de coordonate carteziene:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Ecuația unei sfere cu raza R și centru într-un punct cu coordonatele (x 0 , y 0 , z 0) în sistemul de coordonate carteziene:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Definiție. puncte diametral opuse sunt oricare două puncte de pe suprafața unei bile (sfere) care sunt conectate printr-un diametru.

Proprietățile de bază ale unei sfere și ale unei mingi

1. Toate punctele sferei sunt la fel de îndepărtate de centru.

2. Orice secțiune a unei sfere de către un plan este un cerc.

3. Orice secțiune a unei sfere de către un plan este un cerc.

4. Sfera are cel mai mare volum dintre toate figurile spațiale cu aceeași suprafață.

5. Prin oricare două puncte diametral opuse, puteți desena multe cercuri mari pentru o sferă sau cercuri pentru o minge.

6. Prin oricare două puncte, cu excepția punctelor diametral opuse, poate fi trasat un singur cerc mare pentru o sferă sau cerc mare pentru minge.

7. Orice două cercuri mari ale unei bile se intersectează de-a lungul unei linii drepte care trece prin centrul bilei, iar cercurile se intersectează în două puncte diametral opuse.

8. Dacă distanța dintre centrele oricăror două bile este mai mică decât suma razelor lor și mai mare decât modulul diferenței dintre razele lor, atunci astfel de bile se intersectează, iar în planul de intersecție se formează un cerc.

Planul secant, coardă, secant al sferei și proprietățile acestora

Definiție. Secanta sferelor este o linie dreaptă care intersectează sfera în două puncte. Se numesc punctele de intersecție puncte de puncție suprafață sau puncte de intrare și ieșire pe suprafață.

Definiție. Coarda unei sfere (minge) este un segment care leagă două puncte ale unei sfere (suprafața unei bile).

Definiție. plan de tăiere este planul care intersectează sfera.

Definiție. Plan diametral- acesta este un plan secant care trece prin centrul unei sfere sau bile, respectiv formează secțiunea cerc mareȘi cerc mare. Cercul mare și cercul cel mare au un centru care coincide cu centrul sferei (mingii).

Orice coardă care trece prin centrul unei sfere (bile) este un diametru.

O coardă este un segment al unei linii secante.

Distanța d de la centrul sferei la secantă este întotdeauna mai mică decât raza sferei:

d< R

Distanța m dintre planul de tăiere și centrul sferei este întotdeauna mai mică decât raza R:

m< R

Secțiunea planului de tăiere pe sferă va fi întotdeauna cerc minor, iar pe minge secțiunea va fi cerc mic. Un cerc mic și un cerc mic au centrele lor care nu coincid cu centrul sferei (minge). Raza r a unui astfel de cerc poate fi găsită prin formula:

r \u003d √ R 2 - m2,

Unde R este raza sferei (bilei), m este distanța de la centrul bilei până la planul de tăiere.

Definiție. Emisferă (emisferă)- aceasta este jumătate din sferă (minge), care se formează atunci când este tăiată de un plan diametral.

Tangenta, planul tangent la sferă și proprietățile acestora

Definiție. Tangenta la sfera este o linie dreaptă care atinge sfera doar într-un punct.

Definiție. Plan tangent la sferă este un plan care atinge sfera doar într-un punct.

Linia tangentă (planul) este întotdeauna perpendiculară pe raza sferei trasate la punctul de contact

Distanța de la centrul sferei la linia tangentă (planul) este egală cu raza sferei.

Definiție. segment de minge- aceasta este partea de minge care este tăiată de minge de un plan de tăiere. Coloana vertebrală a segmentului numiți cercul care s-a format la locul secțiunii. înălțimea segmentului h este lungimea perpendicularei trase de la mijlocul bazei segmentului până la suprafața segmentului.

Formulă. Suprafața exterioară a unui segment de sferă cu înălțimea h în termeni de raza sferei R:

S = 2π Rh

Mulți dintre noi ne place să joace fotbal, sau cel puțin aproape toți am auzit de acest celebru joc sportiv. Toată lumea știe că fotbalul se joacă cu o minge.

Dacă întrebi un trecător ce formă figură geometrică are o minge, atunci unii oameni vor spune că are forma unei mingi, iar alții că are forma unei sfere. Deci care are dreptate? Și care este diferența dintre o sferă și o sferă?

Important!

Minge este un corp spațial. Înăuntru mingea este plină cu ceva. Prin urmare, sfera poate găsi volumul.

Exemple de minge în viață: un pepene verde și o minge de oțel.

O minge și o sferă, ca un cerc și un cerc, au un centru, o rază și un diametru.

Important!

Sferă este suprafața sferei. Puteți găsi suprafața unei sfere.

Exemple de sfere în viață: o minge de volei și o minge de tenis de masă.

Cum să găsiți aria unei sfere

Tine minte!

Formula ariei sferei: S=4 π R 2

Pentru a găsi aria unei sfere, trebuie să vă amintiți ce este gradul de. Cunoscând definiția gradului, putem scrie formula pentru aria unei sfere după cum urmează.
S=4 π R 2 \u003d 4π R R;

Consolidează cunoștințele dobândite și rezolvați problema pentru zona unei sfere.

Zubareva clasa a VI-a. Numărul 692(a)

Sarcina:

• Calculați aria unei sfere dacă raza acesteia este 1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 m

Important!

Dragi părinți!

În calculul final al razei, nu este necesar să forțați copilul să calculeze rădăcina cubă. Elevii de clasa a VI-a nu au promovat încă și nu cunosc definiția rădăcinilor în matematică.

În clasa a VI-a, la rezolvarea unei astfel de probleme, folosiți metoda enumerației.

Întrebați elevul ce număr, dacă este înmulțit de 3 ori cu el însuși, va da unul.