C 2 identități trigonometrice. Identități trigonometrice de bază: formulările și derivarea lor. Formule universale de substituție trigonometrică

Identități trigonometrice sunt egalități care stabilesc o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, ceea ce vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția ca oricare alta să fie cunoscută.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și pătratul cosinusului unui unghi este egală cu unu, ceea ce face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când cosinusul lui este cunoscut și invers. .

La convertirea expresiilor trigonometrice, această identitate este foarte des utilizată, ceea ce vă permite să înlocuiți suma pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi cu unul și, de asemenea, să efectuați operația de înlocuire în ordine inversă.

Găsirea tangentei și cotangentei prin sinus și cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți, atunci, prin definiție, ordonata lui y este sinusul, iar abscisa lui x este cosinusul. Atunci tangenta va fi egală cu raportul \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), și raportul \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- va fi o cotangentă.

Adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \alpha pentru care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens, identitățile vor avea loc, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

De exemplu: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) este valabil pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- pentru un unghi \alpha altul decât \pi z , z este un număr întreg.

Relația dintre tangentă și cotangentă

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Această identitate este valabilă numai pentru unghiurile \alpha care sunt diferite de \frac(\pi)(2) z. În caz contrar, nici cotangenta, fie tangenta nu vor fi determinate.

Pe baza punctelor de mai sus, obținem asta tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg\alpha=\frac(x)(y). De aici rezultă că tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Astfel, tangenta și cotangenta unui unghi la care au sens sunt numere reciproc reciproce.

Relații dintre tangentă și cosinus, cotangentă și sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- suma pătratului tangentei unghiului \alpha și 1 este egală cu pătratul invers al cosinusului acestui unghi. Această identitate este valabilă pentru toate \alpha, altele decât \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- suma lui 1 și pătratul cotangentei unghiului \alpha , este egal cu pătratul invers al sinusului unghiului dat. Această identitate este valabilă pentru orice \alpha, altul decât \pi z .

Exemple cu soluții la probleme folosind identități trigonometrice

Exemplul 1

Găsiți \sin \alpha și tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Afișează soluția

Soluţie

Funcțiile \sin \alpha și \cos \alpha sunt legate prin formula \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Înlocuind în această formulă \cos \alpha = -\frac12, primim:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Această ecuație are 2 soluții:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru, sinusul este pozitiv, deci \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Pentru a găsi tg \alpha , folosim formula tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Exemplul 2

Găsiți \cos \alpha și ctg \alpha dacă și \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Afișează soluția

Soluţie

Înlocuind în formulă \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 număr condiționat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), primim \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Această ecuație are două soluții \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

După condiție \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . În al doilea trimestru, cosinusul este negativ, deci \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Pentru a găsi ctg \alpha , folosim formula ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Cunoaștem valorile corespunzătoare.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Exemple de identitate:

\(2(x+5)=2x+10\);
\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\);
\(1-\sin^2⁡x=\cos^2⁡x\).

Dar expresia \(\frac(x^2)(x)=x\) este o identitate numai sub condiția \(x≠0\) (altfel partea stângă nu există).

Cum se dovedește identitatea?

Reteta este nebun de simpla:

Pentru a dovedi o identitate, trebuie să dovediți că părțile din dreapta și din stânga acesteia sunt egale, de exemplu. reduceți-l la forma „expresie” = „aceeași expresie”.

De exemplu,

\(5=5\);
\(\sin^2⁡x=\sin^2⁡x\);
\(\cos⁡x-4=\cos⁡x-4\).

Pentru a face acest lucru puteți:

1. Convertiți numai partea dreaptă sau doar partea stângă.
2. Convertiți ambele părți în același timp.
3. Folosiți orice transformări matematice valide (de exemplu, dați unele similare; deschideți paranteze; transferați termeni dintr-o parte în alta prin schimbarea semnului; înmulțiți sau împărțiți stânga și partea dreapta la același număr sau expresie care nu este egală cu zero etc.).
4. Folosiți orice formule matematice.

Este al patrulea punct care este folosit cel mai des atunci când se dovedește identitățile, deci tot ce trebuie să știi, să-ți amintești și să poți folosi.

Exemplu . Demonstrați identitatea trigonometrică \(\sin⁡2x=2\sin⁡x\cdot \cos(x)\)
Soluţie :

Exemplu . Demonstrați că expresia \(\frac (\cos^2(t))(1-\sin⁡(t))\)\(-\sin(⁡t)=1\) este o identitate.
Soluţie :

Exemplu . Demonstrați identitatea trigonometrică \(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)
Soluţie :

\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos⁡2t)(\cos^2⁡t)\)		Aici vom transforma doar partea dreaptă, încercând să o reducem la stânga. Pe cel din stânga îl lăsăm neschimbat. Ne amintim.
\(1-tg^2 t=\)		Acum să facem o împărțire termen cu termen într-o fracție (adică să aplicăm în direcția opusă): \(\frac(a+c)(b)\) \(=\) \(\frac(a)(b) )\) \( +\)\(\frac(c)(b)\)
\(1-tg^2 t=\) \(\frac(\cos^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(-\)\(\frac(\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)		Anulăm prima fracție din partea dreaptă și aplicăm celei de-a doua: \(\frac(a^n)(b^n)\) \(=\)\((\frac(a)(b))^ n\) .
\(1-tg^2 t=1-\) \((\frac(\sin⁡t)(\cos⁡t))^2\)		Ei bine, sinusul împărțit la cosinus este egal cu același unghi: \(\frac(\sin⁡x)(\cos⁡x)\) \(=tg x\)
\(1-tg^2 t=1-tg^2 t\)

Exemplu . Demonstrați identitatea trigonometrică \(=ctg(π+t)-1\)
Soluţie :

\(\frac(\cos⁡2t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg(π+t)-1\)		Aici vom transforma ambele părți: - în stânga: transformăm \(\cos⁡2t\) după formula unghiului dublu; - iar în dreapta \(ctg(π+t)\) prin .
\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\sin⁡t\cdot\cos⁡t+\sin^2⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		Acum lucrăm doar cu partea stângă. La numărător vom folosi , la numitor vom folosi sinusul din paranteză.
\(\frac((\cos⁡t-\sin(t))(\cos⁡t+\sin(t)))(\sin⁡t(\cos⁡t+\sin⁡(t)))\)\(=ctg\:t-1\)		Reduceți fracția cu \(\cos(⁡t)+\sin(⁡t)\).
\(\frac(\cos⁡t-\sin(t))(\sin⁡t)\)\(=ctg\:t-1\)		Împărțim termenul fracției cu termen, transformându-l în două fracții separate.
\(\frac(\cos⁡t)(\sin(t))-\frac(\sin(t))(\sin(t))\)\(=ctg\:t-1\)		Prima fracție este , iar a doua este egală cu unu.
\(ctg\:t-1=ctg\:t-1\)		Partea stângă este egală cu partea dreaptă, identitatea este dovedită.

După cum puteți vedea, totul este destul de simplu, dar trebuie să cunoașteți toate formulele și proprietățile.

Cum se dovedește identitatea trigonometrică de bază

Două moduri simple scoateți formula \(\sin^2x+\cos^2x=1\). Trebuie doar să cunoașteți teorema lui Pitagora și definiția sinusului și cosinusului.

Răspunsuri la întrebările frecvente:

Întrebare: Cum să determinați ce trebuie transformat într-o identitate - partea stângă, partea dreaptă sau ambele împreună?
Răspuns: Nu există nicio diferență - în orice caz, veți obține același rezultat. De exemplu, în al treilea exemplu, am putea obține cu ușurință din partea stângă \(1-tg^2 t\) dreapta \(\frac(cos⁡2t)(cos^2⁡t)\)(încearcă să o faci singur). Sau le transformă pe amândouă, astfel încât să se „întâlnească la mijloc”, undeva prin zonă \(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\)\(=\)\(\frac(\cos^2⁡t-\sin^2⁡t)(\cos^2⁡t)\). Prin urmare, vă puteți dovedi convenabil în orice mod. Indiferent de calea pe care o vedeți, urmați-o. Singurul lucru principal este să transformi „legal”, adică să înțelegi pe baza ce proprietăți, reguli sau formule faci următoarea transformare.

Mai simplu spus, acestea sunt legume fierte în apă după o rețetă specială. Voi lua în considerare două componente inițiale (salata de legume și apă) și rezultatul final - borș. Geometric, acesta poate fi reprezentat ca un dreptunghi în care o parte desemnează salată verde, cealaltă parte desemnează apă. Suma acestor două laturi va desemna borș. Diagonala și aria unui astfel de dreptunghi „borș” sunt concepte pur matematice și nu sunt niciodată folosite în rețetele de borș.

Cum se transformă salata verde și apa în borș în ceea ce privește matematica? Cum se poate transforma suma a două segmente în trigonometrie? Pentru a înțelege acest lucru, avem nevoie de funcții unghiulare liniare.

Nu veți găsi nimic despre funcțiile unghiulare liniare în manualele de matematică. Dar fără ele nu poate exista matematică. Legile matematicii, ca și legile naturii, funcționează indiferent dacă știm că există sau nu.

Funcțiile unghiulare liniare sunt legile adunării. Vedeți cum algebra se transformă în geometrie și geometria se transformă în trigonometrie.

Este posibil să faci fără funcții unghiulare liniare? Poți, pentru că matematicienii încă se descurcă fără ele. Smecheria matematicienilor constă în faptul că ei ne vorbesc întotdeauna doar despre acele probleme pe care ei înșiși le pot rezolva și niciodată nu ne vorbesc despre acele probleme pe care nu le pot rezolva. Vedea. Dacă știm rezultatul adunării și al unui termen, folosim scăderea pentru a găsi celălalt termen. Tot. Nu cunoaștem alte probleme și nu suntem capabili să le rezolvăm. Ce să facem dacă știm doar rezultatul adunării și nu știm ambii termeni? În acest caz, rezultatul adunării trebuie descompus în doi termeni folosind funcții unghiulare liniare. Mai mult, noi înșine alegem ce poate fi un termen, iar funcțiile unghiulare liniare arată care ar trebui să fie al doilea termen pentru ca rezultatul adunării să fie exact ceea ce avem nevoie. Pot exista un număr infinit de astfel de perechi de termeni. În viața de zi cu zi, ne descurcăm foarte bine fără a descompune suma; scăderea ne este suficientă. Dar la cercetare științifică legile naturii, descompunerea sumei în termeni poate fi foarte utilă.

O altă lege a adunării despre care matematicienii nu le place să vorbească (un alt truc de-al lor) cere ca termenii să aibă aceeași unitate de măsură. Pentru salată verde, apă și borș, acestea pot fi unități de greutate, volum, cost sau unitate de măsură.

Figura arată două niveluri de diferență pentru matematică. Primul nivel este diferențele în domeniul numerelor, care sunt indicate A, b, c. Asta fac matematicienii. Al doilea nivel este diferențele în zona unităților de măsură, care sunt afișate între paranteze drepte și sunt indicate prin litera U. Asta fac fizicienii. Putem înțelege al treilea nivel - diferențele în domeniul de aplicare al obiectelor descrise. Obiecte diferite pot avea același număr de aceleași unități de măsură. Cât de important este acest lucru, putem vedea pe exemplul trigonometriei borș. Dacă adăugăm indicele la aceeași notație pentru unitățile de măsură ale diferitelor obiecte, putem spune exact ce mărime matematică descrie un anumit obiect și cum se modifică acesta în timp sau în legătură cu acțiunile noastre. scrisoare W Voi marca apa cu litera S Voi marca salata cu litera B- borș. Iată cum ar arăta funcțiile unghiului liniar pentru borș.

Dacă luăm o parte din apă și o parte din salată, împreună se vor transforma într-o porție de borș. Aici vă sugerez să faceți o mică pauză de la borș și să vă amintiți de copilăria voastră îndepărtată. Îți amintești cum am fost învățați să punem iepurași și rațe împreună? A fost necesar să se afle câte animale vor ieși. Atunci ce am fost învățați să facem? Am fost învățați să separăm unitățile de numere și să adunăm numere. Da, orice număr poate fi adăugat oricărui alt număr. Aceasta este o cale directă către autismul matematicii moderne - nu înțelegem ce, nu este clar de ce și înțelegem foarte puțin cum se leagă acest lucru cu realitatea, din cauza celor trei niveluri de diferență, matematicienii operează doar pe unul. Va fi mai corect să înveți cum să treci de la o unitate de măsură la alta.

Și iepurașii, rațele și animalele mici pot fi numărate în bucăți. O unitate de măsură comună pentru diferite obiecte ne permite să le adunăm. aceasta varianta pentru copii sarcini. Să ne uităm la o problemă similară pentru adulți. Ce obții când adaugi iepurași și bani? Există două soluții posibile aici.

Prima varianta. Determinăm valoarea de piață a iepurașilor și o adăugăm la numerarul disponibil. Avem cost total averea noastră în bani.

A doua varianta. Puteți adăuga numărul de iepurași cu numărul pe care îl avem bancnote. Vom obține cantitatea de bunuri mobile în bucăți.

După cum puteți vedea, aceeași lege de adunare vă permite să obțineți rezultate diferite. Totul depinde de exact ce vrem să știm.

Dar să revenim la borșul nostru. Acum putem vedea ce se întâmplă când sensuri diferite unghiul funcțiilor unghiulare liniare.

Unghiul este zero. Avem salată, dar fără apă. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este, de asemenea, zero. Acest lucru nu înseamnă deloc că zero borș este egal cu zero apă. Zero borș poate fi și la zero salată (unghi drept).

Pentru mine personal, aceasta este principala dovadă matematică a faptului că . Zero nu schimbă numărul atunci când este adăugat. Acest lucru se datorează faptului că adăugarea în sine este imposibilă dacă există un singur termen și lipsește al doilea termen. Vă puteți raporta la asta după cum doriți, dar amintiți-vă - toate operațiile matematice cu zero au fost inventate de matematicieni înșiși, așa că aruncați-vă logica și înghesuiți prostește definițiile inventate de matematicieni: „împărțirea cu zero este imposibilă”, „orice număr înmulțit cu zero”. este egal cu zero”, „în spatele punctului zero” și alte prostii. Este suficient să vă amintiți o dată că zero nu este un număr și nu veți avea niciodată o întrebare dacă zero este un număr natural sau nu, deoarece o astfel de întrebare pierde în general orice semnificație: cum se poate considera un număr ceea ce nu este un număr . Este ca și cum ai întreba ce culoare să-i atribui o culoare invizibilă. A adăuga zero la un număr este ca și cum ai picta cu vopsea care nu există. Au fluturat o pensulă uscată și spun tuturor că „am pictat”. Dar mă abatem puțin.

Unghiul este mai mare decât zero, dar mai mic de patruzeci și cinci de grade. Avem multă salată verde, dar puțină apă. Drept urmare, obținem un borș gros.

Unghiul este de patruzeci și cinci de grade. Avem cantități egale de apă și salată verde. Acesta este borșul perfect (fie ca bucătarii să mă ierte, e doar matematică).

Unghiul este mai mare de patruzeci și cinci de grade, dar mai mic de nouăzeci de grade. Avem multă apă și puțină salată verde. Luați borș lichid.

Unghi drept. Avem apă. Au rămas doar amintiri despre salată, în timp ce continuăm să măsurăm unghiul de la linia care a marcat cândva salata. Nu putem găti borș. Cantitatea de borș este zero. În acest caz, ține-te și bea apă cât este disponibilă)))

Aici. Ceva de genul. Pot spune și alte povești aici care vor fi mai mult decât potrivite aici.

Cei doi prieteni aveau cotele lor în afacerea comună. După uciderea unuia dintre ei, totul a mers către celălalt.

Apariția matematicii pe planeta noastră.

Toate aceste povești sunt spuse în limbajul matematicii folosind funcții unghiulare liniare. Altă dată vă voi arăta locul real al acestor funcții în structura matematicii. Între timp, să revenim la trigonometria borșului și să luăm în considerare proiecțiile.

Sâmbătă, 26 octombrie 2019

miercuri, 7 august 2019

Încheind conversația despre , trebuie să luăm în considerare un set infinit. A dat prin faptul că conceptul de „infinit” acționează asupra matematicienilor, ca un boa constrictor asupra unui iepure. Oroarea tremurătoare a infinitului îi privează pe matematicieni de bunul simț. Iată un exemplu:

Se află sursa originală. Alfa denotă un număr real. Semnul egal din expresiile de mai sus indică faptul că dacă adăugați un număr sau un infinit la infinit, nimic nu se va schimba, rezultatul va fi același infinit. Dacă luăm ca exemplu un set infinit de numere naturale, atunci exemplele luate în considerare pot fi reprezentate după cum urmează:

Pentru a-și demonstra vizual cazul, matematicienii au venit cu multe metode diferite. Personal, privesc toate aceste metode ca pe dansurile șamanilor cu tamburine. În esență, toate se rezumă la faptul că fie unele camere nu sunt ocupate și se stabilesc noi oaspeți în ele, fie că unii dintre vizitatori sunt aruncați pe coridor pentru a face loc oaspeților (foarte uman). Mi-am prezentat punctul de vedere asupra unor astfel de decizii sub forma unei povești fantastice despre Blonda. Pe ce se bazează raționamentul meu? Mutarea unui număr infinit de vizitatori durează o perioadă infinită de timp. După ce am eliberat prima cameră de oaspeți, unul dintre vizitatori va merge mereu de-a lungul coridorului din camera lui în următoarea până la sfârșitul timpului. Desigur, factorul timp poate fi ignorat în mod prostesc, dar acesta va fi deja din categoria „legea nu este scrisă pentru proști”. Totul depinde de ceea ce facem: adaptăm realitatea la teoriile matematice sau invers.

Ce este un „hotel infinit”? Un han infinit este un han care are întotdeauna orice număr de locuri libere, indiferent de câte camere sunt ocupate. Dacă toate camerele din holul nesfârșit „pentru vizitatori” sunt ocupate, există un alt hol nesfârșit cu camere pentru „oaspeți”. Vor exista un număr infinit de astfel de coridoare. În același timp, „hotelul infinit” are un număr infinit de etaje într-un număr infinit de clădiri pe un număr infinit de planete într-un număr infinit de universuri create de un număr infinit de Zei. Matematicienii, pe de altă parte, nu sunt capabili să se îndepărteze de problemele banale de zi cu zi: Dumnezeu-Allah-Buddha este întotdeauna unul singur, hotelul este unul, coridorul este doar unul. Așadar, matematicienii încearcă să jongleze cu numerele de serie ale camerelor de hotel, convingându-ne că este posibil să „împingem cei neîmpinși”.

Vă voi demonstra logica raționamentului meu folosind exemplul unui set infinit de numere naturale. Mai întâi trebuie să răspundeți la o întrebare foarte simplă: câte seturi de numere naturale există - unul sau mai multe? Nu există un răspuns corect la această întrebare, deoarece noi înșine am inventat numerele, nu există numere în Natură. Da, Natura știe să numere perfect, dar pentru asta folosește alte instrumente matematice care nu ne sunt familiare. După cum crede Natura, vă voi spune altă dată. Din moment ce am inventat numerele, noi înșine vom decide câte seturi de numere naturale există. Luați în considerare ambele opțiuni, așa cum se cuvine unui adevărat om de știință.

Opțiunea unu. „Să ni se dea” un singur set de numere naturale, care se află senin pe un raft. Luăm acest set de pe raft. Gata, nu au mai rămas alte numere naturale pe raft și nu există unde să le duci. Nu putem adăuga unul la acest set, deoarece îl avem deja. Dacă vrei cu adevărat? Nici o problemă. Putem lua o unitate din setul pe care l-am luat deja și o putem întoarce la raft. După aceea, putem lua o unitate de pe raft și o putem adăuga la ce ne-a mai rămas. Ca rezultat, obținem din nou un set infinit de numere naturale. Puteți scrie toate manipulările noastre astfel:

Am notat operațiile în notație algebrică și în notație în teoria mulțimilor, enumerând în detaliu elementele mulțimii. Indicele indică faptul că avem unul și singurul set de numere naturale. Se dovedește că mulțimea numerelor naturale va rămâne neschimbată numai dacă din el se scade unul și se adaugă același.

Varianta a doua. Avem multe seturi infinite diferite de numere naturale pe raft. Subliniez - DIFERITE, în ciuda faptului că practic nu se pot distinge. Luăm unul dintre aceste seturi. Apoi luăm unul dintr-un alt set de numere naturale și îl adăugăm la setul pe care l-am luat deja. Putem adăuga chiar două seturi de numere naturale. Iată ce primim:

Indicele „unu” și „doi” indică faptul că aceste elemente aparțineau unor seturi diferite. Da, dacă adăugați unul la un set infinit, rezultatul va fi și un set infinit, dar nu va fi același cu setul original. Dacă la o mulțime infinită se adaugă o altă mulțime infinită, rezultatul este o nouă mulțime infinită constând din elementele primelor două mulțimi.

Setul de numere naturale este folosit pentru numărare în același mod ca o riglă pentru măsurători. Acum imaginați-vă că ați adăugat un centimetru la riglă. Aceasta va fi deja o linie diferită, nu egală cu originalul.

Puteți să acceptați sau să nu acceptați raționamentul meu - aceasta este treaba voastră. Dar dacă te confrunți vreodată cu probleme matematice, gândește-te dacă te afli pe calea raționamentului fals, călcat de generații de matematicieni. La urma urmei, orele de matematică, în primul rând, formează în noi un stereotip stabil de gândire și abia apoi ne adaugă abilități mentale (sau invers, ne privează de gândirea liberă).

pozg.ru

Duminică, 4 august 2019

Scriam un postscript la un articol despre și am văzut acest text minunat pe Wikipedia:

Citim: „... bogat baza teoretica Matematica Babilonului nu avea un caracter holistic și era redusă la un set de tehnici disparate, lipsite de un sistem comun și de o bază de dovezi.

Wow! Cât de deștepți suntem și cât de bine putem vedea neajunsurile celorlalți. Este slab pentru noi să privim matematica modernă în același context? Parafrazând ușor textul de mai sus, personal am obținut următoarele:

Baza teoretică bogată a matematicii moderne nu are un caracter holistic și se reduce la un set de secțiuni disparate, lipsite de un sistem comun și bază de dovezi.

Nu voi merge departe pentru a-mi confirma cuvintele - are un limbaj și simboluri care sunt diferite de limbaj și simboluri multe alte ramuri ale matematicii. Aceleași nume în diferite ramuri ale matematicii pot avea semnificații diferite. Vreau să dedic un întreg ciclu de publicații celor mai evidente gafe ale matematicii moderne. Ne vedem în curând.

Sâmbătă, 3 august 2019

Cum se împarte un set în subseturi? Pentru a face acest lucru, trebuie să introduceți o nouă unitate de măsură, care este prezentă în unele dintre elementele setului selectat. Luați în considerare un exemplu.

Să avem multe DAR format din patru persoane. Acest set este format pe baza de „oameni” Să desemnăm elementele acestui set prin scrisoare A, indicele cu un număr va indica numărul ordinal al fiecărei persoane din acest set. Să introducem o nouă unitate de măsură „caracteristica sexuală” și să o notăm cu literă b. Deoarece caracteristicile sexuale sunt inerente tuturor oamenilor, înmulțim fiecare element al setului DAR pe gen b. Observați că setul nostru de „oameni” a devenit acum setul de „oameni cu gen”. După aceea, putem împărți caracteristicile sexuale în masculin bmși de femei bw caracteristici de gen. Acum putem aplica un filtru matematic: selectăm una dintre aceste caracteristici sexuale, indiferent care este bărbat sau femeie. Dacă este prezent la o persoană, atunci îl înmulțim cu unul, dacă nu există un astfel de semn, îl înmulțim cu zero. Și apoi aplicăm matematica obișnuită a școlii. Vezi ce sa întâmplat.

După înmulțire, reduceri și rearanjamente, am obținut două submulțimi: submulțimea masculină bmși un subgrup de femei bw. Aproximativ în același mod în care matematicienii raționează atunci când aplică teoria mulțimilor în practică. Dar ei nu ne lasă să intrăm în detalii, ci ne oferă rezultatul final - „mulți oameni sunt formați dintr-un subset de bărbați și un subset de femei”. Desigur, este posibil să aveți o întrebare, cât de corect a aplicat matematica în transformările de mai sus? Îndrăznesc să vă asigur că de fapt transformările sunt făcute corect, este suficient să cunoașteți justificarea matematică a aritmeticii, algebrei booleene și a altor secțiuni ale matematicii. Ce este? Altă dată vă voi povesti despre asta.

În ceea ce privește superseturile, este posibil să combinați două mulțimi într-un singur superset, alegând o unitate de măsură care este prezentă în elementele acestor două mulțimi.

După cum puteți vedea, unitățile de măsură și matematica obișnuită fac ca teoria seturilor să devină un lucru din trecut. Un semn că totul nu este în regulă cu teoria mulțimilor este că matematicienii au venit cu propriul lor limbaj și notație pentru teoria mulțimilor. Matematicienii au făcut ceea ce şamanii au făcut cândva. Doar șamanii știu să-și aplice „corect” „cunoștințele”. Această „cunoaștere” ne-o învață.

În cele din urmă, vreau să vă arăt cum manipulează matematicienii.

luni, 7 ianuarie 2019

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai cunoscută este aporia „Achile și broasca țestoasă”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul în care Ahile parcurge această distanță, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile a alergat o sută de pași, țestoasa se va târa încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la nesfârșit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu broasca țestoasă.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Gilbert... Toți, într-un fel sau altul, au considerat aporii lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ... discuțiile continuă în prezent, comunitatea științifică nu a reușit încă să ajungă la o opinie comună cu privire la esența paradoxurilor... în studiul problemei au fost implicate analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice ; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție universal acceptată la problemă...„[Wikipedia,” Aporii lui Zeno „]. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege ce este înșelăciunea.

Din punctul de vedere al matematicii, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la valoare la. Această tranziție implică aplicarea în loc de constante. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru aplicarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zenon. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, prin inerția gândirii, aplicăm reciprocului unități constante de timp. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până la o oprire completă în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă întoarcem logica cu care suntem obișnuiți, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu viteza constanta. Fiecare segment ulterior al traseului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va depăși infinit rapid broasca țestoasă”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la valori reciproce. În limba lui Zeno, arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se târăște o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp, egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar aceasta nu este o soluție completă a problemei. Afirmația lui Einstein despre insurmontabilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Încă trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp săgeata zburătoare se sprijină în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Mai este un punct de remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini pe șosea, este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, nici distanța până la ea. Pentru a determina fapta mișcării mașinii, sunt necesare două fotografii realizate din același punct în momente diferite în timp, dar nu pot fi folosite pentru a determina distanța. Pentru a determina distanța până la mașină, aveți nevoie de două fotografii realizate din diferite puncte din spațiu în același timp, dar nu puteți determina faptul deplasării din ele (în mod firesc, aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta). Ceea ce vreau să subliniez în special este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt două lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite de explorare.
Voi arăta procesul cu un exemplu. Selectăm „solid roșu într-un coș” - acesta este „întregul nostru”. În același timp, vedem că aceste lucruri sunt cu arc și există fără arc. După aceea, selectăm o parte din „întreg” și formăm un set „cu un arc”. Așa se hrănește șamanii legându-și teoria seturilor de realitate.

Acum hai să facem un mic truc. Să luăm „solid într-un coș cu fundă” și să unim aceste „întregi” după culoare, selectând elemente roșii. Avem mult „roșu”. Acum o întrebare dificilă: seturile primite „cu fundă” și „roșu” sunt același set sau două seturi diferite? Doar șamanii știu răspunsul. Mai exact, ei înșiși nu știu nimic, dar așa cum spun ei, așa să fie.

Acest exemplu simplu arată că teoria seturilor este complet inutilă când vine vorba de realitate. Care este secretul? Am format un set de „coșuri roșii solide cu fundă”. Formarea s-a desfășurat în funcție de patru unități de măsură diferite: culoare (roșu), rezistență (solid), rugozitate (într-un cucui), decorațiuni (cu fundă). Doar un set de unități de măsură face posibilă descrierea adecvată a obiectelor reale în limbajul matematicii. Iată cum arată.

Litera „a” cu indici diferiți indică unități de măsură diferite. În paranteze sunt evidențiate unitățile de măsură, conform cărora „întregul” este alocat în etapa preliminară. Unitatea de măsură, conform căreia se formează setul, este scoasă din paranteze. Ultima linie arată rezultatul final - un element al setului. După cum puteți vedea, dacă folosim unități pentru a forma un set, atunci rezultatul nu depinde de ordinea acțiunilor noastre. Și aceasta este matematică, și nu dansurile șamanilor cu tamburine. Șamanii pot ajunge „intuitiv” la același rezultat, argumentând cu „evident”, deoarece unitățile de măsură nu sunt incluse în arsenalul lor „științific”.

Cu ajutorul unităților de măsură, este foarte ușor să spargi unul sau să combinați mai multe seturi într-un singur superset. Să aruncăm o privire mai atentă asupra algebrei acestui proces.

Identitatea trigonometrică de bază.

Pentru orice unghi α este valabilă egalitatea sin^2 α + cos^2 α = 1, care se numește identitatea trigonometrică de bază.

Dovada.

Formule de adunare.

Pentru orice unghiuri α și β, egalitățile sunt valabile:

Pentru a obține această formulă, considerăm un cerc trigonometric unitar cu doi vectori de rază OA și OB corespunzător unghiurilor α și β. Conform definiției funcțiilor trigonometrice, coordonatele vectorilor: OA (cos α, sin α) și OB (cos β, sin β). Să calculăm produsul scalar al acestor vectori: OA × OB = |OA| × |OB| × cos (α + β) = cos(α+β) Calculați produsul scalar al vectorilor în termeni de coordonate: OA × OB = cos α cos β – sin α sin β. Deci se obține formula dorită: cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β Pentru a obține această formulă, trebuie să înlocuiți formula anterioară β pe –β .

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β Această formulă se obține prin utilizarea formulelor de reducere din formula anterioară.

sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β Această formulă se obține prin înlocuire β pe –β în formula anterioară.

Pentru orice unghi α și β astfel încât α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α + β ≠ π/2 + πm (k, n, m aparțin mulțimii Z), avem:

Pentru orice unghi α și β astfel încât α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α – β ≠ π/2 + πm (k, n, m aparțin mulțimii Z), avem:

Pentru orice unghi α și β astfel încât α ≠ πk, β ≠ πn, α + β ≠ πm (k, n, m aparțin mulțimii Z), avem:

Pentru orice unghi α și β astfel încât α ≠ πk, β ≠ πn, α – β ≠ πm (k, n, m aparțin mulțimii Z), avem:

Formule de turnare.

Dacă lăsăm deoparte un colț din axa verticala, calul spune „da” (dând din cap de-a lungul axei OY) și funcția redusă își schimbă numele: sinus la cosinus, cosinus la sinus, tangent la cotangent, cotangent la tangentă.

Dacă lăsăm deoparte un colț din axă orizontală, calul spune „nu” (dând din cap de-a lungul axei OX) și funcția redusă nu își schimbă numele.

Semnul părții drepte a egalității coincide cu semnul funcției reductibile din partea stângă a egalității.

trimestrul 1: sin:+ cos:+ tg, ctg:+
Trimestrul 2: sin:+ cos:- tg, ctg:-
Trimestrul 3: sin:- cos:- tg, ctg: +
trimestrul 4: sin:- cos:+ tg, ctg:-

Formule trigonometrice de unghi dublu, grad descendent și jumătate de argument.

Formule cu unghi dublu

• cos 2α = cos² α - sin² α
• cos2α = 2cos²α - 1
• cos 2α = 1 - 2sin² α
• sin2α = 2sinα cosα
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Degradarea

cos 2 t = 2 1+ cos 2 t; si n 2 t = 2 1 − cos 2 t

Articolul detaliază identitățile trigonometrice de bază Aceste egalități stabilesc o relație între sin , cos , t g , c t g ale unui unghi dat. Dacă o funcție este cunoscută, alta poate fi găsită prin ea.

Identități trigonometrice pentru a fi luate în considerare în acest articol. Mai jos arătăm un exemplu de derivare a acestora cu o explicație.

sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2α

Să vorbim despre o identitate trigonometrică importantă, care este considerată baza fundațiilor în trigonometrie.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Egalitățile date t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α sunt derivate din cea principală prin împărțirea ambelor părți la sin 2 α și cos 2 α. Apoi obținem t g α \u003d sin α cos α, c t g α \u003d cos α sin α și t g α · c t g α \u003d 1 - aceasta este o consecință a definițiilor sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Egalitatea sin 2 α + cos 2 α = 1 este principala identitate trigonometrică. Pentru a dovedi, este necesar să ne întoarcem la subiect cu un cerc unitar.

Să fie date coordonatele punctului A (1, 0), care, după întoarcerea prin unghiul α, devine punctul A 1 . Prin definiție, sin și cos punctul A 1 vor primi coordonate (cos α , sin α) . Deoarece A 1 este în interiorul cercului unitar, atunci coordonatele trebuie să îndeplinească condiția x 2 + y 2 = 1 a acestui cerc. Expresia cos 2 α + sin 2 α = 1 trebuie să fie valabilă. Pentru a face acest lucru, este necesar să se dovedească identitatea trigonometrică de bază pentru toate unghiurile de rotație α.

În trigonometrie, expresia sin 2 α + cos 2 α = 1 este folosită ca teoremă a lui Pitagora în trigonometrie. Pentru a face acest lucru, luați în considerare o dovadă detaliată.

Folosind cercul unitar, rotim punctul A cu coordonatele (1, 0) în jurul punctului central O cu un unghi α. După rotație, punctul își schimbă coordonatele și devine egal cu A 1 (x, y). Coborâm linia perpendiculară A 1 H la O x din punctul A 1.

Figura arată clar că formațiunea triunghi dreptunghic O A 1 N. Modulo picioarele O A 1 H și O N sunt egale, intrarea va lua următoarea formă: | A 1 H | = | la | , | O N | = | x | . Ipotenuza O A 1 are o valoare egală cu raza cercului unitar, | Despre A 1 | = 1 . Folosind această expresie, putem nota egalitatea conform teoremei lui Pitagora: | A 1 H | 2 + | O N | 2 = | Despre A 1 | 2. Scriem această egalitate ca | y | 2 + | x | 2 = 1 2 , ceea ce înseamnă y 2 + x 2 = 1 .

Folosind definiția sin α = y și cos α = x , înlocuim datele unghiului în loc de coordonatele punctelor și trecem la inegalitatea sin 2 α + cos 2 α = 1 .

Legătura principală dintre sin și cosul unui unghi este posibilă prin această identitate trigonometrică. Astfel, se poate considera păcatul unui unghi cu cos cunoscut și invers. Pentru a face acest lucru, este necesar să rezolvăm sin 2 α + cos 2 \u003d 1 în raport cu sin și cos, apoi obținem expresii de forma sin α \u003d ± 1 - cos 2 α și cos α \u003d ± 1 - sin 2 α, respectiv. Valoarea unghiului α determină semnul înaintea rădăcinii expresiei. Pentru o clarificare detaliată, trebuie să citiți secțiunea despre calcularea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei folosind formule trigonometrice.

Cel mai adesea, formula principală este utilizată pentru transformări sau simplificări ale expresiilor trigonometrice. Este posibil să înlocuiți suma pătratelor sinusului și cosinusului cu 1. Substituția de identitate poate fi atât în ​​ordine directă, cât și inversă: unitatea este înlocuită cu expresia sumei pătratelor sinusului și cosinusului.

Tangenta si cotangenta prin sinus si cosinus

Din definiția cosinusului și sinusului, tangentei și cotangentei, se poate observa că acestea sunt interconectate între ele, ceea ce vă permite să convertiți separat cantitățile necesare.

t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α

Din definiție, sinusul este ordonata lui y, iar cosinusul este abscisa lui x. Tangenta este raportul dintre ordonate și abscisă. Astfel avem:

t g α = y x = sin α cos α , iar expresia cotangentă are sensul opus, adică

c t g α = x y = cos α sin α .

De aici rezultă că identitățile obținute t g α = sin α cos α și c t g α = cos α sin α sunt date folosind unghiurile sin și cos. Tangenta este considerată raportul dintre sinus și cosinusul unghiului dintre ele, iar cotangenta este invers.

Rețineți că t g α = sin α cos α și c t g α = cos α sin α sunt adevărate pentru orice unghi α ale cărui valori sunt în interval. Din formula t g α \u003d sin α cos α, valoarea unghiului α este diferită de π 2 + π · z, iar c t g α \u003d cos α sin α ia valoarea unghiului α, diferită de π · z , z ia valoarea oricărui număr întreg.

Relația dintre tangentă și cotangentă

Există o formulă care arată relația dintre unghiuri prin tangentă și cotangentă. Această identitate trigonometrică este importantă în trigonometrie și se notează ca t g α · c t g α = 1 . Are sens pentru α cu orice altă valoare decât π 2 · z , altfel funcțiile vor fi nedefinite.

Formula t g α · c t g α = 1 are propriile sale particularități în demonstrație. Din definiție avem că t g α = y x și c t g α = x y , deci obținem t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Transformând expresia și substituind t g α = sin α cos α și c t g α = cos α sin α , obținem t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .

Atunci expresia tangentei și cotangentei are sens atunci când ajungem la numere reciproc reciproce.

Tangenta si cosinus, cotangente si sinus

După ce am transformat identitățile de bază, ajungem la concluzia că tangenta este conectată prin cosinus, iar cotangenta prin sinus. Acest lucru poate fi văzut din formulele t g 2 α + 1 \u003d 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α.

Definiția sună așa: suma pătratului tangentei unghiului și 1 este echivalată cu o fracție, unde la numărător avem 1, iar la numitor pătratul cosinusului unghiului dat și suma al pătratului cotangentei unghiului este invers. Datorită identității trigonometrice sin 2 α + cos 2 α = 1, puteți împărți laturile corespunzătoare la cos 2 α și obțineți t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , unde valoarea cos 2 α nu ar trebui să fie zero. Când împărțim la sin 2 α, obținem identitatea 1 + c t g 2 α \u003d 1 sin 2 α, unde valoarea sin 2 α nu ar trebui să fie egală cu zero.

Din expresiile de mai sus, am obținut că identitatea t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α este adevărată pentru toate valorile unghiului α care nu aparțin lui π 2 + π z și 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α pentru valorile lui α care nu aparțin intervalului π · z .

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter