Kā atrast 2 pasūtījumu apgriezto matricu. Apgrieztā matrica. Apgrieztās matricas atrašana, izmantojot Gausa nezināmo novēršanu

Matricu $A^(-1)$ sauc par kvadrātmatricas $A$ apgriezto vērtību, ja $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, kur $E $ ir identitātes matrica, kuras secība ir vienāda ar matricas $A$ secību.

Nevienskaitļa matrica ir matrica, kuras determinants nav vienāds ar nulli. Attiecīgi deģenerēta matrica ir tāda, kuras determinants ir vienāds ar nulli.

Apgrieztā matrica $A^(-1)$ pastāv tad un tikai tad, ja matrica $A$ nav vienskaitlī. Ja pastāv apgrieztā matrica $A^(-1)$, tad tā ir unikāla.

Ir vairāki veidi, kā atrast matricas apgriezto vērtību, un mēs apskatīsim divus no tiem. Šajā lapā tiks apspriesta adjoint matricas metode, kas tiek uzskatīta par standartu lielākajā daļā augstākās matemātikas kursu. Otrajā daļā aplūkots otrs apgrieztās matricas atrašanas veids (elementāro pārveidojumu metode), kas ietver Gausa metodes vai Gausa-Jordaņa metodes izmantošanu.

Adjoint (savienības) matricas metode

Dota matrica $A_(n\times n)$. Lai atrastu apgriezto matricu $A^(-1)$, ir jāveic trīs darbības:

Atrodiet matricas $A$ determinantu un pārliecinieties, ka $\Delta A\neq 0$, t.i. ka matrica A ir nedeģenerēta.
Sastādiet algebriskos papildinājumus $A_(ij)$ katram matricas $A$ elementam un pierakstiet matricu $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ no atrastā. algebriskie papildinājumi.
Uzrakstiet apgriezto matricu, ņemot vērā formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matrica $(A^(*))^T$ bieži tiek saukta par $A$ adjoint (savstarpēju, sabiedroto) matricu.

Ja lēmums tiek pieņemts manuāli, tad pirmā metode ir piemērota tikai salīdzinoši mazu pasūtījumu matricām: otrā (), trešā (), ceturtā (). Lai atrastu apgriezto matricu augstākas kārtas matricai, tiek izmantotas citas metodes. Piemēram, Gausa metode, kas aplūkota otrajā daļā.

1. piemērs

Atrast matricas apgriezto matricu $A=\left(\begin(masīvs) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(masīvs) \right)$.

Tā kā visi ceturtās kolonnas elementi ir vienādi ar nulli, tad $\Delta A=0$ (t.i., matrica $A$ ir deģenerēta). Tā kā $\Delta A=0$, nav matricas, kas apgriezta $A$.

Atbilde: matrica $A^(-1)$ nepastāv.

2. piemērs

Atrodiet matricas apgriezto vērtību $A=\left(\begin(masīvs) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(masīvs)\right)$. Palaidiet pārbaudi.

Mēs izmantojam adjoint matricas metodi. Vispirms atradīsim dotās matricas $A$ determinantu:

$$ \Delta A=\left| \begin(masīvs) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(masīvs)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Tā kā $\Delta A \neq 0$, tad pastāv apgrieztā matrica, tāpēc turpinām risinājumu. Algebrisko komplementu atrašana

\begin(līdzināts) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cpunkts 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cpunkts 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cpunkts (-5)=-5.\\ \end(līdzināts)

Izveidojiet algebrisko komplementu matricu: $A^(*)=\left(\begin(masīvs) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(masīvs)\right)$.

Transponējiet iegūto matricu: $(A^(*))^T=\left(\begin(masīvs) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(masīvs)\right)$ (iegūtais matrica bieži tiek saukta par matricas $A$ savienoto vai savienojošo matricu). Izmantojot formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, mums ir:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(masīvs) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(masīvs)\right) =\left(\begin(masīvs) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(masīvs)\right) $$

Tātad tiek atrasta apgrieztā matrica: $A^(-1)=\left(\begin(masīvs) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(masīvs) \pa labi) $. Lai pārbaudītu rezultāta patiesumu, pietiek pārbaudīt vienas no vienādībām patiesumu: $A^(-1)\cdot A=E$ vai $A\cdot A^(-1)=E$. Pārbaudīsim vienādību $A^(-1)\cdot A=E$. Lai mazāk strādātu ar daļskaitļiem, mēs aizvietosim matricu $A^(-1)$, kas nav formā $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(masīvs)\right)$, bet kā $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(masīvs) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ beigas(masīvs )\labais)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(masīvs) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( masīvs)\labais)\cdot\left(\begin(masīvs) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(masīvs)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(masīvs) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(masīvs)\right) =\left(\begin(masīvs) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(masīvs )\right) =E $$

Atbilde: $A^(-1)=\left(\begin(masīvs) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(masīvs)\right)$.

3. piemērs

Atrodiet matricas $A=\left(\begin(masīvs) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(masīvs) \right)$ apgriezto vērtību. Palaidiet pārbaudi.

Sāksim ar matricas $A$ determinanta aprēķināšanu. Tātad matricas $A$ determinants ir:

$$ \Delta A=\left| \begin(masīvs) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(masīvs) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Tā kā $\Delta A\neq 0$, tad pastāv apgrieztā matrica, tāpēc turpinām risinājumu. Mēs atrodam katra dotās matricas elementa algebriskos papildinājumus:

$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(masīvs)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(masīvs)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(masīvs)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(masīvs)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(masīvs)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(masīvs)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(masīvs)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(masīvs)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(masīvs)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(masīvs)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(masīvs)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(masīvs)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(masīvs)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(masīvs)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(masīvs)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(masīvs)\right|=37. \end(līdzināts) $$

Mēs sastādām algebrisko papildinājumu matricu un transponējam to:

$$ A^*=\left(\begin(masīvs) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(masīvs) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(masīvs) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(masīvs) \right) . $$

Izmantojot formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, mēs iegūstam:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masīvs) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(masīvs) \right)= \left(\begin(masīvs) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(masīvs) \right) $$

Tātad $A^(-1)=\left(\begin(masīvs) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(masīvs) \right)$. Lai pārbaudītu rezultāta patiesumu, pietiek pārbaudīt vienas no vienādībām patiesumu: $A^(-1)\cdot A=E$ vai $A\cdot A^(-1)=E$. Pārbaudīsim vienādību $A\cdot A^(-1)=E$. Lai mazāk strādātu ar daļskaitļiem, mēs aizvietosim matricu $A^(-1)$, kas nav formā $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(masīvs) \right)$, bet kā $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(masīvs) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(masīvs) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(masīvs)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(masīvs) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(masīvs) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ beigas(masīvs) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(masīvs) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\end (masīvs) \right) =\left(\begin(masīvs) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(masīvs) \right) =E $$

Pārbaude tika veiksmīgi izturēta, apgrieztā matrica $A^(-1)$ tika atrasta pareizi.

Atbilde: $A^(-1)=\left(\begin(masīvs) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(masīvs) \right)$.

4. piemērs

Atrast matricas apgriezto vērtību $A=\left(\begin(masīvs) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(masīvs) \right)$.

Ceturtās kārtas matricai apgrieztās matricas atrašana, izmantojot algebriskos papildinājumus, ir nedaudz sarežģīta. Tomēr tādi piemēri kontroles darbs satikties.

Lai atrastu apgriezto matricu, vispirms jāaprēķina matricas $A$ determinants. Labākais veids, kā to izdarīt šajā situācijā, ir izvērst determinantu pēc kārtas (kolonnas). Mēs atlasām jebkuru rindu vai kolonnu un atrodam katra atlasītās rindas vai kolonnas elementa algebrisko papildinājumu.

Piemēram, pirmajā rindā mēs iegūstam:

$$ A_(11)=\left|\begin(masīvs)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(masīvs)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(masīvs)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(masīvs)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(masīvs)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(masīvs)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(masīvs)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(masīvs)\right|=-112. $$

Matricas $A$ determinantu aprēķina pēc šādas formulas:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \begin(līdzināts) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(līdzināts) $$

Algebriskā komplementa matrica: $A^*=\left(\begin(masīvs)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96\end(masīvs)\right)$.

Pievienotā matrica: $(A^*)^T=\left(\begin(masīvs) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(masīvs)\labais)$.

Apgrieztā matrica:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(masīvs) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(masīvs) \right)= \left(\begin(masīvs) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25/1/25 & 9/25 & -24/25 \end(masīvs) \right) $$

Ja vēlaties, pārbaudi var veikt tāpat kā iepriekšējos piemēros.

Atbilde: $A^(-1)=\left(\begin(masīvs) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(masīvs) \pa labi) $.

Otrajā daļā tiks apskatīts cits apgrieztās matricas atrašanas veids, kas ietver Gausa metodes vai Gausa-Jordaņa metodes transformāciju izmantošanu.

Matricas algebra - apgrieztā matrica

apgrieztā matrica

apgrieztā matrica Tiek izsaukta matrica, kas, reizinot gan labajā, gan kreisajā pusē ar doto matricu, iegūst identitātes matricu.
Apzīmē matricu, kas ir apgriezta matricai BET caur , tad saskaņā ar definīciju mēs iegūstam:

kur E ir identitātes matrica.
kvadrātveida matrica sauca nav īpašs (nav deģenerēts), ja tā determinants nav vienāds ar nulli. Citādi to sauc īpašs (deģenerēts) vai vienskaitlis.

Ir teorēma: katrai nevienskaitļa matricai ir apgrieztā matrica.

Tiek saukta apgrieztās matricas atrašanas operācija pārsūdzēt matricas. Apsveriet matricas inversijas algoritmu. Dota nevienskaitļa matrica n-kārtība:

kur Δ = det A ≠ 0.

Algebriskā elementa papildinājums matricas n-tais pasūtījums BET matricas determinants ( n–1)-kārtība, kas iegūta dzēšot i-th līnija un j-matricas kolonna BET:

Izveidosim t.s pievienots matrica:

kur ir matricas atbilstošo elementu algebriskie papildinājumi BET.
Ņemiet vērā, ka matricas rindu elementu algebriskie papildinājumi BET tiek ievietoti attiecīgajās matricas kolonnās Ã , tas ir, matrica tiek transponēta vienlaicīgi.
Visu matricas elementu sadalīšana Ã uz Δ - matricas determinanta vērtība BET, mēs iegūstam apgriezto matricu kā rezultātā:

Mēs atzīmējam vairākas īpašas apgrieztās matricas īpašības:
1) noteiktai matricai BET tās apgrieztā matrica ir vienīgais;
2) ja ir apgrieztā matrica , tad pa labi reverss un pa kreisi reverss matricas sakrīt ar to;
3) speciālai (deģenerētai) kvadrātmatricai nav inversās matricas.

Apgrieztās matricas galvenās īpašības:
1) apgrieztās matricas determinants un sākotnējās matricas determinants ir reciprokāli;
2) kvadrātmatricu reizinājuma apgrieztā matrica ir vienāda ar faktoru apgriezto matricu reizinājumu, kas ņemta apgrieztā secībā:

3) transponētā inversā matrica ir vienāda ar apgriezto matricu no dotās transponētās matricas:

PIEMĒRS Aprēķiniet dotās matricas apgriezto vērtību.

Apgrieztās matricas atrašana ir process, kas sastāv no diezgan vienkāršiem soļiem. Bet šīs darbības tiek atkārtotas tik bieži, ka process ir diezgan garš. Galvenais ir nezaudēt uzmanību, pieņemot lēmumu.

Atrisinot visizplatītāko metodi - algebriskos papildinājumus - jums būs nepieciešams:

Risinot piemērus, šīs darbības analizēsim sīkāk. Tikmēr noskaidrosim, ko saka apgrieztās matricas teorija.

Priekš apgrieztā matrica ir trāpīga līdzība ar skaitļa apgriezto vērtību. Par katru numuru a, kas nav vienāds ar nulli, pastāv skaitlis b ka darbs a un b vienāds ar vienu: ab= 1. Numurs b sauc par skaitļa reciproku b. Piemēram, skaitlim 7 inverss ir skaitlis 1/7, jo 7*1/7=1.

apgrieztā matrica , kas ir jāatrod noteiktai kvadrātveida matricai BET, šādu matricu sauc

reizinājums, ar kuru matricas BET labajā pusē ir identitātes matrica, t.i.,
. (1)

Identitātes matrica ir diagonāla matrica, kurā visi diagonālie ieraksti ir vienādi ar vienu.

Apgrieztās matricas atrašana- problēma, kas visbiežāk tiek atrisināta ar divām metodēm:

algebrisko komplementu metodi, kurā, kā norādīts nodarbības sākumā, nepieciešams atrast determinantus, minorus un algebriskos papildinājumus un transponēt matricas;
Gausa nezināmo eliminācija, kas prasa elementāras matricu transformācijas (rindu pievienošana, rindas reizināšana ar tādu pašu skaitli utt.).

Tiem, kas ir īpaši zinātkāri, ir arī citas metodes, piemēram, lineāro transformāciju metode. Šajā nodarbībā mēs analizēsim trīs minētās metodes un algoritmus apgrieztās matricas atrašanai ar šīm metodēm.

Teorēma.Katrai nevienskaitļa (nevienskaitļa, nevienskaitļa) kvadrātveida matricai var atrast apgrieztu matricu, turklāt tikai vienu. Īpašai (deģenerētai, vienskaitļa) kvadrātveida matricai apgrieztā matrica nepastāv.

Tiek saukta kvadrātveida matrica nav īpašs(vai nav deģenerēts, nevienskaitlis), ja tā determinants nav vienāds ar nulli, un īpašs(vai deģenerēts, vienskaitlis), ja tā determinants ir nulle.

Apgriezto matricu var atrast tikai kvadrātveida matricai. Protams, arī apgrieztā matrica būs kvadrātveida un tādā pašā secībā kā dotā matrica. Matricu, kurai var atrast apgriezto matricu, sauc par invertējamo matricu.

Apgrieztās matricas atrašana, izmantojot Gausa nezināmo novēršanu

Pirmais solis, lai atrastu apgriezto matricu ar Gausa elimināciju, ir piešķiršana matricai A tādas pašas kārtas identitātes matricu, atdalot tās ar vertikālu joslu. Mēs iegūstam duālo matricu. Reiziniet abas šīs matricas daļas ar , tad iegūstam

Algoritms apgrieztās matricas atrašanai pēc Gausa nezināmo eliminācijas

1. Uz matricu A piešķirt identitātes matricu tādā pašā secībā.

2. Pārveidojiet iegūto duālo matricu tā, lai identitātes matrica tiktu iegūta tās kreisajā daļā, tad apgrieztā matrica automātiski tiks iegūta labajā daļā identitātes matricas vietā. Matrica A kreisajā pusē tiek pārveidots par identitātes matricu ar elementārām matricas transformācijām.

2. Ja matricas transformācijas procesā A identitātes matricā jebkurā rindā vai kolonnā būs tikai nulles, tad matricas determinants ir vienāds ar nulli, un tāpēc matrica A būs deģenerēts, un tam nav apgrieztas matricas. Šajā gadījumā turpmāka apgrieztās matricas atrašana apstājas.

2. piemērs Matricai

atrast apgriezto matricu.

un mēs to pārveidosim tā, lai identitātes matrica tiktu iegūta kreisajā pusē. Sāksim transformāciju.

Reiziniet pirmo kreisās un labās matricas rindu ar (-3) un pievienojiet to otrajai rindai, un pēc tam reiziiniet pirmo rindu ar (-4) un pievienojiet to trešajai rindai, tad iegūstam

Lai, ja iespējams, turpmākajās transformācijās nebūtu daļskaitļu, mēs vispirms izveidosim vienību otrajā rindā duālās matricas kreisajā pusē. Lai to izdarītu, reiziniet otro rindu ar 2 un no tā atņemiet trešo rindu, tad mēs iegūstam

Pievienosim pirmo rindu otrajai un pēc tam reizinim otro rindu ar (-9) un pievienosim trešajai rindai. Tad mēs saņemam

Pēc tam sadaliet trešo rindu ar 8

Trešo rindu reiziniet ar 2 un pievienojiet to otrajai rindai. Izrādās:

Samainot otrās un trešās rindas vietas, tad beidzot iegūstam:

Mēs redzam, ka identitātes matrica tiek iegūta kreisajā pusē, tāpēc apgrieztā matrica tiek iegūta labajā pusē. Pa šo ceļu:

Jūs varat pārbaudīt aprēķinu pareizību, reizinot sākotnējo matricu ar atrasto apgriezto matricu:

Rezultātam jābūt apgrieztai matricai.

Jūs varat pārbaudīt risinājumu ar tiešsaistes kalkulators apgrieztās matricas atrašanai .

3. piemērs Matricai

atrast apgriezto matricu.

Risinājums. Duālās matricas sastādīšana

un mēs to pārveidosim.

Mēs reizinām pirmo rindu ar 3 un otro ar 2 un atņemam no otrās, un tad pirmo rindu reizinām ar 5 un trešo ar 2 un atņemam no trešās rindas, tad iegūstam

Parasti apgrieztās darbības tiek izmantotas, lai vienkāršotu sarežģītas algebriskas izteiksmes. Piemēram, ja uzdevumā ir ietverta dalīšanas ar daļskaitli operācija, varat to aizstāt ar operāciju reizināšanai ar reciprokālu, kas ir apgrieztā darbība. Turklāt matricas nevar dalīt, tāpēc jums ir jāreizina ar apgriezto matricu. 3x3 matricas apgrieztās vērtības aprēķināšana ir diezgan nogurdinoša, taču jums ir jāspēj to izdarīt manuāli. Varat arī atrast abpusēju vērtību, izmantojot labu grafiku kalkulatoru.

Soļi

Izmantojot pievienoto matricu

Transponējiet sākotnējo matricu. Transponēšana ir rindu aizstāšana ar kolonnām attiecībā pret matricas galveno diagonāli, tas ir, jums ir jāapmaina elementi (i, j) un (j, i). Šajā gadījumā galvenās diagonāles elementi (sākas augšējā kreisajā stūrī un beidzas apakšējā labajā stūrī) nemainās.

Lai apmainītu rindas pret kolonnām, ierakstiet pirmās rindas elementus pirmajā kolonnā, otrās rindas elementus otrajā un trešās rindas elementus trešajā kolonnā. Elementu novietojuma maiņas secība ir parādīta attēlā, kurā atbilstošie elementi ir apvilkti ar krāsainiem apļiem.

Atrodiet katras 2x2 matricas definīciju. Katrs jebkuras matricas elements, ieskaitot transponēto, ir saistīts ar atbilstošu 2x2 matricu. Lai atrastu 2x2 matricu, kas atbilst noteiktam elementam, izsvītrojiet rindu un kolonnu, kurā atrodas šis elements, tas ir, jums ir jāizsvītro pieci sākotnējās 3x3 matricas elementi. Četri elementi, kas ir atbilstošās 2x2 matricas elementi, paliks neizsvītroti.

Piemēram, lai atrastu 2x2 matricu elementam, kas atrodas otrās rindas un pirmās kolonnas krustpunktā, izsvītrojiet piecus elementus, kas atrodas otrajā rindā un pirmajā kolonnā. Atlikušie četri elementi ir atbilstošās 2x2 matricas elementi.
Atrodiet katras 2x2 matricas determinantu. Lai to izdarītu, no galvenās diagonāles elementu reizinājuma atņem sekundārās diagonāles elementu reizinājumu (sk. attēlu).
Detalizētu informāciju par 2x2 matricām, kas atbilst noteiktiem 3x3 matricas elementiem, var atrast internetā.

Izveidojiet kofaktoru matricu. Ierakstiet agrāk iegūtos rezultātus jaunas kofaktoru matricas veidā. Lai to izdarītu, uzrakstiet katras 2x2 matricas atrasto determinantu, kurā atradās attiecīgais 3x3 matricas elements. Piemēram, ja elementam (1,1) tiek ņemta vērā 2x2 matrica, pierakstiet tās determinantu pozīcijā (1,1). Pēc tam nomainiet atbilstošo elementu zīmes pēc noteikta parauga, kas parādīts attēlā.

Zīmju maiņas shēma: pirmās rindas pirmā elementa zīme nemainās; pirmās rindas otrā elementa zīme ir apgriezta; pirmās rindas trešā elementa zīme nemainās, un tā rindiņu pa rindiņai. Lūdzu, ņemiet vērā, ka zīmes "+" un "-", kas ir parādītas diagrammā (sk. attēlu), nenorāda, ka atbilstošais elements būs pozitīvs vai negatīvs. Šajā gadījumā zīme “+” norāda, ka elementa zīme nemainās, un zīme “-” norāda, ka elementa zīme ir mainījusies.
Detalizētu informāciju par kofaktoru matricām var atrast internetā.
Tādā veidā jūs atrodat oriģinālās matricas saistīto matricu. To dažreiz sauc par komplekso konjugātu matricu. Šāda matrica tiek apzīmēta kā adj(M).

Sadaliet katru adjungētās matricas elementu ar determinantu. Matricas M determinants tika aprēķināts pašā sākumā, lai pārbaudītu, vai pastāv apgrieztā matrica. Tagad sadaliet katru blakus esošās matricas elementu ar šo determinantu. Ierakstiet katras dalīšanas darbības rezultātu, kur atrodas attiecīgais elements. Tātad jūs atradīsiet matricu, oriģināla apgriezto vērtību.

Attēlā redzamās matricas determinants ir 1. Tādējādi saistītā matrica šeit ir apgrieztā matrica (jo jebkura skaitļa dalīšana ar 1 to nemaina).
Dažos avotos dalīšanas darbība tiek aizstāta ar reizināšanas darbību ar 1/det(M). Šajā gadījumā gala rezultāts nemainās.

Pierakstiet apgriezto matricu. Uzrakstiet elementus, kas atrodas lielās matricas labajā pusē, kā atsevišķu matricu, kas ir apgrieztā matrica.

Izmantojot kalkulatoru

Izvēlieties kalkulatoru, kas darbojas ar matricām. Izmantojot vienkārši kalkulatori apgriezto matricu nevar atrast, bet to var izdarīt ar labu grafiku kalkulatoru, piemēram, Texas Instruments TI-83 vai TI-86.

Ievadiet sākotnējo matricu kalkulatora atmiņā. Lai to izdarītu, noklikšķiniet uz pogas Matrix, ja tā ir pieejama. Texas Instruments kalkulatoram, iespējams, būs jānospiež 2. un Matrix pogas.

Atlasiet izvēlni Rediģēt. Dariet to, izmantojot bultiņu pogas vai atbilstošo funkciju poga, kas atrodas kalkulatora tastatūras augšpusē (pogas atrašanās vieta ir atkarīga no kalkulatora modeļa).

Ievadiet matricas apzīmējumu. Lielākā daļa grafisko kalkulatoru var strādāt ar 3-10 matricām, kuras var apzīmēt burti A-J. Parasti vienkārši atlasiet [A], lai apzīmētu sākotnējo matricu. Pēc tam nospiediet taustiņu Enter.

Ievadiet matricas izmēru.Šajā rakstā ir runāts par 3x3 matricām. Bet grafiskie kalkulatori var strādāt ar matricām lieli izmēri. Ievadiet rindu skaitu, nospiediet taustiņu Enter, pēc tam ievadiet kolonnu skaitu un vēlreiz nospiediet taustiņu Enter.

Ievadiet katru matricas elementu. Kalkulatora ekrānā tiks parādīta matrica. Ja matrica jau iepriekš ir ievadīta kalkulatorā, tā parādīsies ekrānā. Kursors iezīmēs pirmo matricas elementu. Ievadiet pirmā elementa vērtību un nospiediet taustiņu Enter. Kursors automātiski pārvietosies uz nākamo matricas elementu.

apgrieztā matrica ir matrica A -1, reizinot ar kuru dotā sākotnējā matrica A dod identitātes matricu E:

AA −1 = A −1 A =E.

Apgrieztās matricas metode.

Apgrieztās matricas metode- šī ir viena no visizplatītākajām matricu risināšanas metodēm un tiek izmantota lineāro algebrisko vienādojumu sistēmu (SLAE) risināšanai gadījumos, kad nezināmo skaits atbilst vienādojumu skaitam.

Lai ir sistēma n lineāri vienādojumi ar n nezināms:

Šādu sistēmu var uzrakstīt kā matricas vienādojumu A*X=B,

kur
- sistēmas matrica,

- nezināmo kolonna,

- brīvo koeficientu kolonna.

No atvasinātā matricas vienādojuma mēs izsakām X, reizinot abas matricas vienādojuma puses kreisajā pusē ar A-1, kā rezultātā:

A -1 * A * X = A -1 * B

To zinot A-1*A=E, tad E*X=A-1*B vai X=A-1*B.

Nākamais solis ir apgrieztās matricas noteikšana A-1 un reizināts ar brīvo terminu kolonnu B.

Apgrieztā matrica uz matricu A pastāv tikai tad, kad det A≠ 0 . Ņemot to vērā, risinot SLAE ar apgrieztās matricas metodi, pirmais solis ir atrast det A. Ja det A≠ 0 , tad sistēmai ir tikai viens risinājums, ko var iegūt ar apgrieztās matricas metodi, ja det A = 0, tad tāda sistēma apgrieztās matricas metode nav atrisināts.

Apgrieztās matricas risinājums.

Darbību secība priekš apgrieztās matricas risinājumi:

Iegūstiet matricas noteicēju A. Ja determinants ir lielāks par nulli, apgriezto matricu risinām tālāk, ja tā ir vienāda ar nulli, tad apgrieztā matrica šeit nav atrodama.
Transponētās matricas atrašana AT.
Mēs meklējam algebriskos papildinājumus, pēc kuriem mēs aizstājam visus matricas elementus ar to algebriskajiem papildinājumiem.
Apgriezto matricu savācam no algebriskiem saskaitījumiem: visus iegūtās matricas elementus sadalām ar sākotnēji dotās matricas determinantu. Galīgā matrica būs vēlamā apgrieztā matrica attiecībā pret sākotnējo.

Algoritms zemāk apgrieztās matricas risinājumi būtībā tas pats, kas iepriekš, atšķirība ir tikai dažos soļos: vispirms mēs nosakām algebriskos papildinājumus un pēc tam aprēķinām savienības matricu C.

Uzziniet, vai dotā matrica ir kvadrātveida. Negatīvās atbildes gadījumā kļūst skaidrs, ka tai nevar būt apgriezta matrica.
Uzziniet, vai dotā matrica ir kvadrātveida. Negatīvās atbildes gadījumā kļūst skaidrs, ka tai nevar būt apgriezta matrica.
Mēs aprēķinām algebriskos saskaitījumus.
Mēs veidojam sabiedroto (savstarpējo, pievienoto) matricu C.
Mēs sastādām apgriezto matricu no algebriskām saskaitījumiem: visi adjungētās matricas elementi C dala ar sākotnējās matricas determinantu. Iegūtā matrica būs vēlamā apgrieztā matrica attiecībā pret doto.
Pārbaudām paveikto: reizinām sākotnējo un iegūto matricu, rezultātam jābūt identitātes matricai.

To vislabāk var izdarīt ar pievienotu matricu.

Teorēma: Ja kvadrātmatricai labajā pusē piešķiram tādas pašas kārtas identitātes matricu un kreisajā pusē esošo sākotnējo matricu pārveidosim par vienību matricu, izmantojot elementāras transformācijas pa rindām, tad labajā pusē iegūtā matrica būs apgriezta sākotnējais.