Cum se află matricea inversă a 2 ordine. Matrice inversă. Găsirea matricei inverse prin eliminarea gaussiană a necunoscutelor

Matricea $A^(-1)$ se numește inversul matricei pătrate $A$ dacă $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, unde $E $ este matricea de identitate, a cărei ordine este egală cu ordinea matricei $A$.

O matrice nesingulară este o matrice al cărei determinant nu este egal cu zero. În consecință, o matrice degenerată este una al cărei determinant este egal cu zero.

Matricea inversă $A^(-1)$ există dacă și numai dacă matricea $A$ este nesingulară. Dacă matricea inversă $A^(-1)$ există, atunci este unică.

Există mai multe moduri de a găsi inversul unei matrice și ne vom uita la două dintre ele. Această pagină va discuta despre metoda matricei adiacente, care este considerată standard în majoritatea cursurilor superioare de matematică. A doua modalitate de a găsi matricea inversă (metoda transformărilor elementare), care implică utilizarea metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan, este luată în considerare în partea a doua.

Metoda matricei adjuncte (unirii).

Fie dată matricea $A_(n\times n)$. Pentru a găsi matricea inversă $A^(-1)$ sunt necesari trei pași:

Găsiți determinantul matricei $A$ și asigurați-vă că $\Delta A\neq 0$, i.e. că matricea A este nedegenerată.
Compuneți complementele algebrice $A_(ij)$ ale fiecărui element al matricei $A$ și notați matricea $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ din rezultatul găsit. complemente algebrice.
Scrieți matricea inversă ținând cont de formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matricea $(A^(*))^T$ este adesea denumită matrice adjunctă (mutuală, aliată) a lui $A$.

Dacă decizia este luată manual, atunci prima metodă este bună numai pentru matrice de ordine relativ mici: a doua (), a treia (), a patra (). Pentru a găsi matricea inversă pentru o matrice de ordin superior, se folosesc alte metode. De exemplu, metoda Gauss, care este discutată în partea a doua.

Exemplul #1

Găsiți matricea inversă la matricea $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(matrice) \right)$.

Deoarece toate elementele coloanei a patra sunt egale cu zero, atunci $\Delta A=0$ (adică matricea $A$ este degenerată). Deoarece $\Delta A=0$, nu există o matrice inversă cu $A$.

Răspuns: matricea $A^(-1)$ nu există.

Exemplul #2

Găsiți matricea inversă matricei $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Efectuați o verificare.

Folosim metoda matricei adiacente. Mai întâi, să găsim determinantul matricei date $A$:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Deoarece $\Delta A \neq 0$, atunci există matricea inversă, deci continuăm soluția. Găsirea complementelor algebrice

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(aligned)

Compuneți o matrice de complemente algebrice: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transpuneți matricea rezultată: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (cel rezultat matricea este adesea numită matrice adjunctă sau de unire la matricea $A$). Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, avem:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Deci matricea inversă se găsește: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \dreapta) $. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A^(-1)\cdot A=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ dar ca $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ sfârşit(matrice)\dreapta)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( matrice)\right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 și 7 \\ 9 și 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array) )\dreapta) =E $$

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Exemplul #3

Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$. Efectuați o verificare.

Să începem prin a calcula determinantul matricei $A$. Deci, determinantul matricei $A$ este:

$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Deoarece $\Delta A\neq 0$, atunci matricea inversă există, deci continuăm soluția. Găsim complementele algebrice ale fiecărui element din matricea dată:

Compunem o matrice de adunări algebrice și o transpunem:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) . $$

Folosind formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, obținem:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Deci $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Pentru a verifica adevărul rezultatului, este suficient să verificați adevărul uneia dintre egalitățile: $A^(-1)\cdot A=E$ sau $A\cdot A^(-1)=E$. Să verificăm egalitatea $A\cdot A^(-1)=E$. Pentru a lucra mai puțin cu fracții, vom înlocui matricea $A^(-1)$ nu în forma $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, dar ca $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (matrice) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$

Verificarea a fost trecută cu succes, matricea inversă $A^(-1)$ a fost găsită corect.

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Exemplul #4

Găsiți inversul matricei $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(matrice) \right)$.

Pentru o matrice de ordinul al patrulea, găsirea matricei inverse folosind adunări algebrice este oarecum dificilă. Cu toate acestea, astfel de exemple munca de controlîntâlni.

Pentru a găsi matricea inversă, mai întâi trebuie să calculați determinantul matricei $A$. Cel mai bun mod de a face acest lucru în această situație este extinderea determinantului într-un rând (coloană). Selectăm orice rând sau coloană și găsim complementul algebric al fiecărui element din rândul sau coloana selectată.

De exemplu, pentru primul rând obținem:

$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

Determinantul matricei $A$ se calculează prin următoarea formulă:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(aliniat) $$

Matricea complementului algebric: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Matrice atașată: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 și -463\\ -112 și 4 și 36 și -96\end(array)\right)$.

Matrice inversa:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Verificarea, dacă se dorește, se poate face în același mod ca în exemplele anterioare.

Răspuns: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $.

În a doua parte va fi luată în considerare o altă modalitate de găsire a matricei inverse, care presupune utilizarea transformărilor metodei Gauss sau a metodei Gauss-Jordan.

Matrix Algebra - Matrice inversă

matrice inversă

matrice inversă Se numește o matrice care, atunci când este înmulțită atât la dreapta cât și la stânga cu o matrice dată, dă matricea de identitate.
Se notează matricea inversă matricei DAR prin , apoi conform definiției obținem:

Unde E este matricea identitară.
matrice pătrată numit nespecială (nedegenerat) dacă determinantul său nu este egal cu zero. Altfel, se numește special (degenerat) sau singular.

Există o teoremă: fiecare matrice nesingulară are o matrice inversă.

Operația de găsire a matricei inverse se numește recurs matrici. Luați în considerare algoritmul de inversare a matricei. Să fie dată o matrice nesingulară n-a comanda:

unde Δ = det A ≠ 0.

Complement element algebric matrici n-a ordine DAR determinantul matricei ( n–1)-a ordin obținut prin ștergere i-a linia și j-a coloană a matricei DAR:

Să creăm un așa-zis atașat matrice:

unde sunt complementele algebrice ale elementelor corespondente ale matricei DAR.
Rețineți că complementele algebrice ale elementelor rând ale matricei DAR sunt plasate în coloanele corespunzătoare ale matricei Ã , adică matricea este transpusă simultan.
Împărțirea tuturor elementelor matricei Ã pe Δ - valoarea determinantului matricei DAR, obținem matricea inversă ca rezultat:

Remarcăm o serie de proprietăți speciale ale matricei inverse:
1) pentru o matrice dată DAR matricea sa inversă este singurul;
2) dacă există o matrice inversă, atunci dreapta inversăși stânga inversă matricele coincid cu acesta;
3) o matrice pătrată specială (degenerată) nu are o matrice inversă.

Principalele proprietăți ale matricei inverse:
1) determinantul matricei inverse și determinantul matricei originale sunt reciproce;
2) matricea inversă a produsului matricelor pătrate este egală cu produsul matricelor inverse a factorilor, luate în ordine inversă:

3) matricea inversă transpusă este egală cu matricea inversă din matricea transpusă dată:

EXEMPLU Calculați inversul matricei celui dat.

Găsirea matricei inverse este un proces care constă din pași destul de simpli. Dar aceste acțiuni se repetă atât de des încât procesul este destul de lung. Principalul lucru este să nu pierdeți atenția atunci când luați o decizie.

Când rezolvați cea mai comună metodă - adunări algebrice - veți avea nevoie de:

Când rezolvăm exemple, vom analiza aceste acțiuni mai detaliat. Între timp, să aflăm ce spune teoria matricei inverse.

Pentru matrice inversă există o analogie potrivită cu reciproca unui număr. Pentru fiecare număr A, care nu este egal cu zero, există un număr b că munca Ași b egal cu unu: ab= 1 . Număr b se numește reciproca unui număr b. De exemplu, pentru numărul 7, inversul este numărul 1/7, deoarece 7*1/7=1.

matrice inversă , care trebuie găsit pentru o matrice pătrată dată DAR, se numește o astfel de matrice

produsul prin care matricele DARîn dreapta este matricea de identitate, adică
. (1)

O matrice de identitate este o matrice diagonală în care toate intrările diagonale sunt egale cu una.

Aflarea matricei inverse- o problemă care se rezolvă cel mai adesea prin două metode:

metoda complementelor algebrice, în care, după cum s-a notat la începutul lecției, este necesar să se găsească determinanți, minori și complemente algebrice și să transpună matrice;
metoda eliminării gaussiene, care necesită transformări elementare ale matricelor (adunați rânduri, înmulțiți rândurile cu același număr etc.).

Pentru cei care sunt deosebit de curioși, există și alte metode, de exemplu, metoda transformărilor liniare. În această lecție, vom analiza cele trei metode menționate și algoritmi pentru găsirea matricei inverse prin aceste metode.

Teorema.Pentru fiecare matrice pătrată nesingulară (nesingulară, nesingulară) se poate găsi o matrice inversă și, în plus, doar una. Pentru o matrice pătrată specială (degenerată, singulară), matricea inversă nu există.

Matricea pătrată se numește nespecială(sau nedegenerat, nesingular) dacă determinantul său nu este egal cu zero și special(sau degenerat, singular) dacă determinantul său este zero.

Matricea inversă poate fi găsită numai pentru o matrice pătrată. Desigur, matricea inversă va fi, de asemenea, pătrată și de aceeași ordine cu matricea dată. O matrice pentru care poate fi găsită o matrice inversă se numește matrice inversabilă.

Găsirea matricei inverse prin eliminarea gaussiană a necunoscutelor

Primul pas pentru a găsi matricea inversă prin eliminare gaussiană este alocarea matricei A matrice de identitate de același ordin, separându-le cu o bară verticală. Obținem o matrice duală. Înmulțim ambele părți ale acestei matrice cu , apoi obținem

Algoritm pentru găsirea matricei inverse prin eliminarea gaussiană a necunoscutelor

1. La matrice A atribuiți o matrice de identitate de același ordin.

2. Transformați matricea duală rezultată astfel încât matricea de identitate să fie obținută în partea stângă, apoi matricea inversă va fi obținută automat în partea dreaptă în locul matricei de identitate. Matrice A din partea stângă este convertită în matricea identitară prin transformări elementare ale matricei.

2. Dacă în procesul de transformare a matricei Aîn matricea de identitate în orice rând sau în orice coloană vor fi doar zerouri, atunci determinantul matricei este egal cu zero și, prin urmare, matricea A va fi degenerat și nu are matrice inversă. În acest caz, găsirea ulterioară a matricei inverse se oprește.

Exemplul 2 Pentru matrice

găsiți matricea inversă.

și o vom transforma astfel încât matricea de identitate să fie obținută în partea stângă. Să începem transformarea.

Înmulțiți primul rând al matricei din stânga și dreapta cu (-3) și adăugați-l la al doilea rând, apoi înmulțiți primul rând cu (-4) și adăugați-l la al treilea rând, apoi obținem

Pentru ca, dacă este posibil, să nu existe numere fracționale în timpul transformărilor ulterioare, vom crea mai întâi o unitate în al doilea rând din partea stângă a matricei duale. Pentru a face acest lucru, înmulțim al doilea rând cu 2 și scădem al treilea rând din el, apoi obținem

Să adăugăm primul rând la al doilea, apoi să înmulțim al doilea rând cu (-9) și să îl adăugăm la al treilea rând. Apoi primim

Împărțiți al treilea rând la 8, apoi

Înmulțiți al treilea rând cu 2 și adăugați-l la al doilea rând. Se dovedește:

Schimbând locurile celei de-a doua și a treia rânduri, apoi obținem în sfârșit:

Vedem că matricea de identitate este obținută în partea stângă, prin urmare, matricea inversă este obținută în partea dreaptă. În acest fel:

Puteți verifica corectitudinea calculelor înmulțind matricea originală cu matricea inversă găsită:

Rezultatul ar trebui să fie o matrice inversă.

Puteți verifica soluția cu calculator online pentru găsirea matricei inverse .

Exemplul 3 Pentru matrice

găsiți matricea inversă.

Soluţie. Compilarea unei matrice duale

și o vom transforma.

Înmulțim primul rând cu 3 și al doilea cu 2 și scadem din al doilea, apoi înmulțim primul rând cu 5 și al treilea cu 2 și scadem din al treilea rând, apoi obținem

De obicei, operațiile inverse sunt folosite pentru a simplifica expresii algebrice complexe. De exemplu, dacă problema conține operația de împărțire la o fracție, o puteți înlocui cu operația de înmulțire cu o inversă, care este operația inversă. În plus, matricele nu pot fi împărțite, așa că trebuie să înmulțiți cu matricea inversă. Calcularea inversului unei matrice 3x3 este destul de obositoare, dar trebuie să o poți face manual. De asemenea, puteți găsi reciprocul cu un calculator grafic bun.

Pași

Folosind matricea atașată

Transpuneți matricea originală. Transpunerea este înlocuirea rândurilor cu coloane în raport cu diagonala principală a matricei, adică trebuie să schimbați elementele (i, j) și (j, i). În acest caz, elementele diagonalei principale (începe în colțul din stânga sus și se termină în colțul din dreapta jos) nu se modifică.

Pentru a schimba rândurile cu coloane, scrieți elementele primului rând în prima coloană, elementele celui de-al doilea rând în a doua coloană și elementele celui de-al treilea rând în a treia coloană. Ordinea schimbării poziției elementelor este prezentată în figură, în care elementele corespunzătoare sunt încercuite cu cercuri colorate.

Găsiți definiția fiecărei matrice 2x2. Fiecare element al oricărei matrice, inclusiv cel transpus, este asociat cu o matrice 2x2 corespunzătoare. Pentru a găsi o matrice 2x2 care corespunde unui anumit element, tăiați rândul și coloana în care se află acest element, adică trebuie să tăiați cinci elemente din matricea originală 3x3. Patru elemente care sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare vor rămâne netașate.

De exemplu, pentru a găsi matricea 2x2 pentru elementul care este situat la intersecția celui de-al doilea rând și prima coloană, tăiați cele cinci elemente care se află în al doilea rând și prima coloană. Cele patru elemente rămase sunt elemente ale matricei 2x2 corespunzătoare.
Aflați determinantul fiecărei matrice 2x2. Pentru a face acest lucru, scădeți produsul elementelor diagonalei secundare din produsul elementelor diagonalei principale (vezi figura).
Informații detaliate despre matricele 2x2 corespunzătoare anumitor elemente ale unei matrice 3x3 pot fi găsite pe Internet.

Creați o matrice de cofactori.Înregistrați rezultatele obținute anterior sub forma unei noi matrice de cofactori. Pentru a face acest lucru, scrieți determinantul găsit al fiecărei matrice 2x2 unde a fost localizat elementul corespunzător al matricei 3x3. De exemplu, dacă o matrice de 2x2 este considerată pentru elementul (1,1), notați determinantul acestuia în poziția (1,1). Apoi schimbați semnele elementelor corespunzătoare conform unui anumit model, care este prezentat în figură.

Schema de schimbare a semnelor: semnul primului element al primei linii nu se modifică; semnul celui de-al doilea element al primei linii este inversat; semnul celui de-al treilea element al primei linii nu se schimbă și așa mai departe rând cu linie. Vă rugăm să rețineți că semnele „+” și „-”, care sunt prezentate în diagramă (vezi figura), nu indică faptul că elementul corespunzător va fi pozitiv sau negativ. În acest caz, semnul „+” indică faptul că semnul elementului nu se schimbă, iar semnul „-” indică faptul că semnul elementului s-a schimbat.
Informații detaliate despre matricele de cofactori pot fi găsite pe Internet.
Acesta este modul în care găsiți matricea asociată matricei originale. Uneori este numită matrice conjugată complexă. O astfel de matrice este notată ca adj(M).

Împărțiți fiecare element al matricei adiacente la determinant. Determinantul matricei M a fost calculat de la bun început pentru a verifica existența matricei inverse. Acum împărțiți fiecare element al matricei adiacente la acest determinant. Înregistrați rezultatul fiecărei operațiuni de împărțire în care se află elementul corespunzător. Deci veți găsi matricea, inversul originalului.

Determinantul matricei prezentate în figură este 1. Astfel, aici matricea asociată este matricea inversă (deoarece împărțirea oricărui număr la 1 nu îl schimbă).
În unele surse, operația de împărțire este înlocuită cu operația de înmulțire cu 1/det(M). În acest caz, rezultatul final nu se schimbă.

Notează matricea inversă. Scrieți elementele situate în jumătatea dreaptă a matricei mari ca o matrice separată, care este o matrice inversă.

Folosind un calculator

Alegeți un calculator care funcționează cu matrici. Prin utilizarea calculatoare simple matricea inversă nu poate fi găsită, dar se poate face pe un calculator grafic bun, cum ar fi Texas Instruments TI-83 sau TI-86.

Introduceți matricea originală în memoria calculatorului. Pentru a face acest lucru, faceți clic pe butonul Matrice, dacă este disponibil. Pentru un calculator Texas Instruments, poate fi necesar să apăsați butoanele 2nd și Matrix.

Selectați meniul Editare. Faceți acest lucru folosind butoanele săgeți sau cele corespunzătoare butonul de funcție, care se află în partea de sus a tastaturii calculatorului (locația butonului depinde de modelul calculatorului).

Introduceți denumirea matricei. Majoritatea calculatoarelor grafice pot lucra cu 3-10 matrici, care pot fi notate literele A-J. Ca regulă generală, trebuie doar să selectați [A] pentru a indica matricea originală. Apoi apăsați butonul Enter.

Introduceți dimensiunea matricei. Acest articol vorbește despre matrice 3x3. Dar calculatoarele grafice pot lucra cu matrici dimensiuni mari. Introduceți numărul de rânduri, apăsați butonul Enter, apoi introduceți numărul de coloane și apăsați din nou butonul Enter.

Introduceți fiecare element al matricei. O matrice va fi afișată pe ecranul calculatorului. Dacă o matrice a fost deja introdusă în calculator înainte, aceasta va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea primului element și apăsați Enter. Cursorul se va muta automat la următorul element al matricei.

matrice inversă este o matrice A -1, atunci când este înmulțit cu care matricea inițială dată A dă matricea identităţii E:

AA −1 = A −1 A =E.

Metoda matricei inverse.

Metoda matricei inverse- aceasta este una dintre cele mai comune metode de rezolvare a matricelor și este utilizată pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare (SLAE) în cazurile în care numărul de necunoscute corespunde numărului de ecuații.

Să existe un sistem n ecuații liniare cu n necunoscut:

Un astfel de sistem poate fi scris ca o ecuație matriceală A*X=B,

Unde
- matricea sistemului,

- coloana de necunoscute,

- coloana de coeficienți liberi.

Din ecuația matriceală derivată, exprimăm X prin înmulțirea ambelor părți ale ecuației matriceale din stânga cu A-1, rezultând:

A -1 * A * X = A -1 * B

Știind că A-1*A=E, apoi E*X=A-1*B sau X=A-1*B.

Următorul pas este determinarea matricei inverse A-1și înmulțit cu coloana termenilor liberi B.

Matrice inversă la Matrice A există doar atunci când det A≠ 0 . Având în vedere acest lucru, atunci când se rezolvă SLAE prin metoda matricei inverse, primul pas este găsirea det A. În cazul în care un det A≠ 0 , atunci sistemul are o singură soluție, care poate fi obținută prin metoda matricei inverse, dacă det A = 0, atunci un astfel de sistem metoda matricei inverse nu este rezolvată.

Soluție matriceală inversă.

Secvența de acțiuni pentru soluții cu matrice inversă:

Obțineți determinantul matricei A. Dacă determinantul este mai mare decât zero, rezolvăm matricea inversă în continuare, dacă este egală cu zero, atunci matricea inversă nu poate fi găsită aici.
Găsirea matricei transpuse LA.
Căutăm complemente algebrice, după care înlocuim toate elementele matricei cu complementele lor algebrice.
Colectăm matricea inversă din adunări algebrice: împărțim toate elementele matricei rezultate la determinantul matricei date inițial. Matricea finală va fi matricea inversă dorită față de cea inițială.

Algoritmul de mai jos soluții cu matrice inversăîn esență la fel ca mai sus, diferența este doar în câțiva pași: în primul rând, determinăm adunările algebrice, iar după aceea calculăm matricea de unire C.

Aflați dacă matricea dată este pătrată. În cazul unui răspuns negativ, devine clar că nu poate exista o matrice inversă pentru acesta.
Aflați dacă matricea dată este pătrată. În cazul unui răspuns negativ, devine clar că nu poate exista o matrice inversă pentru acesta.
Calculăm adunări algebrice.
Compunem matricea aliată (reciprocă, atașată). C.
Compunem o matrice inversă din adunări algebrice: toate elementele matricei adiacente Cîmpărțiți la determinantul matricei inițiale. Matricea rezultată va fi matricea inversă dorită față de cea dată.
Verificăm munca făcută: înmulțim matricele inițiale și cele rezultate, rezultatul ar trebui să fie matricea de identitate.

Acest lucru se face cel mai bine cu o matrice atașată.

Teoremă: Dacă atribuim o matrice de identitate de același ordin unei matrice pătrate din partea dreaptă și transformăm matricea inițială din stânga într-o matrice unitară folosind transformări elementare peste rânduri, atunci cea obținută în partea dreaptă va fi inversă cu cea inițială.