Prezentare „Mișcarea corpului într-un cerc”. Mișcare circulară. Ecuația mișcării într-un cerc. Viteză unghiulară. Normal = accelerație centripetă. Perioada, frecvența circulației (rotație). Relația dintre viteza liniară și cea unghiulară Mișcare uniformă
Subiecte ale codificatorului USE: mișcare într-un cerc cu o viteză modulo constantă, accelerație centripetă.
Mișcare uniformăîn jurul circumferinței este un exemplu destul de simplu de mișcare cu un vector de accelerație care depinde de timp.
Lăsați punctul să se rotească pe un cerc de rază. Viteza unui punct este constantă modulo și egală cu . Se numește viteza viteza liniară puncte.
Perioada de circulatie este timpul pentru o revoluție completă. Pentru perioada, avem o formulă evidentă:
. (1)
Frecvența circulației este reciproca perioadei:
Frecvența indică câte rotații complete face punctul pe secundă. Frecvența este măsurată în rpm (revoluții pe secundă).
Să fie, de exemplu, . Aceasta înseamnă că în timpul momentului punctul îl face pe unul complet
cifra de afaceri. Frecvența în acest caz este egală cu: aproximativ / s; Punctul face 10 rotații complete pe secundă.
Viteză unghiulară.
Luați în considerare rotația uniformă a unui punct în sistemul de coordonate carteziene. Să plasăm originea coordonatelor în centrul cercului (Fig. 1).
 |
| Orez. 1. Mișcare circulară uniformă |
Fie poziția inițială a punctului; cu alte cuvinte, pentru , punctul avea coordonate . Lasă punctul să se întoarcă printr-un unghi în timp și ia poziția .
Raportul dintre unghiul de rotație și timp se numește viteză unghiulară rotatie punct:
. (2)
Unghiul este de obicei măsurat în radiani, astfel încât viteza unghiulară este măsurată în rad/s. Pentru un timp egal cu perioada de rotație, punctul se rotește printr-un unghi. De aceea
. (3)
Comparând formulele (1) și (3), obținem relația dintre vitezele liniare și unghiulare:
. (4)
Legea mișcării.
Să găsim acum dependența coordonatelor punctului de rotație de timp. Vedem din Fig. 1 că
Dar din formula (2) avem: . Prin urmare,
. (5)
Formulele (5) sunt soluția problemei principale de mecanică pentru mișcarea uniformă a unui punct de-a lungul unui cerc.
accelerație centripetă.
Acum ne interesează accelerația punctului de rotație. Poate fi găsit prin diferențierea relațiilor (5) de două ori:
Ținând cont de formulele (5), avem:
(6)
Formulele rezultate (6) pot fi scrise ca o singură egalitate vectorială:
(7)
unde este vectorul rază a punctului de rotație.
Vedem că vectorul accelerație este îndreptat opus vectorului rază, adică spre centrul cercului (vezi Fig. 1). Prin urmare, se numește accelerația unui punct care se mișcă uniform într-un cerc centripetă.
În plus, din formula (7) obținem o expresie pentru modulul de accelerație centripetă:
(8)
Exprimăm viteza unghiulară din (4)
și înlocuiți în (8) . Să obținem încă o formulă pentru accelerația centripetă.
În această lecție, vom lua în considerare mișcarea curbilinie, și anume mișcarea uniformă a unui corp într-un cerc. Vom afla ce este viteza liniară, accelerația centripetă atunci când un corp se mișcă într-un cerc. De asemenea, introducem mărimi care caracterizează mișcarea de rotație (perioada de rotație, frecvența de rotație, viteza unghiulară) și conectăm aceste mărimi între ele.
Prin mișcare uniformă într-un cerc se înțelege că corpul se rotește prin același unghi pentru orice perioadă de timp identică (vezi Fig. 6).
Orez. 6. Mișcare circulară uniformă
Adică, modulul vitezei instantanee nu se modifică:
Această viteză se numește liniar.
Deși modulul vitezei nu se modifică, direcția vitezei se schimbă continuu. Luați în considerare vectorii viteză în puncte Ași B(vezi Fig. 7). Sunt îndreptate în direcții diferite, deci nu sunt egale. Dacă se scade din viteza la punct B viteza punctului A, obținem un vector .
Orez. 7. Vectori viteză
Raportul dintre modificarea vitezei () și timpul în care a avut loc această modificare () este accelerația.
Prin urmare, orice mișcare curbilinie este accelerată.
Dacă luăm în considerare triunghiul vitezei obținut în figura 7, atunci cu o aranjare foarte apropiată de puncte Ași B unul față de celălalt, unghiul (α) dintre vectorii viteză va fi aproape de zero:
De asemenea, se știe că acest triunghi este isoscel, deci modulele vitezelor sunt egale (mișcare uniformă):
Prin urmare, ambele unghiuri de la baza acestui triunghi sunt aproape nelimitat de:
Aceasta înseamnă că accelerația care este direcționată de-a lungul vectorului este de fapt perpendiculară pe tangente. Se știe că o dreaptă dintr-un cerc perpendiculară pe o tangentă este o rază, deci accelerația este îndreptată de-a lungul razei spre centrul cercului. Această accelerație se numește centripetă.
Figura 8 prezintă triunghiul vitezelor discutat mai devreme și un triunghi isoscel (două laturi sunt razele unui cerc). Aceste triunghiuri sunt similare, deoarece au unghiuri egale formate din drepte reciproc perpendiculare (raza, ca și vectorul, este perpendiculară pe tangente).
Orez. 8. Ilustrație pentru derivarea formulei de accelerație centripetă
Segment de linie AB este mutare(). Luăm în considerare mișcarea circulară uniformă, deci:
Inlocuim expresia rezultata cu ABîn formula de similitudine a triunghiului:
Conceptele de „viteză liniară”, „accelerație”, „coordonată” nu sunt suficiente pentru a descrie mișcarea de-a lungul unei traiectorii curbe. Prin urmare, este necesar să se introducă mărimi care caracterizează mișcarea de rotație.
1. Perioada de rotație (T ) se numește timpul unei revoluții complete. Se măsoară în unități SI în secunde.
Exemple de perioade: Pământul se rotește în jurul axei sale în 24 de ore (), iar în jurul Soarelui - în 1 an ().
Formula de calcul al perioadei:
unde este timpul total de rotație; - numărul de revoluții.
2. Frecvența de rotație (n ) - numarul de rotatii pe care corpul le face pe unitatea de timp. Se măsoară în unități SI în secunde reciproce.
Formula pentru găsirea frecvenței:
unde este timpul total de rotație; - numărul de revoluții
Frecvența și perioada sunt invers proporționale:
3. viteză unghiulară () numit raportul dintre modificarea unghiului la care s-a întors corpul și timpul în care a avut loc această întoarcere. Se măsoară în unități SI în radiani împărțit la secunde.
Formula pentru determinarea vitezei unghiulare:
unde este schimbarea unghiului; este timpul necesar pentru ca tura să aibă loc.
Deoarece viteza liniară își schimbă uniform direcția, atunci mișcarea de-a lungul cercului nu poate fi numită uniformă, este uniform accelerată.
Viteză unghiulară
Alegeți un punct de pe cerc 1 . Să construim o rază. Pentru o unitate de timp, punctul se va muta la punct 2 . În acest caz, raza descrie unghiul. Viteza unghiulară este numeric egală cu unghiul de rotație al razei pe unitatea de timp.
Perioada și frecvența
Perioada de rotație T este timpul necesar corpului pentru a face o revoluție.
RPM este numărul de rotații pe secundă.
Frecvența și perioada sunt legate de relație
Relația cu viteza unghiulară
Viteza liniei
Fiecare punct de pe cerc se mișcă cu o anumită viteză. Această viteză se numește liniară. Direcția vectorului de viteză liniară coincide întotdeauna cu tangenta la cerc. De exemplu, scânteile de sub o râșniță se mișcă, repetând direcția vitezei instantanee.
Luați în considerare un punct dintr-un cerc care face o revoluție, timpul petrecut - aceasta este perioada T.Drumul pe care îl depășește punctul este circumferința cercului.
accelerație centripetă
Când se deplasează de-a lungul unui cerc, vectorul accelerație este întotdeauna perpendicular pe vectorul viteză, îndreptat către centrul cercului.
Folosind formulele anterioare, putem deriva următoarele relații
Punctele situate pe aceeași linie dreaptă care emană din centrul cercului (de exemplu, acestea pot fi puncte care se află pe spița roții) vor avea aceleași viteze unghiulare, perioadă și frecvență. Adică se vor roti în același mod, dar cu viteze liniare diferite. Cu cât punctul este mai departe de centru, cu atât se va mișca mai repede.
Legea adunării vitezelor este valabilă și pentru mișcare de rotație. Dacă mișcarea unui corp sau a unui cadru de referință nu este uniformă, atunci legea se aplică vitezelor instantanee. De exemplu, viteza unei persoane care merge de-a lungul marginii unui carusel rotativ este egală cu suma vectorială a vitezei liniare de rotație a marginii caruselului și a vitezei persoanei.
Pământul participă la două mișcări principale de rotație: zilnică (în jurul axei sale) și orbitală (în jurul Soarelui). Perioada de rotație a Pământului în jurul Soarelui este de 1 an sau 365 de zile. Pământul se rotește în jurul axei sale de la vest la est, perioada acestei rotații este de 1 zi sau 24 de ore. Latitudinea este unghiul dintre planul ecuatorului și direcția de la centrul Pământului până la un punct de pe suprafața acestuia.
Conform celei de-a doua legi a lui Newton, cauza oricărei accelerații este o forță. Dacă un corp în mișcare experimentează o accelerație centripetă, atunci natura forțelor care provoacă această accelerație poate fi diferită. De exemplu, dacă un corp se mișcă în cerc pe o frânghie legată de el, atunci forța care acționează este forța elastică.
Dacă un corp aflat pe un disc se rotește împreună cu discul în jurul axei sale, atunci o astfel de forță este forța de frecare. Dacă forța încetează să acționeze, atunci corpul va continua să se miște în linie dreaptă
Considerăm mișcarea unui punct pe un cerc de la A la B. Viteza liniară este egală cu
Acum să trecem la un sistem fix conectat la pământ. Accelerația totală a punctului A va rămâne aceeași atât în valoare absolută, cât și în direcție, deoarece accelerația nu se modifică la trecerea de la un cadru de referință inerțial la altul. Din punctul de vedere al unui observator staționar, traiectoria punctului A nu mai este un cerc, ci o curbă mai complexă (cicloidă), de-a lungul căreia punctul se mișcă neuniform.
Mișcare circulară uniformă este cel mai simplu exemplu. De exemplu, capătul acelui ceasului se deplasează de-a lungul cadranului de-a lungul cercului. Se numește viteza unui corp într-un cerc viteza liniei.
Cu o mișcare uniformă a corpului de-a lungul unui cerc, modulul vitezei corpului nu se modifică în timp, adică v = const, ci doar direcția vectorului viteză se modifică în acest caz (a r = 0), iar modificarea vectorului viteză în direcţie se caracterizează printr-o valoare numită accelerație centripetă() un n sau un CA. În fiecare punct, vectorul de accelerație centripet este îndreptat către centrul cercului de-a lungul razei.
Modulul de accelerație centripetă este egal cu
a CS \u003d v 2 / R
Unde v este viteza liniară, R este raza cercului
Orez. 1.22. Mișcarea corpului într-un cerc.
Când descrieți mișcarea unui corp într-un cerc, utilizați raza unghiului de rotire este unghiul φ cu care raza trasată de la centrul cercului până la punctul în care se află corpul în mișcare în acel moment se rotește în timpul t. Unghiul de rotație se măsoară în radiani. egală cu unghiul dintre două raze ale cercului, lungimea arcului între care este egală cu raza cercului (Fig. 1.23). Adică dacă l = R, atunci
1 radian= l / R
pentru că circumferinţă este egal cu
l = 2πR
360 o \u003d 2πR / R \u003d 2π rad.
prin urmare
1 rad. \u003d 57,2958 aproximativ \u003d 57 aproximativ 18 '
Viteză unghiulară mișcarea uniformă a corpului într-un cerc este valoarea ω, egală cu raportul dintre unghiul de rotație al razei φ și intervalul de timp în care se efectuează această rotație:
ω = φ / t
Unitatea de măsură pentru viteza unghiulară este radiani pe secundă [rad/s]. Modulul liniar al vitezei este determinat de raportul dintre distanța parcursă l și intervalul de timp t:
v= l/t
Viteza liniei cu mișcare uniformă de-a lungul unui cerc, este îndreptată tangențial într-un punct dat al cercului. Când punctul se mișcă, lungimea l a arcului de cerc străbătut de punct este legată de unghiul de rotație φ prin expresie
l = Rφ
unde R este raza cercului.
Atunci, în cazul mișcării uniforme a punctului, vitezele liniare și unghiulare sunt legate prin relația:
v = l / t = Rφ / t = Rω sau v = Rω
Orez. 1.23. Radian.
Perioada de circulatie- aceasta este perioada de timp T, în care corpul (punctul) face o rotație în jurul circumferinței. Frecvența circulației- aceasta este reciproca perioadei de circulație - numărul de rotații pe unitatea de timp (pe secundă). Frecvența circulației se notează cu litera n.
n=1/T
Pentru o perioadă, unghiul de rotație φ al punctului este 2π rad, deci 2π = ωT, de unde
T = 2π / ω
Adică viteza unghiulară este
ω = 2π / T = 2πn
accelerație centripetă poate fi exprimat în termeni de perioada T și frecvența revoluției n:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
