Distanța dintre puncte în coordonate geografice. Calcularea distanțelor dintre orașe după coordonatele acestora. Distanța dintre două puncte din spațiu

Iată un calculator

Distanța dintre două puncte de pe o linie dreaptă

Luați în considerare o linie de coordonate pe care sunt marcate 2 puncte: A A AȘi B B B. Pentru a afla distanța dintre aceste puncte, trebuie să găsiți lungimea segmentului A B AB A B. Acest lucru se face folosind următoarea formulă:

Distanța dintre două puncte de pe o linie dreaptă

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b ∣,

Unde a, b a, b a, b- coordonatele acestor puncte de pe linie (linia de coordonate).

Datorită faptului că există un modul în formulă, nu contează atunci când se decide ce coordonată să scadă din care (deoarece se ia valoarea absolută a acestei diferențe).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣b −a ∣

Să ne uităm la un exemplu pentru a înțelege mai bine soluția unor astfel de probleme.

Exemplul 1

Un punct este marcat pe linia de coordonate A A A, a cărui coordonată este 9 9 9 și punct B B B cu coordonata − 1 -1 − 1 . Trebuie să găsiți distanța dintre aceste două puncte.

Soluţie

Aici a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Folosim formula și înlocuim valorile:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Răspuns

Distanța dintre două puncte dintr-un plan

Luați în considerare două puncte date pe un plan. Din fiecare punct marcat pe plan trebuie coborâte două perpendiculare: Pe axă O X OX O X iar pe axă O Y OY O Y. Apoi se ia în considerare triunghiul A B C ABC A B C. Deoarece este dreptunghiular ( B C BC B C perpendicular A C AC A C), apoi găsiți segmentul A B AB A B, care este și distanța dintre puncte, se poate face folosind teorema lui Pitagora. Avem:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Dar de la lungime A C AC A C este egal cu x B − x A x_B-x_A X B − X A , și lungimea B C BC B C este egal cu y B − y A y_B-y_A y B − y A , această formulă poate fi rescrisă după cum urmează:

Distanța dintre două puncte dintr-un plan

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(X B − X A ) 2 + (y B − y A ) 2 ,

Unde x A , y A x_A, y_A X A , y A Și x B , y B x_B, y_B X B , y B - coordonatele punctului A A AȘi B B B respectiv.

Exemplul 2

Găsiți distanța dintre puncte C C CȘi F F F, dacă coordonatele primului (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) și al doilea - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Soluţie

X C = 8 x_C=8 X C = 8
yC=-1 y_C=-1 y C = − 1
x F=4 x_F=4 X F = 4
yF=2 y_F=2 y F = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(X F − X C ) 2 + (y F − y C ) 2 = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 = 1 6 + 9 = 2 5 = 5

Răspuns

Distanța dintre două puncte din spațiu

Găsirea distanței dintre două puncte în acest caz este similară cu cea precedentă, cu excepția faptului că coordonatele punctului din spațiu sunt date de trei numere, respectiv, coordonatele axei aplicate trebuie adăugate și la formulă. Formula va arăta astfel:

Distanța dintre două puncte din spațiu

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(X B − X A ) 2 + (y B − y A ) 2 + (z B − zA ) 2

Exemplul 3

Aflați lungimea unui segment $F K în spațiu dacă coordonatele punctelor capetelor sale sunt după cum urmează: (- 1; - 1; 8) Și (- 3; 6; 0) . Rotunjiți răspunsul la cel mai apropiat număr întreg.$

Soluţie

$F = (- 1; - 1; 8) K = (- 3; 6; 0)$

$FK=\sqrt((x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2)=\sqrt((-3-(-1) ))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2)=\sqrt(117)\approx10.8$

În funcție de starea problemei, trebuie să rotunjim răspunsul la un număr întreg.

Să fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular.

Teorema 1.1. Pentru oricare două puncte M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2) ale planului, distanța d dintre ele este exprimată prin formula

Dovada. Să aruncăm din punctele M 1 și M 2 perpendicularele M 1 B și, respectiv, M 2 A

pe axele Oy și Ox și notăm cu K punctul de intersecție al dreptelor M 1 B și M 2 A (Fig. 1.4). Sunt posibile următoarele cazuri:

1) Punctele M 1, M 2 și K sunt diferite. Evident, punctul K are coordonate (x 2; y 1). Este ușor de observat că M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôy 2 – y 1 ô. Deoarece ∆M 1 KM 2 este dreptunghiular, apoi după teorema lui Pitagora d = M 1 M 2 = = .

2) Punctul K coincide cu punctul M 2, dar este diferit de punctul M 1 (Fig. 1.5). În acest caz y 2 = y 1

și d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d ôx 2 - x 1 ô \u003d =

3) Punctul K coincide cu punctul M 1, dar este diferit de punctul M 2. În acest caz x 2 = x 1 și d =

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d ôy 2 - y 1 ô \u003d = .

4) Punctul M 2 coincide cu punctul M 1. Atunci x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 și

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

Divizarea segmentului în acest sens.

Fie dat un segment arbitrar M 1 M 2 pe plan și fie M orice punct al acestuia

alt segment decât punctul M 2 (Fig. 1.6). Numărul l definit de egalitatea l = , se numește atitudine,în care punctul M împarte segmentul M 1 M 2.

Teorema 1.2. Dacă punctul M (x; y) împarte segmentul M 1 M 2 în raport cu l, atunci coordonatele acestuia sunt determinate de formulele

x = , y = , (4)

unde (x 1; y 1) sunt coordonatele punctului M 1, (x 2; y 2) sunt coordonatele punctului M 2.

Dovada. Să demonstrăm prima dintre formulele (4). A doua formulă este dovedită în mod similar. Două cazuri sunt posibile.

x = x 1 = = = .

2) Linia dreaptă M 1 M 2 nu este perpendiculară pe axa Ox (Fig. 1.6). Să lăsăm perpendicularele din punctele M 1 , M, M 2 pe axa Ox și să notăm punctele de intersecție a acestora cu axa Ox respectiv P 1 , P, P 2 . Conform teoremei segmentelor proporţionale =l.

Deoarece P 1 P \u003d ôx - x 1 ô, PP 2 \u003d ôx 2 - xô și numerele (x - x 1) și (x 2 - x) au același semn (pentru x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 sunt negative), atunci

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x = .

Corolarul 1.2.1. Dacă M 1 (x 1; y 1) și M 2 (x 2; y 2) sunt două puncte arbitrare și punctul M (x; y) este punctul de mijloc al segmentului M 1 M 2, atunci

x = , y = (5)

Dovada. Deoarece M 1 M = M 2 M, atunci l = 1 și prin formulele (4) obținem formulele (5).

Aria unui triunghi.

Teorema 1.3. Pentru orice puncte A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) și C (x 3; y 3) care nu se află pe același

linie dreaptă, aria S a triunghiului ABC este exprimată prin formula

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Dovada. Zona ∆ ABC prezentată în fig. 1.7, calculăm după cum urmează

S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Calculați aria trapezului:

S-ADEC=
,

SBCEF=

Acum avem

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - -x 1) (y 1 + y 2) ) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - -x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 2) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (y 3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Pentru o altă locație ∆ ABC se demonstrează similar formula (6), dar se poate obține cu semnul „-”. Prin urmare, în formula (6) puneți semnul modulului.

Cursul 2

Ecuația unei drepte pe un plan: ecuația unei drepte cu coeficientul principal, ecuația generală a unei drepte, ecuația unei drepte în segmente, ecuația unei drepte care trece prin două puncte. Unghiul dintre drepte, condițiile de paralelism și perpendicularitatea dreptelor pe un plan.

2.1. Să fie date în plan un sistem de coordonate dreptunghiular și o dreaptă L.

Definiție 2.1. Se numește o ecuație de forma F(x;y) = 0 care raportează variabilele x și y ecuația dreaptă L(într-un sistem de coordonate dat) dacă această ecuație este îndeplinită de coordonatele oricărui punct situat pe dreapta L și nu de coordonatele oricărui punct care nu se află pe această dreaptă.

Exemple de ecuații de drepte pe un plan.

1) Se consideră o dreaptă paralelă cu axa Oy a unui sistem de coordonate dreptunghiular (Fig. 2.1). Să notăm cu litera A punctul de intersecție al acestei drepte cu axa Ox, (a; o) ─ or-

Dynati. Ecuația x = a este ecuația dreptei date. Într-adevăr, această ecuație este satisfăcută de coordonatele oricărui punct M(a; y) al acestei drepte și nu de coordonatele oricărui punct care nu se află pe linie. Dacă a = 0, atunci linia coincide cu axa Oy, care are ecuația x = 0.

2) Ecuația x - y \u003d 0 definește setul de puncte din plan care alcătuiesc bisectoarele unghiurilor de coordonate I și III.

3) Ecuația x 2 - y 2 \u003d 0 este ecuația a două bisectoare ale unghiurilor de coordonate.

4) Ecuația x 2 + y 2 = 0 definește un singur punct O(0;0) pe plan.

5) Ecuația x 2 + y 2 \u003d 25 este ecuația unui cerc cu raza 5 centrat la origine.

Buna ziua,

PHP folosit:

Cu stimă, Alexandru.

Buna ziua,

Mă confrunt cu o problemă de ceva timp: încerc să calculez distanța dintre două puncte arbitrare care se află la o distanță de 30 până la 1500 de metri unul de celălalt.

PHP folosit:

$cx=31,319738; //x coordonata primului punct
$cy=60,901638; //y coordonata a primului punct
$x=31,333312; //coordonata x a celui de-al doilea punct
$y=60,933981; //coordonata y a celui de-al doilea punct
$mx=abs($cx-$x); //calculați diferența lui x (prima parte triunghi dreptunghic), funcția abs(x) - returnează modulul numărului x x
$my=abs($cy-$y); //calculați diferența dintre jucători (al doilea picior al unui triunghi dreptunghic)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Obțineți distanța până la metrou (lungimea ipotenuzei, conform regulii, ipotenuza este egală cu rădăcina sumei pătratelor catetelor)

Dacă nu este clar, explic: îmi imaginez că distanța dintre două puncte este ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Apoi diferența dintre x-urile fiecăruia dintre cele două puncte va fi unul dintre catete, iar celălalt picior va fi diferența dintre y-urile acelorași două puncte. Apoi, după ce ați calculat diferența dintre x și y, puteți utiliza formula pentru a calcula lungimea ipotenuzei (adică distanța dintre două puncte).

Știu că această regulă funcționează bine pentru coordonatele carteziene, cu toate acestea, ar trebui să funcționeze mai mult sau mai puțin și cu coordonatele longlat. distanța măsurată între două puncte este neglijabilă (de la 30 la 1500 de metri).

Cu toate acestea, distanța conform acestui algoritm este calculată incorect (de exemplu, distanța1 calculată folosind acest algoritm depășește distanța2 cu doar 13%, în timp ce în realitate distanța1 este de 1450 de metri, distanța2 este de 970 de metri, adică, de fapt, diferența ajunge la aproape 50%).

Daca cineva ma poate ajuta, as fi foarte recunoscator.

Cu stimă, Alexandru.

","contentType":"text/html"),"propposedBody":("sursa":"

Buna ziua,

Mă confrunt cu o problemă de ceva timp: încerc să calculez distanța dintre două puncte arbitrare care se află la o distanță de 30 până la 1500 de metri unul de celălalt.

PHP folosit:

$cx=31,319738; //x coordonata primului punct
$cy=60,901638; //y coordonata a primului punct
$x=31,333312; //coordonata x a celui de-al doilea punct
$y=60,933981; //coordonata y a celui de-al doilea punct
$mx=abs($cx-$x); //calculam diferenta lui x (primul catet al unui triunghi dreptunghic), functia abs(x) - returneaza modulul lui x x
$my=abs($cy-$y); //calculați diferența dintre jucători (al doilea picior al unui triunghi dreptunghic)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Obțineți distanța până la metrou (lungimea ipotenuzei, conform regulii, ipotenuza este egală cu rădăcina sumei pătratelor catetelor)

Daca cineva ma poate ajuta, as fi foarte recunoscator.

Cu stimă, Alexandru.

Buna ziua,

Mă confrunt cu o problemă de ceva timp: încerc să calculez distanța dintre două puncte arbitrare care se află la o distanță de 30 până la 1500 de metri unul de celălalt.

PHP folosit:

$cx=31,319738; //x coordonata primului punct
$cy=60,901638; //y coordonata a primului punct
$x=31,333312; //coordonata x a celui de-al doilea punct
$y=60,933981; //coordonata y a celui de-al doilea punct
$mx=abs($cx-$x); //calculam diferenta lui x (primul catet al unui triunghi dreptunghic), functia abs(x) - returneaza modulul lui x x
$my=abs($cy-$y); //calculați diferența dintre jucători (al doilea picior al unui triunghi dreptunghic)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Obțineți distanța până la metrou (lungimea ipotenuzei, conform regulii, ipotenuza este egală cu rădăcina sumei pătratelor catetelor)

Daca cineva ma poate ajuta, as fi foarte recunoscator.

Cu stimă, Alexandru.

","contentType":"text/html"),"authorId":"108613929","slug":"15001","canEdit":false,"canComment":false,"isBanned":false,"canPublish" :false,"viewType":"old","isDraft":false,"isOnModeration":false,"isSubscriber":false,"commentsCount":14,"modificationDate":"Miercuri, 27 iunie 2012 20:07:00 GMT +0000 (Timp universal coordonat)","showPreview":true,"approvedPreview":("sursa":"

Buna ziua,

Mă confrunt cu o problemă de ceva timp: încerc să calculez distanța dintre două puncte arbitrare care se află la o distanță de 30 până la 1500 de metri unul de celălalt.

PHP folosit:

$cx=31,319738; //x coordonata primului punct
$cy=60,901638; //y coordonata a primului punct
$x=31,333312; //coordonata x a celui de-al doilea punct
$y=60,933981; //coordonata y a celui de-al doilea punct
$mx=abs($cx-$x); //calculam diferenta lui x (primul catet al unui triunghi dreptunghic), functia abs(x) - returneaza modulul lui x x
$my=abs($cy-$y); //calculați diferența dintre jucători (al doilea picior al unui triunghi dreptunghic)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Obțineți distanța până la metrou (lungimea ipotenuzei, conform regulii, ipotenuza este egală cu rădăcina sumei pătratelor catetelor)

Daca cineva ma poate ajuta, as fi foarte recunoscator.

Cu stimă, Alexandru.

","html":"Bună ziua","contentType":"text/html"),"proposedPreview":("sursa":"

Buna ziua,

Mă confrunt cu o problemă de ceva timp: încerc să calculez distanța dintre două puncte arbitrare care se află la o distanță de 30 până la 1500 de metri unul de celălalt.

PHP folosit:

$cx=31,319738; //x coordonata primului punct
$cy=60,901638; //y coordonata a primului punct
$x=31,333312; //coordonata x a celui de-al doilea punct
$y=60,933981; //coordonata y a celui de-al doilea punct
$mx=abs($cx-$x); //calculam diferenta lui x (primul catet al unui triunghi dreptunghic), functia abs(x) - returneaza modulul lui x x
$my=abs($cy-$y); //calculați diferența dintre jucători (al doilea picior al unui triunghi dreptunghic)
$dist=sqrt(pow($mx,2)+pow($my,2)); //Obțineți distanța până la metrou (lungimea ipotenuzei, conform regulii, ipotenuza este egală cu rădăcina sumei pătratelor catetelor)

Daca cineva ma poate ajuta, as fi foarte recunoscator.

Cu stimă, Alexandru.

","html":"Bună ziua,","contentType":"text/html"),"titleImage":null,"tags":[("displayName":"măsurarea distanței","slug":"izmerenie- rasstoyaniy","categoryId":"10615601","url":"/blog/mapsapi??tag=izmerenie-rasstoyaniy"),("displayName":"API 1.x","slug":"api-1 -x","categoryId":"150000131","url":"/blog/mapsapi??tag=api-1-x")],"isModerator":false,"publishCount":1,"commentsEnabled": true,"url":"/blog/mapsapi/15001","urlTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%","fullBlogUrl":"https://yandex.ru/blog/mapsapi","addCommentUrl ":"/blog/createComment/mapsapi/15001","updateCommentUrl":"/blog/updateComment/mapsapi/15001","addCommentWithCaptcha":"/blog/createWithCaptcha/mapsapi/15001","changeCaptchaUblog" /api/captcha/new","putImageUrl":"/blog/image/put","urlBlog":"/blog/mapsapi","urlEditPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlSlug":" /blog/post/generateSlug","urlPublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/publish","urlUnpublishPost":"/blog/56a98d48b15b79e31e0d54c8/unpublish","/url"/unpublishPost 56a98d48b15b79e31e0d54c8/removePost","urlDraft":"/blog/mapsapi/15001/draft","urlDraftTemplate":"/blog/mapsapi/%slug%/draft","urlRemoveDraft/"8b7918b0g/":6b798b/":"/blog/mapsapi/%slug%/draft" ":"/blog/api/suggest/mapsapi","urlAfterDelete":"/blog/mapsapi","isAuthor":false,"subscribeUrl":"/blog/api/subscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8",":"unsubscribeUrl" /blog/api/unsubscribe/56a98d48b15b79e31e0d54c8","urlEditPostPage":"/blog/mapsapi/56a98d48b15b79e31e0d54c8/edit","urlForTranslate":"/blog/post/itranslatee","blog/post/itranslatee","blog/post/Issuur/post/Issuur ,"urlUpdateTranslate":"/blog/post/updateTranslate","urlLoadTranslate":"/blog/post/loadTranslate","urlTranslationStatus":"/blog/mapsapi/15001/translationInfo","urlRelatedArticles":"/ blog/ api/relatedArticles/mapsapi/15001","author":("id":"108613929","uid":("value":"108613929","lite":false,"hosted":false), "aliases" ":(),"login":"mrdds","display_name":("nume":"mrdds","avatar":("implicit":"0/0-0","gol":true )) ,"abordare":" [email protected]","defaultAvatar":"0/0-0","imageSrc":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yapic/0/0-0/islands-middle","isYandexStaff": false),"originalModificationDate":"2012-06-27T16:07:49.000Z","socialImage":("orig":("fullPath":"https://avatars.mds.yandex.net/get-yablogs) /47421/file_1456488726678/orig"))))))))">

Lectura: Formula distanței între două puncte; ecuația sferei

Distanța dintre două puncte

Pentru a afla distanța dintre două puncte de pe o linie dreaptă în întrebarea anterioară, am folosit formula d = x 2 - x 1.

Dar, în ceea ce privește avionul, lucrurile stau altfel. Nu este suficient doar să găsiți diferența de coordonate. Pentru a afla distanța dintre puncte după coordonatele lor, utilizați următoarea formulă:

De exemplu, dacă aveți două puncte cu anumite coordonate, atunci puteți găsi distanța dintre ele după cum urmează:

A (4; -1), B (-4; 6):

AB \u003d ((4 + 4) 2 + (-1 - 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

Adică, pentru a calcula distanța dintre două puncte dintr-un plan, este necesar să găsim rădăcina sumei pătratelor diferențelor de coordonate.

Dacă trebuie să găsiți distanța dintre două puncte dintr-un plan, ar trebui să utilizați o formulă similară cu o coordonată suplimentară:

Ecuația sferei

Pentru a seta o sferă în spațiu, trebuie să cunoașteți coordonatele centrului acesteia, precum și raza acesteia, pentru a utiliza următoarea formulă:

Această ecuație corespunde unei sfere al cărei centru se află la origine.

Dacă centrul sferei este deplasat cu un anumit număr de unități de-a lungul axelor, atunci trebuie utilizată următoarea formulă.

Distanța de la punct la punct este lungimea segmentului care leagă aceste puncte, la o scară dată. Astfel, când vorbim măsurarea distanței, trebuie să cunoașteți scara (unitatea de lungime) în care vor fi făcute măsurătorile. Prin urmare, problema găsirii distanței de la un punct la un punct este de obicei considerată fie pe o dreaptă de coordonate, fie într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan sau în spațiu tridimensional. Cu alte cuvinte, cel mai adesea trebuie să calculați distanța dintre puncte după coordonatele lor.

În acest articol, în primul rând, ne amintim cum este determinată distanța de la un punct la un punct pe o linie de coordonate. În continuare, obținem formule pentru calcularea distanței dintre două puncte ale unui plan sau spațiu în funcție de coordonatele date. În concluzie, luăm în considerare în detaliu soluțiile exemplelor și problemelor tipice.

Navigare în pagină.

Distanța dintre două puncte de pe o linie de coordonate.

Să definim mai întâi notația. Distanța de la punctul A la punctul B va fi notată ca .

De aici putem concluziona că distanta de la punctul A cu coordonata la punctul B cu coordonata este egala cu modulul diferentei de coordonate, acesta este, pentru orice aranjare a punctelor pe linia de coordonate.

Distanța de la un punct la un punct dintr-un plan, formulă.

Să obținem o formulă pentru calcularea distanței dintre puncte și dată într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe un plan.

În funcție de locația punctelor A și B, sunt posibile următoarele opțiuni.

Dacă punctele A și B coincid, atunci distanța dintre ele este zero.

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa x, atunci punctele și coincid, iar distanța este egală cu distanța. În paragraful anterior, am aflat că distanța dintre două puncte de pe linia de coordonate este egală cu modulul diferenței dintre coordonatele lor, prin urmare, . Prin urmare, .

În mod similar, dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa y, atunci distanța de la punctul A la punctul B se găsește ca .

În acest caz, triunghiul ABC este dreptunghiular în construcție și Și . De teorema lui Pitagora putem scrie egalitatea , de unde .

Să rezumăm toate rezultatele: distanța de la un punct la un punct dintr-un plan se găsește prin coordonatele punctelor prin formula .

Formula rezultată pentru găsirea distanței dintre puncte poate fi utilizată atunci când punctele A și B coincid sau se află pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate. Într-adevăr, dacă A și B sunt la fel, atunci . Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa Ox, atunci . Dacă A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa Oy, atunci .

Distanța dintre punctele din spațiu, formulă.

Să introducem un sistem de coordonate dreptunghiular Оxyz în spațiu. Obțineți formula pentru găsirea distanței de la un punct până la punctul .

În general, punctele A și B nu se află într-un plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate. Să desenăm prin punctele A și B în planul perpendicular pe axele de coordonate Ox, Oy și Oz. Punctele de intersecție ale acestor plane cu axele de coordonate ne vor oferi proiecțiile punctelor A și B pe aceste axe. Indicați proiecțiile .

Distanța dorită dintre punctele A și B este o diagonală cuboid prezentată în figură. Prin construcție, dimensiunile acestui paralelipiped sunt Și . La cursul de geometrie din liceu s-a dovedit că pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale, deci,. Pe baza informațiilor din prima secțiune a acestui articol, putem scrie următoarele egalități, prin urmare,

unde ajungem formula pentru aflarea distantei dintre punctele din spatiu .

Această formulă este valabilă și dacă punctele A și B

se potrivesc;
aparțin uneia dintre axele de coordonate sau unei drepte paralele cu una dintre axele de coordonate;
aparțin unuia dintre planurile de coordonate sau unui plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate.

Găsirea distanței de la punct la punct, exemple și soluții.

Deci, am obținut formulele pentru găsirea distanței dintre două puncte ale dreptei de coordonate, plan și spațiu tridimensional. Este timpul să luăm în considerare soluțiile exemplelor tipice.

Numărul de sarcini în care pasul final este găsirea distanței dintre două puncte în funcție de coordonatele lor este cu adevărat enorm. O revizuire completă a unor astfel de exemple depășește scopul acestui articol. Aici ne limităm la exemple în care sunt cunoscute coordonatele a două puncte și este necesar să se calculeze distanța dintre ele.

Articole similare

Discuta:

Cod bonus reutilizabil în World of Tanks: Actualizat (25-10-2019, 20:46): T2 Light Tank Fiecare jucător din World of...
Evaluarea site-ului Armor așa cum este considerată: Pentru mulți jucători care nu se adâncesc în diferitele statistici ale contului lor, ...
Cum să folosiți bug-ul la iluminarea veșnică a inamicului „Front Line” World of Tanks: Capacitatea de a vă rezervor corespunzător este cu siguranță foarte importantă și utilă....
Cel mai bun jucător din World of Tanks Cel mai bun extra din World of Tanks:În jocul World of Tanks, statisticile jucătorilor World of Tanks au cea mai mare influență.