Связь скольжения от инерции вращающихся масс. I.4.2 основной закон динамики вращательного движения. Момент силы, которая действует на i-ю материальную точку

План лекции

Момент инерции.

Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Работа и кинетическая энергия при вращательном движении.

Момент инерции.

При рассмотрении вращательного движения необходимо ввести новые физические понятия: момент инерции, момент силы, момент импульса.

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении тела.

Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения равен произведению её массы на квадрат расстояния до рассматриваемой оси вращения (рис.1):

зависит только от массы материальной точки и её положения относительно оси вращения и не зависит от наличия самого вращения.

Момент инерции - скалярная и аддитивная величина, поэтому момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек:

В случае непрерывного распределения массы эта сумма сводится к интегралу:

где - масса малого объема тела
,  плотность тела, - расстояние от элемента
до оси вращения.

Момент инерции является аналогом массы при вращательном движении. Чем больше момент инерции тела, тем труднее изменить угловую скорость вращаемого тела. Момент инерции имеет смысл только при заданном положении оси вращения. Бессмысленно говорить просто о “моменте инерции”. Он зависит:

1)от положения оси вращения;

2)от распределения массы тела относительно оси вращения, т.е. от формы тела и его размеров.

Экспериментальным доказательством этого является опыт со скатывающимися цилиндрами.

Произведя интегрирование для некоторых однородных тел, можно получить следующие формулы (ось вращения проходит через центр масс тела).

Момент инерции обруча (толщиной стенок пренебрегаем) или полого цилиндра:

Момент инерции диска или сплошного цилиндра радиуса R:

Момент инерции шара

Момент инерции стержня

Если для тела известен момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, находится по теореме Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции J 0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями.

где d расстояние от центра масс О до оси вращения (рис.2).

Центр масс - воображаемая точка, положение которой характеризует распределение массы данного тела. Центр масс тела движется так же, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, действующих на данное тело.

Понятие момента инерции было введено в механику отечественным ученым Л. Эйлером в середине XVIII века, и с тех пор широко используется при решении многих задач динамики твердого тела. Значение момента инерции необходимо знать на практике при расчете различных вращающихся узлов и систем (маховиков, турбин, роторов электродвигателей, гироскопов). Момент инерции входит в уравнения движения тела (корабля, самолета, снаряда, и т.п.). Его определяют, когда хотят узнать параметры вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс при действии внешнего возмущения (порыва ветра и т.п.).

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО" (рис. 1.14).

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О:

М = Fp=Frsinα.

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(3.1) Единица момента силы - ньютон-метр (Н м).

Направление М можно найти с помощью правила правого винта.

Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:

или в скалярном виде L = гPsinα

Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.

§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:

I i =m i r i 2 (3.2)

Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(3.3)

В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm, момент инерции определяется интегрированием:

(3.4)

Если тело однородно и его плотность
, то момент инерции тела

(3.5)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню

(3.6)

Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпендикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(3.7)

Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(3.8)

Момент инерции шара относительно диаметра

(3.9)

Рассмотрим пример. Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной плоскости вращения. Масса диска - m, радиус - R.

Площадь кольца (рис. 3.2), заключенного между

r и r + dr, равна dS = 2πr·dr . Площадь диска S = πR 2 .

Следовательно,
. Тогда

или

Согласно

Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

(3.11)

Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг· м 2).

Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(3.12)

Допустим, что твердое тело А (рис. 1.19, а) может вращаться вокруг некоторой неподвижной оси. Для того чтобы вызвать вращение тела (изменить его угловую скорость), необходимо внешнее воздействие. Однако сила направление которой проходит через ось вращения, или сила параллельная оси, не могут изменить угловую скорость тел.

Поэтому из приложенной к телу внешней силы необходимо выделить составляющие не вызывающие вращения. Вращение может быть вызвано только силой (вращаюшей силой), лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения и направленной по касательной к окружности, которую описывает точка ее приложения.

Заметим, что при вращении тела составляющие работы не совершают, так как точка приложения этих сил перемещается перпендикулярно их направлениям. Работу совершает только вращающая сила она является проекцией действующей на тело силы на направление движения точки приложения этой силы.

Определим величину работы которую совершает вращающая сила, если точка приложения ее смещается по окружности радиуса на (рис. 1.19, б). Предположим, что величина силы при этом остается постоянной. Тогда

Произведение вращающей силы на радиус есть момент вращающей силы, или вращающий момент, действующий на данное тело, и обозначается через (напомним, что моментом данной силы относительно какой-нибудь оси называется произведение этой силы на ее плечо, т. е. на длину перпендикуляра, проведенного от указанной

оси до направления действия силы). Таким образом, в формуле (2.8)

следовательно, работа, совершаемая вращающим моментом, равна произведению этого момента на угол поворота тела:

Если вращающий момент (сила или ее плечо ) с течением времени изменяется, то совершаемая работа определяется как сумма:

Момент вращающей силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью вращения; положительную ориентировку этого вектора выбирают в том направлении, в котором перемещался бы правый винт, вращаемый этим моментом.

Вращающий момент приложенный к телу, сообщает ему некоторое угловое ускорение согласно выбранным нами направлениям векторов они ориентированы по оси вращения в одну и ту же сторону. Связь между величиной вращающего момента и величиной сообщаемого им углового ускорения можно установить двумя способами:

а) можно воспользоваться тем, что работа движущей силы равна изменению кинетической энергии тела, к которому эта сила приложена: Для вращающегося тела, согласно формулам (2.9) и (2.4), имеем

Здесь мы предполагаем, что момент инерции тела при вращении не изменяется. Разделив это уравнение на и сократив на получаем

б) можно воспользоваться тем, что момент вращающей силы равен сумме моментов сил, которые сообщают отдельным составным частям тела тангенциальные ускорения эти силы равны а их моменты -

Заменим тангенциальные ускорения на угловое ускорение, которое одинаково для всех частиц вращающегося тела (если тело при вращении не деформируется): Тогда

Формула (2.12) выражает основной закон динамики вращательного движения твердых (недеформирую-щихся) тел, для которых

угловое ускорение, приобретаемое телом под действием данного вращающего момента прямо пропорционально величине этого момента и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:

В векторной форме этот закон записывается в виде

Если тело при вращении деформируется, то момент инерции его относительно оси вращения будет изменяться. Мысленно представим вращающееся тело состоящим из множества элементарных (точечных) частей; тогда деформация всего тела будет означать изменение расстояний от этих частей тела до оси вращения. Однако изменение расстояния данной угловой скорости вращения со будет сопровождаться изменением линейной скорости движения этой частицы следовательно, и ее кинетической энергии. Таким образом, при постоянной угловой скорости вращения тела изменение расстояний (следовательно, изменение момента инерции тела) будет сопровождаться изменением кинетической энергии вращения всего тела.

Из формулы (2.4), если полагать переменным, можно получить

Первое слагаемое показывает изменение кинетической энергии вращающегося тела, которое произошло только вследствие изменения угловой скорости вращения (при данном моменте инерции тела), а второе слагаемое показывает изменение кинетической анергии, которое произошло только вследствие изменения момента инерции тела (при данной угловой скорости вращения).

Однако при изменении расстояния от точечного тела до оси вращения внутренние силы, связывающие это тело с осью вращения, будут совершать работу: отрицательную, если тело удаляется, и положительную, если тело приближается к оси вращения; эта работа может быть рассчитана, если полагать, что сила, связывающая частицу с осью вращения, численно равна центростремительной силе:

Для всего тела, состоящего из множества частиц с массами получим

В общем случае, когда на тело действует внешний вращающий момент изменение кинетической энергии должно быть приравнено сумме двух работ: внешнего вращающего момента и внутренних сил При ускоренном вращении величины будут иметь положительные знаки, - отрицательный

знак (так как частицы тела удаляются от оси вращения); тогда

Подставив сюда значение из выражения (2.15) и заменив на получим

или после сокращения

Это есть общий вид основного закона механики для тел, вращающихся относительно неподвижной оси он применим и для деформирующихся тел. При формула (2.16) переходит в формулу (2.14).

Заметим, что у деформирующихся тел изменение угловой скорости вращения возможно и при отсутствии внешнего вращающего момента. Действительно, при -из формулы (2.16) получаем:

В этом случае угловая скорость вращения со изменяется только вследствие изменения момента инерции тела, вызванного внутренними силами.

Рассмотрев поступательное и вращательное движения можно установить аналогию между ними. В кинематике поступательного движения используются путь s , скорость  и ускорение а . Их роль во вращательном движении играют угол поворота , угловая скорость  и угловое ускорение ε. В динамике поступательного движения применяются понятия силы , массыт и импульса Во вращательном движении роль силы играет момент
силы, роль массы - момент инерцииI z и роль импульса - момент импульса Зная формулы поступательного движения легко записать формулы вращательного движения. Например, при равномерном движении пройденный путь вычисляется по формуле:s =  t , а при вращательном угол поворота - по формуле  = t . Второй закон Ньютона
и
а основной закон динамики вращательного движения -
и
При поступательном движении импульс тела равен
а при вращательном движении момент импульса -
Эту аналогию можно продолжать и дальше.

Работа силы при поступательном движении. Мощность

Пусть тело (материальная точка) под действием постоянной силы , составляющей неизменный уголс направлением перемещения, движется прямолинейно в некоторой системе отсчёта и проходит путьl . Тогда, как известно из школьного курса физики, работаA этой силы находится по формуле:

A = Fl · cos  = F l l , (1)

Рассмотрим теперь общий случай вычисления работы, когда тело движется поступательно по криволинейной траектории под действием переменной силы. На пути l выделим элементарный участок dl , в пределах которого можно считать силу и угол неизменными величинами, а сам участок - прямолинейным. Тогда работу dA на этом участке найдём, используя формулу (1): dA = F · dl · cos. Работа A на всём пути равна сумме работ dA , т.е.

(2)

Значок l при интеграле означает, что интегрирование производится по всему пути l .

Формуле (2) можно придать иной вид, если воспользоваться скалярным произведением векторов. Тогда подынтегральное выражение dA запишется в виде:dA = F · dl · cos=
где - вектор элементарного перемещения, и

(3)

Из формулы (1) видно, что работа является алгебраической величиной. Знак работы зависит от угла . Если угол  острый, то cos  > 0 и работа положительная, если же угол  тупой - отрицательная.

В системе единиц СИ единицей работы является джоуль (Дж). Она вводится из формулы (1), в которой полагают cos  = 1. 1 Дж - это работа, которую совершает сила в 1 Н на пути 1 м при условии совпадения направлений силы и перемещения .

Для характеристики быстроты совершения работы вводится понятие мощности, равной работе, совершённой в единицу времени. Если элементарный промежуток времени dt совершается элементарная работа dA , то мощность Р равна

(4)

В системе единиц СИ мощность измеряется в ваттах (Вт). Как следует из (4), 1 Вт = 1 Дж / 1 с, т.е. 1 Вт - это мощность, при которой за 1 с совершается работа в 1 Дж.

Работа силы при вращательном движении

Рассмотрим твёрдое тело, которое под действием переменной силы поворачивается вокруг осиz на некоторый угол. Эта сила создаёт момент силМ z , вращающий тело. Сила направлена по касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы. Поэтому угол= 0. Учитывая это, по аналогии с формулой механической работы (см. (2)), находим выражение, по которому вычисляется работа при вращательном движении:

(5)

Работа будет положительной, если направление касательной составляющей силы совпадает с направлением вращения, и отрицательной - при их противоположном направлении.

Динамика вращательного движения твердого тела.

Момент инерции.

Момент силы. Основное уравнение динамики вращательного движения.

Момент импульса.

Момент инерции.

(Рассмотрим опыт со скатывающимися цилиндрами.)

Момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси.

Зависит только от массы материальной точки и её положения относительно оси вращения и не зависит от наличия самого вращения.

Момент инерции - скалярная и аддитивная величина

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его точек

В случае непрерывного распределения массы эта сумма сводится к интегралу:

где - масса малого объема тела ,  плотность тела, - расстояние от элемента до оси вращения.

Бессмысленно говорить просто о “моменте инерции”. Он зависит:

1)от положения оси вращения;

2)от распределения массы тела относительно оси вращения, т.е. от формы тела и его размеров.

Экспериментальным доказательством этого является опыт со скатывающимися цилиндрами.

Произведя интегрирование для некоторых однородных тел, можно получить следующие формулы (ось вращения проходит через центр масс тела):

Момент инерции обруча (толщиной стенок пренебрегаем) или полого цилиндра:

Момент инерции диска или сплошного цилиндра радиуса R:

где .

Момент инерции шара

Момент инерции стержня

где d расстояние от центра масс до оси вращения.

Центр масс - воображаемая точка, положение которой характеризует распределение массы данного тела. Центр масс тела движется так же, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, действующих на данное тело.

Понятие момента инерции было введено в механику отечественным ученым Л. Эйлером в середине XVIII века и с тех пор широко используется при решении многих задач динамики твердого тела. Значение момента инерции необходимо знать на практике при расчете различных вращающихся узлов и систем (маховиков, турбин, роторов электродвигателей, гироскопов). Момент инерции входит в уравнения движения тела (корабля, самолета, снаряда, и т.п.). Его определяют, когда хотят узнать параметры вращательного движения летательного аппарата вокруг центра масс при действии внешнего возмущения (порыва ветра и т.п.). Для тел переменной массы (ракеты) с течением времени изменяется масса и момент инерции.

2 .Момент силы.

Одна и та же сила может сообщать вращающемуся телу разные угловые ускорения в зависимости от её направления и точки приложения. Для характеристики вращающего действия силы вводят понятие момента силы.

Различают момент силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси. Моментом силы относительно точки О (полюса) называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы:

Поясняющий это определение рис. 3 выполнен в предположении, что точка О и вектор лежат в плоскости чертежа, тогда вектор так же располагается в этой плоскости, а вектор  к ней и направлен от нас (как векторное произведение 2-х векторов; по правилу правого буравчика).

Модуль момента силы численно равен произведению силы на плечо:

где - плечо силы относительно точки О,  - угол между направлениями и, .

Плечо - кратчайшее расстояние от центра вращения до линии действия силы.

Вектор момента силы сонаправлен с поступательным движением правого буравчика, если его рукоятку вращать по направлению вращающего действия силы. Момент силы - аксиальный (свободный) вектор, он направлен вдоль оси вращения, не связан с определенной линией действия, его можно переносить в

пространстве параллельно самому себе.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется проекция вектора на эту ось (проходящую через точку О).

Если на тело действуют несколько сил, то результирующий момент сил относительно неподвижной оси Z равен алгебраической сумме моментов относительно этой оси всех сил, действующих на тело.

Если сила, приложенная к телу, не лежит в плоскости вращения, её можно разложить на 2 компоненты: лежащую в плоскости вращения и  к ней F n . Как видно из рисунка 4, F n вращения не создает, а приводит только к деформации тела; вращение тела обусловлено только составляющей F  .

Вращающееся тело можно представить как совокупность материальных точек.

Выберем произвольно некоторую точку с массой m i , на которую действует сила, сообщая точке ускорение (рис. 5). Поскольку вращение создает только тангенциальная составляющая, для упрощения вывода направлена перпендикулярно оси вращения.

В этом случае

Согласно второму закону Ньютона: . Умножим обе части равенства на r i ;

где - момент силы, действующей на материальную точку,

Момент инерции материальной точки.

Следовательно, .

Для всего тела: ,

т.е. угловое ускорение тела прямо пропорционально моменту действующих на него внешних сил и обратно пропорционально его моменту инерции. Уравнение

(1) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, или второй закон Ньютона для вращательного движения.

3 . Момент импульса.

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия.

Аналогом импульса является момент импульса. Понятие момента импульса также можно ввести относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси, однако в большинстве случаев его можно определить следующим образом. Если материальная точка вращается вокруг неподвижной оси, то её момент импульса относительно этой оси по модулю равен

где m i - масса материальной точки,

 i - её линейная скорость

r i - расстояние до оси вращения.

Т.к. для вращательного движения

где - момент инерции материальной точки относительно этой оси.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси равен сумме моментов импульсов всех его точек относительно этой оси:

где - момент инерции тела.

Т.о., момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению его момента инерции относительно этой оси на угловую скорость и сонаправлен с вектором угловой скорости.

Продифференцируем уравнение (2) по времени:

Уравнение (3) - ещё одна форма основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента

импульса твердого тела относительно неподвижной оси вращения равна моменту внешних сил относительно той же оси

Это уравнение является одним из важнейших уравнений ракетодинамики. В процессе движения ракеты положение ее центра масс непрерывно изменяется, вследствие чего возникают различные моменты сил: лобового сопротивления, аэродинамической силы, сил создаваемых рулем высоты. Уравнение вращательного движения ракеты под действием всех приложенных к ней моментов сил совместно с уравнениями движения центра масс ракеты и уравнениями кинематики с известными начальными условиями позволяют определить положение ракеты в пространстве в любой момент времени.