Slīdēšanas komunikācija no rotējošu masu inerces. I.4.2. rotācijas kustības dinamikas pamatlikums. Spēka moments, kas iedarbojas uz i-to materiālo punktu

Lekcijas plāns

Inerces moments.

Spēka mirklis. Rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums.

impulsa moments. Leņķiskā impulsa saglabāšanas likums.

Darbs un kinētiskā enerģija rotācijas kustības laikā.

1. Inerces moments.

Apsverot rotācijas kustību, ir jāievieš jauni fizikāli jēdzieni: inerces moments, spēka moments, impulsa moments.

Inerces moments ir ķermeņa inerces mērs ķermeņa rotācijas kustības laikā.

Inerces moments materiāla punkta vērtība attiecībā pret fiksētu griešanās asi ir vienāda ar tā masas reizinājumu ar attāluma kvadrātu līdz apskatāmajai rotācijas asij (1. att.):

ir atkarīgs tikai no materiālā punkta masas un tā stāvokļa attiecībā pret griešanās asi un nav atkarīgs no pašas rotācijas esamības.

Inerces moments ir skalārs un aditīvs lielums, tāpēc ķermeņa inerces moments ir vienāds ar visu tā punktu inerces momentu summu:

.

Nepārtraukta masas sadalījuma gadījumā šī summa tiek samazināta līdz integrālim:

,

kur ir neliela ķermeņa tilpuma masa
, - ķermeņa blīvums - attālums no elementa
uz rotācijas asi.

Inerces moments ir analogs masai rotācijas kustībā. Jo lielāks ir ķermeņa inerces moments, jo grūtāk ir mainīt rotējošā ķermeņa leņķisko ātrumu. Inerces momentam ir nozīme tikai noteiktā rotācijas ass pozīcijā. Ir bezjēdzīgi runāt vienkārši par "inerces momentu". Tas ir atkarīgs no:

1) no rotācijas ass stāvokļa;

2) par ķermeņa masas sadalījumu attiecībā pret rotācijas asi, t.i. par ķermeņa formu un izmēru.

Eksperimentāls pierādījums tam ir pieredze ar rites cilindriem.

Integrējot dažiem viendabīgiem ķermeņiem, varam iegūt šādas formulas (rotācijas ass iet caur ķermeņa masas centru).

Stīpas (mēs neņemam vērā sienas biezumu) vai doba cilindra inerces moments:

Diska vai cieta cilindra ar rādiusu R inerces moments:

.

Bumbiņas inerces moments

Stieņa inerces moments

E Ja ķermenim ir zināms inerces moments ap asi, kas iet caur masas centru, tad inerces momentu ap jebkuru asi, kas ir paralēla pirmajai asij nosaka ar Šteinera teorēma: ķermeņa inerces moments ap patvaļīgu asi ir vienāds ar inerces momentu J 0 ap asi, kas ir paralēla dotajai un iet caur ķermeņa masas centru, ko pievieno ķermeņa masas reizinājumam ar attāluma starp asīm kvadrātā.

Kur d attālums no masas centra PAR uz rotācijas asi (2. att.).

Masas centrs- iedomāts punkts, kura novietojums raksturo dotā ķermeņa masas sadalījumu. Ķermeņa masas centrs pārvietojas tāpat kā materiāls punkts ar tādu pašu masu visu ārējo spēku ietekmē, kas iedarbojas uz šo ķermeni.

Inerces momenta jēdzienu mehānikā ieviesa krievu zinātnieks L. Eilers 18. gadsimta vidū, un kopš tā laika to plaši izmanto daudzu stingrās ķermeņa dinamikas problēmu risināšanā. Inerces momenta vērtība ir jāzina praksē, aprēķinot dažādus rotējošus mezglus un sistēmas (spararatus, turbīnas, elektromotoru rotorus, žiroskopus). Inerces moments ir iekļauts ķermeņa (kuģa, lidmašīnas, šāviņa u.c.) kustības vienādojumos. To nosaka, kad viņi vēlas uzzināt rotācijas kustības parametrus lidmašīna ap masas centru ārēja traucējuma (vēja brāzma utt.) iedarbībā.

Ļaujiet kādam ķermenim, iedarbojoties uz punktā A pieliktā spēka F, griezties ap asi OO" (1.14. att.).

Spēks darbojas plaknē, kas ir perpendikulāra asij. Perpendikulu p, kas nomests no punkta O (kas atrodas uz ass) spēka virzienam, sauc. spēka plecu. Spēka reizinājums uz plecu nosaka spēka momenta moduli attiecībā pret punktu O:

M = Fp = Frsinα.

Spēka mirklis ir vektors, ko nosaka spēka pielikšanas punkta rādiusa vektora un spēka vektora reizinājums:

(3.1) Spēka momenta mērvienība ir ņūtonmetrs (N m).

M virzienu var atrast, izmantojot labo skrūvju likumu.

leņķiskais impulss daļiņu sauc par daļiņas rādiusa vektora un tās impulsa vektorreizinājumu:

vai skalārā formā L = gPsinα

Šis lielums ir vektors un sakrīt virzienā ar vektoriem ω.

§ 3.2. Inerces moments. Šteinera teorēma

Ķermeņu inerces mērs translācijas kustībā ir masa. Ķermeņu inerce rotācijas kustības laikā ir atkarīga ne tikai no masas, bet arī no tās sadalījuma telpā attiecībā pret rotācijas asi. Inerces mērs rotācijas kustības laikā ir lielums, ko saucķermeņa inerces moments ap rotācijas asi.

Materiāla punkta inerces moments attiecībā pret rotācijas asi ir šī punkta masas un tā attāluma no ass kvadrāta reizinājums:

I i = m i r i 2 (3.2)

Ķermeņa inerces moments ap griešanās asi Nosauciet to materiālo punktu inerces momentu summu, kas veido šo ķermeni:

(3.3)

Vispārīgā gadījumā, ja ķermenis ir ciets un ir punktu kopums ar mazām masām dm, inerces momentu nosaka integrācija:

(3.4)

Ja ķermenis ir viendabīgs un tā blīvums
, tad ķermeņa inerces moments

(3.5)

Ķermeņa inerces moments ir atkarīgs no tā, kura ass tas griežas un kā ķermeņa masa tiek sadalīta pa tilpumu.

Visvienkāršāk nosaka to ķermeņu inerces momentu, kuriem ir pareiza ģeometriskā forma un vienmērīgs masas sadalījums pa tilpumu.

Viendabīga stieņa inerces moments attiecībā pret asi, kas iet caur inerces centru un ir perpendikulāra stienim

(3.6)

Viendabīga cilindra inerces moments ap asi, kas ir perpendikulāra tās pamatnei un iet caur inerces centru,

(3.7)

Plānsienu cilindra inerces moments vai stīpa ap asi, kas ir perpendikulāra tās pamatnes plaknei un iet caur tās centru,

(3.8)

Inerces moments bumba attiecībā pret diametru

(3.9)

Apsveriet piemēru . Nosakīsim diska inerces momentu ap asi, kas iet caur inerces centru un ir perpendikulāra griešanās plaknei. Diska masa - m, rādiuss - R.

Gredzena laukums (3.2. att.), kas norobežots starp

r un r + dr ir vienāds ar dS = 2πr dr . Diska laukums S = πR 2 .

Tāpēc
. Tad

vai

Saskaņā ar

Dotās formulas ķermeņu inerces momentiem ir dotas ar nosacījumu, ka rotācijas ass iet caur inerces centru. Lai noteiktu ķermeņa inerces momentus ap patvaļīgu asi, jāizmanto Šteinera teorēma : ķermeņa inerces moments ap patvaļīgu griešanās asi ir vienāds ar ķermeņa inerces momenta summu ap asi, kas ir paralēla dotajai un iet caur ķermeņa masas centru, un ķermeņa masa ar attāluma starp asīm kvadrātu:

(3.11)

Inerces momenta mērvienība ir kilograms-metrs kvadrātā (kg m 2).

Tātad viendabīga stieņa inerces moments ap asi, kas iet caur tā galu, saskaņā ar Šteinera teorēmu ir vienāds ar

(3.12)

Pieņemsim, ka stingrs ķermenis A (1.19. att., a) var griezties ap kādu fiksētu asi. Lai izraisītu ķermeņa griešanos (lai mainītu tā leņķisko ātrumu), ir nepieciešama ārēja ietekme. Tomēr spēks, kura virziens iet cauri rotācijas asi, vai spēks, kas ir paralēls asij, nevar mainīt ķermeņu leņķisko ātrumu.

Tāpēc no ārējā spēka, kas tiek pielikts ķermenim, ir jāizvēlas komponenti, kas neizraisa rotāciju. Rotāciju var izraisīt tikai spēks (rotācijas spēks), kas atrodas plaknē, kas ir perpendikulāra rotācijas asij un ir vērsta tangenciāli uz apli, ko raksturo tā pielietošanas punkts.

Ņemiet vērā, ka, ķermenim griežoties, darba sastāvdaļas nedarbojas, jo šo spēku pielikšanas punkts pārvietojas perpendikulāri to virzieniem. Darbu veic tikai ar rotācijas spēku, tā ir uz ķermeni iedarbojošā spēka projekcija šī spēka pielikšanas punkta kustības virzienā.

Noteiksim darba apjomu, ko veic rotējošais spēks, ja tā pielikšanas punkts tiek nobīdīts pa rādiusa apli par (1.19. att., b). Pieņemsim, ka spēka lielums paliek nemainīgs. Tad

Rotācijas spēka reizinājums ar rādiusu ir rotācijas spēka moments jeb griezes moments, kas iedarbojas uz noteiktu ķermeni, un to apzīmē ar vadīts no norādītā

asi pret spēka virzienu). Tādējādi formulā (2.8)

tāpēc griezes momenta veiktais darbs ir vienāds ar šī momenta reizinājumu ar ķermeņa griešanās leņķi:

Ja griezes moments (spēks vai tā plecs) laika gaitā mainās, tad paveikto darbu definē kā summu:

Rotācijas spēka moments ir attēlots kā vektors, kas sakrīt ar rotācijas asi; šī vektora pozitīvā orientācija ir izvēlēta virzienā, kurā kustētos ar šo momentu pagrieztā labā skrūve.

Korpusam pieliktais griezes moments dod tam zināmu leņķisko paātrinājumu atbilstoši mūsu izvēlēto vektoru virzieniem, tie ir orientēti pa rotācijas asi vienā virzienā. Sakarību starp griezes momenta lielumu un tā norādīto leņķiskā paātrinājuma lielumu var noteikt divos veidos:

a) var izmantot faktu, ka virzošā spēka darbs ir vienāds ar ķermeņa kinētiskās enerģijas izmaiņām, uz kuru šis spēks tiek pielietots: Rotējošam ķermenim saskaņā ar (2.9) un (2.4) formulām mēs ir

Šeit mēs pieņemam, ka ķermeņa inerces moments rotācijas laikā nemainās. Sadalot šo vienādojumu ar un samazinot ar, mēs iegūstam

b) varat izmantot faktu, ka rotācijas spēka moments ir vienāds ar to spēku momentu summu, kas informē indivīdu sastāvdaļasķermeņu tangenciālie paātrinājumi šie spēki ir vienādi un to momenti ir

Aizstāsim tangenciālos paātrinājumus ar leņķisko paātrinājumu, kas ir vienāds visām rotējošā ķermeņa daļiņām (ja ķermenis rotācijas laikā nedeformējas): Tad

Formula (2.12) izsaka cietu (nedeformējamu) ķermeņu rotācijas kustības dinamikas pamatlikumu, kuram

leņķiskais paātrinājums, ko ķermenis iegūst noteiktā griezes momenta ietekmē, ir tieši proporcionāls šī momenta lielumam un apgriezti proporcionāls ķermeņa inerces momentam ap rotācijas asi:

Vektora formā šis likums ir uzrakstīts kā

Ja ķermenis rotācijas laikā tiek deformēts, tad mainīsies tā inerces moments attiecībā pret griešanās asi. Garīgi iedomājieties rotējošu ķermeni, kas sastāv no daudzām elementārām (punktveida) daļām; tad visa ķermeņa deformācija nozīmēs izmaiņas attālumos no šīm ķermeņa daļām līdz rotācijas asij. Tomēr noteiktā griešanās leņķiskā ātruma w attāluma izmaiņas tiks papildinātas ar izmaiņām lineārais ātrums tātad šīs daļiņas kustība un tās kinētiskā enerģija. Tādējādi pie nemainīga ķermeņa griešanās leņķiskā ātruma attālumu izmaiņas (tātad ķermeņa inerces momenta izmaiņas) pavadīs visa ķermeņa rotācijas kinētiskās enerģijas izmaiņas.

No formulas (2.4), pieņemot mainīgos, mēs varam iegūt

Pirmais termins parāda rotējoša ķermeņa kinētiskās enerģijas izmaiņas, kas notika tikai rotācijas leņķiskā ātruma izmaiņu rezultātā (plkst. Šis brīdisķermeņa inerce), un otrais termins parāda kinētiskās anerģijas izmaiņas, kas radās tikai ķermeņa inerces momenta izmaiņu rezultātā (pie noteikta leņķiskā griešanās ātruma).

Tomēr, mainoties attālumam no punkta ķermeņa līdz rotācijas asij, darbosies iekšējie spēki, kas savieno šo ķermeni ar rotācijas asi: negatīvi, ja ķermenis attālinās, un pozitīvi, ja ķermenis tuvojas rotācijas asij; šo darbu var aprēķināt, ja pieņemam, ka spēks, kas savieno daļiņu ar rotācijas asi, ir skaitliski vienāds ar centripetālo spēku:

Visam ķermenim, kas sastāv no daudzām daļiņām ar masām, mēs iegūstam

Vispārīgā gadījumā, kad uz ķermeni iedarbojas ārējs griezes moments, kinētiskās enerģijas izmaiņas jāpielīdzina divu darbu summai: ārējais griezes moments un iekšējie spēki.Ar paātrinātu rotāciju lielumiem būs pozitīvas zīmes, - negatīvas

zīme (jo ķermeņa daļiņas attālinās no rotācijas ass); Tad

Aizvietojot šeit vērtību no izteiksmes (2.15) un aizstājot ar, mēs iegūstam

vai pēc samazināšanas

Šis ir vispārīgs priekšstats par mehānikas pamatlikumu ķermeņiem, kas rotē ap fiksētu asi; tas ir piemērojams arī deformējošiem ķermeņiem. Pie , formula (2.16) pāriet uz formulu (2.14).

Ņemiet vērā, ka deformējošiem ķermeņiem rotācijas leņķiskā ātruma izmaiņas ir iespējamas pat tad, ja nav ārēja griezes momenta. Patiešām, kā - no formulas (2.16) mēs iegūstam:

Šajā gadījumā rotācijas leņķiskais ātrums ω mainās tikai iekšējo spēku izraisītas ķermeņa inerces momenta maiņas dēļ.

Ņemot vērā translācijas un rotācijas kustības, mēs varam izveidot analoģiju starp tām. Translācijas kustības kinemātikā tiek izmantots ceļš s, ātrums  un paātrinājums A. To lomu rotācijas kustībā spēlē griešanās leņķis , leņķiskais ātrums  un leņķiskais paātrinājums ε. Translācijas kustības dinamikā spēka, masas jēdzieni T un impulsu Rotācijas kustībā moments spēlē spēka lomu.
spēki, masas loma – inerces moments es z un impulsa loma - leņķiskais impulss Zinot translācijas kustības formulas, ir viegli pierakstīt rotācijas kustības formulas. Piemēram, ar vienmērīgu kustību nobraukto attālumu aprēķina pēc formulas: s =  t, un ar griešanās griešanās leņķi - pēc formulas  =  t. Ņūtona otrais likums
Un
un rotācijas kustības dinamikas pamatlikums ir
Un
Translācijas kustībā ķermeņa impulss ir
un ar rotācijas kustību impulsa moments ir
Šo analoģiju var turpināt.

Spēka darbs translācijas kustībā. Jauda

Ļaujiet ķermenim (materiālajam punktam) iedarboties pastāvīga spēka ietekmē , kas veido nemainīgu leņķi  ar kustības virzienu, pārvietojas pa taisnu līniju kādā atskaites sistēmā un šķērso ceļu l. Tad, kā zināms no skolas fizikas kursa, darbs Ašo spēku nosaka pēc formulas:

A= fl· cos  = F l l, (1)

Tagad aplūkosim vispārējo darba aprēķināšanas gadījumu, kad ķermenis pārvietojas translācijas ceļā pa līknes trajektoriju mainīga spēka iedarbībā. Pa ceļam l atlasiet elementāru sadaļu dl, kurā var uzskatīt spēku un leņķis  ir nemainīgas vērtības, un pati sekcija ir taisna. Tad strādājiet dAšajā sadaļā mēs atrodam, izmantojot formulu (1): dA = F· dl· cos. Darbs A viss ceļš ir vienāds ar darba summu dA, t.i.

(2)

Ikona l kad integrāls nozīmē, ka integrācija tiek veikta visā ceļā l.

Formulai (2) var piešķirt citu formu, ja mēs izmantojam vektoru skalāro reizinājumu. Tad integrands dA tiks rakstīts šādā formā: dA = F· dl· cos=
Kur ir elementārais nobīdes vektors, un

(3)

No formulas (1) var redzēt, ka darbs ir algebrisks lielums. Darba zīme ir atkarīga no leņķa . Ja leņķis  ir akūts, tad cos  > 0 un darbs ir pozitīvs, bet, ja leņķis  ir neass, tad negatīvs.

SI mērvienību sistēmā darba mērvienība ir džouls (J). To ievada no formulas (1), kurā pieņemts, ka cos  = 1. 1 J ir darbs, ko veic ar 1 N spēku uz 1 m gara ceļa, ja spēka un pārvietošanās virzieni sakrīt.

Lai raksturotu darba veikšanas ātrumu, tiek ieviests jaudas jēdziens, kas ir vienāds ar paveikto darbu laika vienībā. Ja elementārs laika intervāls dt elementārs darbs ir padarīts dA, tad jauda R ir vienāds ar

(4)

SI mērvienību sistēmā jaudu mēra vatos (W). Kā izriet no (4), 1 W = 1 J / 1 s, t.i. 1 W- ir jauda, ​​ar kuru 1 sekundē tiek veikts 1 J darbs.

Spēka darbs rotācijas kustības laikā

Apsveriet stingru ķermeni, kas mainīga spēka ietekmē griežas ap asi z kādā leņķī. Šis spēks rada spēka momentu M z , pagriežot korpusu. Spēks ir vērsts tangenciāli uz apli, pa kuru virzās spēka pielikšanas punkts. Tāpēc leņķis  = 0. Ņemot to vērā, pēc analoģijas ar mehāniskā darba formulu (sk. (2)), mēs atrodam izteiksmi, pēc kuras tiek aprēķināts darbs rotācijas kustības laikā:

(5)

Darbs būs pozitīvs, ja spēka tangenciālās sastāvdaļas virziens sakrīt ar griešanās virzienu, un negatīvs, ja tie ir pretējā virzienā.

Stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamika.

Inerces moments.

Spēka mirklis. Rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojums.

impulsa moments.

Inerces moments.

(Apsveriet eksperimentu ar rites cilindriem.)

Apsverot rotācijas kustību, ir jāievieš jauni fizikāli jēdzieni: inerces moments, spēka moments, impulsa moments.

Inerces moments ir ķermeņa inerces mērs ķermeņa rotācijas laikā ap fiksētu asi.

Inerces moments materiāla punkta vērtība attiecībā pret fiksētu griešanās asi ir vienāda ar tā masas reizinājumu ar attāluma kvadrātu līdz apskatāmajai rotācijas asij (1. att.):

Atkarīgs tikai no materiāla punkta masas un tā stāvokļa attiecībā pret griešanās asi un nav atkarīgs no pašas rotācijas klātbūtnes.

Inerces moments – skalārais un aditīvais daudzums

Ķermeņa inerces moments ir vienāds ar visu tā punktu inerces momentu summu

.

Nepārtraukta masas sadalījuma gadījumā šī summa tiek samazināta līdz integrālim:

,

kur ir neliela ķermeņa tilpuma masa, ir ķermeņa blīvums, ir attālums no elementa līdz rotācijas asij.

Inerces moments ir analogs masai rotācijas kustībā. Jo lielāks ir ķermeņa inerces moments, jo grūtāk ir mainīt rotējošā ķermeņa leņķisko ātrumu. Inerces momentam ir nozīme tikai noteiktā rotācijas ass pozīcijā.

Ir bezjēdzīgi runāt vienkārši par "inerces momentu". Tas ir atkarīgs no:

1) no rotācijas ass stāvokļa;

2) par ķermeņa masas sadalījumu attiecībā pret rotācijas asi, t.i. par ķermeņa formu un izmēru.

Eksperimentāls pierādījums tam ir pieredze ar rites cilindriem.

Integrējot dažus viendabīgus ķermeņus, mēs varam iegūt šādas formulas (rotācijas ass iet caur ķermeņa masas centru):

Stīpas (mēs neņemam vērā sienas biezumu) vai doba cilindra inerces moments:

Diska vai cieta cilindra ar rādiusu R inerces moments:

Kur .

Bumbiņas inerces moments

Stieņa inerces moments

E Ja ķermenim ir zināms inerces moments ap asi, kas iet caur masas centru, tad inerces momentu ap jebkuru asi, kas ir paralēla pirmajai asij nosaka ar Šteinera teorēma: ķermeņa inerces moments ap patvaļīgu asi ir vienāds ar inerces momentu J 0 ap asi, kas ir paralēla dotajai un iet caur ķermeņa masas centru, ko pievieno ķermeņa masas reizinājumam ar attāluma starp asīm kvadrātā.

Kur d attālums no masas centra līdz rotācijas asij.

Masas centrs ir iedomāts punkts, kura novietojums raksturo dotā ķermeņa masas sadalījumu. Ķermeņa masas centrs pārvietojas tāpat kā materiāls punkts ar tādu pašu masu visu ārējo spēku ietekmē, kas iedarbojas uz šo ķermeni.

Inerces momenta jēdzienu mehānikā ieviesa krievu zinātnieks L. Eilers 18. gadsimta vidū, un kopš tā laika tas ir plaši izmantots daudzu stingrās ķermeņa dinamikas problēmu risināšanā. Inerces momenta vērtība ir jāzina praksē, aprēķinot dažādus rotējošus mezglus un sistēmas (spararatus, turbīnas, elektromotoru rotorus, žiroskopus). Inerces moments ir iekļauts ķermeņa (kuģa, lidmašīnas, šāviņa u.c.) kustības vienādojumos. To nosaka, kad viņi vēlas uzzināt gaisa kuģa rotācijas kustības parametrus ap masas centru ārēja traucējuma (vēja brāzmas u.c.) ietekmē. Mainīgas masas ķermeņiem (raķetēm) masa un inerces moments laika gaitā mainās.

2 .Spēka mirklis.

Viens un tas pats spēks rotējošam ķermenim var piešķirt dažādus leņķiskos paātrinājumus atkarībā no tā virziena un pielietojuma punkta. Lai raksturotu spēka rotācijas darbību, tiek ieviests spēka momenta jēdziens.

Izšķir spēka momentu attiecībā pret fiksētu punktu un attiecībā pret fiksētu asi. Spēka moments attiecībā pret punktu O (polu) ir vektora lielums, kas vienāds ar rādiusa vektora vektora reizinājumu, kas ar spēka vektoru novilkts no punkta O līdz spēka pielikšanas punktam:

Ilustrējot šo definīciju, attēls. 3 tiek veikts, pieņemot, ka punkts O un vektors atrodas zīmējuma plaknē, tad vektors arī atrodas šajā plaknē, un vektors  uz to un ir vērsts prom no mums (kā vektora reizinājums no 2 vektori; saskaņā ar labās malas likumu).

Spēka momenta modulis ir skaitliski vienāds ar spēka un rokas reizinājumu:

kur ir spēka plecs attiecībā pret punktu O,  ir leņķis starp virzieniem un, .

Plecs - īsākais attālums no griešanās centra līdz spēka darbības līnijai.

Spēka momenta vektors ir vērsts līdzās labās karkasa translācijas kustībai, ja tā rokturis ir pagriezts spēka rotācijas darbības virzienā. Spēka moments ir aksiāls (brīvs) vektors, tas ir vērsts pa griešanās asi, nav saistīts ar noteiktu darbības līniju, to var pārnest uz

telpa, kas ir paralēla pati sev.

Spēka moments attiecībā pret fiksēto asi Z ir vektora projekcija uz šo asi (kas iet caur punktu O).

E Ja uz ķermeni iedarbojas vairāki spēki, tad iegūtais spēku moments ap fiksēto asi Z ir vienāds ar visu uz ķermeni iedarbojošo spēku momentu ap šo asi algebrisko summu.

Ja ķermenim pieliktais spēks neatrodas rotācijas plaknē, to var sadalīt 2 komponentos: guļus griešanās plaknē un  tai F n . Kā redzams no 4. attēla, F n nerada rotāciju, bet tikai noved pie ķermeņa deformācijas; ķermeņa rotācija notiek tikai komponenta F  dēļ.

Rotējošu ķermeni var attēlot kā materiālu punktu kopumu.

IN mēs izvēlamies kādu punktu patvaļīgi ar masu m i, uz kuru iedarbojas spēks, piešķirot punktam paātrinājumu (5. att.). Tā kā tikai tangenciālais komponents rada rotāciju, tas ir vērsts perpendikulāri rotācijas asij, lai vienkāršotu izvadi.

Šajā gadījumā

Saskaņā ar otro Ņūtona likumu: . Reiziniet abas vienādojuma puses ar r i ;

,

kur ir spēka moments, kas iedarbojas uz materiālu punktu,

Materiāla punkta inerces moments.

Līdz ar to,.

Visam ķermenim: ,

tie. ķermeņa leņķiskais paātrinājums ir tieši proporcionāls uz to iedarbojošo ārējo spēku momentam un apgriezti proporcionāls tā inerces momentam. Vienādojums

(1) ir stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas vienādojums attiecībā pret fiksētu asi jeb Ņūtona otrais rotācijas kustības likums.

3 . impulsa moments.

Salīdzinot rotācijas un translācijas kustības likumus, ir redzama līdzība.

Impulsa analogs ir leņķiskais impulss. Leņķiskā impulsa jēdzienu var ieviest arī attiecībā pret fiksētu punktu un attiecībā pret fiksētu asi, bet vairumā gadījumu to var definēt šādi. Ja materiāla punkts griežas ap fiksētu asi, tad tā leņķiskais impulss attiecībā pret šo asi absolūtā vērtībā ir vienāds ar

Kur m i- materiāla punkta masa,

 i - tā lineārais ātrums

r i- attālums līdz rotācijas asij.

Jo rotācijas kustībai

kur ir materiālā punkta inerces moments ap šo asi.

Stingra ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret fiksētu asi ir vienāds ar visu tā punktu leņķiskā impulsa summu attiecībā pret šo asi:

G de ir ķermeņa inerces moments.

Tādējādi stingra ķermeņa leņķiskais impulss attiecībā pret fiksētu griešanās asi ir vienāds ar tā inerces momenta reizinājumu attiecībā pret šo asi ar leņķisko ātrumu un ir vērsts kopā ar leņķiskā ātruma vektoru.

Atšķirsim vienādojumu (2) attiecībā pret laiku:

(3) vienādojums ir cita stingra ķermeņa rotācijas kustības dinamikas pamatvienādojuma forma attiecībā pret fiksētu asi: momenta atvasinājums.

stingra ķermeņa impulss ap fiksētu griešanās asi ir vienāds ar ārējo spēku momentu ap to pašu asi

Šis vienādojums ir viens no svarīgākajiem raķešu dinamikas vienādojumiem. Raķetes kustības laikā nepārtraukti mainās tās masas centra pozīcija, kā rezultātā rodas dažādi spēku momenti: pretestība, aerodinamiskais spēks, lifta radītie spēki. Raķetes rotācijas kustības vienādojums visu tai pielikto spēku momentu iedarbībā kopā ar raķetes masas centra kustības vienādojumiem un kinemātikas vienādojumiem ar zināmiem sākuma nosacījumiem ļauj noteikt raķetes novietojums kosmosā jebkurā laikā.