Predstavitev "Gibanje telesa v krogu." Krožno gibanje. Enačba gibanja v krožnici. Kotna hitrost. Normalno = centripetalni pospešek. Perioda, frekvenca kroženja (rotacija). Razmerje med linearno in kotno hitrostjo Enakomerno gibanje
Teme kodifikatorja USE: gibanje v krožnici s konstantno modulo hitrostjo, centripetalni pospešek.
Enakomerno gibanje po obodu je dokaj preprost primer gibanja z vektorjem pospeška, ki je odvisen od časa.
Naj se točka vrti na krožnici s polmerom . Hitrost točke je konstantna po modulu in enaka . Hitrost se imenuje linearna hitrost točke.
Obdobje obtoka je čas za eno popolno revolucijo. Za obdobje imamo očitno formulo:
. (1)
Pogostost kroženja je recipročna vrednost obdobja:
Frekvenca označuje, koliko popolnih obratov naredi konica na sekundo. Frekvenca se meri v rpm (vrtljaji na sekundo).
Naj, na primer,. To pomeni, da v času, ko točka naredi enega popolnega
promet. Frekvenca je v tem primeru enaka: približno / s; Konica naredi 10 popolnih obratov na sekundo.
Kotna hitrost.
Razmislite o enakomernem vrtenju točke v kartezičnem koordinatnem sistemu. Postavimo izhodišče koordinat v središče kroga (slika 1).
 |
| riž. 1. Enakomerno krožno gibanje |
Naj bo začetni položaj točke; z drugimi besedami, za , točka je imela koordinate . Naj se točka pravočasno obrne za določen kot in zavzame položaj.
Imenuje se razmerje med vrtilnim kotom in časom kotna hitrost rotacija točke:
. (2)
Kot se običajno meri v radianih, zato se kotna hitrost meri v rad/s. Za čas, ki je enak rotacijski dobi, se točka zavrti za določen kot. Zato
. (3)
Če primerjamo formule (1) in (3), dobimo razmerje med linearno in kotno hitrostjo:
. (4)
Zakon gibanja.
Poiščimo zdaj odvisnost koordinat rotacijske točke od časa. Vidimo iz sl. 1 to
Toda iz formule (2) imamo: . Posledično
. (5)
Formule (5) so rešitev glavnega problema mehanike za enakomerno gibanje točke po krožnici.
centripetalni pospešek.
Zdaj nas zanima pospešek rotacijske točke. Najdemo ga tako, da dvakrat diferenciramo relacije (5):
Ob upoštevanju formul (5) imamo:
(6)
Dobljene formule (6) lahko zapišemo kot ena vektorsko enakost:
(7)
kjer je radij vektor rotacijske točke.
Vidimo, da je vektor pospeška usmerjen nasproti vektorju radija, to je proti središču kroga (glej sliko 1). Zato se imenuje pospešek točke, ki se enakomerno premika po krožnici centripetalno.
Poleg tega iz formule (7) dobimo izraz za modul centripetalnega pospeška:
(8)
Kotno hitrost izrazimo iz (4)
in nadomestite v (8) . Vzemimo še eno formulo za centripetalni pospešek.
V tej lekciji bomo obravnavali krivuljno gibanje, in sicer enakomerno gibanje telesa v krožnici. Spoznali bomo, kaj je linearna hitrost, centripetalni pospešek pri gibanju telesa po krožnici. Uvedemo tudi količine, ki označujejo rotacijsko gibanje (rotacijska doba, vrtilna frekvenca, kotna hitrost), in te količine med seboj povežemo.
Pod enakomernim gibanjem v krogu se razume, da se telo vrti za isti kot za poljubno enako časovno obdobje (glej sliko 6).
riž. 6. Enakomerno krožno gibanje
To pomeni, da se modul trenutne hitrosti ne spremeni:
Ta hitrost se imenuje linearni.
Čeprav se modul hitrosti ne spremeni, se smer hitrosti nenehno spreminja. Upoštevajte vektorje hitrosti v točkah A in B(glej sliko 7). Usmerjeni so v različne smeri, zato niso enaki. Če se odšteje od hitrosti v točki B hitrost točke A, dobimo vektor.
riž. 7. Vektorji hitrosti
Razmerje med spremembo hitrosti () in časom, v katerem je prišlo do te spremembe (), je pospešek.
Zato je vsako krivuljno gibanje pospešeno.
Če upoštevamo trikotnik hitrosti, dobljen na sliki 7, potem z zelo tesno razporeditvijo točk A in B med seboj bo kot (α) med vektorjema hitrosti blizu nič:
Znano je tudi, da je ta trikotnik enakokrak, zato sta modula hitrosti enaka (enakomerno gibanje):
Zato sta oba kota na dnu tega trikotnika neomejeno blizu:
To pomeni, da je pospešek, ki je usmerjen vzdolž vektorja, dejansko pravokoten na tangento. Znano je, da je premica v krogu, pravokotna na tangento, polmer, torej pospešek je usmerjen vzdolž polmera proti središču kroga. Ta pospešek se imenuje centripetalni.
Slika 8 prikazuje prej obravnavani trikotnik hitrosti in enakokraki trikotnik (dve stranici sta polmera kroga). Ti trikotniki so si podobni, saj imajo enake kote, ki jih tvorijo medsebojno pravokotne črte (polmer je tako kot vektor pravokoten na tangento).
riž. 8. Ilustracija za izpeljavo formule za centripetalni pospešek
Odsek črte AB je premakni(). Upoštevamo enakomerno krožno gibanje, torej:
Dobljeni izraz nadomestimo z AB v formulo podobnosti trikotnika:
Pojmi "linearna hitrost", "pospešek", "koordinata" niso dovolj za opis gibanja po ukrivljeni poti. Zato je treba uvesti količine, ki označujejo rotacijsko gibanje.
1. Obdobje rotacije (T ) se imenuje čas ene popolne revolucije. Meri se v enotah SI v sekundah.
Primeri obdobij: Zemlja se vrti okoli svoje osi v 24 urah (), okoli Sonca pa v 1 letu ().
Formula za izračun obdobja:
kjer je skupni čas vrtenja; - število vrtljajev.
2. Frekvenca vrtenja (n ) - število vrtljajev, ki jih telo naredi v časovni enoti. Meri se v enotah SI v recipročnih sekundah.
Formula za iskanje frekvence:
kjer je skupni čas vrtenja; - število vrtljajev
Frekvenca in obdobje sta obratno sorazmerni:
3. kotna hitrost () imenujemo razmerje med spremembo kota, pod katerim se je telo obrnilo, in časom, v katerem se je ta obrat zgodil. Meri se v enotah SI v radianih deljenih s sekundami.
Formula za iskanje kotne hitrosti:
kje je sprememba kota; je čas, ki je bil potreben, da je prišlo do obrata.
Ker linearna hitrost enakomerno spreminja smer, gibanja vzdolž kroga ne moremo imenovati enakomerno, je enakomerno pospešeno.
Kotna hitrost
Izberite točko na krogu 1 . Zgradimo radij. Za časovno enoto se bo točka premaknila na točko 2 . V tem primeru polmer opisuje kot. Kotna hitrost je številčno enaka kotu zasuka polmera na časovno enoto.
Obdobje in pogostost
Obdobje rotacije T je čas, ki ga telo potrebuje, da naredi en obrat.
RPM je število vrtljajev na sekundo.
Frekvenca in obdobje sta povezani z razmerjem
Povezava s kotno hitrostjo
Hitrost proge
Vsaka točka na krogu se giblje z določeno hitrostjo. Ta hitrost se imenuje linearna. Smer vektorja linearne hitrosti vedno sovpada s tangento na krožnico. Na primer, iskre izpod brusilnika se premikajo in ponavljajo smer trenutne hitrosti.
Razmislite o točki na krogu, ki naredi en obrat, čas, ki je porabljen - to je obdobje T.Pot, ki jo premaga točka, je obseg kroga.
centripetalni pospešek
Pri gibanju po krogu je vektor pospeška vedno pravokoten na vektor hitrosti, usmerjen v središče kroga.
Z uporabo prejšnjih formul lahko izpeljemo naslednje relacije
Točke, ki ležijo na isti ravni črti, ki izhaja iz središča kroga (na primer, to so lahko točke, ki ležijo na naperah kolesa), bodo imele enake kotne hitrosti, periodo in frekvenco. To pomeni, da se bodo vrteli na enak način, vendar z različnimi linearnimi hitrostmi. Dlje kot je točka od središča, hitreje se bo premikala.
Zakon seštevanja hitrosti velja tudi za rotacijsko gibanje. Če gibanje telesa ali referenčnega sistema ni enakomerno, velja zakon za trenutne hitrosti. Na primer, hitrost osebe, ki hodi po robu vrtečega se vrtiljaka, je enaka vektorski vsoti linearne hitrosti vrtenja roba vrtiljaka in hitrosti osebe.
Zemlja sodeluje pri dveh glavnih rotacijskih gibanjih: dnevnem (okoli svoje osi) in orbitalnem (okoli Sonca). Obdobje vrtenja Zemlje okoli Sonca je 1 leto ali 365 dni. Zemlja se vrti okoli svoje osi od zahoda proti vzhodu, čas tega vrtenja je 1 dan ali 24 ur. Zemljepisna širina je kot med ravnino ekvatorja in smerjo od središča Zemlje do točke na njeni površini.
Po drugem Newtonovem zakonu je vzrok vsakega pospeška sila. Če premikajoče se telo doživi centripetalni pospešek, potem je narava sil, ki povzročajo ta pospešek, lahko drugačna. Na primer, če se telo giblje v krogu po vrvi, ki je privezana nanj, potem je delujoča sila elastična sila.
Če se telo, ki leži na disku, vrti skupaj z diskom okoli svoje osi, potem je taka sila sila trenja. Če sila preneha delovati, se bo telo še naprej gibalo premočrtno
Razmislite o gibanju točke na krožnici od A do B. Linearna hitrost je enaka
Zdaj pa preidimo na fiksni sistem, povezan z zemljo. Skupni pospešek točke A bo ostal enak tako v absolutni vrednosti kot v smeri, saj se pospešek ne spremeni pri premikanju iz enega inercialnega referenčnega okvira v drugega. Z vidika mirujočega opazovalca tirnica točke A ni več krožnica, temveč kompleksnejša krivulja (cikloida), po kateri se točka giblje neenakomerno.
Enakomerno krožno gibanje je najenostavnejši primer. Na primer, konec kazalca ure se premika po številčnici vzdolž kroga. Hitrost telesa v krogu se imenuje hitrost proge.
Pri enakomernem gibanju telesa vzdolž kroga se modul hitrosti telesa s časom ne spreminja, to je v = const, in v tem primeru se spremeni samo smer vektorja hitrosti (a r = 0), sprememba vektorja hitrosti v smeri pa je označena z vrednostjo, imenovano centripetalni pospešek() a n ali CA. V vsaki točki je vektor centripetalnega pospeška usmerjen v središče kroga vzdolž polmera.
Modul centripetalnega pospeška je enak
a CS \u003d v 2 / R
Kjer je v linearna hitrost, R je polmer kroga
riž. 1.22. Gibanje telesa v krogu.
Pri opisovanju gibanja telesa v krožnici uporabimo polmer obračalni kot je kot φ, za katerega se v času t zavrti polmer, narisan iz središča kroga do točke, kjer je v tem trenutku gibajoče se telo. Rotacijski kot se meri v radianih. enaka kotu med dvema polmeroma kroga, dolžina loka med katerima je enaka polmeru kroga (slika 1.23). To je, če je l = R, potem
1 radian = l / R
Ker obseg je enako
l = 2πR
360 o \u003d 2πR / R \u003d 2π rad.
Posledično
1 rad. \u003d 57,2958 približno \u003d 57 približno 18 '
Kotna hitrost Enakomerno gibanje telesa v krogu je vrednost ω, ki je enaka razmerju med kotom vrtenja polmera φ in časovnim intervalom, v katerem se to vrtenje izvede:
ω = φ / t
Merska enota za kotno hitrost je radian na sekundo [rad/s]. Modul linearne hitrosti je določen z razmerjem med prevoženo razdaljo l in časovnim intervalom t:
v= l / t
Hitrost proge pri enakomernem gibanju vzdolž kroga je tangencialno usmerjena na dano točko na krogu. Ko se točka premika, je dolžina l krožnega loka, ki ga točka prečka, povezana z rotacijskim kotom φ z izrazom
l = Rφ
kjer je R polmer kroga.
Tedaj sta v primeru enakomernega gibanja točke linearna in kotna hitrost povezani z razmerjem:
v = l / t = Rφ / t = Rω ali v = Rω
riž. 1.23. Radian.
Obdobje obtoka- to je časovno obdobje T, v katerem telo (točka) naredi en obrat po obodu. Pogostost kroženja- to je recipročna vrednost obdobja obtoka - števila vrtljajev na časovno enoto (na sekundo). Pogostost kroženja je označena s črko n.
n=1/T
Za eno periodo je rotacijski kot φ točke 2π rad, torej 2π = ωT, od koder
T = 2π / ω
To pomeni, da je kotna hitrost
ω = 2π / T = 2πn
centripetalni pospešek se lahko izrazi z obdobjem T in frekvenco vrtenja n:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
