Príprava na štúdium zlomkov: deliteľnosť a rozklad na prvočiniteľa. Prvky kombinatoriky Permutácie, kombinácie a usporiadania s opakovaniami

Delenie prirodzených čísel, najmä viachodnotových, sa pohodlne uskutočňuje špeciálnou metódou, ktorá sa nazýva delenie podľa stĺpca (v stĺpci). Môžete vidieť aj názov rohové rozdelenie. Okamžite si všimneme, že stĺpec je možné vykonať ako delenie prirodzených čísel bez zvyšku, tak delenie prirodzených čísel so zvyškom.

V tomto článku pochopíme, ako sa vykonáva rozdelenie podľa stĺpca. Tu budeme hovoriť o pravidlách písania a o všetkých medzivýpočtoch. Najprv sa pozastavme pri delení viachodnotového prirodzeného čísla jednociferným číslom stĺpcom. Potom sa zameriame na prípady, keď dividenda aj deliteľ sú viachodnotové prirodzené čísla. Celá teória tohto článku je vybavená charakteristickými príkladmi delenia stĺpcom prirodzených čísel s podrobným vysvetlením riešenia a ilustráciami.

Navigácia na stránke.

Pravidlá pre záznam pri delení stĺpcom

Začnime preštudovaním pravidiel zápisu deliteľa, deliteľa, všetkých medzivýpočtov a výsledkov pri delení prirodzených čísel stĺpcom. Povedzme si hneď, že najpohodlnejšie je delenie v stĺpci písomne ​​na papieri kockovanou čiarou - je tak menšia šanca, že zablúdite z požadovaného riadku a stĺpca.

Najprv sa delenec a deliteľ zapíšu do jedného riadku zľava doprava, po čom sa medzi napísanými číslami zobrazí symbol tvaru. Napríklad, ak je dividenda číslo 6 105 a deliteľ je 5 5, ich správny zápis pri rozdelení do stĺpca bude:

Pozrite sa na nasledujúci diagram, ktorý ilustruje miesta pre písanie dividend, deliteľa, kvocientu, zvyšku a medzivýpočtov pri delení stĺpcom.

Z vyššie uvedeného diagramu je vidieť, že požadovaný kvocient (alebo neúplný kvocient pri delení zvyškom) sa zapíše pod deliteľa pod vodorovnú čiaru. Priebežné výpočty sa vykonajú pod dividendou a musíte sa vopred postarať o dostupnosť miesta na stránke. V tomto prípade by sme sa mali riadiť pravidlom: čím väčší je rozdiel v počte znakov v položkách deliteľa a deliteľa, tým viac miesta je potrebné. Napríklad pri delení prirodzeného čísla 614 808 číslom 51 234 stĺpcom (614 808 je šesťmiestne číslo, 51 234 je päťmiestne číslo, rozdiel v počte znakov v záznamoch je 6−5 = 1) budú potrebné predbežné výpočty menej miesta ako pri delení čísel 8058 a 4 (tu je rozdiel v počte znakov 4−1=3). Na potvrdenie našich slov uvádzame vyplnené záznamy delenia stĺpcom týchto prirodzených čísel:

Teraz môžete prejsť priamo k procesu delenia prirodzených čísel stĺpcom.

Delenie podľa stĺpca prirodzeného čísla jednociferným prirodzeným číslom, algoritmus na delenie stĺpcom

Je jasné, že deliť jedno jednociferné prirodzené číslo druhým je celkom jednoduché a nie je dôvod tieto čísla deliť do stĺpca. Bude však užitočné precvičiť si počiatočné zručnosti delenia stĺpcom na týchto jednoduchých príkladoch.

Príklad.

Potrebujeme rozdeliť stĺpcom 8 na 2.

Riešenie.

Samozrejme, môžeme vykonať delenie pomocou násobilky a hneď zapísať odpoveď 8:2=4.

Nás však zaujíma, ako tieto čísla rozdeliť podľa stĺpca.

Najprv zapíšeme dividendu 8 a deliteľa 2, ako to vyžaduje metóda:

Teraz začneme zisťovať, koľkokrát je deliteľ v dividende. Za týmto účelom postupne násobíme deliteľa číslami 0, 1, 2, 3, ..., až kým výsledkom nie je číslo rovnajúce sa dividende (alebo číslo väčšie ako delenec, ak existuje delenie so zvyškom ). Ak dostaneme číslo rovnajúce sa dividende, tak to hneď zapíšeme pod dividendu a na miesto súkromného napíšeme číslo, ktorým sme deliteľa vynásobili. Ak dostaneme číslo väčšie ako deliteľné, tak pod deliteľa napíšeme číslo vypočítané v predposlednom kroku a na miesto neúplného podielu napíšeme číslo, ktorým bol deliteľ vynásobený v predposlednom kroku.

Poďme: 2 0=0 ; 21=2; 22=4; 23=6; 24=8. Dostali sme číslo rovnajúce sa dividende, takže ho napíšeme pod dividendu a namiesto súkromného napíšeme číslo 4. Záznam potom bude vyzerať takto:

Ostáva záverečná fáza delenia jednociferných prirodzených čísel stĺpcom. Pod číslom napísaným pod dividendou musíte nakresliť vodorovnú čiaru a odčítať čísla nad touto čiarou rovnakým spôsobom, ako sa to robí pri odčítaní prirodzených čísel pomocou stĺpca. Číslo získané po odčítaní bude zvyškom delenia. Ak sa rovná nule, pôvodné čísla sa bezo zvyšku rozdelia.

V našom príklade dostaneme

Teraz máme hotový záznam delenia stĺpcom s číslom 8 x 2. Vidíme, že kvocient 8:2 je 4 (a zvyšok je 0).

odpoveď:

8:2=4 .

Teraz zvážte, ako sa vykonáva delenie stĺpcom jednociferných prirodzených čísel so zvyškom.

Príklad.

Vydeľte stĺpcom 7 x 3.

Riešenie.

V počiatočnej fáze zápis vyzerá takto:

Začneme zisťovať, koľkokrát dividenda obsahuje deliteľa. 3 vynásobíme 0, 1, 2, 3 atď. kým nedostaneme číslo rovné alebo väčšie ako dividenda 7. Dostaneme 3 0 = 0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (v prípade potreby pozri článok porovnanie prirodzených čísel). Pod dividendu napíšeme číslo 6 (získali sme ho v predposlednom kroku) a namiesto neúplného kvocientu napíšeme číslo 2 (v predposlednom kroku sme ho vynásobili).

Zostáva vykonať odčítanie a delenie stĺpcom jednociferných prirodzených čísel 7 a 3 sa dokončí.

Čiastočný kvocient je 2 a zvyšok je 1.

odpoveď:

7:3=2 (zvyšok 1) .

Teraz môžeme prejsť k deleniu viachodnotových prirodzených čísel jednocifernými prirodzenými číslami stĺpcom.

Teraz budeme analyzovať algoritmus delenia stĺpcov. V každej etape uvedieme výsledky získané vydelením mnohohodnotového prirodzeného čísla 140 288 jednohodnotovým prirodzeným číslom 4 . Tento príklad nebol vybraný náhodou, keďže pri jeho riešení narazíme na všetky možné nuansy, budeme ich vedieť podrobne rozobrať.

Najprv sa pozrieme na prvú číslicu zľava v položke dividend. Ak je číslo definované týmto číslom väčšie ako deliteľ, potom v ďalšom odseku musíme s týmto číslom pracovať. Ak je toto číslo menšie ako deliteľ, potom musíme pridať ďalšiu číslicu vľavo v zázname o dividende a ďalej pracovať s číslom určeným týmito dvoma číslicami. Pre pohodlie si v našom zázname vyberieme číslo, s ktorým budeme pracovať.

Prvá číslica zľava v dividende 140 288 je číslo 1. Číslo 1 je menšie ako deliteľ 4, takže sa pozrieme aj na ďalšiu číslicu vľavo v zázname o dividendách. Zároveň vidíme číslo 14, s ktorým musíme ďalej pracovať. Toto číslo vyberáme v zápise dividendy.

Nasledujúce body od druhého do štvrtého sa cyklicky opakujú, kým sa nedokončí delenie prirodzených čísel stĺpcom.

Teraz musíme určiť, koľkokrát je deliteľ obsiahnutý v čísle, s ktorým pracujeme (pre prehľadnosť toto číslo označme ako x ). Aby sme to dosiahli, postupne násobíme deliteľa 0, 1, 2, 3, ..., kým nedostaneme číslo x alebo číslo väčšie ako x. Keď dostaneme číslo x, zapíšeme ho pod zvolené číslo podľa pravidiel zápisu, ktoré sa používajú pri odčítaní podľa stĺpca prirodzených čísel. Číslo, ktorým sa vykonalo násobenie, sa zapíše namiesto kvocientu počas prvého prechodu algoritmom (počas nasledujúcich prechodov 2-4 bodmi algoritmu sa toto číslo zapíše napravo od čísel, ktoré už tam sú). Keď sa získa číslo, ktoré je väčšie ako číslo x, potom pod zvolené číslo napíšeme číslo získané v predposlednom kroku a namiesto podielu (alebo napravo od čísel, ktoré tam už sú) zapíšeme číslo ktoré sa násobenie uskutočnilo v predposlednom kroku. (Podobné akcie sme vykonali v dvoch vyššie uvedených príkladoch).

Deliteľa 4 násobíme číslami 0 , 1 , 2 , ... kým nedostaneme číslo rovnajúce sa 14 alebo väčšie ako 14 . Máme 4 0 = 0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>štrnásť . Keďže v poslednom kroku sme dostali číslo 16, ktoré je väčšie ako 14, tak pod zvolené číslo napíšeme číslo 12, ktoré vyšlo v predposlednom kroku a namiesto kvocientu napíšeme číslo 3, keďže v r. predposledný odsek násobenie bolo vykonané presne na ňom.


V tejto fáze od vybraného čísla odčítajte číslo pod ním v stĺpci. Pod vodorovnou čiarou je výsledok odčítania. Ak je však výsledok odčítania nula, potom ho netreba zapisovať (pokiaľ odčítanie v tomto bode nie je úplne poslednou akciou, ktorá úplne dokončí delenie stĺpcom). Tu pre vašu kontrolu nebude zbytočné porovnávať výsledok odčítania s deliteľom a uistiť sa, že je menší ako deliteľ. Inak sa niekde stala chyba.

Od čísla 14 v stĺpci musíme odčítať číslo 12 (pre správny zápis nesmieme zabudnúť dať znamienko mínus naľavo od odčítaných čísel). Po dokončení tejto akcie sa pod vodorovnou čiarou objavilo číslo 2. Teraz skontrolujeme naše výpočty porovnaním výsledného čísla s deliteľom. Keďže číslo 2 je menšie ako deliteľ 4, môžete pokojne prejsť na ďalšiu položku.


Teraz pod vodorovnú čiaru napravo od tam umiestnených čísel (alebo napravo od miesta, kde sme nenapísali nulu) zapíšeme číslo nachádzajúce sa v tom istom stĺpci v zázname o dividende. Ak v zázname dividendy v tomto stĺpci nie sú žiadne čísla, delenie stĺpcom tu končí. Potom vyberieme číslo vytvorené pod vodorovnou čiarou, vezmeme ho ako pracovné číslo a zopakujeme s ním od 2 do 4 bodov algoritmu.

Pod vodorovnú čiaru napravo od čísla 2 už tam napíšeme číslo 0, keďže práve číslo 0 je v zázname o dividende 140 288 v tomto stĺpci. Pod vodorovnou čiarou sa teda vytvorí číslo 20.


Vyberieme toto číslo 20, vezmeme ho ako pracovné číslo a zopakujeme s ním akcie druhého, tretieho a štvrtého bodu algoritmu.

Deliteľa 4 násobíme 0 , 1 , 2 , ... kým nedostaneme číslo 20 alebo číslo väčšie ako 20 . Máme 4 0 = 0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Vykonávame odčítanie podľa stĺpca. Keďže odčítame rovnaké prirodzené čísla, potom vďaka vlastnosti odčítania rovnakých prirodzených čísel dostaneme nulu. Nulu si nezapisujeme (keďže to ešte nie je konečná fáza delenia stĺpcom), ale pamätáme si miesto, kde by sme ju mohli zapísať (pre pohodlie si toto miesto označíme čiernym obdĺžnikom).


Pod vodorovnú čiaru vpravo od zapamätaného miesta zapíšeme číslo 2, keďže práve ona je v evidencii dividendy 140 288 v tomto stĺpci. Pod vodorovnou čiarou máme teda číslo 2 .


Číslo 2 berieme ako pracovné číslo, označíme ho a ešte raz budeme musieť vykonať kroky od 2-4 bodov algoritmu.

Deliteľa vynásobíme 0 , 1 , 2 a tak ďalej a výsledné čísla porovnáme s označeným číslom 2 . Máme 4 0 = 0<2 , 4·1=4>2. Preto pod označené číslo napíšeme číslo 0 (získali sme ho v predposlednom kroku) a namiesto podielu napravo od čísla, ktoré tam už je, napíšeme číslo 0 (na predposlednom čísle sme vynásobili 0). krok).


Vykonávame odčítanie podľa stĺpca, dostaneme číslo 2 pod vodorovnou čiarou. Skontrolujeme sa porovnaním výsledného čísla s deliteľom 4 . Od 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Pod vodorovnú čiaru napravo od čísla 2 pridáme číslo 8 (keďže je v tomto stĺpci v zázname o dividende 140 288). Pod vodorovnou čiarou je teda číslo 28.


Toto číslo prijmeme ako pracovník, označíme ho a zopakujeme kroky 2 až 4 odsekov.

Tu by nemali byť žiadne problémy, ak ste boli doteraz opatrní. Po vykonaní všetkých potrebných akcií sa získa nasledujúci výsledok.

Zostáva poslednýkrát vykonať akcie z bodov 2, 3, 4 (poskytneme vám), po ktorých získate úplný obraz o delení prirodzených čísel 140 288 a 4 v stĺpci:

Upozorňujeme, že číslo 0 je napísané úplne dole v riadku. Ak by to nebol posledný krok delenia stĺpcom (teda ak by v zázname o dividende boli v stĺpcoch vpravo čísla), tak túto nulu nepíšeme.

Pri pohľade na hotový záznam delenia viachodnotového prirodzeného čísla 140 288 jednohodnotovým prirodzeným číslom 4 teda vidíme, že číslo 35 072 je súkromné ​​(a zvyšok delenia je nula, je na samom spodná čiara).

Samozrejme, že pri delení prirodzených čísel stĺpcom nebudete všetky svoje akcie popisovať tak podrobne. Vaše riešenia budú vyzerať asi ako v nasledujúcich príkladoch.

Príklad.

Vykonajte dlhé delenie, ak je dividenda 7136 a deliteľ je jediné prirodzené číslo 9.

Riešenie.

V prvom kroku algoritmu delenia prirodzených čísel stĺpcom dostaneme záznam vo forme

Po vykonaní akcií z druhého, tretieho a štvrtého bodu algoritmu bude mať záznam o delení podľa stĺpca formu

Opakovaním cyklu budeme mať

Ešte jeden prechod nám poskytne úplný obraz o delení stĺpcom prirodzených čísel 7 136 a 9

Čiastočný kvocient je teda 792 a zvyšok delenia je 8.

odpoveď:

7 136:9=792 (zvyšok 8) .

A tento príklad demonštruje, ako by malo dlhé delenie vyzerať.

Príklad.

Prirodzené číslo 7 042 035 vydeľte jednociferným prirodzeným číslom 7 .

Riešenie.

Najvýhodnejšie je vykonať rozdelenie podľa stĺpca.

odpoveď:

7 042 035:7=1 006 005 .

Delenie podľa stĺpca viachodnotových prirodzených čísel

Ponáhľame sa vás potešiť: ak ste dobre zvládli algoritmus na delenie stĺpcom z predchádzajúceho odseku tohto článku, potom už takmer viete, ako postupovať delenie stĺpcom viachodnotových prirodzených čísel. To je pravda, pretože kroky 2 až 4 algoritmu zostávajú nezmenené a v prvom kroku sa objavia len malé zmeny.

V prvej fáze rozdelenia do stĺpca viachodnotových prirodzených čísel sa nemusíte pozerať na prvú číslicu vľavo v položke dividend, ale na toľko z nich, koľko je číslic v položke deliteľa. Ak je číslo definované týmito číslami väčšie ako deliteľ, tak v ďalšom odseku musíme s týmto číslom pracovať. Ak je toto číslo menšie ako deliteľ, potom musíme do úvahy pripočítať ďalšiu číslicu vľavo v zázname o dividende. Potom sa vykonajú akcie uvedené v odsekoch 2, 3 a 4 algoritmu, kým sa nedosiahne konečný výsledok.

Zostáva už len vidieť uplatnenie algoritmu na delenie stĺpcom viachodnotových prirodzených čísel v praxi pri riešení príkladov.

Príklad.

Vykonajte delenie stĺpcom viachodnotových prirodzených čísel 5562 a 206.

Riešenie.

Keďže v zázname deliteľa 206 sú zahrnuté 3 znaky, v zázname o dividende 5 562 sa pozrieme na prvé 3 číslice vľavo. Tieto čísla zodpovedajú číslu 556. Keďže 556 je väčšie ako deliteľ 206, berieme číslo 556 ako pracovné, vyberieme ho a prejdeme k ďalšej fáze algoritmu.

Teraz vynásobíme deliteľa 206 číslami 0 , 1 , 2 , 3 , ... kým nedostaneme číslo , ktoré sa buď rovná 556 , alebo je väčšie ako 556 . Máme (ak je násobenie ťažké, potom je lepšie vykonať násobenie prirodzených čísel v stĺpci): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556. Keďže sme dostali číslo, ktoré je väčšie ako číslo 556, tak pod vybrané číslo napíšeme číslo 412 (získalo sa v predposlednom kroku) a namiesto kvocientu napíšeme číslo 2 (keďže bolo vynásobené v predposledný krok). Zápis delenia stĺpcov má nasledujúcu formu:

Vykonajte odčítanie stĺpcov. Dostaneme rozdiel 144, toto číslo je menšie ako deliteľ, takže môžete bezpečne pokračovať vo vykonávaní požadovaných akcií.

Pod vodorovnú čiaru napravo od čísla, ktoré je tam k dispozícii, napíšeme číslo 2, pretože je v zázname o dividende 5 562 v tomto stĺpci:

Teraz pracujeme s číslom 1442, vyberieme ho a znova prejdeme krokmi dva až štyri.

Deliteľa 206 násobíme 0 , 1 , 2 , 3 , ... kým nedostaneme číslo 1442 alebo číslo väčšie ako 1442 . Poďme: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Odčítame po stĺpci, dostaneme nulu, ale tú si hneď nezapíšeme, ale zapamätáme si iba jej polohu, pretože nevieme, či tu delenie končí, alebo budeme musieť kroky algoritmu opakovať. opäť:

Teraz vidíme, že pod vodorovnou čiarou napravo od zapamätanej pozície nemôžeme zapísať žiadne číslo, pretože v zázname dividend v tomto stĺpci nie sú žiadne čísla. Toto rozdelenie podľa stĺpca je teda ukončené a dokončíme zadanie:

• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 1., 2., 3., 4. ročník vzdelávacích inštitúcií.
• Matematika. Akékoľvek učebnice pre 5 tried vzdelávacích inštitúcií.

ZDIEĽAM

ZDIEĽAM

2. Mať možnosť deliť sa iným číslom bezo zvyšku (mat.). Párne čísla sú deliteľné dvomi.

3. s niekým. Urobiť s niekým rozdelenie majetku (právne).

4. než s niekým. Darovať z vlastného, ​​dodať niečo z majetku, podeliť sa s niekým. Podelil sa s nami o svoj príjem. Podeľte sa s priateľom o posledný cent, 5. prekl. Informovať, niekomu o niečom povedať, dať niekomu zo svojich vedomostí, informácií. Zdieľajte novinky s priateľmi. Zdieľajte vedomosti s masami.

|| Niekomu niečo povedať, niekomu veriť (svojim zážitkom), prilákať k sympatiám, k spoločnému zážitku. Zdieľajte smútok.

Vysvetľujúci slovník Ushakova. D.N. Ušakov. 1935-1940.

Antonymá:

Pozrite si, čo znamená „SHARE“ v iných slovníkoch:

Cm… Slovník synonym

zdieľam- vlastníctvo moci, kauzalita na zdieľanie dojmov kauzalita, znalosť na zdieľanie informácií akcia, nepriamy predmet... Slovná kompatibilita neobjektívnych mien

SHARE, share, share; nekompatibilita 1. (1. osoba a 2. osoba sa nepoužíva). Mať schopnosť deliť iným číslom bezo zvyšku. Desať je deliteľné piatimi. 2. (1. osoba a 2. osoba jednotného čísla sa nepoužíva). Rozptýliť sa, rozpadnúť sa. Študenti…… Vysvetľujúci slovník Ozhegov

zdieľam- zdieľať, zdieľať, zdieľať a zastarané akcie; vrátane deliť a deliť... Slovník problémov s výslovnosťou a stresom v modernej ruštine

zdieľam- veľkoryso zdieľať... Slovník ruských idiómov

zaujímam sa neperekh. 1. Vykonajte rozdelenie majetku na ďalšie samostatné bývanie. 2. Zdieľajte niečo s niekým. ott. trans. Povedať, informovať niekoho o niečom, zdieľať s niekým svoje vedomosti. 3. zmeniť...... Moderný výkladový slovník ruského jazyka Efremova

Zdieľajte, zdieľajte, zdieľajte, zdieľajte, zdieľajte, zdieľajte, zdieľajte, zdieľajte, zdieľajte, zdieľajte, zdieľajte, zdieľajte, delte, delte, delte, delte, delíte, delíte, delíte, delíte, delíte, .. ... tvary slov

Násobiť spájať množiť množiť kombinovať kombinovať spájať množiť množiť lakomý lakomý... Antonymný slovník

zdieľam- zdieľaj, zdieľaj, zdieľaj... ruský pravopisný slovník

knihy

• Zdieľanie je dobré, Brigitte Weninger. Len čo myš Max našiel na čistinke veľkú jabloň, na ktorej konároch viseli šťavnaté červené jablká, pevne sa rozhodol, že sa o ne podelí so svojimi priateľmi. A žať ovocie a...
• Zdieľanie je dobré, Brigitte Weninger. Len čo myš Max našiel na čistinke veľkú jabloň, na ktorej konároch viseli šťavnaté červené jablká, pevne sa rozhodol, že sa o ne podelí so svojimi priateľmi. A organizovať Apple...

Zostavil učiteľ Katedry vyššej matematiky Ishchanov T.R.

Lekcia číslo 1. Prvky kombinatoriky

teória.
Pravidlo násobenia: ak z nejakej konečnej množiny môže byť prvý objekt (prvok) vybraný spôsobmi a druhý objekt (prvok) spôsobmi, potom oba objekty ( a ) v určenom poradí môžu byť vybrané spôsobmi.
Pravidlo sčítania: ak nejaký objekt možno vybrať spôsobmi a objekt možno vybrať spôsobmi a prvý a druhý spôsob sa nepretínajú, potom možno ľubovoľný z objektov ( alebo ) vybrať spôsobmi.

praktický materiál.
1. (6.1.44. L) Koľko rôznych trojciferných čísel možno vytvoriť z čísel 0, 1, 2, 3, 4, ak:
a) čísla sa nemôžu opakovať;
b) čísla sa môžu opakovať;
c) čísla musia byť párne (čísla sa môžu opakovať);
d) číslo musí byť deliteľné 5 (čísla sa nemôžu opakovať)
(Odpoveď: a) 48 b) 100 c) 60 d) 12)

2. (6.1.2.) Koľko čísel obsahujúcich aspoň tri rôzne číslice možno zostaviť z číslic 3, 4, 5, 6, 7? (Odpoveď: 300.)

3. (6.1.39) Koľko štvorciferných čísel možno vytvoriť tak, aby sa ľubovoľné dve susedné číslice líšili? (Odpoveď: 6561)

teória. Nech je daná množina pozostávajúca z n rôznych prvkov.
Usporiadanie n prvkov podľa k prvkov (0? k? n) je ľubovoľná usporiadaná podmnožina danej množiny, ktorá obsahuje k prvkov. Dve usporiadania sú odlišné, ak sa od seba líšia buď zložením prvkov, alebo poradím, v akom sa objavujú.
Počet umiestnení n prvkov pomocou k je označený symbolom a vypočíta sa podľa vzorca:

kde n!=1·2·3·...·n a 1!=1,0!=1.

praktický materiál.
4. (6.1.9 L.) Z prvkov množiny A=(3,4,5) poskladajte rôzne usporiadania dvoch prvkov a spočítajte ich počet. (Odpoveď: 6)

5. (6.1.3 K) Koľkými spôsobmi možno rozdeliť tri ceny medzi 16 súťažiacich? (Odpoveď: 3360)

6. (6.1.11. K) Koľko je päťciferných čísel, ktorých všetky sú rôzne? Tip: berte do úvahy skutočnosť, že čísla ako 02345, 09782 atď. nepočítajte ako 5 číslic. (Odpoveď: 27216)

7. (6.1.12.L.) Koľkými spôsobmi možno vyrobiť trojfarebnú pruhovanú vlajku (tri vodorovné pruhy), ak ide o 5 rôznych farieb? (Odpoveď: 60.)

teória. Kombinácia n prvkov pomocou k prvkov (0?k?n) je ľubovoľná podmnožina danej množiny, ktorá obsahuje k prvkov.
Akékoľvek dve kombinácie sa od seba líšia iba zložením prvkov. Počet kombinácií n prvkov pomocou k je označený symbolom a vypočíta sa podľa vzorca:

praktický materiál.
8.(6.1.20.) Z prvkov množiny A=(3,4,5) vytvorte rôzne kombinácie dvoch prvkov a spočítajte ich počet. (Odpoveď: 3.)

9. (6.1.25.) Skupina turistov z 12 chlapcov a 7 dievčat vyberie žrebom 5 ľudí na varenie večere. Koľkými spôsobmi sa táto „päťka“ dostane:
a) iba dievčatá b) 3 chlapci a 2 dievčatá;
c) 1 chlapec a 4 dievčatá; d) 5 chlapcov; e) turisti rovnakého pohlavia.
(Odpoveď: a) 21; b) 4620; c) 420; d) 792; e) 813.)

teória. Permutácia n prvkov je usporiadanie n prvkov n prvkami. Označiť jednu alebo druhú permutáciu danej množiny n prvkov teda znamená zvoliť si určité poradie týchto prvkov. Akékoľvek dve permutácie sa preto od seba líšia iba v poradí prvkov.
Počet permutácií n prvkov je označený symbolom a vypočítaný podľa vzorca:

praktický materiál.

10.(6.1.14.L) Poskladajte rôzne permutácie z prvkov množiny A=(5;8;9). (Odpoveď: 6)

11.(6.1.15.L) Koľkými spôsobmi možno usporiadať desaťzväzkový súbor diel D. Londona na policu a usporiadať ich:
a) náhodne
b) tak, že vedľa seba stojí 1, 5, 9 zväzkov (v ľubovoľnom poradí);
c) tak, aby vedľa seba stáli 1, 2, 3 zväzky (v ľubovoľnom poradí).
(Odpoveď: a) 10! b) 8!?3! v))

12. (1.6.16.L.) V miestnosti je 7 stoličiek. Koľkými spôsobmi sa na ne dá umiestniť 7 hostí? 3 hostia? (Odpoveď: 5040; 210)

Výberová schéma s návratom.
teória. Ak sa v usporiadanom výbere k prvkov z n prvky vrátia späť, potom výsledné vzorky sú usporiadania s opakovaniami. Počet všetkých umiestnení s opakovaniami n prvkov po k je označený symbolom a vypočíta sa podľa vzorca:

Ak sa pri výbere k prvkov z n prvky vrátia späť bez následného zoradenia (teda tie isté prvky možno niekoľkokrát vybrať, t.j. opakovať), potom sú výsledné vzorky kombináciami s opakovaniami. Počet všetkých kombinácií s opakovaniami n prvkov po k je označený symbolom a vypočíta sa podľa vzorca:

praktický materiál.

13.(6.1.29.) Z prvkov (čísla) 2, 4, 5 zostavte všetky umiestnenia a kombinácie s opakovaním dvoch prvkov. (Odpoveď: 9; 6)

14. (6.1.31.L.) Päť osôb nastúpilo do výťahu na 1. poschodí deväťposchodovej budovy. Koľkými spôsobmi môžu cestujúci vystúpiť z výťahu na požadovaných poschodiach? (Odpoveď: )

15. (6.1.59.L.) V cukrárni je 7 druhov tort. Na koľko spôsobov si v nej môžete kúpiť: a) 3 torty rovnakého druhu; b) 5 koláčov? (Odpoveď: a) 7; b) 462)

teória. Nech množina n prvkov má k rôznych typov prvkov, pričom 1. typ prvkov sa opakuje raz, 2. - krát, . . . , k-krát a . Potom sú permutácie prvkov tejto množiny permutácie s opakovaniami.
Počet permutácií s opakovaniami (niekedy sa vzťahuje na počet častí množiny) n prvkov je označený symbolom a vypočítaný podľa vzorca:

praktický materiál.
16.(6.1.32.) Koľko rôznych "slov" ("slovo" znamená akúkoľvek kombináciu písmen) možno vytvoriť preskupením písmen v slove AHA? MISSISSIPPI?
Riešenie.
Vo všeobecnosti možno pomocou troch písmen vytvoriť rôzne trojpísmenové „slová“. V slove AGA sa písmeno A opakuje a preskupením rovnakých písmen sa „slovo“ nemení. Preto je počet permutácií s opakovaniami menší ako počet permutácií bez opakovaní toľkokrát, koľkokrát je možné permutovať opakujúce sa písmená. V tomto slove sa opakujú dve písmená (1. a 3.); preto existuje toľko rôznych permutácií trojpísmenových „slov“ od písmen slova AGA: . Odpoveď však možno získať jednoduchšie:. Pomocou rovnakého vzorca nájdeme počet jedenásťpísmenových „slov“ pri permutácii písmen v slove MISSISSIPPI. Tu (4 písmená S), (4 písmená I), tak

17.(6.1.38.L.) Koľko rôznych permutácií písmen je v slove LIEČBA? A v "slove" AAAAAAAAAA? (Odpoveď: 420;210)

Treba poznamenať, že kombinatorika je samostatnou sekciou vyššej matematiky (a nie súčasťou terveru) a v tejto disciplíne boli napísané vážne učebnice, ktorých obsah niekedy nie je ľahší ako abstraktná algebra. Nám však bude stačiť malý podiel teoretických vedomostí a v tomto článku sa pokúsim prístupnou formou rozobrať základy témy s typickými kombinatorickými problémami. A mnohí z vás mi pomôžu ;-)

Čo budeme robiť? V užšom zmysle je kombinatorika výpočet rôznych kombinácií, ktoré je možné vytvoriť z určitého súboru diskrétne predmety. Predmetmi sa rozumejú akékoľvek izolované predmety alebo živé bytosti – ľudia, zvieratá, huby, rastliny, hmyz atď. Kombinatoriku zároveň vôbec nezaujíma, že súpravu tvorí tanier krupice, spájkovačka a močiarna žaba. Je zásadne dôležité, aby tieto objekty boli spočítateľné - sú tri. (diskrétnosť) a je nevyhnutné, aby žiadne z nich neboli rovnaké.

Keď je toho veľa, teraz o kombináciách. Najbežnejšími typmi kombinácií sú permutácie objektov, ich výber z množiny (kombinácia) a distribúcia (umiestnenie). Pozrime sa, ako sa to deje práve teraz:

Permutácie, kombinácie a umiestnenia bez opakovania

Nebojte sa nejasných výrazov, najmä preto, že niektoré z nich naozaj nie sú veľmi úspešné. Začnime koncom názvu - čo znamená " bez opakovania"? To znamená, že v tejto časti budeme uvažovať o množinách, ktoré pozostávajú z rôzne predmety. Napríklad ... nie, nebudem ponúkať kašu s spájkovačkou a žabkou, lepšie je niečo chutnejšie =) Predstavte si, že by sa na stole pred vami zhmotnilo jablko, hruška a banán (ak sú situáciu možno simulovať v skutočnosti). Plody rozložíme zľava doprava v tomto poradí:

jablko / hruška / banán

Otázka jedna: Koľkými spôsobmi sa dajú preusporiadať?

Jedna kombinácia už bola napísaná vyššie a so zvyškom nie sú žiadne problémy:

jablko / banán / hruška
hruška / jablko / banán
hruška / banán / jablko
banán / jablko / hruška
banán / hruška / jablko

Celkom: 6 kombinácií alebo 6 permutácií.

Dobre, nebolo ťažké tu vymenovať všetky možné prípady, ale čo ak je položiek viac? Už so štyrmi rôznymi druhmi ovocia sa počet kombinácií výrazne zvýši!

Otvorte referenčný materiál (Manuál sa dá ľahko vytlačiť) a v odseku číslo 2 nájdite vzorec pre počet permutácií.

Žiadne mučenie - 3 predmety je možné preusporiadať rôznymi spôsobmi.

Otázka druhá: Na koľko spôsobov môžete vybrať a) jeden plod, b) dva druhy ovocia, c) tri druhy ovocia, d) aspoň jeden plod?

Prečo si vybrať? A tak si v predchádzajúcom odseku vypracovali chuť do jedla – aby jedli! =)

a) Jedno ovocie si môžete vybrať, samozrejme, tromi spôsobmi – vezmite si buď jablko, alebo hrušku, alebo banán. Formálny počet je založený na vzorec pre počet kombinácií:

Záznam v tomto prípade treba chápať takto: „Koľkými spôsobmi si môžete vybrať 1 ovocie z troch?

b) Uvádzame všetky možné kombinácie dvoch druhov ovocia:

jablko a hruška;
jablko a banán;
hruška a banán.

Počet kombinácií sa dá ľahko skontrolovať pomocou rovnakého vzorca:

Zápis je chápaný podobne: „Koľkými spôsobmi si môžete vybrať 2 ovocie z troch?“.

c) A nakoniec, tri druhy ovocia možno vybrať jedinečným spôsobom:

Mimochodom, vzorec pre počet kombinácií má zmysel aj pre prázdnu vzorku:
Týmto spôsobom si môžete vybrať ani jedno ovocie - v skutočnosti si nič neberte a je to.

d) Koľkými spôsobmi sa môžete vydať aspoň jeden ovocie? Podmienka „aspoň jedno“ znamená, že sme spokojní s 1 ovocím (akýmkoľvek) alebo akýmikoľvek 2 ovocím alebo všetkými 3 ovocím:
spôsoby, ako si môžete vybrať aspoň jedno ovocie.

Čitatelia, ktorí si pozorne preštudovali úvodnú lekciu na teória pravdepodobnosti už niečo vymyslel. Ale o význame znamienka plus neskôr.

Na zodpovedanie ďalšej otázky potrebujem dvoch dobrovoľníkov ... ... No keďže nikto nechce, potom zavolám predstavenstvo =)

Otázka tri: Koľkými spôsobmi je možné rozdeliť jedno ovocie Dáške a Nataše?

Aby ste mohli distribuovať dva druhy ovocia, musíte ich najprv vybrať. Podľa odseku "byť" predchádzajúcej otázky sa to dá urobiť spôsobmi, znova ich prepíšem:

jablko a hruška;
jablko a banán;
hruška a banán.

Teraz však bude kombinácií dvakrát toľko. Zoberme si napríklad prvý pár ovocia:
Dášu môžete liečiť jablkom a Natašu hruškou;
alebo naopak - Dáša dostane hrušku a Nataša jablko.

A takáto permutácia je možná pre každý pár ovocia.

Predstavte si tú istú študentskú skupinu, ktorá išla na tanec. Koľkými spôsobmi môžu byť chlapec a dievča spárované?

Spôsoby, ako si môžete vybrať 1 mladého muža;
spôsoby, ako si môžete vybrať 1 dievča.

Takže jeden mladý muž a jedno dievča môže byť vybrané: spôsoby.

Keď sa z každej sady vyberie 1 objekt, potom platí nasledovný princíp počítania kombinácií: „ každý objekt z jednej množiny môže tvoriť pár s každým objekt inej množiny.

To znamená, že Oleg môže pozvať na tanec ktorúkoľvek z 13 dievčat, Evgeny - tiež ktorúkoľvek z trinástich a ďalší mladí ľudia majú podobný výber. Celkom: možné páry.

Treba poznamenať, že v tomto príklade nezáleží na "histórii" tvorby párov; ak sa však berie do úvahy iniciatíva, potom sa musí počet kombinácií zdvojnásobiť, keďže každé z 13 dievčat môže pozvať do tanca aj ktoréhokoľvek chlapca. Všetko závisí od podmienok konkrétnej úlohy!

Podobný princíp platí aj pre zložitejšie kombinácie, napríklad: koľkými spôsobmi možno vybrať dvoch mladých mužov a dve dievčatá sa zúčastnia paródie KVN?

únie A jednoznačne naznačuje, že kombinácie sa musia znásobiť:

Možné skupiny umelcov.

Inými slovami, každý môže súťažiť dvojica chlapcov (45 unikátnych párov). akýkoľvek pár dievčat (78 jedinečných párov). A ak vezmeme do úvahy rozdelenie rolí medzi účastníkov, potom bude ešte viac kombinácií. ... veľmi chcem, ale aj tak sa zdržím pokračovania, aby som vo vás nevzbudil odpor k študentskému životu =).

Pravidlo násobenia platí pre viac násobiteľov:

Úloha 8

Koľko existuje trojciferných čísel, ktoré sú deliteľné piatimi?

Riešenie: pre prehľadnosť označujeme toto číslo tromi hviezdičkami: ***

AT stovky miesta môžete napísať ľubovoľné číslo (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 alebo 9). Nula nie je dobrá, pretože v tomto prípade prestáva byť číslo trojciferné.

Ale v miesto desiatky(“v strede”) si môžete vybrať ktorúkoľvek z 10 číslic: .

Podľa podmienky musí byť číslo deliteľné 5. Číslo je deliteľné 5, ak končí 5 alebo 0. V najmenej významnej číslici sa teda uspokojíme s 2 číslicami.

Celkom, existuje: trojciferné čísla, ktoré sú deliteľné piatimi.

Dielo je zároveň dešifrované takto: „9 spôsobov, ako si môžete vybrať číslo v stovky miesta a 10 spôsobov, ako vybrať číslo miesto desiatky a 2 spôsoby dnu jednotková číslica»

Alebo ešte jednoduchšie: každý od 9 číslic do stovky miesta kombinované s každým 10 číslic miesto desiatky a s každým z dvoch číslic číslica jednotiek».

Odpoveď: 180

A teraz…

Áno, skoro som zabudol na sľúbený komentár k problému č. 5, v ktorom sa Borya, Dima a Volodya dajú rozdať každému po jednej karte rôznymi spôsobmi. Násobenie tu má rovnaký význam: spôsobmi môžete extrahovať 3 karty z balíčka A v každom vzorka, aby ste ich usporiadali spôsobmi.

A teraz problém pre nezávislé riešenie ... teraz prídem s niečím zaujímavejším, ... nech je to o rovnakej ruskej verzii blackjacku:

Úloha 9

Koľko výherných kombinácií 2 kariet je v "bodovej" hre?

Pre tých, ktorí nevedia: vyhráva kombinácia 10 + ACE (11 bodov) = 21 bodov a uvažujme víťaznú kombináciu dvoch es.

(na poradí kariet v žiadnom páre nezáleží)

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Mimochodom, nie je potrebné považovať príklad za primitívny. Blackjack je takmer jediná hra, pre ktorú existuje matematicky opodstatnený algoritmus, ktorý vám umožňuje poraziť kasíno. Tí, ktorí chcú, môžu ľahko nájsť veľa informácií o optimálnej stratégii a taktike. Je pravda, že takíto majstri sa rýchlo dostanú na čiernu listinu všetkých prevádzok =)

Je čas konsolidovať materiál pokrytý niekoľkými pevnými úlohami:

Úloha 10

Vasya má doma 4 mačky.

a) Koľkými spôsobmi môžu byť mačky usadené v rohoch miestnosti?
b) Koľkými spôsobmi sa môžu mačky túlať?
c) koľkými spôsobmi môže Vasya zdvihnúť dve mačky (jedna vľavo, druhá vpravo)?

My rozhodujeme: po prvé, opäť treba poznamenať, že problém je o rôzne predmety (aj keď sú mačky jednovaječné dvojčatá). Toto je veľmi dôležitá podmienka!

a) Mlčanie mačiek. Táto exekúcia podlieha všetky mačky naraz
+ ich umiestnenie je dôležité, takže tu sú permutácie:
spôsoby, ako môžete usadiť mačky v rohoch miestnosti.

Opakujem, že pri permutácii záleží len na počte rôznych objektov a ich vzájomnej polohe. V závislosti od nálady môže Vasya usadiť zvieratá v polkruhu na pohovke, v rade na parapete atď. - permutácií bude vo všetkých prípadoch 24. Pre pohodlie si záujemcovia môžu predstaviť, že mačky sú viacfarebné (napríklad biela, čierna, červená a pruhovaná) a uviesť všetky možné kombinácie.

b) Koľkými spôsobmi sa môžu mačky túlať?

Predpokladá sa, že mačky chodia na prechádzku len cez dvere, pričom otázka implikuje ľahostajnosť k počtu zvierat - na prechádzku môže ísť 1, 2, 3 alebo všetky 4 mačky.

Zvažujeme všetky možné kombinácie:

Spôsoby, ako môžete nechať ísť na prechádzku jednu mačku (ktorúkoľvek zo štyroch);
spôsoby, ako môžete nechať dve mačky ísť na prechádzku (uveďte možnosti sami);
spôsoby, ako môžete nechať tri mačky ísť na prechádzku (jedna zo štyroch sedí doma);
spôsob, ako môžete uvoľniť všetky mačky.

Pravdepodobne ste uhádli, že získané hodnoty by sa mali zhrnúť:
spôsoby, ako nechať mačky ísť na prechádzku.

Pre nadšencov ponúkam komplikovanú verziu problému - keď môže ľubovoľná mačka v ktorejkoľvek vzorke náhodne ísť von, ako cez dvere, tak aj cez okno z 10. poschodia. Bude viac kombinácií!

c) Koľkými spôsobmi môže Vasya vyzdvihnúť dve mačky?

Situácia zahŕňa nielen výber 2 zvierat, ale aj ich umiestnenie na rukách:
spôsoby, ako môžete vyzdvihnúť 2 mačky.

Druhé riešenie: spôsobmi si môžete vybrať dve mačky a spôsoby pestovania každý pár v ruke:

Odpoveď: a) 24, b) 15, c) 12

No, aby som si vyčistil svedomie, niečo konkrétnejšie k množeniu kombinácií .... Nechajte Vasyu mať 5 mačiek navyše =) Koľko spôsobov môžete nechať 2 mačky ísť na prechádzku a 1 mačka?

Teda s každý pár mačiek sa dá vypustiť každý kat.

Ďalší gombíkový akordeón pre nezávislé riešenie:

Úloha 11

Do výťahu 12-poschodovej budovy nastúpili 3 cestujúci. Každý, nezávisle od ostatných, môže vyjsť na ktoromkoľvek (od 2.) poschodí s rovnakou pravdepodobnosťou. Koľkými spôsobmi:

1) Cestujúci môžu vystúpiť na tom istom poschodí (na poradí odchodu nezáleží);
2) dvaja ľudia môžu vystúpiť na jednom poschodí a tretí na druhom;
3) ľudia môžu vystúpiť na rôznych poschodiach;
4) Môžu cestujúci vystúpiť z výťahu?

A tu sa často pýtajú znova, objasňujem: ak na tom istom poschodí vyjdú 2 alebo 3 ľudia, na poradí odchodu nezáleží. MYSLITE, používajte vzorce a pravidlá pre kombinácie sčítania/násobenia. V prípade ťažkostí je pre cestujúcich užitočné uviesť mená a dôvod, v akých kombináciách môžu z výťahu vystúpiť. Netreba sa rozčuľovať, ak niečo nevyjde, napríklad bod číslo 2 je dosť zákerný, ale jeden z čitateľov našiel jednoduché riešenie a ešte raz ďakujem za vaše listy!

Kompletné riešenie s podrobnými komentármi na konci tutoriálu.

Posledný odsek je venovaný kombináciám, ktoré sa tiež vyskytujú pomerne často - podľa môjho subjektívneho hodnotenia asi v 20-30% kombinatorických úloh:

Permutácie, kombinácie a umiestnenia s opakovaniami

Uvedené typy kombinácií sú uvedené v odseku č. 5 referenčného materiálu Základné vzorce kombinatoriky, niektoré z nich však nemusia byť pri prvom čítaní veľmi jasné. V tomto prípade je vhodné najprv sa oboznámiť s praktickými príkladmi a až potom pochopiť všeobecnú formuláciu. Choď:

Permutácie s opakovaniami

V permutáciách s opakovaniami, ako v "obyčajných" permutáciách, celý súbor predmetov naraz, ale je tu jedna vec: v tejto množine sa jeden alebo viac prvkov (objektov) opakuje. Dodržujte nasledujúci štandard:

Úloha 12

Koľko rôznych kombinácií písmen možno získať preskupením kariet s nasledujúcimi písmenami: K, O, L, O, K, O, L, L, H, I, K?

Riešenie: v prípade, že všetky písmená boli iné, potom by sa mal použiť triviálny vzorec, je však celkom jasné, že pre navrhovanú sadu kariet budú niektoré manipulácie fungovať „nečinne“, takže napríklad ak vymeníte akékoľvek dve karty s písmenami „K v akomkoľvek slove, bude to rovnaké slovo. Navyše, fyzicky môžu byť karty veľmi odlišné: jedna môže byť okrúhla s vytlačeným písmenom „K“, druhá je štvorcová s nakresleným písmenom „K“. Ale podľa zmyslu problému aj takéto karty považovaný za rovnaký, keďže podmienka sa pýta na kombinácie písmen.

Všetko je veľmi jednoduché - celkom: 11 kariet vrátane písmena:

K - opakuje sa 3 krát;
O - opakuje sa 3 krát;
L - opakované 2 krát;
b - opakované 1 krát;
H - opakované 1 krát;
A - opakuje sa 1 krát.

Kontrola: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11, čo sme chceli skontrolovať.

Podľa vzorca počet permutácií s opakovaniami:
možno získať rôzne kombinácie písmen. Viac ako pol milióna!

Pre rýchly výpočet veľkej faktoriálnej hodnoty je vhodné použiť štandardnú funkciu Excelu: bodujeme v ľubovoľnej bunke =FACT(11) a kliknite Zadajte.

V praxi je celkom prijateľné nezapisovať všeobecný vzorec a navyše vynechať jednotkové faktoriály:

Vyžaduje sa však predbežný komentár k opakovaným listom!

Odpoveď: 554400

Ďalší typický príklad permutácií s opakovaniami nájdeme v probléme usporiadania šachových figúrok, ktoré možno nájsť v sklade hotové riešenia v príslušnom pdf. A pre nezávislé riešenie som prišiel s menej šablónovou úlohou:

Úloha 13

Alexey sa venuje športu a 4 dni v týždni - atletika, 2 dni - silové cvičenia a 1 deň odpočinku. Koľkými spôsobmi si môže naplánovať svoje týždenné hodiny?

Vzorec tu nefunguje, pretože berie do úvahy prekrývajúce sa permutácie (napríklad keď sa silové cvičenia v stredu vymenia za silové cvičenia vo štvrtok). A opäť – v skutočnosti sa tie isté 2 silové tréningy môžu od seba veľmi líšiť, ale v kontexte úlohy (v zmysle harmonogramu) sa považujú za rovnaké prvky.

Dvojriadkové riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Kombinácie s opakovaním

Charakteristickým znakom tohto typu kombinácie je, že vzorka je čerpaná z niekoľkých skupín, z ktorých každá pozostáva z rovnakých predmetov.

Všetci dnes tvrdo pracovali, takže je čas sa osviežiť:

Úloha 14

Študentská jedáleň predáva klobásy v cestíčku, tvarohové koláče a šišky. Koľkými spôsobmi možno kúpiť päť koláčov?

Riešenie: okamžite venujte pozornosť typickému kritériu pre kombinácie s opakovaniami - podľa stavu nie súboru objektov ako takých, ale rôzne druhy predmety; predpokladá sa, že v predaji je minimálne päť párkov v rožku, 5 tvarohových koláčov a 5 šišiek. Koláče v každej skupine sú, samozrejme, iné - pretože úplne identické donuty sa dajú simulovať iba na počítači =) Fyzické vlastnosti koláčov však nie sú v zmysle problému podstatné a párky / tvarohové koláče / šišky v ich skupinách sa považujú za rovnaké.

Čo môže byť vo vzorke? V prvom rade treba podotknúť, že vo vzorke budú určite rovnaké pirohy (lebo vyberáme 5 kusov, pričom na výber sú ponúkané 3 druhy). Možnosti tu pre každý vkus: 5 párkov v rožku, 5 tvarohových koláčov, 5 šišiek, 3 párky v rožku + 2 tvarohové koláče, 1 párok v rožku + 2 + tvarohové koláče + 2 šišky atď.

Rovnako ako pri „bežných“ kombináciách, na poradí výberu a umiestnení pirohov vo vzorke nezáleží – vybrali len 5 kusov a hotovo.

Používame vzorec počet kombinácií s opakovaním:
ako si môžete kúpiť 5 koláčov.

Dobrú chuť!

Odpoveď: 21

Aký záver možno vyvodiť z mnohých kombinatorických problémov?

Niekedy je najťažšie pochopiť stav.

Podobný príklad riešenia „urob si sám“:

Úloha 15

Peňaženka obsahuje pomerne veľké množstvo 1-, 2-, 5- a 10-rubľových mincí. Koľkými spôsobmi sa dajú z peňaženky vybrať tri mince?

Na účely sebakontroly odpovedzte na niekoľko jednoduchých otázok:

1) Môžu sa všetky mince vo vzorke líšiť?
2) Uveďte „najlacnejšiu“ a „najdrahšiu“ kombináciu mincí.

Riešenie a odpovede na konci hodiny.

Z vlastnej skúsenosti môžem povedať, že kombinácie s opakovaniami sú v praxi najvzácnejším hosťom, čo sa nedá povedať o nasledovnom type kombinácií:

Umiestnenia s opakovaniami

Zo sady pozostávajúcej z prvkov sa vyberú prvky a poradie prvkov v každej vzorke je dôležité. A všetko by bolo v poriadku, ale dosť nečakaným vtipom je, že ľubovoľný predmet pôvodnej sady si môžeme vybrať koľkokrát chceme. Obrazne povedané, z „množstvo sa nezmenší“.

Kedy sa to stane? Typickým príkladom je kombinovaný zámok s niekoľkými diskami, ale vzhľadom na vývoj technológie je relevantnejšie zvážiť jeho digitálneho potomka:

Úloha 16

Koľko 4-miestnych PIN kódov existuje?

Riešenie: v skutočnosti na vyriešenie problému stačí poznať pravidlá kombinatoriky: prvú číslicu PIN kódu si môžete vybrať rôznymi spôsobmi a spôsoby - druhá číslica PIN kódu a toľkými spôsobmi - tretím a toľko - štvrtý. Podľa pravidla násobenia kombinácií teda môže byť zložený štvormiestny PIN kód: spôsobmi.

A teraz so vzorcom. Podľa podmienok sa nám ponúka sada čísel, z ktorých sa čísla vyberajú a umiestňujú v určitom poradí, pričom čísla vo vzorke sa môžu opakovať (t. j. ktorúkoľvek číslicu pôvodnej sady možno použiť ľubovoľný počet krát). Podľa vzorca pre počet umiestnení s opakovaniami:

Odpoveď: 10000

Čo ma tu napadá ... ... ak bankomat "zožerie" kartu po treťom neúspešnom pokuse o zadanie PIN kódu, potom je šanca na jej náhodné vybratie veľmi iluzórna.

A kto povedal, že kombinatorika nemá praktický zmysel? Kognitívna úloha pre všetkých čitateľov stránky:

Problém 17

Podľa štátnej normy sa poznávacia značka auta skladá z 3 číslic a 3 písmen. V tomto prípade nie je povolené číslo s tromi nulami a písmená sa vyberajú z množiny A, B, E, K, M, H, O, R, C, T, U, X (používajú sa iba písmená cyriliky, ktorých pravopis sa zhoduje s latinskými písmenami).

Koľko rôznych poznávacích značiek možno zložiť pre región?

Nie tak, mimochodom, a veľa. Vo veľkých regiónoch toto číslo nestačí, a preto pre nich existuje niekoľko kódov pre nápis RUS.

Riešenie a odpoveď na konci hodiny. Nezabudni používať pravidlá kombinatoriky ;-) …chcel som sa pochváliť, že som exkluzívny, ale ukázalo sa, že to nie je exkluzívne =) Pozrel som si Wikipediu - tam sú výpočty, ale bez komentára. Aj keď na vzdelávacie účely to asi málokto vyriešil.

Naša vzrušujúca lekcia sa skončila a na záver chcem povedať, že ste nestrácali čas - pretože kombinatorikové vzorce nachádzajú ďalšie dôležité praktické uplatnenie: nachádzajú sa v rôznych úlohách na teória pravdepodobnosti,
a v úlohy o klasickej definícii pravdepodobnosti- hlavne často

Ďakujeme všetkým za aktívnu účasť a do skorého videnia!

Riešenia a odpovede:

Úloha 2: Riešenie: nájdite počet všetkých možných permutácií 4 kariet:

Keď je karta s nulou na 1. mieste, číslo sa stane trojciferným, takže tieto kombinácie by sa mali vylúčiť. Nech je na 1. mieste nula, potom zvyšné 3 číslice na najmenej významných čísliciach možno preusporiadať spôsobmi.

Poznámka : pretože existuje niekoľko kariet, je ľahké uviesť všetky tieto možnosti tu:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

Z navrhovanej sady teda môžete vytvoriť:
24 - 6 = 18 štvorciferných čísel
Odpoveď : 18

Z.Y. Nikdy nemyslel , že tieto úlohy budú ponúknuté prvákom, z ktorých jeden si všimol, že kartička „9“ sa dá použiť ako „6“, a preto treba počet kombinácií zdvojnásobiť. Ale podmienka napriek tomu uvádza konkrétny údaj a je lepšie zdržať sa zdvojnásobenia.

Úloha 4: Riešenie: 3 karty je možné vybrať z 36 spôsobov.
Odpoveď : 7140

Úloha 6: Riešenie: spôsoby.
Iné riešenie : spôsoby výberu dvoch ľudí zo skupiny a spôsoby rozdelenia pozícií v každej vzorke. Prednosta a jeho zástupcu je teda možné zvoliť spôsoby. Tretie riešenie našiel iný čitateľ stránky. Prostredníctvom kombinatorického produktu:

(11 spôsobov, ako vystúpiť jedného cestujúceho a pre každého z týchto možností - 10 spôsobov môže dostať ďalšieho cestujúceho a pre každého možná kombinácia ich výstupu – 9 spôsobov, ako môže vystúpiť tretí cestujúci)

4) Metóda jedna: zhrňte kombinácie prvých troch bodov:
spôsob, akým môžu cestujúci vystúpiť z výťahu.

Metóda dva : vo všeobecnom prípade je racionálnejší, navyše vám umožňuje zaobísť sa bez výsledkov predchádzajúcich odsekov. Zdôvodnenie je nasledovné: spôsoby, ako môže 1. cestujúci vystúpiť z výťahu a spôsob, akým môže 2. cestujúci vystúpiť a
2) „Najlacnejšia“ sada obsahuje 3 rubľové mince a „najdrahšia“ sada obsahuje 3 desaťrubľové mince.

Úloha 17: Riešenie: spôsoby, ako môžete vytvoriť digitálnu kombináciu ŠPZ, pričom jeden z nich (000) by mal byť vylúčený:.
spôsoby, ako môžete vytvoriť kombináciu písmen čísla auta.
Podľa pravidla násobenia kombinácií môže byť všetko zložené:
čísla áut
(každý kombinovaná digitálna kombinácia s každým kombinácia písmen).
Odpoveď : 1726272

ZHRNUTIE LEKCIE
MATEMATIKA
3. trieda

Plochotnyuk Viktória Nikolajevna,

učiteľka na základnej škole

MBOU "Stredná škola č. 6", Usinsk

republika Komi

TÉMA: Opakovanie delenia (príjem výpočtu kvocientu)

ÚLOHY:

pokračovať v práci na technike delenia založenej na práci s konkrétnymi objektmi;

opraviť názov čísel pri delení, násobení;

rozvíjať schopnosť ústneho počítania;

pokračovať v práci na komunikačných schopnostiach

POČAS TRIED:

Lekcia začína.

Pôjde chlapom na budúce použitie.

Pokúsim sa všetko pochopiť

Urobím správne rozhodnutie.

ja A teraz nemáme len lekciu, ale lekciu z vesmíru. Urobíme si výlet ku hviezdam. Za letu si zopakujeme delenie, zapamätáme si, ako sa volajú čísla pri násobení, sčítaní, odčítaní.

A aby bol let úspešný, treba pozorne počúvať, premýšľať a správne počítať.

Najprv však musíte získať povolenie na vzlietnutie.

Takže: dávame iba odpoveď.

Rozdiel medzi 60 a 8 (52)

1. termín 32, 2. termín 8 – súčet (40)

96 zníženie o 90 (6)

Súčet čísel 16 a 12 (28)

37 zvýšenie o 1 (38)

Číslo 27 obsahuje 3 des a 7 jednotiek? (2 d 7 e)

Je číslo 38 v číselnom rade medzi číslami 37 a 40? (37,39)

7 dec. Je to 70? Áno

5 dec. je to 15? Nie

Ako sa volajú čísla s + / s -

Odviedli sme dobrú prácu, ale povedzte mi, aké akcie ste zopakovali?

(+ a -)

Posaďte sa, skontrolujte svoju letovú pripravenosť.Čítanie.

Letíme na iné planéty

Oznamujeme vám to.

II. Kým naša raketa naberá rýchlosť, otvorte denníky a zapíšte si dátum letu.

Už sme na mieste a leteli na 1 hviezdičku "Ponáhľaj sa". Tu nás čakajú lákavé úlohy:

5 ,10,11,15,20

40,30, 19 ,20,80 aké číslo je navyše?

22,23, 42 ,25,26

40,42,44,46…

35,40,45,50... aké číslo bude nasledovať?

10,20,30,40…

A táto práca musí byť vykonaná rýchlo a presne. Úlohou je vyriešiť a otestovať.

38+27 52-29 63-44 51+29 91-55

Aká akcia skontroluje +, -.

Chalani sa veľmi snažili, páčilo sa mi to, nebudeme sa tu zdržiavať, budeme pokračovať v lete.Fizminutka

Spolu vstali raz, 2.3

Teraz sme hrdinovia

Položíme si ruky na oči.

Postavme nohy silné.

otočený doprava,

Pozrime sa majestátne

A doľava tiež.

Pozrite sa spod dlaní.

A doprava a ešte viac

Cez pravé rameno.

III. Nevšimli sme si, ako sme leteli až k hviezde „Divide-ka“. Spomeňme si, ako sa volajú čísla pri delení?

Ako sa volá číslo, ktoré delíme? (dividenda)

Ako sa volá číslo, ktorým delíme? (delič)

Ako sa nazýva výsledok delenia? (súkromné)

Do denníka si zapíšeme: Deliteľné 10, deliteľ 2. Čo potrebuješ nájsť? (súkromné)

A súkromné ​​budeme hľadať pomocou kresby.

Kto bude kresliť?

O O O O O O O O O O

(raketa →)

koľko kruhov zoskupíme (každý 2)

sk. krát 2 je obsiahnuté v 10? (Päť krát)

Aký je teda kvocient? (5)

A teraz sa pozri okolo, pozri doľava, doprava, hore. A čo naša raketa?

Podľa mňa sa neovládla a potrebuje súrne počítať. Kto nám pomôže? (rozložte karty na tabuľu)

12:3 8:2 6:3

A tu je samotný výraz:

12:2

Zopakujme si.

Ako sa volá číslo pri delení.

Aký je výsledok delenia?

(cvičenie v sede)

Natiahnuté, zdvihnuté pravé, ľavé rameno.

IV. Leteli sme do hviezdy „Rezerva“. Musíme skontrolovať naše zásoby:

Na let sme si vzali 5 fliaš limonády, každá po 1 litri. Koľko litrov limonády si vypil? (10 l)

A zobrali aj 3 krabice keksíkov, každá po 2 kg. Koľko kilogramov keksíkov ste zobrali.

Mysleli sme, že vezmeme do letu 20 veľkých chumákov a 10 malých. Keď zistili, čo to je, všetci to vyhodili. Koľko chryamzikov bolo vyhodených?

Rozdeľme sa na posádky. Akú farbu má hviezda na vašom stole?

oranžová

Posaďte sa. Pred prácou hádajte, čo to je?

Dedko sedí a nosí 100 kožuchov

Kto ho vyzlečie, slzy roní

Áno, je to cibuľa. Viete, že v starovekom Rusku bola cibuľa považovaná za najlepší liek na choroby? A v starovekom Grécku - posvätná rastlina. A v Nemecku boli hrdinovia zdobení cibuľovými kvetmi. Vezmeme to na let?

a čo to je?Dieťa vyrastalo nepoznalo plienky,

Stal sa starcom

100 plienok na ňom.

Samozrejme je to kapustnica. Už dlho sa používa ako liek na nespavosť a bolesti hlavy. Jej šťava bola rozmazaná na rany.

Vezmeme si kapustnicu?

A teraz poďme na vec.

Čas je preč.

Bolo vysadených 15 cibúľ 3 za sebou. Koľko riadkov ste dostali?

15 hlávok kapusty bolo vysadených rovnomerne v 3 radoch. Koľko hláv kapusty v každom riadku.

2) Dajte riešenie.

čo si si všimol?

(riešenie je jedno, ale hľadáme iné)

Rozhodli sme sa, rozhodli sme sa

Niečo, čo sme veľmi unavení,

Teraz sa potápame

Zatlieskajme si rukami

Raz - prisahám

Rýchlo vstaňme

Usmejme sa

Sadnime si potichu.

a čo to je? Blížia sa k nám neidentifikované predmety, aby sme predišli kolízii, potrebujeme súrne zistiť ich parametre.

∆  O

Aké predmety ste videli?

Na základe čoho sa zoskupujeme?

podľa farby

na veľkosť

informovať

Pomenujte ich.

čo je ešte toto? Nejaké zvláštne tváre.

Z akého geom. čísla pozostávajú?

Čo je navyše?

Veľmi dobre.

Vyhli sme sa kolízii a naša cesta sa blíži ku koncu. A aby ste sa bezpečne vrátili späť, musíte vyriešiť krížovku.

1) Čo sa stane pri pridávaní? (súčet)

2) Ako sa volá číslo, výsledok delenia? (súkromné)

3) Je rovný a ostrý? (roh)

4) Číslo, ktoré sa delí? (dividenda)

5) Číslo, ktorým sa delia? (delič)

Veľmi zlé skóre? (jednotka)

7) Akú akciu skontrolujeme „+“ (odčítanie)

Náš let sa skončil. Postupujeme podľa pokynov. Aké slovo vyšlo. Výborne.

Áno, samozrejme, sme skvelí.

Čo ste si dnes zopakovali?

Čo si mal rád?

Čo sa zdalo ťažké?

Ako hodnotíme sami seba?

A aby ste v ďalšej lekcii úspešne pokračovali v práci na rozdelení a napísali dobrú samostatnú prácu, musíte si látku upevniť doma.

Napíšeme si úlohu:

str.54 tab. číslo 3.

Lekcia sa skončila.