Operații cu fracții zecimale. Matematică: operații cu fracții. Operații cu zecimale și fracții ordinare. Ce este o „fracție”

§ 31. Probleme şi exemple pentru toate operaţiile cu fracţii zecimale.

Urmați acești pași:

767. Aflați coeficientul diviziunii:

772. Calculati:

Găsi X , Dacă:

776. Numărul necunoscut a fost înmulțit cu diferența dintre numerele 1 și 0,57, iar produsul a fost 3,44. Găsiți numărul necunoscut.

777. Suma numărului necunoscut și 0,9 a fost înmulțită cu diferența dintre 1 și 0,4 și produsul a fost 2,412. Găsiți numărul necunoscut.

778. Folosind datele din diagrama despre topirea fierului în RSFSR (Fig. 36), creați o problemă de rezolvat pe care trebuie să aplicați acțiunile de adunare, scădere și împărțire.

779. 1) Lungimea Canalului Suez este de 165,8 km, lungimea Canalului Panama este cu 84,7 km mai mică decât a Canalului Suez, iar lungimea Canalului Marea Albă-Baltică este cu 145,9 km mai mare decât lungimea Canalului Panama. Care este lungimea canalului Marea Albă-Baltică?

2) Metroul din Moscova (până în 1959) a fost construit în 5 etape. Lungimea primei trepte a metroului este de 11,6 km, a doua -14,9 km, lungimea celei de-a treia este cu 1,1 km mai mică decât lungimea celei de-a doua etape, lungimea celei de-a patra etape este cu 9,6 km mai mare decât cea de-a treia etapă. , iar lungimea etapei a cincea este cu 11,5 km mai puțin a patra. Care era lungimea metroului din Moscova la începutul anului 1959?

780. 1) Cea mai mare adâncime a Oceanului Atlantic este de 8,5 km, cea mai mare adâncime a Oceanului Pacific este cu 2,3 ​​km mai mare decât adâncimea Oceanului Atlantic și cea mai mare adâncime a Oceanului Arctic este de 2 ori mai mică decât cea mai mare adâncime Oceanul Pacific. Care este cea mai mare adâncime a Oceanului Arctic?

2) Mașina Moskvich consumă 9 litri de benzină la 100 km, mașina Pobeda consumă cu 4,5 litri mai mult decât Moskvich, iar Volga este de 1,1 ori mai mult decât Pobeda. Câtă benzină consumă o mașină Volga la 1 km de călătorie? (Răspunsul rotunjit la cel mai apropiat 0,01 l.)

781. 1) Elevul a mers la bunicul său în vacanță. A călătorit cu trenul timp de 8,5 ore, iar din gară cu calul timp de 1,5 ore. În total a parcurs 440 km. Cu ce ​​viteză a călătorit studentul pe calea ferată dacă a călărit cai cu o viteză de 10 km pe oră?

2) Colectivul trebuia să se afle într-un punct situat la o distanță de 134,7 km de locuința sa. A mers cu autobuzul timp de 2,4 ore cu o viteză medie de 55 km pe oră, iar restul drumului a mers cu o viteză de 4,5 km pe oră. Cât timp a mers?

782. 1) În timpul verii, un gopher distruge aproximativ 0,12 cenți de pâine. În primăvară, pionierii au exterminat 1.250 de veverițe de pământ pe 37,5 hectare. Câtă pâine au economisit școlarii pentru ferma colectivă? Câtă pâine salvată există la 1 hectar?

2) Ferma colectivă a calculat că prin distrugerea gophers pe o suprafață de 15 hectare de teren arabil, școlarii au economisit 3,6 tone de cereale. Câte gopher sunt distruse în medie la 1 hectar de teren dacă un gopher distruge 0,012 tone de cereale în timpul verii?

783. 1) La măcinarea grâului în făină, se pierde 0,1 din greutatea acestuia, iar la coacere se obține o coacere egală cu 0,4 din greutatea făinii. Câtă pâine coaptă se va produce din 2,5 tone de grâu?

2) Ferma colectivă a colectat 560 de tone de semințe de floarea soarelui. Cât ulei de floarea soarelui va fi produs din boabele colectate dacă greutatea boabelor este de 0,7 din greutatea semințelor de floarea soarelui și greutatea uleiului rezultat este de 0,25 din greutatea boabelor?

784. 1) Randamentul de smântână din lapte este de 0,16 din greutatea laptelui, iar randamentul de unt din smântână este de 0,25 din greutatea de smântână. Cât lapte (în greutate) este necesar pentru a produce 1 chintal de unt?

2) Câte kilograme de ciuperci porcini trebuie strânse pentru a obține 1 kg de ciuperci uscate, dacă la pregătirea pentru uscare rămâne 0,5 din greutate, iar la uscare 0,1 din greutatea ciupercii prelucrate?

785. 1) Terenul alocat gospodăriilor colective se utilizează astfel: 55% din acesta este ocupat cu teren arabil, 35% cu luncă, iar restul terenului în valoare de 330,2 hectare este destinat grădinii gospodăriilor colective și pt. moșiile fermierilor colectivi. Cât teren există la ferma colectivă?

2) Ferma colectivă a semănat 75% din suprafața totală însămânțată cu cereale, 20% cu legume, iar restul suprafață cu ierburi furajere. Câtă suprafață însămânțată avea ferma colectivă dacă semăna 60 de hectare cu ierburi furajere?

786. 1) Câte chintale de semințe vor fi necesare pentru a semăna un câmp în formă de dreptunghi de 875 m lungime și 640 m lățime, dacă se semănează 1,5 chintale de semințe la 1 hectar?

2) Câte chintale de semințe vor fi necesare pentru a semăna un câmp în formă de dreptunghi dacă perimetrul său este de 1,6 km? Lățimea câmpului este de 300 m. Pentru a semăna 1 hectar sunt necesare 1,5 chintale de semințe.

787. Câte plăci pătrate cu latura de 0,2 dm vor încăpea într-un dreptunghi care măsoară 0,4 dm x 10 dm?

788. Sala de lectură are dimensiunile de 9,6 m x 5 m x 4,5 m. Pentru câte locuri este proiectată sala de lectură dacă sunt necesari 3 metri cubi pentru fiecare persoană? m de aer?

789. 1) Ce zonă de luncă va cosi un tractor cu o remorcă de patru cositoare în 8 ore, dacă lățimea de lucru a fiecărei cositoare este de 1,56 m și viteza tractorului este de 4,5 km pe oră? (Timpul pentru opriri nu este luat în considerare.) (Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată 0,1 hectare.)

2) Lățimea de lucru a semănătorului de legume tractor este de 2,8 m. Ce suprafață se poate semăna cu această semănătoare în 8 ore. lucreaza cu o viteza de 5 km pe ora?

790. 1) Găsiți puterea unui plug tractor cu trei brazde în 10 ore. de lucru, dacă viteza tractorului este de 5 km pe oră, aderența unui corp este de 35 cm, iar pierderea de timp a fost de 0,1 din timpul total petrecut. (Rotunjiți răspunsul la cel mai apropiat 0,1 hectare.)

2) Găsiți puterea unui plug tractor cu cinci brazde în 6 ore. de lucru, dacă viteza tractorului este de 4,5 km pe oră, aderența unui corp este de 30 cm, iar pierderea de timp a fost de 0,1 din timpul total petrecut. (Rotunjiți răspunsul la cel mai apropiat 0,1 hectare.)

791. Consumul de apă la 5 km de parcurs pentru o locomotivă cu abur a unui tren de călători este de 0,75 tone. Rezervorul de apă al licitatorului conține 16,5 tone de apă. Câți kilometri va avea trenul suficientă apă pentru a parcurge dacă rezervorul este umplut la 0,9 din capacitatea sa?

792. Sidingul poate găzdui doar 120 de vagoane de marfă cu o lungime medie a vagoanelor de 7,6 m. Câte vagoane de pasageri cu patru osii, fiecare cu lungimea de 19,2 m, pot încăpea pe această cale dacă sunt amplasate încă 24 de vagoane de marfă pe această cale?

793. Pentru a asigura rezistența terasamentului căii ferate se recomandă întărirea versanților prin însămânțarea ierburilor de câmp. Pentru fiecare metru pătrat de terasament sunt necesare 2,8 g de semințe, costând 0,25 ruble. pentru 1 kg. Cât va costa însămânțarea a 1,02 hectare de pantă dacă costul lucrării este de 0,4 din costul semințelor? (Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată 1 rublă.)

794. Fabrica de cărămidă a fost livrată la gară calea ferata cărămizi. La transportul cărămizilor au lucrat 25 de cai și 10 camioane. Fiecare cal a transportat 0,7 tone pe călătorie și a făcut 4 călătorii pe zi. Fiecare vehicul a transportat 2,5 tone pe călătorie și a făcut 15 călătorii pe zi. Transportul a durat 4 zile. Câte cărămizi au fost livrate la stație dacă greutatea medie a unei cărămizi este de 3,75 kg? (Rotunjiți răspunsul la cele mai apropiate 1 mie de unități.)

795. Stocul de făină a fost distribuit între trei brutării: prima a primit 0,4 din stocul total, a doua 0,4 din restul, iar a treia brutărie a primit cu 1,6 tone mai puțină făină decât prima. Câtă făină a fost distribuită în total?

796. În anul II de institut sunt 176 de studenți, în anul III sunt 0,875 din acest număr, iar în anul I sunt de o dată și jumătate mai mulți decât în ​​anul III. Numărul de studenți din anii I, II și III a fost de 0,75 din numărul total de studenți ai acestui institut. Câți studenți erau la institut?

___________

797. Aflați media aritmetică:

1) două numere: 56,8 și 53,4; 705,3 şi 707,5;

2) trei numere: 46,5; 37,8 și 36; 0,84; 0,69 şi 0,81;

3) patru numere: 5,48; 1,36; 3.24 și 2.04.

798. 1) Dimineața temperatura a fost de 13,6°, la prânz 25,5°, iar seara 15,2°. Calculați temperatura medie pentru această zi.

2) Care este temperatura medie pe săptămână, dacă în timpul săptămânii termometrul arăta: 21°; 20,3°; 22,2°; 23,5°; 21,1°; 22,1°; 20,8°?

799. 1) Echipa școlii a plivit 4,2 hectare de sfeclă în prima zi, 3,9 hectare în a doua zi și 4,5 hectare în a treia. Determinați producția medie a echipei pe zi.

2) Pentru a stabili timpul standard pentru fabricarea unei piese noi, au fost furnizate 3 strunjitori. Primul a produs piesa în 3,2 minute, al doilea în 3,8 minute și al treilea în 4,1 minute. Calculați standardul de timp care a fost stabilit pentru fabricarea piesei.

800. 1) Media aritmetică a două numere este 36,4. Unul dintre aceste numere este 36,8. Găsiți altceva.

2) Temperatura aerului a fost măsurată de trei ori pe zi: dimineața, la prânz și seara. Găsiți temperatura aerului dimineața dacă a fost 28,4° la prânz, 18,2° seara, iar temperatura medie a zilei este de 20,4°.

801. 1) Mașina a parcurs 98,5 km în primele două ore și 138 km în următoarele trei ore. Câți kilometri a parcurs în medie mașina pe oră?

2) Un test de captură și cântărire a crapului de un an a arătat că din 10 crapi, 4 cântăreau 0,6 kg, 3 cântăreau 0,65 kg, 2 cântăreau 0,7 kg și 1 cântăreau 0,8 kg. Care este greutatea medie a unui crap de un an?

802. 1) Pentru 2 litri de sirop care costă 1,05 ruble. pentru 1 litru se adaugă 8 litri de apă. Cât costă 1 litru de apă rezultată cu sirop?

2) Gazda a cumpărat o cutie de borș conservat de 0,5 litri pentru 36 de copeici. si se fierbe cu 1,5 litri de apa. Cât costă o farfurie de borș dacă volumul ei este de 0,5 litri?

803. Lucrări de laborator „Măsurarea distanței dintre două puncte”,

Prima numire. Măsurarea cu o bandă de măsură (bandă de măsurat). Clasa este împărțită în unități de câte trei persoane fiecare. Accesorii: 5-6 stâlpi și 8-10 etichete.

Desfăşurarea lucrărilor: 1) sunt marcate punctele A şi B şi se trasează o linie dreaptă între ele (vezi sarcina 178); 2) așezați banda de măsurare de-a lungul liniei drepte agățate și de fiecare dată marcați sfârșitul ruletei cu o etichetă. a 2-a numire. Măsurare, pași. Clasa este împărțită în unități de câte trei persoane fiecare. Fiecare elev parcurge distanța de la A la B, numărând numărul de pași. Înmulțind lungimea medie a pasului cu numărul de pași rezultat, găsiți distanța de la A la B.

A 3-a numire. Măsurând cu ochiul. Fiecare elev își întinde mâna stângă cu degetul mare ridicat (Fig. 37) și își îndreaptă degetul mare spre stâlpul din punctul B (un copac din imagine), astfel încât ochiul stâng (punctul A), degetul mare și punctul B să fie pe același linie dreapta. Fără a schimba poziția, închideți ochiul stâng și priviți-vă degetul mare cu dreapta. Măsurați deplasarea rezultată cu ochiul și creșteți-o de 10 ori. Aceasta este distanța de la A la B.

_________________

804. 1) Conform recensământului din 1959, populația URSS era de 208,8 milioane de oameni, iar populația rurală era cu 9,2 milioane mai mult decât populația urbană. Câtă populație urbană și câtă rurală era în URSS în 1959?

2) Conform recensământului din 1913, populația Rusiei era de 159,2 milioane de oameni, iar populația urbană a fost cu 103,0 milioane mai mică decât populația rurală. Care era populația urbană și rurală în Rusia în 1913?

805. 1) Lungimea firului este de 24,5 m. Acest fir a fost tăiat în două părți, astfel încât prima parte a fost cu 6,8 m mai lungă decât a doua. Câți metri are fiecare parte?

2) Suma a două numere este 100,05. Un număr este cu 97,06 mai mult decât celălalt. Găsiți aceste numere.

806. 1) În trei depozite de cărbune sunt 8656,2 tone de cărbune, în al doilea depozit sunt cu 247,3 tone de cărbune mai mult decât în ​​primul, iar în al treilea sunt cu 50,8 tone mai mult decât în ​​al doilea. Câte tone de cărbune sunt în fiecare depozit?

2) Suma a trei numere este 446,73. Primul număr este mai mic decât al doilea cu 73,17 și mai mult decât al treilea cu 32,22. Găsiți aceste numere.

807. 1) Barca s-a deplasat de-a lungul râului cu o viteză de 14,5 km pe oră și împotriva curentului cu o viteză de 9,5 km pe oră. Care este viteza ambarcațiunii în apă plată și care este viteza curentului râului?

2) Vaporul cu abur a parcurs 85,6 km de-a lungul râului în 4 ore și 46,2 km împotriva curentului în 3 ore. Care este viteza ambarcațiunii cu aburi în apă plată și care este viteza curgerii râului?

_________

808. 1) Două nave cu aburi au livrat 3.500 de tone de marfă, iar o navă cu aburi a livrat de 1,5 ori mai multă marfă decât cealaltă. Câtă marfă transporta fiecare navă?

2) Suprafata a doua camere este de 37,2 mp. m. Suprafața unei camere este de 2 ori mai mare decât a celeilalte. Care este suprafața fiecărei camere?

809. 1) Din două localități, distanța dintre care este de 32,4 km, un motociclist și un biciclist au mers simultan unul spre celălalt. Câți kilometri va parcurge fiecare dintre ei înainte de întâlnire dacă viteza motociclistului este de 4 ori viteza biciclistului?

2) Aflați două numere a căror sumă este 26,35, iar câtul împărțirii unui număr la celălalt este 7,5.

810. 1) Fabrica a trimis trei tipuri de marfă cu o greutate totală de 19,2 tone.Greutatea primului tip de marfă a fost de trei ori mai mare decât greutatea celui de-al doilea tip de marfă, iar greutatea celui de-al treilea tip de marfă a fost jumătate mai mare. ca greutatea primului și celui de-al doilea tip de marfă combinate. Care este greutatea fiecărui tip de marfă?

2) În trei luni, o echipă de mineri a extras 52,5 mii tone de minereu de fier. În martie a fost produs de 1,3 ori, în februarie de 1,2 ori mai mult decât în ​​ianuarie. Cât minereu extragea echipajul lunar?

811. 1) Gazoductul Saratov-Moscova este cu 672 km mai lung decât Canalul Moscova. Aflați lungimea ambelor structuri dacă lungimea conductei de gaz este de 6,25 ori mai mare decât lungimea Canalului Moscova.

2) Lungimea râului Don este de 3.934 de ori mai mare decât lungimea râului Moscova. Aflați lungimea fiecărui râu dacă lungimea râului Don este cu 1.467 km mai mare decât lungimea râului Moscova.

812. 1) Diferența dintre două numere este 5,2, iar câtul unui număr împărțit la altul este 5. Aflați aceste numere.

2) Diferența dintre două numere este 0,96, iar câtul lor este 1,2. Găsiți aceste numere.

813. 1) Un număr este cu 0,3 mai mic decât celălalt și este cu 0,75 din el. Găsiți aceste numere.

2) Un număr este cu 3,9 mai mult decât un alt număr. Dacă numărul mai mic este dublat, acesta va fi 0,5 din cel mai mare. Găsiți aceste numere.

814. 1) Ferma colectivă a semănat 2.600 de hectare de teren cu grâu și secară. Câte hectare de teren au fost însămânțate cu grâu și câte cu secară, dacă 0,8 din suprafața însămânțată cu grâu este egal cu 0,5 din suprafața însămânțată cu secară?

2) Colecția a doi băieți împreună se ridică la 660 de timbre. Din câte timbre constă colecția fiecărui băiat dacă 0,5 din timbrele primului băiat sunt egale cu 0,6 din colecția celui de-al doilea băiat?

815. Doi studenți aveau împreună 5,4 ruble. După ce primul a cheltuit 0,75 din banii lui, iar al doilea 0,8 din banii lui, le-a mai rămas aceeași sumă de bani. Câți bani avea fiecare student?

816. 1) Două nave cu aburi pornesc una spre cealaltă din două porturi, distanța dintre care este de 501,9 km. Cât timp le va dura să se întâlnească dacă viteza primei nave este de 25,5 km pe oră, iar viteza celei de-a doua este de 22,3 km pe oră?

2) Două trenuri pornesc unul spre celălalt din două puncte, distanța dintre care este de 382,2 km. Cât timp le va dura să se întâlnească dacă viteza medie a primului tren a fost de 52,8 km pe oră, iar al doilea a fost de 56,4 km pe oră?

817. 1) Două mașini au părăsit două orașe la o distanță de 462 km în același timp și s-au întâlnit după 3,5 ore. Aflați viteza fiecărei mașini dacă viteza primului a fost cu 12 km pe oră mai mare decât viteza celui de-al doilea.

2) Din două localități, distanța dintre care este de 63 km, un motociclist și un biciclist au plecat în același timp unul spre celălalt și s-au întâlnit după 1,2 ore. Aflați viteza motociclistului dacă biciclistul mergea cu o viteză cu 27,5 km pe oră mai mică decât viteza motociclistului.

818. Elevul a observat că pe lângă el a trecut timp de 35 de secunde un tren format dintr-o locomotivă cu abur și 40 de vagoane. Determinați viteza trenului pe oră dacă lungimea locomotivei este de 18,5 m și lungimea vagonului este de 6,2 m. (Dați răspunsul cu o precizie de 1 km pe oră.)

819. 1) Un biciclist a părăsit A ​​pentru B cu o viteză medie de 12,4 km pe oră. După 3 ore și 15 minute. un alt biciclist a ieşit din B spre el cu o viteză medie de 10,8 km pe oră. După câte ore și la ce distanță de A se vor întâlni dacă 0,32 distanța dintre A și B este de 76 km?

2) Din orașele A și B, distanța dintre care este de 164,7 km, au condus unul spre celălalt un camion din orașul A și o mașină din orașul B. Viteza camionului este de 36 km, iar viteza mașinii este de 1,25 ori superior. Autoturismul a plecat cu 1,2 ore mai târziu decât camionul. După cât timp și la ce distanță de orașul B autoturism va întâlni încărcătura?

820. Două nave au părăsit același port în același timp și se îndreaptă în aceeași direcție. Primul vapor cu aburi parcurge 37,5 km la fiecare 1,5 ore, iar al doilea vas cu abur parcurge 45 km la fiecare 2 ore. Cât va dura ca prima navă să fie la 10 km de a doua?

821. Un pieton a părăsit mai întâi un punct, iar la 1,5 ore după ieșire, un biciclist a plecat în aceeași direcție. La ce distanță de punct a ajuns biciclistul din urmă pe pieton dacă pietonul mergea cu o viteză de 4,25 km pe oră și biciclistul mergea cu o viteză de 17 km pe oră?

822. Trenul a plecat din Moscova spre Leningrad la ora 6. 10 minute. dimineața și a mers cu o viteză medie de 50 km pe oră. Mai târziu, un avion de pasageri a decolat de la Moscova la Leningrad și a sosit la Leningrad simultan cu sosirea trenului. Viteza medie a aeronavei a fost de 325 km pe oră, iar distanța dintre Moscova și Leningrad a fost de 650 km. Când a decolat avionul de la Moscova?

823. Vaporul cu abur a călătorit de-a lungul râului timp de 5 ore, iar împotriva curentului timp de 3 ore și a parcurs doar 165 km. Câți kilometri a mers în aval și câți împotriva curentului, dacă viteza debitului râului este de 2,5 km pe oră?

824. Trenul a părăsit A ​​și trebuie să ajungă la B la o anumită oră; după ce a trecut jumătatea drumului și făcând 0,8 km în 1 minut, trenul a fost oprit timp de 0,25 ore; după ce a crescut în continuare viteza cu 100 m la 1 milion, trenul a ajuns la timp la B. Aflați distanța dintre A și B.

825. De la ferma colectivă până la oraș 23 km. Un poștaș a mers cu bicicleta de la oraș la ferma colectivă cu o viteză de 12,5 km pe oră. La 0,4 ore după aceasta, directorul fermei colective a intrat în oraș pe un cal cu o viteză egală cu 0,6 din viteza poștașului. Cât timp după plecarea lui se va întâlni colectivul pe poștaș?

826. O mașină a părăsit orașul A spre orașul B, la 234 km distanță de A, cu o viteză de 32 km pe oră. La 1,75 ore după aceasta, o a doua mașină a părăsit orașul B spre primul, a cărui viteză era de 1.225 de ori mai mare decât viteza primei. La câte ore de la plecare se va întâlni a doua mașină cu prima?

827. 1) Un dactilograf poate reintroduce un manuscris în 1,6 ore, iar altul în 2,5 ore. Cât timp va dura ambilor dactilografe să tasteze acest manuscris, lucrând împreună? (Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată 0,1 oră.)

2) Piscina este umplută cu două pompe de putere diferită. Prima pompă, care funcționează singură, poate umple piscina în 3,2 ore, iar a doua în 4 ore. Cât timp va dura să umple piscina dacă aceste pompe funcționează simultan? (Răspunsul rotunjit la cel mai apropiat 0,1.)

828. 1) O echipă poate finaliza o comandă în 8 zile. Celălalt are nevoie de 0,5 timp pentru a finaliza această comandă. A treia echipă poate finaliza această comandă în 5 zile. Câte zile vor dura pentru a finaliza întreaga comandă dacă trei echipe lucrează împreună? (Răspunsul rotunjit la cea mai apropiată zi de 0,1.)

2) Primul lucrător poate finaliza comanda în 4 ore, al doilea de 1,25 ori mai rapid, iar al treilea în 5 ore. Câte ore vor fi necesare pentru a finaliza comanda dacă trei lucrători lucrează împreună? (Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată 0,1 oră.)

829. Două mașini lucrează la curățarea străzii. Primul dintre ele poate curăța întreaga stradă în 40 de minute, al doilea necesită 75% din timpul primei. Ambele mașini au început să funcționeze în același timp. După ce a lucrat împreună timp de 0,25 ore, a doua mașină a încetat să funcționeze. Cât timp după aceea a terminat prima mașină de curățat strada?

830. 1) Una dintre laturile triunghiului este de 2,25 cm, a doua este cu 3,5 cm mai mare decât prima, iar a treia este cu 1,25 cm mai mică decât a doua. Aflați perimetrul triunghiului.

2) Una dintre laturile triunghiului este de 4,5 cm, a doua este cu 1,4 cm mai mică decât prima, iar a treia latură este egală cu jumătate din suma primelor două laturi. Care este perimetrul triunghiului?

831 . 1) Baza triunghiului este de 4,5 cm, iar înălțimea sa este cu 1,5 cm mai mică. Găsiți aria triunghiului.

2) Înălțimea triunghiului este de 4,25 cm, iar baza lui este de 3 ori mai mare. Găsiți aria triunghiului. (Răspunsul rotunjit la cel mai apropiat 0,1.)

832. Găsiți aria figurilor umbrite (Fig. 38).

833. Care zonă este mai mare: un dreptunghi cu laturile de 5 cm și 4 cm, un pătrat cu laturile de 4,5 cm sau un triunghi a cărui bază și înălțime sunt fiecare de 6 cm?

834. Camera are 8,5 m lungime, 5,6 m lățime și 2,75 m înălțime. Suprafața ferestrelor, ușilor și sobelor este de 0,1 din suprafața totală a pereților camerei. De câte bucăți de tapet vor fi necesare pentru a acoperi această cameră dacă o bucată de tapet are 7 m lungime și 0,75 m lățime? (Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată bucată.)

835. Exteriorul trebuie tencuit și văruit. cabana, ale căror dimensiuni sunt: ​​lungime 12 m, lățime 8 m și înălțime 4,5 m. Casa are 7 ferestre de 0,75 m x 1,2 m fiecare și câte 2 uși de 0,75 m x 2,5 m. Cât va fi costul tuturor lucru, dacă văruirea și tencuiala este de 1 mp. m costă 24 de copeici? (Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată 1 rublă.)

836. Calculați suprafața și volumul camerei dvs. Găsiți dimensiunile camerei prin măsurare.

837. Grădina are forma unui dreptunghi, a cărui lungime este de 32 m, lățimea este de 10 m. 0,05 din întreaga suprafață a grădinii este semănată cu morcovi, iar restul grădinii este plantată cu cartofi. si ceapa, iar o suprafata de 7 ori mai mare decat cea cu ceapa este plantata cu cartofi. Cât teren este plantat individual cu cartofi, ceapă și morcovi?

838. Grădina de legume are forma unui dreptunghi, a cărui lungime este de 30 m și lățimea de 12 m. 0,65 din întreaga suprafață a grădinii de legume este plantată cu cartofi, iar restul cu morcovi și sfeclă, iar 84 de metri pătrați sunt plantați cu sfeclă. m mai mult decât morcovii. Cât teren separat există pentru cartofi, sfeclă și morcovi?

839. 1) Cutia în formă de cub a fost căptușită pe toate părțile cu placaj. Cât de mult placaj a fost folosit dacă marginea cubului are 8,2 dm? (Rotunjiți răspunsul la cel mai apropiat 0,1 sq. dm.)

2) Câtă vopsea va fi necesară pentru a picta un cub cu marginea de 28 cm, dacă pe 1 mp. cm se vor folosi 0,4 g de vopsea? (Răspuns, rotunjiți la cel mai apropiat 0,1 kg.)

840. Lungimea unei țagle din fontă în formă paralelipiped dreptunghiular, este egal cu 24,5 cm, latime 4,2 cm si inaltime 3,8 cm.Cat cantareste 200 de semifabricate din fonta daca 1 cub. dm de fonta cantareste 7,8 kg? (Răspunsul rotunjit la cel mai apropiat 1 kg.)

841. 1) Lungimea cutiei (cu capac), sub forma unui paralelipiped dreptunghic, este de 62,4 cm, latime 40,5 cm, inaltime 30 cm. metri patrati de scânduri folosite la realizarea unei cutii, dacă deșeurile de scânduri constituie 0,2 din suprafața care ar trebui acoperită cu scânduri? (Rotunjiți răspunsul la cel mai apropiat 0,1 mp.)

2) Fundul și pereții laterali ai gropii, care are forma unui paralelipiped dreptunghiular, trebuie acoperiți cu scânduri. Lungimea gropii este de 72,5 m, lățimea 4,6 m și înălțimea 2,2 m. Câți metri pătrați de scânduri au fost folosiți pentru înveliș dacă deșeurile de scânduri constituie 0,2 din suprafața care ar trebui acoperită cu scânduri? (Rotunjiți răspunsul la cel mai apropiat 1 mp)

842. 1) Lungimea subsolului, în formă de paralelipiped dreptunghiular, este de 20,5 m, lățimea este de 0,6 din lungimea sa, iar înălțimea este de 3,2 m. Subsolul a fost umplut cu cartofi până la 0,8 din volumul său. Câte tone de cartofi încap în subsol dacă 1 metru cub de cartofi cântărește 1,5 tone? (Răspunsul rotunjit la cea mai apropiată mie.)

2) Lungimea rezervorului, în formă de paralelipiped dreptunghiular, este de 2,5 m, lățimea este de 0,4 din lungimea sa, iar înălțimea este de 1,4 m. Rezervorul este umplut cu kerosen la 0,6 din volumul său. Câte tone de kerosen sunt turnate în rezervor dacă greutatea kerosenului într-un volum este de 1 metru cub? m este egal cu 0,9 t? (Răspunsul rotunjit la cea mai apropiată 0,1 t.)

843. 1) Cât timp poate dura reînnoirea aerului într-o încăpere care are 8,5 m lungime, 6 m lățime și 3,2 m înălțime, dacă printr-o fereastră în 1 secundă. trece 0,1 metri cubi. m de aer?

2) Calculați timpul necesar pentru a reîmprospăta aerul din camera dvs.

844. Dimensiuni bloc de beton pentru pereții clădirii sunt următoarele: 2,7 m x 1,4 m x 0,5 m. Golul reprezintă 30% din volumul blocului. Câți metri cubi de beton vor fi necesari pentru a face 100 de astfel de blocuri?

845. Greder-lift (mașină pentru săpat șanțuri) în 8 ore. Lucrarea face un șanț de 30 cm lățime, 34 cm adâncime și 15 km lungime. Câte excavatoare înlocuiește o astfel de mașină dacă un săpător poate îndepărta 0,8 metri cubi? m pe oră? (Rotunjiți rezultatul.)

846. Coșul de gunoi în formă de paralelipiped dreptunghiular are 12 m lungime și 8 m lățime. În acest coș se toarnă cereale la o înălțime de 1,5 m. Pentru a afla cât cântăresc toate boabele, au luat o cutie de 0,5 m lungime, 0,5 m lățime și 0,4 m înălțime, au umplut-o cu cereale și au cântărit-o. Cât cântăreau boabele din coș dacă boabele din cutie cântăreau 80 kg?

849. Construiți o diagramă liniară a creșterii populației urbane în URSS, dacă în 1913 populația urbană era de 28,1 milioane de oameni, în 1926 - 24,7 milioane, în 1939 - 56,1 milioane și în 1959 - 99, 8 milioane de oameni.

850. 1) Faceți o estimare pentru renovarea sălii de clasă, dacă trebuie să văruiți pereții și tavanul și să vopsiți podeaua. Aflați datele pentru întocmirea unui deviz (mărimea clasei, costul văruirii 1 mp, cost al vopsirii podelei 1 mp) de la îngrijitorul școlii.

2) Pentru plantarea în grădină, școala a cumpărat răsaduri: 30 de meri pentru 0,65 ruble. pe bucată, 50 de cireșe pentru 0,4 ruble. pe bucată, 40 de tufe de agrișe pentru 0,2 ruble. și 100 de tufe de zmeură pentru 0,03 ruble. pentru un tufiș. Scrieți o factură pentru această achiziție folosind următorul exemplu:

RĂSPUNSURI

Dintre multele fracții găsite în aritmetică, cele care au 10, 100, 1000 la numitor - în general, orice putere a lui zece - merită o atenție deosebită. Aceste fracții au un nume și o notație specială.

O zecimală este orice fracție numerică al cărei numitor este puterea lui zece.

Exemple de fracții zecimale:

De ce a fost necesar să separăm astfel de fracții? De ce au nevoie de propria lor formă de înregistrare? Există cel puțin trei motive pentru aceasta:

1. zecimale mult mai convenabil de comparat. Amintiți-vă: pentru a compara fracțiile obișnuite, trebuie să le scădeți una de la alta și, în special, să reduceți fracțiile la un numitor comun. La zecimale nu este necesar nimic de genul acesta;
2. Reduceți calculul. Decimalele se adună și se înmulțesc conform propriilor reguli și, cu puțină practică, vei putea lucra cu ele mult mai repede decât cu fracțiile obișnuite;
3. Ușurință de înregistrare. Spre deosebire de fracțiile obișnuite, zecimale sunt scrise pe o singură linie fără pierderea clarității.

Majoritatea calculatoarelor dau răspunsuri și în zecimale. În unele cazuri, un format de înregistrare diferit poate cauza probleme. De exemplu, ce se întâmplă dacă cereți o schimbare în magazin în valoare de 2/3 dintr-o rublă :)

Reguli pentru scrierea fracțiilor zecimale

Principalul avantaj al fracțiilor zecimale este notația convenabilă și vizuală. Și anume:

Notația zecimală este o formă de scriere a fracțiilor zecimale în care partea întreagă este separată de partea fracțională printr-o punct regulat sau virgulă. În acest caz, separatorul în sine (punct sau virgulă) se numește punct zecimal.

De exemplu, 0,3 (a se citi: „indicatori zero, 3 zecimi”); 7,25 (7 întregi, 25 sutimi); 3.049 (3 întregi, 49 miimi). Toate exemplele sunt preluate din definiția anterioară.

În scris, virgula este de obicei folosită ca punct zecimal. Aici și mai departe pe tot site-ul, se va folosi și virgula.

Pentru a scrie o fracție zecimală arbitrară în această formă, trebuie să urmați trei pași simpli:

1. Scrieți separat numărătorul;
2. Deplasați punctul zecimal la stânga cu atâtea locuri câte zerouri există în numitor. Să presupunem că inițial punctul zecimal este la dreapta tuturor cifrelor;
3. Dacă punctul zecimal s-a mutat, iar după ea există zerouri la sfârșitul înregistrării, acestea trebuie tăiate.

Se întâmplă ca în pasul al doilea numărătorul să nu aibă suficiente cifre pentru a finaliza schimbarea. În acest caz, pozițiile lipsă sunt umplute cu zerouri. Și, în general, în stânga oricărui număr puteți atribui orice număr de zerouri fără a vă afecta sănătatea. Este urât, dar uneori util.

La prima vedere, acest algoritm poate părea destul de complicat. De fapt, totul este foarte, foarte simplu - trebuie doar să exersezi puțin. Aruncă o privire la exemple:

Sarcină. Pentru fiecare fracție, indicați notația sa zecimală:

Numătorul primei fracții este: 73. Deplasăm punctul zecimal cu un loc (deoarece numitorul este 10) - obținem 7,3.

Numărătorul celei de-a doua fracții: 9. Deplasăm punctul zecimal cu două locuri (deoarece numitorul este 100) - obținem 0,09. A trebuit să adaug un zero după virgulă zecimală și încă unul înaintea ei, pentru a nu lăsa o intrare ciudată precum „.09”.

Numătorul celei de-a treia fracții este: 10029. Deplasăm punctul zecimal cu trei locuri (deoarece numitorul este 1000) - obținem 10,029.

Numătorul ultimei fracții: 10500. Din nou deplasăm punctul cu trei cifre - obținem 10.500. Există zerouri suplimentare la sfârșitul numărului. Tăiați-le și obținem 10,5.

Fiți atenți la ultimele două exemple: numerele 10.029 și 10.5. Conform regulilor, zerourile din dreapta trebuie tăiate, așa cum sa făcut în ultimul exemplu. Cu toate acestea, nu ar trebui să faceți niciodată acest lucru cu zerouri în interiorul unui număr (care sunt înconjurate de alte numere). De aceea am primit 10.029 și 10.5, și nu 1.29 și 1.5.

Deci, ne-am dat seama de definiția și forma de scriere a fracțiilor zecimale. Acum să aflăm cum să convertim fracțiile obișnuite în zecimale - și invers.

Conversia din fracții în zecimale

Se consideră o fracție numerică simplă de forma a /b. Puteți folosi proprietatea de bază a unei fracții și înmulțiți numărătorul și numitorul cu un astfel de număr încât partea de jos să se dovedească a fi o putere a zece. Dar înainte de a face acest lucru, citiți următoarele:

Există numitori care nu pot fi reduse la puteri de zece. Învățați să recunoașteți astfel de fracții, deoarece nu se poate lucra cu ele folosind algoritmul descris mai jos.

Asta este. Ei bine, de unde înțelegeți dacă numitorul este redus la o putere de zece sau nu?

Răspunsul este simplu: factorizarea numitorului în factori primi. Dacă expansiunea conține doar factorii 2 și 5, acest număr poate fi redus la o putere de zece. Dacă există alte numere (3, 7, 11 - orice), puteți uita de puterea lui zece.

Sarcină. Verificați dacă fracțiile indicate pot fi reprezentate ca zecimale:

Să scriem și să factorăm numitorii acestor fracții:

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - sunt prezente doar numerele 2 și 5. Prin urmare, fracția poate fi reprezentată ca zecimală.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - există un factor „interzis” 3. Fracția nu poate fi reprezentată ca zecimală.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Totul este în ordine: nu există nimic în afară de numerele 2 și 5. O fracție poate fi reprezentată ca zecimală.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Factorul 3 a „apărut” din nou.Nu poate fi reprezentat ca o fracție zecimală.

Deci, am aranjat numitorul - acum să ne uităm la întregul algoritm pentru trecerea la fracții zecimale:

1. Factorizați numitorul fracției originale și asigurați-vă că aceasta este în general reprezentabilă ca zecimală. Acestea. verificați ca în expansiune să fie prezenți doar factorii 2 și 5. În caz contrar, algoritmul nu funcționează;
2. Numărați câte doi și cinci sunt prezenți în expansiune (nu vor fi alte numere acolo, vă amintiți?). Alegeți un factor suplimentar, astfel încât numărul de doi și cinci să fie egal.
3. De fapt, înmulțiți numărătorul și numitorul fracției originale cu acest factor - obținem reprezentarea dorită, adică. numitorul va fi o putere de zece.

Desigur, factorul suplimentar va fi, de asemenea, descompus doar în doi și cinci. În același timp, pentru a nu vă complica viața, ar trebui să alegeți cel mai mic multiplicator dintre toate posibilele.

Și încă ceva: dacă fracția inițială conține o parte întreagă, asigurați-vă că convertiți această fracție într-o fracție necorespunzătoare - și abia apoi aplicați algoritmul descris.

Sarcină. Convertiți aceste fracții numerice în zecimale:

Să factorizăm numitorul primei fracții: 4 = 2 · 2 = 2 2 . Prin urmare, fracția poate fi reprezentată ca zecimală. Expansiunea conține doi doi și nu un singur cinci, deci factorul suplimentar este 5 2 = 25. Cu ea, numărul de doi și cinci va fi egal. Avem:

Acum să ne uităm la a doua fracție. Pentru a face acest lucru, rețineți că 24 = 3 8 = 3 2 3 - există un triplu în expansiune, deci fracția nu poate fi reprezentată ca zecimală.

Ultimele două fracții au numitori 5 (număr prim) și respectiv 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - doar doi și cinci sunt prezenți peste tot. Mai mult, în primul caz, „pentru fericire completă” un factor de 2 nu este suficient, iar în al doilea - 5. Obținem:

Conversia din zecimale în fracții comune

Conversia inversă - de la notație zecimală la notație obișnuită - este mult mai simplă. Nu există restricții sau verificări speciale aici, așa că puteți oricând converti o fracție zecimală în fracția clasică „cu două etaje”.

Algoritmul de traducere este următorul:

1. Tăiați toate zerourile din partea stângă a zecimalei, precum și punctul zecimal. Acesta va fi numărătorul fracției dorite. Principalul lucru este să nu exagerați și să nu tăiați zerourile interioare înconjurate de alte numere;
2. Numărați câte zecimale sunt după virgulă. Luați numărul 1 și adăugați atâtea zerouri la dreapta câte caractere numărați. Acesta va fi numitorul;
3. De fapt, notează fracția al cărei numărător și numitor tocmai am găsit. Dacă este posibil, reduceți-l. Dacă fracția originală conținea o parte întreagă, vom obține acum o fracție necorespunzătoare, ceea ce este foarte convenabil pentru calcule ulterioare.

Sarcină. Convertiți fracțiile zecimale în fracții ordinare: 0,008; 3,107; 2,25; 7,2008.

Tăiați zerourile din stânga și virgulele - obținem următoarele numere (aceștia vor fi numărătorii): 8; 3107; 225; 72008.

În prima și a doua fracție există 3 zecimale, în a doua - 2, iar în a treia - până la 4 zecimale. Obținem numitorii: 1000; 1000; 100; 10000.

În cele din urmă, să combinăm numărătorii și numitorii în fracții obișnuite:

După cum se poate vedea din exemple, fracția rezultată poate fi foarte des redusă. Permiteți-mi să remarc încă o dată că orice fracție zecimală poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită. Este posibil ca conversia inversă să nu fie întotdeauna posibilă.

În acest tutorial vom analiza fiecare dintre aceste operații separat.

Conținutul lecției

Adăugarea de zecimale

După cum știm, o fracție zecimală este formată dintr-un număr întreg și o parte fracțională. Când adăugați zecimale, părțile întregi și fracționale sunt adăugate separat.

De exemplu, să adăugăm fracțiile zecimale 3,2 și 5,3. Este mai convenabil să adăugați fracții zecimale într-o coloană.

Să scriem mai întâi aceste două fracții într-o coloană, cu părțile întregi fiind neapărat sub numere întregi, iar părțile fracționale sub părțile fracționale. La școală se numește această cerință "virgula sub virgula" .

Să scriem fracțiile într-o coloană, astfel încât virgula să fie sub virgulă:

Adăugăm părțile fracționale: 2 + 3 = 5. Scriem cele cinci în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adunăm părțile întregi: 3 + 5 = 8. Scriem un opt în întreaga parte a răspunsului nostru:

Acum separăm întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula "virgula sub virgula" :

Am primit un răspuns de 8,5. Aceasta înseamnă că expresia 3,2 + 5,3 este egală cu 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

De fapt, nu totul este atât de simplu pe cât pare la prima vedere. Există și capcane aici, despre care vom vorbi acum.

Locurile în zecimale

Fracțiile zecimale, ca și numerele obișnuite, au propriile cifre. Acestea sunt locuri de zecimi, locuri de sutimi, locuri de miimi. În acest caz, cifrele încep după virgulă zecimală.

Prima cifră după virgulă zecimală este responsabilă pentru locul zecimii, a doua cifră după virgulă zecimală pentru locul sutimilor și a treia cifră după virgulă zecimală pentru locul miilor.

Locurile din fracțiile zecimale conțin unele Informatii utile. Mai exact, ei vă spun câte zecimi, sutimi și miimi există într-o zecimală.

De exemplu, luați în considerare fracția zecimală 0,345

Poziția în care se află cei trei se numește locul zece

Poziția în care se află cei patru se numește locul sutimilor

Poziția în care se află cei cinci se numește locul al miilea

Să ne uităm la acest desen. Vedem că există un trei pe locul zecimii. Aceasta înseamnă că există trei zecimi în fracția zecimală 0,345.

Dacă adunăm fracțiile, obținem fracția zecimală inițială 0,345

La început am primit răspunsul, dar l-am convertit într-o fracție zecimală și am obținut 0,345.

Când se adună fracții zecimale, se aplică aceleași reguli ca și când se adună numere obișnuite. Adunarea fracțiilor zecimale are loc în cifre: zecimi se adaugă la zecimi, sutimi la sutimi, miimi la miimi.

Prin urmare, atunci când adăugați fracții zecimale, trebuie să urmați regula "virgula sub virgula". Virgula de sub virgulă oferă ordinea în care zecimile sunt adăugate la zecimi, sutimi la sutimi, miimi la miimi.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 1,5 + 3,4

În primul rând, adunăm părțile fracționale 5 + 4 = 9. Scriem nouă în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adăugăm părțile întregi 1 + 3 = 4. Scriem cele patru în partea întreagă a răspunsului nostru:

Acum separăm întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula „virgulă sub virgulă”:

Am primit un răspuns de 4,9. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 1,5 + 3,4 este 4,9

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei: 3,51 + 1,22

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”.

În primul rând, adunăm partea fracțională, și anume sutimile din 1+2=3. Scriem un triplu în a suta parte a răspunsului nostru:

Acum adăugați zecimile 5+2=7. Scriem un șapte în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum adăugăm toate părțile 3+1=4. Le scriem pe cele patru în întreaga parte a răspunsului nostru:

Separăm întreaga parte de partea fracționară cu o virgulă, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 4,73. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3,51 + 1,22 este egală cu 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Ca și în cazul numerelor obișnuite, atunci când se adună zecimale, . În acest caz, o cifră este scrisă în răspuns, iar restul sunt transferate la următoarea cifră.

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei 2,65 + 3,27

Scriem această expresie în coloană:

Adăugați părțile sutimiilor 5+7=12. Numărul 12 nu se va încadra în a suta parte a răspunsului nostru. Prin urmare, în a suta parte scriem numărul 2 și mutam unitatea la următoarea cifră:

Acum adăugăm zecimile de 6+2=8 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 9. Scriem numărul 9 în zecimea răspunsului nostru:

Acum adăugăm toate părțile 2+3=5. Scriem numărul 5 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 5,92. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 2,65 + 3,27 este egală cu 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemplul 4. Aflați valoarea expresiei 9,5 + 2,8

Scriem această expresie în coloană

Adăugăm părțile fracționale 5 + 8 = 13. Numărul 13 nu se va potrivi în partea fracțională a răspunsului nostru, așa că mai întâi notăm numărul 3 și mutam unitatea la următoarea cifră sau, mai degrabă, o transferăm în parte întreagă:

Acum adăugăm părțile întregi 9+2=11 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 12. Scriem numărul 12 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 12.3. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 9,5 + 2,8 este 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Când se adună zecimale, numărul de cifre după virgulă în ambele fracții trebuie să fie același. Dacă nu există suficiente numere, atunci aceste locuri din partea fracționară sunt umplute cu zerouri.

Exemplul 5. Aflați valoarea expresiei: 12,725 + 1,7

Înainte de a scrie această expresie într-o coloană, să facem același număr de cifre după punctul zecimal din ambele fracții. Fracția zecimală 12,725 are trei cifre după virgulă, dar fracția 1,7 are doar una. Aceasta înseamnă că în fracția 1,7 trebuie să adăugați două zerouri la sfârșit. Apoi obținem fracția 1.700. Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și puteți începe să calculați:

Adăugați părțile miilor 5+0=5. Scriem numărul 5 în a miilea parte a răspunsului nostru:

Adăugați părțile sutimiilor 2+0=2. Scriem numărul 2 în a suta parte a răspunsului nostru:

Adaugă zecimile 7+7=14. Numărul 14 nu se va încadra într-o zecime din răspunsul nostru. Prin urmare, notăm mai întâi numărul 4 și mutam unitatea la următoarea cifră:

Acum adăugăm părțile întregi 12+1=13 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 14. Scriem numărul 14 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit un răspuns de 14.425. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 12,725+1,700 este 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Scăderea zecimalelor

Când scădeți fracții zecimale, trebuie să urmați aceleași reguli ca atunci când adăugați: „virgulă sub virgulă zecimală” și „număr egal de cifre după virgulă zecimală”.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 2.5 − 2.2

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Se calculează partea fracționară 5−2=3. Scriem numărul 3 în a zecea parte a răspunsului nostru:

Se calculează partea întreagă 2−2=0. Scriem zero în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit un răspuns de 0,3. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 2,5 − 2,2 este egală cu 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 7,353 - 3,1

Această expresie are un număr diferit de zecimale. Fracția 7,353 are trei cifre după virgulă, dar fracția 3,1 are doar una. Aceasta înseamnă că în fracția 3.1 trebuie să adăugați două zerouri la sfârșit pentru a face ca numărul de cifre din ambele fracții să fie același. Apoi obținem 3.100.

Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și o puteți calcula:

Am primit un răspuns de 4.253. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 7,353 − 3,1 este egală cu 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Ca și în cazul numerelor obișnuite, uneori va trebui să împrumutați unul dintr-o cifră adiacentă dacă scăderea devine imposibilă.

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei 3,46 − 2,39

Scădeți sutimile din 6−9. Nu puteți scădea numărul 9 din numărul 6. Prin urmare, trebuie să împrumutați unul din cifra alăturată. Prin împrumut una din cifra alăturată, numărul 6 se transformă în numărul 16. Acum puteți calcula sutimile din 16−9=7. Scriem un șapte în a suta parte a răspunsului nostru:

Acum scadem zecimi. Deoarece am luat o unitate pe locul zecimii, cifra care se afla acolo a scăzut cu o unitate. Cu alte cuvinte, pe locul zecimilor nu se află acum numărul 4, ci numărul 3. Să calculăm zecimile din 3−3=0. Scriem zero în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scădem toate părțile 3−2=1. Scriem unul în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit un răspuns de 1.07. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3,46−2,39 este egală cu 1,07

3,46−2,39=1,07

Exemplul 4. Aflați valoarea expresiei 3−1.2

Acest exemplu scade o zecimală dintr-un număr întreg. Să scriem această expresie într-o coloană, astfel încât întreaga parte a fracției zecimale 1,23 să fie sub numărul 3

Acum să facem același număr de cifre după virgulă zecimală. Pentru a face acest lucru, după numărul 3 punem o virgulă și adăugăm un zero:

Acum scadem zecimi: 0−2. Nu puteți scădea din zero numărul 2. Prin urmare, trebuie să împrumutați unul din cifra alăturată. După ce a împrumutat una din cifra vecină, 0 se transformă în numărul 10. Acum puteți calcula zecimile din 10−2=8. Scriem un opt în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scadem toate părțile. Anterior, numărul 3 era situat în ansamblu, dar am luat o unitate din el. Ca urmare, s-a transformat în numărul 2. Prin urmare, din 2 scadem 1. 2−1=1. Scriem unul în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 1,8. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3−1,2 este 1,8

Înmulțirea zecimalelor

Înmulțirea zecimalelor este simplă și chiar distractivă. Pentru a înmulți zecimale, le înmulți ca niște numere obișnuite, ignorând virgulele.

După ce ați primit răspunsul, trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după virgulă în ambele fracții, apoi să numărați același număr de cifre din dreapta în răspuns și să puneți o virgulă.

Exemplul 1. Aflați valoarea expresiei 2,5 × 1,5

Să înmulțim aceste fracții zecimale ca numere obișnuite, ignorând virgulele. Pentru a ignora virgulele, vă puteți imagina temporar că lipsesc cu totul:

Avem 375. În acest număr, trebuie să separați partea întreagă de partea fracționară cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracțiile 2,5 și 1,5. Prima fracție are o cifră după virgulă, iar a doua fracție are și una. În total două numere.

Ne întoarcem la numărul 375 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 3,75. Deci valoarea expresiei 2,5 × 1,5 este 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 12,85 × 2,7

Să înmulțim aceste fracții zecimale, ignorând virgulele:

Avem 34695. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracțiile 12,85 și 2,7. Fracția 12,85 are două cifre după virgulă, iar fracția 2,7 are o cifră - un total de trei cifre.

Ne întoarcem la numărul 34695 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 34.695. Deci valoarea expresiei 12,85 × 2,7 este 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Înmulțirea unei zecimale cu un număr obișnuit

Uneori apar situații când trebuie să înmulți o fracție zecimală cu un număr obișnuit.

Pentru a înmulți o zecimală și un număr, le înmulți fără să fii atent la virgulă din zecimală. După ce ați primit răspunsul, trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția zecimală, apoi să numărați același număr de cifre din dreapta în răspuns și să puneți o virgulă.

De exemplu, înmulțiți 2,54 cu 2

Înmulțiți fracția zecimală 2,54 cu numărul obișnuit 2, ignorând virgula:

Avem numărul 508. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția 2,54. Fracția 2,54 are două cifre după virgulă.

Ne întoarcem la numărul 508 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 5.08. Deci valoarea expresiei 2,54 × 2 este 5,08

2,54 × 2 = 5,08

Înmulțirea zecimalelor cu 10, 100, 1000

Înmulțirea zecimalelor cu 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca și înmulțirea zecimalelor cu numere obișnuite. Trebuie să efectuați înmulțirea, fără să acordați atenție virgulei din fracția zecimală, apoi, în răspuns, separați întreaga parte de partea fracțională, numărând din dreapta același număr de cifre ca și după virgulă zecimală.

De exemplu, înmulțiți 2,88 cu 10

Înmulțiți fracția zecimală 2,88 cu 10, ignorând virgula din fracția zecimală:

Avem 2880. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția 2,88. Vedem că fracția 2,88 are două cifre după virgulă.

Ne întoarcem la numărul 2880 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre la dreapta și să punem o virgulă:

Am primit un răspuns de 28,80. Să aruncăm ultimul zero și să obținem 28,8. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 2,88×10 este 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Există o a doua modalitate de a înmulți fracțiile zecimale cu 10, 100, 1000. Această metodă este mult mai simplă și mai convenabilă. Constă în mutarea punctului zecimal la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt în factor.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior 2,88×10 în acest fel. Fără a da niciun calcul, ne uităm imediat la factorul 10. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero în el. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta o cifră, obținem 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 100. Ne uităm imediat la factorul 100. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există două zerouri în el. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta două cifre, obținem 288

2,88 × 100 = 288

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 1000. Ne uităm imediat la factorul 1000. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există trei zerouri în el. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta cu trei cifre. Nu există a treia cifră acolo, așa că adăugăm un alt zero. Ca rezultat, obținem 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1 0,01 și 0,001

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,01 și 0,001 funcționează în același mod ca și înmulțirea unei zecimale cu o zecimală. Este necesar să înmulțiți fracțiile ca numerele obișnuite și să puneți o virgulă în răspuns, numărând atâtea cifre la dreapta câte cifre sunt după virgulă în ambele fracții.

De exemplu, înmulțiți 3,25 cu 0,1

Înmulțim aceste fracții ca numere obișnuite, ignorând virgulele:

Avem 325. În acest număr trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracțiile 3,25 și 0,1. Fracția 3,25 are două cifre după virgulă, iar fracția 0,1 are o cifră. Total trei numere.

Ne întoarcem la numărul 325 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă. După numărătoarea inversă a trei cifre, constatăm că numerele s-au epuizat. În acest caz, trebuie să adăugați un zero și să adăugați o virgulă:

Am primit un răspuns de 0,325. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 3,25 × 0,1 este 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Există o a doua modalitate de a înmulți zecimale cu 0,1, 0,01 și 0,001. Această metodă este mult mai simplă și mai convenabilă. Constă în deplasarea punctului zecimal la stânga cu atâtea cifre câte zerouri sunt în factor.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior 3,25 × 0,1 în acest fel. Fără a da niciun calcul, ne uităm imediat la multiplicatorul de 0,1. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero în el. Acum, în fracția 3,25, mutăm punctul zecimal la stânga cu o cifră. Mutând virgula cu o cifră la stânga, vedem că nu mai există cifre înaintea celor trei. În acest caz, adăugați un zero și puneți o virgulă. Rezultatul este 0,325

3,25 × 0,1 = 0,325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,01. Ne uităm imediat la multiplicatorul de 0,01. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există două zerouri în el. Acum, în fracția 3,25, mutăm punctul zecimal la stânga două cifre, obținem 0,0325

3,25 × 0,01 = 0,0325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,001. Ne uităm imediat la multiplicatorul de 0,001. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există trei zerouri în el. Acum, în fracția 3,25, mutam punctul zecimal la stânga cu trei cifre, obținem 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nu confundați înmulțirea fracțiilor zecimale cu 0,1, 0,001 și 0,001 cu înmulțirea cu 10, 100, 1000. Greseala comuna majoritatea oamenilor.

Când înmulțiți cu 10, 100, 1000, punctul zecimal este mutat la dreapta cu același număr de cifre ca și zerouri în multiplicator.

Și atunci când înmulțiți cu 0,1, 0,01 și 0,001, punctul zecimal este mutat la stânga cu același număr de cifre ca și zerouri în multiplicator.

Dacă la început este greu de reținut, puteți folosi prima metodă, în care înmulțirea se face ca în cazul numerelor obișnuite. În răspuns, va trebui să separați întreaga parte de partea fracțională, numărând același număr de cifre în partea dreaptă, așa cum există cifre după virgulă zecimală în ambele fracții.

Împărțirea unui număr mai mic la un număr mai mare. Nivel avansat.

Într-una din lecțiile anterioare, am spus că la împărțirea unui număr mai mic la un număr mai mare se obține o fracție, al cărei numărător este dividendul, iar numitorul este divizorul.

De exemplu, pentru a împărți un măr între doi, trebuie să scrieți 1 (un măr) la numărător și 2 (doi prieteni) la numitor. Ca rezultat, obținem fracția . Aceasta înseamnă că fiecare prieten va primi un măr. Cu alte cuvinte, o jumătate de măr. Fracția este răspunsul la problemă „Cum să împarți un măr în două”

Se pare că puteți rezolva această problemă în continuare dacă împărțiți 1 la 2. La urma urmei, linia fracțională din orice fracție înseamnă divizare și, prin urmare, această împărțire este permisă în fracție. Dar cum? Suntem obișnuiți cu faptul că dividendul este întotdeauna mai mare decât divizorul. Dar aici, dimpotrivă, dividendul este mai mic decât divizorul.

Totul va deveni clar dacă ne amintim că o fracție înseamnă zdrobire, împărțire, împărțire. Aceasta înseamnă că unitatea poate fi împărțită în câte părți se dorește, și nu doar în două părți.

Când împărțiți un număr mai mic la un număr mai mare, obțineți o fracție zecimală în care partea întreagă este 0 (zero). Partea fracționată poate fi orice.

Deci, să împărțim 1 la 2. Să rezolvăm acest exemplu cu un colț:

Unul nu poate fi împărțit complet în două. Dacă pui o întrebare „câți doi sunt într-unul” , atunci răspunsul va fi 0. Prin urmare, în coeficient scriem 0 și punem virgulă:

Acum, ca de obicei, înmulțim câtul cu divizorul pentru a obține restul:

A venit momentul în care unitatea poate fi împărțită în două părți. Pentru a face acest lucru, adăugați un alt zero la dreapta celui rezultat:

Am primit 10. Împărțim 10 la 2, obținem 5. Scriem cele cinci în partea fracționară a răspunsului nostru:

Acum scoatem ultimul rest pentru a finaliza calculul. Înmulțiți 5 cu 2 pentru a obține 10

Am primit un răspuns de 0,5. Deci fracția este 0,5

Jumătate de măr poate fi scris și folosind fracția zecimală 0,5. Dacă adăugăm aceste două jumătăți (0,5 și 0,5), obținem din nou un măr întreg original:

Acest punct poate fi înțeles și dacă vă imaginați cum 1 cm este împărțit în două părți. Dacă împărțiți 1 centimetru în 2 părți, obțineți 0,5 cm

Exemplul 2. Găsiți valoarea expresiei 4:5

Câte cinci sunt într-un patru? Deloc. Scriem 0 în coeficient și punem virgulă:

Înmulțim 0 cu 5, obținem 0. Scriem un zero sub patru. Scădeți imediat acest zero din dividend:

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele patru în 5 părți. Pentru a face acest lucru, adăugați un zero la dreapta lui 4 și împărțiți 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în coeficient.

Terminăm exemplul înmulțind 8 cu 5 pentru a obține 40:

Am primit un răspuns de 0,8. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 4:5 este 0,8

Exemplul 3. Aflați valoarea expresiei 5: 125

Câte numere sunt 125 din cinci? Deloc. Scriem 0 în coeficient și punem virgulă:

Înmulțim 0 cu 5, obținem 0. Scriem 0 sub cinci. Scădeți imediat 0 din cinci

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele cinci în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, scriem un zero la dreapta acestor cinci:

Împărțiți 50 la 125. Câte numere sunt 125 în numărul 50? Deloc. Deci în coeficient scriem din nou 0

Înmulțind 0 cu 125, obținem 0. Scrieți acest zero sub 50. Scădeți imediat 0 din 50

Acum împărțiți numărul 50 în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, scriem un alt zero la dreapta lui 50:

Împărțiți 500 la 125. Câte numere sunt 125 în numărul 500? Există patru numere 125 în numărul 500. Scrieți cele patru în câtul:

Terminăm exemplul înmulțind 4 cu 125 pentru a obține 500

Am primit un răspuns de 0,04. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 5: 125 este 0,04

Împărțirea numerelor fără rest

Deci, să punem o virgulă după unitate din coeficient, indicând astfel că împărțirea părților întregi s-a încheiat și trecem la partea fracțională:

Să adăugăm zero la restul de 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în cât:

40−40=0. Mai avem 0. Aceasta înseamnă că împărțirea este complet finalizată. Împărțirea 9 la 5 dă fracția zecimală 1,8:

9: 5 = 1,8

Exemplul 2. Împărțiți 84 la 5 fără rest

Mai întâi, împarte 84 la 5, ca de obicei, cu un rest:

Avem 16 în privat și încă 4 au mai rămas. Acum să împărțim acest rest la 5. Puneți o virgulă în coeficient și adăugați 0 la restul 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în coeficient după virgulă:

și completați exemplul verificând dacă mai există un rest:

Împărțirea unei zecimale la un număr obișnuit

O fracție zecimală, după cum știm, constă dintr-un număr întreg și o parte fracțională. Când împărțiți o fracție zecimală la un număr obișnuit, mai întâi trebuie să:

• împărțiți întreaga parte a fracției zecimale la acest număr;
• după ce întreaga parte este împărțită, trebuie să puneți imediat o virgulă în coeficient și să continuați calculul, ca în diviziunea normală.

De exemplu, împărțiți 4,8 la 2

Să scriem acest exemplu într-un colț:

Acum să împărțim întreaga parte la 2. Patru împărțit la doi este egal cu doi. Scriem două în coeficient și punem imediat virgulă:

Acum înmulțim câtul cu divizorul și vedem dacă există un rest din împărțire:

4−4=0. Restul este zero. Nu notăm încă zero, deoarece soluția nu este finalizată. În continuare, continuăm să calculăm ca în diviziunea obișnuită. Luați 8 și împărțiți-l la 2

8: 2 = 4. Scriem cele patru în cât și îl înmulțim imediat cu divizorul:

Am primit un răspuns de 2,4. Valoarea expresiei 4,8:2 este 2,4

Exemplul 2. Aflați valoarea expresiei 8.43: 3

Împărțiți 8 la 3, obținem 2. Puneți imediat o virgulă după 2:

Acum înmulțim câtul cu divizorul 2 × 3 = 6. Scriem șase sub opt și aflăm restul:

Împărțim 24 la 3, obținem 8. Scriem opt în coeficient. Înmulțiți-l imediat cu divizorul pentru a găsi restul diviziunii:

24−24=0. Restul este zero. Încă nu notăm zero. Luăm ultimele trei din dividend și împărțim la 3, obținem 1. Înmulțim imediat 1 cu 3 pentru a completa acest exemplu:

Răspunsul pe care l-am primit a fost 2,81. Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 8,43: 3 este 2,81

Împărțirea unei zecimale la o zecimală

Pentru a împărți o fracție zecimală la o fracție zecimală, trebuie să mutați punctul zecimal în dividend și divizor la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal în divizor, apoi împărțiți la numărul obișnuit.

De exemplu, împărțiți 5,95 la 1,7

Să scriem această expresie cu un colț

Acum, în dividend și în divizor, mutăm punctul zecimal la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor. Împărțitorul are o cifră după virgulă. Aceasta înseamnă că în dividend și divizor trebuie să mutăm punctul zecimal la dreapta cu o cifră. Noi transferam:

După mutarea punctului zecimal la dreapta cu o cifră, fracția zecimală 5,95 a devenit fracția 59,5. Iar fracția zecimală 1,7, după ce a mutat punctul zecimal la dreapta cu o cifră, s-a transformat în numărul obișnuit 17. Și știm deja cum să împărțim o fracție zecimală la un număr obișnuit. Calculul suplimentar nu este dificil:

Virgula este mutată spre dreapta pentru a face împărțirea mai ușoară. Acest lucru este permis deoarece la înmulțirea sau împărțirea dividendului și a divizorului cu același număr, coeficientul nu se modifică. Ce înseamnă?

Aceasta este una dintre caracteristicile interesante ale diviziunii. Se numește proprietatea coeficientului. Luați în considerare expresia 9: 3 = 3. Dacă în această expresie dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul 3 nu se va modifica.

Să înmulțim dividendul și divizorul cu 2 și să vedem ce rezultă din el:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

După cum se poate vedea din exemplu, coeficientul nu s-a schimbat.

Același lucru se întâmplă atunci când mutăm virgula în dividend și în divizor. În exemplul anterior, în care am împărțit 5,91 la 1,7, am mutat virgula în dividend și divizor cu o cifră la dreapta. După mutarea punctului zecimal, fracția 5,91 a fost transformată în fracția 59,1, iar fracția 1,7 a fost transformată în numărul obișnuit 17.

De fapt, în cadrul acestui proces a existat o înmulțire cu 10. Iată cum arăta:

5,91 × 10 = 59,1

Prin urmare, numărul de cifre după punctul zecimal din divizor determină cu ce vor fi înmulțite dividendul și divizorul. Cu alte cuvinte, numărul de cifre după punctul zecimal din divizor va determina câte cifre din dividend și în divizor punctul zecimal va fi mutat la dreapta.

Împărțirea unei zecimale la 10, 100, 1000

Împărțirea unei zecimale la 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca . De exemplu, împărțiți 2,1 la 10. Rezolvați acest exemplu folosind un colț:

Dar există o a doua cale. E mai usoara. Esența acestei metode este că virgula din dividend este mutată la stânga cu atâtea cifre câte zerouri există în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 2.1: 10. Ne uităm la divizor. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero. Aceasta înseamnă că în dividendul de 2,1 trebuie să mutați punctul zecimal la stânga cu o cifră. Mutăm virgula la stânga cu o cifră și vedem că nu mai sunt cifre. În acest caz, adăugați încă un zero înaintea numărului. Ca rezultat, obținem 0,21

Să încercăm să împărțim 2,1 la 100. Există două zerouri în 100. Aceasta înseamnă că în dividendul 2.1 trebuie să mutăm virgula la stânga cu două cifre:

2,1: 100 = 0,021

Să încercăm să împărțim 2,1 la 1000. Există trei zerouri în 1000. Aceasta înseamnă că în dividendul 2.1 trebuie să mutați virgula la stânga cu trei cifre:

2,1: 1000 = 0,0021

Împărțirea unei zecimale la 0,1, 0,01 și 0,001

Împărțirea unei fracții zecimale la 0,1, 0,01 și 0,001 se face în același mod ca . În dividend și în divizor, trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu atâtea cifre câte sunt după punctul zecimal din divizor.

De exemplu, să împărțim 6,3 la 0,1. Mai întâi de toate, să mutăm virgulele din dividend și divizor la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor. Împărțitorul are o cifră după virgulă. Aceasta înseamnă că mutăm virgulele din dividend și divizor la dreapta cu o cifră.

După mutarea punctului zecimal la o cifră din dreapta, fracția zecimală 6,3 devine numărul obișnuit 63, iar fracția zecimală 0,1 după mutarea punctului zecimal la o cifră din dreapta se transformă într-una. Și împărțirea a 63 la 1 este foarte simplă:

Aceasta înseamnă că valoarea expresiei 6,3: 0,1 este 63

Dar există o a doua cale. E mai usoara. Esența acestei metode este că virgula din dividend este mutată la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 6,3: 0,1. Să ne uităm la divizor. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero. Aceasta înseamnă că în dividendul de 6,3 trebuie să mutați punctul zecimal la dreapta cu o cifră. Mutați virgula la o cifră din dreapta și obțineți 63

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,01. Divizorul lui 0,01 are două zerouri. Aceasta înseamnă că în dividendul 6.3 trebuie să mutăm punctul zecimal la dreapta cu două cifre. Dar în dividend există doar o cifră după virgulă. În acest caz, trebuie să adăugați un alt zero la sfârșit. Ca rezultat, obținem 630

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,001. Divizorul lui 0,001 are trei zerouri. Aceasta înseamnă că în dividendul 6.3 trebuie să mutăm punctul zecimal la dreapta cu trei cifre:

6,3: 0,001 = 6300

Sarcini pentru soluție independentă

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou VKontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Acest articol este despre zecimale. Aici vom înțelege notația zecimală a numerelor fracționale, vom introduce conceptul de fracție zecimală și vom da exemple de fracții zecimale. În continuare, vom vorbi despre cifrele fracțiilor zecimale și vom oferi numele cifrelor. După aceasta, ne vom concentra asupra fracțiilor zecimale infinite, să vorbim despre fracții periodice și neperiodice. În continuare vom enumera operațiile de bază cu fracții zecimale. În concluzie, să stabilim poziția fracțiilor zecimale pe fasciculul de coordonate.

Navigare în pagină.

Notarea zecimală a unui număr fracționar

Citirea zecimale

Să spunem câteva cuvinte despre regulile de citire a fracțiilor zecimale.

Fracțiile zecimale, care corespund fracțiilor ordinare propriu-zise, ​​sunt citite în același mod ca aceste fracții obișnuite, se adaugă mai întâi doar „numărul întreg zero”. De exemplu, fracția zecimală 0,12 corespunde fracției comune 12/100 (a se citi „douăsprezece sutimi”), prin urmare, 0,12 este citit ca „virgul zero douăsprezece sutimi”.

Fracțiile zecimale care corespund numerelor mixte se citesc exact la fel ca aceste numere mixte. De exemplu, fracția zecimală 56,002 corespunde unui număr mixt, astfel încât fracția zecimală 56,002 este citită ca „cincizeci și șase virgulă două miimi”.

Locurile în zecimale

În scrierea fracțiilor zecimale, precum și în scrierea numerelor naturale, semnificația fiecărei cifre depinde de poziția sa. Într-adevăr, numărul 3 în fracția zecimală 0,3 înseamnă trei zecimi, în fracția zecimală 0,0003 - trei zece miimi, iar în fracția zecimală 30.000,152 - trei zeci de mii. Deci putem vorbi despre zecimale, precum și despre cifrele din numere naturale.

Numele cifrelor din fracția zecimală până la virgulă coincid complet cu numele cifrelor din numere naturale. Și numele zecimalei după virgulă pot fi văzute din următorul tabel.

De exemplu, în fracția zecimală 37,051, cifra 3 este în locul zecilor, 7 este în locul unităților, 0 este în locul zecimii, 5 este în locul sutimiilor și 1 este în locul miilor.

Locurile din fracțiile zecimale diferă și ca prioritate. Dacă în scrierea unei fracții zecimale trecem de la cifră la cifră de la stânga la dreapta, atunci ne vom muta de la seniori La grade juniori. De exemplu, locul sutelor este mai vechi decât locul zecimii, iar locul milioanelor este mai mic decât locul sutimilor. Într-o fracție zecimală finală dată, putem vorbi despre cifrele majore și minore. De exemplu, în fracția zecimală 604,9387 senior (cel mai înalt) locul este locul sutelor și junior (cel mai mic)- cifra a zece miimii.

Pentru fracțiile zecimale are loc extinderea în cifre. Este similar cu extinderea în cifre ale numerelor naturale. De exemplu, extinderea în zecimale de 45,6072 este următoarea: 45,6072=40+5+0,6+0,007+0,0002. Iar proprietățile de adunare din descompunerea unei fracții zecimale în cifre vă permit să treceți la alte reprezentări ale acestei fracții zecimale, de exemplu, 45.6072=45+0.6072, sau 45.6072=40.6+5.007+0.0002, sau 45.6072=45.6072=45. 0,6.

Încheierea cu zecimale

Până în acest moment, am vorbit doar despre fracții zecimale, în notarea cărora există un număr finit de cifre după virgulă. Astfel de fracții se numesc zecimale finite.

Definiție.

Încheierea cu zecimale- Acestea sunt fracții zecimale, ale căror înregistrări conțin un număr finit de caractere (cifre).

Iată câteva exemple de fracții zecimale finale: 0,317, 3,5, 51,1020304958, 230.032,45.

Cu toate acestea, nu orice fracție poate fi reprezentată ca o zecimală finală. De exemplu, fracția 5/13 nu poate fi înlocuită cu o fracție egală cu unul dintre numitorii 10, 100, ..., prin urmare, nu poate fi convertită într-o fracție zecimală finală. Vom vorbi mai multe despre acest lucru în secțiunea de teorie, conversia fracțiilor obișnuite în zecimale.

Decimale infinite: fracții periodice și fracții neperiodice

Scriind o fracție zecimală după virgulă, puteți presupune posibilitatea unui număr infinit de cifre. În acest caz, vom ajunge să luăm în considerare așa-numitele fracții zecimale infinite.

Definiție.

zecimale infinite- Acestea sunt fracții zecimale, care conțin un număr infinit de cifre.

Este clar că nu putem scrie fracții zecimale infinite în formă completă, așa că în înregistrarea lor ne limităm doar la un anumit număr finit de cifre după virgulă zecimală și punem o elipsă care indică o succesiune infinită de cifre. Iată câteva exemple de fracții zecimale infinite: 0,143940932…, 3,1415935432…, 153,02003004005…, 2,111111111…, 69,74152152152….

Dacă te uiți cu atenție la ultimele două fracții zecimale infinite, atunci în fracția 2,111111111... numărul 1 care se repetă la nesfârșit este vizibil clar, iar în fracția 69,74152152152..., începând cu a treia zecimală, un grup de numere care se repetă 1, 5 și 2 sunt clar vizibile. Astfel de fracții zecimale infinite se numesc periodice.

Definiție.

zecimale periodice(sau pur și simplu fractii periodice) sunt fracții zecimale nesfârșite, în înregistrarea cărora, pornind de la o anumită zecimală, se repetă la nesfârșit un număr sau un grup de numere, care se numește perioada fracției.

De exemplu, perioada fracției periodice 2,111111111... este cifra 1, iar perioada fracției 69,74152152152... este un grup de cifre de forma 152.

Pentru fracții zecimale periodice infinite, se adoptă o formă specială de notație. Pentru concizie, am convenit să notăm perioada o dată, anexând-o între paranteze. De exemplu, fracția periodică 2,111111111... se scrie ca 2,(1) , iar fracția periodică 69,74152152152... este scrisă ca 69,74(152) .

Este de remarcat faptul că pentru aceeași fracție zecimală periodică pot fi specificate perioade diferite. De exemplu, fracția zecimală periodică 0,73333... poate fi considerată ca o fracție 0,7(3) cu o perioadă de 3 și, de asemenea, ca o fracție 0,7(33) cu o perioadă de 33 și așa mai departe 0,7(333), 0,7 (3333), ... De asemenea, puteți privi fracția periodică 0,73333 ... astfel: 0,733(3), sau așa 0,73(333), etc. Aici, pentru a evita ambiguitatea și discrepanțe, suntem de acord să considerăm ca perioadă a unei fracții zecimale cea mai scurtă dintre toate secvențele posibile de cifre repetate, începând de la cea mai apropiată poziție până la punctul zecimal. Adică perioada fracției zecimale 0,73333... va fi considerată o secvență de o cifră 3, iar periodicitatea începe din a doua poziție după virgulă, adică 0,73333...=0,7(3). Un alt exemplu: fracția periodică 4,7412121212... are perioada 12, periodicitatea începe de la a treia cifră după virgulă, adică 4,7412121212...=4,74(12).

Fracțiile periodice zecimale infinite se obțin prin transformarea în fracții zecimale a fracțiilor obișnuite ai căror numitori conțin factori primi alții decât 2 și 5.

Aici merită menționat fracțiile periodice cu o perioadă de 9. Să dăm exemple de astfel de fracții: 6,43(9) , 27,(9) . Aceste fracții sunt o altă notație pentru fracțiile periodice cu perioada 0 și sunt de obicei înlocuite cu fracții periodice cu perioada 0. Pentru a face acest lucru, perioada 9 este înlocuită cu perioada 0, iar valoarea următoarei cifrei cea mai mare este mărită cu unu. De exemplu, o fracție cu perioada 9 de forma 7.24(9) este înlocuită cu o fracție periodică cu perioada 0 de forma 7.25(0) sau o fracție zecimală finală egală 7.25. Un alt exemplu: 4,(9)=5,(0)=5. Egalitatea unei fracții cu perioada 9 și a fracției sale corespunzătoare cu perioada 0 se stabilește ușor după înlocuirea acestor fracții zecimale cu fracții ordinare egale.

În cele din urmă, să aruncăm o privire mai atentă asupra fracțiilor zecimale infinite, care nu conțin o secvență de cifre care se repetă la nesfârșit. Ele sunt numite neperiodice.

Definiție.

zecimale nerecurente(sau pur și simplu fracții neperiodice) sunt fracții zecimale infinite care nu au punct.

Uneori, fracțiile neperiodice au o formă asemănătoare cu cea a fracțiilor periodice, de exemplu, 8,02002000200002... este o fracție neperiodică. În aceste cazuri, ar trebui să fii deosebit de atent să observi diferența.

Rețineți că fracțiile neperiodice nu se convertesc în fracții obișnuite; fracțiile zecimale neperiodice infinite reprezintă numere iraționale.

Operații cu zecimale

Una dintre operațiile cu fracții zecimale este comparația și sunt definite și cele patru funcții aritmetice de bază operatii cu zecimale: adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Să luăm în considerare separat fiecare dintre acțiunile cu fracții zecimale.

Comparația zecimale bazată în esență pe compararea fracțiilor obișnuite corespunzătoare fracțiilor zecimale comparate. Cu toate acestea, conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite este un proces destul de intensiv în muncă, iar fracțiile neperiodice infinite nu pot fi reprezentate ca o fracție obișnuită, așa că este convenabil să folosiți o comparație a fracțiilor zecimale la nivel de loc. Compararea în funcție de locație a fracțiilor zecimale este similară cu compararea numerelor naturale. Pentru informații mai detaliate, vă recomandăm să studiați articolul: comparație de fracții zecimale, reguli, exemple, soluții.

Să trecem la pasul următor - înmulțirea zecimalelor. Înmulțirea fracțiilor zecimale finite se realizează în mod similar cu scăderea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții de înmulțire cu o coloană de numere naturale. În cazul fracțiilor periodice, înmulțirea poate fi redusă la înmulțirea fracțiilor obișnuite. La rândul său, înmulțirea fracțiilor zecimale neperiodice infinite după rotunjirea lor se reduce la înmulțirea fracțiilor zecimale finite. Recomandăm pentru studiu în continuare materialul din articol: înmulțirea fracțiilor zecimale, reguli, exemple, soluții.

Decimale pe o rază de coordonate

Există o corespondență unu-la-unu între puncte și zecimale.

Să ne dăm seama cum sunt construite punctele de pe raza de coordonate care corespund unei fracții zecimale date.

Putem înlocui fracții zecimale finite și fracții zecimale periodice infinite cu fracții ordinare egale și apoi construim fracțiile ordinare corespunzătoare pe raza de coordonate. De exemplu, fracția zecimală 1,4 corespunde fracției comune 14/10, deci punctul cu coordonata 1,4 este îndepărtat de la origine în direcția pozitivă cu 14 segmente egale cu o zecime dintr-un segment unitar.

Fracțiile zecimale pot fi marcate pe o rază de coordonate, pornind de la descompunerea unei fracții zecimale date în cifre. De exemplu, trebuie să construim un punct cu coordonata 16.3007, din moment ce 16.3007=16+0.3+0.0007, atunci putem ajunge la acest punct prin așezarea secvențială a 16 segmente unitare de la originea coordonatelor, 3 segmente a căror lungime este egală cu o zecime. dintr-o unitate și 7 segmente, a căror lungime este egală cu o zece miimi dintr-un segment de unitate.

Această metodă de a construi numere zecimale pe o rază de coordonate vă permite să vă apropiați cât doriți de punctul corespunzător unei fracții zecimale infinite.

Uneori este posibil să se traseze cu precizie punctul corespunzător unei fracții zecimale infinite. De exemplu, , atunci această fracție zecimală infinită 1,41421... corespunde unui punct de pe raza de coordonate, îndepărtat de originea coordonatelor prin lungimea diagonalei unui pătrat cu latura de 1 segment unitar.

Procesul invers de obținere a fracției zecimale corespunzătoare unui punct dat de pe o rază de coordonate este așa-numitul măsurarea zecimală a unui segment. Să ne dăm seama cum se face.

Sarcina noastră să fie să ajungem de la origine la un punct dat pe linia de coordonate (sau să ne apropiem de el la infinit dacă nu putem ajunge la el). Cu măsurarea zecimală a unui segment, putem elimina succesiv de la origine orice număr de segmente de unitate, apoi segmente a căror lungime este egală cu o zecime de unitate, apoi segmente a căror lungime este egală cu o sutime de unitate etc. Înregistrând numărul de segmente din fiecare lungime pusă deoparte, obținem fracția zecimală corespunzătoare unui punct dat de pe raza de coordonate.

De exemplu, pentru a ajunge la punctul M din figura de mai sus, trebuie să lăsați deoparte 1 segment de unitate și 4 segmente, a căror lungime este egală cu o zecime de unitate. Astfel, punctul M corespunde fracției zecimale 1,4.

Este clar că punctele razei de coordonate, care nu pot fi atinse în procesul de măsurare zecimală, corespund unor fracții zecimale infinite.

Bibliografie.

• Matematică: manual pentru clasa a 5-a. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematică. Clasa a VI-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru cei care intră în școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.

În matematică Tipuri variate numerele au fost studiate încă de la începuturile lor. Există un număr mare de seturi și subseturi de numere. Printre acestea se numără numere întregi, raționale, iraționale, naturale, pare, impare, complexe și fracționale. Astăzi vom analiza informații despre ultima mulțime - numere fracționale.

Definiţia fractions

Fracțiile sunt numere formate dintr-o parte întreagă și fracții de unitate. La fel ca numerele întregi, există un număr infinit de fracții între două numere întregi. În matematică, operațiile cu fracții se efectuează în același mod ca și cu numere întregi și naturale. Este destul de simplu și poate fi învățat în câteva lecții.

Articolul prezintă două tipuri

Fracții comune

Fracțiile obișnuite sunt partea întreagă a și două numere scrise prin linia fracțională b/c. Fracțiile comune pot fi extrem de convenabile dacă partea fracțională nu poate fi reprezentată în formă zecimală rațională. În plus, este mai convenabil să efectuați operații aritmetice prin linia fracțională. Partea superioară se numește numărător, partea inferioară este numitorul.

Operații cu fracții ordinare: exemple

Proprietatea principală a unei fracții. Laînmulțind numărătorul și numitorul cu același număr care nu este zero, rezultă un număr egal cu cel dat. Această proprietate a unei fracții ajută perfect la aducerea numitorului pentru adunare (acest lucru va fi discutat mai jos) sau la scurtarea fracției, făcând-o mai convenabilă pentru numărare. a/b = a*c/b*c. De exemplu, 36/24 = 6/4 sau 9/13 = 18/26

Reducere la un numitor comun. Pentru a obține numitorul unei fracții, trebuie să prezentați numitorul sub formă de factori, apoi să înmulțiți cu numerele lipsă. De exemplu, 7/15 și 12/30; 7/5*3 și 12/5*3*2. Vedem că numitorii diferă cu doi, așa că înmulțim numărătorul și numitorul primei fracții cu 2. Obținem: 14/30 și 12/30.

Fracții compuse- fracții ordinare cu toată partea evidențiată. (A b/c) Pentru a reprezenta o fracție compusă ca fracție comună, trebuie să înmulțiți numărul din fața fracției cu numitorul, apoi să îl adăugați cu numărătorul: (A*c + b)/c.

Operații aritmetice cu fracții

Ar fi o idee bună să luați în considerare operațiile aritmetice binecunoscute numai atunci când lucrați cu numere fracționale.

Adunare si scadere. Adunarea și scăderea fracțiilor este la fel de ușor ca și adunarea și scăderea numerelor întregi, cu excepția unei singure dificultăți - prezența unei linii fracționale. Când adăugați fracții cu același numitor, trebuie doar să adăugați numărătorii ambelor fracții; numitorii rămân neschimbați. De exemplu: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

Dacă numitorii a două fracții sunt numere diferite, mai întâi trebuie să le aduceți la un număr comun (cum s-a discutat mai sus). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Scăderea urmează exact același principiu: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Înmulțirea și împărțirea. AcțiuniÎnmulțirea cu fracții are loc după următorul principiu: numărătorii și numitorii se înmulțesc separat. În general, formula de înmulțire arată astfel: a/b *c/d = a*c/b*d. În plus, pe măsură ce înmulțiți, puteți reduce fracția eliminând factori similari de la numărător și numitor. Cu alte cuvinte, numărătorul și numitorul sunt împărțite la același număr: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

Pentru a împărți o fracție obișnuită la alta, trebuie să schimbați numărătorul și numitorul divizorului și să înmulțiți două fracții conform principiului discutat mai devreme: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5

zecimale

Decimalele sunt versiunea mai populară și mai des folosită a fracțiilor. Este mai ușor să le notați pe o linie sau să le prezentați pe un computer. Structura unei zecimale este următoarea: mai întâi se scrie numărul întreg, iar apoi, după virgulă, se scrie partea fracțională. La baza lor, zecimale sunt fracții compuse, dar partea lor fracțională este reprezentată de un număr împărțit la un multiplu de 10. De aici provine numele lor. Operațiile cu fracții zecimale sunt similare cu operațiile cu numere întregi, deoarece sunt scrise și în sistemul numeric zecimal. De asemenea, spre deosebire de fracțiile obișnuite, zecimalele pot fi iraționale. Aceasta înseamnă că pot fi nesfârșite. Sunt scrise astfel: 7, (3). Următoarea intrare arată: șapte virgulă trei, trei zecimi într-o perioadă.

Operații de bază cu numere zecimale

Adunarea și scăderea zecimalelor. Lucrul cu fracții nu este mai dificil decât lucrul cu numere naturale întregi. Regulile sunt absolut similare cu cele folosite la adunarea sau scăderea numerelor naturale. Ele pot fi numărate ca o coloană în același mod, dar dacă este necesar, înlocuiți locurile lipsă cu zerouri. De exemplu: 5,5697 - 1,12. Pentru a efectua scăderea coloanelor, trebuie să egalizați numărul de numere după virgulă zecimală: (5,5697 - 1,1200). Deci, valoarea numerică nu se va modifica și poate fi numărată într-o coloană.

Operațiile cu fracții zecimale nu pot fi efectuate dacă una dintre ele are o formă irațională. Pentru a face acest lucru, trebuie să convertiți ambele numere în fracții obișnuite și apoi să utilizați tehnicile descrise mai devreme.

Înmulțirea și împărțirea.Înmulțirea zecimalelor este similară cu înmulțirea fracțiilor naturale. Ele pot fi, de asemenea, înmulțite într-o coloană, simplu, fără a fi atent la virgulă, și apoi separate prin virgulă în valoarea finală același număr de cifre ca și totalul după ce virgulă a fost în două fracții zecimale. De exemplu, 1,5 * 2,23 = 3,345. Totul este foarte simplu și nu ar trebui să provoace dificultăți dacă ați stăpânit deja înmulțirea numerelor naturale.

Împărțirea este, de asemenea, aceeași cu împărțirea numerelor naturale, dar cu o ușoară abatere. Pentru a împărți cu un număr zecimal cu o coloană, trebuie să renunțați la punctul zecimal din divizor și să înmulțiți dividendul cu numărul de cifre după punctul zecimal din divizor. Apoi faceți împărțirea ca în cazul numerelor naturale. Când împărțiți incomplet, puteți adăuga zerouri la dividendul din dreapta, adăugând și un zero la răspuns după virgulă.

Exemple de operații cu zecimale. Decimale sunt foarte instrument la îndemână pentru calculul aritmetic. Ele combină comoditatea numerelor naturale, a numerelor întregi și a preciziei fracțiilor. În plus, este destul de ușor să convertiți unele fracții în altele. Operațiile cu fracții nu sunt diferite de operațiile cu numere naturale.

1. Adunare: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Scădere: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Înmulțire: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Diviziune: 3,6: 0,6 = 6

De asemenea, zecimale sunt potrivite pentru reprezentarea procentelor. Deci, 100% = 1; 60% = 0,6; și invers: 0,659 = 65,9%.

Asta este tot ce trebuie să știi despre fracții. Articolul a examinat două tipuri de fracții - ordinare și zecimale. Ambele sunt destul de simplu de calculat, iar dacă ai stăpânit complet numerele naturale și operațiunile cu ele, poți începe în siguranță să înveți fracțiile.